Різні способидокази теореми Піфагора
учня 9 «А» класу
МОУ ЗОШ №8
Науковий керівник:
вчитель математики,
МОУ ЗОШ №8
ст. Новоріздвяної
Краснодарського краю.
Ст. Новоріздвяна
АННОТАЦІЯ.
Теорема Піфагора по праву вважається найважливішою в курсі геометрії і заслуговує на пильну увагу. Вона є основою вирішення безлічі геометричних завдань, базою для вивчення теоретичного та практичного курсу геометрії надалі. Теорема оточена найбагатшим історичним матеріалом, пов'язаним із її появою та способами доказу. Вивчення історії розвитку геометрії прищеплює любов до даного предмета, сприяє розвитку пізнавального інтересу, загальної культури та творчості, а також розвиває навички науково-дослідної роботи.
В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, що полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способи доказу та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.
Зібраний матеріал ще більше переконує, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне і практичне значення.
Вступ. Історична довідка 5 Основна частина 8
3. Висновок 19
4. Використовувана література 20
1. ВВЕДЕННЯ. ІСТОРИЧНА ДОВІДКА.
Суть істини вся в тому, що нам вона - назавжди,
Коли хоч раз у її прозрінні побачимо світло,
І теорема Піфагора за стільки років
Для нас, як для нього, безперечна, бездоганна.
На радощах богам був Піфагором дано обітницю:
За те, що мудрість торкнулася нескінченної,
Він сто биків заклав, завдяки одвічним;
Моління та хвали підніс він жертві слідом.
З тих пір бики, коли вчують, тужачись,
Що до нової істини людей знову підводить слід,
Ревут розлютився, так що слухати сечі немає,
Такий у них Піфагор вселив навіки жах.
Бикам, безсилим нової правді протистояти,
Що лишається? - Лише очі заплющивши, ревти, тремтіти.
Невідомо, як доводив Піфагор свою теорему. Безперечно лише те, що він відкрив її під сильним впливом єгипетської науки. Окремий випадок теореми Піфагора - властивості трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 - був відомий будівельникам пірамід задовго до народження Піфагора, сам він понад 20 років навчався у єгипетських жерців. Збереглася легенда, яка свідчить, що, довівши свою знамениту теорему, Піфагор приніс богам у жертву бика, а з інших джерел, навіть 100 биків. Це, проте, суперечить відомостям про моральні та релігійні погляди Піфагора. У літературних джерелах можна прочитати, що він «забороняв навіть убивати тварин, а тим більше ними годуватись, бо тварини мають душу, як і ми». Піфагор харчувався лише медом, хлібом, овочами та рідко рибою. У зв'язку з цим більш правдоподібної вважатимуться такий запис: «...і навіть коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність до катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного тесту».
Популярність теореми Піфагора настільки велика, що її докази зустрічаються навіть у художній літературі, наприклад, у оповіданні відомого англійського письменника Хакслі «Юний Архімед». Такий самий Доказ, але для окремого випадку рівнобедреного прямокутного трикутника наводиться в діалозі Платона «Менон».
Казка «Будинок».
«Далеко, куди не літають навіть літаки, знаходиться країна Геометрія. У цій незвичайній країні було одне дивовижне місто – місто Теорем. Якось до цього міста прийшла красива дівчинкана ім'я Гіпотенуза. Вона спробувала зняти кімнату, але куди б вона не зверталася, їй усюди відмовляли. Нарешті вона підійшла до похилого будинку і постукала. Їй відкрив чоловік, який назвав себе Прямим Кутом, і він запропонував Гіпотенузе оселитися в нього. Гіпотенуза залишилася в будинку, в якому жили Прямий Кут і два його маленькі сини на ім'я Катети. З того часу життя в будинку Прямого Кута пішло по-новому. На віконці гіпотенуза посадила квіти, а в палісаднику розвела червоні троянди. Будинок набув форми прямокутного трикутника. Обом катетам Гіпотенуза дуже сподобалася і вони попросили її залишитися назавжди у їхньому будинку. Ло вечорами ця дружна сім'я збирається за сімейним столом. Іноді Прямий Кут грає зі своїми дітлахами в хованки. Найчастіше шукати доводиться йому, а Гіпотенуза ховається так майстерно, що знайти її дуже важко. Якось під час гри Прямий Кут помітив цікаву властивість: якщо йому вдається знайти катети, то знайти Гіпотенузу не важко. Так Прямий Кут користується цією закономірністю, слід сказати, дуже успішно. На властивості цього прямокутного трикутника і заснована теорема Піфагора.
