Зростання, спадання та екстремуми функції

Знаходження інтервалів зростання, спадання та екстремумів функції є як самостійним завданням, і найважливішою частиною інших завдань, зокрема, повного дослідження функції. Початкові відомості про зростання, спадання та екстремуми функції дано в теоретичного розділу про похідну, яку я настійно рекомендую до попереднього вивчення (або повторення)- ще й з тієї причини, що нижченаведений матеріал базується на самій суті похідної,будучи гармонійним продовженням цієї статті. Хоча, якщо часу обмаль, то можливе і чисто формальне відпрацювання прикладів сьогоднішнього уроку.

А сьогодні в повітрі витає дух рідкісної одностайності, і я прямо відчуваю, що всі присутні горять бажанням навчитися досліджувати функцію за допомогою похідної. Тому на екранах ваших моніторів негайно з'являється розумна добра вічна термінологія.

Навіщо? Одна з причин найпрактичніша: щоб було зрозуміло, що від вас взагалі потрібно в тому чи іншому завданні!

Монотонність функції. Точки екстремуму та екстремуми функції

Розглянемо деяку функцію. Спрощено вважаємо, що вона безперервнана всій числовій прямій:

Про всяк випадок відразу позбавимося можливих ілюзій, особливо це стосується тих читачів, хто нещодавно ознайомився з інтервалами знакостійності функції. Зараз нас НЕ ІНТЕРЕСУЄ, як розташований графік функції щодо осі (вище, нижче, де перетинає вісь). Для переконливості подумки зітріть осі та залиште один графік. Тому що інтерес саме у ньому.

Функція зростаєна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок цього інтервалу, пов'язаних ставленням, справедлива нерівність. Тобто, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, і її графік йде «знизу нагору». Демонстраційна функція зростає на інтервалі.

Аналогічно, функція зменшуєтьсяна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок даного інтервалу, таких, що , справедлива нерівність . Тобто, більшому значенню аргументу відповідає найменше значення функції, і її графік йде «згори донизу». Наша функція зменшується на інтервалах .

Якщо функція зростає чи зменшується на інтервалі, її називають суворо монотонноїна даному інтервалі. Що таке монотонність? Розумійте в буквальному значенні – одноманітність.

Також можна визначити незниженуфункцію (пом'якшена умова у першому визначенні) та незростаючуфункцію (пом'якшена умова у 2-му визначенні). Незменшуючу або незростаючу функцію на інтервалі називають монотонною функцією на даному інтервалі (Строга монотонність - окремий випадок«просто» монотонності).

Теорія розглядає й інші підходи до визначення зростання/зменшення функції, у тому числі на напівінтервалах, відрізках, але щоб не виливати на вашу голову масло-масло-олійне, домовимося оперувати відкритими інтервалами з категоричними визначеннями – це чіткіше, і для вирішення багатьох практичних завдань цілком достатньо.

Таким чином, у моїх статтях за формулюванням «монотонність функції» майже завжди приховуватимуться інтервалисуворої монотонності(Строгого зростання або строгого зменшення функції).

Околиця точки. Слова, після яких студенти розбігаються, хто куди може, і з жахом ховаються по кутках. …Хоча після посту Межі по Кошівже, напевно, не ховаються, а лише злегка здригаються =) Не турбуйтеся, зараз не буде доказів теорем математичного аналізу– околиці мені знадобилися, щоб суворіше сформулювати визначення точок екстремуму. Згадуємо:

Околицею точкиназивають інтервал, який містить дану точку, При цьому для зручності інтервал часто вважають симетричним. Наприклад, точка та її стандартна - околиця:

Власне, визначення:

Крапка називається точкою суворого максимуму, якщо існуєїї -околиця, для всіхзначень якої крім самої точки виконано нерівність . У нашому конкретному прикладі це точка.

Крапка називається точкою суворого мінімуму, якщо існуєїї -околиця, для всіхзначень якої крім самої точки виконано нерівність . На кресленні – точка "а".

Примітка : вимога симетричності околиці зовсім не обов'язкова Крім того, важливий сам факт існуванняоколиці (хоч малесенькій, хоч мікроскопічній), що задовольняє зазначеним умовам

Крапки називають точками строго екстремумуабо просто точками екстремумуфункції. Тобто це узагальнений термін точок максимуму та точок мінімуму.

