На даному уроці ми розглянемо різні показові нерівності та навчимося їх вирішувати, ґрунтуючись на методиці вирішення найпростіших показових нерівностей.
1. Визначення та властивості показової функції
Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.
Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.
Мал. 1. Графік показової функції
На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.
Обидві криві проходять через точку (0; 1)
Властивості показової функції:
Область визначення: ;
Область значень: ;
Функція монотонна, при зростає, при зменшується.
Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.
При коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно зростаючу функцію (). При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно, тобто при даних значеннях аргументу ми маємо монотонно спадну функцію ().
2. Найпростіші показові нерівності, методика розв'язання, приклад
На підставі вищесказаного наведемо методику вирішення найпростіших показових нерівностей:
Методика розв'язання нерівностей:
Зрівняти основи ступенів;
Порівняти показники, зберігши або змінивши на протилежний знакнерівності.
Вирішення складних показових нерівностей полягає, як правило, у їх зведенні до найпростіших показових нерівностей.
Підстава ступеня більше одиниці, отже, знак нерівності зберігається:
Перетворюємо праву частинузгідно з властивостями ступеня:
Підстава ступеня менше одиниці, знак нерівності необхідно поміняти на протилежний:
Для розв'язання квадратної нерівності розв'яжемо відповідне квадратне рівняння:
По теоремі Вієта знаходимо коріння:
Гілки параболи спрямовані нагору.
Таким чином, маємо розв'язання нерівності:
Неважко здогадатися, що праву частину можна як ступінь з нульовим показником:
Заснування ступеня більше одиниці, знак нерівності не змінюється, отримуємо:
Нагадаємо методику розв'язання таких нерівностей.
Розглядаємо дробово-раціональну функцію:
Знаходимо область визначення:
Знаходимо коріння функції:
Функція має єдиний корінь, 
Виділяємо інтервали знакостійності та визначаємо знаки функції на кожному інтервалі:
Мал. 2. Інтервали знакопостійності
Таким чином отримали відповідь.
Відповідь: 
3. Вирішення типових показових нерівностей
Розглянемо нерівності з однаковими показниками, але різними підставами.
Одне з властивостей показової функції - вона за будь-яких значеннях аргументу приймає суворо позитивні значення, отже, на показову функцію можна розділити. Виконаємо поділ заданої нерівності на праву його частину:
Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається.
Проілюструємо рішення:
На малюнку 6.3 зображено графіки функцій та . Очевидно, що коли аргумент більший за нуль, графік функції розташований вище, ця функція більша. Коли значення аргументу негативні, функція проходить нижче, вона менше. При значенні аргументу функції рівні, отже, дана точкатакож є вирішенням заданої нерівності.
Мал. 3. Ілюстрація наприклад 4
Перетворимо задану нерівність згідно з властивостями ступеня:
Наведемо такі члени:
Розділимо обидві частини на:
Тепер продовжуємо вирішувати аналогічно прикладу 4, розділимо обидві частини на:
Підстава ступеня більше одиниці, знак нерівності зберігається:
4. Графічне розв'язання показових нерівностей
Приклад 6 - розв'язати нерівність графічно:
Розглянемо функції, що стоять у лівій та правій частині та побудуємо графік кожної з них.
Функція - експонента, зростає по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.
Функція - лінійна, зменшується по всій своїй області визначення, т. е. за всіх дійсних значеннях аргументу.
Якщо ці функції перетинаються, тобто система має рішення, таке рішення єдине і його можна вгадати. Для цього перебираємо цілі числа ()
Неважко помітити, що коренем цієї системи є:
Таким чином, графіки функцій перетинаються в точці з аргументом, що дорівнює одиниці.
Тепер потрібно отримати відповідь. Сенс заданої нерівності в тому, що експонента має бути більшою або дорівнює лінійної функціїтобто бути вище або збігатися з нею. Очевидна відповідь: (рисунок 6.4)
Мал. 4. Ілюстрація наприклад 6
Отже, ми розглянули розв'язання різних типових показових нерівностей. Далі перейдемо до більш складних показових нерівностей.
Список літератури
Мордкович А. Г. Алгебра та початки математичного аналізу. - М: Мнемозіна. Муравін Г. К., Муравіна О. В. Алгебра та початку математичного аналізу. - М: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудніцин Ю. П. та ін Алгебра і початку математичного аналізу. - М: Просвітництво.
Math. md. Mathematics-репетиція. com. Diffur. Кемсу. ru .
Домашнє завдання
1. Алгебра та початку аналізу, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин) 1990 № 472, 473;
2. Вирішити нерівність:
3. Вирішити нерівність.
Розглянемо, як вирішувати показові нерівності, що містять ступеня з різними підставами. Вирішення таких нерівностей аналогічне рішенню відповідних.
(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Групуємо ступеня з однаковими основами. Найзручніше для цього розвести їх по різні боки нерівності:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
З кожної пари ступенів виносимо за дужки загальний множник – ступінь із меншим показником. Винести за дужки загальний множник - значить, кожен доданок розділити на цей множник. При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишаємо колишньою, а показники віднімаємо:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Ділити можна відразу на 20 (20 = 4 ∙ 5), але практика показує, що розподіл у два етапи дозволяє уникнути можливих помилок:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Оскільки основа 2/5<1, показательная функция
убуває, тому знак нерівності між показниками ступенів змінюється на протилежний:
Квадратична нерівність вирішимо методом інтервалів. Нулі функції, що стоїть у лівій частині нерівності - x1 = -1; x2=2. Зазначаємо їх на числовій прямій.