(З книги О. Окуньова «Дякую за урок, діти»).
Жартівливе формулювання теореми:
Якщо дано нам трикутник
І до того ж з прямим кутом,
То квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети в квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо –
І таким простим шляхом
До результату ми дійдемо.
Вивчаючи алгебру і початку аналізу та геометрію в 10 класі, я переконалася в тому, що крім розглянутого у 8 класі способу доказу теореми Піфагора існують інші способи доказу. Уявляю їх на ваш огляд.
2. ОСНОВНА ЧАСТИНА.
Теорема. У прямокутному трикутнику квадрат
гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
1 СПОСІБ.
Користуючись властивостями площ багатокутників, встановимо чудове співвідношення між гіпотенузою та катетами прямокутного трикутника.
Доведення.
а, вта гіпотенузою з(Рис.1, а).
Доведемо, що з²=а²+в².
Доведення.
Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною а + втак, як показано на рис. 1, б. Площа S цього квадрата дорівнює (а + в) ². З іншого боку, цей квадрат складається з чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких дорівнює ½ ав , і квадрата зі стороною с,тому S = 4 * ½ ав + с² = 2ав + с².
Таким чином,
(а + в)² = 2 ав + с²,
з²=а²+в².
Теорему доведено.
2 СПОСІБ.
Після вивчення теми «Подібні трикутники» я з'ясувала, що можна застосувати подібність трикутників до підтвердження теореми Піфагора. А саме, я скористалася твердженням про те, що катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне для гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, укладеного між катетом та висотою, проведеною з вершини прямого кута.
Розглянемо прямокутний трикутник із прямим кутом С, СD – висота (рис. 2). Доведемо, що АС² +СВ² = АВ²
.
Доведення.
На підставі твердження про кате прямокутного трикутника:
АС = СВ = .
Зведемо в квадрат і складемо отримані рівності:
АС² = АВ * АD, СВ ² = АВ * DВ;
АС² + СВ² = АВ * (AD + DВ), де АD + DB = AB, тоді
АС² + СВ² = АВ * АВ,
АС² + СВ² = АВ².
Доказ закінчено.
3 СПОСІБ.
На підтвердження теореми Піфагора можна застосувати визначення косинуса гострого кута прямокутного трикутника. Розглянемо рис. 3.
Доведення:
Нехай АВС – даний прямокутний трикутник із прямим кутом З. Проведемо висоту СD з вершини прямого кута З.
За визначенням косинуса кута:
cos А = АD/АС = АС/АВ. Звідси АВ * АD = АС²
Аналогічно,
cos = ВD/ВС = ВС/АВ.
Звідси АВ * ВD = ВС².
Складаючи отримані рівності почленно і зауважуючи, що АD + DВ = АВ, отримаємо:
АС² + НД² = АВ (АD + DВ) = АВ²
Доказ закінчено.
4 СПОСІБ.
Вивчивши тему "Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника", я думаю, що теорему Піфагора можна довести ще одним способом.
Розглянемо прямокутний трикутник із катетами а, вта гіпотенузою з. (Рис. 4).
Доведемо, що с²=а²+в².
Доведення.
sin В=в/с ; cos В= a/с , то, звівши в квадрат отримані рівності, отримаємо:
sin² В=в²/с²; cos² У= а?/с?.
Склавши їх, отримаємо:
sin² У+ cos² В=в²/с²+ а²/с², де sin² У+ cos² В=1,
1= (в²+ а²) / с², отже,
с²= а² + в².
Доказ закінчено.
5 СПОСІБ.
Цей доказ ґрунтується на розрізанні квадратів, побудованих на катетах (рис. 5), та укладанні отриманих частин на квадраті, побудованому на гіпотенузі.
6 СПОСІБ.
Для доказу на катете НДбудуємо BCD ABC(Рис.6). Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати їх подібних лінійних розмірів:
Віднімаючи з першої рівності другу, отримаємо
с2 = а2 + b2.
Доказ закінчено.
7 СПОСІБ.
Дано(Мал. 7):
ABС,= 90 ° , НД= а, АС=b, АВ = с.
Довести:с2 = а2 +b2.
Доведення.
