Що таке рівняння, що означає вирішити рівняння. При зведенні обох частин рівняння в парний ступінь виходить рівняння, нерівносильне вихідному

Взагалі будь-яке рівняння – це математична модельчашкових ваг (важільних, рівноплечих, коромислових - назв багато), винайдених у стародавньому Вавилоні 7000 років тому чи ще раніше. Більше того, я навіть думаю, що саме ваги, що використовувалися на найдавніших базарах, і стали прообразом рівнянь. І якщо дивитися на будь-яке рівняння не як на незрозумілий набір цифр і букв, пов'язаний двома паралельними паличками, а як на шальки терезів, то і з усім іншим проблемам не буде:

Будь-яке рівняння подібно до врівноважених чаш ваг

Так вийшло, що рівнянь у нашому житті з кожним днем ​​все більше, а розуміння, що таке рівняння і в чому його зміст – все менше. У всякому разі, у мене склалося таке враження при спробі пояснити старшій дочці зміст найпростішого математичного рівняння типу:

х + 2 = 8 (500.1)

Тобто. у школі звичайно ж пояснюють, що у таких випадках щоб знайти х, Треба від правої частини відняти 2:

х = 8 - 2 (500.3)

Це, звичайно ж, абсолютно правильна діяАле чому потрібно саме відняти, а не, наприклад, додати або розділити, у шкільних підручниках пояснення немає. Просто є правило, яке потрібно тупо вивчити:

При перенесенні члена рівняння з однієї частини до іншої його знак змінюється на протилежний.

А як це правило розуміти школяру 10 років від народження і в чому його зміст, це ви вже самі думайте-вирішуйте. Більше того, з'ясувалося, що і мої близькі родичі теж ніколи не розуміли сенсу рівнянь, а просто заучували на згадку те, що потрібно (і вищезазначене правило зокрема), а вже потім застосовували це, як бог на душу покладе. Мені такий стан справ не сподобався, тому я і вирішив написати цю статтю (зростає молодший, йому через кілька років знову доведеться це пояснювати, та й нечисленним читачам мого сайту це теж може стати в нагоді).

Відразу хочу сказати, що хоч 10 років навчався в школі, але при цьому жодних правил і визначень, що стосуються технічних дисциплін, ніколи не вчив. Тобто. якщо щось зрозуміло, воно і так запам'ятається, а якщо щось не зрозуміло, то який сенс його зубрить, не розуміючи сенсу, якщо воно все одно забудеться? А крім того, якщо мені щось не зрозуміло, значить, воно мені й не треба (це я тільки недавно усвідомив, що якщо я чогось не розумів у школі, то це була не моя вина, а вина викладачів, підручників та взагалі системи освіти).

Такий підхід забезпечував мені багато вільного часу, якого в дитинстві так не вистачає на всякі ігри та розваги. При цьому я брав участь у різних олімпіадах із фізики, хімії, а одну районну з математики навіть виграв. Але час минав, кількість дисциплін, що оперують абстрактними поняттями, тільки збільшувалася і відповідно мої оцінки знижувалися. На першому курсі інституту кількість дисциплін, що оперують абстрактними поняттями, становила абсолютну більшість і я, звичайно ж, був повним трієчником. Але потім, коли мені з низки причин довелося самому без допомоги лекцій і конспектів розбиратися з сопроматом і я його ніби зрозумів, справа пішла на лад і закінчилася червоним дипломом. Втім, зараз не про це, а про те, що у зв'язку із зазначеною специфікою мої поняття та визначення можуть значно відрізнятися від викладаних у школі.

А тепер продовжимо

Найпростіші рівняння, аналогія з вагами

Взагалі-то дітей привчають порівнювати різні предмети ще в дошкільному віці, коли вони ще й говорити толком не вміють. Починають зазвичай із геометричних порівнянь. Наприклад, показують дитині два кубики і дитина має визначити, який кубик більший, а який менше. А якщо вони однакові, то і є рівність за розміром. Потім завдання ускладнюється, дитині показують предмети різних форм, різних кольорів і вибрати однакові предмети дитині стає все складніше. Однак ми не будемо так сильно ускладнювати завдання, а зупинимося лише на одному виді рівності – грошово-ваговому.

Коли чаші ваг знаходяться на одному горизонтальному рівні (стрілки чашкових ваг, показані на малюнку 500.1 помаранчевим та блакитним кольором, збігаються, горизонтальний рівень показаний чорною жирною рисою), то це означає, що на правій чаші терезів знаходиться стільки ж вантажу, скільки на лівій чаші. У найпростішому випадку це можуть бути гирі вагою 1 кг:

Малюнок 500.1.

І тоді ми отримуємо найпростіше рівняння 1 = 1. Втім, рівняння це тільки для мене, в математиці подібні вирази називають рівністю, але суть від цього не змінюється. Якщо ми з лівої чаші терезів приберемо гирю і покладемо на неї що завгодно, хоч яблука, хоч цвяхи, хоч червону ікру і при цьому шальки терезів будуть на одному горизонтальному рівні, то це як і раніше означатиме, що 1 кг будь-якого із зазначених продуктів дорівнює 1 кг гирки, що залишилася на правій частині ваги. Залишається лише заплатити за цей кілограм за встановленою продавцем ціною. Інша справа, що вам може не подобатися ціна, або виникли сумніви в точності ваги - але це вже питання економіко-правових відносин, які до математики прямого відношення не мають.

Звичайно ж, у ті далекі часи, коли з'явилися ваги чашки, все було значно простіше. По-перше, не було такого міри ваги, як кілограм, а були грошові одиниці, що відповідали мірам ваг, наприклад, таланти, шекелі, фунти, гривні та ін. (до речі, мене давно дивувало, що є фунт - грошова одиниця та фунт - міра ваги, є гривня - грошова одиниця, а колись гривня була мірою ваги, і тільки недавно, коли я дізнався, що талант - це не тільки грошова одиниця давніх іудеїв, згадана в Старому заповіті, Але й міра ваги, прийнята в стародавньому Вавилоні, все стало на свої місця).

