Рішення.
Імовірність того, що не випало жодного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Імовірність того, що випало три герби: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон розподілу випадкової величини X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіантинастання цієї події наступні:
- Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Перший стрілець промахнувся, другий стрілок потрапив у мішень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Перший і другий стрілки незалежно один від одного потрапили в ціль: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Випадковою величиною називається змінна, яка може набувати тих чи інших значень залежно від різних обставин, і в свою чергу, випадкова величинаназивається дискретний , якщо безліч її значень звісно чи счётно.
Крім дискретних випадкових величин, існують також безперервні випадкові величини.
Розглянемо докладніше поняття випадкової величини. На практиці часто зустрічаються величини, які можуть набувати деяких значень, але не можна достовірно передбачити, яке саме значення кожна з них прийме в досвіді, явищі, спостереженні, що розглядається. Наприклад, кількість хлопчиків, які народяться в Москві найближчого дня, може бути різною. Воно може бути рівним нулю (не народиться жодного хлопчика: народяться всі дівчатка або взагалі не буде новонароджених), одному, двом і так далі до деякого кінцевого числа n. До подібних величин належать: маса коренеплоду цукрових буряків на ділянці, дальність польоту артилерійського снаряда, кількість бракованих деталей у партії тощо. Такі величини називатимемо випадковими. Вони характеризують усі можливі результатидосвіду чи спостереження з кількісної сторони.
Прикладами дискретних випадкових величин з кінцевим числом значень можуть служити кількість народжених дітей протягом дня населеному пункті, кількість пасажирів автобуса, кількість пасажирів, перевезених московським метро за добу тощо.
Число значень дискретної випадкової величини може бути і нескінченним, але лічильним безліччю. Але в будь-якому випадку їх можна в якомусь порядку пронумерувати, або, точніше, встановити взаємно-однозначну відповідність між значеннями випадкової величини і натуральними числами 1, 2, 3, ..., n.
Увага: нове, дуже важливе поняття теорії ймовірностей закон розподілу
. Нехай Xможе приймати nзначень: . Вважатимемо, що вони всі різні (інакше однакові повинні бути об'єднані) і розташовані в порядку, що зростає. Для повної характеристикидискретної випадкової величини мають бути задані як її значення, а й ймовірності
, З якими випадкова величина набуває кожного із значень, тобто. 
.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається будь-яке правило (функція, таблиця) p(x), що дозволяє знаходити ймовірності всіляких подій, пов'язаних із випадковою величиною (наприклад, ймовірність того, що вона приклад якесь значення або потрапить до якогось інтервалу).
Найбільш просто та зручно закон розподілу дискретної випадкової величини задавати у вигляді наступної таблиці:
| Значення | ... | |||
| Ймовірність | ... |
Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини. У верхньому рядку ряду розподілу перераховані у порядку зростання всі можливі значеннядискретної випадкової величини (ікси), а нижньої - ймовірності цих значень ( p).
Події 
є несумісними та єдино можливими: вони утворюють повну систему подій. Тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
.
приклад 1.У студентській групі організовано лотерею. Розігрується дві речі вартістю по 1000 руб. та одна вартістю по 3000 руб. Скласти закон розподілу суми чистого виграшу для студента, який придбав один квиток за 100 руб. Усього продано 50 квитків.
Рішення. Випадкова величина, що цікавить нас Xможе приймати три значення: - 100 руб. (якщо студент не виграє, а фактично програє 100 руб., Сплачені ним за квиток), 900 руб. та 2900 руб. (Фактичний виграш зменшується на 100 руб. – На вартість квитка). Першому результату сприяють 47 випадків із 50, другому - 2, а третьому - один. Тому їхні ймовірності такі: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Закон розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд
| Сума виграшу | -100 | 900 | 2900 |
| Ймовірність | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Функція розподілу дискретної випадкової величини: побудова
Ряд розподілу може бути побудований тільки для дискретної випадкової величини (для недискретної він не може бути побудований хоча б тому, що безліч можливих значень такої випадкової величини нечисленна, їх не можна перерахувати у верхньому рядку таблиці).
Найбільш загальною формоюзакону розподілу, придатною всім випадкових величин (як дискретних, і недискретних), є функція розподілу.
Функцією розподілу дискретної випадкової величиниабо інтегральною функцієюназивається функція 
, Що визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.
Функція розподілу будь-якої дискретної випадкової величини є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини, і дорівнюють ймовірності цих значень.
приклад 2.Дискретна випадкова величина X- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Постояти її функцію розподілу.
Рішення. Ряд розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд:
| Значення | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ймовірність | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Функція розподілу F(x) має 6 стрибків, рівних за величиною 1/6 (на малюнку внизу).
