План уроку.
1. Організаційний момент.
2. Виклад матеріалу.
3. Домашнє завдання.
4. Підбиття підсумків уроку.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
ІІ. Виклад матеріалу.
Мотивація.
Розширення безлічі дійсних чисел у тому, що до дійсним числам приєднуються нові числа (уявні). Введення цих чисел пов'язане з неможливістю в багатьох дійсних чисел вилучення кореня з негативного числа.
Введення поняття комплексного числа.
Уявні числа, якими ми доповнюємо дійсні числа, записуються у вигляді bi, де i- уявна одиниця, причому i 2 = - 1.
Виходячи з цього отримаємо наступне визначення комплексного числа.
Визначення. Комплексним числом називається вираз виду a + bi, де aі b- дійсні числа. При цьому виконуються умови:
а) Два комплексні числа a 1 + b 1 iі a 2 + b 2 iрівні тоді і лише тоді, коли a 1 =a 2, b 1 = b 2.
б) Додавання комплексних чисел визначається правилом:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
в) Розмноження комплексних чисел визначається правилом:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Алгебраїчна формакомплексного числа.
Запис комплексного числа у вигляді a + biназивають алгебраїчною формою комплексного числа, де а- дійсна частина, bi- уявна частина, причому b- дійсне число.
Комплексне число a + biвважається рівним нулю, якщо його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю: a = b = 0
Комплексне число a + biпри b = 0вважається збігається з дійсним числом a: a + 0i = a.
Комплексне число a + biпри a = 0називається чисто уявним і позначається bi: 0 + bi = bi.
Два комплексні числа z = a + biі = a - bi, що відрізняються лише знаком уявної частини, називаються сполученими.
Дії над комплексними числами в формі алгебри.
Над комплексними числами в формі алгебри можна виконувати наступні дії.
1) Додавання.
Визначення. Сумою комплексних чисел z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 iназивається комплексне число z, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин z 1і z 2а уявна частина - сумі уявних частин чисел z 1і z 2, тобто z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Числа z 1і z 2називаються доданками.
Додавання комплексних чисел має наступні властивості:
1º. Комутативність: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Асоціативність: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Комплексне число –a –biназивається протилежним комплексному числу z = a + bi. Комплексне число, протилежне комплексному числу z, позначається -z. Сума комплексних чисел zі -zдорівнює нулю: z + (-z) = 0
Приклад 1. Виконайте додавання (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Віднімання.
Визначення.Відняти від комплексного числа z 1комплексне число z 2 z,що z + z 2 = z 1.
Теорема. Різниця комплексних чисел існує і до того ж єдина.
Приклад 2. Виконайте віднімання (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Множення.
Визначення. Добутком комплексних чисел z 1 =a 1 +b 1 iі z 2 =a 2 +b 2 iназивається комплексне число z, що визначається рівністю: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Числа z 1і z 2називаються співмножниками.
Примноження комплексних чисел має такі властивості:
1º. Комутативність: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Асоціативність: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Дистрибутивність множення щодо складання:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z · = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- дійсне число.
На практиці множення комплексних чисел виробляють за правилом множення суми на суму та виділення дійсної та уявної частини.
У наступному прикладі розглянемо множення комплексних чисел двома способами: за правилом та множенням суми на суму.
Приклад 3. Виконайте множення (2 + 3i) (5 – 7i).
1 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (-7)) + (2× (-7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) i = 31 + i.
2 спосіб. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Розподіл.
Визначення. Розділити комплексне число z 1на комплексне число z 2, значить знайти таке комплексне число z, що z · z 2 = z 1.
Теорема.Частка комплексних чисел існує і єдино, якщо z 2 ≠ 0 + 0i.
Насправді приватне комплексних чисел знаходять шляхом множення чисельника і знаменника на число, пов'язане знаменнику.
Нехай z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 iтоді
.
У наступному прикладі виконаємо поділ за формулою та правилом множення на число, пов'язане знаменнику.
Приклад 4. Знайти приватне 
.
5) Зведення на цілий позитивний ступінь.
а) Ступені уявної одиниці.
Користуючись рівністю i 2 = -1легко визначити будь-який цілий позитивний ступінь уявної одиниці. Маємо:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1і т.д.
