Особливого значення характеристики розподілу випадкової величини мають числові характеристики, звані початковими і центральними моментами.
Початковим моментом k-го порядку α k(Х) випадкової величини Х k-ой ступеня цієї величини, тобто.
α k(Х) = М(Х k) (6.8)
Формула (6.8) через визначення математичного очікування для різних випадкових величинмає свій вигляд, а саме, для дискретної випадкової величини з кінцевою множиною значень
для безперервної випадкової величини
, (6.10)
де f(x) - щільність розподілу випадкової величини Х.
Невласний інтегралу формулі (6.10) перетворюється на визначений інтегралпо кінцевому проміжку, якщо значення безперервної випадкової величини є лише цьому проміжку.
Одна з раніше введених числових характеристик – математичне очікування- є не чим іншим, як початковим моментом першого порядку, або, як кажуть, першим початковим моментом:
М(Х) = α 1 (Х).
У попередньому пункті було запроваджено поняття центрованої випадкової величини Х - М(Х). Якщо цю величину розглядати як основну, то для неї також можуть бути знайдені початкові моменти. Для самої величини Хці моменти будуть називатися центральними.
Центральним моментом k-го порядку μ k(Х) випадкової величини Хназивається математичне очікування k-ой ступеня центрованої випадкової величини, тобто.
μ k(Х) = М[(Х - М(Х))k] (6.11)
Інакше кажучи, центральний момент k-го порядку - це математичне очікування k-ой ступеня відхилення.
Центральний момент k-го порядку для дискретної випадкової величини з кінцевою кількістю значень знаходиться за формулою:
, (6.12)
для безперервної випадкової величини за формулою:
(6.13)
Надалі, коли буде відомо про яку випадкову величину йдеться, то її в позначеннях початкових і центральних моментах писати не будемо, тобто. замість α k(Х) та μ k(Х) будемо писати просто α kі μ k .
Очевидно, що центральний момент першого порядку дорівнює нулю, тому що це ні що інше, як математичне очікування відхилення, яке дорівнює нулю раніше доведеному, тобто. .
Неважко зрозуміти, що центральний момент другого порядку випадкової величини Хзбігається з дисперсією цієї випадкової величини, тобто.
Крім цього, існують такі формули, що пов'язують початкові та центральні моменти:
Отже, моменти першого та другого порядків (математичне очікування та дисперсія) характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та ступінь розкиду значень. Для більш докладного описурозподілу служать моменти вищих порядків. Покажемо це.
Припустимо, що розподіл випадкової величини симетричний щодо свого математичного очікування. Тоді всі центральні моменти непарного порядку, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Це тим, що з симетричності розподілу кожному за позитивного значення величини Х − М(Х) існує рівне йому за модулем негативне значення, причому ймовірності цих значень рівні. Отже, сума у формулі (6.12) складається з кількох пар, рівних за модулем, але різних за знаком складових, які при підсумовуванні взаємно знищуються. Отже, вся сума, тобто. центральний момент будь-якого непарного порядку дискретної випадкової величини дорівнює нулю. Аналогічно, центральний момент будь-якого непарного порядку безперервної випадкової величини дорівнює нулю, як інтеграл у симетричних межах від непарної функції.
Природно припустити, що й центральний момент непарного порядку відмінний від нуля, те й сам розподіл нічого очікувати симетрично щодо свого математичного очікування. При цьому чим більше центральний момент відрізняється від нуля, тим більше асиметрія в розподілі. Візьмемо як властивості асиметрії центральний момент найменшого непарного порядку. Так як центральний момент першого порядку дорівнює нулю для випадкових величин, що мають будь-які розподіли, для цієї мети краще використовувати центральний момент третього порядку. Однак цей момент має розмірність куба випадкової величини. Щоб позбутися цього недоліку і перейти до випадкової безрозмірної величини, ділять значення центрального моменту на куб середньоквадратичного відхилення.
Коефіцієнтом асиметрії А s або просто асиметрієюназивається ставлення центрального моменту третього порядку до кубу середньоквадратичного відхилення, тобто.
Іноді асиметрію називають "скошенністю" та позначають S k, що походить від англійського слова skew - "косий".
