«Математик так само, як художник чи поет, створює візерунки. І якщо його візерунки більш стійкі, лише тому, що вони складені з ідей... Візерунки математика так само, як візерунки художника або поета, повинні бути прекрасні; ідеї так само, як кольори або слова повинні відповідати один одному. Краса є першою вимогою: у світі немає місця для некрасивої математики».
Г.Х.Харді
У першому розділі зазначалося, що існують первісні досить простих функцій, які вже не можна виразити через елементарні функції. У зв'язку з цим, велике практичне значення набувають ті класи функцій, про які можна точно сказати, що їх первісні - елементарні функції. До такого класу функцій відносяться раціональні функції, що являють собою відношення двох алгебраїчних багаточленів До інтегрування раціональних дробів наводять багато завдань. Тому дуже важливо вміти інтегрувати такі функції.
2.1.1. Дробно-раціональні функції
Раціональним дробом(або дробово-раціональною функцією)називається відношення двох алгебраїчних багаточленів:
де і – багаточлени.
Нагадаємо, що багаточленом (поліномом, цілою раціональною функцією) n-го ступеняназивається функція виду
де 
– дійсні числа. Наприклад,
- багаточлен першого ступеня;
- багаточлен четвертого ступеня і т.д.
Раціональний дріб (2.1.1) називається правильноюякщо ступінь нижче ступеня, тобто. n<m, в іншому випадку дріб називається неправильною.
Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена (цілої частини) та правильного дробу (дрібної частини).Виділення цілої та дробової частин неправильного дробу можна проводити за правилом поділу багаточленів «кутом».
Приклад 2.1.1.Виділити цілу та дробову частини наступних неправильних раціональних дробів:
а) 
, б) 
.
Рішення . а) Використовуючи алгоритм розподілу «куточком», отримуємо
Таким чином, отримуємо
.
б) Тут також використовуємо алгоритм поділу «куточком»:
В результаті, отримуємо
.
Підведемо підсумки. Невизначений інтеграл від раціонального дробу в загальному випадку можна уявити сумою інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу. Знаходження первісних від многочленів не становить труднощів. Тому надалі розглядатимемо переважно правильні раціональні дроби.
2.1.2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування
Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим (елементарним) раціональним дробам:
|
3) |
4) |
,
,де - ціле число, 
, тобто. квадратний тричлен 
не має дійсних коренів.
Інтегрування найпростіших дробів 1-го та 2-го типу не становить великих труднощів:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Розглянемо тепер інтегрування найпростіших дробів 3-го типу, а дроби 4-го типу не розглядатимемо.
Почнемо з інтегралів виду
.
Цей інтеграл зазвичай обчислюють шляхом виділення повного квадратау знаменнику. В результаті виходить табличний інтеграл наступного виду
або 
.
Приклад 2.1.2.Знайти інтеграли:
а) 
, б) 
.
Рішення . а) Виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:
Звідси знаходимо
б) Виділивши із квадратного тричлена повний квадрат, отримуємо:
Таким чином,
.
Для знаходження інтегралу
можна виділити в чисельнику похідну знаменника і розкласти інтеграл у сумі двох інтегралів: перший їх підстановкою 
зводиться до вигляду
,
а другий - до розглянутого вище.
Приклад 2.1.3.Знайти інтеграли:
.
Рішення
. Зауважимо, що 
. Виділимо в чисельнику похідну знаменника:
Перший інтеграл обчислюється за допомогою підстановки 
:
У другому інтегралі виділимо повний квадрат у знаменнику
Остаточно, отримуємо
2.1.3. Розкладання правильного раціонального дробу
на суму найпростіших дробів
Будь-який правильний раціональний дріб 
можна уявити єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів. Для цього знаменник слід розкласти на множники. З вищої алгебри відомо, що кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами
Раціональна функція - це дріб виду, чисельник і знаменник якого - багаточлени або твори багаточленів.
приклад 1. Крок 2
.
Помножуємо невизначені коефіцієнти на багаточлени, яких немає в даному окремому дробі, але які є в інших отриманих дробах:
Розкриваємо дужки та прирівнюємо отриманий до отриманого виразу чисельник вихідного підінтегрального дробу:
В обох частинах рівності відшукуємо доданки з однаковими ступенями іксу і складаємо з них систему рівнянь:
.
Скорочуємо всі ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:
.
Таким чином, остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
.
приклад 2. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
.
