Funksiyani x darajasida kengaytiring. Funksiyalarni quvvat qatorlariga kengaytirish

"f(x) funksiyasining Maklaurin qator kengayishini toping"- Oliy matematikadagi topshiriq aynan shunday eshitiladi, ba'zi talabalar buni qila oladilar, boshqalari esa misollarni bajara olmaydilar. Bir qator kuchlarni kengaytirishning bir necha yo'li mavjud; bu erda biz Maclaurin seriyasiga funktsiyalarni kengaytirish texnikasini beramiz. Ketma-ket funktsiyani ishlab chiqishda siz hosilalarni hisoblashda yaxshi bo'lishingiz kerak.

4.7-misol funksiyani x darajasida kengaytiring

Hisob-kitoblar: Funktsiyani kengaytirishni Maklaurin formulasi bo'yicha bajaramiz. Birinchidan, funksiyaning maxrajini qatorga kengaytiramiz

Nihoyat, kengaytmani numerator bilan ko'paytiring.
Birinchi a'zo funktsiyaning noldagi qiymati f (0) = 1/3.
Birinchi va yuqori darajali f (x) funksiyaning hosilalari va bu hosilalarning x=0 nuqtadagi qiymati topilsin.




Keyinchalik, hosilalarning qiymatini 0 ga o'zgartirish sxemasiga asoslanib, biz n-chi hosilaning formulasini yozamiz.

Demak, biz Maklaurin qatorida maxrajni kengayish shaklida ifodalaymiz

Biz numeratorga ko'paytiramiz va funktsiyaning kerakli kengayishini x darajasida ketma-ketlikda olamiz.

Ko'rib turganingizdek, bu erda murakkab narsa yo'q.
Barcha asosiy fikrlar lotinlarni hisoblash va yuqori tartibli lotin qiymatini nolga tezda umumlashtirish qobiliyatiga asoslanadi. Quyidagi misollar ketma-ket funktsiyani qanday tez tartibga solishni o'rganishga yordam beradi.

4.10-misol funksiyaning Maklaurin qator kengayishini toping

Hisob-kitoblar: Siz taxmin qilganingizdek, kosinusni hisoblagichga ketma-ket qo'yamiz. Buning uchun siz cheksiz kichik miqdorlar uchun formulalardan foydalanishingiz yoki hosilalar orqali kosinusning kengayishini olishingiz mumkin. Natijada, biz x ning darajalarida quyidagi qatorga kelamiz

Ko'rib turganingizdek, bizda minimal hisob-kitoblar va seriyani kengaytirishning ixcham ko'rinishi mavjud.

4.16-misol funksiyani x darajasida kengaytiring:
7/(12-x-x^2)
Hisob-kitoblar: Bunday misollarda kasrni oddiy kasrlar yig'indisi orqali kengaytirish kerak.
Buni qanday qilishni hozir ko'rsatmaymiz, lekin yordam bilan noaniq koeffitsientlar Keling, kasrlar yig'indisiga kelamiz.
Keyin maxrajlarni eksponensial shaklda yozamiz

Maklaurin formulasidan foydalangan holda shartlarni kengaytirish qoladi. "X" ning bir xil darajalaridagi atamalarni jamlab, biz ketma-ket funktsiyani kengaytirishning umumiy atamasi uchun formula tuzamiz.



Seriyaga o'tishning so'nggi qismini boshida amalga oshirish qiyin, chunki juftlashtirilgan va bog'lanmagan indekslar (darajalar) uchun formulalarni birlashtirish qiyin, ammo amaliyot bilan siz buni yaxshilaysiz.

4.18-misol funksiyaning Maklaurin qator kengayishini toping

Hisoblar: Keling, ushbu funktsiyaning hosilasini topamiz:

Keling, McLaren formulalaridan birini ishlatib, funktsiyani seriyaga kengaytiraylik:

Ikkalasi mutlaqo bir xil ekanligiga asoslanib, ketma-ket atamani atama bo'yicha jamlaymiz. Butun ketma-ketlik a'zolarini davr bo'yicha integrallashgandan so'ng, biz funktsiyani x darajali qatorga kengaytirishga erishamiz.

Kengaytirishning oxirgi ikki qatori o'rtasida o'tish bor, bu sizning boshida ko'p vaqtingizni oladi. Seriya formulasini umumlashtirish hamma uchun oson emas, shuning uchun chiroyli, ixcham formulani qo'lga kirita olmasligingizdan xavotirlanmang.