Як розуміти слово екстремум? Так само безпосередньо, як і монотонність. Екстремальні точки американських гірок.

Як і у випадку з монотонністю, теоретично мають місце і навіть більше поширені несуворі постулати (Під які, природно, підпадають розглянуті суворі випадки!):

Крапка називається точкою максимуму, якщо існуєїї околиця, така, що для всіх
Крапка називається точкою мінімуму, якщо існуєїї околиця, така, що для всіхзначень даної околиці виконано нерівність.

Зауважте, що згідно з останніми двома визначеннями, будь-яка точка функції-константи (або «рівної ділянки» якоїсь функції) вважається як точкою максимуму, так і точкою мінімуму! Функція , до речі, одночасно є і незростаючою і незнищувальною, тобто монотонною. Однак залишимо ці міркування теоретикам, оскільки на практиці ми майже завжди споглядаємо традиційні пагорби і западини з унікальним царем гори або принцесою болота. Як різновид, зустрічається вістря, спрямоване вгору чи вниз, наприклад, мінімум функції точці .

Так, до речі, про королівські особи:
– значення називають максимумомфункції;
– значення називають мінімумомфункції.

Загальна назва – екстремумифункції.

Будь ласка, будьте обережні в словах!

Крапки екстремуму- Це «іксові» значення.
Екстремуми- «Ігрові» значення.

! Примітка : іноді перерахованими термінами називають точки «ікс-гравець», що лежать безпосередньо на ГРАФІКУ функції.

Скільки може бути екстремумів у функції?

Жодного, 1, 2, 3, … і т.д. до нескінченності. Наприклад, у синуса безліч мінімумів і максимумів.

ВАЖЛИВО!Термін "максимум функції" не тотожнийтерміну "максимальне значення функції". Легко помітити, що значення максимально лише в локальній околиці, а зліва вгорі є і «крутіше товариші». Аналогічно, "мінімум функції" - не те ж саме, що "мінімальне значення функції", і на кресленні ми бачимо, що значення мінімальне тільки на певній ділянці. У зв'язку з цим точки екстремуму також називають точками локального екстремуму, а екстремуми – локальними екстремумами . Ходять-блукають неподалік і глобальніпобратими. Так, будь-яка парабола має у своїй вершині глобальний мінімумабо глобальний максимум. Далі я не розрізнятиму типи екстремумів, і пояснення озвучено більше в загальноосвітніх цілях – додаткові прикметники «локальний»/«глобальний» не повинні зненацька заставляти.

Підсумуємо наш невеликий екскурс у теорію контрольним пострілом: що передбачає завдання «знайдіть проміжки монотонності та точки екстремуму функції»?

Формулювання спонукає знайти:

– інтервали зростання/зменшення функції (набагато рідше фігурує незменшення, незростання);

– точки максимуму та/або точки мінімуму (якщо такі є). Ну і від незаліку подалі краще знайти самі мінімуми/максимуми;-)

Як це все визначити?За допомогою похідної функції!

Як знайти інтервали зростання, спадання,
точки екстремуму та екстремуми функції?

Багато правил, по суті, вже відомі та зрозумілі з уроку про сенс похідної.

Похідна тангенса несе бадьору звістку про те, що функція зростає на всій області визначення.

З котангенсом та його похідною ситуація рівно протилежна.

Арксинус на інтервалі зростає – похідна тут позитивна: .
При цьому функція визначена, але не диференційована. Однак у критичній точці існує правостороння похідна та правостороння дотична, а на іншому краю – їх лівосторонні візаві.

Думаю, вам не складе особливих труднощів провести схожі міркування для арккосинусу і його похідної.

Всі перелічені випадки, багато з яких є табличні похідні, нагадую, слідують безпосередньо з визначення похідної.

Навіщо досліджувати функцію за допомогою похідної?

Щоб краще дізнатися, як виглядає графік цієї функції: де він йде "знизу вгору", де "згори вниз", де досягає мінімумів максимумів (якщо взагалі досягає). Не всі функції такі прості – у більшості випадків у нас взагалі немає жодного уявлення про графік тієї чи іншої функції.