Якщо коефіцієнт асиметрії негативний, то на його величину досить сильно вплив негативних доданків (відхилень) та розподіл матиме ліву асиметрію, А графік (крива) розподілу є більш пологим ліворуч від математичного очікування. Якщо коефіцієнт позитивний, то асиметрія права, А крива більш полога праворуч від математичного очікування (рис.6.1).
 |
Як показано, для характеристики розкиду значень випадкової величини навколо свого математичного очікування служить другий центральний момент, тобто. дисперсія. Якщо цей момент має велике числове значення, то дана випадкова величина має великий розкид значень і відповідна крива розподілу має більш пологий вигляд, ніж крива, на яку другий центральний момент має менше значення. Тому другий центральний момент характеризує, якоюсь мірою, "плосковершинність" або "гостровершинність" кривої розподілу. Однак ця характеристика не дуже зручна. Центральний момент другого порядку має розмірність рівну квадратурозмірності випадкової величини Якщо спробувати отримати безрозмірну величину, поділивши значення моменту на квадрат середньоквадратичного відхилення, то для будь-якої випадкової величини отримаємо: 
. Таким чином, цей коефіцієнт не може бути якоюсь характеристикою розподілу випадкової величини. Він однаковий всім розподілів. І тут можна використовувати центральний момент четвертого порядку.
Ексцесом E k називається величина, яка визначається за формулою
(6.15)
Ексцес, в основному, застосовується для безперервних випадкових величин і служить для характеристики, так званої "крутості" кривої розподілу, або інакше, як уже було сказано, для характеристики "плосковершинності" або "гостровершинності" кривої розподілу. Як еталонна крива розподілу вважається крива нормального розподілу(про нього докладно йтиметься у наступному розділі). Для випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, має місце рівність . Тому ексцес, заданий формулою (6.15), служить для порівняння даного розподілу з нормальним, у якого ексцес виходить рівним нулю.
Якщо для якоїсь випадкової величини отримано позитивний ексцес, то крива розподілу цієї величини є більш гострою, ніж крива нормального розподілу. Якщо ж ексцес негативний, то крива є більш плосковершинною порівняно з кривою нормального розподілу (рис. 6.2).
 |
Перейдемо тепер до конкретних видів законів розподілу дискретної та безперервної випадкових величин.
Крім показників становища – середніх, типових значень випадкової величини, - використовується ще ряд показників, кожна з яких визначає те чи інше властивість розподілу. Як такі характеристики найчастіше застосовуються звані моменти.
Поняття моменту широко застосовується у механіці для опису розподілу мас (статичні моменти, моменти інерції тощо.). Цілком тими ж прийомами користуються теоретично ймовірностей для опису основних властивостей розподілу випадкової величини. Найчастіше застосовуються практично моменти двох видів: початкові і центральні.
Початковим моментом s-го порядку перервної випадкової величини називається сума виду:
. (5.7.1)
Очевидно, це визначення збігається з визначенням початкового моменту порядку s в механіці, якщо осі абсцис в точках зосереджені маси .
Для безперервної випадкової величини Х початковим моментом s-го порядку називається інтеграл
. (5.7.2)
Неважко переконатися, що введена в попередньому n ° основна характеристика положення - математичне очікування - не що інше, як перший початковий момент випадкової величини .
Користуючись знаком математичного очікування, можна об'єднати дві формули (5.7.1) та (5.7.2) в одну. Дійсно, формули (5.7.1) та (5.7.2) за структурою повністю аналогічні формулам (5.6.1) і (5.6.2), з тією різницею, що в них замість і стоять відповідно і . Тому можна написати загальне визначення початкового моменту -го порядку, справедливе як для перервних, так і для безперервних величин:
, (5.7.3)
тобто. початковим моментом порядку випадкової величини називається математичне очікування ступеня цієї випадкової величини.
Перед тим, як визначити визначення центрального моменту, введемо нове поняття «центрованої випадкової величини».
Нехай є випадкова величина з математичним очікуванням. Центрованою випадковою величиною, що відповідає величині, називається відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
Умовимося надалі скрізь позначати центровану випадкову величину, що відповідає даній випадковій величині, тією самою літерою зі значком нагорі.
Неважко переконатися, що математичне очікування центрованої випадкової величини дорівнює нулю. Дійсно, для перервної величини
аналогічно і безперервної величини.
Центрування випадкової величини, очевидно, рівносильне перенесення початку координат у середню, «центральну» точку, абсцис якої дорівнює математичному очікуванню.
Моменти центрованої випадкової величини звуться центральних моментів. Вони аналогічні моментам щодо центру важкості у механіці.
Таким чином, центральним моментом порядку випадкової величини називається математичне очікування -й ступеня відповідної центрованої випадкової величини:
, (5.7.6)
а для безперервної – інтегралом
. (5.7.8)
Надалі в тих випадках, коли не виникає сумнівів, до якої випадкової величини відноситься даний момент, ми будемо для стислості замість писати просто і .
