Розв'язати рівняння бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллі - це рівняння виду

де n≠0,n≠1.

Це рівняння може бути перетворено за допомогою підстановки

в лінійне рівняння

На практиці диференціальне рівнянняБернуллі зазвичай не приводять до лінійного, а відразу вирішують тими ж методами, що і лінійне рівняння - або методом Бернуллі, або методом варіації постійної довільної.

Розглянемо, як розв'язати диференціальне рівняння Бернуллі з допомогою заміни y=uv (метод Бернуллі). Схема рішення - як і при .

приклади. Розв'язати рівняння:

1) y'x+y=-xy².

Це диференціальне рівняння Бернуллі. Наведемо його до стандартного вигляду. Для цього розділимо обидві частини на x: y'+y/x=-y². Тут p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Але для вирішення нам не потрібний стандартний вигляд. Працюватимемо з тією формою запису, яка дана в умові.

1) Заміна y=uv, де u=u(x) та v=v(x) — деякі нові функції від x. Тоді y'=(uv)'=u'v+v'u. Підставляємо отримані вирази за умови: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².

2) Розкриємо дужки: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². Тепер згрупуємо доданки з v: v+v'ux=-xu²v² (I) (доданок зі ступенем v, що стоїть у правій частині рівняння, не чіпаємо). Тепер вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю: u'x+u=0. А це — рівняння з змінними u і x, що розділяються. Вирішивши його, ми знайдемо u. Підставляємо u=du/dx та поділяємо змінні: x·du/dx=-u. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на xu≠0:

(При знаходженні u З беремо рівним нулю).

3) У рівняння (I) підставляємо =0 та знайдену функцію u=1/x. Маємо рівняння: v'·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Після спрощення: v′=-(1/x)·v². Це рівняння з змінними v і x, що розділяються. Замінюємо v'=dv/dx та поділяємо змінні: dv/dx=-(1/x)·v². Помножуємо обидві частини рівняння на dx та ділимо на v²≠0:

(взяли -З, щоб, помноживши обидві частини на -1, позбутися мінусу). Отже, множимо на (-1):

(можна було б взяти не С, а ln│C│ і в цьому випадку було б v=1/ln│Cx│).

2) 2y'+2y=xy².

Переконаємося, що це — рівняння Бернуллі. Поділивши на 2 обидві частини, одержуємо y'+y=(x/2) y². Тут p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Вирішуємо рівняння методом Бернуллі.

1) Заміна y=uv, y'=u'v+v'u. Підставляємо ці вирази в початкову умову: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) Розкриваємо дужки: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². Тепер згрупуємо доданки, що містять v: +2v'u=xu²v² (II). Вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю: 2u'+2u=0, звідси u'+u=0. Це — рівняння з змінними, що розділяються щодо u і x. Вирішимо його і знайдемо u. Підставляємо u'=du/dx, звідки du/dx=-u. Помноживши обидві частини рівняння на dx і поділивши на u≠0 одержуємо: du/u=-dx. Інтегруємо:

3) Підставляємо в (II) = 0 і

Тепер підставляємо v'=dv/dx та поділяємо змінні:

Інтегруємо:

Ліва частина рівності — табличний інтеграл, інтеграл у правій частині знаходимо за формулою інтегрування частинами:

Підставляємо знайдені v і du за формулою інтегрування частинами маємо:

А оскільки

Зробимо С=-С:

4) Оскільки y=uv, підставляємо знайдені функції u та v:

3) Проінтегрувати рівняння x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0.

Розділимо на x²(x-1)≠0 обидві частини рівняння та доданок з y² перенесемо у праву частину:

Це – рівняння Бернуллі,

1) Заміна y=uv, y'=u'v+v'u. Як завжди, ці вирази підставляємо в початкову умову: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Звідси x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². Групуємо складові, що містять v (v² - не чіпаємо):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). Тепер вимагаємо рівності нулю виразу в дужках: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, звідси x²(x-1)u'=x(x-2)u. У рівнянні поділяємо змінні u та x, u'=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обидві частини рівняння множимо на dx і ділимо на x²(x-1)u≠0:

У лівій частині рівняння – табличний інтеграл. Раціональний дрібу правій частині треба розкласти на найпростіші дроби:

При x=1: 1-2=A·0+B·1, звідки B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, звідки A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. За властивостями логарифмів: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, звідки u=x²/(x-1).