Настав час перейти до більш змістовних прикладів і розглянути алгоритм знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції:

Приклад 1

Знайти інтервали зростання/зменшення та екстремуми функції

Рішення:

1) На першому кроці потрібно знайти область визначення функції, а також взяти на замітку точки розриву (якщо вони існують). У даному випадкуфункція безперервна по всій числової прямий, і це дію певною мірою формально. Але в ряді випадків тут розгоряються неабиякі пристрасті, тому поставимося до абзацу без зневаги.

2) Другий пункт алгоритму обумовлений

необхідною умовою екстремуму:

Якщо в точці є екстремум, то значення не існує.

Бентежить кінцівка? Екстремум функції «модуль ікс» .

Умова необхідна, але мало, І зворотне твердження справедливо які завжди. Так, з рівності ще не випливає, що функція досягає максимуму або мінімуму в точці . Класичний приклад вже засвітився вище – це кубічна парабола та її критична точка.

Але як би там не було, необхідна умоваекстремуму диктує необхідність знайти підозрілих точок. Для цього слід знайти похідну і вирішити рівняння:

На початку першої статті про графіки функціїя розповідав, як швидко побудувати параболу на прикладі : «…беремо першу похідну та прирівнюємо її до нуля: …Отже, рішення нашого рівняння: – саме в цій точці і знаходиться вершина параболи…». Тепер, думаю, всім зрозуміло, чому вершина параболи знаходиться саме в цій точці =) Взагалі, варто було б почати зі схожого прикладу і тут, але він занадто простий (навіть для чайника). До того ж, аналог є наприкінці уроку про похідної функції. Тому підвищимо ступінь:

Приклад 2

Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції

Це приклад самостійного рішення. Повне рішенняі зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Настав довгоочікуваний момент зустрічі з дрібно-раціональними функціями:

Приклад 3

Дослідити функцію за допомогою першої похідної

Зверніть увагу, як варіативно можна переформулювати практично одне й те завдання.

Рішення:

1) Функція зазнає нескінченних розривів у точках .

2) Детектуємо критичні точки. Знайдемо першу похідну та прирівняємо її до нуля:

Розв'яжемо рівняння. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю:

Таким чином, отримуємо три критичні точки:

3) Відкладаємо на числовій прямій ВСІ виявлені точки та методом інтерваліввизначаємо знаки ВИРОБНИЧОЇ:

Нагадую, що необхідно взяти якусь точку інтервалу, обчислити в ній значення похідної та визначити її знак. Вигідніше навіть не рахувати, а «прикинути» усно. Візьмемо, наприклад, точку , що належить інтервалу , і виконаємо підстановку: .

Два "плюси" і один "мінус" дають "мінус", тому, а значить, похідна негативна і на всьому інтервалі.

Дію, як ви розумієте, потрібно провести для кожного із шести інтервалів. До речі, зверніть увагу, що множник чисельника та знаменник суворо позитивні для будь-якої точки будь-якого інтервалу, що суттєво полегшує завдання.

Отже, похідна повідомила нам, що САМА ФУНКЦІЯ зростає на і зменшується на . Однотипні інтервали зручно скріплювати значком об'єднання.

У точці функція досягає максимуму:
У точці функція досягає мінімуму:

Подумайте, чому можна знову не перераховувати друге значення;-)

При переході через точку похідна не змінює знак, тому у функції там немає екстремуму - вона як спадала, так і залишилася спадною.

! Повторимо важливий момент : точки не вважаються критичними – у них функція не визначено. Відповідно, тут екстремумів не може бути в принципі(навіть якщо похідна змінює знак).

Відповідь: функція зростає на і зменшується на точці досягається максимум функції: , а точці – мінімум: .

Знання інтервалів монотонності та екстремумів разом із встановленими асимптотамидає вже дуже гарне уявлення про зовнішньому виглядіграфік функції. Людина середнього рівня підготовки здатна усно визначити, що графік функції має дві вертикальні асимптоти і похила асимптота . Ось наш герой:

Намагайтеся ще раз співвіднести результати дослідження з графіком цієї функції.
У критичній точці екстремуму немає, але існує перегин графіка(що, як правило, і буває у подібних випадках).

