Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження нетривіального та фундаментального рішення СЛАУ. Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад рішення).
Інструкція. Виберіть розмірність матриці:
Властивості систем лінійних однорідних рівнянь
Для того, щоб система мала нетривіальні рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг її матриці був меншим за кількість невідомих.Теорема. Система у разі m=n має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.
Теорема. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи є рішенням цієї системи.
Визначення. Сукупність розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішеньякщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень.
Теорема. Якщо ранг r матриці системи менше числа n невідомих, існує фундаментальна система рішень, що складається з (n-r) рішень.
Алгоритм розв'язання систем лінійних однорідних рівнянь
- Знаходимо ранг матриці.
- Виділяємо базовий мінор. Виділяємо залежні (базисні) та вільні невідомі.
- Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких увійшли до складу базисного мінору, оскільки є наслідками інших (по теоремі про базисному мінору).
- Члени рівнянь, які містять вільні невідомі, перенесемо до праву частину. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
- Вирішуємо отриману систему шляхом виключення невідомих. Знаходимо співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.
- Якщо ранг матриці не дорівнює кількості змінних, знаходимо фундаментальне рішення системи.
- Що стосується rang = n маємо тривіальне рішення.
Приклад. Знайти базис системи векторів (а 1, а 2, ..., а m), ранг і виразити вектори по базі. Якщо а 1 = (0,0,1, -1), а 2 = (1,1,2,0), а 3 = (1,1,1,1), а 4 = (3,2,1) ,4), а 5 = (2,1,0,3).
Випишемо основну матрицю системи:
Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 4-й рядок до 3-го:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Помножимо 4-й рядок на (-2). Помножимо 5-й рядок на (3). Додамо 5-ий рядок до 4-го:
Додамо 2-й рядок до 1-го:
Знайдемо ранг матриці.
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 x 3 через вільні x 4 тобто знайшли загальне рішення:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Метод Гауса має ряд недоліків: не можна дізнатися, спільна система чи ні, доки не будуть проведені всі перетворення, необхідні в методі Гауса; метод Гауса не придатний для систем із літерними коефіцієнтами.
Розглянемо інші методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Ці методи використовують поняття рангу матриці і зводять рішення будь-якої спільної системи до вирішення системи, до якої застосовується правило Крамера.
приклад 1.Знайти спільне рішення наступної системилінійних рівнянь за допомогою фундаментальної системи рішень наведеної однорідної системи та приватного розв'язання неоднорідної системи.
1. Складаємо матрицю Aта розширену матрицю системи (1)
2. Досліджуємо систему (1) на спільність. Для цього знаходимо ранги матриць Aі https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) несумісна. Якщо ж отримаємо, що , то ця система спільна і ми її вирішуватимемо. (Дослідження на спільність засноване на теоремі Кронекера-Капеллі).
a. Знаходимо rA.
Щоб знайти rA, будемо розглядати послідовно відмінні від нуля мінори першого, другого і т. д. порядків матриці Aі мінори, що їх облямують.
М1=1≠0 (1 беремо з лівого верхнього кута матриці А).
Облямовуємо М1другим рядком і другим стовпцем цієї матриці. 
. Продовжуємо облямовувати М1другим рядком і третім стовпцем..gif" width="37" height="20 src=">. М2′другого порядку.
Маємо: 
(т. до. два перші стовпці однакові)
(Тобто другий і третій рядки пропорційні).
Ми бачимо, що rA=2, а - базовий мінор матриці A.
b. Знаходимо.
Достатньо базисний мінор М2′матриці Aобрамити стовпцем вільних членів і всіма рядками (у нас тільки останнім рядком).
. Звідси випливає, що й М3′′залишається базовим мінором матриці width="168" (2)
Так як М2′- базисний мінор матриці Aсистеми (2) , то ця система еквівалентна системі (3) , що складається з перших двох рівнянь системи (2) (бо М2′знаходиться у перших двох рядках матриці A).
(3)
Так як базисний мінор width="153" (4)
У цій системі два вільні невідомі ( x2 і x4 ). Тому ФСР системи (4) складається із двох рішень. Щоб їх знайти, надамо вільним невідомим у (4) спочатку значення x2=1 , x4=0 , а потім - x2=0 , x4=1 .
При x2=1 , x4=0 отримаємо:
.
Ця система вже має єдине рішення (його можна знайти за правилом Крамера або будь-яким іншим способом). Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо:
Її рішенням буде x1= -1 , x3=0 . Враховуючи значення x2 і x4 , які ми додали, отримуємо перше фундаментальне рішення системи (2) : .
Тепер гадаємо у (4) x2=0 , x4=1 . Отримаємо:
.
Вирішуємо цю систему за теоремою Крамера:
.
Отримуємо друге фундаментальне рішення системи (2) : .
Рішення β1 , β2 і становлять ФСР системи (2) . Тоді її спільним рішенням буде
γ= З 1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Тут З 1 , С2 - Довільні постійні.
