Додому Біль у зубі Розкладання періодичної функції тригонометричний ряд фурье. Розкладання в ряд фур'є по косинусах

Біль у зубі

Розкладання періодичної функції тригонометричний ряд фурье. Розкладання в ряд фур'є по косинусах

Які вже добряче набридли. І я відчуваю, що настав момент, коли зі стратегічних запасів теорії настав час витягти нові консерви. Чи не можна розкласти функцію в ряд якось інакше? Наприклад, виразити відрізок прямої лінії через синуси та косинуси? Здається неймовірним, але такі, начебто, далекі одна від одної функції піддаються
"возз'єднання". Крім примелькавшихся ступенів у теорії та практиці існують інші підходи до розкладання функції в ряд.

На цьому уроці ми познайомимося з тригонометричним поряд Фур'є, торкнемося питання його збіжності та суми і, звичайно ж, розберемо численні приклади на розкладання функцій до ряду Фур'є. Щиро хотілося назвати статтю «Ряди Фур'є для чайників», але це було б лукавством, оскільки для вирішення завдань знадобляться знання інших розділів математичного аналізу та деякий практичний досвід. Тому преамбула нагадуватиме підготовку космонавтів =)

По-перше, до вивчення матеріалів сторінки слід підійти у відмінній формі. Виспалися, відпочили і тверезі. Без сильних емоцій з приводу зламаної лапи хом'ячка та нав'язливих думокпро тяготи життя акваріумних рибок. Ряд Фур'є не складний з погляду розуміння, проте практичні завданнявимагають просто підвищеної концентрації уваги - в ідеалі слід повністю відмовитися від зовнішніх подразників. Ситуація ускладнюється тим, що не існує легкого способу перевірки рішення та відповіді. Таким чином, якщо ваше самопочуття нижче середнього, то краще зайнятися чимось простим. Щоправда.

По-друге, перед польотом у космос необхідно вивчити панель приладів космічного корабля. Почнемо із значень функцій, які повинні клацатися на автоматі:

При будь-якому натуральному значенні:

1). І справді, синусоїда «прошиває» вісь абсцис через кожне «пі»:
. Що стосується негативних значень аргументу результат, звісно ж, буде таким же: .

2). А це знали не всі. Косинус «пі ен» є еквівалентом «мигалки»:

Негативний аргумент справи не змінює: .

Мабуть, достатньо.

І, по-третє, шановний загін космонавтів, необхідно вміти... інтегрувати.
Зокрема, впевнено підводити функцію під знак диференціала, інтегрувати частинами і бути в ладах з формулою Ньютона-Лейбніца. Почнемо важливі передпольотні вправи. Категорично не рекомендую пропускати, щоб потім не плющило у невагомості:

Приклад 1

Обчислити певні інтеграли

де набуває натуральних значень.

Рішення: інтегрування проводиться за змінною "ікс" і на даному етапі дискретна змінна "ен" вважається константою. У всіх інтегралах підводимо функцію під знак диференціала:

Коротка версія рішення, до якої добре пристрілятися, виглядає так:

Звикаємо:

Чотири пункти, що залишилися, самостійно. Постарайтеся сумлінно поставитися до завдання та оформити інтеграли коротким способом. Зразки рішень наприкінці уроку.

Після якісного виконання вправ надягаємо скафандри
і готуємось до старту!

Розкладання функції у ряд Фур'є на проміжку

Розглянемо деяку функцію, яка визначена принаймні на проміжку (а, можливо, і на більшому проміжку). Якщо ця функція інтегрована на відрізку, її можна розкласти в тригонометричний ряд Фур'є:
де – так звані коефіцієнти Фур'є.

У цьому число називають періодом розкладання , а число – напівперіодом розкладання .

Очевидно, що в загальному випадку ряд Фур'є складається з синусів та косінусів:

Дійсно, розпишемо його докладно:

Нульовий член низки прийнято записувати як .

Коефіцієнти Фур'є розраховуються за такими формулами:

Прекрасно розумію, що початківцям вивчати тему поки що малозрозумілі нові терміни: період розкладання, напівперіод, коефіцієнти Фур'єта ін Без паніки, це не порівняно з хвилюванням перед виходом у відкритий космос. У всьому розберемося в найближчому прикладі, перед виконанням якого логічно поставитися насущними практичними питаннями:

Що потрібно зробити в наведених нижче завданнях?