Приклад 4

Знайти екстремуми функції

Приклад 5

Знайти інтервали монотонності, максимуми та мінімуми функції

…прямо якесь Свято «ікса в кубі» сьогодні виходить.
Таааку, хто там на гальорці запропонував за це випити? =)

У кожній задачі є змістовні нюанси та технічні тонкощі, які закоментовані наприкінці уроку.

Функція y=f(x)називається зростаючоюна інтервалі (a; b), якщо для будь-яких x 1і x 2 x 1 , справедливо f(x 1) Наприклад, функції y=a x, y=log a xпри a>1, y=arctg x, y=arcsin x,(nN) зростають по всій своїй області визначення.

Графік зростаючої функції

· Функція y = f(x)називається спадаючоюна інтервалі (a;b), якщо для будь-яких x 1і x 2з цього інтервалу таких, що x 1 , справедливо f(x1)>f(x2).Наприклад, функції y=a x, y=log a xпри 0<a<1, y=arcctg x, y=arccos x спадають по всій своїй області визначення.

Графік спадної функції

· Зменшувальні та зростаючі функції разом утворюють клас монотоннихфункцій. Монотонні функції мають ряд спеціальних властивостей.

Функція f(х),монотонна на відрізку [ а,b], обмежена на цьому відрізку;

· Сума зростаючих (зменшуваних) функцій є зростаючою (зменшуваною) функцією;

· якщо функція fзростає (зменшується) і n- непарне число, то також зростає (зменшується);

· якщо f"(x)>0для всіх xÎ(a,b),то функція y=f(x)є зростаючою на інтервалі (a, b);

· якщо f"(x)<0 для всіх xÎ(a,b),то функція y=f(x)є спадною на інтервалі (a, b);

· якщо f(x) –безперервна та монотонна функція на безлічі Х, то рівняння f(x)=C, де З- дана константа, може мати на Хне більше одного рішення;

· якщо в області визначення рівняння f(x)=g(x)функція f(x)зростає, а функція g(x)зменшується, то рівняння неспроможна мати більше рішення.

Теорема. (Достатня умова монотонності функції). Якщо безперервна на відрізку [ а, b] функція у = f(х) у кожній точці інтервалу ( а, b) має позитивну (негативну) похідну, то ця функція зростає (зменшується) на відрізку [ а, b].

Доказ. Нехай >0 для всіх хÎ(а,b). Розглянемо два довільні значення x 2 > x 1належать [ а, b]. За формулою Лагранжа х 1<с < х 2 . (з) > 0 і х 2 – х 1 > 0, тому > 0, звідки > , тобто функція f(х) зростає на відрізку [ а, b]. Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Теорема 3. (Необхідна ознака існування екстремуму функції). Якщо функція, що диференціюється в точці c у=f(х) має у цій точці екстремум, то .

Доказ. Нехай, наприклад, функція у= f(х) має у точці c максимум. Це означає, що існує така проколота околиця точки c, що для всіх точок xцієї околиці виконується f(x) < f (c), тобто f(c) – найбільше значення функції у цій околиці. Тоді за теоремою Ферма.

Аналогічно доводиться випадок мінімуму у точці с.

Зауваження. Функція може мати екстремум у точці, де її похідна немає. Наприклад, функція має мінімум у точці x = 0, хоча немає. Точки, у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає, називаються критичними точками функції. Однак не у всіх критичних точках функція має екстремум. Наприклад, функція у = x 3не має екстремумів, хоча її похідна =0.

Теорема 4. (Достатня ознака існування екстремуму). Якщо безперервна функція у = f(x) має похідну у всіх точках деякого інтервалу, що містить критичну точку С (за винятком, можливо, самої цієї точки), і якщо похідна при переході аргументу зліва направо через критичну точку С змінює знак з плюсу на мінус, то функція в точці С має максимум, а за зміни знака з мінуса на плюс – мінімум.

Доказ. Нехай c – критична точка і нехай, наприклад, під час переходу аргументу через точку c змінює знак із плюса на мінус. Це означає, що на певному інтервалі (c-e; c)функція зростає, але в інтервалі (c; c+e)- Убуває (при e>0). Отже, у точці з функція має максимум. Аналогічно доводиться випадок мінімуму.