Точніше спочатку були заходи ваги, як правило зерна злакових культур, А вже потім з'явилися гроші, цим ваговим заходам відповідні. Наприклад 60 зерен відповідали одному шекелю (сіклю), 60 шекелів – одній міні, а 60 хв – одному таланту. Тому спочатку ваги використовувалися для того, щоб перевірити, чи не є пропоновані гроші фальшивими, а вже потім з'явилися гирки, як еквівалент грошей, обважування та обрахунки, електронні ваги та пластикові картки, але суті справи це ніяк не змінює.

У ті далекі часи продавцю не потрібно було довго і докладно пояснювати, скільки буде коштувати той чи інший товар. Достатньо було покласти на одну чашу терезів товар, а на другу покупець клав гроші - дуже просто і наочно і навіть знання місцевого прислівника не потрібно, можна торгувати в будь-якій точці світу. Але повернемось до рівнянь.

Якщо розглядати рівняння (500.1) з позиції ваг, воно означає, що на лівій чаші ваг знаходиться невідома кількість кілограмів і ще 2 кілограми, а на правій чаші - 8 кілограмів:

х + 2кг = 8кг (500.1.2)

Примітка: В даному випадкунижнє підкреслення символізує дно шальки терезів, при розрахунках на папері ця лінія може більше нагадувати дно шальки терезів. Більше того, математики вже давно придумали спеціальні символи - дужки, тож будь-які дужки можна розглядати як борти чаш ваг, принаймні на першому етапі розуміння змісту рівнянь. Тим не менш, нижнє підкреслення я для більшої наочності залишу.

Отже, що нам потрібно зробити, що дізнатися про невідому кількість кілограмів? Правильно! Зняти з лівої та з правої частини терезів по 2 кілограми, тоді чаші терезів залишаться на одному горизонтальному рівні, тобто у нас буде як і раніше рівність:

х + 2кг, - 2кг = 8кг, - 2кг (500.2.2)

Відповідно

х, = 8кг - 2кг, (500.3.2)

х, = 6 кг, (500.4.2)

Малюнок 500.2.

Часто математика оперує не кілограмами, а деякими абстрактними безрозмірними одиницями і тоді запис рішення рівняння (500.1) наприклад у чернетці буде виглядати так:

х + 2 = 8 (500.1)

х + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

х = 8 - 2 , (500.3)

х = 6 (500.4)

Що й відбито малюнку 500.2.

Примітка: Формально для ще кращого розуміння після рівняння (500.2) має слідувати ще одне рівняння виду: х + 2 - 2 = 8 - 2що означає, що дія завершилася і ми знову маємо справу з рівноважними чашами вагою. Однак на мій погляд у такому вже зовсім повному записі рішення необхідності немає.

У чистовиках зазвичай використовується скорочений запис рішення рівняння, причому скорочуються як настільки необхідні мій погляд на початковому етапі вивчення рівнянь символи чаш ваг, але й цілі рівняння. Так скорочений запис рішення рівняння (500.1) у чистовику згідно з наведеними у підручниках прикладами виглядатиме так:

х + 2 = 8 (500.1.1)

х = 8 - 2 (500.3.1)

х = 6 (500.4)

У результаті, при використанні аналогії з вагами ми склали додаткове рівняння (500.2) порівняно з пропонованим підручниками чи то методом рішення, чи формою запису цього рішення. На погляд це рівняння, до того ж записане приблизно у такій формі, тобто. з символічним позначенням чаш ваг - це і є недостатня ланка, важлива для розуміння сенсу рівнянь.

Тобто. при вирішенні рівнянь ми нічого і нікуди зі зворотним знаком не переносимо, а виконуємо однакові математичні дії з лівою та правою частиною рівняння.

Просто зараз прийнято записувати рішення рівнянь у скороченій формі, наведеній вище. За рівнянням (500.1.1) відразу слідує рівняння (500.3.1), звідси й випливає правило зворотних знаків, яке втім багатьом простіше запам'ятати, ніж вникати в зміст рівнянь.

Примітка: Проти скороченої форми запису я нічого не маю, більше того просунуті користувачі можуть цю форму ще більше скорочувати, проте робити це слід лише після того, коли загальний зміст рівнянь вже чітко засвоєно.

А ще розширений запис дозволяє зрозуміти головні правила розв'язування рівнянь:

1. Якщо ми робимо однакові математичні дії з лівої та правою частиноюрівнянь, то рівність зберігається .

2. Не важливо, яка частина у розглянутому рівнянні ліва, а яка права, ми можемо вільно міняти їх місцями.

Ці математичні дії можуть бути будь-якими. Ми можемо віднімати те саме число з лівої і з правої частини, як показано вище. Ми можемо додавати те саме число до лівої та правої частини рівняння, наприклад:

х - 2 = 8 (500.5.1)

х - 2 + 2 = 8 + 2 (500.5.2)

х = 8 + 2 , (500.5.3)

х = 10 (500.5.4)

Ми можемо ділити або множити обидві частини на те саме число, наприклад:

3х, = 12, (500.6.1)

3х,:3 = 12,:3 (500.6.2)

х = 12 : 3 , (500.6.3)

х = 4 (500.6.4)

3х - 6 = 12 (500.7.1)

3х - 6 + 6 = 12 + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3х , : 3 = 18 , : 3 (500.7.4)

х = 6 (500.7.5)

Ми можемо інтегрувати чи диференціювати обидві частини. Ми можемо робити все, що завгодно з лівою та правою частиною, але якщо ці дії будуть однаковими для лівої та правої частини, то рівність збережеться (чаші ваг залишаться на одному горизонтальному рівні).

Звичайно ж, дії потрібно вибирати такі, які дозволять максимально швидко і просто визначити невідому величину.