Розкласти функцію до ряду Фур'є. Додатково нерідко потрібно зобразити графік функції, графік суми ряду, часткової суми і у разі витончених професорських фантазій зробити щось ще.

Як розкласти функцію до ряду Фур'є?

По суті, потрібно знайти коефіцієнти Фур'є, тобто, скласти та обчислити три певні інтеграли.

Будь ласка, перепишіть загальний вигляд ряду Фур'є та три робочі формули до себе у зошит. Я дуже радий, що у деяких відвідувачів сайту прямо на моїх очах здійснюється дитяча мрія стати космонавтом.

Приклад 2

Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Побудувати графік, графік суми ряду та часткової суми.

Рішення: перша частина завдання полягає у розкладанні функції в ряд Фур'є.

Початок стандартний, обов'язково записуємо, що:

У цьому завдання період розкладання, напівперіод.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є на проміжку:

Використовуючи відповідні формули, знайдемо коефіцієнти Фур'є. Тепер потрібно скласти та обчислити три певні інтеграли. Для зручності я нумеруватиму пункти:

1) Перший інтеграл найпростіший, однак і він уже вимагає око та око:

2) Використовуємо другу формулу:

Цей інтеграл добре знайомий і береться він частинами :

Під час знаходження використано метод підведення функції під знак диференціала.

У розглянутому завданні зручніше відразу використовувати формулу інтегрування частинами у певному інтегралі :

Пара технічних зауважень. По-перше, після застосування формули весь вираз потрібно укласти у великі дужки, тому що перед вихідним інтегралом знаходиться константа. Не втрачаємо її! Дужки можна розкрити на будь-якому подальшому кроці, я це зробив в останню чергу. У першому «шматку» виявляємо крайню акуратність у підстановці, як бачите, константа не при справах, і межі інтегрування підставляються у твір. Ця дія виділена квадратними дужками. Ну а інтеграл другого «шматка» формули вам добре знайомий із тренувального завдання;-)

І найголовніше – гранична концентрація уваги!

3) Шукаємо третій коефіцієнт Фур'є:

Отримано родича попереднього інтеграла, який теж інтегрується вроздріб:

Цей екземпляр трохи складніший, закоментую подальші дії покроково:

(1) Вираз повністю укладаємо у великі дужки. Не хотів здатися занудою, надто часто втрачають константу.

(2) В даному випадкуя негайно розкрив ці великі дужки. Особлива увагаприділяємо першому «шматку»: константа палить осторонь і бере участь у підстановці меж інтегрування ( і ) до твір . Через захаращеність запису цю дію знову доцільно виділити квадратними дужками. З другим «шматком» все простіше: тут дріб з'явився після розкриття великих дужок, а константа – внаслідок інтегрування знайомого інтеграла;-)

(3) У квадратних дужках проводимо перетворення, а правому інтегралі – підстановку меж інтегрування.

(4) Виносимо «мигалку» з квадратних дужок: після чого розкриваємо внутрішні дужки: .

(5) Скорочуємо 1 та –1 у дужках, проводимо остаточні спрощення.

Нарешті знайдено всі три коефіцієнти Фур'є:

Підставимо їх у формулу :

При цьому не забуваємо розділити навпіл. На останньому етапі константа («мінус два»), яка не залежить від «ен», винесена за межі суми.

Таким чином, ми отримали розкладання функції в ряд Фур'є на проміжку:

Вивчимо питання збіжності низки Фур'є. Я поясню теорію, зокрема теорему Діріхле, буквально «на пальцях», тому якщо вам необхідні суворі формулювання, будь ласка, зверніться до підручника з математичного аналізу (Наприклад, 2-й том Бохана; або 3-й том Фіхтенгольця, але в ньому важче).

У другій частині завдання потрібно зобразити графік, графік суми ряду та графік часткової суми.

Графік функції є звичайною прямою на площині , яка проведена чорним пунктиром:

Розбираємось із сумою ряду. Як ви знаєте, функціональні ряди сходяться до функцій. У нашому випадку побудований ряд Фур'є за будь-якого значення «ікс»зійдеться до функції, яка зображена червоним кольором. Ця функціятерпить розриви 1-го роду в точках, але визначена і в них (червоні точки на кресленні)

Таким чином: . Легко бачити, що помітно відрізняється від вихідної функції саме тому в записі ставиться значок «тильда», а чи не знак рівності.

Вивчимо алгоритм, яким зручно будувати суму ряду.