Очевидно, для будь-якої випадкової величини центральний момент першого порядку дорівнює нулю:
, (5.7.9)
оскільки математичне очікування центрованої випадкової величини завжди дорівнює нулю.
Виведемо співвідношення, що пов'язують центральні та початкові моменти різних порядків. Висновок ми проведемо лише для перервних величин; легко переконається, що ті самі співвідношення справедливі й у безперервних величин, якщо замінити кінцеві суми інтегралами, а ймовірності – елементами ймовірності.
Розглянемо другий центральний момент:
Аналогічно для третього центрального моменту отримаємо:
Вирази і т.д. можуть бути одержані аналогічним шляхом.
Таким чином, для центральних моментів будь-якої випадкової величини справедливі формули:
(5.7.10)
Взагалі кажучи, моменти можуть розглядатися як щодо початку координат (початкові моменти) чи математичного очікування (центральні моменти), а й щодо довільної точки :
. (5.7.11)
Однак центральні моменти мають перед усіма іншими перевагу: перший центральний момент, як ми бачили, завжди дорівнює нулю, а наступний за ним другий центральний момент при цій системі відліку має мінімальне значення. Доведемо це. Для перервної випадкової величини при формула (5.7.11) має вигляд:
. (5.7.12)
Перетворимо цей вираз:
Зрозуміло, ця величина сягає свого мінімуму, коли , тобто. коли момент береться щодо точки.
З усіх моментів як характеристики випадкової величини найчастіше застосовуються перший початковий момент (математичне очікування) і другий центральний момент.
Другий центральний момент називається дисперсією випадкової величини. Зважаючи на крайню важливість цієї характеристики серед інших моментів введемо для неї спеціальне позначення:
Відповідно до визначення центрального моменту
тобто. Дисперсія випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відповідної центрованої величини.
Замінюючи у виразі (5.7.13) величину її виразом, маємо також:
. (5.7.14)
Для безпосереднього обчислення дисперсії є формули:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Відповідно для перервних та безперервних величин.
Дисперсія випадкової величини є характеристикою розсіювання, розкиданості значень випадкової величини при її математичному очікуванні. Саме слово "дисперсія" означає "розсіювання".
Якщо звернутися до механічної інтерпретації розподілу, то дисперсія є не що інше, як момент інерції заданого розподілу мас щодо центру тяжкості (математичного очікування).
Дисперсія довільної величини має розмірність квадрата довільної величини; для наочної характеристики розсіювання зручніше користуватися величиною розмірність якої збігається з розмірністю випадкової величини. Для цього з дисперсії витягують квадратний корінь. Отримана величина називається середнім квадратичним відхиленням (інакше - "стандартом") випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення будемо позначати:
, (5.7.17)
Для спрощення записів ми часто користуватимемося скороченими позначеннями середнього квадратичного відхилення та дисперсії: і . У разі, коли не виникає сумніву, до якої випадкової величини ставляться ці характеристики, ми іноді опускатимемо значок х у і писати просто і . Слова «середнє квадратичне відхилення» іноді скорочено замінюватимемо літерами п.к.о.
Насправді часто застосовується формула, що виражає дисперсію випадкової величини через її другий початковий момент (друга з формул (5.7.10)). У нових позначеннях вона матиме вигляд:
Математичне очікування та дисперсія (або середнє квардратичне відхилення) – найчастіше застосовувані характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище і рівень розкиданості. Для детальнішого опису розподілу застосовуються моменти вищих порядків.
Третій центральний момент служить для характеристики асиметрії (або "скошеності") розподілу. Якщо розподіл симетрично щодо математичного очікування (чи, у механічної інтерпретації, маса розподілена симетрично щодо центру тяжкості), всі моменти непарного порядку (якщо вони існують) дорівнюють нулю. Справді, у сумі
при симетричному щодо закону розподілу та непарному кожному позитивному доданку відповідає рівне йому за абсолютною величиною негативне доданок, так що вся сума дорівнює нулю. Те саме, очевидно, справедливо і для інтеграла
,
який дорівнює нулю, як інтеграл у симетричних межах від непарної функції.