З цієї точки зору класичний метод зворотної дії як би більш простий, але як бути, якщо дитина ще не вивчала негативні числа? А тим часом складене рівняння має такий вигляд:

5 - х = 3 (500.8)

Тобто. при вирішенні цього рівняння класичним методом один з можливих варіантів рішення, що дає найкоротший запис, наступний:

- х = 3 - 5 (500.8.2)

- х = - 2 (500.8.3)

х = 2 (500.8.4)

І найголовніше - як пояснити дитині чому рівняння (500.8.3) тотожне рівнянню (500.8.4)?

Це означає, що в цьому випадку навіть при використанні класичного методуекономити на записі немає сенсу і спочатку потрібно позбутися невідомої величини в лівій частині, що має негативний знак.

5 - х = 3 (500.8)

5 = 3 + х (500.8.5)

3 + х = 5 (500.8.6)

х = 5 - 3 (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

При цьому повний запис буде виглядати так:

5-х, = 3, (500.8)

5-х, + х = 3, + х (500.9.2)

5 = 3 + х (500.9.3)

3 + х, = 5, (500.8.6)

3 + х, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

х, = 5 - 3, (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

Додам ще раз. Повна запис рішення потрібна задля вчителів, а кращого розуміння способу розв'язання рівнянь. А коли ми міняємо місцями ліву та праву частини рівняння, то це все одно що ми змінюємо погляд на ваги з погляду покупця на думку продавця, проте рівність при цьому зберігається.

На жаль, я так і не зміг добитися від своєї доньки повного запису рішення навіть у чернетках. У неї залізний аргумент: "нас так не вчили". А тим часом складність рівнянь, що складаються, збільшується, відсоток вгадувань, яку дію потрібно виконати для визначення невідомої величини, зменшується, оцінки падають. Що з цим робити, не знаю...

Примітка: у сучасній математиці прийнято розрізняти рівність і рівняння, тобто. 1 = 1 - це просто чисельну рівність, а якщо в одній із частин рівності є невідома, яку необхідно знайти, то це вже рівняння. Як на мене, таке диференціювання значень немає великого сенсу, лише ускладнює сприйняття матеріалу. Я вважаю, що будь-яку рівність можна називати рівнянням, а будь-яке рівняння ґрунтується на рівності. А крім того, виникає питання х = 6, чи це вже рівність чи це ще рівняння?

Найпростіші рівняння, аналогія з часом

Звичайно ж, аналогія з вагами при розв'язанні рівнянь далеко не єдина. Наприклад, розв'язання рівнянь можна розглядати й у часовому аспекті. Тоді умова, що описується рівнянням (500.1), звучатиме так:

Після того, як ми додали до невідомої кількості хще 2 одиниці, у нас стало 8 одиниць (зараз). Однак нас із тих чи інших причин не цікавить, скільки їх стало, а цікавить скільки їх було в минулому часі. Відповідно, щоб дізнатися, скільки в нас було цих одиниць, нам потрібно зробити зворотну дію, тобто. від 8 відібрати 2 (рівняння 500.3). Такий підхід точно відповідає викладеному в підручниках, але, на мій погляд, не такий наочний, як аналогія з вагами. Втім, думки з цього приводу можуть бути різні.

Приклад вирішення рівняння з дужками

Цю статтю я написав улітку, коли дочка закінчила 4 клас, але не минуло й півроку, як їм у школі почали ставити рішення рівнянь наступного виду:

(97 + 75: (50 - 5х)) · 3 = 300 (500.10)

Ніхто в класі вирішити це рівняння не зміг, а тим часом у його вирішенні при застосуванні запропонованого мною способу немає нічого складного, тільки повна форма запису займатиме занадто багато місця:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5х), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5х), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5х), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 · (50 - 5х) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3 = 50 - 5х, (500.10.11)

25 = 50 - 5х (500.10.12)

25 + 5х = 50 - 5х + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5х, = 50 - 25, (500.10.16)

5х, = 25, (500.10.17)

5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)

х = 25: 5 (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Однак на даному етапі такий повній формізапису немає потреби. Якщо ми дісталися подвійних дужок, то не обов'язково для математичних операцій у лівій і правій частині складати окреме рівняння, тому запис рішення в чернетці цілком може виглядати так:

97 + 75: (50 - 5х) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5х), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5х), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5х), · (50 - 5х) = 3, · (50 - 5х) (500.10.8)

75 , = 3 · (50 - 5х) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 · (50 - 5х) , : 3 (500.10.10)

25 = 50 - 5х (500.10.12)

25 + 5х = 50 - 5х + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5х, = 25, (500.10.17)

5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

Разом цьому етапі потрібно було записати 14 рівнянь на вирішення вихідного.

При цьому запис рішення рівняння в чистовику може мати такий вигляд:

97 + 75: (50 - 5х) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5х) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5х) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5х) = 3 (500.10.7)

75 = 3 · (50 - 5х) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5х (500.10.11)

25 = 50 - 5х (500.10.12)

25 + 5х = 50 (500.10.14)

5х = 50 - 25 (500.10.16)

5х = 25 500.10.17)

х = 25: 5 (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Тобто. при скороченій формі запису нам все одно доведеться скласти 12 рівнянь. Економія в записі при цьому мінімальна, а ось із розумінням необхідних дій у п'ятикласника справді можуть виникнути проблеми.

P.S.Тільки коли справа дійшла до подвійних дужок, дочка зацікавилася запропонованим мною методом вирішення рівнянь, але при цьому в її формі запису навіть у чернетці все одно рівнянь у 2 рази менше, тому що вона пропускає підсумкові рівняння типу (500.10.4) (500.10). 7) і їм подібні, а під час запису відразу залишає місце для наступного математичної дії. У результаті запис у її чернетці виглядав приблизно так:

(97 + 75: (50 - 5х)) · 3 , : 3 = 300 , : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5х), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5х), · (50 - 5х) = 3, · (50 - 5х) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 · (50 - 5х) , : 3 (500.10.10)

25 + 5х = 50 - 5х + 5х (500.10.13)

25 + 5х, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

У результаті вийшло лише 8 рівнянь, що навіть менше, ніж потрібно при скороченому записі рішення. В принципі, я не заперечую, ось тільки була б від цього користь.