На центральному інтервалі ряд Фур'є сходиться до функції (центральний червоний відрізок збігається з чорним пунктиром лінійної функції).

Тепер трохи поміркуємо про природу тригонометричного розкладання, що розглядається. У ряд Фур'є входять лише періодичні функції (константа, синуси та косинуси), тому сума ряду теж є періодичною функцією.

Що це означає у нашому конкретному прикладі? А це означає те, що сума ряду - Обов'язково періодична і червоний відрізок інтервалу повинен нескінченно повторюватися зліва і справа.

Думаю, зараз остаточно прояснилося значення фрази «період розкладання». Спрощено кажучи, через кожну ситуацію знову і знову повторюється.

Насправді зазвичай досить зобразити три періоди розкладання, як і зроблено на кресленні. Ну і ще "обрубки" сусідніх періодів - щоб було зрозуміло, що графік продовжується.

Особливий інтерес становлять точки розриву 1-го роду. У таких точках ряд Фур'є сходить до ізольованих значень, які розташовані рівно посередині «стрибка» розриву (червоні точки на кресленні). Як дізнатися ординату цих точок? Спочатку знайдемо ординату «верхнього поверху»: при цьому обчислимо значення функції крайньої правої точки центрального періоду розкладання: . Щоб вирахувати ординату «нижнього поверху» найпростіше взяти крайнє ліве значенняцього ж періоду: . Ордината середнього значення – це середня арифметична сума «верха і низу»: . Приємним є той факт, що при побудові креслення ви відразу побачите, чи правильно чи неправильно обчислено середину.

Побудуємо часткову суму низки і заразом повторимо сенс терміна «збіжність». Мотив відомий ще з уроку про суму числового ряду. Розпишемо наше багатство докладно:

Щоб скласти часткову суму, необхідно записати нульовий + ще два члени ряду. Тобто,

На кресленні графік функції зображено зеленим кольором, і, як бачите, він досить щільно «обвиває» повну суму. Якщо розглянути часткову суму з п'яти членів ряду , то графік цієї функції ще точніше наближатиме червоні лінії, якщо сто членів – то «зелений змій» фактично повністю зіллється з червоними відрізками тощо. Таким чином, ряд Фур'є сходиться до своєї суми.

Цікаво відзначити, що будь-яка часткова сума - це безперервна функція, однак повна сума ряду все ж таки розривна.

Насправді негаразд рідко потрібно побудувати і графік часткової суми. Як це зробити? У разі необхідно розглянути функцію на відрізку , обчислити її значення кінцях відрізка й у проміжних точках (що більше точок розглянете – то точніше буде графік). Потім слід зазначити дані точки на кресленні та акуратно зобразити графік на періоді, після чого «розтиражувати» його на сусідні проміжки. А як інакше? Адже наближення – це теж періодична функція… …щось мені її графік нагадує рівний ритм серця на дисплеї медичного приладу.

Виконувати побудову, звичайно, не дуже зручно, тому що і доводиться виявляти надакуратність, витримуючи точність не менше ніж до половини міліметра. Втім, читачів, які не в ладах із кресленням, порадую – у «реальному» завданні виконувати креслення потрібно далеко не завжди, десь у 50% випадків потрібно розкласти функцію до ряду Фур'є і все.

Після виконання креслення завершуємо завдання:

Відповідь:

У багатьох завданнях функція зазнає розриву 1-го роду прямо на періоді розкладання:

Приклад 3

Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану на відрізку. Накреслити графік функції та повної суми ряду.

Запропонована функція задана кусковим чином (Причому, зауважте, тільки на відрізку)і зазнає розриву 1-го роду в точці. Чи можна визначити коефіцієнти Фур'є? Без проблем. І ліва і права частини функції інтегруються на своїх проміжках, тому інтеграли в кожній із трьох формул слід подати у вигляді суми двох інтегралів. Подивимося, наприклад, як це робиться у нульового коефіцієнта:

Другий інтеграл дорівнював нулю, що зменшило роботи, але так буває далеко не завжди.

Аналогічно розписуються два інші коефіцієнти Фур'є.

Як зобразити суму ряду? На лівому інтервалі креслимо відрізок прямої, а на інтервалі – відрізок прямої (жирно-жирно виділяємо ділянку осі). Тобто, на проміжку розкладання сума ряду збігається з функцією скрізь, крім трьох «поганих» точок. У точці розриву функції ряд Фур'є зійдеться до ізольованого значення, яке розташовується посередині «стрибка» розриву. Його неважко побачити і усно: лівостороння межа: , правостороння межа: і очевидно, що ордината середньої точки дорівнює 0,5.

