Як конкретний приклад тіла, що обертається навколо осі, розглянемо рух маятників.
Фізичним маятником називається тверде тіло, що володіє горизонтальною віссюобертання, навколо якої воно здійснює коливальні рухи під дією своєї ваги (рис. 119).
Положення маятника повністю визначається кутом його відхилення від положення рівноваги, і тому визначення закону руху маятника досить визначити залежність цього кута від часу.
Рівняння виду:
називається рівнянням (законом) руху маятника. Він залежить від початкових умов, тобто від кута та кутової швидкості.
Граничним випадком фізичного Маятника є математичний маятник, що представляє (як указувалося раніше - глава 2, § 3) матеріальну точку, з'єднану з горизонтальною віссю, навколо якої вона обертається, жорстким невагомим стрижнем (рис. 120). Відстань матеріальної точки від осі обертання називається довжиною математичного маятника.
Рівняння руху фізичного та математичного маятників
Виберемо систему осей координат так, щоб площина ху проходила через центр ваги тіла С і збігалася з площиною хитання маятника, як це показано на кресленні (рис. 119). Вісь направимо перпендикулярно до площини креслення на нас. Тоді на підставі результатів попереднього параграфа рівняння руху фізичного маятника запишемо у вигляді:
де через позначений момент інерції маятника щодо його осі обертання та
Тому можна написати:
Активною силою, що діє на маятник, є його вага, момент якого щодо осі приросту ваги буде:
де - відстань від осі обертання маятника до його центру мас.
Отже, приходимо до наступного рівняння руху фізичного маятника:
Оскільки математичний маятник є окремим випадком фізичного, то записане вище диференціальне рівняннясправедливо й у математичного маятника. Якщо довжина математичного маятника дорівнює а вага його, то момент інерції його щодо осі обертання дорівнює
Оскільки відстань центру тяжкості математичного маятника від осі одно остаточно диференціальне рівняння руху математичного маятника можна написати як:
Наведена довжина фізичного маятника
Порівнюючи рівняння (16.8) і (16.9), можна зробити висновок, що якщо параметри фізичного та математичного маятників пов'язані співвідношенням
то закони руху фізичного та математичного маятників однакові (за однакових початкових умов).
Останнє співвідношення вказує на ту довжину, яку повинен мати математичний маятник, щоб рухатись так само, як відповідний фізичний маятник. Ця довжина називається наведеною довжиною фізичного маятника. Сенс цього поняття полягає в тому, що вивчення руху фізичного маятника можна замінити вивченням руху математичного маятника, що є найпростішою механічною схемою.
Перший інтеграл рівняння руху маятника
Рівняння руху фізичного та математичного маятників мають один і той же вид, отже, рівняння їх руху
Оскільки єдиною силою, яка враховується у цьому рівнянні, буде сила тяжіння, що належить потенційному силовому полю, має місце закон збереження механічної енергії.
Останній можна отримати простим прийомом, саме помножимо рівняння (16.10) на тоді
Інтегруючи це рівняння, отримаємо
Визначаючи постійну інтеграцію Сі з початкових умов знайдемо
Вирішивши останнє рівняння щодо отримаємо
Це співвідношення є першим інтегралом диференціального рівняння (16.10).
Визначення опорних реакцій фізичного та математичного маятників
Перший інтеграл рівнянь руху дозволяє визначити опорні реакції маятників. Як зазначалося у попередньому параграфі, реакції опор визначаються з рівнянь (16.5). У разі фізичного маятника складові активної сили по осях координат та моменти її щодо осей будуть:
Координати центру мас визначаються формулами:
Тоді рівняння визначення реакцій опор набувають вигляду:
Відцентрові моменти інерції тіла та відстані між опорами повинні бути відомі за умовами завдання. Кутове прискорення в і кутова швидкістьз визначаються з рівнянь (16.9) і (16.4) у вигляді:
Таким чином, рівняння (16.12) повністю визначають складові опорних реакцій фізичного маятника.