Ось власне і все, що мені хотілося сказати щодо вирішення найпростіших рівнянь, що містять одну невідому величину. Для вирішення рівнянь, що містять дві невідомі величини, потрібно

Отримавши загальне уявлення про рівність , і познайомившись з одним з їх видів - числовими рівностями, можна почати розмову про ще один дуже важливий з практичної точки зору вид рівностей - про рівняння. У цій статті ми розберемо, що таке рівнянняі що називають коренем рівняння. Тут ми дамо відповідні визначення, а також наведемо різноманітні приклади рівнянь та їх коріння.

Навігація на сторінці.

Що таке рівняння?

Цілеспрямоване знайомство з рівняннями зазвичай починається під час уроків математики у 2 класі. В цей час дається таке визначення рівняння:

Визначення.

Рівняння- Це рівність, що містить невідоме число, яке треба знайти.

Невідомі числа в рівняннях заведено позначати за допомогою маленьких латинських буквнаприклад, p , t , u і т.п., але найбільш часто використовуються літери x , y і z .

Таким чином, рівняння визначається з позиції форми запису. Іншими словами, рівність є рівнянням, коли підпорядковується зазначеним правилам запису – містить літеру, значення якої необхідно знайти.

Наведемо приклади перших і найперших простих рівнянь. Почнемо з рівнянь виду x = 8, y = 3 і т.п. Трохи складніше виглядають рівняння, що містять разом із числами та літерами знаки арифметичних дійнаприклад, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Різноманітність рівнянь зростає після знайомства з - починають з'являтися рівняння з дужками, наприклад, 2 · (x-1) = 18 і x + 3 · (x +2 · (x-2)) = 3 . Невідома літера в рівнянні може бути кілька разів, наприклад, x+3+3·x−2−x=9 , також літери можуть бути в лівій частині рівняння, в його правій частині, або в обох частинах рівняння, наприклад, x· (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 або 3·x−4=2·(x+12) .

Далі після вивчення натуральних чиселвідбувається знайомство з цілими, раціональними, дійсними числами, вивчаються нові математичні об'єкти: ступеня, коріння, логарифми і т.д., при цьому з'являються нові і нові види рівнянь, що містять ці речі. Їхні приклади можна переглянути у статті основні види рівнянь, що вивчаються у школі.

У 7 класі поряд з літерами, під якими мають на увазі деякі конкретні числа, починають розглядати літери, які можуть набувати різних значень, їх називають змінними (див. статтю). При цьому визначення рівняння впроваджується слово «змінна», і воно стає таким:

Визначення.

Рівняннямназивають рівність, що містить змінну, значення якої необхідно визначити.

Наприклад, рівняння x+3=6·x+7 – рівняння зі змінною x , а 3·z−1+z=0 – рівняння зі змінною z .

На уроках алгебри в тому ж 7 класі відбувається зустріч із рівняннями, що містять у своєму записі не одну, а дві різні невідомі змінні. Їх називають рівняннями із двома змінними. Надалі допускають присутність у записі рівнянь трьох та більшої кількості змінних.

Визначення.

Рівняння з одним, двома, трьома і т.д. змінними– це рівняння, що містять у своєму записі одну, дві, три, … невідомі змінні відповідно.

Наприклад, рівняння 3,2 x 0,5 = 1 - це рівняння з однією змінною x , у свою чергу рівняння виду x-y = 3 - це рівняння з двома змінними x і y . І ще один приклад: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Зрозуміло, що таке рівняння – це рівняння з трьома невідомими змінними x, y та z.

Що таке корінь рівняння?

З визначенням рівняння безпосередньо пов'язане визначення кореня цього рівняння. Проведемо деякі міркування, які допоможуть зрозуміти, що таке корінь рівняння.

Припустимо, маємо рівняння з однією літерою (змінною). Якщо замість літери, що входить до запису цього рівняння, підставити деяке число, то рівняння звернутися до числової рівності. Причому отримана рівність може бути як вірною, так і невірною. Наприклад, якщо замість букви a рівняння a+1=5 підставити число 2 , то вийде неправильне числове рівність 2+1=5 . Якщо ж ми на це рівняння підставимо замість a число 4 , то вийде правильну рівність 4+1=5 .

Насправді у переважній більшості випадків інтерес становлять такі значення змінної, підстановка яких у рівняння дає правильну рівність, ці значення називають корінням чи рішеннями цього рівняння.

Визначення.

Корінь рівняння– це значення літери (змінної), при підстановці якого рівняння звертається у правильне числове рівність.

Зазначимо, що корінь рівняння з однією змінною називають рішенням рівняння. Іншими словами, рішення рівняння та корінь рівняння – це одне й те саме.

Пояснимо це визначення з прикладу. Для цього повернемося до вищезаписаного рівняння a+1=5 . Згідно з озвученим визначенням кореня рівняння, число 4 є корінь цього рівняння, тому що при підстановці цього числа замість літери a отримуємо правильну рівність 4+1=5 , а число 2 не є його коренем, тому що йому відповідає неправильна рівність виду 2+1= 5 .

На цей момент виникає низка природних питань: «Чи будь-яке рівняння має корінь, і скільки коренів має задане рівняння»? Відповімо на них.

Існують як рівняння, що мають коріння, так і рівняння, що не мають коріння. Наприклад, рівняння x+1=5 має корінь 4 , а рівняння 0·x=5 немає коренів, оскільки яке б число ми підставили це рівняння замість змінної x , ми отримаємо неправильне рівність 0=5 .

