Keling, ko'rib chiqaylik chiziqli algebraik tenglamalar tizimi(SLAU) nisbatan n noma'lum x 1 , x 2 , ..., x n :
Ushbu tizim "yiqilgan" shaklda quyidagicha yozilishi mumkin:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matritsalarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq, ko'rib chiqilgan tizim chiziqli tenglamalar ichida yozilishi mumkin matritsa shakli Ax=b, Qayerda
,
,.
Matritsa A, ustunlari mos keladigan noma'lumlar uchun koeffitsientlar, satrlari esa mos keladigan tenglamadagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar deyiladi. tizim matritsasi. Ustun matritsasi b, elementlari tizim tenglamalarining o'ng tomonlari bo'lgan, o'ng tomonli matritsa yoki oddiygina tizimning o'ng tomoni. Ustun matritsasi x , uning elementlari noma'lum noma'lumlar deyiladi tizimli yechim.
Shaklda yozilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Ax=b, hisoblanadi matritsa tenglamasi.
Agar tizim matritsasi degenerativ bo'lmagan, keyin u bor teskari matritsa va keyin tizimning yechimi Ax=b formula bilan beriladi:
x=A -1 b.
Misol Tizimni hal qiling 
matritsa usuli.
Yechim sistemaning koeffitsient matritsasi uchun teskari matritsani topamiz
Determinantni birinchi qator bo'ylab kengaytirib hisoblaylik:
Chunki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mavjud.
Teskari matritsa to'g'ri topildi.
Keling, tizimga yechim topaylik 
Demak, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Imtihon: 
7. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining mosligi haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar tizimi shaklga ega:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Bu yerda a i j va b i (i =; j =) berilgan, x j esa noma’lum haqiqiy sonlardir. Matritsalar mahsuloti tushunchasidan foydalanib, (5.1) tizimni quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin:
Bu erda A = (a i j) - (5.1) tizimning noma'lumlari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa, deyiladi. tizim matritsasi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T mos ravishda nomaʼlum x j va erkin hadlar b i dan tuzilgan ustun vektorlari.
Buyurtma qilingan kolleksiya n haqiqiy sonlar (c 1, c 2,..., c n) deyiladi tizimli yechim(5.1), agar bu raqamlarni mos keladigan x 1, x 2,..., x n o'zgaruvchilari o'rniga qo'yish natijasida tizimning har bir tenglamasi arifmetik birlikka aylanadi; boshqacha qilib aytganda, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektor bo'lsa, shundayki AC B.
Tizim (5.1) chaqiriladi qo'shma, yoki hal qilinadigan, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Tizim deyiladi mos kelmaydigan, yoki hal qilib bo'lmaydigan, agar uning yechimlari bo'lmasa.
,
o'ng tarafdagi A matritsaga erkin shartlar ustunini belgilash orqali hosil qilingan deyiladi tizimning kengaytirilgan matritsasi.
(5.1) sistemaning moslik masalasi quyidagi teorema bilan yechiladi.