Зауваження. Якщо похідна не змінює знака під час переходу аргументу через критичну точку, то функція у цій точці немає екстремуму.

Так як визначення межі та безперервності для функції кількох змінних практично збігається з відповідними визначеннями для функції однієї змінної, то для функцій кількох змінних зберігаються всі властивості меж та безперервних функцій

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-02-12

Числове безліч Xвважається симетричнимщодо нуля, якщо для будь-кого xЄ Xзначення - хтакож належить безлічі X.

Функція y = f(хX, вважається парної X xЄ X, f(х) = f(-х).

У парної функції графік симетричний щодо осі Оу.

Функція y = f(х), яка задана на безлічі X, вважається непарною, якщо виконуються наступні умови: а) безліч Xсиметрично щодо нуля; б) для будь-якого xЄ X, f(х) = -f(-х).

У непарної функції графік симетричний щодо початку координат.

Функція у = f(x), xЄ X, називається періодичноїна Xякщо знайдеться число Т (Т ≠ 0) (періодфункції), що виконуються такі умови:

• х - Ті х + Тз множини Xдля будь-кого хЄ X;
• для будь-кого хЄ X, f(х + T) = f(х - T) = f(х).

У випадку, коли Т- це період функції, будь-яка кількість виду mТ, де mЄ Z, m≠ 0, це також період цієї функції. Найменший із позитивних періодів цієї функції (якщо він існує) називається її основним періодом.

У випадку, коли Т- основний період функції, то для побудови її графіка можна побудувати частину графіка на будь-якому з проміжків області визначення довжини Т, а потім зробити паралельне перенесення цієї ділянки графіка вздовж осі О хна ± Т, ±2 T, ....

Функція y = f(х), обмежена знизуна безлічі Х А, що для будь-кого хЄ X, А ≤ f(х). Графік функції, який обмежений знизу на множині Xповністю розташовується вище прямої у = А(Це горизонтальна пряма).

Функція у = f(x), обмежена зверхуна безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо є число У, що для будь-кого хЄ X, f(х) ≤ У. Графік функції, який обмежений зверху на множині X, повністю розташовується нижче прямої у = У(Це горизонтальна лінія).

Функція, вважається обмеженоюна безлічі Х(вона при цьому повинна бути визначеною на цій множині), якщо вона обмежена на цій множині зверху і знизу, тобто існують такі числа Аі У, що для будь-кого хЄ Xвиконуються нерівності A ≤ f(x) ≤ B. Графік функції, яка обмежена на множині Xповністю розташовується в проміжку між прямими у = Аі у = У(Це горизонтальні прямі).

Функція у = f (х), вважається обмеженою на безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо знайдеться число З> 0, що для будь-якого xЄ X, │f(х)│≤ З.

Функція у = f(х), хЄ X, називається зростаючою (неубутньою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) < f(х 2) (f(х 1) ≤ f(х 2)). Або функція у називається зростаючоюна безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.

Функція у = f(х), хЄX, називається спадаючою (незростаючою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) > f(х 2) (f(х 1) ≥ f(х 2)). Або функція уназивається спадною на безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.

Функція у = f(x), хЄ X, називається монотонноїна підмножині МЗ X, якщо вона є спадною (незростаючою) або зростаючою (не спадаючою) на М.

Якщо функція у = f(х), хЄ X, є спадною або зростаючою на підмножині МЗ X, то така функція називається суворо монотонноїна безлічі М.

Число Мназивають найбільшим значенням функціїу на безлічі Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множиниДо, а при інших значеннях аргументу з множини значення функції у не більше числаМ.

Число mназивають найменшим значенням функції у на множині Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множини До, а при інших значеннях аргументу х із множини Дозначення функції у не менше числа m.

Основні властивості функції , з яких краще починати її вивчення та дослідження це область її визначення та значення. Слід запам'ятати, як зображаються графіки елементарних функцій. Тільки потім можна переходити до побудови складніших графіків. Тема "Функції" має широкі програми в економіці та інших галузях знання. Функції вивчають протягом усього курсу математики та продовжують вивчати ввищих навчальних закладах . Там функції досліджуються за допомогою першої та другої похідних.

