Рішення.
Імовірність того, що не випало жодного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Імовірність того, що випало три герби: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон розподілу випадкової величини X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіантинастання цієї події наступні:
- Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Перший стрілець промахнувся, другий стрілок потрапив у мішень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Перший і другий стрілки незалежно один від одного потрапили в ціль: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту(X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величинащо приймає лише кінцеве або нескінченне (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
Властивості функції F(x)
3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найбільше важливі особливостізакону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмірвідхилення випадкової величини від середнього значення.
Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини. :
- Основні числові характеристики дискретної випадкової величини
Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини.
M(X)=Σ x i p i - Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2 або D(X) = M(X 2)− 2
. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування. - Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ (Середнє квадратичне відхилення) стандартне відхилення.
σ(X)=√D(X)
Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»
Завдання 1.
Рішення. Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.
За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.
Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:
Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Завдання 3.
Рішення. 1. Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.: х 1 =0 (жоден із елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи) і х 4 =3 (відмовили три елементи).
Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі
. Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:
По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.
3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х
Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.
 |
Графік функції F(x)
4.
Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Дискретними випадковимивеличинами називаються випадкові величини, які приймають лише віддалені друг від друга значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
,
визначальну для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше цього x.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
,
де – значення дискретної випадкової величини; - Імовірності прийняття випадковою величиною X значень.
Якщо випадкова величина приймає лічильну множину можливих значень, то: 
.
Математичне очікування числа настань події у n незалежних випробуваннях:
,
Дисперсія та середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини: 
або 
.
Дисперсія числа настань події у n незалежних випробуваннях 
,
де p – ймовірність настання події.
Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини: 
.
Приклад 1
Складіть закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (д.с.в.) X – числа k випадень хоча б однієї «шістки» у n = 8 киданнях пари гральних кубиків. Побудуйте багатокутник розподілу. Знайдіть числові характеристики розподілу (моду розподілу, математичне очікування M(X), дисперсію D(X), середнє відхилення квадратне s(X)). Рішення:Введемо позначення: подія A – «при киданні пари гральних кубиків шістка з'явилася хоча б один раз». Для знаходження ймовірності P(A) = p події A зручніше спочатку знайти ймовірність P(Ā) = q протилежної події - «при киданні пари гральних кубиків шістка не з'явилася жодного разу».
Оскільки ймовірність непояви «шістки» при киданні одного кубика дорівнює 5/6, то теорема множення ймовірностей
P(?) = q = = .
Відповідно,
P(A) = p = 1 – P(A) = .
Випробування завдання проходять за схемою Бернуллі, тому д.с.в. величина X- Число kвипадень хоча б однієї шістки при киданні двох кубиків підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей: 
де = - Число поєднань з nпо k.
Проведені для цього завдання розрахунки зручно оформити у вигляді таблиці:
Розподіл імовірностей д.с. X º k (n = 8; p = ; q = )
| k | ||||||||||
Pn(k) |
Полігон (багатокутник) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Xпредставлений на рис.
Мал. Полігон розподілу ймовірностей д.р. X=k.
Вертикальною лінією показано математичне очікування розподілу M(X).
Знайдемо числові показники розподілу ймовірностей д.с.в. X. Мода розподілу дорівнює 2 (тут P 8 (2) = 0,2932 максимально). Математичне очікування за визначенням дорівнює:
M(X) = = 2,4444,
де xk = k- Значення, що приймається д.с.в. X. Дисперсію D(X) розподілу знайдемо за формулою:
D(X) = 
= 4,8097.
Середнє квадратичне відхилення (СКО):
s( X) = = 2,1931.
Приклад2
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу
Рішення.Якщо , то (третя властивість).
Якщо то . Справді, Xможе прийняти значення 1 із ймовірністю 0,3.