Це показує, що значення ступеня i n, де n– ціле позитивне число, періодично повторюється зі збільшенням показника на 4 .
Тому, щоб звести число iв цілий позитивний ступінь, треба показник ступеня поділити на 4 і звести iу ступінь, показник якої дорівнює залишку від поділу.
Приклад 5. Обчисліть: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.
б) Зведення комплексного числа в цілий позитивний ступінь проводиться за правилом зведення двочлена у відповідний ступінь, оскільки воно є окремий випадокмноження однакових комплексних співмножників.
Приклад 6. Обчисліть: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Комплексні числа - розширення множини дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і - речові числа, - уявна одиниця.
Запис комплексного числа у вигляді , , називається формою алгебри комплексного числа.
Властивості комплексних чисел. Геометрична інтерпретація комплексного числа.
Дії над комплексними числами, заданими в формі алгебри:
Розглянемо правила, за якими виробляються арифметичні діїнад комплексними числами.
Якщо дано два комплексні числа α = a + bi і β = c + di, то
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)
Це випливає з визначення дій складання та віднімання двох упорядкованих пар дійсних чисел (див. формули (1) та (3)). Ми отримали правила складання та віднімання комплексних чисел: щоб скласти два комплексні числа, треба окремо скласти їх дійсні частини і відповідно уявні частини; щоб від одного комплексного числа відняти інше, необхідно відняти відповідно їх дійсні та уявні частини.
Число – α = – a – bi називають протилежним числу α = a + bi. Сума цих двох чисел дорівнює нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Для отримання правила множення комплексних чисел скористаємося формулою (6), тобто тим, що i2 = -1. З огляду на це співвідношення, знаходимо (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd, тобто.
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)
Ця формула відповідає формулі (2), якою визначалося множення впорядкованих пар дійсних чисел.
Зазначимо, що сума та добуток двох комплексно сполучених чисел є дійсними числами. Насправді, якщо α = a + bi, = a – bi, то α = (a + bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b) i = 2a, тобто.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
При розподілі двох комплексних чисел в формі алгебри слід очікувати, що приватне виражається також числом того ж виду, тобто α/β = u + vi, де u, v R. Виведемо правило поділу комплексних чисел. Нехай дані числа α = a + bi, β = c + di, причому β ≠ 0, тобто c2 + d2 ≠ 0. Остання нерівність означає, що c і d одночасно в нуль не звертаються (виключається випадок, коли с = 0, d = 0). Застосовуючи формулу (12) та другу з рівностей (13), знаходимо:
Отже, частка двох комплексних чисел визначається формулою:
відповідної формули (4).
За допомогою отриманої формули для числа β = с + di можна знайти зворотне число β-1 = 1/β. Вважаючи у формулі (14) а = 1, b = 0, отримуємо
Ця формула визначає число, обернене даному комплексному числу, відмінному від нуля; це число також є комплексним.
Наприклад: (3+7i) + (4+2i) = 7+9i;
(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;
(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;
Дії над комплексними числами в формі алгебри.
55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма запису комплексного числа (висновок).
Арг.ком.числа. – між позитивним напрямком дійсної осі Х вектором, що зображує дане число.