4.28-misol funksiyaning Maklaurin qator kengayishini toping:

Logarifmni quyidagicha yozamiz

Maklaurin formulasidan foydalanib, logarifm funksiyasini x ning darajalari qatorida kengaytiramiz

Yakuniy konvolyutsiya birinchi qarashda murakkab, ammo o'zgaruvchan belgilarda siz har doim shunga o'xshash narsani olasiz. Funksiyalarni ketma-ket rejalashtirish mavzusiga kirish darsi yakunlandi. Boshqa teng darajada qiziqarli parchalanish sxemalari quyidagi materiallarda batafsil ko'rib chiqiladi.

Agar f(x) funksiya a nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqda barcha tartibli hosilalarga ega bo'lsa, unga Teylor formulasini qo'llash mumkin:
,
Qayerda r n- qatorning qolgan qismi yoki qoldig'i deb ataladigan bo'lsak, uni Lagrange formulasi yordamida hisoblash mumkin:
, bu erda x soni x va a orasida.

f(x)=

nuqtada x 0 = Qator elementlari soni 3 4 5 6 7

Dekompozitsiyadan foydalaning elementar funktsiyalar e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

Agar biron bir qiymat uchun X r n→ 0 da n→∞, keyin chegarada Teylor formulasi bu qiymat uchun konvergent bo'ladi Teylor seriyasi:
,
Shunday qilib, f(x) funksiyani x nuqtada Teylor qatoriga kengaytirish mumkin, agar:
1) barcha buyurtmalarning hosilalariga ega;
2) tuzilgan qator shu nuqtada yaqinlashadi.

a = 0 bo'lganda, biz chaqirilgan qatorni olamiz Maklaurin yaqinida:
,
Maklaurin seriyasidagi eng oddiy (elementar) funktsiyalarni kengaytirish:
Eksponensial funksiyalar
, R=∞
Trigonometrik funktsiyalar
, R=∞
, R=∞
, (-p/2< x < π/2), R=π/2
actgx funksiyasi x ning darajalarida kengaymaydi, chunki ctg0=∞
Giperbolik funktsiyalar


Logarifmik funksiyalar
, -1
Binom qator
.

Misol № 1. Funktsiyani quvvat seriyasiga kengaytiring f(x)= 2x.
Yechim. Funktsiyaning qiymatlari va uning hosilalarini topamiz X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Olingan hosilalarning qiymatlarini Teylor seriyasi formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Bu qatorning yaqinlashish radiusi cheksizlikka teng, shuning uchun bu kengayish -∞ uchun amal qiladi.<x<+∞.

Misol № 2. Teylor qatorini kuchlarda yozing ( X+4) funktsiya uchun f(x)= e x.
Yechim. Funktsiyaning hosilalarini topish e x va ularning nuqtadagi qiymatlari X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Demak, funksiyaning talab qilinadigan Teylor qatori quyidagi shaklga ega:

Bu kengaytma -∞ uchun ham amal qiladi<x<+∞.

Misol № 3. Funktsiyani kengaytirish f(x)=ln x bir qator kuchlarda ( X- 1),
(ya'ni, nuqta yaqinidagi Teylor seriyasida X=1).
Yechim. Bu funksiyaning hosilalarini toping.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Ushbu qiymatlarni formulaga almashtirib, biz kerakli Teylor seriyasini olamiz:

D'Alembert testidan foydalanib, qatorlar ½x-1½ da yaqinlashishini tekshirishingiz mumkin.<1 . Действительно,

Agar ½ bo'lsa, qator yaqinlashadi X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Leybnits mezonining shartlarini qanoatlantiradigan muqobil qatorni olamiz. x=0 bo'lganda funktsiya aniqlanmaydi. Shunday qilib, Teylor qatorining yaqinlashish mintaqasi yarim ochiq intervaldir (0;2).

Misol № 4. Funktsiyani quvvat seriyasiga kengaytiring.
Yechim. Kengaytmada (1) x ni -x 2 bilan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:
, -∞

Misol № 5. Funktsiyani Maclaurin seriyasiga kengaytiring.
Yechim. Bizda ... bor
Formuladan (4) foydalanib, biz yozishimiz mumkin:

Formuladagi x o‘rniga –x ni qo‘ysak:

Bu yerdan topamiz: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Qavslarni ochib, ketma-ketlik shartlarini qayta tartibga solib, shunga o'xshash atamalarni keltirsak, biz olamiz
. Bu qator (-1;1) oraliqda yaqinlashadi, chunki u ikkita qatordan olinadi, ularning har biri shu intervalda yaqinlashadi.