Тепер починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:
Тепер потрібно скласти та вирішити систему рівнянь. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при змінній у відповідному ступені в чисельнику вихідного виразу функції та аналогічні коефіцієнти в отриманому на попередньому кроці виразу:
Вирішуємо отриману систему:
Отже, , звідси
.
приклад 3. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
Починаємо шукати невизначені коефіцієнти. Для цього чисельник вихідного дробу у виразі функції прирівнюємо до чисельника виразу, отриманого після приведення суми дробів до спільного знаменника:
Як і в попередніх прикладах, складаємо систему рівнянь:
Скорочуємо ікси та отримуємо еквівалентну систему рівнянь:
Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:
Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
.
приклад 4. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
.
Як прирівнювати чисельник вихідного дробу до виразу в чисельнику, отриманому після розкладання дробу на суму простих дробів та приведення цієї суми до спільного знаменника, ми вже знаємо з попередніх прикладів. Тому лише для контролю наведемо систему рівнянь, що вийшла:
Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:
Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
Приклад 5. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
.
Самостійно приводимо до спільного знаменника цю суму, прирівнювати чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу. В результаті має вийти наступна система рівнянь:
Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:
.
Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
.
Приклад 6. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
Проводимо з цією сумою ті ж дії, що й у попередніх прикладах. В результаті має вийти наступна система рівнянь:
Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:
.
Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
.
Приклад 7. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
.
Після відомих дій з отриманою сумою має вийти наступна система рівнянь:
Вирішуючи систему, отримуємо такі значення невизначених коефіцієнтів:
Отримуємо остаточне розкладання подінтегрального дробу на суму простих дробів:
.
Приклад 8. Крок 2На кроці 1 отримали наступне розкладання вихідного дробу на суму простих дробів з невизначеними коефіцієнтами в чисельниках:
.
Внесемо деякі зміни до вже доведених до автоматизму дій для отримання системи рівнянь. Є штучний прийом, який у деяких випадках допомагає уникнути зайвих обчислень. Наводячи суму дробів до спільного знаменника одержуємо і прирівнюючи чисельник цього виразу до чисельника вихідного дробу, одержуємо.
ТЕМА: Інтегрування раціональних дробів.
Увага! При вивченні одного з основних прийомів інтегрування: інтегрування раціональних дробів – потрібно для проведення суворих доказів розглядати багаточлени у комплексній галузі. Тому необхідно вивчити попередньо деякі властивості комплексних чисел та операцій з них.
Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
Якщо P(z) і Q(z) - багаточлени в комплексній області, то - раціональний дріб. Вона називається правильноюякщо ступінь P(z) менше ступеня Q(z) , і неправильноюякщо ступінь Р не менше ступеня Q.
Будь-який неправильний дріб можна представити у вигляді: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – багаточлен, ступінь якого менший за ступінь Q(z).
Таким чином, інтегрування раціональних дробів зводиться до інтегрування багаточленів, тобто статечних функцій, і правильних дробів, оскільки є правильним дробом.
Визначення 5. Найпростішими (або елементарними) дробами називаються дроби таких видів:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
З'ясуємо, як вони інтегруються.
3) 
(Вивчений раніше).
Теорема 5. Будь-який правильний дріб можна подати у вигляді суми найпростіших дробів (без доказу).
Наслідок 1. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена буде тільки просте дійсне коріння, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів буде лише найпростіші дроби 1-го типу:
приклад 1.
Наслідок 2. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть тільки кратні дійсні корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 1-го та 2-го типів:
приклад 2.
Наслідок 3. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише прості комплексно - сполучені корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го типу:
приклад 3.
Наслідок 4. Якщо - правильний раціональний дріб, і якщо серед коренів багаточлена будуть лише кратні комплексно - пов'язані корені, то в розкладанні дробу на суму найпростіших дробів будуть присутні лише найпростіші дроби 3-го і 4-го типів:
Для визначення невідомих коефіцієнтів у наведених розкладах надходять в такий спосіб. Ліву і праву частину розкладання , що містить невідомі коефіцієнти, множать на рівність двох многочленів. З нього одержують рівняння на шукані коефіцієнти, використовуючи, що:
1. рівність справедливо за будь-яких значеннях Х (метод приватних значень). І тут виходить скільки завгодно рівнянь, будь-які m у тому числі дозволяють знайти невідомі коефіцієнти.
