حل المعادلات التربيعية. معادلات ذات متغيرين

الأهداف:

1. تنظيم وتعميم المعرفة والمهارات حول الموضوع: حلول المعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة.
2. قم بتعميق معرفتك من خلال إكمال عدد من المهام، بعضها غير مألوف سواء في النوع أو طريقة الحل.
3. تكوين الاهتمام بالرياضيات من خلال دراسة فصول جديدة من الرياضيات، ورعاية الثقافة الرسومية من خلال بناء الرسوم البيانية للمعادلات.

نوع الدرس: مجموع.

معدات:جهاز عرض رسومي.

الرؤية:جدول "نظرية فييت".

خلال الفصول الدراسية

1. العد الشفهي

أ) ما هو الباقي عند قسمة كثيرة الحدود p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 على ذات الحدين x-a؟

ب) ما عدد الجذور التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة التكعيبية؟

ج) كيف نحل معادلات الدرجة الثالثة والرابعة؟

د) إذا كان b عدداً زوجياً في معادلة تربيعية، فما قيمة D وx 1؟

2. عمل مستقل(في مجموعات)

اكتب معادلة إذا كانت الجذور معروفة (إجابات المهام مشفرة) يتم استخدام "نظرية فييتا"

1 مجموعة

الجذور: × 1 = 1؛ س 2 = -2؛ س 3 = -3؛ × 4 = 6

اصنع معادلة:

ب=1 -2-3+6=2; ب=-2

ج=-2-3+6+6-12-18= -23; ج= -23

د=6-12+36-18=12; د= -12

ه=1(-2)(-3)6=36

× 4 -2 × 3 - 23 × 2 - 12 × + 36 = 0(ثم ​​يتم حل هذه المعادلة من خلال المجموعة 2 على السبورة)

حل . نبحث عن الجذور الكاملة بين قواسم العدد 36.

ص = ±1;±2;±3;±4;±6…

ص 4 (1)=1-2-23-12+36=0 الرقم 1 يحقق المعادلة، وبالتالي =1 هو جذر المعادلة. وفقا لمخطط هورنر

ص 3 (س) = س 3 - س 2 -24س -36

ص 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0، × 2 = -2

ص 2 (س) = س 2 -3س -18=0

× 3 = -3، × 4 = 6

الجواب: 1;-2;-3;6 مجموع الجذور 2 (ع)

المجموعة الثانية

الجذور: × 1 = -1؛ س 2 = س 3 =2؛ × 4 = 5

اصنع معادلة:

ب=-1+2+2+5-8; ب = -8

ج=2(-1)+4+10-2-5+10=15; ج=15

د=-4-10+20-10= -4; د = 4

ه=2(-1)2*5=-20;ه=-20

8+15+4x-20=0 (المجموعة 3 تحل هذه المعادلة على السبورة)

ص = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

ص4 (1)=1-8+15+4-20=-8

ص 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

ص 3 (س) = س 3 -9س 2 +24س -20

ع 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

ص 2 (س) = س 2 -7س +10 = 0 × 1 = 2؛ × 2 = 5

الإجابة: -1;2;2;5 مجموع الجذور 8(ع)

3 مجموعة

الجذور: × 1 = -1؛ × 2 =1؛ س 3 = -2؛ × 4 = 3

اصنع معادلة:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

ص=-1+2-3-2+3-6=-7;ج=-7

د=2+6-3-6=-1; د = 1

ه=-1*1*(-2)*3=6

× 4 - × 3- 7س 2 + س + 6 = 0(المجموعة 4 تحل هذه المعادلة لاحقًا على السبورة)

حل. نحن نبحث عن الجذور الكاملة بين قواسم العدد 6.