З огляду на періодичність суми , картинку необхідно «розмножити» на сусідні періоди, зокрема зобразити те саме на інтервалах і . При цьому, у точках ряд Фур'є зійдеться до серединних значень.

По суті, нічого нового тут немає.

Постарайтеся самостійно впоратися з цим завданням. Зразок чистового оформлення та креслення наприкінці уроку.

Розкладання функції ряд Фур'є на довільному періоді

Для довільного періоду розкладання , де «ель» – будь-яке позитивне число, формули ряду Фур'є та коефіцієнтів Фур'є відрізняються трохи ускладненим аргументом синуса та косинуса:

Якщо , то виходять формули проміжку , з яких ми починали.

Алгоритм та принципи вирішення задачі повністю зберігаються, але зростає технічна складність обчислень:

Приклад 4

Розкласти функцію в ряд Фур'є та побудувати графік суми.

Рішення: фактично аналог Прімера №3 з розривом 1-го роду в точці. У цьому завдання період розкладання, напівперіод. Функція визначена тільки на напівінтервалі, але це не змінює справи – важливо, що обидва шматки функції інтегруються.

Розкладемо функцію до ряду Фур'є:

Оскільки функція розривна на початку координат, то кожен коефіцієнт Фур'є очевидно слід записати у вигляді суми двох інтегралів:

1) Перший інтеграл розпишу максимально докладно:

2) Ретельно вдивляємось у поверхню Місяця:

Другий інтеграл беремо частинами:

На що слід звернути пильну увагу після того, як ми зірочкою відкриваємо продовження рішення?

По-перше, не втрачаємо перший інтеграл де відразу ж виконуємо підведення під знак диференціала. По-друге, не забуваємо злощасну константу перед великими дужками та не плутаємось у знаках при використанні формули . Великі дужки, все-таки зручніше розкривати відразу на наступному кроці.

Інша справа техніки, складнощі може викликати лише недостатній досвід розв'язання інтегралів.

Так, недаремно імениті колеги французького математика Фур'є обурювалися - як це той посмів розкладати функції в тригонометричні ряди?! =) До речі, напевно, всім цікавий практичний зміст завдання. Сам Фур'є працював над математичною моделлютеплопровідності, а згодом ряд, названий його ім'ям став застосовуватися для вивчення багатьох періодичних процесів, яких у навколишньому світі мабуть-невидимо. Зараз, до речі, впіймав себе на думці, що не випадково порівняв графік другого прикладу з періодичним ритмом серця. Бажаючі можуть ознайомитись із практичним застосуванням перетворення Фур'єу сторонніх джерелах. …Хоча краще не треба – буде згадуватися, як Перше Кохання =)

3) Враховуючи слабкі ланки, що неодноразово згадувалися, розбираємося з третім коефіцієнтом:

Інтегруємо частинами:

Підставимо знайдені коефіцієнти Фур'є у формулу , не забуваючи поділити нульовий коефіцієнт навпіл:

Побудуємо графік суми низки. Коротко повторимо порядок дій: на інтервалі будуємо пряму, але в інтервалі – пряму . При нульовому значенні «ікс» ставимо крапку посередині «стрибка» розриву та «тиражуємо» графік на сусідні періоди:

На «стиках» періодів сума також дорівнюватиме серединам «стрибка» розриву.

Готово. Нагадую, що сама функція за умовою визначена лише на напівінтервалі та, очевидно, збігається із сумою ряду на інтервалах

Відповідь:

Іноді шматково-задана функція буває безперервна на періоді розкладання. Найпростіший зразок: . Рішення (Див. 2-й том Бохана)таке ж, як і в двох попередніх прикладах: незважаючи на безперервність функції в точці , кожен коефіцієнт Фур'є виражається сумою двох інтегралів.

На проміжку розкладання точок розриву 1-го роду та/або точок «стику» графіка може бути і більше (дві, три і взагалі будь-яке кінцевекількість). Якщо функція інтегрована кожної частини, вона також розкладена до низки Фурье. Але з практичного досвіду таку жерсть щось не пригадую. Тим не менш, зустрічаються більш важкі завдання, ніж щойно розглянуте, і наприкінці статті для всіх бажаючих є посилання на ряди Фур'є підвищеної складності.