Нехай катет b а.Продовжимо відрізок СВза крапку Уі побудуємо трикутник BMDтак, щоб точки Мі Алежали по одну сторону від прямої CDі крім того, BD =b, BDM= 90 °, DM= a, тоді BMD= ABCз обох боків і кутку між ними. Крапки А та Мз'єднаємо відрізками AM.Маємо MD CDі AC CD,значить, пряма АСпаралельна прямий MD.Так як MD< АС, то прямі CDі AMне паралельні. Отже, AMDC -прямокутна трапеція.
У прямокутних трикутниках ABC та BMD 1 + 2 = 90 ° і 3 + 4 = 90 °, але так як = =, то 3 + 2 = 90 °; тоді АВМ= 180 ° - 90 ° = 90 °. Виявилося, що трапеція AMDCрозбита на три прямокутні трикутники, що не перекриваються, тоді по аксіомах площ
(a+b)(a+b)
Розділивши всі члени нерівності на , отримаємо
аb + с2 + аb = (а +b) , 2 ab+ с2 = а2+ 2аb+ b2,
с2 = а2 + b2.
Доказ закінчено.
8 СПОСІБ.
Даний спосіб ґрунтується на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника ABC.Він будує відповідні квадрати і доводить, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах (рис. 8).
Доведення.
1) DBC= FBA= 90 °;
DBC + ABC= FBA + ABC,значить, FBC = DBA.
Таким чином, FBC=ABD(Двома сторонами і кутом між ними).
2) 
,
де AL DE, тому що BD - загальна основа, DL -загальна висота.
3) 
, так як FB-снування, АВ- загальна висота.
4) 
5) Аналогічно можна довести, що 
6) Складаючи почленно, отримуємо:
, ВС2
= АВ2 + АС2
.
Доказ закінчено.
9 СПОСІБ.
Доведення.
1) Нехай ABDE- квадрат (рис. 9), сторона якого дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника ABC (АВ= с, НД = а, АС =b).
2) Нехай DK BCі DK = НД,так як 1 + 2 = 90 ° (як гострі кути прямокутного трикутника), 3 + 2 = 90 ° (як кут квадрата), АВ= BD(Буки квадрата).
Значить, ABC= BDK(з гіпотенузи та гострого кута).
3) Нехай EL DK, AM EL.Можна легко довести, що ABC = BDK = DEL = ЕАМ (з катетами аі b).Тоді КС= СМ= ML= LK= а -b.
4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a - b),з2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Доказ закінчено.
10 СПОСІБ.
Доказ може бути проведений на фігурі, жартома званої «Піфагорові штани» (рис. 10). Ідея його полягає у перетворенні квадратів, побудованих на катетах, у рівновеликі трикутники, що становлять разом квадрат гіпотенузи.
ABCзрушуємо, як показано стрілкою, і він займає положення KDN.Частина фігури, що залишилася AKDCBрівновелика площі квадрата AKDC –це паралелограм AKNB.
Зроблено модель паралелограма AKNB. Паралелограм перекладаємо так, як замальовано у змісті роботи. Щоб показати перетворення паралелограма на рівновеликий трикутник, на очах учнів відрізаємо на моделі трикутник і перекладаємо його вниз. Таким чином, площа квадрата AKDCвийшла дорівнює площі прямокутника. Аналогічно перетворимо площу квадрата на площу прямокутника.
Зробимо перетворення для квадрата, побудованого на катете а(Рис. 11,а):
а) квадрат перетворюється на рівновеликий паралелограм (рис. 11,6):
б) паралелограм повертається на чверть обороту (рис. 12):
в) паралелограм перетворюється на рівновеликий прямокутник (рис. 13): 11 СПОСІБ.
Доведення:
PCL –пряма (Рис. 14);
KLOA= ACPF= ACED= а2;
LGBO= СВМР =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= с2;
с2 = а2 + b2.
Доказ закінчено .
12 СПОСІБ.
Мал. 15 ілюструє ще один оригінальний доказ теореми Піфагора.
Тут: трикутник ABC з прямим кутом; відрізок BFперпендикулярний СВі дорівнює йому, відрізок BEперпендикулярний АВі дорівнює йому, відрізок ADперпендикулярний АСі дорівнює йому; крапки F, С,Dналежать до однієї прямої; чотирикутники ADFBі АСВЕрівновеликі, тому що ABF = ЄСВ;трикутники ADFі АСЕрівновеликі; віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників загальний для них трикутник ABC,отримаємо
, с2 = а2 +
b2.
Доказ закінчено.