Для перевірки знака візьмемо нуль: 0²-0-2=-2, у проміжок, якому належить нуль, ставимо "-". Інші знаки розставляємо в шаховому порядку. Оскільки вирішуємо нерівність, у якій ліва частина менша за нуль, вибираємо проміжок зі знаком «-«.
Відповідь: x ∈ (-1; 2).
Варіант нерівностей такого виду - всі ступені мають однакові підстави, але відрізняються коефіцієнтами при x у показниках.
У лівій частині виносимо за дужки ступінь із найменшим показником
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Прийшли до показової нерівності. Оскільки основа 7>1, функція
зростає, знак нерівності між показниками не змінюється:
Щоб вирішити цю нерівність методом інтервалів перенесемо всі складові в ліву частинуі наведемо дроби до
Рішення більшості математичних завдань однак пов'язані з перетворенням числових, алгебраїчних чи функціональних выражений. Сказане особливо належить до рішення. У варіантах ЄДІ з математики такого типу завдань відноситься, зокрема, завдання C3. Навчитися вирішувати завдання C3 важливо не тільки з метою успішного складання ЄДІ, але й з тієї причини, що це вміння знадобиться щодо курсу математики у вищій школі.
Виконуючи завдання C3, доводиться вирішувати різні видирівнянь та нерівностей. Серед них - раціональні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні, що містять модулі ( абсолютні величини), а також комбіновані. У цій статті розглянуто основні типи показових рівнянь та нерівностей, а також різні методиїх розв'язків. Про розв'язання інших видів рівнянь та нерівностей читайте в рубриці « » у статтях, присвячених методам розв'язання задач C3 з варіантів ЄДІз математики.
Перш ніж приступити до розбору конкретних показових рівнянь та нерівностейяк репетитор з математики, пропоную вам освіжити в пам'яті деякий теоретичний матеріал, який нам знадобиться.
Показова функція
Що таке показова функція?
Функцію виду y = a x, де a> 0 та a≠ 1, називають показовою функцією.
Основні властивості показової функції y = a x:
Графік показової функції
Графіком показової функції є експонента:
Графіки показових функцій (експоненти)
Розв'язання показових рівнянь
Показовиминазиваються рівняння, у яких невідома змінна перебуває лише показниках будь-яких ступенів.
Для вирішення показових рівняньпотрібно знати та вміти використовувати наступну нескладну теорему:
Теорема 1.Показове рівняння a f(x) = a g(x) (де a > 0, a≠ 1) рівносильно рівнянню f(x) = g(x).
Крім цього, корисно пам'ятати про основні формули та дії зі ступенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
приклад 1.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:використовуємо наведені вище формули та підстановку:
Рівняння тоді набуває вигляду:
Дискримінант отриманого квадратного рівняння позитивний:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Це означає, що це рівняння має два корені. Знаходимо їх:
Переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:
Друге рівняння коренів немає, оскільки показова функція суворо позитивна по всій області визначення. Вирішуємо друге:
З урахуванням сказаного в теоремі 1 переходимо до еквівалентного рівняння: x= 3. Це буде відповіддю до завдання.
Відповідь: x = 3.
приклад 2.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:обмежень на область допустимих значень у рівняння немає, оскільки підкорене вираз має сенс за будь-якого значення x(Показова функція y = 9 4 -xпозитивна і не дорівнює нулю).
Вирішуємо рівняння шляхом рівносильних перетвореньз використанням правил множення та поділу ступенів:
Останній перехід було здійснено відповідно до теореми 1.
Відповідь:x= 6.
приклад 3.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:обидві частини вихідного рівнянняможна поділити на 0,2 x. Цей перехід буде рівносильним, оскільки цей вираз більше нуля за будь-якого значення x(Показова функція суворо позитивна у своїй області визначення). Тоді рівняння набуває вигляду:
Відповідь: x = 0.
приклад 4.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:спрощуємо рівняння до елементарного шляхом рівносильних перетворень з використанням наведених на початку статті правил поділу та множення ступенів:
Розподіл обох частин рівняння на 4 x, як і в попередньому прикладі, є рівносильним перетворенням, оскільки даний вираз не дорівнює нулю за жодних значень x.
Відповідь: x = 0.
Приклад 5.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:функція y = 3x, що стоїть у лівій частині рівняння, є зростаючою. Функція y = —x-2/3, що стоїть у правій частині рівняння, є спадною. Це означає, що якщо графіки цих функцій перетинаються, то не більше, ніж в одній точці. У даному випадкуневажко здогадатися, що графіки перетинаються у точці x= -1. Іншого коріння не буде.
Відповідь: x = -1.
Приклад 6.Розв'яжіть рівняння:
Рішення:спрощуємо рівняння шляхом рівносильних перетворень, маючи на увазі скрізь, що показова функція строго більша за нуль за будь-якого значення xта використовуючи правила обчислення твору та приватного ступенів, наведені на початку статті:
Відповідь: x = 2.
Вирішення показових нерівностей
Показовиминазиваються нерівності, у яких невідома змінна міститься лише у показниках будь-яких ступенів.
Для вирішення показових нерівностейпотрібно знання наступної теореми:
Теорема 2.Якщо a> 1, то нерівність a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності того ж сенсу: f(x) > g(x). Якщо 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності протилежного сенсу: f(x) < g(x).