Формула тригон. Числа: ,
Алгебраїчна форма запису комплексного числа............................................. ................... | |||
Площина комплексних чисел............................................... .................................................. ... | |||
Комплексно сполучені числа............................................... .................................................. | |||
Дії з комплексними числами в формі алгебри........................................... .... | |||
Додавання комплексних чисел............................................... .................................................. | |||
Віднімання комплексних чисел............................................... ................................................ | |||
Множення комплексних чисел............................................... ............................................... | |||
Розподіл комплексних чисел............................................... .................................................. ... | |||
Тригонометрична форма запису комплексного числа............................................. .......... | |||
Дії з комплексними числами в тригонометричній формі. | |||
Множення комплексних чисел у тригонометричній формі ......................................... | |||
Розподіл комплексних чисел у тригонометричній формі ............................................ ... | |||
Зведення комплексного числа в цілий позитивний ступінь .................................. | |||
Вилучення кореня цілої позитивної міри з комплексного числа..................... | |||
Зведення комплексного числа в раціональний ступінь............................................ ..... | |||
Комплексні ряди................................................ .................................................. .................... | |||
Комплексні числові ряди............................................... .................................................. | |||
Ступінні ряди в комплексній площині ............................................. ............................ | |||
Двосторонні статечні рядиу комплексній площині............................................... | |||
Функції комплексного змінного ............................................... ........................................ | |||
Основні елементарні функції............................................... ......................................... | |||
Формули Ейлера................................................ .................................................. .................... | |||
Показова форма подання комплексного числа............................................. . | |||
Зв'язок між тригонометричними та гіперболічними функціями.......................... | |||
Логарифмічна функція................................................ .................................................. ... | |||
Загальна показова та загальна статечна функції ............................................ ............... | |||
Диференціювання функцій комплексного змінного .............................................. ... | |||
Умови Коші-Рімана.............................................. .................................................. ............ | |||
Формули для обчислення похідної .............................................. ................................. | |||
Властивості операції диференціювання............................................... .............................. | |||
Властивості дійсної та уявної частин аналітичної функції............................ | |||
Відновлення функції комплексного змінного за її дійсною чи уявною |
|||
Спосіб №1. За допомогою криволінійного інтеграла.............................................. ....... | |||
Спосіб №2. Безпосереднє застосування умов Коші-Рімана.......................... | |||
Спосіб №3. Через похідну шуканої функції.............................................. ......... | |||
Інтегрування функцій комплексного змінного ................................................. ........... | |||
Інтегральна формула Коші............................................... .................................................. ... | |||
Розкладання функцій у ряди Тейлора та Лорана........................................... .......................... | |||
Нулі і особливі точки функції комплексного змінного ........................................... ..... | |||
Нулі функції комплексного змінного .............................................. ....................... | |||
Ізольовані особливі точки функції комплексного змінного ............... | |||
14.3 Нескінченно віддалена точка як особлива точка функції комплексного змінного
Відрахування................................................. .................................................. ........................................ | |||
Відрахування в кінцевій точці .............................................. .................................................. ...... | |||
Відрахування функції у нескінченно віддаленій точці............................................ .................. | |||
Обчислення інтегралів за допомогою відрахувань............................................. ............................ | |||
Питання для самоперевірки............................................... .................................................. ....... | |||
Література................................................. .................................................. ................................. | |||
Предметний покажчик................................................ .................................................. .............. | |||
Передмова
Правильно розподілити час і сили при підготовці до теоретичної та практичної частин іспиту або атестації з модуля досить складно, тим більше, що в період сесії часу завжди не вистачає. І, як показує практика, впоратися з цим виходить не у всіх. У результаті на іспиті одні студенти правильно вирішують завдання, але не можуть відповісти на найпростіші. теоретичні питанняа інші можуть сформулювати теорему, але не можуть її застосувати.
Дані методичні рекомендації для підготовки до іспиту з курсу «Теорія функцій комплексного змінного» (ТФКП) є спробою вирішити цю суперечність та забезпечити одночасне повторення теоретичного та практичного матеріалу курсу. Керуючись принципом «Теорія без практики мертва, практика без теорії сліпа», вони містять як теоретичні положення курсу лише на рівні визначень і формулювань, і приклади, що ілюструють застосування кожного наведеного теоретичного становища, і, полегшують його запам'ятовування і розуміння.
Мета пропонованих методичних рекомендацій– допомогти студенту підготуватись до іспиту на базовому рівні. Іншими словами, складено розширений робочий довідник, що містить основні моменти, що використовуються на заняттях з курсу ТФКП, та необхідні під час виконання домашнього завданнята підготовки до контрольних заходів. Крім самостійної роботистудентів, справжнє електронне навчальне видання можна використовувати для проведення занять в інтерактивній формі з використанням електронної дошки або для розміщення в системі дистанційного навчання.
Звертаємо увагу, що справжня праця не замінює собою підручників, ні конспекту лекцій. Для поглибленого вивчення матеріалу рекомендується звертатися до відповідних розділів виданого МГТУ ім. н.е. Баумана базового підручника.
Наприкінці посібника вміщено список рекомендованої літератури та предметний покажчик, до якого входять усі виділені у тексті напівжирним курсивомтерміни. Предметний покажчик складається з гіперпосилань на розділи, у яких ці терміни суворо визначено або описано і де наведено приклади, що ілюструють їх застосування.