Якщо то . Справді, якщо задовольняє нерівність
, то дорівнює ймовірності події , яка може бути здійснена, коли Xнабере значення 1 (імовірність цієї події дорівнює 0,3) або значення 4 (імовірність цієї події дорівнює 0,1). Оскільки ці дві події несумісні, то теорема складання ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей 0,3 + 0,1 = 0,4. Якщо то . Справді, подія достовірно, отже, її ймовірність дорівнює одиниці. Отже, функція розподілу може бути аналітично записана так: 
Графік цієї функції:
Знайдемо ймовірності, що відповідають цим значенням. За умови, ймовірності виходу з ладу приладів рівні: тоді ймовірність того, що прилади будуть робітниками протягом гарантійного терміну рівні: 
Закон розподілу має вигляд:
Установа освіти «Білоруська державна
сільськогосподарська академія»
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки
з вивчення теми «Випадкові величини» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НДСПО)
Гірки, 2013
Випадкові величини
Дискретні та безперервні випадкові величини
Одним із основних понять у теорії ймовірностей є поняття випадкової величини . Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування з безлічі можливих своїх значень набуває лише одного, причому заздалегідь невідомо, яке саме.
Випадкові величини бувають дискретними та безперервними . Дискретною випадковою величиною (ДСВ) називається випадкова величина, яка може набувати кінцевого числа ізольованих один про одного значень, тобто. якщо можливі значення цієї величини можна перерахувати. Безперервною випадковою величиною (НСВ) називається випадкова величина, всі можливі значення якої часто заповнюють деякий проміжок числової прямої.
Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z тощо. Можливі значення випадкових величин позначаються відповідними літерами.
Запис 
означає «імовірність того, що випадкова величина Хприйме значення, що дорівнює 5, дорівнює 0.28».
Приклад 1 . ХОдного разу кидають гральний кубик. При цьому можуть випасти цифри від 1 до 6, що позначають кількість очок. Позначимо випадкову величину Х= (кількість очок, що випали). Ця випадкова величина в результаті випробування може прийняти лише одне із шести значень: 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Отже, випадкова величина
є ДСВ. Приклад 2 X. При киданні каменю він пролітає певну відстань. Позначимо випадкову величину Х= (Відстань польоту каменю). Ця випадкова величина може прийняти будь-яке, але тільки одне значення з деякого проміжку. Отже, випадкова величина
Закон розподілу дискретної випадкової величини
Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона може набувати, і ймовірностями, з якими ці значення набувають. Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та відповідними їм ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини .
Якщо відомі всі можливі значення 
випадкової величини Хта ймовірності 
появи цих значень, то вважають, що закон розподілу ДСВ Хвідомий і він може бути записаний у вигляді таблиці:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Закон розподілу ДСВ можна зобразити графічно, якщо у прямокутній системі координат зобразити точки 
,
,
…,
та з'єднати їх відрізками прямих ліній. Отримана постать називається багатокутником розподілу.
Приклад 3 . У зерні, призначеному для очищення, міститься 10% бур'янів. Навмання відібрано 4 зерна. Позначимо випадкову величину X=(кількість бур'янів серед чотирьох відібраних). Побудувати закон розподілу ДСВ Хта багатокутник розподілу.
Рішення . За умовою прикладу. Тоді:
Запишемо закон розподілу ДСВ Х у вигляді таблиці та побудуємо багатокутник розподілу:
|
|
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Найважливіші властивості дискретної випадкової величини описуються її характеристиками. Однією з таких характеристик є математичне очікування довільної величини.
Нехай відомий закон розподілу ДСВ Х:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математичним очікуванням
ДСВ Хназивається сума творів кожного значення цієї величини на відповідну ймовірність: 
.
Математичне очікування випадкової величини приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень. Тому в практичних завданнях часто за математичне очікування набувають середнього значення цієї випадкової величини.
приклад 8 . Стрілець вибиває 4, 8, 9 та 10 очок з ймовірностями 0.1, 0.45, 0.3 та 0.15. Знайти математичне очікування числа очок за одного пострілу.
Рішення . Позначимо випадкову величину X= (кількість вибитих очок). Тоді. Таким чином, очікуване середнє значення числа вибитих очок при одному пострілі дорівнює 8.2, а при 10 пострілах - 82.