13 СПОСІБ.
Площа даного прямокутного трикутника, з одного боку, дорівнює ,
з іншого, ,
3. ВИСНОВОК.
В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, яка полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способи її доказу та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.
Зібраний мною матеріал ще більше переконує у тому, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне та практичне значення. На завершення хотілося б сказати: причина популярності теореми Піфагора триєдіна – це краса, простота та значущість!
4. ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА.
1. Цікава алгебра. . Москва "Наука", 1978.
2. Щотижневий навчально-методичний додаток до газети «Перше вересня», 24/2001.
3. Геометрія 7-9. та ін.
4. Геометрія 7-9. та ін.
(згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора, гарпедонапти, або натягувачі мотузок, будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.
Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3 м від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їхній спосіб побудови стає зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад, малюнки, що зображують столярну майстерню.
Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, що відноситься до часу Хаммурапі, тобто до 2000 до н. е. наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли проводити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив висновок про велику ймовірність того, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько XVIII століття до зв. е.
Приблизно 400 р. до зв. е., згідно з Проклом, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру та геометрію. Приблизно 300 р. до зв. е. у «Початках» Евкліда з'явився найстаріший аксіоматичний доказ теореми Піфагора.
Формулювання
Геометричне формулювання:
Спочатку теорема була сформульована наступним чином:
Алгебраїчне формулювання:
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через , а довжини катетів через і :
Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, вона вимагає поняття площі . Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та вимірявши лише довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотня теорема Піфагора:
Докази
на Наразіу науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні та екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).
Через подібні трикутники
Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найпростіший з доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, воно не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо її основу через H. Трикутник ACHподібний до трикутника ABCпо двох кутах. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC. Ввівши позначення
отримуємо
Що еквівалентно
Склавши, отримуємо
, що й потрібно було довестиДокази методом площ
Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.
Доказ через рівнодоповнюваність
- Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку 1.
- Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, оскільки сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
- Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a+b), з другого боку, сумі площ чотирьох трикутників і площі внутрішнього квадрата.
Що й потрібно було довести.
Доказ Евкліда
Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні.
Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.
Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.
Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність ця очевидна: трикутники рівні з обох боків і розі між ними. Саме - AB=AK, AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °).
Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне.
Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея цього доказу додатково проілюстрована за допомогою анімації, яка розташована вище.
Доказ Леонардо да Вінчі
Головні елементи доказу – симетрія та рух.
Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок розсікає квадрат на дві однакові частини (оскільки трикутники і рівні по побудові).
Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо крапки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур і.
Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.
Доказ методом нескінченно малих
Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX ст.
Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і спостерігаючи зміну сторони a, ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих прирощень сторін зі a(використовуючи подобу трикутників):
Користуючись методом поділу змінних, знаходимо
Більше загальний вираздля зміни гіпотенузи у разі збільшення обох катетів
Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо
Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді
Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.
Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (у даному випадкукатет). Тоді для константи інтегрування отримаємо
Варіації та узагальнення
Подібні геометричні фігури на трьох сторонах
Узагальнення для подібних трикутників, площа зелених фігур A + B = площі синій C
Теорема Піфагора з використанням подібних прямокутних трикутників
Узагальнення теореми Піфагора зробив Евклід у своїй роботі Початки, розширивши площі квадратів на сторонах до площ подібних геометричних фігур :
Якщо побудувати подібні геометричні фігури(Див. Евклідова геометрія) на сторонах прямокутного трикутника, тоді сума двох менших фігур дорівнюватиме площі більшої фігури.
Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури є пропорційною квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур із майданами A, Bі Cпобудованих на сторонах із довжиною a, bі c, маємо:
Але, за теоремою Піфагора, a 2 + b 2 = c 2 , тоді A + B = C.
І навпаки, якщо ми зможемо довести, що A + B = Cдля трьох подібних геометричних фігур без використання теореми Піфагора тоді ми зможемо довести саму теорему, рухаючись у зворотному напрямку. Наприклад, стартовий центральний трикутник може бути повторно використаний як трикутник Cна гіпотенузі, і два подібні прямокутні трикутники ( Aі B), побудовані на двох інших сторонах, які утворюються в результаті розподілу центрального трикутника його заввишки. Сума двох менших площ трикутників тоді, очевидно, дорівнює площі третього, таким чином A + B = Cі, виконуючи попереднє доказування в зворотному порядку, Отримаємо теорему Піфагора a 2 + b 2 = c 2 .