ص = ±1;±2;±3;±6

ع4 (1)=1-1-7+1+6=0

ص 3 (س) = س 3 - 7س -6

ص 3 (-1) = -1+7-6=0

ص 2 (س) = س 2 - س -6 = 0؛ س 1 = -2؛ × 2 = 3

الإجابة: -1;1;-2;3 مجموع الجذور 1(O)

4 مجموعة

الجذور: × 1 = -2؛ س 2 = -2؛ س 3 = -3؛ × 4 = -3

اصنع معادلة:

ب=-2-2-3+3=-4; ب=4

ج=4+6-6+6-6-9=-5; ج=-5

د=-12+12+18+18=36; د=-36

ه=-2*(-2)*(-3)*3=-36;ه=-36

× 4 +4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(ثم ​​يتم حل هذه المعادلة من خلال المجموعة 5 على السبورة)

حل. نبحث عن الجذور الكاملة بين قواسم العدد -36

ص = ±1;±2;±3…

ص(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

ع 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

ص 3 (س) = س 3 +2س 2 -9س-18 = 0

ص 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

ص 2 (س) = س 2 -9 = 0؛ س=±3

الجواب: -2؛ -2؛ -3؛ 3 مجموع الجذور-4 (F)

5 مجموعة

الجذور: × 1 = -1؛ س 2 = -2؛ س 3 = -3؛ × 4 = -4

اكتب معادلة

× 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ثم ​​يتم حل هذه المعادلة من خلال المجموعة 6 على السبورة)

حل . نبحث عن الجذور الكاملة بين قواسم العدد 24.

ص = ±1;±2;±3

ع 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

ص 3 (س) = س- 3 + 9س 2 + 26س+ 24 = 0

ص 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

ص 2 (س) = س 2 + 7س+ 12 = 0

الإجابة: -1؛-2؛-3؛-4 مجموع-10 (ط)

6 مجموعة

الجذور: × 1 = 1؛ س 2 = 1؛ س 3 = -3؛ × 4 = 8

اكتب معادلة

ب=1+1-3+8=7;ب=-7

ج=1 -3+8-3+8-24= -13

د=-3-24+8-24= -43; د = 43

× 4 - 7 × 3- 13x2+43س - 24 = 0 (ثم ​​يتم حل هذه المعادلة من خلال المجموعة 1 على السبورة)

حل . نبحث عن الجذور الكاملة بين قواسم العدد -24.

ص4 (1)=1-7-13+43-24=0

ص3(1)=1-6-19+24=0

ص 2 (س)= س 2 -5س - 24 = 0

× 3 = -3، × 4 = 8

الجواب: 1;1;-3;8 مجموع 7 (ل)

3. حل المعادلات ذات المعلمة

1. حل المعادلة x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0؛ إذا كان أحد الجذور يساوي (-1)

اكتب الإجابة بترتيب تصاعدي

ص=ف 3 (-1)=-1+3-م-15=0

س 3 + 3س 2 -13س - 15 = 0؛ -1+3+13-15=0

حسب الشرط × 1 = - 1؛ د=1+15=16

ف 2 (س) = س 2 +2س-15 = 0

س 2 = -1-4 = -5؛

× 3 = -1 + 4 = 3؛

الجواب: -1؛ 3

بترتيب تصاعدي: -5;-1;3. (ب ن ق)

2. أوجد جميع جذور كثيرة الحدود x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6، إذا كان باقي تقسيمها إلى ذوات الحدين x-1 و x +2 متساويين.

الحل: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

ف 3 (1) = 1-3 + أ- 2أ + 6 = 4-أ

ف 3 (-2) = -8-12-2أ-2أ + 6 = -14-4أ

س 3 -زكس 2 -6س + 12 + 6 = س 3 -زكس 2 -6س + 18

× 2 (س-3)-6(س-3) = 0

(س-3)(س 2 -6) = 0

3) أ=0، س 2 -0*س 2 +0 = 0؛ س 2 =0; × 4 = 0

أ=0; س=0; س = 1

أ>0; س=1; س=أ ± √أ

2. اكتب معادلة

1 مجموعة. الجذور: -4؛ -2؛ 1؛ 7؛

المجموعة الثانية. الجذور: -3؛ -2؛ 1؛ 2؛

3 مجموعة. الجذور: -1؛ 2؛ 6؛ 10؛

4 مجموعة. الجذور: -3؛ 2؛ 2؛ 5؛

5 مجموعة. الجذور: -5؛ -2؛ 2؛ 4؛

6 مجموعة. الجذور: -8؛ -2؛ 6؛ 7.