Рівняння (16.12) ще спрощуються, якщо розглядати математичний маятник. Дійсно, так як матеріальна точка математичного маятника розташована в площині то. Крім того, оскільки закріплена одна точка, то отже, рівняння (16.12) звертаються до рівняння виду:
З рівнянь (16.13) з використанням рівняння (16.9) випливає, що реакція опори спрямована вздовж нитки I (рис. 120). Останнє є очевидним результатом. Отже, проектуючи складові рівностей (16.13) на напрямок нитки, знайдемо рівняння для визначення реакції опори виду (рис. 120):
Підставляючи сюди значення та враховуючи, що запишемо:
Останнє співвідношення визначає динамічну реакцію математичного маятника. Зауважимо, що статична реакція його буде
Якісне дослідження характеру руху маятника
Перший інтеграл рівняння руху маятника дозволяє провести якісне дослідження характеру руху його. Саме, запишемо цей інтеграл (16.11) у вигляді:
У процесі руху підкорене вираз має бути позитивним, або звертатися в деяких точках в нуль. Припустимо, що початкові умови такі, що
У цьому випадку підкорене вираз ніде не звертається в нуль. Отже, при русі маятник буде пробігати всі значення кута і кутова швидкість з маятника має один і той же знак, який визначається напрямом початкової кутової швидкості, або кут буде весь час зростати, або весь час зменшуватися, тобто маятник буде обертатися в один бік.
Напрями руху відповідатимуть тому чи іншому знаку у виразі (16.11). Необхідною умовоюреалізації такого руху є наявність початкової кутової швидкості, тому що з нерівності (16.14) видно, що якщо ні при якому початковому куті відхилення отримати такий рух маятника неможливо.
Нехай тепер початкові умови такі, що
У цьому випадку знайдуться два таких значення кута, при яких підкорене вираз перетворюється на нуль. Нехай вони відповідають кутам, що визначаються рівністю
Причому буде десь у діапазоні зміни від 0 до . Далі, очевидно, що за
підкорене вираз (16.11) буде позитивним і при будь-якому мало перевищує воно буде негативним.
Отже, під час руху маятника його кут змінюється в діапазоні:
При кутова швидкість маятника перетворюється на нуль і кут починає зменшуватися до значення . При цьому зміниться знак кутової швидкості або перед радикалом у виразі (16.11). Коли досягає значення кутова швидкість маятника знову перетворюється на нуль і кут знову починає збільшуватися до значення
Таким чином, маятник буде здійснювати коливальні рухи.
Амплітуда коливань маятника
При коливальних рухах маятника максимальна величина його відхилення від вертикалі називається амплітудою коливання. Вона дорівнює яка визначається з рівності
Як випливає з останньої формули, амплітуда коливання залежить від початкових даних основних характеристик маятника або його довжини.
У окремому випадку, коли маятник відхилений від рівноважного становища і відпущений без початкової швидкості то буде рівно , отже, амплітуда залежить від наведеної довжини.
Рівняння руху маятника у кінцевій формі
Нехай початкова швидкість маятника дорівнює нулю, тоді перший інтеграл рівняння руху його буде:
Інтегруючи це рівняння, знаходимо
Будемо вести відлік часу від положення маятника, що відповідає тоді
Перетворимо підінтегральний вираз за допомогою формули:
Тоді отримаємо:
Отриманий інтеграл називається еліптичним інтегралом першого роду. Він може бути виражений з допомогою кінцевого числа елементарних функцій.
Звернення еліптичного інтегралу (16.15) щодо його верхньої межі представляє рівняння руху маятника:
Це буде добре вивчена еліптична функція Якобі.
Період коливання маятника
Час одного повного коливання маятника називається періодом його коливання. Позначимо його Т. Так як час руху маятника від положення до положення такий самий, як час руху від то Т визначиться формулою:
Зробимо заміну змінних, поклавши
При мінливих межах від 0 до буде змінюватися від 0 до . Далі,
і, отже,
Останній інтеграл називається повним еліптичним інтегралом першого роду (значення його надаються спеціальними таблицями).