Приклад 7.Розв'яжіть нерівність:
Рішення:представимо вихідну нерівність у вигляді:
Розділимо обидві частини цієї нерівності на 3 2 x, при цьому (через позитивність функції y= 3 2x) знак нерівності не зміниться:
Скористаємося підстановкою:
Тоді нерівність набуде вигляду:
Отже, розв'язанням нерівності є проміжок:
переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:
Ліва нерівність через позитивність показової функції виконується автоматично. Скориставшись відомою властивістю логарифму, переходимо до еквівалентної нерівності:
Оскільки на підставі ступеня стоїть число, більше одиниці, еквівалентним (за теоремою 2) буде перехід до наступної нерівності:
Отже, остаточно отримуємо відповідь:
Приклад 8.Розв'яжіть нерівність:
Рішення:використовуючи властивості множення та поділу ступенів, перепишемо нерівність у вигляді:
Введемо нову змінну:
З урахуванням цієї підстановки нерівність набуває вигляду:
Помножимо чисельник і знаменник дробу на 7, отримуємо наступну рівносильну нерівність:
Отже, нерівності задовольняють такі значення змінної t:
Тоді, переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:
Оскільки основа ступеня тут більше одиниці, рівносильним (за теоремою 2) буде перехід до нерівності:
Остаточно отримуємо відповідь:
Приклад 9.Розв'яжіть нерівність:
Рішення:
Ділимо обидві частини нерівності на вираз:
Воно завжди більше нуля (через позитивність показової функції), тому знак нерівності змінювати не потрібно. Отримуємо:
t , що у проміжку:
Переходячи до зворотної підстановки отримуємо, що вихідна нерівність розпадається на два випадки:
Перша нерівність рішень немає з позитивності показової функції. Вирішуємо друге:
приклад 10.Розв'яжіть нерівність:
Рішення:
Гілки параболи y = 2x+2-x 2 спрямовані вниз, отже вона обмежена зверху значенням, яке вона досягає у своїй вершині:
Гілки параболи y = x 2 -2x+2, що стоїть у показнику, спрямовані вгору, значить вона обмежена знизу значенням, яке вона досягає у своїй вершині:
Разом з цим обмеженою знизу виявляється і функція y = 3 x 2 -2x+2 , що стоїть у правій частині рівняння. Вона досягає свого найменшого значенняв тій же точці, що і парабола, що стоїть у показнику, і це значення дорівнює 3 1 = 3. Отже, вихідна нерівність може виявитися вірною тільки в тому випадку, якщо функція зліва і функція справа приймають в одній точці значення, що дорівнює 3 (перетином) областей значень цих функцій є лише це число). Ця умова виконується в єдиній точці x = 1.
Відповідь: x= 1.
Для того щоб навчитися вирішувати показові рівняння та нерівності,необхідно постійно тренуватися у вирішенні. У цій нелегкій справі вам можуть допомогти різні методичні посібники, задачники з елементарної математики, збірники конкурсних завдань, заняття з математики у школі, а також Індивідуальні заняттяз професійним репетитором. Щиро бажаю вам успіхів у підготовці та блискучих результатів на іспиті.
Сергій Валерійович
P. S. Шановні гості! Будь ласка, не пишіть у коментарях заявки на вирішення ваших рівнянь. На жаль, на це в мене немає часу. Такі повідомлення будуть видалені. Будь ласка, ознайомтеся із статтею. Можливо, у ній ви знайдете відповіді питання, які дозволили вам вирішити своє завдання самостійно.
Показовими рівняннями та нерівностями вважають такі рівняння та нерівності, у яких невідоме міститься у показнику ступеня.
Розв'язання показових рівнянь часто зводиться до розв'язання рівняння а х = а b де а > 0, а ≠ 1, х – невідоме. Це рівняння має єдиний корінь х = b, оскільки справедлива така теорема:
Теорема. Якщо а > 0, а ≠ 1 і а х 1 = а х 2 то х 1 = х 2 .
Обґрунтуємо розглянуте твердження.
Припустимо, що рівність x 1 = x 2 не виконується, тобто. х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, то показова функція у = а х зростає і тому має виконуватися нерівність а х 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >а х 2 . В обох випадках ми отримали протиріччя умові а х 1 = а х 2.
Розглянемо кілька завдань.
Розв'язати рівняння 4 ∙ 2 х = 1.
Рішення.
Запишемо рівняння у вигляді 2 2 ∙ 2 х = 2 0 – 2 х+2 = 2 0 звідки отримуємо х + 2 = 0, тобто. х = -2.
Відповідь. х = -2.
Розв'язати рівняння 2 3х ∙ 3 х = 576.
Рішення.
Так як 2 3х = (2 3) х = 8 х, 576 = 24 2 то рівняння можна записати у вигляді 8 х ∙ 3 х = 24 2 або у вигляді 24 х = 24 2 .
Звідси одержуємо х = 2.
Відповідь. х = 2.
Розв'язати рівняння 3 х+1 – 2∙3 х - 2 = 25.
Рішення.
Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х - 2, отримуємо 3 х - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 х - 2 ∙ 25 = 25,
звідки 3 x - 2 = 1, тобто. х - 2 = 0, х = 2.
Відповідь. х = 2.
Розв'язати рівняння 3 х = 7 х.
Рішення.
Оскільки 7 х ≠ 0, то рівняння можна записати як 3 х /7 х = 1, звідки (3/7) х = 1, х = 0.
Відповідь. х = 0.