Теорема косінусів
Теорема Піфагора – це окремий випадокбільш загальної теореми косінусів, яка пов'язує довжини сторін у довільному трикутнику:
де θ - кут між сторонами aі b.
Якщо θ дорівнює 90 градусів, тоді cos θ = 0 і формула полегшується до звичайної теореми Піфагора.
Довільний трикутник
У будь-який вибраний кут довільного трикутника зі сторонами a, b, cвпишемо рівнобедрений трикутник таким чином, щоб рівні кути при його основі θ дорівнювали обраному куту. Припустимо, що вибраний кут θ розташований навпроти сторони, позначеної c. В результаті ми отримали трикутник ABD з кутом θ, що розташований навпроти сторони aі сторони r. Другий трикутник утворюється кутом θ, що розташований навпроти сторони bі сторони здовжиною s, як показано на малюнку. Сабіт Ібн Курра стверджував, що сторони у цих трьох трикутниках пов'язані таким чином:
Коли кут θ наближається до π/2, основа рівнобедреного трикутника зменшується і дві сторони r і s перекривають один одного все менше і менше. Коли θ = π/2, ADB перетворюється на прямокутний трикутник, r + s = cі одержуємо початкову теорему Піфагора.
Розглянемо один із аргументів. Трикутник ABC має такі ж кути, як і трикутник ABD, але у зворотному порядку. (Два трикутники мають загальний кутпри вершині B, обидва мають кут θ і мають однаковий третій кут, за сумою кутів трикутника) Відповідно, ABC - подібний до відображення ABD трикутника DBA, як показано на нижньому малюнку. Запишемо співвідношення між протилежними сторонами та прилеглими до кута θ,
Так само відображення іншого трикутника,
Перемножимо дроби і додамо ці два співвідношення:
що й потрібно було довести.
Узагальнення для довільних трикутників через паралелограми
Узагальнення для довільних трикутників,
площа зеленого ділянки = площісинього
Доказ тези, що на малюнку вище
Зробимо подальше узагальнення для непрямокутних трикутників, використовуючи паралелограми на трьох сторонах замість квадратів. (квадрати - окремий випадок.) Верхній малюнок демонструє, що для гострокутного трикутника площа паралелограма на довгій стороні дорівнює сумі паралелограмів на двох інших сторонах, за умови що паралелограм на довгій стороні побудований, як зображено на малюнку (розміри, зазначені стрілками, однакові боку нижнього паралелограма). Ця заміна квадратів паралелограмами має чітку схожість із початковою теоремою Піфагора, вважається, що її сформулював Папп Олександрійський у 4 р. н. е.
Нижній малюнок показує перебіг доказу. Подивимося на ліву сторону трикутника. Лівий зелений паралелограм має таку саму площу, як ліва частинасинього паралелограма, тому що вони мають таку ж основу bта висоту h. Крім того, лівий зелений паралелограм має таку ж площу, як лівий зелений паралелограм на верхньому малюнку, тому що вони мають загальну основу (верхня ліва сторонатрикутника) та загальну висоту, перпендикулярну до цієї сторони трикутника. Аналогічно міркуючи праворуч трикутника доведемо, що нижній паралелограм має таку ж площу, як у двох зелених паралелограмів.
Комплексні числа
Теорему Піфагора використовують, щоб знайти відстань між двома точками в декартовій координатній системі і ця теорема справедлива для всіх істинних координат: відстань sміж двома точками ( a, b) та ( c, d) одно
Не виникає проблем із формулою, якщо до комплексних чисел ставитися як до векторів із дійсними компонентами x + i y = (x, y). . Наприклад, відстань sміж 0 + 1 iта 1 + 0 iрозраховуємо як модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), або
Проте, для операцій із векторами з комплексними координатами необхідно провести певне вдосконалення формули Піфагора. Відстань між точками з комплексними числами (a, b) та ( c, d); a, b, c, і dвсі комплексні, сформулюємо використовуючи абсолютні величини. Відстань sзаснований на векторній різниці (a − c, b − d) у наступному вигляді: нехай різниця a − c = p+ i q, де p- дійсна частина різниці, q- уявна частина, і i = √(−1). Аналогічно, хай b − d = r+ i s. Тоді:
де - це комплексне сполучене число для . Наприклад, відстань між точками (a, b) = (0, 1) і (c, d) = (i, 0) , розрахуємо різницею (a − c, b − d) = (−i, 1) і в результаті ми отримали б 0, якби не були використані комплексні пов'язані. Отже, використовуючи вдосконалену формулу, отримаємо
Модуль визначено так:
Стереометрія
Значним узагальненням теореми Піфагора для тривимірного простору є теорема де Гуа, названа на честь Ж.-П. де Гуа: якщо тетраедр має прямий кут (як у кубі), тоді квадрат площі грані, що лежить навпроти прямого кута, дорівнює сумі квадратів площ інших трьох граней. Цей висновок може бути узагальнено як « n-мірна теорема Піфагора»:
Теорема Піфагора в тривимірному просторізв'язує діагональ AD із трьома сторонами.