Izoh .
Formulalar (1)-(5) ham tegishli funktsiyalarni Teylor qatoriga kengaytirish uchun ishlatilishi mumkin, ya'ni. musbat butun sonlarda funksiyalarni kengaytirish uchun ( Ha). Buning uchun (1)-(5) funksiyalardan birini olish uchun berilgan funktsiyada shunday bir xil o'zgartirishlarni bajarish kerak bo'ladi, buning o'rniga X xarajatlar k( Ha) m , bu yerda k doimiy son, m musbat butun son. Ko'pincha o'zgaruvchini o'zgartirish qulay t=Ha va natijaviy funksiyani Maklaurin qatoridagi t ga nisbatan kengaytiring.

Bu usul funktsiyaning darajali qatordagi kengayishining yagonaligi haqidagi teoremaga asoslanadi. Bu teoremaning mohiyati shundan iboratki, bir nuqtaga yaqin joyda, uning kengayishi qanday amalga oshirilgan bo'lishidan qat'i nazar, bir xil funktsiyaga yaqinlashadigan ikkita turli darajali qatorni olish mumkin emas.

Misol № 5a. Maklaurin qatoridagi funksiyani kengaytiring va yaqinlashish mintaqasini ko'rsating.
Yechim. Avval 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , ni topamiz.
boshlang'ich sinfga:

3/(1-3x) kasrni maxraji 3x bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi deb hisoblash mumkin, agar |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

konvergentsiya mintaqasi bilan |x|< 1/3.

Misol № 6. Funktsiyani x = 3 nuqtaga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiring.
Yechim. Bu muammoni, avvalgidek, Teylor seriyasining ta'rifi yordamida hal qilish mumkin, buning uchun biz funktsiyaning hosilalari va ularning qiymatlarini topishimiz kerak. X=3. Biroq, mavjud kengaytmadan foydalanish osonroq bo'ladi (5):
=
Olingan qator yoki -3 da yaqinlashadi

Misol № 7. Teylor qatorini ln(x+2) funksiyaning (x -1) darajalarida yozing.
Yechim.


Seriya , yoki -2 da yaqinlashadi< x < 5.

Misol № 8. f(x)=sin(px/4) funksiyani x =2 nuqtaga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiring.
Yechim. t=x-2 ni almashtiramiz:

Kengayish (3) dan foydalanib, biz x o'rniga p / 4 t ni almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qator berilgan funksiyaga -∞ da yaqinlashadi< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Shunday qilib,
, (-∞

Quvvat seriyalari yordamida taxminiy hisoblar

Kuchli seriyalar taxminan hisob-kitoblarda keng qo'llaniladi. Ularning yordami bilan siz ildizlarning qiymatlarini, trigonometrik funktsiyalarni, raqamlarning logarifmlarini va ma'lum bir aniqlik bilan aniq integrallarni hisoblashingiz mumkin. Seriyalar differentsial tenglamalarni integrallashda ham qo'llaniladi.
Bir darajali qatordagi funktsiyani kengaytirishni ko'rib chiqing:

Berilgan nuqtada funksiyaning taxminiy qiymatini hisoblash uchun X, ko'rsatilgan qatorning yaqinlashish mintaqasiga tegishli bo'lib, birinchilari uning kengayishida qoldiriladi. n a'zolar ( n– chekli son) va qolgan shartlar bekor qilinadi:

Olingan taxminiy qiymatning xatosini baholash uchun tashlab ketilgan qoldiqni taxmin qilish kerak rn (x) . Buning uchun quyidagi texnikalardan foydalaning:

• agar olingan qator o'zgaruvchan bo'lsa, unda quyidagi xususiyat ishlatiladi: Leybnits shartlarini qondiradigan o'zgaruvchan qator uchun mutlaq qiymatdagi qatorning qolgan qismi birinchi bekor qilingan haddan oshmaydi..
• agar berilgan qator doimiy ishorali bo'lsa, u holda tashlab ketilgan hadlardan tashkil topgan qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bilan taqqoslanadi.
• umumiy holatda, Teylor seriyasining qolgan qismini baholash uchun siz Lagrange formulasidan foydalanishingiz mumkin: a x ).

