Кути сторони є продовженням сторін іншого. Вертикальні та суміжні кути

Урок 8. Вертикальні кути. Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовженням сторін іншого. ТЕОРЕМА. Вертикальні кути рівні. Доказ: = = 180 Аналогічно = = = 3 2 = 4 Розв'язання задач: 64, 66 Домашнє завдання: п. 11, 66, 67

Математичний диктант. 1 варіант. 1. Закінчіть пропозицію: «Якщо кути 1 і 2 – суміжні, то їх сума…» 2. Гострим, тупим чи прямим буде кут, суміжний із кутом 30 градусів? 3. Сума двох кутів 180 градусів. Чи обов'язково ці кути суміжні? 4. Прямі АМ та РЄ перетинаються в точці О, яка лежить між ними. Чи вийшли при цьому вертикальні кути? Якщо так, то назвіть їх. 5. Чому дорівнює кут, якщо вертикальний із ним кут дорівнює 34 градуси? 6. Один із чотирьох кутів, що виходять при перетині двох прямих, дорівнює 140 градусів. Чому рівні інші кути? 7. У двох кутів – загальна вершина, перший кут 40 градусів, другий – 140 градусів. Чи вертикальні ці кути? 2 варіант. 1. Закінчіть пропозицію: «Два кута називаються суміжними, якщо одна сторона – загальна, а інша…» 2. Гострим, тупим чи прямим буде кут, суміжний із кутом 130 градусів? 3. Сума двох кутів із загальною стороною 180 градусів. Чи обов'язково ці кути суміжні? 4. Учень побудував 2 вертикальні кути. Скільки пар прямих вийшло? 5. У двох кутів – загальна вершина, кожен із цих кутів дорівнює 60 градусів. Чи обов'язково ці кути вертикальні? 6. Один із чотирьох кутів, що виходять при перетині двох прямих, дорівнює 80 градусів. Чому рівні інші кути? 7. Чому дорівнює кут, якщо вертикальний із ним кут дорівнює 120 градусів?

Відповіді. 1. Рівна 180 градусів. 2. Тупий кут 3. Ні. градусів

Геометрія – це дуже багатогранна наука. Вона розвиває логіку, уяву та інтелект. Звичайно, через свою складність і величезної кількостітеорем та аксіом, вона не завжди подобається школярам. Крім цього, є необхідність постійно доводити свої висновки, використовуючи загальноприйняті стандарти та правила.

Суміжні та вертикальні кути – це невід'ємна складова геометрії. Напевно, багато школярів просто люблять їх з тієї причини, що їхні властивості зрозумілі і прості в доказі.

Освіта кутів

Будь-який кут утворюється шляхом перетину двох прямих або проведення двох променів з однієї точки. Вони можуть називатися або однією літерою, або трьома, які послідовно позначають точки побудови кута.

Кути вимірюються в градусах і можуть (залежно від їхнього значення) по-різному називатися. Так, існує прямий кут, гострий, тупий та розгорнутий. Кожній назві відповідає певний градусний захід або його проміжок.

Гострим називається кут, міра якого не перевищує 90 градусів.

Тупим є кут, що перевищує 90 градусів.

Кут називається прямим у тому випадку, коли його градусний захід дорівнює 90.

У тому випадку, коли він утворений однією суцільною прямою, і його градусний захід дорівнює 180, його називають розгорнутим.

Кути, що мають спільну сторону, друга сторона яких продовжує одне одного, називаються суміжними. Вони можуть бути як гострими, і тупими. Перетин лінією утворює суміжні кути. Властивості їх такі:

1. Сума таких кутів дорівнюватиме 180 градусів (існує теорема, що доводить це). Тому можна легко обчислити один із них, якщо відомий інший.
2. З першого пункту випливає, що суміжні кути не можуть бути утворені двома тупими або двома гострими кутами.

Завдяки цим властивостям можна завжди обчислити градусну міру кута, маючи значення іншого кута або, принаймні, відношення між ними.