Посібник призначений для студентів 2 курсів усіх факультетів МДТУ ім. н.е. Баумана.
1. Алгебраїчна форма запису комплексного числа
Запис виду z = x + iy , де x , y - дійсні числа, i - уявна одиниця (тобто i 2 = − 1)
називають алгебраїчною формою запису комплексного числа z. При цьому x називають дійсною частиною комплексного числа і позначають Re z (x = Re z), y називають уявною частиною комплексного числа і позначають Im z (y = Im z).
приклад. У комплексного числа z = 4−3i дійсна частина Rez = 4, а уявна Imz = −3.
2. Площина комплексних чисел
У теорії функцій комплексного змінного розглядаютьплощина комплексних чисел, яку позначають або використовують літери, що позначають комплексні числа z, w і т.п.
Горизонтальна вісь комплексної площини називається справжньою віссю, на ній мають дійсні числа z = x + 0i = x .
Вертикальна вісь комплексної площини називається уявною віссю, на ній розташовують
3. Комплексно сполучені числа
Числа z = x + iy і z = x − iy називають комплексно сполученими. На комплексній площині їм відповідають точки, симетричні щодо дійсної осі.
4. Дії з комплексними числами в алгебраїчній формі
4.1 Додавання комплексних чисел
Сумою двох комплексних чисел | z 1 = x 1 + iy 1 | і z 2 = x 2 + iy 2 називається комплексне число |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | операція | додавання |
||||||||||
комплексних чисел аналогічна операції складання алгебраїчних двочленів. | |||||||||||||
приклад. Сумою двох комплексних чиселz 1 = 3+ 7i іz 2 | = −1 +2 i | буде комплексне число |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Очевидно, | сумою комплексно | сполучених | є | дійсне | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x - iy) = 2 x = 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Віднімання комплексних чисел | |||||||||||||
Різниця двох комплексних чисел z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | називається | комплексне |
||||||||||
число z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
приклад. Різницею двох комплексних чисел | z 1 =3 −4 i | та z 2 | = −1 +2 i | буде комплексне |
|||||||||
число z 1 − z 2 = (3− 4i )− (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Різниця | комплексно сполучених | є | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Збільшення комплексних чисел | |||||||||||||
Добутком двох комплексних чисел | z 1 = x 1 + iy 1 | і z 2 = x 2+ iy 2 | називається комплексне |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ). | ||||||||||||
Таким чином, операція множення комплексних чисел аналогічна до операції множення алгебраїчних двочленів з урахуванням того, що i 2 = − 1.
Сторінка 2 з 3
Алгебраїчна форма комплексного числа.
Додавання, віднімання, множення та розподіл комплексних чисел.
З формою алгебри комплексного числа ми вже познайомилися, - це і є алгебраїчна форма комплексного числа. Чому мова зайшла про форму? Справа в тому, що існують ще тригонометрична та показова форма комплексних чисел, про які йтиметься у наступному параграфі.
Дії з комплексними числами не становлять особливих складнощів і мало чим відрізняються від звичайної алгебри.
Додавання комплексних чисел
Приклад 1
Скласти два комплексні числа ,
Для того щоб скласти два комплексні числа потрібно скласти їх дійсні та уявні частини:
Просто, чи не так? Дія настільки очевидна, що не потребує додаткових коментарів.
Таким нехитрим способом можна знайти суму будь-якої кількості доданків: підсумувати дійсні частини та підсумувати уявні частини.
Для комплексних чисел справедливе правило першого класу: 
– від перестановки доданків сума не змінюється.
Віднімання комплексних чисел
Приклад 2
Знайти різниці комплексних чисел і , якщо ,
Дія аналогічна до складання, єдина особливість полягає в тому, що віднімається потрібно взяти в дужки, а потім - стандартно розкрити ці дужки зі зміною знака:
Результат не повинен бентежити, у отриманого числа дві, а не три частини. Просто дійсна частина – складова: . Для наочності відповідь можна переписати так: .
Розрахуємо другу різницю:
Тут дійсна частина також складова:
Щоб не було якоїсь недомовленості, наведу короткий прикладз «поганою» уявною частиною: . Ось тут без дужок уже не обійтись.