Підінтегральна функція прагне одиниці і .
Наближені формули малих коливань маятника
Якщо коливання маятника мають невелику амплітуду (практично не повинно перевищувати 20°), можна покласти
Тоді диференціальне рівняння руху маятника набуває вигляду:
Математичний маятник
Вступ
Період коливань
Висновки
Література
Вступ
Нині вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за коченням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою рух туди й назад. Цей час потім назвали періодом вагань. Годинника у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.
Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосуванняу геологічній розвідці. Відомо, що у різних місцях земної кулі значення gрізні. Різні вони тому, що Земля - не цілком правильна куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад, деякі металеві руди, значення gаномально високо. Точні виміри gза допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.
Рівняння руху математичного маятника
Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або вертикальним колом (плоский математичний маятник), або сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником вважатимуться вантаж малих розмірів, підвішений на нерозтяжною гнучкою нитки.
Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіусу lз центром у точці Про(Рис. 1). Визначатимемо положення точки М(маятника) кутом відхилення j радіуса ОМвід вертикалі. Спрямовуючи дотичну M t у бік позитивного відліку кута j, складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху
mW=F+N, (1)
де F- активна сила, що діє на точку, а N- Реакція зв'язку.
Малюнок 1
Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює чинній її силі, тобто.
Вважаючи масу постійною, можна уявити попереднє рівняння у вигляді
де Wє прискорення точки.
Отже рівняння (1) в проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки заданою нерухомою гладкою кривою:
У нашому випадку отримаємо у проекції на вісь t
,
де mє маса маятника.
Тому що або , звідси знаходимо
.
Скорочуючи на mі вважаючи
, (3)
будемо остаточно мати:
,
,
,
. (4)
Розглянемо спочатку випадок малих вагань. Нехай у початковий моментмаятник відхилений від вертикалі на кут jта опущений без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:
при t= 0, 
. (5)
З інтегралу енергії:
, (6)
де V- потенційна енергія, а h- Постійна інтегрування, слід, що за цих умов будь-якої миті часу кут jЈj 0 . Значення постійної hвизначається за початковими даними. Припустимо, що кут j 0 малий (j 0 Ј1); тоді кут j буде також малий і можна приблизно покласти sinj»j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду
. (7)
Рівняння є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішенняцього рівняння має вигляд
, (8)
де Aі Bабо aта e суть постійні інтегрування.
Звідси відразу знаходимо період ( T) малих коливань математичного маятника (період - проміжок часу, протягом якого точка повертається в колишнє положення з тією самою швидкістю)
і 
,
т.к. sin має період рівний 2p, то w T=2p Ю
(9)
Для знаходження закону руху за початкових умов (5) обчислюємо:
. (10)
Підставляючи значення (5) у рівняння (8) та (10), отримаємо:
j 0 = A, 0 = w B,
тобто. B=0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:
j = j 0 cos wt. (11)
Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоский математичний маятник. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як
,
то (4) можна подати у вигляді
.
Звідси, помножуючи обидві частини рівняння на d j та інтегруючи, отримаємо:
. (12)
Позначимо тут через j 0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j 0 матимемо , звідки C= w 2 cosj 0. В результаті інтеграл (12) дає:
, (13)
де w визначається рівністю (3).
Цей інтеграл є інтегралом енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння
, (14)
де - робота на переміщенні M 0 Mактивної сили F, якщо врахувати, що у нашому випадку v 0 = 0, та (див. рис.).
З рівняння (13) видно, що під час руху маятника кут j змінюватиметься між значеннями +j 0 і -j 0 (|j|Јj 0 , оскільки ), тобто. маятник здійснюватиме коливальний рух. Умовимося відраховувати час tвід моменту проходження маятника через вертикаль OAпри його русі право (див. рис.). Тоді матимемо початкову умову:
при t=0, j=0. (15)
Крім того, при русі з точки Aбуде; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, Отримаємо:
.