4. Знайдемо одне приватне Рішення неоднорідної системи(1) . Як і у пункті 3 замість системи (1) розглянемо еквівалентну їй систему (5) , що складається з перших двох рівнянь системи (1) .
(5)
Перенесемо у праві частини вільні невідомі x2і x4.
(6)
Надамо вільним невідомим x2 і x4 довільні значення, наприклад, x2=2 , x4=1 і підставимо їх у (6) . Отримаємо систему
Ця система має єдине рішення (бо її визначник М2′0). Вирішуючи її (за теоремою Крамера або методом Гауса), отримаємо x1=3 , x3=3 . Враховуючи значення вільних невідомих x2 і x4 , отримаємо приватне вирішення неоднорідної системи(1)α1=(3,2,3,1).
5. Тепер залишилось записати загальне рішення α неоднорідної системи(1) : воно дорівнює сумі приватного рішенняцієї системи та загального вирішення її наведеної однорідної системи (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Це означає: 
(7)
6. Перевірка.Щоб перевірити, чи правильно ви вирішили систему (1) , Треба загальне рішення (7) підставити в (1) . Якщо кожне рівняння обернеться в тотожність ( З 1 і С2 повинні знищитися), то рішення знайдено правильно.
Ми підставимо (7) для прикладу лише останнє рівняння системи (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Отримаємо: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Звідки –1=–1. Здобули тотожність. Так чинимо з усіма іншими рівняннями системи (1) .
Зауваження.Перевірка зазвичай досить громіздка. Можна рекомендувати таку «часткову перевірку»: у загальному вирішенні системи (1) довільним постійним надати деякі значення і підставити отримане приватне рішення тільки у відкинуті рівняння (тобто ті рівняння з (1) , які не увійшли до (5) ). Якщо отримаєте тотожності, то, швидше за все, вирішення системи (1) знайдено правильно (але повної гарантії правильності така перевірка не дає!). Наприклад, якщо в (7) покласти С2=- 1 , С1 = 1, Отримаємо: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Підставляючи останнє рівняння системи (1), маємо: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , Т. е. -1 = -1. Здобули тотожність.
приклад 2.Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь (1) висловивши основні невідомі через вільні.
Рішення.як і в приклад 1, складаємо матриці Aі цих матриць. Залишаємо тепер тільки ті рівняння системи (1) , Коефіцієнти з яких входять в цей базисний мінор (тобто у нас - перші два рівняння) і розглядаємо систему, що складається з них, еквівалентну системі (1).
Перенесемо у праві частини цих рівнянь вільні невідомі.
Систему (9) вирішуємо шляхом Гаусса, вважаючи праві частини вільними членами.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Варіант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Варіант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Варіант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Варіант 6
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Однорідна система лінійних рівнянь над полем
ВИЗНАЧЕННЯ. Фундаментальною системою розв'язків системи рівнянь (1) називається непуста лінійно незалежна система її розв'язків, лінійна оболонка якої збігається з безліччю всіх розв'язків системи (1).
Зазначимо, що однорідна система лінійних рівнянь, має лише нульове рішення, немає фундаментальної системи рішень.
ПРОПОЗИЦІЯ 3.11. Будь-які дві фундаментальні системи розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь складаються з однакового числа розв'язків.
Доведення. Насправді, будь-які дві фундаментальні системи розв'язків однорідної системи рівнянь (1) еквівалентні та лінійно незалежні. Тому з пропозиції 1.12 їх ранги рівні. Отже, число рішень, що входять до однієї фундаментальної системи, дорівнює числу рішень, що входять до будь-якої іншої фундаментальної системи рішень.
Якщо основна матриця А однорідної системи рівнянь (1) нульова, то будь-який вектор є рішенням системи (1); у цьому випадку будь-яка сукупність лінійно незалежних векторівє фундаментальною системою рішень. Якщо стовпцевий ранг матриці А дорівнює , то система (1) має тільки одне рішення - нульове; отже, у цьому випадку система рівнянь (1) не має фундаментальної системи рішень.
ТЕОРЕМА 3.12. Якщо ранг основної матриці однорідної системи лінійних рівнянь (1) менше кількості змінних , то система (1) має фундаментальну систему рішень, що складається з рішень.
Доведення. Якщо ранг основної матриці А однорідної системи (1) дорівнює нулю або, вище було показано, що теорема вірна. Тому нижче передбачається, що вважаючи , вважатимемо, що перші стовпчиків матриці А лінійно незалежні. У цьому випадку матриця А строчечно еквівалентна наведеній ступінчастій матриці, а система (1) рівносильна наступній наведеній ступінчастій системі рівнянь:
Легко перевірити, що будь-яку систему значень вільних змінних системи(2) відповідає одне і лише одне рішення системи (2) і, отже, системи (1). Зокрема, системі нульових значень відповідає лише нульове рішення системи (2) та системи (1).