3) У рівність (III) підставляємо =0 та u=x²/(x-1). Отримуємо: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v’=dv/dx, підставляємо:

замість З візьмемо - З, щоб, помноживши обидві частини на (-1), позбутися мінусів:

Тепер наведемо вирази у правій частині до спільного знаменника і знайдемо v:

4) Оскільки y=uv, підставляючи знайдені функції u та v, отримуємо:

Приклади для самоперевірки:

1) Переконаємося, що це – рівняння Бернуллі. Поділивши на обидві частини, маємо:

1) Заміна y=uv, звідки y'=u'v+v'u. Ці y та y' підставляємо в початкову умову:

2) Групуємо складові з v:

Тепер вимагаємо, щоб вираз у дужках дорівнював нулю і знаходимо з цієї умови u:

Інтегруємо обидві частини рівняння:

3) В рівняння (*) підставляємо =0 та u=1/x²:

Інтегруємо обидві частини рівняння, що вийшло.

Рівняння виду y' + Р(х)у = Q(x), де Р(х) і Q(x) – відомі функції від х, лінійні щодо функції у та її похідної y', називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Якщо q(x)=0, рівняння називається лінійним однорідним рівнянням. q(x)=0 – лінійне неоднорідне рівняння.

Лінійне рівняння наводиться до двох рівнянь з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки у = u*v, де u = u(х) і v = v(x) – деякі допоміжні безперервні функції.

Отже, у = u*v, у' = u'*v + u * v' (1),

тоді вихідне рівняння перепишемо у вигляді: u * v + u * v + Р (х) * v = Q (x) (2).

Так як невідома функція шукається у вигляді добутку двох функцій, то одна з них може бути обрана довільно, інша - визначатися рівнянням (2).

Виберемо так, щоб v' + Р(х) * v = 0(3). Для цього достатньо, щоб v(x) була приватним рішенням рівняння (3) (при = 0). Знайдемо це рішення:

V * P (x); = -; ln | v | = -; v = (4)

Підставляючи функцію (4) в рівняння (2), отримаємо друге рівняння з змінними, що розділяються, з якого знаходимо функцію u(x):

u' * = Q(x); du = Q(x) *; u = + C (5)

Остаточно отримуємо:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Рівняння Бернуллі:y’ + y = x* y 3

Це рівняння має вигляд: y' + Р(х)*у = y'' * Q(x), де Р(х) і Q(x) – безперервні функції.

Якщо n = 0, то рівняння Бернуллі стає лінійним дифф.рівнянням. Якщо n = 1, рівняння перетворюється на рівняння з змінними, що розділяються.

У випадку, коли n ≠ 0, 1, ур. Бернуллі зводиться до лінійного дифф.равнению з допомогою підстановки: z = y 1- n

Нове дифф.равнение для ф-ции z(x) має вигляд: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) і може бути вирішене тими ж способами, що і лінійні дифф. .Рівняння 1-го порядку.

20. Диференціальні рівняння вищих систем.

Розглянемо рівняння, що не містять функції у явному вигляді:

Порядок цього рівняння знижується на одиницю за допомогою підстановки:

Справді, тоді:

І ми отримали рівняння, в якому порядок знижено на одиницю:

Діфф. рівняння порядку вище другого мають вигляд і , де - дійсні числа, а функція f(x)безперервна на інтервалі інтегрування X.

Аналітично вирішити такі рівняння які завжди можливо і зазвичай використовують наближені методи. Однак у деяких випадках можна знайти загальне рішення.

Теорема.

Загальним рішенням y 0 лінійного однорідного диференціального рівняння на інтервалі Xз безперервними коефіцієнтами на Xє лінійна комбінація nлінійно незалежних приватних рішень ЛОДУ з довільними постійними коефіцієнтами , тобто .

Теорема.

Загальне рішення yлінійного неоднорідного диференціального

рівняння на інтервалі Xз безперервними на тому ж

проміжку Xкоефіцієнтами та функцією f(x)являє собою суму,

де y 0 - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - якесь приватне рішення вихідного ЛНДУ.

Таким чином, загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними

коефіцієнтами шукаємо у вигляді , де - якесь

його приватне рішення, а – загальне рішення відповідного однорідного диференціального

рівняння.