Вертикальні кути

Кути, сторони яких є продовженням один одного, називають вертикальними. Як така пара можуть виступати будь-які їх різновиди. Вертикальні кути завжди рівні між собою.

Вони утворюються при перетині прямих. Разом з ними завжди є і суміжні кути. Кут може бути одночасно суміжним для одного та вертикальним для іншого.

При перетині довільною лінією також розглядають кілька видів кутів. Така лінія називається січною, вона і утворює відповідні, односторонні і навхрест кути, що лежать. Вони рівні між собою. Їх можна розглядати у світлі властивостей, які мають вертикальні та суміжні кути.

Таким чином, тема кутів є досить простою і зрозумілою. Усі їхні властивості легко запам'ятати та довести. Розв'язання задач не є складним доти, доки кутам відповідає числове значення. Вже далі, коли почнеться вивчення sin і cos, доведеться запам'ятовувати безліч складних формул, їх висновків та наслідків. А до того часу можна легко насолоджуватися легкими завданнями, в яких потрібно знайти суміжні кути.

РОЗДІЛ I.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ.

§11. СМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ.

1. Суміжні кути.

Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (чорт. 72): / А ВС та / СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші АВ і ВD становлять пряму лінію.

Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.

Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.
Наприклад, / АDF та / FDВ - кути суміжні (чорт. 73).

Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (чорт. 74).

Суміжні кути в сумі складають розгорнутий кут, тому з умма двох суміжних кутів дорівнює 2d.

Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.

Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.

Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 3/5 d, то другий кут дорівнюватиме:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Вертикальні кути.

Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На кресленні 75 кути EOF і АОС-вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін другого кута.

Нехай / 1 = 7 / 8 d(чорт. 76). Сумежний із ним / 2 дорівнюватиме 2 d- 7 / 8 d, Т. е. 1 1 / 8 d.

Так само можна обчислити, чому рівні / 3 та / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(чорт. 77).

Ми бачимо, що / 1 = / 3 та / 2 = / 4.

Можна вирішити ще кілька таких самих завдань, і щоразу виходитиме той самий результат: вертикальні кути рівні між собою.

Проте, щоб переконатися, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові прикладиОскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути і помилковими.

Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом міркування, шляхом підтвердження.

Доказ можна провести в такий спосіб (чорт. 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(бо і ліва частинацієї рівності дорівнює 2 d, і права його частина теж дорівнює 2 d).

У цю рівність входить той самий кут з.

Якщо від рівних величин віднімемо порівну, те й залишиться порівну. В результаті вийде: / a = / b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.

При розгляді питання про вертикальні кути ми спочатку пояснили, які кути називаються вертикальними, тобто дали визначеннявертикальних кутів.

Потім ми висловили судження (ствердження) про рівність вертикальних кутів і в справедливості судження переконалися шляхом доказу. Такі судження, справедливість яких треба доводити, називаються теоремами. Таким чином, у даному параграфі ми дали визначення вертикальних кутів, а також висловили та довели теорему про їхню властивість.

Надалі щодо геометрії нам завжди доведеться зустрічатися з визначеннями і доказами теорем.

3. Сума кутів, що мають загальну вершину.

На кресленні 79 / 1, / 2, / 3 та / 4 розташовані по одну сторону прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

На кресленні 80 / 1, / 2, / 3, / 4 та / 5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Вправи.

1. Один із суміжних кутів дорівнює 0,72 d.Обчислити кут, складений бісектрисами цих суміжних кутів.

2. Довести, що бісектриси двох суміжних кутів утворюють прямий кут.

3. Довести, що якщо два кути рівні, то рівні та їх суміжні кути.

4. Скільки пар суміжних кутів на кресленні 81?

5. Чи може пара суміжних кутів складатися із двох гострих кутів? із двох тупих кутів? з прямого та тупого кута? з прямого та гострого кута?

6. Якщо один із суміжних кутів прямий, то що можна сказати про величину суміжного з ним кута?

7. Якщо при перетині двох прямих ліній один кут прямий, то що можна сказати про величину решти трьох кутів?