Природно тому як характеристики асиметрії розподілу вибрати якийсь із непарних моментів. Найпростішим із них є третій центральний момент. Він має розмірність куба випадкової величини: щоб одержати безрозмірну характеристику, третій момент ділять на куб середнього відхилення квадратичного. Отримана величина зветься «коефіцієнт асиметрії» або просто «асиметрії»; ми позначимо її:
На рис. 5.7.1 показано два асиметричні розподіли; одна з них (крива I) має позитивну асиметрію (); інше (крива ІІ) – негативну ().
Четвертий центральний момент служить характеристики так званої «крутості», тобто. гостроверхості або плосковершинності розподілу. Ці характеристики розподілу описуються з допомогою так званого ексцесу. Ексцесом випадкової величини називається величина
Число 3 віднімається з відношення тому, що для дуже важливого і поширеного в природі нормального закону розподілу (з яким ми докладно познайомимося надалі). Отже, для нормального розподілу ексцес дорівнює нулю; криві, більш гостроверхі в порівнянні з нормальною, мають позитивний ексцес; криві більш плосковершинні – негативним ексцесом.
На рис. 5.7.2 представлені: нормальний розподіл (крива І), розподіл з позитивним ексцесом (крива ІІ) та розподіл з негативним ексцесом (крива ІІІ).
Крім розглянутих вище початкових та центральних моментів, на практиці іноді застосовуються так звані абсолютні моменти (початкові та центральні), що визначаються формулами
Очевидно, абсолютні моменти парних порядків збігаються із звичайними моментами.
З абсолютних моментів найчастіше застосовується перший абсолютний центральний момент
, (5.7.21)
званий середнім арифметичним відхиленням. Поряд з дисперсією та середнім квадратичним відхиленням середнє арифметичне відхилення іноді застосовується як характеристика розсіювання.
Математичне очікування, мода, медіана, початкові та центральні моменти і, зокрема, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, асиметрія та ексцес являють собою найбільш уживані числові характеристики випадкових величин. Багато завдань практики повна характеристикавипадкової величини – закон розподілу – або потрібна, або може бути отримана. У цих випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини за допомогою. Числових характеристик, кожна з яких виражає якесь характерне властивість розподілу.
Найчастіше числовими характеристиками користуються для наближеної заміни одного розподілу іншим, причому зазвичай прагнуть зробити цю заміну те щоб збереглися незмінними кілька найважливіших моментів.
Приклад 1. Виробляється один досвід, в результаті якого може з'явитися або не з'явитися подія, ймовірність якого дорівнює. Розглядається випадкова величина – кількість появи події (характеристична випадкова величина події). Визначити її характеристики: математичне очікування, дисперсію, середнє відхилення.
Рішення. Ряд розподілу величини має вигляд:
де - ймовірність непояви події.
За формулою (5.6.1) знаходимо математичне очікування величини:
Дисперсію величини визначаємо за формулою (5.7.15):
(Пропонуємо читачеві отримати той самий результат, висловивши дисперсію через другий початковий момент).
Приклад 2. Виконується три незалежні постріли по мішені; ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,4. випадкова величина – кількість влучень. Визначити характеристики величини – математичне очікування, дисперсію, п.п.о., асиметрію.
Рішення. Ряд розподілу величини має вигляд:
Обчислюємо числові характеристики величини.
Початковим моментом k -го порядку випадкової величиниX X k :
Зокрема,
Центральним моментом k -го порядку випадкової величиниXназивається математичне очікування величини k :
.
(5.11)
Зокрема,
Скориставшись визначеннями та властивостями математичного очікування та дисперсії, можна отримати, що
,
,
Моменти вищих порядків застосовуються рідко.
Припустимо, що розподіл випадкової величини симетрично щодо математичного очікування. Тоді всі центральні непарні порядку дорівнюють нулю. Це можна пояснити тим, що для кожного позитивного значення відхилення X–M[X] знайдеться (через симетричність розподілу) рівне йому за абсолютною величиною негативне значення, причому їхні ймовірності будуть однаковими. Якщо центральний момент дорівнює непарного порядку не дорівнює нулю, це говорить про асиметричності розподілу і що більше момент, то більше вписувалося асиметрія. Тому як характеристики асиметрії розподілу найрозумніше взяти якийсь непарний центральний момент. Так як центральний момент 1-го порядку завжди дорівнює нулю, то доцільно для цього використовувати центральний момент 3-го порядку. Однак прийняти цей момент для оцінки асиметричності незручно, тому що його величина залежить від одиниць, в яких вимірюється випадкова величина. Щоб усунути цей недолік, 3 ділять на 3 і таким чином одержують характеристику.
Коефіцієнтом асиметрії A називається величина
.