Інше узагальнення: Теорема Піфагора може бути використана для стереометрії в наступному вигляді. Розглянемо прямокутний паралелепіпед, як показано на малюнку. Знайдемо довжину діагоналі BD за теоремою Піфагора:
де три сторони утворюють прямокутний трикутник. Використовуємо горизонтальну діагональ BD та вертикальне ребро AB, щоб знайти довжину діагоналі AD, для цього знову використовуємо теорему Піфагора:
або, якщо все записати одним рівнянням:
Цей результат - це тривимірне вираз визначення величини вектора v(Діагональ AD), вираженого через його перпендикулярні складові ( v k) (три взаємно перпендикулярні сторони):
Це рівняння можна як узагальнення теореми Піфагора для багатовимірного простору. Проте, результат насправді не що інше, як неодноразове застосування теореми Піфагора до послідовності прямокутних трикутників в послідовно перпендикулярних площинах.
Векторний простір
У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку теж називають теоремою Піфагора:
Якщо - це проекції вектора на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда - і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратної суми квадратів його компонентів.
Аналог цієї рівності у разі нескінченної системи векторів має назву рівності Парсеваля.
Неєвклідова геометрія
Теорема Піфагора виводиться з аксіом геометрії евклідової і, фактично, не дійсна для неевклідової геометрії, в тому вигляді, в якому записана вище. (Тобто теорема Піфагора виявляється своєрідним еквівалентом постулату Евкліда про паралельність) Іншими словами, у неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами трикутника обов'язково буде у формі, відмінної від теореми Піфагора. Наприклад, у сферичній геометрії всі три сторони прямокутного трикутника (скажімо a, bі c), які обмежують собою октант (восьму частину) одиничної сфери, мають довжину π/2, що суперечить теоремі Піфагора, тому що a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Розглянемо тут два випадки неевклідової геометрії – сферична та гіперболічна геометрія; в обох випадках, як і для евклідового простору для прямокутних трикутників, результат, який замінює теорему Піфагора, випливає з теореми косінусів.
Однак, теорема Піфагора залишається справедливою для гіперболічної та еліптичної геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника має дорівнювати третьому, скажімо A+B = C. Тоді співвідношення між сторонами виглядає так: сума площ кіл з діаметрами aі bдорівнює площі кола з діаметром c.
Сферична геометрія
Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R(наприклад, якщо кут γ у трикутнику прямий) зі сторонами a, b, cспіввідношення між сторонами матиме такий вигляд:
Ця рівність може бути виведена як особливий випадоксферичної теореми косінусів, яке справедливе для всіх сферичних трикутників:
де cosh – це гіперболічний косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косінусів, яка справедлива для всіх трикутників:
де γ - це кут, вершина якого протилежна стороні c.
де g ijназивається метричним тензором. Він може бути функцією позиції. Такі криволінійні простори включають Ріманову геометрію як загальний приклад. Це формулювання також підходить для Евклідова простору при застосуванні криволінійних координат. Наприклад, для полярних координат:
Векторний витвір
Теорема Піфагора пов'язує два вирази величини векторного твору. Один із підходів до визначення векторного твору вимагає, щоб він задовольняв рівняння:
у цій формулі використовується скалярний твір. Права сторонарівняння називається детермінант Грама для aі bщо дорівнює площі паралелограма, утвореного цими двома векторами. Виходячи з цієї вимоги, а також вимоги про перпендикулярність векторного твору до його складових aі bслід, що, крім тривіальних випадків з 0- і 1-мерного простору, векторне твір визначено лише у трьох і семи вимірах. Використовуємо визначення кута в n-мірному просторі:
ця властивість векторного твору дає його величину в такому вигляді:
Через фундаментальне тригонометричне тотожність Піфагора отримуємо іншу форму запису його величини:
Альтернативний підхід до визначення векторного твору використовує вираз його величини. Тоді, розмірковуючи у зворотному порядку, отримуємо зв'язок із скалярним твором:
Див. також
Примітки
- History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian математики
- ( , С. 351) С. 351
- ( , Vol I, p. 144)
- Обговорення історичних фактівнаведено в ( , С. 351) С. 351
- Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "Дисcovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Second Series(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
- Льюїс Керрол, "Історія з вузликами", М., Світ, 1985, с. 7
- Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics . - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Pythagorean Proposition Elisha Scott Loomis
- Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «У правій-залицяючій ланцюжку фігури на стороні підтримують праву янгу є еквівалентною для подібних і подібних позначених зображень на сторінках, розташованих в правій янглі.»