Розмноження комплексних чисел
Настав момент познайомити вас зі знаменитою рівністю:
Приклад 3
Знайти добуток комплексних чисел ,
Очевидно, що твір слід записати так:
Що напрошується? Напрошується розкрити дужки за правилом множення багаточленів. Так треба зробити! Всі дії алгебри вам знайомі, головне, пам'ятати, що і бути уважним.
Повторимо, omg, шкільне правило множення многочленов: Щоб помножити многочлен на многочлен потрібно кожен член одного многочлена помножити кожен член іншого многочлена.
Я докладно розпишу:
Сподіваюся, всім було зрозуміло, що
Увагу, і ще раз увагу, найчастіше помилку припускають у знаках.
Як і сума, добуток комплексних чисел перестановочно, тобто справедливо рівність: .
У навчальної літературита на просторах Мережі легко знайти спеціальну формулу для обчислення добутку комплексних чисел. Якщо хочете, користуйтеся, але мені здається, що підхід з множенням багаточленів більш універсальний і зрозумілий. Формулу наводити не буду, вважаю, що в даному випадку- Це забивання голови тирсою.
Розподіл комплексних чисел
Приклад 4
Дано комплексні числа , . Знайти приватне.
Складемо приватне:
Розподіл чисел здійснюється методом множення знаменника і чисельника на поєднане знаменнику вираз.
Згадуємо бородату формулу і дивимося наш знаменник : . У знаменнику вже є, тому сполученим виразом у цьому випадку є, тобто
Відповідно до правила, знаменник потрібно помножити на , і, щоб нічого не змінилося, домножити чисельник на те саме число :
Розпишу докладно:
Приклад я підібрав «хороший», якщо взяти два числа «від балди», то в результаті поділу майже завжди вийдуть дроби, що на кшталт .
Нерідко перед розподілом дріб доцільно спростити, наприклад, розглянемо приватне чисел: . Перед поділом позбавляємося зайвих мінусів: у чисельнику та в знаменнику виносимо мінуси за дужки та скорочуємо ці мінуси: 
. Для любителів вирішити наведу правильну відповідь:
Рідко, але трапляється таке завдання:
Приклад 5
Дано комплексне число. Записати це число в формі алгебри (тобто у формі ).
Прийом той самий – множимо знаменник і чисельник на сполучене знаменнику вираз. Знову дивимося на формулу. У знаменнику вже є, тому знаменник і чисельник потрібно примножити на сполучене вираз, тобто на:
Насправді запросто можуть запропонувати наворочений приклад, де потрібно виконати багато дій з комплексними числами. Жодної паніки: Будьте уважні, дотримуйтесь правил алгебри, звичайний алгебраїчний порядок дій, і пам'ятайте, що .
Тригонометрична та показова форма комплексного числа
У цьому параграфі більше мова підепро тригонометричну форму комплексного числа. Показова форма в практичних завданняхтрапляється значно рідше. Рекомендую закачати та по можливості роздрукувати тригонометричні таблиці, методичний матеріалможна знайти на сторінці Математичні формулита таблиці. Без таблиць далеко не виїхати.
Будь-яке комплексне число (крім нуля) можна записати у тригонометричній формі: 
, де це модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Не розбігаємось, все простіше, ніж здається.
Зобразимо на комплексній площині число. Для певності і простоти пояснень розташуємо їх у першої координатної чверті, тобто. вважаємо, що :
Модулем комплексного числаназивається відстань від початку координат до відповідної точки комплексної площини. Просто кажучи, модуль – це довжинарадіус-вектора, що на кресленні позначений червоним кольором.
Модуль комплексного числа стандартно позначають: або
По теоремі Піфагора легко вивести формулу знаходження модуля комплексного числа: . Ця формуласправедлива для будь-якихзначень «а» та «бе».
Примітка: модуль комплексного числа є узагальнення поняття модуля дійсного числа, як відстань від точки до початку координат.
Аргументом комплексного числаназивається кутміж позитивною піввіссюдійсної осі та радіус-вектором, проведеним з початку координат до відповідної точки. Аргумент не визначений для однини: .
Розглянутий принцип практично схожий полярними координатамиде полярний радіус і полярний кут однозначно визначають точку.