Розділяючи тут змінні, матимемо:
. (16)
, 
,
то
.
Підставляючи цей результат рівняння (16), отримуємо.
Коливальний рух- періодичний або майже періодичний рух тіла, координата, швидкість та прискорення якого через рівні проміжки часу набувають приблизно однакових значень.
Механічні коливання виникають тоді, коли при виведенні тіла з рівноваги з'являється сила, що прагне повернути тіло назад.
Зміщення х – відхилення тіла від положення рівноваги.
Амплітуда А – модуль максимального зміщення тіла.
Період коливання Т – час одного коливання:
Частота коливання
Число коливань, які здійснюють тіло за одиницю часу: При коливаннях швидкість і прискорення періодично змінюються. У положенні рівноваги швидкість максимальна, прискорення дорівнює нулю. У точках максимального зміщення прискорення досягає максимуму, швидкість обертається на нуль.
ГРАФІК ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ
Гармонічниминазиваються коливання, що відбуваються за законом синуса чи косинуса:
де x(t) - усунення системи в момент t, A - амплітуда, ω - циклічна частота коливань.
Якщо вертикальної осі відкладати відхилення тіла від положення рівноваги, а, по горизонтальній - час, то вийде графік коливання х = x(t) - залежність усунення тіла від часу. При вільних гармонійних коливаннях – це синусоїда чи косинусоїда. На малюнку представлені графіки залежності усунення х, проекцій швидкості V х і прискорення ах часу.
Як видно з графіків, при максимальному зміщенні х швидкість V коливається тіла дорівнює нулю, прискорення а, а значить і сила, що діє на тіло, максимальні і спрямовані протилежно зсуву. У положенні рівноваги зсув і прискорення перетворюються на нуль, швидкість максимальна. Проекція прискорення завжди має знак, протилежний усунення.
ЕНЕРГІЯ КОЛИВАЛЬНОГО РУХУ
Повна механічна енергія тіла, що коливається, дорівнює сумі його кінетичної та потенційної енергій і за відсутності тертя залишається постійною:
У момент, коли зсув досягає максимуму х = А, швидкість, а разом з нею і кінетична енергія, перетворюються на нуль.
При цьому повна енергія дорівнює потенційній енергії:
Повна механічна енергія тіла, що коливається, пропорційна квадрату амплітуди його коливань.
Коли система проходить положення рівноваги, зміщення та потенційна енергія дорівнюють нулю: х = 0, Е п = 0. Тому повна енергія дорівнює кінетичній:
Повна механічна енергія тіла, що коливається, пропорційна квадрату його швидкості в положенні рівноваги. Отже:
МАТЕМАТИЧНИЙ МАЯТНИК
1. Математичний маятник- це матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці.
У положенні рівноваги сила тяжіння компенсується силою натягу нитки. Якщо маятник відхилити і відпустити, то сили і перестануть компенсувати один одного, і виникне результуюча сила, спрямована на положення рівноваги. Другий закон Ньютона:
При малих коливаннях, коли зміщення х набагато менше l, матеріальна точка рухатиметься практично вздовж горизонтальної осі х. Тоді з трикутника МАВ отримуємо:
Так як sin a = х/l, то проекція результуючої сили R на вісь х дорівнює
Знак "мінус" показує, що сила R завжди спрямована проти усунення х.
2. Отже, при коливаннях математичного маятника, так само як і при коливаннях пружинного маятника, сила, що повертає, пропорційна зсуву і спрямована в протилежний бік.
Порівняємо вирази для повертаючої сили математичного та пружинного маятників:
Видно, що mg/l аналогом k. Замінюючи k на mg/l у формулі для періоду пружинного маятника
отримуємо формулу для періоду математичного маятника:
Період малих коливань математичного маятника залежить від амплітуди.
Математичний маятник використовують для вимірювання часу, визначення прискорення вільного падіння у цьому місці земної поверхні.