Misol № 1. ln(3) ni 0,01 ga qadar hisoblang.
Yechim. X=1/2 bo'lgan kengaytmadan foydalanamiz (oldingi mavzudagi 5-misolga qarang):

Keling, kengayishning dastlabki uchta hadidan keyin qolgan qismini tashlab yuborishimiz mumkinligini tekshirib ko'ramiz; buning uchun biz uni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisidan foydalanib baholaymiz:

Shunday qilib, biz bu qoldiqni tashlab, olishimiz mumkin

Misol № 2. 0,0001 aniqligigacha hisoblang.
Yechim. Keling, binom qatoridan foydalanamiz. 5 3 130 ga eng yaqin butun sonning kubi bo‘lgani uchun 130 raqamini 130 = 5 3 +5 ko‘rinishida ko‘rsatish maqsadga muvofiqdir.



chunki Leybnits mezoniga javob beradigan o'zgaruvchan qatorning to'rtinchi hadi talab qilinadigan aniqlikdan kamroq:
, shuning uchun uni va undan keyingi shartlarni bekor qilish mumkin.
Ko'pgina amaliy jihatdan zarur bo'lgan aniq yoki noto'g'ri integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblab bo'lmaydi, chunki uni qo'llash ko'pincha elementar funktsiyalarda ifodaga ega bo'lmagan antiderivativni topish bilan bog'liq. Bundan tashqari, antiderivativni topish mumkin, ammo bu keraksiz mehnat talab qiladi. Biroq, agar integral funktsiyasi darajali qatorga kengaytirilsa va integrallash chegaralari ushbu qatorning yaqinlashish oralig'iga tegishli bo'lsa, u holda integralni oldindan belgilangan aniqlik bilan taxminiy hisoblash mumkin.

Misol № 3. ∫ 0 1 4 sin (x) x integralini 10 -5 gacha hisoblang.
Yechim. Tegishli noaniq integral elementar funktsiyalarda ifodalanishi mumkin emas, ya'ni. "doimiy bo'lmagan integral" ni ifodalaydi. Bu erda Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash mumkin emas. Keling, integralni taxminan hisoblaymiz.
Gunoh uchun atama turkumiga bo'lish x yoqilgan x, biz olamiz:

Ushbu ketma-ket atamani termin bo'yicha integratsiyalash (bu mumkin, chunki integratsiya chegaralari ushbu qatorning yaqinlashuv oralig'iga tegishli), biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qator Leybnits shartlarini qondirgani uchun va berilgan aniqlikda kerakli qiymatni olish uchun dastlabki ikki hadning yig'indisini olish kifoya.
Shunday qilib, biz topamiz
.

Misol № 4. ∫ 0 1 4 e x 2 integralini 0,001 aniqlik bilan hisoblang.
Yechim.
. Keling, hosil bo'lgan qatorning ikkinchi qismidan keyin qolgan qismini tashlab yuborishimiz mumkinligini tekshirib ko'raylik.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Oliy matematika talabalari bilishlari kerakki, bizga berilgan qatorlarning yaqinlashish oralig'iga tegishli ma'lum darajali qatorlar yig'indisi doimiy va cheksiz ko'p marta differentsiallangan funktsiya bo'lib chiqadi. Savol tug'iladi: berilgan ixtiyoriy f(x) funksiyani ma'lum darajalar qatorining yig'indisi deb aytish mumkinmi? Ya’ni f(x) funksiyani qanday sharoitlarda daraja qatori bilan ifodalash mumkin? Bu savolning ahamiyati shundan iboratki, f(x) funksiyani darajalar qatorining, ya’ni ko‘phadning dastlabki bir necha hadlari yig‘indisi bilan taxminan almashtirish mumkin. Funktsiyani juda oddiy ifoda - ko'phad bilan almashtirish muayyan muammolarni hal qilishda ham qulaydir, xususan: integrallarni echishda, hisoblashda va hokazo.