А поки розслабимося, відкинувшись у кріслах і споглядаючи безкраї зоряні простори:

Приклад 5

Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку та побудувати графік суми ряду.

У цьому функція безперервна на напівінтервалі розкладання, що полегшує рішення. Все дуже схоже на приклад №2. З космічного корабля нікуди не подітися – доведеться вирішувати =) Зразковий зразок оформлення наприкінці уроку графік додається.

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій

З парними та непарними функціями процес вирішення завдання помітно спрощується. І ось чому. Повернемося до розкладання функції до ряду Фур'є на періоді «два пі» та довільному періоді «два ель» .

Припустимо, що наша функція парна. Загальний член ряду, як ви бачите, містить парні косинуси і непарні синуси. А якщо ми розкладаємо ЧЕТНУ функцію, то навіщо нам непарні синуси? Давайте обнулимо непотрібний коефіцієнт: .

Таким чином, парна функція розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах:

Оскільки інтеграли від парних функцій по симетричному щодо нуля відрізку інтегрування можна подвоювати, то спрощуються та інші коефіцієнти Фур'є.

Для проміжку:

Для довільного проміжку:

До хрестоматійних прикладів, які є практично в будь-якому підручнику з матаналізу, належать розкладання парних функцій . Крім того, вони неодноразово зустрічалися і в моїй особистій практиці:

Приклад 6

Дана функція. Потрібно:

1) розкласти функцію до низки Фур'є з періодом , де – довільне позитивне число;

2) записати розкладання на проміжку, побудувати функцію та графік повної суми ряду.

Рішення: у першому пункті пропонується вирішити задачу в загальному вигляді, І це дуже зручно! З'явиться потреба – просто підставте своє значення.

1) У цій задачі період розкладання, напівперіод. У ході подальших дій, зокрема при інтегруванні, «ель» вважається константою

Функція є парною, а значить, розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах: .

Коефіцієнти Фур'є шукаємо за формулами . Зверніть увагу на їхню безумовну перевагу. По-перше, інтегрування проводиться за позитивним відрізком розкладання, а значить, ми благополучно позбавляємося модуля , розглядаючи з двох шматків лише «ікс». І по-друге, помітно спрощується інтегрування.

Два:

Інтегруємо частинами:

Таким чином:
, у своїй константу , яка залежить від «ен», виносимо межі суми.

Відповідь:

2) Запишемо розкладання на проміжку, для цього в загальну формулупідставляємо потрібне значеннянапівперіоду:

Ряди Фур'є - це уявлення довільно взятої функції з конкретним періодом у вигляді ряду. У загальному вигляді це рішення називають розкладанням елемента по ортогональному базису. Розкладання функцій у ряд Фур'є є досить потужним інструментарієм при розв'язанні різноманітних завдань завдяки властивостям даного перетворення при інтегруванні, диференціюванні, а також зсув виразу за аргументом і згорткою.

Людина, не знайома з вищою математикою, а також з працями французького вченого Фур'є, швидше за все, не зрозуміє, що це за «ряди» і для чого вони потрібні. А тим часом це перетворення досить щільно увійшло в наше життя. Ним користуються не лише математики, а й фізики, хіміки, медики, астрономи, сейсмологи, океанографи та багато інших. Давайте і ми ближче познайомимося з працями великого французького вченого, який зробив відкриття, яке випередило свій час.

Людина та перетворення Фур'є

Ряди Фур'є є одним із методів (поряд з аналізом та іншими) Цей процес відбувається щоразу, коли людина чує якийсь звук. Наше вухо в автоматичному режимі робить перетворення елементарних частинокв пружному середовищі розкладаються в ряди (за спектром) послідовних значень рівня гучності тонів різної висоти. Далі мозок перетворює ці дані на звичні нам звуки. Все це відбувається окрім нашого бажання чи свідомості, саме по собі, а от для того, щоб зрозуміти ці процеси, знадобиться кілька років вивчати вищу математику.