Розв'язати рівняння 9 х – 4 ∙ 3 х – 45 = 0.
Рішення.
Заміною 3 х = а дане рівняння зводиться до квадратному рівняннюа 2 - 4а - 45 = 0.
Вирішуючи це рівняння, знаходимо його коріння: а 1 = 9, а 2 = -5, звідки 3 х = 9, 3 х = -5.
Рівняння 3 х = 9 має корінь 2, а рівняння 3 х = -5 немає коренів, оскільки показова функція неспроможна набувати негативні значення.
Відповідь. х = 2.
Вирішення показових нерівностей часто зводиться до розв'язання нерівностей х > а b або а х< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Розглянемо деякі завдання.
Вирішити нерівність 3 х< 81.
Рішення.
Запишемо нерівність у вигляді 3 х< 3 4 . Так как 3 >1, то функція у = 3 х є зростаючою.
Отже, при х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Таким чином, при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Відповідь. х< 4.
Вирішити нерівність 16 х +4 х – 2 > 0.
Рішення.
Позначимо 4 х = t, тоді матимемо квадратну нерівність t2 + t – 2 > 0.
Ця нерівність виконується при t< -2 и при t > 1.
Так як t = 4 х, то отримаємо дві нерівності 4 х< -2, 4 х > 1.
Перша нерівність немає рішень, оскільки 4 х > 0 за всіх х € R.
Другу нерівність запишемо у вигляді 4 х > 4 0, звідки х > 0.
Відповідь. х > 0.
Графічно розв'язати рівняння (1/3) х = х – 2/3.
Рішення.
1) Побудуємо графіки функцій у = (1/3) х та у = х – 2/3.
2) Маючи наш малюнок, можна дійти невтішного висновку, що графіки розглянутих функцій перетинаються у точці з абсцисою х ≈ 1. Перевірка доводить, що
х = 1 – корінь даного рівняння:
(1/3) 1 = 1/3 та 1 – 2/3 = 1/3.
Іншими словами, ми знайшли одне з коренів рівняння. 
3) Знайдемо інше коріння або доведемо, що таких немає. Функція (1/3) х спадна, а функція у = х - 2/3 зростаюча. Отже, при х > 1 значення першої функції менше 1/3, а другий більше 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 і х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Відповідь. х = 1.
Зауважимо, що з вирішення цього завдання, зокрема, випливає, що нерівність (1/3) х > х – 2/3 виконується за х< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Багато хто вважає, що показові нерівності — це щось таке складне та незбагненне. І що навчитися їх вирішувати — чи не велике мистецтво, збагнути яке здатні лише вибрані...
Повна брехня! Показові нерівності це просто. І вирішуються вони завжди просто. Ну, майже завжди.:)
Сьогодні ми розберемо цю тему вздовж і впоперек. Цей урок буде дуже корисним для тих, хто тільки починає розбиратися в цьому розділі шкільної математики. Почнемо з простих завданьі рухатимемося до складніших питань. Жодної жерсті сьогодні не буде, але того, що ви зараз прочитаєте, буде достатньо, щоб вирішити більшість нерівностей на будь-яких контрольних і самостійних роботах. І на цьому вашому ЄДІ також.
Як завжди, почнемо з визначення. Показова нерівність - це будь-яка нерівність, що містить у собі показову функцію. Іншими словами, його завжди можна звести до нерівності виду
\[((a)^(x)) \gt b\]
Де в ролі $b$ може бути звичайне число, а може бути і щось жорсткіше. Приклади? Так будь ласка:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) (x))). \\end(align)\]
Думаю, сенс зрозумілий: є показова функція $((a)^(x))$, її з чимось порівнюють, а потім просять знайти $x$. В особливо клінічних випадкахзамість змінної $x$ можуть засунути якусь функцію $f\left(x \right)$ і цим трохи ускладнити нерівність.:)
Звісно, у деяких випадках нерівність може виглядати суворо. Ось наприклад:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Або навіть ось:
Загалом, складність таких нерівностей може бути різною, але в результаті вони все одно зводяться до простої конструкції $((a)^(x)) \gt b$. А вже з такою конструкцією ми якось розберемося (в особливо клінічних випадках, коли нічого не спадає на думку, нам допоможуть логарифми). Тому зараз ми навчимося вирішувати такі прості конструкції.
Вирішення найпростіших показових нерівностей
Розглянемо щось дуже просте. Наприклад, ось це:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Вочевидь, що число праворуч можна переписати як ступеня двійки: $4=((2)^(2))$. Таким чином, вихідна нерівність перепишеться у дуже зручній формі:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
І ось вже руки сверблять «закреслити» двійки, що стоять в підставах ступенів, щоб отримати відповідь $x \gt 2$. Але перед тим як там закреслювати, давайте згадаємо ступеня двійки:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4)) = 16; ... \]
Як бачимо, чим більша кількістьстоїть у показнику ступеня, тим більше виходить число на виході. "Дякую кеп!" — вигукне хтось із учнів. Хіба буває інакше? На жаль, буває. Наприклад:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \) right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Тут теж все логічно: чим більше ступінь, тим більше разів число 0,5 множиться саме на себе (тобто ділиться навпіл). Таким чином, отримана послідовність чисел зменшується, а різниця між першою та другою послідовністю полягає лише в підставі:
- Якщо основа ступеня $a \gt 1$, то зі зростанням показника $n$ число $((a)^(n))$ теж зростатиме;
- І навпаки, якщо $0 \lt a \lt 1$, то зі зростанням показника $n$ число $((a)^(n))$ буде спадати.