21. Випробування та події. Види подій. приклади.

Випробування – створення певного комплексу умов здійснення подій. Приклад: кидання гральної кістки

Подія - поява непоява того чи іншого результату випробування; результат випробування. Приклад: випадання 2

Випадкова подія – подія, яка може статися або не статися під час цього випробування. Приклад: випадання числа більшого ніж 5

Достовірне - подія, яка неминуче відбувається при цьому випробуванні. Приклад: випадання числа більшого або рівного 1

Можлива подія, яка може статися при даному випробуванні. Приклад: випадання 6

Неможливе – подія, яка може статися при цьому випробуванні. Приклад: випадання 7

Нехай А – певна подія. Під подією, протилежною йому, будемо розуміти подію, яка перебуває у ненастанні події А. Позначення: Ᾱ. Приклад: А – випадання числа 2, Ᾱ - випадання будь-якого іншого числа

Події А і В несумісні, якщо наступ одного з них виключає наступ іншого в тому самому випробуванні. Приклад: випадання при одному кидку чисел 1 та 3.

Події А та В називаються спільними, якщо вони можуть з'явитися в одному випробуванні. Приклад: випадання при одному кидку числа, більшого, ніж 2, та числа 4.

22. Повна група подій. приклади.

Повна група подій - події A, B, C, D, ..., L, які прийнято вважати єдино можливими, якщо в результаті кожного випробування хоча б одне з них обов'язково настане. Приклад: випадання на гральній кістці числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.

23. Частота події. Статистичне визначення імовірності.

Нехай проведено n випробувань, причому подія А настала m разів. Таке відношення m:n є частотою настання події А.

Опр. Імовірність випадкової події – пов'язане з цією подією постійне число, навколо якого коливається частота настання цієї події у довгих серіях випробувань.

Імовірність обчислюється до досвіду, а частота після нього.

24. Класичне визначення імовірності. Властивості ймовірності події.

Імовірністю події х називається відношення числа наслідків, сприятливих події А, до загального числа всіх рівноможливих попарно несумісних і єдино можливих наслідків досвіду. Р(А) =

Властивості ймовірності події:

Для будь-якої події А 0<=m<=n

Розділивши кожен член на n, отримаємо для ймовірності будь-якої події А: 0<=Р(А) <=1

Якщо m=0, то подія неможлива: Р(А)=0

Якщо m=n, подія достовірно: Р(А)=1

Якщо m

25. Геометричне визначення ймовірності. приклади.

Класичне визначення ймовірності вимагає розгляду кінцевого числа елементарних результатів, причому рівноможливих. Але на практиці часто зустрічаються випробування, кількість можливих наслідків яких нескінченна.

Опр.

Якщо точка випадковим чином з'являється одновимірною \ двовимірно \ або 3х мірної області міри S (міра - її довжина, площа або об'єм) то ймовірність її появи в частині цієї області міри S дорівнює де S – геометрична міра, що виражає загальне числовсіх можливих та рівноможливих результатів даного випробування, а S i

– міра, що виражає кількість сприятливих події A результатів.приклад 1.

Коло радіусом R вміщене менший круг радіусом р. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута у більший круг, потрапить також і в малий круг.приклад 2.

Нехай відрізок довжиною l включається у відрізок довжиною L. Знайти ймовірність події А «навдачу покинута точка потрапила на відрізок довжиною l».Приклад 3

. У колі довільно вибирається крапка. Яка ймовірність того, що її відстань до центру кола більше половини?приклад 4.

Двоє осіб і домовилися зустрітися в певному місці між двома та трьома годинами дня. Прийшовши першим чекає іншого протягом 10 хвилин, після чого йде. Чому дорівнює ймовірність зустрічі цих осіб, якщо кожен з них може прийти будь-коли протягом зазначеної години незалежно від іншої?

26. Елементи комбінаторики: Розміщення, перестановка, поєднання. 1) Перестановкою

називається встановлений у кінцевій множині порядок.

Число всіх різних перестановок обчислюється за формулою 2) Розміщенням nз елементів по m називається всяке підмножина основної множини, що містить m елементів.

3) Поєднаннямз nелементів по елементів по m невпорядковане підмножина основної множини, що містить елементів.