Що стосується числа коренів рівняння, то існують як рівняння, що мають деяке кінцеве число коренів (один, два, три і т.д.), так і рівняння, що мають нескінченно багато коренів. Наприклад, рівняння x−2=4 має єдиний корінь 6 , корінням рівняння x 2 =9 є два числа −3 і 3 , рівняння x·(x−1)·(x−2)=0 має три корені 0 , 1 та 2 а рішенням рівняння x=x є будь-яке число, тобто, воно має нескінченну безліч коренів.

Кілька слів варто сказати про прийнятий запис коренів рівняння. Якщо рівняння немає коренів, зазвичай так і пишуть «рівняння немає коренів», або застосовують знак порожньої множини ∅. Якщо рівняння має коріння, їх записують через кому, або записують як елементи множиниу фігурних дужках. Наприклад, якщо корінням рівняння є числа -1, 2 і 4, то пишуть -1, 2, 4 або (-1, 2, 4). Допустимо також записувати коріння рівняння у вигляді найпростіших рівностей. Наприклад, якщо рівняння входить буква x , і корінням цього рівняння є числа 3 і 5 , можна записати x=3 , x=5 , також змінної часто додають нижні індекси x 1 =3 , x 2 =5 , як би вказуючи номери коріння рівняння. Нескінченна безліч коренів рівняння зазвичай записують у вигляді, також при можливості використовують позначення множин натуральних чисел N, цілих чисел Z, дійсних чисел R. Наприклад, якщо коренем рівняння зі змінною x є будь-яке ціле число, то пишуть , а якщо корінням рівняння зі змінною y є будь-яке дійсне число від 1 до 9 включно, записують .

Для рівнянь із двома, трьома та великою кількістю змінних, як правило, не застосовують термін «корінь рівняння», у цих випадках говорять «рішення рівняння». Що ж називають розв'язком рівнянь із кількома змінними? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Розв'язанням рівняння з двома, трьома тощо. змінниминазивають пару, трійку тощо. значень змінних, що обертає це рівняння у правильну числову рівність.

Покажемо приклади, що пояснюють. Розглянемо рівняння із двома змінними x+y=7 . Підставимо в нього замість x число 1, а замість y число 2, при цьому маємо рівність 1+2=7. Очевидно, воно неправильне, тому пара значень x=1 , y=2 не є рішенням записаного рівняння. Якщо взяти пару значень x=4 , y=3 , то після підстановки рівняння ми прийдемо до правильної рівності 4+3=7 , отже, ця пара значень змінних за визначенням є рішенням рівняння x+y=7 .

Рівняння з декількома змінними, як і рівняння з однією змінною, можуть не мати коріння, можуть мати кінцеве число коренів, а можуть мати і нескінченно багато коренів.

Пари, трійки, четвірки і т.д. значень змінних часто записують коротко, перераховуючи їх значення через кому в круглих дужках. При цьому записані числа у дужках відповідають змінним в алфавітному порядку. Пояснимо цей момент, повернувшись до попереднього рівняння x+y=7. Розв'язання цього рівняння x=4 , y=3 коротко можна записати як (4, 3).

Найбільшу увагу у шкільному курсі математики, алгебри та почав аналізу приділяється знаходженню коренів рівнянь з однією змінною. Правила цього процесу ми дуже докладно розберемо у статті вирішення рівнянь.

Список літератури.

• Математика. 2 кл. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін] - 3-тє вид. – К.: Просведение, 2012. – 96 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Що таке рівняння

• Що означає вирішити рівняння

• Основні правила розв'язування рівнянь.

• Класифікація рівнянь.

• Рівнянням називають рівність, де невідоме позначено буквою. Значення літери коли з рівняння виходить правильне числове рівність, називають коренем рівняння.

Вирішити рівняння

• Вирішити рівняння - означає знайти все його коріння (або переконатися, що рівняння немає жодного кореня).

• Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок (якщо а + х = b, то х = b – а)

• 7 + х = 23

• х = 23 - 7

• х = 16

• Щоб знайти невідоме зменшуване, треба скласти віднімання і різницю.

• (якщо х - а = d, то х = а + d)

• х-8 = 5

• х = 8+5

• х = 13

• Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю

• (якщо а - х = b, то х = а-b)

• 9-х = 1,3

• х = 9-1,3

• х = 7,7

• Щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник

• (якщо ах = b, то х = b: а)

• 0,2 х = 6

• х = 6: 0,2

• х = 30

• Щоб знайти невідоме ділене, треба помножити на дільник (якщо х: а = b , то х = аb)

• х: 0,3 = 4

• х = 4*0.3

• х = 1.2

• Щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне

• (якщо а: х = b, то х = а: b)

• 0.8: х = -5

• х = 0.8 (-5)

• х=-0.16

• Коріння рівняння не змінюються, якщо якесь складник перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак.

• 3х - 8 = х - 14

• 3х -х = -14 + 8

• 2х = -6

• х = -3

• Коріння рівняння не змінюються, якщо обидві його частини помножити або розділити на те саме число, не дорівнює нулю.

Рішенням рівняння служить х =

• Рішенням рівняння служить х =

• Рівняння (де а 0 а рівносильне рівнянню f (x) = g (x)

• Рівняння виду за допомогою підстановки зводиться до квадратного рівняння

• Рівняння, що містить змінну під знаком логарифму, називається логарифмічним.

• Рішення логарифмічного рівняння виду

• засноване на тому, що таке рівняння рівносильне рівнянню f(x)=g(x) за додаткових умов f(x)

• Згідно з визначенням логарифму,

• Лінійним рівнянням з одним невідомим називають рівняння виду Це рівняння завжди має єдине рішення:

• Квадратним рівняння з одним невідомим називається рівняння виду

• Дискримінантом квадратного рівняння називається число

• Якщо D > 0, то рівняння рішень немає

• Якщо D=0, то рівняння має єдине рішення:

• Якщо D > 0, то рівняння має два рішення:

• Неповне квадратне рівняння - це рівняння, в якому хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю. При С=0 рівняння набуває вигляду

• Наведеним квадратним рівнянням називається рівняння виду, тобто квадратне рівняння, у якому перший коефіцієнт дорівнює одиниці.