2. збігаються коефіцієнти при однакових ступенях Х (метод невизначених коефіцієнтів). І тут виходить система m – рівнянь з m – невідомими, у тому числі знаходять невідомі коефіцієнти.
3. комбінований метод.
Приклад 5. Розкласти дріб 
на найпростіші.
Рішення:
Знайдемо коефіцієнти А та В.
1 спосіб - метод приватних значень:
2 спосіб - метод невизначених коефіцієнтів:
Відповідь: 
Інтегрування раціональних дробів.
Теорема 6. Невизначений інтеграл від будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, на якому його знаменник не дорівнює нулю, існує і виражається через елементарні функції, а саме раціональні дроби, логарифми та арктангенси.
Доведення.
Представимо раціональний дріб у вигляді: 
. При цьому останній доданок є правильним дробом, і по теоремі 5 її можна подати у вигляді лінійної комбінації найпростіших дробів. Таким чином, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування багаточлена. S(x)
і найпростіших дробів, первісні яких, як було показано, мають вигляд, вказаний у теоремі.
Зауваження. Основну труднощі у своїй становить розкладання знаменника на множники, тобто пошук всіх його коренів.
Приклад 1. Знайти інтеграл
Все вищевикладене у попередніх пунктах дозволяє нам сформулювати основні правила інтегрування раціонального дробу.
1. Якщо раціональний дріб неправильний, то його подають у вигляді суми багаточлена та правильного раціонального дробу (див. п. 2).
Цим самим інтегрування неправильного раціонального дробу зводять до інтегрування багаточлена та правильного раціонального дробу.
2. Розкладають знаменник правильного дробу на множники.
3. Правильний раціональний дріб розкладають на суму найпростіших дробів. Цим самим інтегрування правильного раціонального дробу зводять до інтегрування найпростіших дробів.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Знайти.
Рішення. Під інтегралом стоїть неправильний раціональний дріб. Виділяючи цілу частину, отримаємо
Отже,
Помічаючи, що , розкладемо правильний раціональний дріб
на найпростіші дроби:
(Див. формулу (18)). Тому
Таким чином, остаточно маємо
Приклад 2. Знайти
Рішення. Під інтегралом стоїть правильний раціональний дріб.
Розкладаючи її на найпростіші дроби (див. формулу (16)), отримаємо
Матеріал, викладений у цій темі, спирається на відомості, подані в темі "Раціональні дроби. Розкладання раціональних дробів на елементарні (найпростіші) дроби" . Дуже раджу хоча б швидко переглянути цю тему перед тим, як переходити до читання даного матеріалу. Крім того, нам буде потрібна таблиця невизначених інтегралів.
Нагадаю кілька термінів. Про них йшлося у відповідній темі, тому тут обмежуся коротким формулюванням.
Відношення двох багаточленів $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ називається раціональною функцією або раціональним дробом. Раціональний дріб називається правильноюякщо $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильною.
Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати
Навіщо потрібна умова $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Наприклад, для вираження $x^2+5x+10$ отримаємо: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Оскільки $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
До речі, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $x^2$ дорівнював 1. Наприклад, для $5x^2+7x-3=0$ отримаємо: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Оскільки $D > 0$, то вираз $5x^2+7x-3$ розкладемо на множники.
Приклади раціональних дробів (правильних та неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти. Тут нас цікавитимуть лише питання їхнього інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен із чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проінтегрувати, використовуючи формули, вказані нижче. Нагадаю, що з інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $n=2,3,4,ldots$. Формули (3) та (4) вимагають виконання умови $p^2-4q< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)
Для $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ робиться заміна $t=x+\frac(p)(2)$, після отриманий інтерал розбивається на два. Перший обчислюватиметься за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення
\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)
Обчислення такого інтеграла розібрано на прикладі №7 (див. третину).
Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):
- Якщо підінтегральний дріб є елементарним, то застосувати формули (1)-(4).
- Якщо підінтегральний дріб не є елементарним, то подати його у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1)-(4).
Вказаний вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечну гідність – він універсальний. Тобто. користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати будь-якураціональний дріб. Саме тому майже всі заміни змінних у невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрична підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після заміни отримати під інтералом раціональний дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітку.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
У принципі цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули . Якщо винести константу $7$ за знак інтеграла і врахувати, що $dx=d(x+9)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Для детальної інформації рекомендую подивитися тему. Там докладно пояснюється, як вирішуються такі інтеграли. До речі, формула доводиться тими самими перетвореннями, що були застосовані у цьому пункті під час вирішення "вручну".