Будемо в системі (2) надавати одному з вільних змінних значення, рівне 1, а іншим змінним - нульові значення. В результаті отримаємо розв'язків системи рівнянь (2), які запишемо у вигляді рядків наступної матриці С:
Система рядків цієї матриці є лінійно незалежною. Насправді, для будь-яких скалярів із рівності
слідує рівність
і, отже, рівності
Доведемо, що лінійна оболонка системи рядків матриці збігається з безліччю всіх рішень системи (1).
Довільне вирішення системи (1). Тоді вектор
також є рішенням системи (1), причому
Нехай М 0 – безліч розв'язків однорідної системи (4) лінійних рівнянь.
Визначення 6.12.Вектори з 1 ,з 2 , …, з p, що є рішеннями однорідної системи лінійних рівнянь, називаються фундаментальним набором рішень(скорочено ФНР), якщо
1) вектори з 1 ,з 2 , …, з pлінійно незалежні (тобто жоден з них не можна виразити через інші);
2) будь-яке інше рішення однорідної системи лінійних рівнянь можна виразити через рішення з 1 ,з 2 , …, з p.
Зауважимо, що якщо з 1 ,з 2 , …, з p- будь-який ф.н.р., то виразом k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + … + k p× з pможна описати все безліч М 0 рішень системи (4), тому його називають загальним видом вирішення системи (4).
Теорема 6.6.Будь-яка невизначена однорідна система лінійних рівнянь має фундаментальний набір рішень.
Спосіб знаходження фундаментального набору рішень полягає в наступному:
Знайти загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь;
Побудувати ( n – r) приватних рішень цієї системи, при цьому значення вільних невідомих повинні утворювати одиничну матрицю;
Виписати загальний виглядрішення, що входить до М 0 .
Приклад 6.5.Знайти фундаментальний набір рішень наступної системи:
Рішення. Знайдемо загальне рішення цієї системи.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
У цій системі п'ять невідомих ( n= 5), їх головних невідомих два ( r= 2), вільних невідомих три ( n – r), тобто у фундаментальному наборі рішень міститься три вектори рішення. Побудуємо їх. Маємо x 1 та x 3 – головні невідомі, x 2 , x 4 , x 5 – вільні невідомі
Значення вільних невідомих x 2 , x 4 , x 5 утворюють одиничну матрицю Eтретього порядку. Отримали, що вектори з 1 ,з 2 , з 3 утворюють ф.н.р. даної системи. Тоді безліч рішень цієї однорідної системи буде М 0 = {k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + k 3 × з 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).
З'ясуємо тепер умови існування ненульових рішень однорідної системи лінійних рівнянь, тобто умови існування фундаментального набору рішень.
Однорідна система лінійних рівнянь має ненульові рішення, тобто є невизначеною, якщо
1) ранг основної матриці системи менший за кількість невідомих;
2) в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь менше від числа невідомих;
3) якщо в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь дорівнює числу невідомих і визначник основної матриці дорівнює нулю (тобто | A| = 0).
Приклад 6.6. При якому значенні параметра aоднорідна система лінійних рівнянь 
має ненульові рішення?
Рішення. Складемо основну матрицю цієї системи та знайдемо її визначник: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Визначник цієї матриці дорівнює нулю при a = –4.
Відповідь: –4.
7. Арифметичне n-мірний векторний простір
Основні поняття
У попередніх розділах вже зустрічалося поняття про набір із дійсних чисел, розташованих у певному порядку. Це матриця-рядок (або матриця-стовпець) і рішення системи лінійних рівнянь з nневідомими. Ці відомості можна узагальнити.
Визначення 7.1. n-мірним арифметичним векторомназивається впорядкований набір з nдійсних чисел.
Значить а= (a 1 , a 2 , …, a n), де a iÎ R, i = 1, 2, …, n- Загальний вигляд вектора. Число nназивається розмірністювектора, а числа a iназиваються його координатами.
Наприклад: а= (1, -8, 7, 4, ) - П'ятимірний вектор.
Все безліч n-мірних векторів прийнято позначати як R n.
Визначення 7.2.Два вектори а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) однакової розмірності рівнітоді й лише тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Визначення 7.3.Сумоюдвох n-мірних векторів а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) називається вектор a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+ b n).
Визначення 7.4. Творомдійсного числа kна вектор а= (a 1 , a 2 , …, a n) називається вектор k× а = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)
Визначення 7.5.Вектор про= (0, 0, …, 0) називається нульовим(або нуль-вектором).
Легко перевірити, що дії (операції) складання векторів і множення їх на дійсне число мають такі властивості: " a, b, c Î R n, " k, lÎ R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + про = a;
4) a+ (–a) = про;
5) 1× a = a, 1 R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Визначення 7.6.Безліч R nіз заданими на ньому операціями складання векторів та множення їх на дійсне число називається арифметичним n-вимірним векторним простором.