Основними властивостями математичного очікування є:
.
.
, де 
,
.
.
, де Хі Y- Незалежні випадкові величини.
Різниця 
називається відхиленням
випадкової величини Хвід її математичного очікування. Ця різниця є випадковою величиною та її математичне очікування дорівнює нулю, тобто. 
.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Для характеристики випадкової величини, крім математичного очікування, використовується і дисперсія , що дозволяє оцінити розсіювання (розкид) значень випадкової величини в її математичного очікування. При порівнянні двох однорідних випадкових величин із рівними математичними очікуваннями «кращою» вважається та величина, що має менший розкид, тобто. меншу дисперсію.
Дисперсією випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .
У практичних завданнях для обчислення дисперсії використовують рівносильну формулу.
Основними властивостями дисперсії є:
.
Можна виділити закони розподілу дискретних випадкових величин, що найчастіше зустрічаються:
- Біноміальний закон розподілу
- Пуасонівський закон розподілу
- Геометричний закон розподілу
- Гіпергеометричний закон розподілу
Для даних розподілів дискретних випадкових величин розрахунок ймовірностей їх значень, а також числових характеристик (математичне очікування, дисперсія тощо) здійснюється за певними формулами. Тому дуже важливо знати ці типи розподілів та їх основні властивості.
1. Біноміальний закон розподілу.
Дискретна випадкова величина $X$ підпорядкована біноміальному закону розподілу ймовірностей, якщо вона набуває значення $0,\ 1,\ 2,\ dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Фактично, випадкова величина $X$ - це кількість появи події $A$ у $n$ незалежних випробувань. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Для такої випадкової величини математичне очікування $ M \ left (X \ right) = np $, дисперсія $ D \ left (X \ right) = np \ left (1-p \ right) $.
приклад . У сім'ї двоє дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчинки рівними $0,5$, знайти закон розподілу випадкової величини $xi $ - числа хлопчиків у сім'ї.
Нехай випадкова величина $ xi $ - число хлопчиків у сім'ї. Значення, які може приймати $ xi: 0, 1, 2 $. Імовірності цих значень можна знайти за формулою $P\left(\xi =k\right) = C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$, де $n =2$ - кількість незалежних випробувань, $p=0,5$ - ймовірність появи події у серії з $n$ випробувань. Отримуємо:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5) ^ 2 = 0,25;
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5 = 0,5;
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5) ^ 2 = 0,25.
Тоді закон розподілу випадкової величини $\xi$ є відповідністю між значеннями $0,\1,\2$ та їх ймовірностями, тобто:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Сума ймовірностей у законі розподілу має дорівнювати $1$, тобто $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 $.
Математичне очікування $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсія $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, середнє квадратичне відхилення $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 ) \ approx 0,707 $.
2. Закон розподілу Пуассона.
Якщо дискретна випадкова величина $X$ може набувати лише цілі невід'ємні значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Зауваження. Особливість цього розподілу полягає в тому, що ми на підставі досвідчених даних знаходимо оцінки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, якщо отримані оцінки близькі між собою, то у нас є підстави стверджувати, що випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона.
приклад . Прикладами випадкових величин, підпорядкованих закону розподілу Пуассона, може бути: кількість автомашин, які будуть обслужені завтра автозаправною станцією; число бракованих виробів у виробленій продукції.
приклад . Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$, що дорівнює кількості пошкоджених виробів; чому дорівнює $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $.
Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість пошкоджених виробів. Така випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона з параметром $ lambda = np = 500 cdot 0,002 = 1 $. Імовірності значень дорівнюють $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Закон розподілу випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Для такої випадкової величини математичне очікування і дисперсія рівним між собою і рівні параметру $ lambda $, тобто $ M left (X right) = D left (X right) = lambda = 1 $.
3. Геометричний закон розподілу.
Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки натуральні значення $1,\2,\dots,\n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\right)) ^ (k-1), k = 1, 2, 3, dots $, то кажуть, що така випадкова величина $ X $ підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Фактично, геометричне розподілу є випробування Бернуллі до першого успіху.