• Визначити знаки коренів рівняння

ТЕОРЕМА ВІЄТА

• Якщо наведене квадратне рівняння має дійсне коріння, їх сума дорівнює другому коефіцієнту, взятому зі знаком мінус, тобто. –р, які твір- вільному члену q.

• Рівняння виду називається біквадратним.

• Таке рівняння вирішується шляхом заміни змінної. Позначимо тоді. Вихідне рівняння набуде вигляду тобто звичайним квадратним рівнянням.

• Симетричним рівнянням третього ступеня називається рівняння виду Зауважимо, що

• тобто. розв'язання цього рівняння рівносильне сукупності

• Симетричним рівнянням четвертого ступеня називається будь-яке з наступних двох рівнянь:

• Для вирішення першого рівняння введемо нову змінну, а для вирішення другого -

• змінну Маємо: тобто. отримані прості квадратні рівняння.

• Модулем числа х називається саме це число, коли воно неотрицательно, чи число –х, якщо число х негативно. Позначення:

• Формальний запис цього визначення такий:

• Вирішити рівняння:

Формула для коріння рівняння

• Формула для коріння рівняння

• sin x=a () має вигляд

• cos x=a

• tg x=a

• ctg x=a

• Розв'язанням тригонометричних рівнянь може бути метод заміни змінної

• Тригонометричне рівняння виду

• всі члени якого мають один і той же ступінь щодо синуса та косинуса, називається

• однорідним. Однорідне рівняння легко зводиться до рівняння відносно, якщо всі його члени розділити на. При цьому якщо такий поділ не призведе до втрати рішень, оскільки значення не задовольняє рівняння. Якщо ж, то виноситься за дужки.

• Рівняння виду рівносильне рівнянню, де

• Найчастіше застосовується метод, у тому, що це члени рівняння, які перебувають у правій частині, переносяться в ліву частину; після чого ліва

• частина рівняння розкладається на множники, у своїй застосовуються формули розкладання тригонометричних функцій до твір, формули зниження ступеня, формули перетворення твори тригонометричних функцій систему.

Дробно-раціональні рівняння

• Раціональним рівнянням алгебри називається рівняння виду, де і - багаточлени.

• Вираз має сенс лише у тому випадку, якщо виконується умова

• Отже, раціональне рівняння має рішення за умови

Ірраціональні рівняння

• Рівняння, що містять один знак радикала другого ступеня

• Зведення обох частин рівняння ступінь.

• При зведенні обох частин рівняння в парний ступінь виходить рівняння, нерівносильне вихідному. Позбутися сторонніх коренів допомагає безпосередня перевірка отриманих коренів у вихідному рівнянні, тобто. коріння по черзі підставляють у початкове рівняння і перевіряють, чи правильно виходить числову рівність.

• Рівність нулю твору (приватного) двох виразів.

• Твір двох виразів дорівнює нулю, якщо хоча б один із виразів дорівнює нулю, а інше при цьому має сенс. Формально це записується так:

• Формальний запис частки від поділу двох виразів рівних нулю:

• Рівняння, що містять два(три) знаки радикала другого ступеня

• Зведення у квадрат обох частин рівняння.

Спочатку рівняння необхідно перетворити те щоб в одній частині стояли радикали, а іншій- інші члени вихідного рівняння. Так чинять, якщо в рівнянні два радикали. Якщо ж їх три, то два з них залишають в одній частині рівняння, а третій переносять до іншої. Потім обидві частини рівняння зводять квадрат і проводяться необхідні перетворення. Далі всі члени рівняння, що не містять радикалів, знову переносяться в один бік рівняння, а радикал, що залишився (тепер він один!)-в іншу. Отримане рівняння знову зводять у квадрат, й у результаті виходить рівняння, яке містить радикалів.

Рівняння, що містять радикали третього та більш високих степів.

• При вирішенні рівнянь, що містять радикали третього ступеня, корисно користуватися наступними тотожностями:

• Вирішити рівняння:

• Рішення: Зведемо обидві частини цього рівняння в третій ступінь і скористаємося вище наведеною тотожністю:

• Зауважимо, що вираз, що стоїть у дужках, дорівнює 1, що випливає з початкового рівняння. Враховуючи це та наводячи подібні члени, отримаємо:

• Розкриємо дужки, наведемо таких членів і вирішимо квадратне рівняння. Його коріння х=5 та х=-25/2. Якщо вважати (за визначенням), що корінь непарного ступеня можна отримувати і з негативних чисел, то обидва отримані числа є рішеннями вихідного рівняння.

• Відповідь:5,-25/2

При яких значеннях а

• При яких значеннях арівняння має два корені, один з яких більший за 1, а інший менший?

• Рішення: Розглянемо функцію:

• і збудуємо ескіз її графіка. При а=0функція стає лінійною та двох перетинів з віссю Ох(коренів рівняння у = 0) імати не може.

• При а>0графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Необхідною і достатньою умовою існування коріння такого, що в цьому випадку є єдина умова:

• Якщо ж а умова, відповідно, (рис.)

• Отже розв'язання задачі формально задається сукупністю:

• Відповідь:

• Система рівнянь і двох чи більше алгебраїчних рівнянь.

• Рішення системиназивається такий набір значень змінних, який при підстановці перетворює кожне рівняння системи на числове або буквене тотожність.

• Вирішити систему -означає знайти всі її рішення або довести, що їх немає.

Графічне вирішення систем

• Графічний спосіб розв'язання систем рівнянь полягає в наступному:

• Будуються графіки кожного рівняння системи;

• Визначаються точки перетину графіків;

• Записується відповідь: координати точок перетину побудованих графіків.

• Графічний спосіб розв'язання систем рівнянь у більшості випадків не дає точного розв'язання системи, проте він може бути корисним для наочної ілюстрації міркувань.