Підсумовуючи ці факти, ми отримуємо найголовніше твердження, на якому і ґрунтується все рішення показових нерівностей:
Якщо $a \gt 1$, то нерівність $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $x \gt n$. Якщо $0 \lt a \lt 1$, то нерівність $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $x \lt n$.
Іншими словами, якщо основа більша за одиницю, її можна просто прибрати — знак нерівності при цьому не зміниться. А якщо підстава менше одиниці, то її теж можна забрати, але при цьому доведеться поміняти і знак нерівності.
Зверніть увагу: ми не розглянули варіанти $a=1$ та $a\le 0$. Тому що у цих випадках виникає невизначеність. Допустимо, як вирішити нерівність виду $((1)^(x)) \gt 3$? Одиниця будь-якою мірою знову дасть одиницю — ми ніколи не отримаємо трійку чи більше. Тобто. рішень немає.
З негативними основами все ще цікавіше. Розглянемо для прикладу таку нерівність:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
На перший погляд, все просто:
Правильно? А ось і ні! Достатньо підставити замість $x$ парочку парних і парочку непарних чисел, щоб переконатися, що рішення неправильне. Погляньте:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x = 5 \Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \ \ & x = 6 \ Rightarrow (( \ left (-2 \ right)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Як бачите, знаки чергуються. Адже є ще дробові ступені та інша бляха. Як, наприклад, накажете рахувати $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (мінус двійка в ступені корінь із семи)? Та ніяк!
Тому для певності вважають, що у всіх показових нерівностях (і рівняннях, до речі, теж) $1\ne a \gt 0$. І тоді все вирішується дуже просто:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Загалом, ще раз запам'ятайте головне правило: якщо основа в показовому рівнянні більша за одиницю, її можна просто прибрати; а якщо основа менше одиниці, її теж можна прибрати, але при цьому зміниться знак нерівності.
Приклади рішення
Отже, розглянемо кілька простих показових нерівностей:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \&((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \& ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\end(align)\]
Першорядне завдання у всіх випадках одне й те саме: звести нерівностей до найпростішого виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Саме це ми зараз і зробимо з кожною нерівністю, а заразом повторимо властивості ступенів та показової функції. Тож поїхали!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Що тут можна зробити? Ну, ліворуч у нас і так стоїть показовий вираз – нічого міняти не треба. А ось справа стоїть якась хрень: дріб, та ще й у знаменнику корінь!
Проте згадаємо правила роботи з дробами та ступенями:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\end(align)\]
Що це означає? По-перше, ми легко можемо позбутися дробу, перетворивши його на ступінь негативним показником. А по-друге, оскільки в знаменнику стоїть корінь, було б непогано перетворити і його на ступінь — цього разу з дрібним показником.
Застосуємо ці дії послідовно до правої частини нерівності та подивимося, що вийде:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac()) 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Не забуваймо, що при зведенні ступеня до ступеня показники цих ступенів складаються. І взагалі, при роботі з показовими рівняннями та нерівностями абсолютно необхідно знати хоча б найпростіші правила роботи зі ступенями:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\end(align)\]
Власне, останнє правиломи щойно й застосували. Тому наша вихідна нерівність перепишеться так:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\) frac(1)(3)))\]
Тепер позбавляємося двійки в основі. Оскільки 2 > 1, знак нерівності залишиться тим самим:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Ось і все рішення! Основна складність - зовсім не в показовій функції, а в грамотному перетворенні вихідного виразу: потрібно акуратно і максимально швидко привести його до найпростішого вигляду.
Розглянемо другу нерівність:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Так Так. Тут нас чекають десяткові дроби. Як я вже багато разів казав, у будь-яких виразах зі ступенями слід позбавлятися десяткових дробів — найчастіше тільки так можна побачити швидке та просте рішення. Ось і ми позбавимося:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10)) right)) ^ (2)); \\ ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\end(align)\]
Перед нами знову найпростіша нерівність, та ще й із основою 1/10, тобто. меншим одиниці. Що ж, прибираємо підстави, принагідно змінюючи знак із «менше» на «більше», і отримуємо:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\&-x \gt 2-1; \\&-x \gt 1; \& x \lt -1. \\end(align)\]
Отримали остаточну відповідь: $x\in \left(-\infty; -1 \right)$. Зверніть увагу: відповіддю є безліч, а в жодному разі не конструкція виду $x \lt -1$. Тому що формально така конструкція — це не безліч, а нерівність щодо змінної $x$. Так, воно дуже просте, але це не відповідь!
Важливе зауваження. Цю нерівність можна було вирішити і по-іншому - шляхом приведення обох частин до ступеня з основою, більшою за одиниці. Погляньте:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Після такого перетворення ми отримаємо показову нерівність, але з основою 10 > 1. А це означає, що можна просто закреслити десятку — знак нерівності при цьому не зміниться. Отримаємо:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\end(align)\]
Як бачите, відповідь вийшла точнісінько такою ж. При цьому ми позбавили себе необхідності змінювати знак і взагалі пам'ятати якісь там правила.:)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Однак нехай це вас не лякає. Щоб не було в показниках, технологія розв'язання самої нерівності залишається незмінною. Тому помітимо спочатку, що 16 = 2 4 . Перепишемо вихідну нерівність з урахуванням цього:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \& ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Ура! Ми отримали звичайну квадратну нерівність! Знак ніде не змінювався, оскільки в основі стоїть двійка — число більше одиниці.