Диференційне рівняння y" + a 0 (x) y = b (x) y n називається рівнянням Бернуллі.
Так як при n = 0 виходить лінійне рівняння, а при n = 1 - з змінними, що розділяються, то припустимо, що n ≠ 0 і n ≠ 1. Розділимо обидві частини (1) на y n . Тоді Поклавши, маємо. Підставляючи цей вираз, отримаємо , або, що саме, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Це лінійне рівняння, яке ми вирішувати вміємо.

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор можна використовувати для перевірки рішення диференціальних рівнянь Бернуллі.

=

приклад 1 . Знайти загальне рішення рівняння y" + 2xy = 2xy 3 . Це рівняння Бернуллі при n = 3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо Робимо заміну Тоді і тому рівняння переписується у вигляді -z" + 4xz = 4x. Вирішуючи це рівняння методом варіації довільної постійної звідки або, що те саме, .

Приклад 2 . y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Розділимо на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Робимо заміну:
z=1/y n-1, тобто. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"=-y"/y 2

Отримуємо: -z" + z = -1 або z" - z = 1

Приклад 3 . xy'+2y+x 5 y 3 e x =0
Рішення.
а) Рішення через рівняння Бернуллі.
Подаємо у вигляді: xy'+2y=-x 5 y 3 e x . Це рівняння Бернуллі при n=3. Розділивши обидві частини рівняння на y 3 отримуємо: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Робимо заміну: z=1/y 2 . Тоді z"=-2/y 3 і тому рівняння переписується у вигляді : -xz"/2+2z=-x 5 e x . Це неоднорідне рівняння. Розглянемо відповідне однорідне рівняння: -xz"/2+2z=0
1. Вирішуючи його, отримуємо: z"=4z/x

Інтегруючи, отримуємо:
ln(z) = 4ln(z)
z = x 4 . Шукаємо тепер рішення вихідного рівняння у вигляді: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x або C(x)" = 2e x . Інтегруючи, отримуємо: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
З умови y(x)=C(x)y отримуємо: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) або y = Cx 4 +2x 4 e x . Оскільки z=1/y 2 то отримаємо: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Рівняння Бернулліє одним з найбільш відомих нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Воно записується у вигляді

де a(x) та b(x) − безперервні функції. Якщо елементів по= 0, то рівняння Бернуллі стає лінійним диференціальним рівнянням. У разі коли елементів по= 1, рівняння перетворюється на рівняння з змінними, що розділяються. У загальному випадку, коли елементів по≠ 0, 1, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння за допомогою підстановки

Нове диференціальне рівняння для функції z(x) має вигляд

і може бути вирішено способами, що описані на сторінці Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

МЕТОД БЕРНУЛИ.

Розглянуте рівняння можна вирішити методом Бернуллі. Для цього шукаємо рішення вихідного рівняння у вигляді виконання двох функцій: де u, v- функції від x. Диференціюємо: Підставляємо у вихідне рівняння (1): (2) Як vвізьмемо будь-яке, відмінне від нуля, рішення рівняння: (3) Рівняння (3) - це рівняння з змінними, що розділяються. Після того, як ми знайшли його приватне рішення v = v (x), підставляємо його (2). Оскільки воно задовольняє рівняння (3), то вираз у круглих дужках перетворюється на нуль. Отримуємо: Це також рівняння з змінними, що розділяються. Знаходимо його загальне рішення, а разом із ним і рішення вихідного рівняння y = uv.

64. Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник. Методи вирішення

Диференціальне рівняння першого порядку виду

називається рівнянням у повних диференціалах, Якщо його ліва частина представляє повний диференціал певної функції , тобто .

Теорема.Для того, щоб рівняння (1) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб у деякій однозв'язковій області зміни зміннихвиконувалося умова

Загальний інтеграл рівняння (1) має вигляд або

– міра, що виражає кількість сприятливих події A результатів. Розв'язати диференціальне рівняння.

Рішення. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням у повних диференціалах:

отже, тобто. умова (2) виконана. Таким чином, дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах і

тому, де поки невизначена функція.

Інтегруючи, отримуємо . Приватна похідна знайденої функції повинна дорівнювати, що дає звідки що таким чином.

Загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

При інтегруванні деяких диференціальних рівнянь можна так згрупувати члени, що виходять комбінації, що легко інтегруються.