Вільні коливання математичного маятника за малих кутів відхилення є гармонійними. Вони відбуваються завдяки рівнодіючій силі тяжкості та сили натягу нитки, а також інерції вантажу. Рівнодія цих сил є силою, що повертає.
приклад.Визначте прискорення вільного падіння планети, де маятник довжиною 6,25 м має період вільних коливань 3,14 з.
Період коливань математичного маятника залежить від довжини нитки та прискорення вільного падіння:
Звівши обидві частини рівності квадрат, отримуємо:
Відповідь:прискорення вільного падіння дорівнює 25 м/с2.
Завдання та тести на тему "Тема 4. "Механіка. Коливання та хвилі"."
- Поперечні та поздовжні хвилі. Довжина хвилі
Уроків: 3 Задань: 9 Тестів: 1
- Звукові хвилі. Швидкість звуку - Механічні коливання та хвилі. Звук 9 клас
Що являє собою математичний маятник?
З попередніх уроків ви повинні знати, що під маятником, як правило, мають на увазі тіло, яке здійснює коливання під дією гравітаційної взаємодії. Тобто, можна сказати, що у фізиці, під цим поняттям, прийнято вважати тверде тіло, яке під дією сили тяжіння здійснює коливальні рухи, що відбуваються навколо нерухомої точки чи осі.
Принцип дії математичного маятника
А тепер давайте розглянемо принцип дії математичного маятника і дізнаємося, у чому полягає.
Принципом дії математичного маятника є те, що при відхиленні від положення рівноваги матеріальної точки на незначний кут a, тобто такий кут, при якому виконувалася умова sina = a, то на тіло буде діяти сила F = -mgsina = -mga.
Ми з вами бачимо, що сила F має негативний показник, А з цього випливає, що знак мінус говорить нам про те, що ця сила спрямована в той бік, який є протилежним усунення. Оскільки сила F пропорційна зміщенню S, то з цього випливає, що під дією такої сили матеріальна точка здійснюватиме гармонійні коливання.
Властивості маятника
Якщо взяти будь-який інший маятник, то в нього період коливань залежить від багатьох чинників. До таких факторів можна віднести:
По-перше, розмір та форму тіла;
По-друге, відстань, яка існує між точкою підвісу та центром тяжіння;
По-третє, також і розподіл маси тіла щодо цієї точки.
Ось у зв'язку з цими різними обставинами маятників, визначити період тіла, що висить, досить таки складно.
А якщо брати математичний маятник, то він має всі ті властивості, які можна довести за допомогою відомих фізичних законівта його період можна легко розрахувати за допомогою формули.
Провівши багато різних спостережень над такими механічними системами, фізикам вдалося визначити такі закономірності, як:
По-перше, період маятника залежить від маси вантажу. Тобто, якщо при однаковій довжині маятника, ми будемо до нього підвішувати вантажі, які мають різну масу, то період їх коливань все одно вийде однаковим, навіть якщо їх маси будуть мати разючі відмінності.
По-друге, якщо ми будемо при запуску системи відхиляти маятник на невеликі, але при цьому різні кути, його коливання матимуть однаковий період, але амплітуди будуть різними. При невеликих відхиленнях від центру рівноваги коливання за своєю формою матимуть майже гармонійний характер. Тобто можна сказати, що період такого маятника не залежить від амплітуди коливань. У перекладі з грецької мови така властивість цієї механічної системи зветься ізохронізмом, де «ізос» позначає рівний, ну, а «хронос» - це час.
Практичне використання коливань маятника
Математичний маятник для різних дослідженьвикористовують фізики, астрономи, геодезисти та інші науковці. За допомогою такого маятника займаються пошуком корисних копалин. Спостерігаючи за прискоренням математичного маятника та підрахувавши число його коливань можна знайти поклади кам'яного вугілля та руди у надрах нашої Землі.
К. Фламмаріон, знаменитий французький астроном і дослідник природи, стверджував, що за допомогою математичного маятника йому вдалося зробити багато важливих відкриттів, Серед яких поява Тунгуського метеорита та відкриття нової планети.