приклад 3.В урні 6 білих куль і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль - дискретна випадкова величина X. Скласти відповідний їй закон розподілу.
Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності найпростіше обчислити правилу множення ймовірностей. Отримуємо наступний закон розподілу дискретної випадкової величини:
| Значення | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Ймовірність | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
приклад 4.Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини - числа попадань у ціль при чотирьох пострілах, якщо ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,1.
Рішення. Дискретна випадкова величина Xможе приймати п'ять різних значень: 1, 2, 3, 4, 5. Відповідні їм ймовірності знайдемо за формулі Бернуллі
. При
n = 4 ,
p = 1,1 ,
q = 1 - p = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
отримуємо
Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини Xмає вигляд
Якщо ймовірність значень дискретної випадкової величини можна визначити за формулою Бернуллі, то випадкова величина має біномний розподіл .
Якщо кількість випробувань досить велика, то ймовірність того, що в цих випробуваннях подія, що цікавить, настане саме mраз, підпорядковується закону розподілу Пуассона .
Функція розподілу дискретної випадкової величини: обчислення
Щоб обчислити функцію розподілу дискретної випадкової величини F(х), потрібно скласти ймовірності всіх тих значень, які менші або рівні граничному значенню х.
Приклад 5.У таблиці дані щодо залежності кількості розірваних протягом року шлюбів від тривалості шлюбу. Знайти ймовірність того, що черговий розірваний шлюб мав тривалість меншу, ніж 5 років.
| Тривалість шлюбу (років) | Число | Ймовірність | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 і більше | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Усього | 6010 | 1 |
Рішення. Імовірності обчислені шляхом розподілу числа відповідних розірваних шлюбів на загальне число 6010. Ймовірність того, що черговий розірваний шлюб був тривалістю 5 років, дорівнює 0,056. Імовірність, що тривалість чергового розірваного шлюбу менша чи дорівнює 5 років, дорівнює 0,186. Ми отримали її, додавши до значення F(x) для шлюбів із тривалістю по 4 роки включно ймовірність для шлюбів із тривалістю у 5 років.
Зв'язок закону розподілу дискретної випадкової величини з математичним очікуванням та дисперсією
Часто не всі значення дискретної випадкової величини відомі, але відомі деякі значення або ймовірності з ряду, а також математичне очікування та (або) дисперсія випадкової величини, яким присвячено окремий урок.
Наведемо тут деякі формули з цього уроку, які можуть допомогти при складанні закону розподілу дискретної випадкової величини і розберемо приклади вирішення таких завдань.
Математичне очікування дискретної випадкової величини - сума творів всіх можливих значень на ймовірності цих значень:
(1)
Формула дсперсії дискретної випадкової величини за визначенням:
Часто для обчислень зручніша наступна формула дисперсії:
, (2)
де 
.
Приклад 6.Дискретна випадкова величина Xможе набувати лише два значення. Найменше значення вона набуває з ймовірністю p= 0,6. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини X, якщо відомо, що її математичне очікування та дисперсія.
Рішення. Імовірність того, що випадкова величина набуде більшого значення x2 , що дорівнює 1 − 0,6 = 4 . Використовуючи формулу (1) математичного очікування, складемо рівняння, в якому невідомі значення нашої дискретної випадкової величини:
Використовуючи формулу (2) дисперсії, складемо інше рівняння, в якому невідомі - значення дискретної випадкової величини:
Систему із двох отриманих рівнянь
вирішуємо шляхом підстановки. З першого рівняння отримуємо
Підставивши цей вираз у друге рівняння, після нескладних перетворень отримаємо квадратне рівняння
,
яке має два корені: 7/5 та −1 . Перший корінь не відповідає умовам завдання, оскільки x2 < x 1 . Таким чином, значення, які може набувати дискретна випадкова величина Xза умовами нашого прикладу, рівні x1 = −1 і x2 = 2 .
На цій сторінці ми зібрали приклади рішення навчальних задач про дискретні випадкові величини. Це досить широкий розділ: вивчаються різні закони розподілу (біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассон та інші), властивості та числові характеристики, для кожного ряду розподілу можна будувати графічні уявлення: полігон (багатокутник) ймовірностей, функцію розподілу.
Нижче ви знайдете приклади рішень про дискретні випадкові величини, в яких потрібно застосувати знання з попередніх розділів теорії ймовірностей для складання закону розподілу, а потім обчислити математичне очікування, дисперсію, середнє відхилення, побудувати функцію розподілу, дати відповіді на питання про ДСВ і т.д. п.
Приклади для популярних законів розподілу ймовірностей:
Калькулятори на характеристики ДСВ
- Обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.