Нулі функції на числовій прямій
Розставляємо знаки функції $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно, її графіком буде парабола гілками вгору, тому з боків будуть "плюси". Нас цікавить та область, де функція менша за нуль, тобто. $x\in \left(2;5 \right)$ - це і є відповідь до вихідної задачі.
Нарешті, розглянемо ще одну нерівність:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Знову бачимо показову функцію з десятковим дробом у підставі. Перекладаємо цей дріб у звичайний:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
В даному випадку ми скористалися наведеним раніше зауваженням - звели підставу до 5 > 1, щоб спростити собі подальше рішення. Так само вчинимо і з правою частиною:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1))) right))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Перепишемо вихідну нерівність з урахуванням обох перетворень:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Підстави з обох сторін однакові і перевищують одиницю. Ніяких інших доданків праворуч і ліворуч немає, тому просто «закреслюємо» п'ятірки і отримуємо дуже простий вираз:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Ось тут треба бути обережнішими. Багато учнів люблять просто витягти квадратний коріньїх обох частин нерівності і записати що-небудь на кшталт $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Робити цього в жодному разі не можна, оскільки корінь з точного квадрата - це модуль, а в жодному разі не вихідна змінна:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x \right|\]
Проте працювати з модулями — не найприємніше заняття, правда? От і ми не працюватимемо. А натомість просто перенесемо всі складові вліво і вирішимо звичайну нерівність методом інтервалів:
$ \ begin (align) & ((x) ^ (2)) -1 \ le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Знову відзначаємо отримані точки на числовій прямій і дивимося знаки:
Зверніть увагу: крапки зафарбовані Оскільки ми вирішували несувору нерівність, всі крапки на графіку зафарбовані. Тому відповідь буде такою: $x\in \left[ -1;1 \right]$ - не інтервал, а саме відрізок.
Загалом хотів би зауважити, що нічого складного у показових нерівностях немає. Сенс усіх перетворень, які ми сьогодні виконували, зводиться до простого алгоритму:
- Знайти основу, до якої будемо наводити всі ступені;
- Акуратно виконати перетворення, щоб вийшла нерівність виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Зрозуміло замість змінних $x$ і $n$ можуть стояти набагато більше складні функції, але сенс від цього не зміниться;
- Закреслити основи ступенів. При цьому може змінитися знак нерівності, якщо основа $a \lt 1$.
По суті, це універсальний алгоритм розв'язання всіх таких нерівностей. А все, що вам ще розповідатимуть на цю тему — лише конкретні прийоми та хитрощі, що дозволяють спростити та прискорити перетворення. Ось про один з таких прийомів ми зараз і поговоримо.
Метод раціоналізації
Розглянемо ще одну партію нерівностей:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \right))^(16-x)); \\ ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Ну і що в них такого особливого? Вони ж легені. Хоча стоп! Число π зводиться в якийсь ступінь? Що за маячня?
А як звести в ступінь число $2 \ sqrt (3) - 3 $? Або $3-2\sqrt(2)$? Укладачі завдань, очевидно, перепили «Глога» перед тим, як сісти за роботу.
Насправді, нічого страшного в цих завданнях немає. Нагадаю: показовою функцією називається вираз виду $((a)^(x))$, де основа $a$ це будь-яке позитивне число, за винятком одиниці. Число π позитивне – це ми й так знаємо. Числа $2\sqrt(3)-3$ і $3-2\sqrt(2)$ теж позитивні - в цьому легко переконатися, якщо порівняти їх з нулем.
Виходить, що всі ці «жахливі» нерівності нічим не відрізняються вирішуються від простих, розглянутих вище? І вирішуються так само? Так цілком вірно. Однак на їх прикладі я хотів би розглянути один прийом, який дуже економить час на самостійних роботах та іспитах. Йтиметься про метод раціоналізації. Отже, увага:
Будь-яка показова нерівність виду $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ дорівнює нерівності $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \right) \gt 0 $.
Ось і весь метод.:) А ви думали, що буде якась чергова дичина? Нічого подібного! Але цей простий факт, записаний буквально в один рядок, значно спростить роботу. Погляньте:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\) !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\end(matrix)\]
Ось і немає більше показових функцій! І не треба пам'ятати: змінюється знак чи ні. Але виникає нова проблема: що робити з гребаним множником \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Адже ми не знаємо, чому одно точне значеннячисла π. Втім, капітан очевидність ніби натякає:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Загалом, точне значення π нас особливо і не колише — нам лише важливо розуміти, що в будь-якому випадку $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2$, т .е. це позитивна константа, і ми можемо розділити на неї обидві частини нерівності:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \&((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Як бачите, певного моменту довелося розділити на мінус одиницю - при цьому знак нерівності змінився. Наприкінці я розклав квадратний тричлен за теоремою Вієта — очевидно, що коріння дорівнює $((x)_(1))=5$ і $((x)_(2))=-1$. Далі все вирішується класичним методомінтервалів:
Вирішуємо нерівність методом інтервалів Усі точки виколоті, оскільки вихідна нерівність сувора. Нас цікавить область з негативними значеннями, тому відповідь: $x\in \left(-1;5 \right)$. Ось і все рішення.