Kroneker-Kapelli teoremasi . Chiziqli tenglamalar tizimi, agar A vaA matritsalarining darajalari bir-biriga toʻgʻri kelsa, yaʼni, mos keladi. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sistemaning M yechimlari to'plami uchun uchta imkoniyat mavjud:
1) M = (bu holda tizim bir-biriga mos kelmaydi);
2) M bitta elementdan iborat, ya'ni. tizim noyob yechimga ega (bu holda tizim chaqiriladi aniq);
3) M bir nechta elementlardan iborat (keyin tizim chaqiriladi noaniq). Uchinchi holatda (5.1) tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Tizim faqat r(A) = n bo‘lgandagina yagona yechimga ega bo‘ladi. Bunda tenglamalar soni noma'lumlar sonidan (mn) kam emas; agar m>n bo'lsa, u holda m-n tenglamalari boshqalarning oqibatlari. Agar 0 Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimini echish uchun siz tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlarni echishingiz kerak. Kramer tipidagi tizimlar: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n. (5.3) tizimlar quyidagi usullardan biri bilan yechiladi: 1) Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli; 2) Kramer formulalari bo'yicha; 3) matritsa usuli. 2.12-misol. Tenglamalar tizimini o'rganing va agar u mos kelsa, uni yeching: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:
Tizimning asosiy matritsasining darajasini hisoblaylik. Ko'rinib turibdiki, masalan, yuqori chap burchakdagi ikkinchi tartibli minor = 7 0; uni o'z ichiga olgan uchinchi darajali kichiklar nolga teng: Binobarin, tizimning asosiy matritsasining darajasi 2 ga teng, ya'ni. r(A) = 2. Kengaytirilgan A matritsaning darajasini hisoblash uchun chegaradosh minorni ko‘rib chiqamiz. bu kengaytirilgan matritsaning darajasi r(A) = 3 ekanligini bildiradi. r(A) r(A) boʻlgani uchun sistema mos kelmaydi. Birinchi qismda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kirgan barchaga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men umuman matematik muammolarni hal qilish bo'yicha bir qator juda muhim sharhlar va xulosalar qildim. Endi biz Kramer qoidasini tahlil qilamiz, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz. Barcha materiallar sodda, batafsil va aniq taqdim etilgan; deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin. Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? – Axir, eng oddiy tizimni maktab metodi, muddatga qo‘shish usuli yordamida yechish mumkin! Gap shundaki, ba'zan bo'lsa-da, bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi. Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi! Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili. Gauss usuli. Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak: Amalda yuqoridagi sifatlovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin. Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz: 7-misol Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz; o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim. Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi. Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi. ; ; Javob: , Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy). Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin. Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak. 8-misol Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling. Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob). Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqaylik: Biz tizimning asosiy determinantini topamiz: Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak. Agar bo'lsa, tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak: Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi: Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikkiga" holatidan tubdan farq qilmaydi; erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi". 9-misol Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz. Javob: Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud. Shunday bo'ladiki, hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: . 1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" kasrga duch kelganingizdan so'ng darhol tekshirishingiz kerak Shart to'g'ri qayta yozilganmi?. Agar shart xatosiz qayta yozilsa, boshqa qatorda (ustun) kengaytirish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak. 2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato aniqlanmasa, ehtimol vazifa sharoitida xatolik yuz bergan. Bunday holda, topshiriqni oxirigacha xotirjam va E'tibor bilan bajaring, keyin esa tekshirib ko'ring va biz qarordan keyin uni toza varaqda chizamiz. Albatta, kasr javobini tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu kabi har qanday bema'nilik uchun minus berishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlarni qanday ishlash kerakligi 8-misolga javobda batafsil tavsiflangan. Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin); siz xato qilgan joyingizning oraliq bosqichini darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator matritsa usuli yordamida tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi. Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan: 10-misol Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching. Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob). 4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar tizimi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchilarning xossalari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning poyabzalini eslatib tursa-da. Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang). Ushbu bo'limni o'rganish uchun siz determinantlarni kengaytirish, matritsaning teskarisini topish va matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak. Tushuntirishlar davom etar ekan, tegishli havolalar taqdim etiladi. 11-misol Matritsa usuli yordamida tizimni yeching Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz: Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimini ko'rib chiqing. Menimcha, hamma elementlarni matritsalarga yozish tamoyilini tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi. Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz: Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik: Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi. Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunda sistema noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli). Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami: n-tartibli kvadrat matritsa bo'lsin A -1 matritsasi deyiladi teskari matritsa A matritsaga nisbatan, agar A*A -1 = E bo'lsa, bu erda E - n-tartibning o'ziga xos matritsasi. Identifikatsiya matritsasi- shunday kvadrat matritsa, unda asosiy diagonal bo'ylab yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan barcha elementlar bir, qolganlari esa nolga teng, masalan: teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin faqat kvadrat matritsalar uchun bular. satrlar va ustunlar soni mos keladigan matritsalar uchun. Matritsa teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning yagona bo'lmagan bo'lishi zarur va etarli. A = (A1, A2,...A n) matritsasi deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar ustun vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsa. Matritsaning chiziqli mustaqil ustun vektorlari soni matritsaning darajasi deb ataladi. Shuning uchun biz teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi uning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli ekanligini aytishimiz mumkin, ya'ni. r = n. A matritsa uchun A -1 teskari matritsani toping Yechish: A matritsani yozamiz va E matritsani o’ngga belgilaymiz.Jordan o’zgarishlaridan foydalanib, A matritsani E matritsaga keltiramiz. Hisoblashlar 31.1-jadvalda keltirilgan. Dastlabki A matritsa va A teskari matritsani -1 ko'paytirish orqali hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshiramiz. Matritsani ko'paytirish natijasida identifikatsiya matritsasi olingan. Shuning uchun hisob-kitoblar to'g'ri bajarildi. Javob: Matritsali tenglamalar quyidagicha ko'rinishi mumkin: AX = B, HA = B, AXB = C, Bu erda A, B, C - belgilangan matritsalar, X - kerakli matritsa. Matritsali tenglamalar tenglamani teskari matritsalarga ko‘paytirish yo‘li bilan yechiladi.
Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun ushbu tenglamani chap tomonga ko'paytirish kerak. Shuning uchun tenglamaning yechimini topish uchun teskari matritsani topish va uni tenglamaning o'ng tomonidagi matritsaga ko'paytirish kerak. Boshqa tenglamalar ham xuddi shunday yechiladi. AX = B tenglamani yeching, agar Yechim: Teskari matritsa teng bo'lgani uchun (1-misolga qarang) Boshqalar bilan bir qatorda ular ham qo'llaniladi matritsa usullari. Bu usullar chiziqli va vektor-matritsali algebraga asoslangan. Bunday usullar murakkab va ko'p o'lchovli iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish maqsadlarida qo'llaniladi. Ko'pincha, ushbu usullar tashkilotlar va ularning tarkibiy bo'linmalari faoliyatini qiyosiy baholash zarur bo'lganda qo'llaniladi. Matritsali tahlil usullarini qo'llash jarayonida bir necha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin. Birinchi bosqichda iqtisodiy ko'rsatkichlar tizimi shakllantiriladi va uning asosida dastlabki ma'lumotlar matritsasi tuziladi, bu jadval bo'lib, unda tizim raqamlari uning alohida qatorlarida ko'rsatiladi. (i = 1,2,.....,n), va vertikal ustunlarda - ko'rsatkichlar soni (j = 1,2,....,m). Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun mavjud indikator qiymatlarining eng kattasi aniqlanadi, u bitta sifatida olinadi. Shundan so'ng, ushbu ustunda aks ettirilgan barcha miqdorlar eng katta qiymatga bo'linadi va standartlashtirilgan koeffitsientlar matritsasi hosil bo'ladi. Uchinchi bosqichda matritsaning barcha komponentlari kvadratga teng. Agar ular turli xil ahamiyatga ega bo'lsa, unda har bir matritsa ko'rsatkichiga ma'lum bir og'irlik koeffitsienti beriladi k. Ikkinchisining qiymati ekspert xulosasi bilan belgilanadi. Oxirgisida, to'rtinchi bosqich reyting qiymatlari topildi Rj ortishi yoki kamayishi tartibiga ko‘ra guruhlanadi. Belgilangan matritsa usullaridan, masalan, turli investitsiya loyihalarini qiyosiy tahlil qilishda, shuningdek, tashkilotlar faoliyatining boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda qo'llanilishi kerak. (ba'zida bu usul matritsa usuli yoki teskari matritsa usuli deb ham ataladi) SLAE yozuvining matritsa shakli kabi tushuncha bilan oldindan tanishishni talab qiladi. Teskari matritsa usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini echish uchun mo'ljallangan, unda tizim matritsasi determinanti noldan farq qiladi. Tabiiyki, bu tizimning matritsasi kvadrat ekanligini nazarda tutadi (determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud). Teskari matritsa usulining mohiyatini uchta nuqtada ifodalash mumkin: Har qanday SLAE matritsa shaklida $A\cdot X=B$ shaklida yozilishi mumkin, bu erda $A$ - tizim matritsasi, $B$ - erkin shartlar matritsasi, $X$ - noma'lumlar matritsasi. $A^(-1)$ matritsasi mavjud bo'lsin. $A\cdot X=B$ tenglikning ikkala tomonini chap tarafdagi $A^(-1)$ matritsasiga ko‘paytiramiz: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ identifikatsiya matritsasi) boʻlgani uchun yuqoridagi tenglik quyidagicha boʻladi: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $E\cdot X=X$ ekan, u holda: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Misol № 1 SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ ni teskari matritsadan foydalanib yeching. $$ A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\o'ng);\; B=\left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\o'ng);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\o'ng). $$ Tizim matritsasiga teskari matritsani topamiz, ya'ni. $A^(-1)$ ni hisoblaymiz. № 2 misolda $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\oʻng) . $$ Endi barcha uchta