Ми вперше познайомились у курсі алгебри 7-го класу. Дивлячись на графік функції, ми знімали відповідну інформацію: якщо рухаючись за графіком зліва направо ми в той же час рухаємося знизу вгору (як би піднімаємося в гірку), ми оголошували функцію зростаючої (рис. 124); якщо ж ми рухаємося зверху вниз (спускаємося з гірки), то ми оголошували функцію спадної (рис. 125).

Однак математики не дуже шанують такий спосіб дослідження властивостей функції. Вони вважають, що визначення понять не повинні спиратися на малюнок, - креслення має лише ілюструвати ту чи іншу властивість функції на її графіку. Дамо суворі визначення понять зростання та зменшення функції.

Визначення 1. Функцію у = f(x) називають зростаючою на проміжку X, якщо з нерівності х 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Визначення 2. Функцію у = f(x) називають спадною на проміжку X, якщо з нерівності х 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует нерівність f(x1) > f(x2).

На практиці зручніше користуватися такими формулюваннями:

функція зростає, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції;
функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Використовуючи ці визначення та встановлені в § 33 властивості числових нерівностей, ми зможемо обґрунтувати висновки про зростання або зменшення раніше вивчених функцій.

1. Лінійна функція у = kx +m

Якщо k > 0, то функція зростає по всій (рис. 126); якщо k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказ. Покладемо f(x) = kx +m. Якщо х 1< х 2 и k >О, то, згідно з властивістю 3 числових нерівностей (див. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. лінійноїфункції у = kx + m.

Якщо ж х 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , а згідно з властивістю 2, з kx 1 > kx 2 випливає, що kx 1 + m> kx 2 + т.

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(х 2). Це означає убування функції у = f(x), тобто. лінійної функціїу = kx + m.

Якщо функція зростає (зменшується) у всій своїй області визначення, її можна називати зростаючою (зменшується), не вказуючи проміжку. Наприклад, про функцію у = 2х - 3 можна сказати, що вона зростає на всій числовій прямій, але можна сказати і коротше: у = 2х - 3 - зростаюча
функція.

2. Функція у = х2

1. Розглянемо функцію у = х 2 на промені. Візьмемо два непозитивні числа х 1 і х 2 таких, що х 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- х 2 . Так як числа - х 1 і - х 2 невід'ємні, то, звівши в квадрат обидві частини останньої нерівності, отримаємо нерівність того ж таки сенсу (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , тобто. Це означає, що f(x1) >f(x2).

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(х 2).

Тому функція у = х 2 зменшується на промені (- 00, 0] (рис. 128).

1. Розглянемо функцію на проміжку (0 + 00).
Нехай х1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Це означає, що функція зменшується на відкритому промені (0, + 00) (рис. 129).

2. Розглянемо функцію на проміжку (-оо, 0). Нехай х 1< х 2 , х 1 и х 2 - негативні числа. Тоді - х 1 > - х 2 , причому обидві частини останньої нерівності - позитивні числа, тому (ми знову скористалися нерівністю, доведеним у прикладі 1 з § 33). Далі маємо, звідки отримуємо.

Отже, з нерівності х 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) тобто. функція зменшується на відкритому промені (- 00 , 0)

Зазвичай терміни «зростаюча функція», «зменшена функція» поєднують загальною назвоюмонотонна функція, а дослідження функції зростання і спадання називають дослідженням функції монотонність.

Рішення.

1) Побудуємо графік функції у = 2х2 і візьмемо гілку цієї параболи при х< 0 (рис. 130).

2) Побудуємо та виділимо його частину на відрізку (рис. 131).

3) Побудуємо гіперболу та виділимо її частину на відкритому промені (4, + 00) (рис. 132).
4) Усі три «шматочки» зобразимо в одній системі координат - це і є графік функції у = f(x) (рис. 133).

Прочитаємо графік функції у = f(x).

1. Область визначення функції – вся числова пряма.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при x > 0.

3. Функція зменшується на промені (-оо, 0], зростає на відрізку, зменшується на промені, випукла вгору на відрізку, випукла вниз на промені)