Ma'lum f(x) funksiya uchun (a - R; x 0 + R) ga yaqin joyda (n+1)-tartibgacha, shu jumladan oxirgisi ham hosilalarni hisoblash mumkinligi isbotlangan. ) ba'zi nuqta x = a, bu formula to'g'ri:

Bu formula mashhur olim Bruk Teylor sharafiga nomlangan. Oldingi seriyadan olingan seriya Maklaurin seriyasi deb ataladi:

Maclaurin seriyasida kengaytirishni amalga oshirishga imkon beradigan qoida:

1. Birinchi, ikkinchi, uchinchi... tartiblarning hosilalarini aniqlang.
2. x=0 da hosilalari nimaga teng ekanligini hisoblang.
3. Ushbu funktsiya uchun Maklaurin qatorini yozing va keyin uning yaqinlashish oralig'ini aniqlang.
4. (-R;R) intervalni aniqlang, bu erda Maklaurin formulasining qolgan qismi

R n (x) -> 0 at n -> cheksizlik. Agar mavjud bo'lsa, undagi f(x) funksiya Maklaurin seriyasining yig'indisiga to'g'ri kelishi kerak.

Keling, alohida funktsiyalar uchun Maklaurin seriyasini ko'rib chiqaylik.

1. Demak, birinchi f(x) = e x bo'ladi. Albatta, o'zining xarakteristikalari bo'yicha bunday funktsiya juda turli tartibli hosilalarga ega va f (k) (x) = e x , bu erda k hammaga teng.X = 0 almashtiring. Biz f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ni olamiz... Yuqoridagilarga asoslanib, e x qatori quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi:

2. f(x) = sin x funksiya uchun Maklaurin qatori. Darhol aniqlab beramizki, barcha noma'lumlar uchun funktsiya hosilalarga ega bo'ladi, bundan tashqari, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x +) 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), bu yerda k har qanday natural songa teng.Ya’ni, oddiy hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so‘ng, quyidagiga kelishimiz mumkin. f(x) = sin x uchun qator quyidagicha bo'ladi degan xulosa:

3. Endi f(x) = cos x funksiyani ko'rib chiqishga harakat qilaylik. Barcha noma'lumlar uchun u ixtiyoriy tartibli hosilalarga ega va |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Shunday qilib, biz Maklaurin seriyasida kengaytirilishi mumkin bo'lgan eng muhim funktsiyalarni sanab o'tdik, ammo ular ba'zi funktsiyalar uchun Teylor seriyasi bilan to'ldiriladi. Endi biz ularni sanab o'tamiz. Yana shuni ta’kidlash joizki, Teylor va Maklaurin qatorlari oliy matematikada qatorlarni yechish bo‘yicha amaliy ishlarning muhim qismidir. Shunday qilib, Teylor seriyasi.

1. Birinchisi f(x) = ln(1+x) funksiya uchun qator bo'ladi. Oldingi misollarda bo'lgani kabi, berilgan f(x) = ln(1+x) uchun Maklaurin qatorining umumiy ko'rinishidan foydalanib qatorni qo'shishimiz mumkin. ammo, bu funksiya uchun Maklaurin seriyasini ancha soddaroq olish mumkin. Muayyan geometrik qatorni integrallagan holda, biz f(x) = ln(1+x) uchun qatorni olamiz:

2. Maqolamizda yakuniy bo'ladigan ikkinchisi esa f(x) = arktan x uchun qator bo'ladi. [-1;1] oraliqda bo'lgan x uchun kengayish o'rinli:

Ana xolos. Ushbu maqola oliy matematikada, xususan, iqtisod va texnik universitetlarda eng ko'p qo'llaniladigan Teylor va Maklaurin seriyalarini ko'rib chiqdi.

Agar funktsiya f(x) nuqtani o'z ichiga olgan ba'zi bir intervalga ega A, barcha tartiblarning hosilalari, keyin unga Teylor formulasini qo'llash mumkin:

Qayerda r n- qatorning qolgan qismi yoki qoldig'i deb ataladigan bo'lsak, uni Lagrange formulasi yordamida hisoblash mumkin:

, bu erda x soni orasida X Va A.

Agar biron bir qiymat uchun x r n®0 da n®¥, keyin chegarada Teylor formulasi bu qiymat uchun konvergent formulaga aylanadi Teylor seriyasi:

Shunday qilib, funktsiya f(x) ko'rib chiqilayotgan nuqtada Teylor seriyasiga kengaytirilishi mumkin X, Agar:

1) barcha buyurtmalarning hosilalariga ega;

2) tuzilgan qator shu nuqtada yaqinlashadi.

Da A=0 deb nomlangan qatorni olamiz Maklaurin yaqinida:

1-misol f(x)= 2x.