Перейдемо до наступного завдання:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Тут взагалі все просто, тому що справа стоїть одиниця. А ми пам'ятаємо, що одиниця – це будь-яке число в нульовому ступені. Навіть якщо цим числом є ірраціональний вираз, що стоїть на підставі зліва:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right))^(0)); \\end(align)\]
Що ж, виконуємо раціоналізацію:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Залишилося лише розібратися зі знаками. Множина $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не містить змінної $x$ - це просто константа, і нам необхідно з'ясувати її знак. Для цього зауважимо таке:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\end(matrix)\]
Виходить, що другий множник не просто константа, а негативна константа! І при розподілі на неї знак вихідної нерівності зміниться на протилежний:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \&((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Тепер все стає очевидним. Коріння квадратного тричлена, що стоїть праворуч: $((x)_(1))=0$ і $((x)_(2))=2$. Зазначаємо їх на числовій прямій і дивимося знаки функції $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Випадок, коли нас цікавлять бічні інтервали Нас цікавлять інтервали, позначені знаком «плюс». Залишилося лише записати відповідь:
Переходимо до такого прикладу:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) right))^(16-x))\]
Ну, тут все очевидно: в підставах стоять ступеня однієї й тієї числа. Тому я розпишу коротко:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \& ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Як бачите, у процесі перетворень довелося множити на від'ємне число, Тому змінився знак нерівності. Наприкінці я знову застосував теорему Вієта для розкладання на множники квадратного тричлену. У результаті відповідь буде наступною: $x\in \left(-8;4 \right)$ - бажаючі можуть переконатися в цьому, намалювавши числову пряму, позначивши крапки та порахувавши знаки. А ми тим часом перейдемо до останньої нерівності з нашого «комплекту»:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Як бачимо, в основі знову стоїть ірраціональне число, а праворуч знову стоїть одиниця. Тому перепишемо нашу показову нерівність так:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) right))^(0))\]
Застосовуємо раціоналізацію:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Однак цілком очевидно, що $1-sqrt(2) \lt 0$, оскільки $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. Тому другий множник — знову негативна константа, яку можна розділити обидві частини нерівності:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \&((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Перехід до іншої основи
Окремою проблемою під час вирішення показових нерівностей є пошук «правильного» підстави. На жаль, далеко не завжди при першому погляді на завдання очевидно, що брати за основу, а що робити ступенем цієї основи.
Але не переживайте: тут немає ніякої магії та «таємних» технологій. У математиці будь-який навичка, яку не можна алгоритмізувати, можна легко виробити за допомогою практики. Але для цього доведеться вирішувати завдання різного рівняскладності. Наприклад, такі:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]
Важко? Страшно? Та це ж простіше, ніж курча об асфальт! Давайте спробуєм. Перша нерівність:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Ну, я думаю, тут і їжу все зрозуміло:
Переписуємо вихідну нерівність, зводячи все до основи «два»:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Так, так, ви все правильно зрозуміли: я щойно застосував метод раціоналізації, описаний вище. Тепер потрібно працювати акуратно: у нас вийшла дробово-раціональна нерівність (це така, у якої в знаменнику стоїть змінна), тому перш ніж щось прирівнювати до нуля, необхідно привести все до спільного знаменника і позбавитися множника-константи.
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Тепер використовуємо стандартний методінтервалів. Нулі числа: $x=\pm 4$. Знаменник звертається в нуль лише за $x=0$. Разом три точки, які треба відзначити на числовій прямій (всі точки виколоти, тому що знак нерівності строгий). Отримаємо:
Більше складний випадок: три корені Як неважко здогадатися, штрихуванням відмічені ті інтервали, на яких вираз зліва набуває негативних значень. Тому в остаточну відповідь підуть одразу два інтервали:
Кінці інтервалів не входять у відповідь, оскільки вихідна нерівність була суворою. Жодних додаткових перевірок цієї відповіді не потрібно. У цьому плані показові нерівності набагато простіші за логарифмічні: жодних ОДЗ, жодних обмежень тощо.
Переходимо до наступного завдання:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Тут теж ніяких проблем, оскільки ми вже знаємо, що $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, тому всю нерівність можна переписати так:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Зверніть увагу: у третьому рядку я вирішив не розмінюватися на дрібниці і відразу розділити все на (−2). Минув пішов у першу дужку (тепер там скрізь плюси), а двійка скоротилася з множником-константою. Саме так і варто чинити при оформленні реальних викладок на самостійних та контрольні роботи— не треба розписувати прямо кожну дію та перетворення.
Далі у справу входить знайомий нам метод інтервалів. Нули чисельника: а їх немає. Тому що дискримінант буде негативним. У свою чергу знаменник обнулюється лише за $x=0$ — як і минулого разу. Ну і зрозуміло, що праворуч від $x=0$ дріб буде набувати позитивних значень, а зліва — негативних. Оскільки нас цікавлять саме негативні значення, то остаточна відповідь: $x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
А що треба робити з десятковими дробами у показових нерівностях? Правильно: позбавлятися їх, переводячи у звичайні. Ось і ми переведемо:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\) frac(25)(4) \right))^(x)). \\end(align)\]
Ну і що ми отримали в основі показових функцій? А отримали ми два взаємно зворотні числа:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \) right))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Таким чином, вихідну нерівність можна переписати так:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\end(align)\]
Зрозуміло, при множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються, що сталося у другому рядку. Крім того, ми представили одиницю, що стоїть праворуч, також у вигляді ступеня на підставі 4/25. Залишилося лише виконати раціоналізацію:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Зауважимо, що $ frac (4) (25) -1 = frac (4-25) (25) 0 $, тобто. другий множник є негативною константою, і при розподілі на неї знак нерівності зміниться:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Зрештою, остання нерівність із поточного «комплекту»:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
У принципі, ідея рішення тут теж ясна: всі показові функції, що входять до складу нерівності, необхідно звести до основи «3». Але для цього доведеться трохи повозитися з корінням і ступенями:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \& 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\end(align)\]
З урахуванням цих фактів вихідну нерівність можна переписати так:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\end(align)\]
Зверніть увагу на 2-й і 3-й рядок викладок: перш ніж щось робити з нерівністю, обов'язково приведіть його до того виду, про який ми говорили з самого початку уроку: $((a)^(x)) \lt ((a) ^ (n)) $. Доки у вас ліворуч чи праворуч є якісь ліві множники, додаткові константи і т.д., ніяку раціоналізацію та «закреслювання» підстав виконувати не можна! Безліч завдань було виконано неправильно через нерозуміння цього простого факту. Я сам постійно спостерігаю цю проблему у моїх учнів, коли ми тільки-но приступаємо до розбору показових і логарифмічних нерівностей.