65. Звичайні диференціальні лінійні рівняння вищих порядків: однорідні та неоднорідні. Лінійний диференціальний оператор, його характеристики (з підтвердженням).

Лінійний диференціальний оператор та його властивості.Безліч функцій, що мають на інтервалі ( a , b ) не менше n похідних, утворює лінійний простір. Розглянемо оператор L n (y ), який відображає функцію y (x ), що має похідних, у функцію, що має k - n похідних.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, лінійне щодо невідомої функції та її похідної. Воно має вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

де p(x) і q(x) - задані функції від x безперервні в тій області, в якій потрібно проінтегрувати рівняння (1).

Якщо q(x)\equiv0 то рівняння (1) називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з змінними, що розділяються, і має загальне рішення

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти методом варіації довільної постійної, який полягає в тому, що рішення рівняння (1) шукається у вигляді

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)де C(x) - нова невідома функція від x .

приклад 1.Розв'язати рівняння y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Рішення.Застосуємо метод постійної варіації. Розглянемо однорідне рівняння y"+2xy=0 , відповідне даному неоднорідному рівнянню. Це рівняння з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд y=Ce^(-x^2) .

Загальне рішення неоднорідного рівняння шукаємо як y=C(x)e^(-x^2) , де C(x) - невідома функція від x . Підставляючи, отримуємо C"(x)=2x , звідки C(x)=x^2+C . Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння буде y=(x^2+C)e^(-x^2) , де C - Постійна інтегрування.

Зауваження.Може виявитись, що диференціальне рівняння лінійно щодо x як функція від y . Нормальний вигляд такого рівняння

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

приклад 2.Вирішити рівняння \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+sin2y).

Рішення.Це рівняння є лінійним, якщо розглядати x як функцію від y :

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Застосовуємо метод варіації довільної постійної. Спочатку вирішуємо відповідне однорідне рівняння

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

яке є рівнянням з змінними, що розділяються. Його загальне рішення має вигляд x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Загальне рішення рівняння шукаємо як x=C(y)e^(\sin(y)) , де C(y) - невідома функція від y . Підставляючи, отримуємо

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yабо C"(y)=e^(-sin(y))\sin2y.

Звідси, інтегруючи частинами, матимемо

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Отже,

C(y)=-2e^(-sin(y))(1+sin(y))+C.

Підставляючи це рівняння x=C(y)e^(\sin(y)) , отримуємо загальне рішення вихідного рівняння, а значить, і даного рівняння:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Вихідне рівняння може бути проінтегроване так. Вважаємо

Y=u(x)v(x),

де u(x) і v(x) - невідомі функції від x одна з яких, наприклад v(x) може бути обрана довільно.

Підставляючи y=u(x)v(x) , після перетворення отримуємо

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Визначаючи v(x) з умови v"+pv=0 , знайдемо потім з vu"+(pv+v")u=q(x) функцію u(x) , а отже, і рішення y=uv рівняння \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Як v(x) можна взяти будь-яке часте рішення рівняння v"+pv=0,~v\not\equiv0.

приклад 3.Вирішити завдання Коші: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Рішення.Шукаємо загальне рішення рівняння у вигляді y = u (x) v (x); маємо y"=u"v+uv" . Підставляючи вираз для y і y" у вихідне рівняння, матимемо

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)або x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Функцію v=v(x) знаходимо з умови x(x-1)v"+v=0 . Беручи будь-яке окреме рішення останнього рівняння, наприклад v=\frac(x)(x-1) , і підставляючи його, отримуємо рівняння u"=2x-1, з якого знаходимо функцію u(x)=x^2-x+C . Отже, загальне рішення рівняння x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)буде

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),або y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Використовуючи початкову умову y|_(x=2)=4 отримуємо для знаходження C рівняння 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, звідки C = 0; так що розв'язанням поставленої задачі Коші буде функція y=x^2.

приклад 4.Відомо, що між силою струму i і електрорушійною силою E ланцюга, що має опір R і самоіндукцію L існує залежність E=Ri+L\frac(di)(dt)де R і L - постійні. Якщо вважати E функцією часу t, то отримаємо лінійне неоднорідне рівняння для сили струму i:

frac(di)(dt)+frac(R)(L)i(t)=frac(E(t))(L).

Знайти силу струму i(t) для випадку, коли E=E_0=\text(const)та i(0)=I_0 .