(5.12)
Мал. 5.1
Якщо коефіцієнт асиметрії негативний, це говорить про великий вплив на величину 3 негативних відхилень. І тут криві розподілу більше пологи ліворуч від M[X]. Якщо коефіцієнт A позитивний, то крива більше пологи праворуч.Як відомо, дисперсія (2-й центральний момент) служить для характеристики розсіювання значень випадкової величини навколо математичного очікування. Чим більша дисперсія, тим більша полога відповідна крива розподілу. Проте нормований момент 2-го порядку 2 / 2 не може бути характеристикою "плосковершинності" або "гостровершинності" розподілу тому, що для будь-якого розподілу D[ x]/ 2 =1. І тут використовують центральний момент 4-го порядку.
Ексцесом E називається величина
.
(5.13)
Ч
Мал. 5.2
Приклад 5.6.ДСВ X задана наступним законом розподілу:
Знайти коефіцієнт асиметрії та ексцес.
Мал. 5.4
Тепер обчислимо центральні моменти:
Знайдемо математичне очікування Х 2 :
М(Х 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Бачимо, що М(X 2) значно більше М(X). Це пояснюється тим, що після зведення у квадрат можливе значеннявеличини X 2 , що відповідає значенню x=100 величини X,стало рівним 10 000, тобто значно збільшилося; ймовірність цього значення мала (0,01).
Таким чином, перехід від М(X)до М(X 2) дозволив краще врахувати вплив на математичне очікування того можливого значення, яке велике і має малу ймовірність. Зрозуміло, якби величина Xмала кілька великих і малоймовірних значень, тобто перехід до величини X 2 , а тим більше до величин X 3 , X 4 і т. д., дозволив би ще більше посилити роль цих великих, але малоймовірних можливих значень. Ось чому виявляється доцільним розглядати математичне очікування цілого позитивного ступеня випадкової величини (не лише дискретної, а й безперервної).
Початковим моментом порядку kвипадкової величини Xназивають математичне очікування величини X k:
v k = M(X).
Зокрема,
v 1 = M(X), v 2 = M(X 2).
Користуючись цими моментами, формулу для обчислення дисперсії D(X)= M(X 2)- [М(X)] 2 можна записати так:
D(X)= v 2 – . (*)
Крім моментів випадкової величини Xдоцільно розглядати моменти відхилення X-М(X).
Центральним моментом порядку k випадкової величини X називають математичне очікування величини(Х-М(Х))k:
Зокрема,
Легко виводяться співвідношення, що пов'язують початкові та центральні моменти. Наприклад, порівнюючи (*) та (***), отримаємо
m 2 = v 2 – .
Неважко, виходячи з визначення центрального моменту та користуючись властивостями математичного очікування, отримати формули:
m 3 = v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m 4 = v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
Моменти вищих порядків застосовуються рідко.
Зауваження. Моменти, розглянуті тут, називають теоретичними.На відміну від теоретичних моментів, моменти, що обчислюються за даними спостережень, називають емпіричними.Визначення емпіричних моментів наведено далі (див. гл. XVII, § 2).
Завдання
1. Відомі дисперсії двох незалежних випадкових величин: D(X) = 4, D(Y) = 3. Знайти дисперсію суми цих величин.
Відп. 7.
2. Дисперсія випадкової величини Xдорівнює 5. Знайти дисперсію наступних величин: а) X-1; б) -2 Х;в) ЗХ + 6.
Відп.а) 5; б) 20; в) 45.
3. Випадкова величина Xприймає лише два значення: +С та -С, кожне з ймовірністю 0,5. Знайти дисперсію цієї величини.
Відп. З 2 .
4. знаючи закон її розподілу
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Відп. 67,6404.
5. Випадкова величина Xможе приймати два можливі значення: х 1 з ймовірністю 0,3 та x 2 з ймовірністю 0,7, причому х 2 > х 1 . Знайти x 1 та x 2 , знаючи, що М(Х) = 2, 7і D(X) =0,21.
Відп. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Знайти дисперсію випадкової величини X-числа появи подій Ав двох незалежних випробуваннях, якщо М(Х) = 0, 8.
Вказівка. Написати біномний закон розподілу ймовірностей числа події Ау двох незалежних випробуваннях.
Відп. 0, 48.
7. Випробовується пристрій, що складається з чотирьох приладів, що незалежно працюють. Імовірності відмови приладів такі: р 1 = 0,3; р 2 = 0,4; p 3 = 0,5; р 4 = 0,6. Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.
Відп. 1,8; 0,94.