في هذه المقالة سوف نتعلم كيفية حل المعادلات التربيعية.

إذًا، ما هو نوع المعادلات التي تسمى ثنائية التربيعية؟
الجميع معادلات النموذج اه 4+ bx 2 + ج = 0 ، أين أ ≠ 0، وهي مربعة بالنسبة إلى x 2، و تسمى ثنائية التربيعيةالمعادلات. كما ترون، هذا الإدخال يشبه إلى حد كبير الإدخال معادلة من الدرجة الثانيةولذلك، فإننا سوف نحل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغ التي استخدمناها لحل المعادلة التربيعية.

سنحتاج فقط إلى إدخال متغير جديد، وهو ما نشير إليه × 2 متغير آخر، على سبيل المثال في أو ر (أو أي حرف آخر من الأبجدية اللاتينية).

على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة س 4 + 4س 2 - 5 = 0.

دعونا نشير × 2 خلال في (س 2 = ص ) ونحصل على المعادلة y 2 + 4y – 5 = 0.
كما ترون، أنت تعرف بالفعل كيفية حل مثل هذه المعادلات.

نحل المعادلة الناتجة:

د = 4 2 - 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36، √D = √36 = 6.

ص 1 = (‒ 4 – 6)/2= – 10 /2 = – 5,

ص 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

دعنا نعود إلى المتغير x.

لقد وجدنا أن x 2 = - 5 و x 2 = 1.

نلاحظ أن المعادلة الأولى ليس لها حلول، والثانية تعطي حلين: x 1 = 1 و x 2 = ‒1. احرص على عدم فقدان الجذر السالب (في أغلب الأحيان يحصلون على الإجابة x = 1، لكن هذا غير صحيح).

إجابة:- 1 و 1.

لفهم الموضوع بشكل أفضل، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.حل المعادلة 2س 4 - 5 × 2 + 3 = 0.

دع x 2 = y، ثم 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

د = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

ص 1 = (5 - 1)/(2 2) = 4 /4 =1، ص 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.

ثم س 2 = 1 و س 2 = 1.5.

نحصل على x 1 = ‒1، x 2 = 1، x 3 = ‒ √1.5، x 4 = √1.5.

إجابة: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

مثال 2.حل المعادلة 2س 4 + 5 × 2 + 2 = 0.

2ص 2 + 5ص + 2 =0.

د = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

ص 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, ص 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0.5.

ثم x 2 = - 2 و x 2 = - 0.5. يرجى ملاحظة أن أياً من هذه المعادلات ليس لها حل.

إجابة:لا توجد حلول.

المعادلات التربيعية غير الكاملة- متى ب = 0 (الفأس 4 + ج = 0) أو ج = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) يتم حلها مثل المعادلات التربيعية غير المكتملة.

مثال 3.حل المعادلة × 4 - 25 × 2 = 0

لنقوم بالتحليل، ونضع x 2 خارج القوسين ثم x 2 (x 2 - 25) = 0.

نحصل على x 2 = 0 أو x 2 ‒ 25 = 0، x 2 = 25.

ثم لدينا جذور 0؛ 5 و – 5.

إجابة: 0; 5; – 5.

مثال 4.حل المعادلة 5× 4 - 45 = 0.

× 2 = ‒ √9 (ليس له حلول)

× 2 = √9، × 1 = ‒ 3، × 2 = 3.

كما ترون، إذا كان بإمكانك حل المعادلات التربيعية، فيمكنك أيضًا حل المعادلات التربيعية.

إذا كان لا يزال لديك أسئلة، قم بالتسجيل في دروسي. المعلم فالنتينا جالينيفسكايا.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

تم تشكيل مفهوم المعادلات ذات المتغيرين لأول مرة في مقرر الرياضيات للصف السابع. يتم أخذ المشكلات المحددة بعين الاعتبار، وهي عملية الحل التي تؤدي إلى هذا النوع من المعادلات.

