Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤.
Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями.
Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завдання прийнято графічно, для цього розроблено два способи.
Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції
Щоб знайти проміжок, який відповідає умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії:
- На координатній осі побудувати синусоїду y = sin x.
- На тій же осі накреслити графік числового аргументу нерівності, тобто пряму, що проходить через точку ординати ОY.
- Відзначити точки перетину двох графіків.
- Заштрихувати відрізок є рішенням прикладу.
Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Оскільки найменший позитивний період синусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так:
Якщо знаки виразу несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти у квадратні дужки — . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності: 
Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола
Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий:
- Спочатку варто накреслити одиничне коло.
- Потім слід зазначити значення аркфункції аргументу правої частини нерівності на дузі кола.
- Потрібно провести пряму проходить через значення аркфункції паралельно осі абсциси (ОХ).
- Після залишиться тільки виділити дугу кола, що є безліччю розв'язків тригонометричної нерівності.
- Записати відповідь у потрібній формі.
Розберемо етапи розв'язання з прикладу нерівності sin x › 1/2. На колі відмічені точки α та β – значення
Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності.
Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом.
Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій.
Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період для обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg і ctg.
Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути
Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає.
Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π.
Складні тригонометричні нерівності
Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то мова вже йде про складній нерівності. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності:
Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка:
В результаті має вийти красива крива.
Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргумент функції
Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола
При розв'язанні тригонометричних нерівностей виду, де --- одна з тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричне коло для того, щоб наочно надати розв'язання нерівності і записати відповідь. Основним методом розв'язання тригонометричних нерівностей є зведення їх до найпростіших нерівностей типу. Розберемо з прикладу, як вирішувати такі нерівності.
Приклад Вирішіть нерівність.
Рішення. Намалюємо тригонометричне коло і відзначимо у ньому точки, котрим ординату перевершує.
Для вирішення цієї нерівності будуть. Зрозуміло також, що якщо деяке число відрізнятиметься від якогось числа із зазначеного інтервалу на, то також буде не менше. Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно додати. Звісно, отримуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усі.
Для вирішення нерівностей з тангенсом та котангенсом корисно поняття про лінію тангенсів та котангенсів. Такими є прямі і відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричного кола.
Легко помітити, що якщо побудувати промінь з початком на початку координат, що становить кут з позитивним напрямом осі абсцис, то довжина відрізка від точки до точки перетину цього променя з лінією тангенсів точно дорівнює тангенсу кута, який становить цей промінь з віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й у котангенсу.
Приклад Вирішіть нерівність.
Рішення. Позначимо, тоді нерівність набуде вигляду найпростішого: . Розглянемо інтервал довжиною, що дорівнює найменшому позитивному періоду (НВП) тангенсу. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів встановлюємо що. Згадуємо тепер, що потрібно додати, оскільки НПП функції. Отже, . Повертаючись до змінної, отримуємо, що
Нерівності із зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.
Розв'язання тригонометричних нерівностей графічним методом
Зауважимо, що якщо --- періодична функція, то для вирішення нерівності необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції. Усі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень, а також усіх, що відрізняються від знайдених на будь-яку кількість періодів функції
Розглянемо розв'язання нерівності ().
Оскільки, то за нерівності рішень не має. Якщо, то безліч розв'язків нерівності --- безлічвсіх дійсних чисел.
Нехай. Функція синус має найменший позитивний період, тому нерівність можна вирішити спочатку на довжині відрізку, наприклад, на відрізку. Будуємо графіки функцій та ().
На відрізку функція синус зростає, і рівняння, де має один корінь. На відрізку функція синус зменшується, і рівняння має корінь. На числовому проміжку графік функції розташований вище за графік функції. Тому для всіх проміжків) нерівність виконується, якщо. З огляду на періодичності функції синус всі рішення нерівності задаються нерівностями виду: .
Вирішувати нерівності з тангенсом ми будемо за допомогою одиничного кола.