8. Знайти дисперсію випадкової величини X- числа появи події у 100 незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність настання події дорівнює 0,7.
Відп. 21.
9. Дисперсія випадкової величини D(Х) = 6,25. Знайти середнє квадратичне відхилення s( X).
Відп. 2, 5.
10. Випадкова величина задана законом розподілу
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Знайти середнє відхилення цієї величини.
Відп. 2, 2.
11. Дсперсія кожної з 9 однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 36. Знайти дисперсію середнього арифметичного цих величин.
Відп. 4.
12. Середнє квадратичне відхилення кожної з 16 однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 10. Знайти середнє відхилення середнього арифметичного цих величин.
Відп. 2,5.
Розділ дев'ятий
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ
Попередні зауваження
Як відомо, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме випадкова величина в результаті випробування; це залежить від багатьох випадкових причин, врахувати які неможливо. Здавалося б, оскільки про кожну випадкову величину ми маємо в цьому сенсі дуже скромні відомості, то навряд чи можна встановити закономірності поведінки і суми досить великої кількості випадкових величин. Насправді, це не так. Виявляється, що за деяких порівняно широких умовахсумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.
Для практики дуже важливе знання умов, і під час яких сукупне дію багатьох випадкових причин призводить до результату, майже залежить від випадку, оскільки дозволяє передбачити перебіг явищ. Ці умови і вказуються в теоремах, які мають загальна назвазакону великих чисел. До них відносяться теореми Чебишева та Бернуллі (є й інші теореми, які тут не розглядаються). Теорема Чебишева є найбільш загальним законом великих чисел, теорема Бернуллі найпростішим. Для підтвердження цих теорем ми користуємося нерівністю Чебишева.
Нерівність Чебишева
Нерівність Чебишева справедлива для дискретних і безперервних випадкових величин. Для простоти обмежимося доказом цієї нерівності для дискретних величин.
Розглянемо дискретну випадкову величину X,задану таблицею розподілу:
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| p | p 1 | P 2 | … | p n |
Поставимо собі завдання оцінити ймовірність те, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування вбирається у абсолютної величині позитивного числа e. Якщо e досить мало, ми оцінимо, таким чином, ймовірність того, що Xприйме значення, досить близькі до свого математичного очікування. П. Л. Чебишев довів нерівність, що дозволяє дати цікаву для нас оцінку.
Нерівність Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування по абсолютній величині менше позитивного числа e, не менше ніж 1-D(Х)/e 2 :
Р(|Х-М(Х)|< e ) 1-D(X)/e 2 .
Доведення. Оскільки події, які перебувають у здійсненні нерівностей |Х-М(Х)|
Р(|Х-М(Х)|< e )+ Р(|Х-М(Х)| e)= 1.
Звідси ймовірність, що нас цікавить
Р(|Х-М(Х)|< e )= 1- Р(|Х-М(Х)| e). (*)
Таким чином, завдання зводиться до обчислення ймовірності Р(| Х-М(Х)| e).
Напишемо вираз дисперсії випадкової величини X:
D(X)= [x 1 -M(X)] 2 p 1 + [x 2 -M(X)] 2 p 2 +…+ [x n -M(X)]2p n.
Очевидно, всі складові цієї суми є невід'ємними.
Відкинемо ті доданки, які | x i-M(Х)|<e(для решти доданків | | x j-M(Х)| e), внаслідок чого сума може лише зменшитися. Умовимося вважати для визначеності, що відкинуто kперших доданків (не порушуючи спільності, вважатимуться, що у таблиці розподілу можливі значення занумеровані у такому порядку). Таким чином,
D(X) [x k + 1 -M(Х)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z +... +[x n -M(X)] 2 p n.
Зауважимо, що обидві частини нерівності | x j - М(Х)| e (j = k+1, k+ 2, ..., п)позитивні, тому, звівши їх у квадрат, отримаємо рівносильну нерівність | x j - М(Х)| 2 e 2Скористаємося цим зауваженням і, замінюючи в сумі, що залишилася, кожен з множників | x j - М(Х)| 2 числом e 2(при цьому нерівність може лише посилитися), отримаємо
D(X) e 2 (р до+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)
За теоремою складання, сума ймовірностей р до+ 1 + p k + 2 + … + р nє ймовірність того, що Xприйме одне, байдуже яке, із значень x k + 1 , х до+ 2 ,....х п,а за будь-якого з них відхилення задовольняє нерівності | x j - М(Х)| eЗвідси випливає, що сума р до+ 1 + p k + 2 + … + р nвисловлює ймовірність
P(|X - М(Х)| e).