- Lawrence S. Leff cited work. - Barron"s Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) був фізичним життям в Baghdad, який простіше на Euclid's Elements and other mathematic
- Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thabit ibn Qurra» з Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35-37. DOI: 10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work. – P. 62. – ISBN 0821844032
- Для details of such a construction, viz George Jennings Figure 1.32: Generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures . - 3rd. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norm for an arbitrary n-tuple ... / / An introduction to analysis. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry curves and surfaces with Mathematica . - 3rd. – CRC Press, 2006. – P. 194. – ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matrix analysis. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking cited work. – 2005. – P. 4. – ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. - 2nd. – 2003. – P. 2147. – ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Коли ви тільки починали вивчати квадратне коріння та способи вирішення ірраціональних рівнянь (рівностей, що містять невідому під знаком кореня), ви, ймовірно, отримали перше уявлення про їхнє практичне використання. Вміння отримувати квадратний коріньз чисел також необхідно вирішення завдань застосування теореми Піфагора. Ця теорема пов'язує довжини сторін будь-якого прямокутного трикутника.
Нехай довжини катетів прямокутного трикутника (тих двох сторін, які сходяться під прямим кутом) будуть позначені літерами і , а довжина гіпотенузи (найдовшої сторони трикутника, розташованої навпроти прямого кута) буде позначена літерою . Тоді відповідні довжини пов'язані наступним співвідношенням:
Дане рівняння дозволяє знайти довжину сторони прямокутного трикутника у тому випадку, коли відома довжина двох інших сторін. Крім того, воно дозволяє визначити, чи трикутник, що розглядається, прямокутним, за умови, що довжини всіх трьох сторін заздалегідь відомі.
Розв'язання задач з використанням теореми Піфагора
Для закріплення матеріалу вирішимо такі завдання застосування теореми Піфагора.
Отже, дано:
- Довжина одного з катетів дорівнює 48, гіпотенузи - 80.
- Довжина катета дорівнює 84, гіпотенузи - 91.
Приступимо до вирішення:
a) Підстановка даних у наведене вище рівняння дає такі результати:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 або b = -64
Оскільки довжина сторони трикутника не може бути виражена негативним числом, другий варіант автоматично відкидається.
Відповідь до першого малюнку: b = 64.
b) Довжина катета другого трикутника знаходиться тим самим способом:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 або b = -35
Як і попередньому випадку, негативне рішення відкидається.
Відповідь до другого малюнку: b = 35
Нам дано:
- Довжини менших сторін трикутника дорівнюють 45 і 55 відповідно, більшій – 75.
- Довжини менших сторін трикутника дорівнюють 28 і 45 відповідно, більшій – 53.
Вирішуємо завдання:
a) Необхідно перевірити, чи дорівнює сума квадратів довжин менших сторін даного трикутника квадрату довжини більшої:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Отже, перший трикутник не прямокутний.
b) Виконується та сама операція:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Отже, другий трикутник прямокутний.
Спочатку знайдемо довжину найбільшого відрізка, утвореного точками з координатами (-2, -3) та (5, -2). Для цього використовуємо відому формулудля знаходження відстані між точками у прямокутній системі координат:
Аналогічно знаходимо довжину відрізка, укладеного між точками з координатами (-2, -3) та (2, 1):
Нарешті, визначаємо довжину відрізка між точками з координатами (2, 1) та (5, -2):
Оскільки має місце рівність:
то відповідний трикутник прямокутний.
Таким чином, можна сформулювати відповідь до завдання: оскільки сума квадратів сторін із найменшою довжиною дорівнює квадрату сторони з найбільшою довжиною, точки є вершинами прямокутного трикутника.