Докладніше про перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є можна проводити аналітичними, чисельними та іншими методами. Ряди Фур'є відносяться до чисельного способу розкладання будь-яких коливальних процесів - від океанських припливів та світлових хвиль до циклів сонячної (та інших астрономічних об'єктів) активності. Використовуючи ці математичні прийоми, можна розбирати функції, представляючи будь-які коливальні процеси як ряд синусоїдальних складових, які переходять від мінімуму до максимуму і назад. Перетворення Фур'є є функцією, що описує фазу та амплітуду синусоїд, що відповідають певній частоті. Даний процес можна використовувати для вирішення дуже складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під дією теплової, світлової або електричної енергії. Також ряди Фур'є дозволяють виділяти постійні складові у складних коливальних сигналах, завдяки чому стало можливим правильно інтерпретувати отримані експериментальні спостереження в медицині, хімії та астрономії.

Історична довідка

Батьком-засновником цієї теорії є французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є. Його ім'ям згодом і було названо це перетворення. Спочатку вчений застосував свій метод для вивчення та пояснення механізмів теплопровідності - поширення тепла в твердих тілах. Фур'є припустив, що спочатку нерегулярний розподіл можна розкласти на найпростіші синусоїди, кожна з яких матиме свій температурний мінімум і максимум, а також свою фазу. При цьому кожна така компонента вимірюватиметься від мінімуму до максимуму та назад. Математична функція, яка описує верхні та нижні піки кривої, а також фазу кожної з гармонік, назвали перетворенням Фур'є від вираження розподілу температури. Автор теорії звів загальну функціюрозподілу, яка важко піддається математичному опису, до дуже зручного в обігу ряду косинуса і синуса, що в сумі дають вихідний розподіл.

Принцип перетворення та погляди сучасників

Сучасники вченого - провідні математики початку ХІХ століття - не прийняли цю теорію. Основним запереченням послужило твердження Фур'є про те, що розривну функцію, що описує пряму лінію або криву, що розривається, можна подати у вигляді суми синусоїдальних виразів, які є безперервними. Як приклад можна розглянути «сходинку» Хевісайда: її значення дорівнює нулю ліворуч від розриву та одиниці праворуч. Ця функція визначає залежність електричного струму від тимчасової змінної при замиканні ланцюга. Сучасники теорії на той момент ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривний вираз описувався комбінацією безперервних, звичайних функцій, таких як експонента, синусоїда, лінійна або квадратична.

Що бентежило французьких математиків у теорії Фур'є?

Адже якщо математик мав рацію у своїх твердженнях, то, підсумовуючи нескінченний тригонометричний ряд Фур'є, можна отримати точне уявлення ступінчастого вираження навіть у тому випадку, якщо воно має безліч подібних щаблів. На початку ХІХ століття подібне твердження здавалося абсурдним. Але незважаючи на всі сумніви, багато математиків розширили сферу вивчення даного феномену, вивівши його за межі досліджень теплопровідності. Проте більшість учених продовжували мучитися питанням: "Чи може сума синусоїдального ряду сходитись до точного значеннярозривної функції?"

Схожість рядів Фур'є: приклад

Питання про збіжність піднімається щоразу за необхідності підсумовування нескінченних рядів чисел. Для розуміння цього феномена розглянемо класичний приклад. Чи зможете ви коли-небудь досягти стіни, якщо кожен наступний крок буде вдвічі меншим за попередній? Припустимо, що ви знаходитесь за два метри від мети, перший крок наближає до позначки на половині шляху, наступний - до позначки в три чверті, а після п'ятого ви подолаєте майже 97 відсотків шляху. Однак скільки б ви не зробили кроків, наміченої мети ви не досягнете в строгому математичному сенсі. Використовуючи числові розрахунки, можна довести, що зрештою можна наблизитися на скільки завгодно малу задану відстань. Цей доказ є еквівалентним демонстрації того, що сумарне значення однієї другої, однієї четвертої тощо буде прагнути до одиниці.

Питання збіжності: друге пришестя, або Прилад лорда Кельвіна

Повторно це питання піднялося наприкінці дев'ятнадцятого століття, коли ряди Фур'є спробували застосувати для прогнозування інтенсивності відливів і припливів. У цей час лордом Кельвіном був винайдений прилад, що є аналоговим обчислювальний пристрій, що дозволяло морякам військового та торговельного флоту відстежувати це природне явище. Даний механізм визначав набори фаз і амплітуд по таблиці висоти припливів і відповідних тимчасових моментів, ретельно заміряних в даній гавані протягом року. Кожен параметр був синусоїдальною компонентою виразу висоти припливу і був однією з регулярних складових. Результати вимірювань вводилися в обчислювальний прилад лорда Кельвіна, який синтезує криву, яка передбачала висоту води як тимчасову функцію наступного року. Незабаром подібні криві були складені всім гаваней світу.