Але повернемося до нашого завдання. Спробуємо на цей раз обійтися без раціоналізації. Згадуємо: основа ступеня більше одиниці, тому трійки можна просто закреслити – знак нерівності при цьому не зміниться. Отримаємо:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
От і все. Остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Виділення стійкого виразу та заміна змінної
Насамкінець пропоную вирішити ще чотири показові нерівності, які вже є досить складними для непідготовлених учнів. Щоб впоратися з ними, необхідно згадати правила роботи зі ступенями. Зокрема, винесення спільних множників за дужки.
Але найголовніше — навчитися розуміти, що саме можна винести за дужки. Такий вираз називається стійким - його можна позначити новою змінною і таким чином позбавитися показової функції. Отже, подивимося на завдання:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \& ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Почнемо з самого першого рядка. Випишемо цю нерівність окремо:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Зауважимо, що $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, тому праву частину можна переписати:
Зауважимо, що жодних інших показових функцій, крім $((5)^(x+1))$, у нерівності немає. І взагалі, ніде більше не зустрічається змінна $x$, тому введемо нову змінну: $((5)^(x+1))=t$. Отримаємо таку конструкцію:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \& 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Повертаємося до вихідної змінної ($t=((5)^(x+1))$), а заразом згадуємо, що 1=5 0 . Маємо:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \&x+1\ge 0; \\&x\ge-1. \\end(align)\]
Ось і все рішення! Відповідь: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходимо до другої нерівності:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Тут все те саме. Зауважимо, що $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тоді ліву частину можна переписати:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3) ^ (x)) = t \right. \&t+9t\ge 90; \ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \ \ & x \ ge 2 \ Rightarrow x \ in \ left [2; + \ infty \ right). \\end(align)\]
Ось приблизно так і потрібно оформлювати рішення на справжніх контрольних та самостійних роботах.
Що ж, спробуємо щось складніше. Наприклад, ось така нерівність:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
У чому проблема? Насамперед, підстави показових функцій, що стоять ліворуч, різні: 5 і 25. Однак 25 = 5 2 , тому перший доданок можна перетворити:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Як бачите, спочатку ми все привели до однакової основи, а потім помітили, що перший доданок легко зводиться до другого — достатньо лише розкласти показник. Тепер можна сміливо вводити нову змінну: $((5)^(2x+2))=t$, і вся нерівність перепишеться так:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \ \ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \& 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
І знову жодних труднощів! Остаточна відповідь: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходимо до заключної нерівності у сьогоднішньому уроці:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Перше, на що слід звернути увагу, це, звичайно, десятковий дрібна підставі першого ступеня. Її необхідно позбутися, а заразом привести всі показові функції до однієї і тієї ж підстави — числу «2»:
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Відмінно, перший крок ми зробили — все привели до однієї й тієї самої підстави. Тепер необхідно виділити стійкий вираз. Зауважимо, що $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Якщо ввести нову змінну $((2)^(4x+6))=t$, то вихідну нерівність можна переписати так:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \ & 3t \gt 768; \ \ & t \gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); 4x+6 8; \\ & 4x \gt 2; \ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\end(align)\]
Природно, може виникнути питання: яким чином ми виявили, що 256 = 2 8 ? На жаль, тут потрібно просто знати ступеня двійки (а заразом ступеня трійки та п'ятірки). Ну, або ділити 256 на 2 (ділити можна, оскільки 256 — парне число), доки не отримаємо результат. Виглядатиме це приблизно так:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \ cdot 2 = \ \ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \ \ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Те саме і з трійкою (числа 9, 27, 81 і 243 є її ступенями), і з сімкою (числа 49 і 343 теж було б непогано запам'ятати). Ну, і п'ятірка теж має «красиві» ступені, які потрібно знати:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \ & ((5) ^ (3)) = 125; \ & ((5) ^ (4)) = 625; \ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\end(align)\]
Звичайно, всі ці числа за бажання можна відновити в розумі, просто послідовно помножуючи їх один на одного. Однак, коли вам доведеться вирішити кілька показових нерівностей, причому кожна наступна складніша за попередню, то останнє, про що хочеться думати — це ступеня якихось там чисел. І в цьому сенсі ці завдання є складнішими, ніж «класичні» нерівності, які вирішуються методом інтервалів.
Сподіваюся, цей урок допоміг вам у освоєнні цієї теми. Якщо щось незрозуміло — питайте у коментарях. І побачимось у наступних уроках.:)