Основа (розташована строго горизонтально), косяк (розташований строго вертикально) і трос (протягнутий по діагоналі) формують прямокутний трикутник, відповідно, для знаходження довжини троса може використовуватися теорема Піфагора:
Таким чином, довжина троса складатиме приблизно 3,6 метра.
Дано: відстань від точки R до точки P (катет трикутника) дорівнює 24, від точки R до точки Q (гіпотенуза) – 26.
Отже, допомагаємо Віте вирішити завдання. Оскільки сторони трикутника, зображеного на малюнку, імовірно утворюють прямокутний трикутник, для знаходження довжини третьої сторони можна використовувати теорему Піфагора:
Отже, ширина ставка становить 10 метрів.
Сергій Валерійович
теорема Піфагора- Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення
між сторонами прямокутного трикутника.
Вважається, що доведено грецьким математиком Піфагором, на честь якого названо.
Геометричне формулювання теореми Піфагора.
Спочатку теорема була сформульована наступним чином:
У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,
побудованих на катетах.
Алгебраїчне формулювання теореми Піфагора.
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через aі b:
Обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друге формулювання більш елементарне, воно не
потребує поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу та
вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотний теорема Піфагора.
Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то
трикутник прямокутний.
Або, іншими словами:
Для будь-якої трійки позитивних чисел a, bі c, такий, що
існує прямокутний трикутник із катетами aі bта гіпотенузою c.
Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.
Теорема Піфагора для рівнобічного трикутника.
Докази теореми Піфагора.
На даний момент у науковій літературі зафіксовано 367 доказів цієї теореми. Ймовірно, теорема
Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття
можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально їх можна розбити на малу кількість класів. Найвідоміші з них:
докази методом площ, аксіоматичніі екзотичні докази(наприклад,
за допомогою диференціальних рівнянь).
1. Доказ теореми Піфагора через трикутники.
Наступний доказ алгебраїчного формулювання - найпростіший з доказів, що будуються
безпосередньо з аксіом. Зокрема воно не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABCє прямокутний трикутник із прямим кутом C. Проведемо висоту з Cі позначимо
її заснування через H.
Трикутник ACHподібний до трикутника ABЗ двома кутами. Аналогічно трикутник CBHподібний ABC.
Ввівши позначення:
отримуємо:
,
що відповідає -
Склавши a 2 та b 2, отримуємо:
або , що потрібно було довести.
2. Підтвердження теореми Піфагора шляхом площ.
Нижче наведені докази, незважаючи на їхню простоту, зовсім не такі прості. Всі вони
використовують властивості площі, докази яких складніші за доказ самої теореми Піфагора.
- Доказ через рівнодоповнюваність.
Розташуємо чотири рівні прямокутні
трикутника так, як показано на малюнку
праворуч.
Чотирикутник зі сторонами c- Квадратом,
оскільки сума двох гострих кутів 90°, а
розгорнутий кут - 180 °.
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,
площі квадрата зі стороною ( a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і
Що й потрібно було довести.
3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.
Розглядаючи креслення, показане на малюнку, і
спостерігаючи зміну сторониa, ми можемо
записати наступне співвідношення для нескінченно
малих прирощень сторінзі a(використовуючи подобу
трикутників):
Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:
Більш загальний вираз зміни гіпотенузи у разі прирощень обох катетів:
Інтегруючи дане рівняння та використовуючи початкові умови, отримуємо:
Таким чином, ми приходимо до бажаної відповіді:
Як неважко бачити, квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній
пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними
вкладами від збільшення різних катетів.
Простіший доказ можна отримати, якщо вважати, що один із катетів не відчуває збільшення
(в даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:
теорема Піфагора
Аналогічно, трикутник CBH подібний до ABC. Ввівши позначення 
1. Розташуємо чотири рівні прямокутні трикутники так, як показано на малюнку. 
Ідея доказу Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута С промінь перпендикулярно до гіпотенузи AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутники - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників точно рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією самою висотою та основою, що й даний прямокутник дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини добутку основи висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (не зображеного на малюнку), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (оскільки площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивістю). Рівність це очевидно, трикутники рівні з обох боків та кутку між ними. Саме - AB=AK,AD=AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох трикутників, що розглядаються, збігатимуться (через кут при вершині квадрата - 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічне. Тим самим було доведено, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. 
Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (оскільки трикутники ABC і JHI рівні по побудові). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI та GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, та площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.