У наш час багато екстрасенсів та окультистів використовують таку механічну систему для пошуку зниклих людей та пророчих передбачень.
Визначення
Математичний маятник- це окремий випадокфізичного маятника, маса якого в одній точці.
Зазвичай математичним маятником вважають маленьку кульку (матеріальну точку), що має велику масу, підвішений на довгій нитці (підвісі). Це ідеалізована система, яка здійснює коливання під впливом сили тяжіння. Тільки для кутів порядку 50-100 математичний маятник є гармонічним осцилятором, тобто робить гармонійні коливання.
Вивчаючи гойдання панікадила на довгому ланцюгу Галілей вивчав властивості математичного маятника. Він зрозумів, що період коливань даної системи залежить від амплітуди при малих кутах відхилення.
Формула для періоду коливань математичного маятника
Нехай точка підвісу маятника нерухома. Вантаж, підвішений до нитки маятника, рухається дугою кола (рис.1(a)) з прискоренням, на нього діє деяка сила, що повертає ($\overline(F)$). Ця сила змінюється під час руху вантажу. Внаслідок чого розрахунок руху стає складним. Введемо деякі спрощення. Нехай маятник здійснює коливання над площині, а описує конус (рис.1 (b)). Вантаж у разі переміщається по окружности. Період цікавих для нас коливань співпадатиме з періодом конічного руху вантажу. Період обігу конічного маятника по колу дорівнює часу, який витрачає вантаж на один виток по колу:
де $ L $ - Довжина кола; $v$ - швидкість руху вантажу. Якщо кути відхилення нитки від вертикалі малі (невеликі амплітуди коливань) то вважають, що сила, що повертає ($F_1$) спрямована по радіусу кола, який описує вантаж. Тоді ця сила дорівнює доцентровій силі:
Розглянемо подібні трикутники: AOB та DBC (рис.1 (b)).
Прирівнюємо праві частини виразів (2) і (3), виражаємо швидкість руху вантажу:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Отриману швидкість підставимо у формулу (1), маємо:
\ \
З формули (5) бачимо, що період математичного маятника залежить від довжини його підвісу (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу) і прискорення вільного падіння. Формулу (5) для періоду математичного маятника називають формулою Гюйгенса, вона виконується, коли точка підвісу маятника не рухається.
Використовуючи залежність періоду коливань математичного маятника від прискорення вільного падіння визначають величину даного прискорення. Для цього вимірюють довжину маятника, розглядаючи велику кількість коливань, знаходять період T $, потім обчислюють прискорення вільного падіння.
Приклади завдань із розв'язанням
Приклад 1
Завдання.Як відомо, величина прискорення вільного падіння залежить від широти. Яке прискорення вільного падіння на широті Москви, якщо період коливань математичного маятника завдовжки $l=2,485\cdot (10)^(-1)$м дорівнює T=1 c?\textit()
Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо формулу періоду математичного маятника:
Виразимо з (1.1) прискорення вільного падіння:
Обчислимо шукане прискорення:
Відповідь.$g=9,81\frac(м)(с^2)$
Приклад 2
Завдання.Яким буде період коливань математичного маятника, якщо точка його підвісу рухається вертикально вниз 1) постійною швидкістю? 2) із прискоренням $a$? Довжина нитки цього маятника дорівнює $l.$
Рішення.Зробимо малюнок.
1) Період математичного маятника, точка підвісу якого рухається рівномірно, дорівнює періоду маятника з нерухомою точкою підвісу:
2) Прискорення точки підвісу маятника можна як поява додаткової сили, що дорівнює $F=ma$, яка спрямована проти прискорення. Тобто якщо прискорення спрямоване вгору, то додаткова сила спрямована вниз, отже, вона складається із силою тяжіння ($mg$). Якщо точка підвісу рухається з прискоренням, спрямованим донизу, то додаткова сила віднімається від сили тяжіння.
Період математичного маятника, що здійснює коливання і у якого точка підвісу рухається з прискоренням, знайдемо як:
Відповідь. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