А якщо процес буде порушено розривною функцією?

У той час здавалося очевидним, що прилад, що передбачає проливну хвилю, з великою кількістю елементів рахунку може обчислити велику кількість фаз і амплітуд і так забезпечити більш точні передбачення. Проте виявилося, що ця закономірність не дотримується у тих випадках, коли приливний вираз, який слід синтезувати, містив різкий стрибок, тобто був розривним. У тому випадку, якщо пристрій вводяться дані з таблиці часових моментів, то воно робить обчислення декількох коефіцієнтів Фур'є. Вихідна функція відновлюється завдяки синусоїдальним компонентам (відповідно до знайдених коефіцієнтів). Розбіжність між вихідним та відновленим виразом можна вимірювати у будь-якій точці. При проведенні повторних обчислень та порівнянь видно, що значення найбільшої помилки не зменшується. Однак вони локалізуються в області, що відповідає точці розриву, а в будь-якій іншій точці прагнуть нуля. У 1899 році цей результат був теоретично підтверджений Джошуа Уіллардом Гіббсом із Єльського університету.

Схожість рядів Фур'є та розвиток математики в цілому

Аналіз Фур'є не застосовується до виразів, що містять нескінченну кількість сплесків на певному інтервалі. У цілому ряди Фур'є, якщо початкова функція представлена результатом реального фізичного вимірузавжди сходяться. Питання збіжності даного процесу для конкретних класів функцій сприяли появі нових розділів у математиці, наприклад теорії узагальнених функцій. Вона пов'язана з такими іменами, як Л. Шварц, Дж. Мікусінський та Дж. Темпл. У рамках цієї теорії була створена чітка та точна теоретична основапід такі вирази, як дельта-функція Дірака (вона описує область єдиної площі, сконцентрованої в нескінченно малій околиці точки) і «ступінь» Хевісайда. Завдяки цій роботі ряди Фур'є стали застосовні для вирішення рівнянь і завдань, в яких фігурують поняття інтуїтивні: точковий заряд, точкова маса, магнітні диполі, а також зосереджена навантаження на балці.

Метод Фур'є

Ряди Фур'є, відповідно до принципів інтерференції, починаються з розкладання складних форм більш прості. Наприклад, зміна теплового потоку пояснюється його проходженням крізь різні перешкоди з теплоізолюючого матеріалу неправильної форми або зміною поверхні землі - землетрусом, зміною орбіти. небесного тіла- Вплив планет. Як правило, подібні рівняння, що описують прості класичні системи, елементарно вирішуються кожної окремої хвилі. Фур'є показав, що прості рішеннятакож можна підсумовувати для отримання більш складних завдань. Висловлюючись мовою математики, ряди Фур'є - це методика подання вираження сумою гармонік - косінусоїд та синусоїд. Тому даний аналізвідомий також під ім'ям "гармонічний аналіз".

Ряд Фур'є – ідеальна методика до «комп'ютерної доби»

До створення комп'ютерної технікиметодика Фур'є була найкращою зброєю в арсеналі вчених під час роботи з хвильовою природою нашого світу. Ряд Фур'є в комплексній формідозволяє вирішувати не тільки прості завдання, які піддаються прямому застосуванню законів механіки Ньютона, а й фундаментальні рівняння. Більшість відкриттів ньютонівської науки дев'ятнадцятого століття стали можливими лише завдяки методиці Фур'є.

Ряди Фур'є сьогодні

З розвитком комп'ютерів перетворення Фур'є піднялися якісно новий рівень. Ця методика міцно закріпилася практично у всіх сферах науки та техніки. Як приклад можна навести цифровий аудіо- та відеосигнал. Його реалізація стала можливою лише завдяки теорії, розробленій французьким математиком на початку ХІХ століття. Так, ряд Фур'є у комплексній формі дозволив зробити прорив у вивченні космічного простору. Крім того, це вплинуло на вивчення фізики напівпровідникових матеріалів та плазми, мікрохвильової акустики, океанографії, радіолокації, сейсмології.