2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу , слід врахувати, що коефіцієнт перед $x$ (число 4) доведеться прибрати. Для цього цю четвірку просто винесемо за дужки:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Тепер настала черга і для застосування формули:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Можна обійтися і застосування формули . І навіть без винесення константи $4$ за дужки. Якщо врахувати, що $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, то отримаємо:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Детальні пояснення щодо знаходження подібних інтегралів дано у темі "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)".
3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Цей дріб має структуру $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, де $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однак, щоб переконатися, що це дійсно елементарний дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Вирішимо цей приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Саме вираз $2x+10$ нам і належить вичленувати в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $4x+7$, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:
$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$
Тепер у чисельнику з'явився необхідний вираз $2x+10$. І наш інтеграл можна переписати у такому вигляді:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Розіб'ємо підінтегральний дріб на два. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоєм":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Поговоримо спершу перший інтеграл, тобто. про $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Оскільки $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в чисельнику підінтегрального дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $( 2x+10)dx$ запишемо $d(x^2+10x+34)$.
Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $dx=d(x+5)$. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Якщо в першому інтегралі зробити заміну $u=x^2+10x+34$, то він набуде вигляду $\int\frac(du)(u)$ і візьметься простим застосуваннямдругий формули з . Що ж до другого інтеграла, то для нього здійснена заміна $u=x+5$, після якої він набуде вигляду $\int\frac(du)(u^2+9)$. Це чистої водиодинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5)^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$
Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули, що, власне, не дивно. Взагалі, формула доводиться тими самими способами, які ми використовували для знаходження цього інтеграла. Вважаю, що у уважного читача тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:
Питання №1
Якщо інтегралу $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів , ми отримаємо таке:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Чому ж у рішенні був відсутній модуль?
Відповідь на запитання №1
Питання цілком закономірне. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $x^2+10x+34$ за будь-якого $x\in R$ більший за нуль. Це зовсім нескладно показати кількома шляхами. Наприклад, оскільки $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ і $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$ . Можна розсудити і інакше, не залучаючи виділення повного квадрата. Оскільки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за будь-якого $x\in R$ (якщо ця логічний ланцюжоквикликає подив, раджу подивитись графічний методрозв'язання квадратних нерівностей). У кожному разі, оскільки $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тобто. замість модуля можна використовувати звичайні дужки.
Усі пункти прикладу №1 вирішено, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.
Приклад №2
Знайти інтеграл $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
На перший погляд, підінтегральний дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ дуже схожий на елементарний дріб третього типу, тобто. на $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Здається, що єдина відмінність - це коефіцієнт $3$ перед $x^2$, але коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак це схожість здається. Для дробу $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язковою є умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
У нас коефіцієнт перед $x^2$ не дорівнює одиниці, тому перевірити умову $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного рівняння$x^2+px+q=0$. Якщо дискримінант менший за нуль, то вираз $x^2+px+q$ на множники не розкладеш. Обчислимо дискримінант багаточлена $3x^2-5x-2$, розташованого в знаменнику нашого дробу: $D=(-5)^2-4cdot 3cdot(-2)=49$. Отже, $D > 0$, тому вираз $3x^2-5x-2$ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не є елементаним дробом третього типу, і застосовувати до інтегралу $\int\frac(7x+12)(3x^2- 5x-2) dx $ формулу не можна.
Ну що ж, якщо заданий раціональний дріб не є елементарним, то його потрібно подати у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися. Як розкласти раціональний дріб на елементарні докладно написано. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$
Подинтеральний дріб представимо в такому вигляді:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Тепер розкладемо дріб $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарні:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3) \right). $$
Щоб знайти коефіцієнти $A$ і $B$, є два стандартні шляхи: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $x=2$, а потім $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Оскільки коефіцієнти знайдено, залишилося лише записати готове розкладання:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$
В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі акуратніший варіант:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$
Повертаючись до вихідного інтегралу, підставимо до нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу . Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | + C $.
Приклад №3
Знайти інтеграл $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Нам потрібно проінтегрувати дріб $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. У чисельнику розташований багаточлен другого ступеня, а в знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена у знаменнику, тобто. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Нам залишиться лише розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу. Константи я волію відразу виносити за знак інтеграла:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Відповідь: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4|-\ln|x-9|+C$.
Продовження аналізу прикладів цієї теми розташоване в другій частині.