Аргумент комплексного числа стандартно позначають: або
З геометричних міркувань виходить така формула знаходження аргументу:
. Увага!Дана формула працює тільки у правій напівплощині! Якщо комплексне число розташовується над 1-ї і 4-ї координатної чверті, то формула буде трохи інший. Ці випадки ми також розберемо.
Але спочатку розглянемо найпростіші приклади, коли комплексні числа розташовуються на координатних осях.
Приклад 7
Виконаємо креслення:
Насправді завдання усне. Для наочності перепишу тригонометричну форму комплексного числа: 
Запам'ятаємо намертво, модуль – довжина(яка завжди невід'ємна), аргумент – кут.
1) Представимо в тригонометричній формі число. Знайдемо його модуль та аргумент. Очевидно, що . Формальний розрахунок за такою формулою: .
Очевидно, що (число лежить безпосередньо на дійсній позитивній півосі). Таким чином, число у тригонометричній формі: 
.
Зрозуміло, як день, зворотна перевірна дія:
2) Подаємо у тригонометричній формі число . Знайдемо його модуль та аргумент. Очевидно, що . Формальний розрахунок за такою формулою: .
Очевидно, що (чи 90 градусів). На кресленні кут позначений червоним кольором. Таким чином, число у тригонометричній формі: 
.
Використовуючи таблицю значень тригонометричних функційлегко отримати алгебраїчну форму числа (заодно виконавши перевірку):
3) Подаємо у тригонометричній формі число . Знайдемо його модуль та аргумент. Очевидно, що . Формальний розрахунок за такою формулою: .
Очевидно, що (або 180 градусів). На кресленні кут позначений синім кольором. Таким чином, число у тригонометричній формі: 
.
Перевірка:
4) І четвертий цікавий випадок. Представимо в тригонометричній формі число. Знайдемо його модуль та аргумент. Очевидно, що . Формальний розрахунок за такою формулою: .
Аргумент можна записати двома способами: Перший спосіб: (270 градусів), і, відповідно: 
. Перевірка:
Проте стандартніше таке правило: Якщо кут більше 180 градусів, то його записують зі знаком мінус та протилежною орієнтацією («прокруткою») кута: (мінус 90 градусів), на кресленні кут відмічений зеленим кольором. Легко помітити, що і це один і той же кут.
Таким чином, запис набуває вигляду: 
Увага!У жодному разі не можна використовувати парність косинуса, непарність синуса та проводити подальше «спрощення» запису:
До речі, корисно згадати зовнішній виглядта властивості тригонометричних та зворотних тригонометричних функцій, довідкові матеріали знаходяться в останніх параграфах сторінки Графіки та властивості основних елементарних функцій . І комплексні числа засвояться помітно легше!
У оформленні найпростіших прикладів слід записувати: «очевидно, що модуль дорівнює… очевидно, що аргумент дорівнює...». Це дійсно очевидно і легко вирішується усно.
Перейдемо до розгляду найпоширеніших випадків. Як я вже зазначав, із модулем проблем не виникає, завжди слід використовувати формулу . А ось формули для знаходження аргументу будуть різними, це залежить від того, в якій координатній чверті лежить число . При цьому можливі три варіанти (їх корисно переписати до себе в зошит):
1) Якщо (1-а та 4-а координатні чверті, або права напівплощина), то аргумент потрібно знаходити за формулою .
2) Якщо (2-а координатна чверть), то аргумент слід шукати за формулою 
.
3) Якщо (3-я координатна чверть), то аргумент слід шукати за формулою 
.
Приклад 8
Подати в тригонометричній формі комплексні числа: , , , .
Якщо є готові формули, то креслення виконувати не обов'язково. Але є один момент: коли вам запропоновано завдання подати число у тригонометричній формі, то креслення краще в будь-якому випадку виконати. Річ у тому, що рішення без креслення часто бракують викладачі, відсутність креслення – серйозна підстава для мінусу та незаліку.
Ех, сто років від руки нічого не креслив, тримайте:
Як завжди, брудно вийшло =)
Я представлю в комплексній формі числа і перше і третє числа будуть для самостійного рішення.
Представимо в тригонометричній формі число. Знайдемо його модуль та аргумент.