Це міркування дозволяє переписати нерівність (**) так:
D(X) e 2 P(|X - М(Х)| e),
P(|X - М(Х)| e)D(X) /e 2 (***)
Підставляючи (***) у (*), остаточно отримаємо
P(|X - М(Х)| <e) 1- D(X) /e 2 ,
що й потрібно було довести.
Зауваження. Нерівність Чебишева має для практики обмежене значення, оскільки часто дає грубу, а іноді і тривіальну (що не становить інтересу) оцінку. Наприклад, якщо D(X)> e 2 і, отже, D(X)/e 2 > 1, то 1 - D(Х)/e 2 < 0; Таким чином, у цьому випадку нерівність Чебишева вказує лише на те, що ймовірність відхилення невід'ємна, а це і так очевидно, оскільки будь-яка ймовірність виражається невід'ємним числом.
Теоретичне значення нерівності Чебишева дуже велике. Нижче скористаємося цією нерівністю для виведення теореми Чебишева.
Теорема Чебишева
Теорема Чебишева. Якщо Х 1 , Х 2 ,…, Х n , ...-попарно незалежні випадкові величини, причому дисперсії їх рівномірно обмежені(не перевищують постійного числа), то, як би мало не було позитивне число е, ймовірність нерівності
Іншими словами, в умовах теореми
Таким чином, теорема Чебишева стверджує, що якщо розглядається досить велика кількість незалежних випадкових величин, що мають обмежені дисперсії, то майже достовірною можна вважати подію, яка полягає в тому, що відхилення середнього арифметичного випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних очікувань буде за абсолютною величиною як завгодно малим.
Доведення. Введемо на розгляд нову випадкову величину - середнє арифметичне випадкових величин
=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.
Знайдемо математичне очікування . Користуючись властивостями математичного очікування (постійний множник можна винести за знак математичного очікування, математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань доданків), отримаємо
M 
=
. (*)
Застосовуючи до величини нерівність Чебишева, маємо
Підставляючи праву частину (***) в нерівність (**) (чому останнє може лише посилено), маємо
Звідси, переходячи до межі при , отримаємо
Зрештою, враховуючи, що ймовірність не може перевищувати одиницю, можемо остаточно написати
Теорему доведено.
Вище, формулюючи теорему Чебишева, ми припускали, що випадкові величини мають різні математичні очікування. Насправді часто буває, що випадкові величини мають те саме математичне очікування. Очевидно, якщо знову припустити, що дисперсії цих величин обмежені, то до них буде застосовна теорема Чебишева.
Позначимо математичне очікування кожної з випадкових величин через а;в даному випадку середнє арифметичне математичних очікувань, як легко бачити, також дорівнює а.Ми можемо сформулювати теорему Чебишева для окремого випадку.
Якщо Х 1 , Х 2 , ..., Х п,...-попарно незалежні випадкові величини, що мають те саме математичне очікування а, і якщо дисперсії цих величин рівномірно обмежені, то, як би мало не було число e> О, ймовірність нерівності
буде як завгодно близька до одиниці, якщо кількість випадкових величин досить велика.
Іншими словами, в умовах теореми матиме місце рівність
Сутність теореми Чебишева
Сутність доведеної теореми така: хоча окремі незалежні випадкові величини можуть приймати значення, далекі від своїх математичних очікувань, середнє арифметичне досить великої кількості випадкових величин з великою ймовірністю набуває значень, близьких до певного постійного числа, а саме до ( М(X 1)+ М(Х 2)+...+М(Х п))/п(або до числа ау окремому випадку). Інакше кажучи, окремі випадкові величини може мати значний розкид, які середнє арифметичне розсіяно мало.
Таким чином, не можна впевнено передбачити, яке можливе значення набуде кожна з випадкових величин, але можна передбачити, яке значення прийме їхнє середнє арифметичне.
Отже, середня арифметична досить велика кількість незалежних випадкових величин(Дисперсії яких рівномірно обмежені) втрачає характер випадкової величини.Пояснюється це тим, що відхилення кожної з величин від своїх математичних очікувань може бути як позитивними, і негативними, а середньому арифметичному вони взаємно погашаються.
Теорема Чебишева справедлива як дискретних, але й безперервних випадкових величин; вона є яскравим прикладом, що підтверджує справедливість вчення діалектичного матеріалізму про зв'язок між випадковістю та необхідністю.