Рішення:

• Рішення:Графіки першого та третього рівняння – прямі; графік другого рівняння – кубічна парабола (рис). З трьох точок перетину лише одна є загальною для всіх графіків рівнянь системи.

• Відповідь: (0; 0)

Рівносильність рівнянь

• Рівносильними (еквівалентними) рівняння називаються в тому випадку, якщо всі корені першого рівняння є корінням другого рівняння, а всі корені другого рівняння – корінням першого.

• Рівносильні перетворення рівняння – це перетворення, що призводять до рівносильного рівняння:

• 1) Додаток одночасно до обох частин рівняння будь-якого числа (зокрема, перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака)

• 2) Множення (і розподіл) обох частин рівняння одночасно на будь-яке число, відмінне від нуля.

• Крім того, для рівнянь у ділянці дійсних чисел:

• 3) Зведенням обох частин рівняння у будь-який непарний ступінь

• 4) Зведення обох частин рівняння за умови, що вони невід'ємні, у будь-який парний натуральний ступінь

Ю.Н.Макаричов - «Алгебра. Додаткові розділи до шкільного підручника. 8 клас." 2003р.

Ю.Н.Макаричов - «Алгебра. Додаткові розділи до шкільного підручника. 9 клас." 2003р.

Презентацію підготували:

• Вікторія Шманова

• Дєєва Олександра

• 11 клас

• МОУ «ЗОШ №1»

• м. Шуміха

• 2007р.

• детальна інформація за тел 83524521413

• Особлива подяка вчителям ЗОШ №1:

• Терегуловій Ірині Вікторівні

• Шманову Анатолію Івановичу

У курсі шкільної математики дитина вперше чує термін "рівняння". Що таке, спробуємо розібратися разом. У цій статті розглянемо види та способи розв'язання.

Математика. Рівняння

Спочатку пропонуємо розібратися з самим поняттям, що це таке? Як свідчать багато підручників математики, рівняння - це деякі висловлювання, між якими стоїть обов'язково знак рівності. У цих висловлюваннях присутні літери, звані змінні, значення яких необхідно знайти.

Це атрибут системи, що змінює своє значення. Наочним прикладом змінних є:

• Температура повітря;
• зріст дитини;
• вага і таке інше.

У математиці вони позначаються буквами, наприклад, х, а, b, с... Зазвичай завдання з математики звучить так: знайдіть значення рівняння. Це означає, що потрібно визначити значення даних змінних.

Різновиди

Рівняння (що таке, ми розібрали у попередньому пункті) може бути такого вигляду:

• лінійні;
• квадратні;
• кубічні;
• алгебраїчні;
• трансцендентні.

Для більш детального знайомства з усіма видами розглянемо кожен окремо.

Лінійне рівняння

Це перший вид, з яким знайомляться школярі. Вони вирішуються досить швидко і просто. Отже, лінійне рівняння, що таке? Це вираз виду: ах = с. Так не особливо зрозуміло, тому наведемо кілька прикладів: 2х = 26; 5х = 40; 1,2 х = 6.

Розберемо приклади рівнянь. Для цього нам необхідно всі відомі дані зібрати з одного боку, а невідомі з іншого: х=26/2; х = 40/5; х = 6/1,2. Тут використовувалися елементарні правила математики: а*с=е, із цього с=е/а; а=е/с. Щоб завершити рішення рівняння, виконаємо одну дію (у разі розподіл) х=13; х = 8; х = 5. Це були приклади на множення, тепер переглянемо на віднімання та додавання: х+3=9; 10х-5 = 15. Відомі дані переносимо в один бік: х = 9-3; х = 20/10. Виконуємо останню дію: х = 6; х = 2.

Також можливі варіанти лінійних рівняньде використовується більше однієї змінної: 2х-2у=4. Для того щоб вирішити, необхідно до кожної частини додати 2у, у нас виходить 2х-2у+2у=4-2у, як ми помітили, ліву частинузнаки рівності -2у і +2у скорочуються, причому у нас залишається: 2х=4-2у. Останнім кроком ділимо кожну частину на два, отримуємо відповідь: ікс дорівнює два мінуси ігор.

Завдання із рівняннями зустрічаються навіть на папірусах Ахмеса. Ось одне із завдань: число та четверта його частина дають у сумі 15. Для її вирішення ми записуємо наступне рівняння: ікс плюс одна четверта ікс дорівнює п'ятнадцяти. Ми ще один приклад за підсумком рішення, отримуємо відповідь: х=12. Але це завдання можна вирішити й іншим способом, а саме єгипетським або, як його називають інакше, способом припущення. У папірусі використовується таке рішення: візьміть чотири та четверту її частину, тобто одиницю. У сумі вони дають п'ять, тепер п'ятнадцять необхідно розділити на суму, ми отримуємо три, останньою дією три множимо на чотири. Ми отримуємо відповідь: 12. Чому ми у рішенні п'ятнадцять ділимо на п'ять? Так дізнаємося, скільки разів п'ятнадцять, тобто результат, який нам необхідно отримати, менше п'яти. У такий спосіб вирішували завдання у середні віки, він став зватись методом хибного становища.

Квадратні рівняння

Крім розглянутих раніше прикладів, є й інші. Які саме? Квадратне рівняння, що таке? Вони мають вигляд ax2+bx+c=0. Для їх вирішення необхідно ознайомитися з деякими поняттями та правилами.

По-перше, потрібно знайти дискримінант за такою формулою: b 2 -4ac. Є три варіанти вирішення:

• дискримінант більший за нуль;
• менше нуля;
• дорівнює нулю.

У першому варіанті ми можемо отримати відповідь із двох коренів, які знаходяться за формулою: -b+-корінь із дискримінанта розділені на подвійний перший коефіцієнт, тобто 2а.

У другому випадку коріння у рівняння немає. У третьому випадку корінь перебуває за формулою: -b/2а.