Вирішені завдання про ДСВ
Розподіли, близькі до геометричного
Завдання 1.На шляху руху автомашини 4 світлофори, кожен із яких забороняє подальший рух автомашини з ймовірністю 0,5. Знайти низку розподілу числа світлофорів, пройдених машиною до першої зупинки. Чому рівні математичне очікування та дисперсія цієї випадкової величини?
Завдання 2.Мисливець стріляє по дичині до першого влучення, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Скласти закон розподілу числа промахів, якщо ймовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,7. Знайти дисперсію цієї випадкової величини.
Завдання 3.Стрілець, маючи 3 патрони, стріляє в ціль до першого влучення. Імовірності влучення при першому, другому та третьому пострілах відповідно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - кількість патронів, що залишилися. Скласти ряд розподілу випадкової величини, знайти математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхиленняс.в., побудувати функцію розподілу с.в., знайти $P(|\xi-m| \le\sigma$).
Завдання 4.У ящику міститься 7 стандартних та 3 бракованих деталі. Виймають деталі послідовно до появи стандартної, не повертаючи їх назад. $\xi$ - кількість вилучених бракованих деталей.
Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини $xi, обчислити її математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, накреслити багатокутник розподілу та графік функції розподілу.
Завдання з незалежними подіями
Завдання 5.На переекзаменування з теорії ймовірностей з'явилися 3 студенти. Імовірність того, що перший складе іспит, дорівнює 0,8, другий - 0,7, третій - 0,9. Знайдіть ряд розподілу випадкової величини $\xi$ числа студентів, які склали іспит, побудуйте графік функції розподілу, знайдіть $М(\xi), D(\xi)$.
Завдання 6.Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8 і зменшується з кожним пострілом на 0,1. Скласти закон розподілу числа влучень у ціль, якщо зроблено три постріли. Знайти математичне очікування, дисперсію та С.К.О. цієї випадкової величини. Побудувати графік функції розподілу.
Завдання 7.За метою виконується 4 постріли. Імовірність влучення при цьому зростає так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$ - числа влучень. Знайти ймовірність, що $X \ge 1$.
Завдання 8.Підкидаються дві симетричні монети, підраховується кількість гербів на обох верхніх сторонах монет. Розглядається дискретна випадкова величина $ X $ - число випадань гербів обох монетах. Записати закон розподілу випадкової величини $X$, знайти її математичне очікування.
Інші завдання та закони розподілу ДСВ
Завдання 9.Два баскетболісти роблять по три кидки в кошик. Імовірність влучення для першого баскетболіста дорівнює 0,6, для другого – 0,7. Нехай $X$ - різниця між числом вдалих кидків першого та другого баскетболістів. Знайти ряд розподілу, моду та функцію розподілу випадкової величини $X$. Побудувати багатокутник розподілу та графік функції розподілу. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність події $(-2 \lt X \le 1)$.
Завдання 10.Число іногородніх суден, що прибувають щодня під навантаження у певний порт – випадкова величина $X$, задана так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) переконайтеся, що заданий ряд розподілу,
Б) знайдіть функцію розподілу випадкової величини $X$,
В) якщо в даний день прибуває більше трьох суден, то порт бере на себе відповідальність за витрати внаслідок необхідності наймати додаткових водіїв та вантажників. Чому дорівнює можливість того, що порт понесе додаткові витрати?
Г) знайдіть математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини $X$.
Завдання 11.Кидають 4 гральні кубики. Знайти математичне очікування на суму очок, які випадуть на всіх гранях.
Завдання 12.Двоє по черзі кидають монету до першої появи герба. Гравець, у якого випав герб, отримує від іншого гравця 1 карбованець. Знайти математичне очікування на виграш кожного гравця.
Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту(X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
Властивості функції F(x)
3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найбільше важливі особливостізакону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмірвідхилення випадкової величини від середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.
Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :
- Математичне очікування
(Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ - Дисперсія
дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ - Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).
Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»
Завдання 1.
Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.
Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.
Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:
Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Завдання 3.
Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.
Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має такі можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).
Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі
. Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:
По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.
3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х
Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.
 |
Графік функції F(x)
4.
Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
На цій сторінці ми зібрали коротку теорію та приклади вирішення навчальних завдань, у яких дискретна випадкова величина вже задана своїм рядом розподілу (табличний вигляд) та потрібно її дослідити: знайти числові характеристики, побудувати графіки тощо. Приклади на відомі види розподілу ви можете знайти за посиланнями:
Коротка теорія про ДСВ
Дискретна випадкова величина визначається своїм рядом розподілу: переліком значень $x_i$, які вона може приймати, і відповідних ймовірностей $p_i=P(X=x_i)$. Кількість значень випадкової величини може бути кінцевою або лічильною. Для визначеності розглядатимемо випадок $i=\overline(1,n)$. Тоді табличне подання дискретної випадкової величини має вигляд:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ hline \end(array) $ $
При цьому виконується умова нормування: сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати одиниці
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Графічно ряд розподілу можна уявити полігоном розподілу(або багатокутником розподілу). І тому на площині відкладаються точки з координатами $(x_i,p_i)$ і з'єднуються по порядку ламаною лінією. Детальні приклади ви знайдете.