Рішення.Маємо \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Загальне рішення цього рівняння маємо вигляд i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Використовуючи початкову умову (13), отримуємо з C=I_0-frac(E_0)(R), так що шукане рішення буде

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Звідси видно, що з t\to+\infty сила струму i(t) прагне постійного значення \frac(E_0)(R) .

Приклад 5.Дано сімейство C_alpha інтегральних кривих лінійного неоднорідного рівняння y"+p(x)y=q(x) .

Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих C_alpha , що визначається лінійним рівнянням, перетинаються в одній точці (рис. 13).

Рішення.Розглянемо дотичну до будь-якої кривої C_\alpha в точці M(x,y).

\eta-q(x)(\xi-x)=y, де \xi,\eta – поточні координати точки дотичної.

За визначенням, у відповідних точках х є постійним, а y змінним. Беручи будь-які дві дотичні до ліній C_alpha у відповідних точках, для координат точки S їх перетину, отримуємо

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Звідси видно, що всі дотичні до кривих C_alpha у відповідних точках (x фіксовано) перетинаються в одній і тій же точці

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Виключаючи в системі аргумент x, отримуємо рівняння геометричного місця точок S \colon f(\xi, \eta) = 0.

Приклад 6.Знайти рішення рівняння y"-y=\cos(x)-\sin(x), що відповідає умові: y обмежено при y\to+\infty .

Рішення.Загальне рішення даного рівняння y = Ce ^ x + \ sin (x) . Будь-яке рішення рівняння, одержуване із загального рішення при C\ne0 буде необмежено, так як при x\to+\infty функція \sin(x) обмежена, а e^x\to+\infty . Звідси випливає, що це рівняння має єдине рішення y=\sin(x) , обмежене при x\to+\infty , яке виходить із загального рішення при C=0 .

Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллімає вигляд

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, де n \ ne0; 1 (при n = 0 і n = 1 це рівняння є лінійним).

За допомогою заміни змінної z=\frac(1)(y^(n-1))рівняння Бернуллі наводиться до лінійного рівняння та інтегрується як лінійне.

Приклад 7.Розв'язати рівняння Бернуллі y"-xy=-xy^3 .

Рішення.Ділимо обидві частини рівняння на y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Робимо заміну змінної \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", звідки \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Після підстановки останнє рівняння звернеться до лінійного рівняння

-\frac(z")(2)-xz=-xабо z"+2xz=2x , загальне рішення якого z=1+Ce^(-x^2).

Звідси отримуємо загальний інтеграл цього рівняння

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)або y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Зауваження.Рівняння Бернуллі може бути проінтегровано також методом постійної варіації, як і лінійне рівняння, і за допомогою підстановки y(x)=u(x)v(x) .

Приклад 8.Розв'язати рівняння Бернуллі xy"+y=y^2\ln(x). .

Рішення.Застосуємо метод варіації довільної постійної. Загальне рішення відповідного однорідного рівняння xy"+y=0 має вигляд y=\frac(C)(x) . Загальне рішення рівняння шукаємо у вигляді y=\frac(C(x))(x) , де C(x) - нова невідома функція Підставляючи вихідне рівняння, будемо мати

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Для знаходження функції C(x) отримаємо рівняння з змінними, що розділяються, з якого, розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+ln(x)).

Отже, загальне рішення вихідного рівняння y=\frac(1)(1+Cx+ln(x)).

Деякі нелінійні рівняння першого порядку за допомогою вдало знайденої заміни змінних зводяться до лінійних рівнянь або рівнянь Бернуллі.

Приклад 9.Вирішити рівняння y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Рішення.Запишемо це рівняння у вигляді y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Ділячи обидві частини рівняння на 2\cos^2\frac(y)(2), отримуємо \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Заміна \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))наводить це рівняння до лінійного \frac(dz)(dx)+z=-x, Загальне рішення якого z = 1-x + Ce ^ (-x) .

Замінюючи z його виразом через y , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

У деяких рівняннях потрібна функція y(x) може бути під знаком інтеграла. У цих випадках іноді вдається шляхом диференціювання звести дане рівняння до диференціального.

Приклад 10Вирішити рівняння x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Рішення.Диференціюючи обидві частини цього рівняння по x, отримуємо

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)або Джерело інформації