Розглянемо приклад квадратного рівняння для докладнішого знайомства: три ікс у квадраті мінус чотирнадцять ікс мінус п'ять дорівнює нулю. Для початку, як і писалося раніше, шукаємо дискримінант, у нашому випадку він дорівнює 256. Зазначимо, що отримане число більше нуля, отже, ми повинні отримати відповідь, що складається з двох коренів. Підставляємо отриманий дискримінант у формулу знаходження коріння. У результаті ми маємо: ікс дорівнює п'яти та мінус однієї третьої.

Особливі випадки у квадратних рівняннях

Це приклади, у яких деякі значення дорівнюють нулю (а, b або с), а можливо, і кілька.

Для прикладу візьмемо наступне рівняння, яке є квадратним: два ікс у квадраті дорівнює нулю, тут ми бачимо, що b і дорівнюють нулю. Спробуємо його вирішити, при цьому обидві частини рівняння ділимо на два, ми маємо: х 2 =0. Через війну отримуємо х=0.

Інший випадок 16х2 -9 = 0. Тут лише b=0. Розв'яжемо рівняння, вільний коефіцієнт переносимо у праву частину: 16х 2 =9, тепер кожну частину ділимо на шістнадцять: х 2 = дев'ять шістнадцятих. Так як у нас х у квадраті, то корінь із 9/16 може бути як негативним, так і позитивним. Відповідь записуємо наступним чином: ікс дорівнює плюс/мінус три четверті.

Можливий такий варіант відповіді, як у рівняння коренів зовсім немає. Подивимося такий приклад: 5х 2 +80=0, тут b=0. Для вирішення вільний член перекидаєте в правий бікПісля цих дій отримуємо: 5х 2 =-80, тепер кожну частину ділимо на п'ять: х 2 = мінус шістнадцять. Якщо будь-яке число звести квадрат, то негативне значення ми отримаємо. Тому наша відповідь звучить так: у рівняння коренів немає.

Розкладання тричлена

Завдання квадратних рівнянь може звучати й іншим чином: розкласти квадратний тричленна множники. Це можна здійснити, скориставшись такою формулою: а(х-х 1)(х-х 2). Для цього, як і в іншому варіанті завдання, потрібно знайти дискримінант.

Розглянемо наступний приклад: 3х 2 -14х-5, розкладіть тричлени на множники. Знаходимо дискримінант, користуючись вже відомою нам формулою, він виходить рівним 256. Відразу відзначаємо, що 256 більше за нуль, отже, рівняння матиме два корені. Знаходимо їх, як у попередньому пункті, маємо: х= п'ять і мінус одна третя. Скористаємося формулою для розкладання тричлена на множники: 3(х-5)(х+1/3). У другій дужці ми отримали знак одно, тому що у формулі стоїть знак мінуса, а корінь теж негативний, користуючись елементарними знаннями математики, у сумі маємо знак плюса. Для спрощення перемножимо перший і третій член рівняння, щоб позбутися дробу: (х-5)(х+1).

Рівняння, що зводяться до квадратного

У цьому пункті навчимося вирішувати складніші рівняння. Почнемо відразу з прикладу:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можемо помітити елементи, що повторюються: (x 2 - 2x), нам для вирішення зручно замінити його на іншу змінну, а далі вирішувати звичайне квадратне рівняння, відразу відзначаємо, що в такому завданні ми отримаємо чотири корені, це не повинно вас лякати. Позначаємо повторення змінної а. Ми отримуємо: 2 -2а-3=0. Наш наступний крок- Це знаходження дискримінанта нового рівняння. Ми отримуємо 16, знаходимо два корені: мінус один і три. Згадуємо, що ми робили заміну, підставляємо ці значення, у результаті маємо рівняння: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x = 3. Вирішуємо їх у першому відповідь: х дорівнює одиниці, у другому: х дорівнює мінусу одному і трьом. Записуємо відповідь так: плюс/мінус один і три. Як правило, відповідь записують у порядку зростання.

Кубічні рівняння

Розглянемо ще один можливий варіант. Йтиметьсяпро кубічні рівняння. Вони мають вигляд: ax3+bx2+cx+d=0. Приклади рівнянь ми розглянемо далі, а спочатку трохи теорії. Вони можуть мати три корені, також існує формула для знаходження дискримінанта для кубічного рівняння.

Розглянемо приклад: 3х3+4х2+2х=0. Як його вирішити? Для цього ми просто виносимо х за дужки: х(3х2+4х+2)=0. Все що нам залишається зробити – це обчислити коріння рівняння у дужках. Дискримінант квадратного рівняння в дужках менше нуля, тому вираз має корінь: х=0.

Алгебра. Рівняння

Переходимо до такого виду. Зараз ми коротко розглянемо алгебраїчні рівняння. Одне із завдань звучить наступним чином: розкласти на множники 3х 4+2х3+8х2+2х+5. Найзручнішим способом буде наступне угруповання: (3х4+3х2)+(2х3+2х)+(5х2+5). Зауважимо, що 8х2 з першого виразу ми представили у вигляді суми 3х2 і 5х2. Тепер виносимо з кожної дужки загальний множник 3х2(х2+1)+2х(х2+1)+5(х2+1). Ми бачимо, що у нас є спільний множник: ікс у квадраті плюс один, виносимо його за дужки: (х 2+1) (3х2+2х+5). Подальше розкладання неможливе, оскільки обидва рівняння мають негативний дискримінант.

Трансцендентні рівняння

Пропонуємо розібратися з таким типом. Це рівняння, що містять трансцендентні функції, а саме логарифмічні, тригонометричні чи показові. Приклади: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 тощо. Як вони вирішуються ви дізнаєтесь з курсу тригонометрії.

Функція

Завершальним етапом розглянемо поняття рівняння функції. На відміну від попередніх варіантів даний тип не вирішується, а по ньому будується графік. Для цього рівняння варто добре проаналізувати, знайти всі необхідні точки для побудови, обчислити точку мінімуму та максимуму.