ومع ذلك، يتم دراستها بشكل سطحي إلى حد ما. يركز البرنامج على أنظمة المعادلات ذات المجهولين.

وقد أصبح هذا هو السبب وراء عدم النظر عمليا في المسائل التي يتم فيها فرض قيود معينة على معاملات المعادلة. لا يتم إيلاء اهتمام كافٍ لأساليب حل المهام مثل "حل معادلة بأعداد طبيعية أو أعداد صحيحة". ومن المعروف أن مواد امتحان الدولة الموحدةوغالبًا ما تحتوي أوراق امتحانات القبول على مثل هذه التمارين.

ما هي المعادلات التي يتم تعريفها على أنها معادلات ذات متغيرين؟

ص = 8، 7س + 3ص = 13 أو س 2 + ص = 7 هي أمثلة للمعادلات ذات المتغيرين.

خذ بعين الاعتبار المعادلة x - 4y = 16. إذا كانت x = 4 وy = -3، فستكون المساواة صحيحة. وهذا يعني أن هذا الزوج من القيم هو الحل لهذه المعادلة.

حل أي معادلة ذات متغيرين هو مجموعة أزواج الأعداد (x;y) التي تحقق هذه المعادلة (تحويلها إلى مساواة حقيقية).

في كثير من الأحيان يتم تحويل المعادلة بحيث يمكن استخدامها للحصول على نظام للعثور على المجهول.

أمثلة

حل المعادلة: xy – 4 = 4x – y.

في هذا المثال، يمكنك استخدام طريقة التحليل. للقيام بذلك، تحتاج إلى تجميع المصطلحات وإخراج العامل المشترك من الأقواس:

ص ص – 4 = 4س – ص;

ص ص – 4 – 4س + ص = 0;

(ص + ص) – (4س + 4) = 0؛

ص(س + 1) – 4(س + 1) = 0;

(س + 1)(ص - 4) = 0.

الإجابة: جميع الأزواج (x؛ 4)، حيث x موجودة رقم منطقيو(-1; y)، حيث y هو أي رقم نسبي.

حل المعادلة: 4س 2 + ص 2 + 2 = 2(2س - ص).

الخطوة الأولى هي التجميع.

4س 2 + ص 2 + 2 = 4س - 2ص؛

4س 2 + ص 2 + 1 - 4س + 2ص + 1 = 0؛

(4س 2 - 4س +1) + (ص 2 + 2ص + 1) = 0.

وبتطبيق صيغة الفرق التربيعي نحصل على:

(2س - 1) 2 + (ص + 1) 2 = 0.

عند جمع تعبيرين غير سالبين، سينتج الصفر فقط إذا كان 2x – 1 = 0 و y + 1 = 0. ويترتب على ذلك: x = ½ و y = -1.

الجواب: (1/2؛ -1).

حل المعادلة (س 2 - 6س + 10)(ص 2 + 10ص + 29) = 4.

من العقلاني تطبيق طريقة التقييم وتسليط الضوء عليها المربعات المثاليةبين قوسين.

((س - 3) 2 + 1)((ص + 5) 2 + 4) = 4.

علاوة على ذلك، (س - 3) 2 + 1 ≥ 1، و (ص + 5) 2 + 4 ≥ 4. ثم الجهه اليسرىالمعادلات دائما على الأقل 4. المساواة ممكنة في هذه الحالة

(س - 3) 2 + 1 = 1 و (ص + 5) 2 + 4 = 4. لذلك، س = 3، ص = -5.

الجواب: (3؛ -5).

حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

ويمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

× 2 = -10ص 2 + 15س + 3. إذا الجانب الأيمنالتساويات مقسومة على 5، فيكون الباقي 3. ويترتب على ذلك أن x 2 لا يقبل القسمة على 5. ومن المعروف أن مربع العدد الذي لا يقبل القسمة على 5 يجب أن يترك باقيا إما 1 أو 4. وهذا يعني أن المعادلة ليس لها جذور.

الجواب: لا توجد حلول.