Yechim. Funktsiyaning qiymatlari va uning hosilalarini topamiz X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Olingan hosilalarning qiymatlarini Teylor seriyasi formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Bu qatorning yaqinlashish radiusi cheksizlikka teng, shuning uchun bu kengayish -¥ uchun amal qiladi.<x<+¥.

2-misol X+4) funktsiya uchun f(x)= e x.

Yechim. Funktsiyaning hosilalarini topish e x va ularning nuqtadagi qiymatlari X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Demak, funksiyaning talab qilinadigan Teylor qatori quyidagi shaklga ega:

Bu kengaytma -¥ uchun ham amal qiladi<x<+¥.

3-misol . Funktsiyani kengaytirish f(x)=ln x bir qator kuchlarda ( X- 1),

(ya'ni, nuqta yaqinidagi Teylor seriyasida X=1).

Yechim. Bu funksiyaning hosilalarini toping.

Ushbu qiymatlarni formulaga almashtirib, biz kerakli Teylor seriyasini olamiz:

D'Alember testidan foydalanib, siz ketma-ketlik qachon yaqinlashishini tekshirishingiz mumkin

½ X- 1½<1. Действительно,

Agar ½ bo'lsa, qator yaqinlashadi X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Leybnits mezonining shartlarini qanoatlantiradigan muqobil qatorni olamiz. Da X=0 funktsiyasi aniqlanmagan. Shunday qilib, Teylor qatorining yaqinlashish mintaqasi yarim ochiq intervaldir (0;2).

Keling, shu tarzda olingan kengayishlarni Maklaurin seriyasiga (ya'ni nuqta yaqinida) taqdim qilaylik. X=0) ba'zi elementar funktsiyalar uchun:

(2) ,

(3) ,

( oxirgi parchalanish deyiladi binomial qator)

4-misol . Funktsiyani quvvat seriyasiga kengaytiring

Yechim. Kengayishda (1) biz almashtiramiz X- X 2, biz olamiz:

5-misol . Funktsiyani Maclaurin seriyasida kengaytiring

Yechim. Bizda ... bor

Formuladan (4) foydalanib, biz yozishimiz mumkin:

o'rniga almashtirish X formulaga kiradi -X, biz olamiz:

Bu yerdan biz topamiz:

Qavslarni ochib, ketma-ketlik shartlarini qayta tartibga solib, shunga o'xshash atamalarni keltirsak, biz olamiz

Bu qator intervalda yaqinlashadi

(-1;1), chunki u ikkita qatordan olingan bo'lib, ularning har biri shu oraliqda yaqinlashadi.

Izoh .

Formulalar (1)-(5) ham tegishli funktsiyalarni Teylor qatoriga kengaytirish uchun ishlatilishi mumkin, ya'ni. musbat butun sonlarda funksiyalarni kengaytirish uchun ( Ha). Buning uchun (1)-(5) funksiyalardan birini olish uchun berilgan funktsiyada shunday bir xil o'zgartirishlarni bajarish kerak bo'ladi, buning o'rniga X xarajatlar k( Ha) m , bu yerda k doimiy son, m musbat butun son. Ko'pincha o'zgaruvchini o'zgartirish qulay t=Ha va natijaviy funksiyani Maklaurin qatoridagi t ga nisbatan kengaytiring.

Bu usul funktsiyaning darajali qator kengayishining yagonaligi haqidagi teoremani ko'rsatadi. Bu teoremaning mohiyati shundan iboratki, bir nuqtaga yaqin joyda, uning kengayishi qanday amalga oshirilgan bo'lishidan qat'i nazar, bir xil funktsiyaga yaqinlashadigan ikkita turli darajali qatorni olish mumkin emas.

6-misol . Teylor qatoridagi funktsiyani nuqta qo'shnisida kengaytiring X=3.

Yechim. Bu muammoni, avvalgidek, Teylor seriyasining ta'rifi yordamida hal qilish mumkin, buning uchun biz funktsiyaning hosilalari va ularning qiymatlarini topishimiz kerak. X=3. Biroq, mavjud kengaytmadan foydalanish osonroq bo'ladi (5):

Olingan qator bir-biriga yaqinlashadi yoki –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

7-misol . Teylor qatorini kuchlarda yozing ( X-1) funktsiyalar .

Yechim.

Seriya birlashadi , yoki 2< x£5.