Числові характеристики ДСВ
Математичне очікування:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Дисперсія:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Середнє квадратичне відхилення:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Коефіцієнт варіації:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Мода: значення $Mo=x_k$ з найбільшою ймовірністю $p_k=\max_i(p_i)$.
Ви можете використовувати онлайн-калькулятори для обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.
Функція розподілу ДСВ
По ряду розподілу можна скласти функцію розподілудискретної випадкової величини $ F (x) = P (X \ x x) $. Ця функція задає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення менше деякого числа $x$. Приклади побудови з детальними обчисленнями та графіками ви знайдете у прикладах нижче.
Приклади вирішених завдань
Завдання 1.Дискретна випадкова величина задана поруч розподілу:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Побудувати багатокутник розподілу та функцію розподілу $F(x)$. Обчислити: $M[X], D[X], \sigma[X]$, а також коефіцієнт варіації, асиметрії, ексцесу, моду та медіану.
Завдання 2.Даний закон розподілу дискретної випадкової величини Х. Потрібно:
а) визначити математичне очікування М(х), дисперсію D(х) та середнє квадратичне відхилення (х) випадкової величини Х; б) побудувати графік цього розподілу.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Завдання 3.Для випадкової величини Х з цим рядом розподілу
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) знайдіть $р_1$ і $р_2$ те щоб $М(Х)=0,5$
Б) після цього обчисліть математичне очікування та дисперсію випадкової величини $Х$ та побудуйте графік її функції розподілу
Завдання 4.Дискретна СВ $X$ може набувати лише двох значень: $x_1$ і $x_2$, причому $x_1 \lt x_2$. Відомі ймовірність $P$ можливого значення, математичне очікування $M(x)$ та дисперсія $D(x)$. Знайти: 1) Закон розподілу цієї випадкової величини; 2) Функцію розподілу СВ $ X $; 3) Побудувати графік $F(x)$.
$ P = 0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Завдання 5.Випадкова величина Х приймає три значення: 2, 4 і 6. Знайти ймовірності цих значень, якщо $ M (X) = 4,2 $, $ D (X) = 1,96 $.
Завдання 6.Дано ряд розподілу дискретної с.в. $Х$. Знайти числові характеристики положення та розсіювання с.в. $Х$. Знайти в.о. та дисперсію с.в. $Y=X/2-2$, не записуючи низки розподілу с.в. $Y$, перевірити результат за допомогою функції, що виробляє.
Побудувати функцію розподілу С.В. $Х$.
x 8 12 18 24 30 30
p 0,3 0,1 0,3 0,2 0,1 0
Завдання 7.Розподіл дискретної випадкової величини $Х$ задан наступною таблицею (рядом розподілу):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Визначити недостатнє значення у таблиці розподілу. Обчислити основні числові характеристики розподілу $M_x, D_x, \sigma_x$. Знайти та побудувати функцію розподілу $F(x)$. Визначити ймовірність того, що випадкова величина $Х$ прийме значення:
А) більше ніж 6,
Б) менше ніж 12,
В) не більше ніж 9.
Завдання 8.У задачі потрібно знайти: а) математичне очікування; б) дисперсію; в) середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X за заданим законом її розподілу, заданим таблично (у першому рядку таблиці вказані можливі значення, у другому рядку – ймовірність можливих значень).
Завдання 9.Встановлено закон розподілу дискретної випадкової величини $X$ (у першому рядку вказані можливі значення $x_i$, у другому рядку – ймовірності можливих значень $p_i$).
Знайти:
А) математичне очікування $M(X)$, дисперсію $D(X)$ та середнє квадратичне відхилення $\sigma(X)$;
Б) скласти функцію розподілу випадкової величини $F(x)$ та побудувати її графік;
В) обчислити ймовірності потрапляння випадкової величини $X$ в інтервал $x_2 \lt X \lt x_4$, користуючись складеною функцією розподілу $F(x)$;
Г) скласти закон розподілу величини $ Y = 100-2X $;
Д) обчислити математичне очікування та дисперсію складеної випадкової величини $Y$ двома способами, тобто. користуючись
властивістю математичного очікування та дисперсії, а також безпосередньо за законом розподілу випадкової величини $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Завдання 10.Дискретна випадкова величина задана в таблиці. Обчислити її початкові та центральні моменти до 4 порядку включно. Знайти ймовірності подій $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