لا تثبط عزيمتك بسبب صعوبة إيجاد الحل الصحيح لمعادلة ذات متغيرين. المثابرة والممارسة سوف تؤتي ثمارها بالتأكيد.

نحن نقدم لك خدمة مجانية مريحة آلة حاسبة على الانترنتلحل المعادلات التربيعية.يمكنك التعرف بسرعة على كيفية حلها وفهمها باستخدام أمثلة واضحة.
لانتاج حل المعادلة التربيعية على الانترنت، قم أولاً بتبسيط المعادلة إلى المظهر العام:
الفأس 2 + ب س + ج = 0
املأ حقول النموذج وفقًا لذلك:

كيفية حل المعادلة التربيعية

كيفية حل المعادلة التربيعية:	أنواع الجذور:
1. تحويل المعادلة التربيعية إلى صورتها العامة: منظر عام Аx 2 +Bx+C=0 مثال: 3x - 2x 2 +1=-1 قلل إلى -2x 2 +3x+2=0 2. أوجد المميز د. د=ب 2 -4*أ*ج . على سبيل المثال، د= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. العثور على جذور المعادلة. x1=(-ب+د 1/2)/2أ. في حالتنا x1=(-3+5)/(-4)=-0.5 x2=(-ب-د 1/2)/2أ. على سبيل المثال x2=(-3-5)/(-4)=2 إذا كان B رقمًا زوجيًا، فمن الملائم أكثر حساب المميز والجذور باستخدام الصيغ: د=ك 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/أ x2=(-K-D 1/2)/أ، حيث ك=ب/2	1. جذور حقيقية. علاوة على ذلك. x1 لا يساوي x2 يحدث الموقف عندما يكون D>0 وA لا يساوي 0. 2. الجذور الحقيقية هي نفسها. ×1 يساوي ×2 يحدث الموقف عندما D = 0. ومع ذلك، لا A ولا B ولا C يجب أن تساوي 0. 3. جذوران معقدتان. x1=d+ei، x2=d-ei، حيث i=-(1) 1/2 يحدث الوضع عندما د 4. المعادلة لها حل واحد A=0 وB وC لا يساوي الصفر. تصبح المعادلة خطية. 5. المعادلة لديها عدد لا يحصى من الحلول. أ=0، ب=0، ج=0. 6. المعادلة ليس لها حلول أ=0، ب=0، ج لا يساوي 0.

لتوحيد الخوارزمية، إليك المزيد أمثلة توضيحية لحلول المعادلات التربيعية.

مثال 1. حل معادلة تربيعية عادية لها جذور حقيقية مختلفة.
× 2 + 3س -10 = 0
في هذه المعادلة
أ=1، ب=3، ج=-10
د=ب 2 -4*أ*ج = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
الجذر التربيعيسوف نشير إليه بالرقم 1/2!
x1=(-ب+د 1/2)/2أ = (-3+7)/2 = 2
x2=(-ب-د 1/2)/2أ = (-3-7)/2 = -5

للتحقق، دعونا نستبدل:
(س-2)*(س+5) = س2 -2س +5س – 10 = س2 + 3س -10

مثال 2. حل معادلة تربيعية ذات جذور حقيقية متطابقة.
س 2 – 8س + 16 = 0
أ=1، ب = -8، ج=16
د = ك 2 – أس = 16 – 16 = 0
س = -ك/أ = 4

دعونا نستبدل
(س-4)*(س-4) = (س-4)2 = × 2 – 8س + 16

مثال 3. حل معادلة تربيعية ذات جذور معقدة.
13س 2 – 4س + 1 = 0
أ=1، ب = -4، ج=9
د = ب 2 - 4AC = 16 - 4*13*1 = 16 - 52 = -36
المميز سلبي – الجذور معقدة.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-ب-د 1/2)/2أ = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
حيث I هو الجذر التربيعي لـ -1

هذا كل شئ الحالات المحتملةحل المعادلات التربيعية.
نأمل أن لدينا آلة حاسبة على الانترنتسيكون مفيدا جدا بالنسبة لك.
إذا كانت المادة مفيدة، يمكنك ذلك