Тригонометричний ряд Фур'є

У математиці ряд Фур'є є способом подання довільних складних функційсумою простіших. У загальних випадкахкількість таких виразів може бути нескінченною. При цьому чим більше їхня кількість враховується при розрахунку, тим точніше виходить кінцевий результат. Найчастіше як найпростіші використовують тригонометричні функціїкосинуса чи синуса. У такому разі ряди Фур'є називають тригонометричними, а розв'язання таких виразів – розкладанням гармоніки. Цей метод грає важливу рольу математиці. Насамперед, тригонометричний ряд дає засоби для зображення, а також вивчення функцій, він є основним апаратом теорії. Крім того, він дозволяє вирішувати низку завдань математичної фізики. Нарешті, дана теорія сприяла розвитку, викликала до життя цілу низку дуже важливих розділів. математичної науки(Теорію інтегралів, теорію періодичних функцій). Крім того, послужила відправним пунктом для розвитку наступних функцій дійсного змінного, а також започаткувала гармонійний аналіз.

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні прикладизастосування періодичних функцій у інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення в інтервалі -π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Коефіцієнти a o ,a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є , і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається рядом Фур'є, що відповідає функції f(x). Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) називається першою або основною гармонікою,

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) або c 1 sin(x+α 1) називається першою або основною гармонікою, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) або c 2 sin(2x+α 2) називається другою гармонікою і таке інше.

Для точного уявлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Однак у багатьох практичних завданнях достатньо розглянути лише кілька перших членів.

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій.

Якщо функція f(x) неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень х. Однак можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною 2?

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення f(x) у певному діапазоні та повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом 2π. Оскільки нова функція є періодичною з періодом 2π, її можна розкласти до ряду Фур'є для всіх значень х. Наприклад, функція f(x)=x не є періодичною. Однак, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від до 2π, тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом 2π (як показано на рис. нижче).

Для неперіодичних функцій, таких як f(x)=х, сума ряду Фур'є дорівнює значенню f(x) у всіх точках заданого діапазону, але вона не дорівнює f(x) для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичної функції в діапазоні 2π використовується все та ж формула коефіцієнтів Фур'є.

Парні та непарні функції.

Говорять, функція y=f(x) парна , якщо f(-x)=f(x) всім значень х. Графіки парних функцій завжди симетричні щодо осі у (тобто є дзеркально відбитими). Два приклади парних функцій: у = х 2 і у = cosx.

Говорять, що функція y=f(x) непарна, якщо f(-x)=-f(x) для всіх значень х. Графіки непарних функцій завжди симетричні щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

Ряд Фур'є парної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени з косинусами (тобто не містить членів із синусами) і може включати постійний член. Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є непарної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени із синусами (тобто не містить членів із косинусами).

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо функція визначена для діапазону, скажімо від 0 до π, а не тільки від 0 до 2π, її можна розкласти в ряд тільки синусами або тільки по косинусах. Отриманий ряд Фур'є називається поруч Фур'є на напівперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинус функції f(x) в діапазоні від 0 до π, то необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функціясиметрична щодо осі f(x), проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутим інтервалом отримана трикутна формає періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді за синусами функції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Періодична функція f(x) повторюється зі збільшенням x L, тобто. f(x+L)=f(x). Перехід від розглянутих раніше функцій із періодом 2π до функцій із періодом L досить простий, оскільки його можна здійснити за допомогою заміни змінної.

Щоб знайти ряд Фур'є функції f(x) в діапазоні -L/2≤x≤L/2, введемо нову змінну u таким чином, щоб функція f(x) мала період 2π щодо u. Якщо u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π та х=L/2 при u=π. Також нехай f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фур'є F(u) має вигляд

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Для підстановки u=πх/L інтервал від x=0 до x=L відповідає інтервалу від u=0 до u=π. Отже, функцію можна розкласти в ряд тільки по косинус або тільки по синусах, тобто. у ряд Фур'є на напівперіоді.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд

Функції, розкладаючи їх у компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.Розкладання неперіодичних функцій до ряду Фур'є.

Парні та непарні функції.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинус функції f(x) в діапазоні від 0 до π, то необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функція симетрична щодо осі f(x), проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отримана трикутна форма є періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати функції f(x) у діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Де коефіцієнти ряду Фур'є,

Однак найчастіше наведену вище формулу призводять до залежності від х. Оскільки u=2πх/L, отже du=(2π/L)dx, а межі інтегрування - від -L/2 до L/2 замість - π до π. Отже, ряд Фур'є для залежності від х має вигляд

де в діапазоні від -L/2 до L/2 коефіцієнти ряду Фур'є,

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд

Як вставити математичні формулина сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Крім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). Ось і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.