matritsani ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ tengligiga almashtiramiz. Keyin matritsalarni ko'paytirishni amalga oshiramiz $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\o'ng)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\o'ng)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(massiv)\o'ng)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 309\\ -206 \end(massiv)\o'ng)=\left( \begin(massiv) (c) -3\\ 2\end(massiv)\o'ng). $$ Shunday qilib, biz tenglikni oldik $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) -3\\ 2\end( massiv )\right)$. Bu tenglikdan biz bor: $x_1=-3$, $x_2=2$. Javob: $x_1=-3$, $x_2=2$. Misol № 2 SLAE $ \left\(\begin(hatlangan) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(hizalangan)\oʻngga yechish .$ teskari matritsa usuli yordamida. $A$ sistemaning matritsasi, $B$ erkin hadlar matritsasi va $X$ noma'lumlar matritsasini yozamiz. $$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(massiv)\o'ng);\; B=\left(\begin(massiv) (c) -1\\0\\6\end(massiv)\o'ng);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\o'ng). $$ Endi navbat tizim matritsasiga teskari matritsani topish, ya'ni. $A^(-1)$ toping. Teskari matritsalarni topishga bag'ishlangan sahifadagi 3-misolda teskari matritsa allaqachon topilgan. Yakunlangan natijadan foydalanamiz va $A^(-1)$ yozamiz: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 va 37\end(massiv)\o'ng). $$ Endi barcha uchta matritsani ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ tengligiga almashtiramiz va keyin oʻng tomonda matritsani koʻpaytirishni bajaramiz. bu tenglikdan. $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (c) -1\\0\ \6\end(massiv)\o'ng)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(massiv)\o'ng)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 0\\-104\\234\end(massiv)\o'ng)=\left( \begin(massiv) (c) 0\\-4\\9\end(massiv)\o'ng) $$ Shunday qilib, biz tenglikni oldik $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) 0\\-4 \ \ 9 \ end (massiv) \ o'ng) $. Bu tenglikdan bizda: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Bu matritsalar bilan bajariladigan barcha mumkin bo'lgan amallarni umumlashtiruvchi tushunchadir. Matematik matritsa - elementlar jadvali. Qaerda stol haqida m chiziqlar va n ustunlar, bu matritsaning o'lchami borligi aytiladi m yoqilgan n. Matritsaning umumiy ko'rinishi: Uchun matritsali yechimlar matritsa nima ekanligini tushunish va uning asosiy parametrlarini bilish kerak. Matritsaning asosiy elementlari: Matritsalarning asosiy turlari: Matritsa asosiy va ikkilamchi diagonallarga nisbatan nosimmetrik bo'lishi mumkin. Ya'ni, agar a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, keyin matritsa asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'ladi. Faqat kvadrat matritsalar simmetrik bo'lishi mumkin. Deyarli hammasi matritsalarni yechish usullari uning determinantini topishdan iborat n-chi tartib va ularning aksariyati juda og'ir. 2 va 3 tartibli determinantni topish uchun boshqa, yanada oqilona usullar mavjud. Matritsaning determinantini hisoblash A 2-tartibda, asosiy diagonal elementlarining mahsulotidan ikkilamchi diagonal elementlarining mahsulotini ayirish kerak: Quyida 3-tartibli determinantni topish qoidalari keltirilgan. Uchburchakning soddalashtirilgan qoidasi matritsalarni yechish usullari ni quyidagicha tasvirlash mumkin: Boshqacha qilib aytganda, birinchi aniqlovchidagi to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan elementlarning ko'paytmasi "+" belgisi bilan olinadi; Shuningdek, 2-determinant uchun tegishli mahsulotlar "-" belgisi bilan, ya'ni quyidagi sxema bo'yicha olinadi: Da