Алгоритм розв'язання нерівностей з тангенсом:
- перемальовуємо кліше, зображене на малюнку, що стоїть вище;
- на лінії тангенсу відзначаємо $a$ та проводимо до цієї точки з початку координат пряму;
- точка перетину цієї прямої з півколом буде зафарбованою, якщо нерівність не сувора і не зафарбована, якщо строга;
- область буде розташована знизу від прямої та до кола, якщо нерівність містить знак “$>$”, і знизу прямий і до кола, якщо нерівність містить знак “$<$”;
- для знаходження точки перетину досить знайти арктангенс $a$, тобто. $x_(1)=(rm arctg) a$;
- у відповідь виписується одержаний проміжок, додаючи до кінців $+ \pi n$.
Приклади розв'язання нерівностей за допомогою алгоритму.
Приклад 1:Вирішити нерівність:
$(\rm tg)(x) \leq 1.$
Таким чином, рішення набуде вигляду:
$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$
Важливо!Точки $-\frac(\pi)(2)$ і $\frac(\pi)(2)$ у тангенсу завжди (незалежно від знаку нерівності)виколоти!
Приклад 2:Вирішити нерівність:
$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$
Зазначаємо на лінії тангенса точку $- \sqrt(3)$ і проводимо пряму з початку координат до неї. Точка перетину цієї прямої з півколом буде не зафарбованою, оскільки нерівність сувора. Область буде вище прямий і по колу, оскільки знак нерівності $>$. знайдемо точку перетину:
$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$
$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$
Повертаємося до вихідної змінної:
$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$
Останнє рівносильне системі нерівностей
$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
вирішивши яку ми отримаємо відповідь. Справді,
$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
І остаточно отримуємо:
$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + frac(\pi n)(2)\right), \ n \in Z.$
Нерівності, що містять тригонометричні функції, при вирішенні зводяться до найпростіших нерівностей виду cos(t)>a, sint(t)=a і подібним. І вже найпростіші нерівності вирішуються. Розглянемо різних прикладах способи розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей.
Приклад 1. Розв'язати нерівність sin(t) > = -1/2.
Малюємо одиничне коло. Так як sin(t) за визначенням - це координата y відзначаємо на осі Оу точку у =-1/2. Проводимо через неї пряму, паралельну до осі Ох. У місцях перетину прямої з графіком одиничного кола відзначаємо точки Pt1 та Pt2. З'єднуємо двома відрізками початок координат з точками Pt1 та Pt2.
Рішенням даної нерівності будуть всі точки одиничного кола розташовані вище даних точок. Тобто рішенням буде дуга l.. Тепер необхідно вказати умови, за яких довільна точка належатиме дузі l.
Pt1 лежить у правій півкола, її ордината дорівнює -1/2, тоді t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для опису точки Pt1 можна записати таку формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7 * pi/6. У результаті отримуємо для t наступне нерівність:
Ми зберігаємо знаки нерівностей. Оскільки функція синус функція періодична, значить рішення повторюватимуться через кожні 2*pi. Цю умову додаємо до отриманої нерівності для t та записуємо відповідь.
Відповідь: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
приклад 2.Розв'язати нерівність cos(t)<1/2.
Намалюємо одиничне коло. Оскільки згідно з визначенням cos(t) це координата х, відзначаємо на графіку на осі Ох точку x = 1/2.
Проводимо через цю точку пряму, паралельну до осі Оу. У місцях перетину прямої з графіком одиничного кола відзначаємо точки Pt1 та Pt2. З'єднуємо двома відрізками початок координат з точками Pt1 та Pt2.
Рішення будуть всі точки одиничного кола, які належать дузі l.. Знайдемо точки t1 і t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi/3 = 5 * pi/6.
Отримали нерівність для t: pi/3 Оскільки косинус - це періодична функція, то рішення будуть повторюватися через кожні 2*pi. Цю умову додаємо до отриманої нерівності для t та записуємо відповідь. Відповідь: pi/3+2*pi*n приклад 3.Розв'язати нерівність tg(t)< = 1. Період тангенсу дорівнює pi. Знайдемо рішення, що належать проміжку (-pi/2;pi/2) права півкола. Далі скориставшись періодичністю тангенсу, запишемо всі рішення цієї нерівності. Намалюємо одиничне коло і відзначимо на ньому лінію тангенсів. Якщо t буде рішення нерівності, то ордината точки Т = tg(t) повинна бути меншою або дорівнює 1. Безліч таких точок складатиме промінь АТ. Безліч точок Pt, які відповідатимуть точкам цього променя - дуга l. Причому точка P(-pi/2) не належить цій дузі.