Математичне очікування. Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Х, що приймає кінцеве число значень хiз ймовірностями рi, називається сума:
Математичним очікуваннямбезперервної випадкової величини Хназивається інтеграл від добутку її значень хна щільність розподілу ймовірностей f(x):
(6б)
Невласний інтеграл (6 б) передбачається абсолютно схожим (інакше говорять, що математичне очікування М(Х) не існує). Математичне очікування характеризує середнє значеннявипадкової величини Х. Його розмірність збігається із розмірністю випадкової величини.
Властивості математичного очікування:
Дисперсія. Дисперсієювипадкової величини Хназивається число:
Дисперсія є характеристикою розсіюваннязначень випадкової величини Хщодо її середнього значення М(Х). Розмірність дисперсії дорівнює розмірності випадкової величини у квадраті. Виходячи з визначень дисперсії (8) та математичного очікування (5) для дискретної випадкової величини та (6) для безперервної випадкової величини отримаємо аналогічні вирази для дисперсії:
(9)
Тут m = М(Х).
Властивості дисперсії:
Середнє квадратичне відхилення:
(11)
Оскільки розмірність середнього квадратичного відхиленнята сама, що й у випадкової величини, воно частіше, ніж дисперсія, використовується як міра розсіювання.
Моменти розподілу. Поняття математичного очікування та дисперсії є окремими випадками. загального поняттядля числових характеристик випадкових величин моментів розподілу. Моменти розподілу випадкової величини вводяться як математичні очікування деяких найпростіших функцій випадкової величини. Так, моментом порядку kщодо точки х 0 називається математичне очікування М(Х–х 0 )k. Моменти щодо початку координат х= 0 називаються початковими моментамита позначаються:
(12)
Початковий момент першого порядку є центр розподілу випадкової величини, що розглядається:
(13)
Моменти щодо центру розподілу х= mназиваються центральними моментамита позначаються:
(14)
З (7) слід, що центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю:
Центральні моменти не залежать від початку відліку значень випадкової величини, тому що при зрушенні на постійне значення Зїї центр розподілу зрушується на те саме значення З, а відхилення від центру не змінюється: Х – m = (Х – З) – (m – З).
Тепер очевидно, що дисперсія– це центральний момент другого порядку:
Асиметрія. Центральний момент третього порядку:
(17)
служить для оцінки асиметрії розподілу. Якщо розподіл симетрично щодо точки х= m, то центральний момент третього порядку дорівнюватиме нулю (як і всі центральні моменти непарних порядків). Тому, якщо центральний момент третього порядку відмінний від нуля, то розподіл не може бути симетричним. Величину асиметрії оцінюють за допомогою безрозмірного коефіцієнта асиметрії:
(18)
Знак коефіцієнта асиметрії (18) свідчить про правосторонню чи лівосторонню асиметрію (рис. 2).
Мал. 2. Види асиметрії розподілів.
Ексцес. Центральний момент четвертого порядку:
(19)
служить для оцінки так званого ексцеса, Що визначає ступінь крутості (гостровершинності) кривої розподілу поблизу центру розподілу по відношенню до кривої нормального розподілу. Так як для нормального розподілу, то як ексцес приймається величина:
(20)
На рис. 3 наведено приклади кривих розподілу з різними значеннями ексцесу. Для нормального розподілу Е= 0. Криві, більш гостроверхі, ніж нормальна, мають позитивний ексцес, більш плосковершинні - негативний.
Мал. 3. Криві розподіли з різним ступенемкрутості (ексцесом).
Моменти вищих порядків в інженерних програмах математичної статистикизазвичай не застосовуються.
Мода
дискретнийвипадкової величини – це найбільш ймовірне значення. Модою безперервнийвипадкової величини називається її значення, у якому щільність ймовірності максимальна (рис. 2). Якщо крива розподілу має один максимум, то розподіл називається унімодальним. Якщо крива розподілу має більше одного максимуму, то розподіл називається полімодальним. Іноді зустрічаються розподіли, криві яких мають максимум, а мінімум. Такі розподіли називаються антимодальними. У загальному випадкумода та математичне очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, для модального, тобто. що має моду, симетричного розподілу та за умови, що існує математичне очікування, останнє збігається з модою та центром симетрії розподілу.
Медіана випадкової величини Х– це її значення Ме, котрій має місце рівність: тобто. рівноймовірно, що випадкова величина Хвиявиться менше чи більше Ме. Геометрично медіана– це абсцис точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл (рис. 2). У разі симетричного модального розподілу медіана, мода та математичне очікування збігаються.