приклад . Прикладами випадкових величин, що мають геометричний розподіл, можуть бути: число пострілів до першого влучення в ціль; кількість випробувань приладу до першої відмови; число кидань монети до першого випадання орла тощо.
Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, підпорядкованої геометричному розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^ 2 $.
приклад . На шляху руху риби до місця нересту знаходиться $4$ шлюзу. Можливість проходу риби через кожен шлюз $p=3/5$. Побудувати низку розподілу випадкової величини $X$ - число шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Знайти $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right), \ \ sigma \ left (X \ right) $.
Нехай випадкова величина $X$ - кількість шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Така випадкова величина підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Значення, які може набувати випадкова величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Імовірності цих значень обчислюються за формулою: $P\left(X=k\right)=pq^(k-1)$, де: $ p=2/5$ - можливість затримання риби через шлюз, $q=1-p=3/5$ - можливість проходу риби через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over (5)) = 0,4;
$ P \ left (X = 2 \ right) = ((2) \ over (5)) \ cdot ((3) \ over (5)) = ((6) \ over (25)) = 0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5)) \ cdot ((9) \ over (25)) = ((18) \ over (125)) = 0,144;
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3) \ over (5)) \ right)) ^ 4 = ((27) \ over (125)) = 0,216.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Математичне очікування:
$M\left(Xright)=sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1cdot 0,4+2cdot 0,24+3cdot 0,144+4cdot 0,216=2,176.$
Дисперсія:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$ + \ 0,216 \ cdot ( \ left (4-2,176 \ right)) ^ 2 \ approx 1,377. $
Середнє квадратичне відхилення:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
4. Гіпергеометричний закон розподілу.
Якщо $N$ об'єктів, серед яких $m$ об'єктів мають задану властивість. Випадковим чином без повернення витягують $n$ об'єктів, серед яких виявилося $k$ об'єктів, що мають задану властивість. Гіпергеометричний розподіл дає можливість оцінити ймовірність того, що рівно $k$ об'єктів у вибірці мають задану властивість. Нехай випадкова величина $X$ - кількість об'єктів у вибірці, що мають задану властивість. Тоді ймовірність значень випадкової величини $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Зауваження. Статистична функція Гіпергеомет майстра функцій $f_x$ пакета Excel дає можливість визначити ймовірність того, що певна кількість випробувань буде успішною.
$f_x\to $ статистичні$\to $ ГІПЕРГЕОМЕТ$\to $ ОК. Відобразиться діалогове вікно, яке потрібно заповнити. В графі Число_успіхів_у_вибірцівказуємо значення $k$. Розмір_вибіркидорівнює $n$. В графі Число_успіхів_в_сукупностівказуємо значення $m$. Розмір_сукупностідорівнює $N$.
Математичне очікування і дисперсія дискретної випадкової величини $X$, підпорядкованої геометричному закону розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left(1) -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
приклад . У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити трьох фахівців Для підвищення кваліфікації, відбираючи їх у випадковому порядку.
а) Складіть ряд розподілу числа фахівців із вищою фінансовою освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу.
Нехай випадкова величина $X$ - кількість фахівців із вищою фінансовою освітою серед трьох відібраних. Значення, які може набувати $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Дана випадкова величина $X$ розподілена за гіпергеометричним розподілом з параметрами: $N=8$ - розмір сукупності, $m=5$ - кількість успіхів у сукупності, $n=3$ - розмір вибірки, $k=0,\ 1, \ 2, \ 3 $ - кількість успіхів у вибірці. Тоді ймовірності $P\left(X=k\right)$ можна розрахувати за формулою: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \over C_( N) ^ (n)) $. Маємо:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0,179.$
Тоді ряд розподілу випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Розрахуємо числові характеристики випадкової величини $X$ за загальними формулами гіпер геометричного розподілу.
$M\left(Xright)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\approx 0,7085.$