Sarrus qoidasi yordamida matritsalarni yechish, determinantning o'ng tomonida, birinchi 2 ustunni qo'shing va asosiy diagonalda va unga parallel bo'lgan diagonallarda mos keladigan elementlarning mahsuloti "+" belgisi bilan olinadi; va ikkilamchi diagonalning mos keladigan elementlari va unga parallel bo'lgan diagonallarning mahsuloti "-" belgisi bilan: Matritsalarni yechishda determinantni qator yoki ustunga ajratish. Aniqlovchi determinant qatori elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng. Odatda nollarni o'z ichiga olgan qator/ustun tanlanadi. Parchalanish amalga oshiriladigan qator yoki ustun o'q bilan ko'rsatiladi. Matritsalarni yechishda determinantni uchburchak shaklga keltirish. Da matritsalarni yechish determinantni uchburchak shaklga keltirish usuli, ular shunday ishlaydi: satrlar yoki ustunlardagi eng oddiy o'zgarishlardan foydalanib, determinant uchburchak shaklga ega bo'ladi va keyin uning qiymati determinantning xususiyatlariga muvofiq mahsulotga teng bo'ladi. asosiy diagonalda joylashgan elementlardan. Matritsalarni yechish uchun Laplas teoremasi. Laplas teoremasi yordamida matritsalarni yechishda siz teoremaning o'zini bilishingiz kerak. Laplas teoremasi: Keling Δ
- bu belgilovchi n-chi tartib. Biz har birini tanlaymiz k qatorlar (yoki ustunlar) taqdim etiladi k≤
n - 1. Bunday holda, barcha voyaga etmaganlarning mahsulotlari yig'indisi k-tanlanganda joylashgan tartib k qatorlar (ustunlar), algebraik to'ldiruvchilarga ko'ra determinantga teng bo'ladi. uchun harakatlar ketma-ketligi teskari matritsali yechimlar: Uchun matritsali tizimlarning yechimlari Ko'pincha Gauss usuli qo'llaniladi. Gauss usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echishning standart usuli bo'lib, u o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat, ya'ni elementar o'zgarishlar yordamida tenglamalar tizimi ekvivalent uchburchaklar tizimiga keltiriladi. shakl va undan ketma-ket, ikkinchisidan boshlab (raqam bo'yicha) tizimning har bir elementini toping. Gauss usuli matritsali echimlarni topish uchun eng ko'p qirrali va eng yaxshi vositadir. Agar tizimda cheksiz miqdordagi echimlar bo'lsa yoki tizim mos bo'lmasa, u holda uni Kramer qoidasi va matritsa usuli yordamida hal qilib bo'lmaydi. Gauss usuli shuningdek, to'g'ridan-to'g'ri (kengaytirilgan matritsani bosqichma-bosqich shaklga qisqartirish, ya'ni asosiy diagonal ostida nollarni olish) va teskari (kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonali ustidagi nollarni olish) harakatlarini ham nazarda tutadi. Oldinga harakat Gauss usuli, teskari harakat Gauss-Jordan usulidir. Gauss-Jordan usuli Gauss usulidan faqat o'zgaruvchilarni yo'q qilish ketma-ketligi bilan farq qiladi.
.
Va
, 
, 
, 
, ya'ni tizim noyob yechimga ega.
.
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lingizda kompyuter bo'lmasa, buni bajaring:
Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir: 
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qator (ustun) bo'yicha determinantlarni nol bilan ochish oqilona, chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.
Teskari matritsa yordamida tizimni yechish
, Qayerda 
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.
Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3 qatorda, 2 ustunda ekanligini ko'rsatadi.
Teskari matritsaning mavjudligi sharti uchun teorema
Teskari matritsani topish algoritmi
1-misol 
Matritsali tenglamalarni yechish
Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli
Matritsalarni yechish usullari.
2-tartibli determinantlarni topish.
3-tartibli determinantlarni topish usullari.
Teskari matritsani yechish.
Matritsali tizimlarni yechish.
