Ev Protez və implantasiya Düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları onlayn. Təyyarədə düz xəttlə bağlı ən sadə problemlər

Protez və implantasiya

Düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları onlayn. Təyyarədə düz xəttlə bağlı ən sadə problemlər

Problemin formalaşdırılması. Bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapın təyyarəyə nisbətən.

Həll planı.

1. Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan və nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın. . Düz xətt verilmiş müstəviyə perpendikulyar olduğundan, onun istiqamət vektoru kimi təyyarənin normal vektoru götürülə bilər, yəni.

Beləliklə, düz xəttin tənliyi olacaqdır

2. Nöqtəni tapın düz xəttin kəsişməsi və təyyarələr (bax problem 13).

3. Nöqtə nöqtənin olduğu seqmentin orta nöqtəsidir nöqtəyə simmetrik olan nöqtədir , Buna görə də

Problem 14. Müstəviyə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtəni tapın.

Verilmiş müstəviyə perpendikulyar nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi belə olacaq:

Xəttlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsini tapaq.

Harada – xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi seqmentin ortasıdır

Bunlar. .

Homojen müstəvi koordinatları. Təyyarədə afin çevrilmələri.

Qoy M X Və saat

M(X, saatMae (X, saat, 1) fəzada (şək. 8).

Mae (X, saat

Mae (X, saat hu.

(hx, hy, h), h  0,

Şərh

h(Misal üçün, h

Əslində nəzərə alaraq h

Şərh

Misal 1.

b) bir bucaq (şək. 9).

1-ci addım.

2-ci addım. bucaqla fırladın

müvafiq çevrilmənin matrisi.

3-cü addım. A(a,) vektoruna köçürün b)

müvafiq çevrilmənin matrisi.

Misal 3

 x oxu boyunca və

1-ci addım.

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım.

3-cü addım.

nəhayət alacağıq

Şərh

[R],[D],[M],[T],

Qoy M- koordinatları olan təyyarənin ixtiyari nöqtəsi X Və saat, verilmiş düzxətli koordinat sisteminə nisbətən hesablanmışdır. Bu nöqtənin homojen koordinatları eyni zamanda sıfırdan fərqli x 1, x 2, x 3 ədədlərinin istənilən üçlüyüdür, verilmiş x və y ədədləri ilə aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:

Kompüter qrafikası məsələlərini həll edərkən homojen koordinatlar adətən aşağıdakı kimi daxil edilir: ixtiyari bir nöqtəyə M(X, saat) təyyarəyə bir nöqtə təyin edilir Mae (X, saat, 1) fəzada (şək. 8).

Qeyd edək ki, başlanğıcı birləşdirən xəttdə ixtiyari bir nöqtə, 0(0, 0, 0) nöqtəsi ilə nöqtə Mae (X, saat, 1), formanın üçlü ədədi ilə verilə bilər (hx, hy, h).

hx, hy koordinatları olan vektor 0 (0, 0, 0) və nöqtələri birləşdirən düz xəttin istiqamət vektorudur. Mae (X, saat, 1). Bu xətt z = 1 müstəvisini koordinat müstəvisinin (x, y) nöqtəsini unikal şəkildə təyin edən (x, y, 1) nöqtəsində kəsişir. hu.

Beləliklə, (x, y) koordinatları olan ixtiyari bir nöqtə ilə formanın üçlü ədədlər dəsti arasında

(hx, hy, h), h  0,

hx, hy, h ədədlərini bu nöqtənin yeni koordinatları kimi nəzərdən keçirməyə imkan verən (bir-bir) uyğunluq qurulur.

Şərh

Proyektiv həndəsədə geniş istifadə olunan homojen koordinatlar qeyri-münasib elementləri (əsasən proyeksiya müstəvisinin tanış Evklid müstəvisindən fərqləndiyi elementləri) effektiv şəkildə təsvir etməyə imkan verir. Təqdim edilmiş homojen koordinatların təqdim etdiyi yeni imkanlar haqqında daha ətraflı məlumat bu fəslin dördüncü bölməsində müzakirə olunur.

Homojen koordinatlar üçün proyektiv həndəsədə aşağıdakı qeydlər qəbul edilir:

x:y:1 və ya daha ümumi olaraq x1:x2:x3

(unutmayın ki, burada x 1, x 2, x 3 ədədlərinin eyni anda sıfıra çevrilməməsi mütləq tələb olunur).

Homojen koordinatların istifadəsi hətta ən sadə məsələlərin həllində də əlverişlidir.

Məsələn, miqyasda dəyişikliklərlə bağlı məsələləri nəzərdən keçirək. Ekran cihazı yalnız tam ədədlərlə işləyirsə (və ya yalnız tam ədədlərlə işləmək lazımdırsa), onda ixtiyari dəyər üçün h(Misal üçün, h= 1) koordinatları homojen olan nöqtə

təsəvvür etmək mümkün deyil. Lakin h-nin ağlabatan seçimi ilə bu nöqtənin koordinatlarının tam ədədlər olmasını təmin etmək olar. Xüsusilə, nəzərdən keçirilən nümunə üçün h = 10 üçün

Başqa bir işə baxaq. Transformasiya nəticələrinin hesab daşmasına səbəb olmasının qarşısını almaq üçün koordinatları (80000 40000 1000) olan bir nöqtə üçün, məsələn, h=0,001 götürə bilərsiniz. Nəticədə (80 40 1) alırıq.

Verilmiş misallar hesablamalar apararkən homojen koordinatlardan istifadənin faydalı olduğunu göstərir. Bununla belə, kompüter qrafikasında homojen koordinatların tətbiqinin əsas məqsədi onların həndəsi çevrilmələrə tətbiqində şübhəsiz rahatlığıdır.

Homojen koordinatların üçqatından və üçüncü dərəcəli matrislərdən istifadə edərək, müstəvidə istənilən affin çevrilmə təsvir edilə bilər.

Əslində nəzərə alaraq h= 1, iki girişi müqayisə edin: * simvolu ilə işarələnmiş və aşağıdakı matris:

Görmək asandır ki, sonuncu münasibətin sağ tərəfindəki ifadələri vurduqdan sonra həm (*) düsturunu, həm də 1=1 düzgün ədədi bərabərliyi əldə edirik.

Şərh

Bəzən ədəbiyyatda başqa bir qeyd istifadə olunur - sütunlu qeyd:

Bu qeyd yuxarıdakı sətir-sətir qeydinə bərabərdir (və ondan köçürməklə əldə edilir).

İxtiyari afin çevrilmə matrisinin elementləri açıq həndəsi məna daşımır. Buna görə də, bu və ya digər xəritələşdirməni həyata keçirmək, yəni verilmiş həndəsi təsvirə uyğun olaraq müvafiq matrisin elementlərini tapmaq üçün xüsusi texnika lazımdır. Tipik olaraq, baxılan problemin mürəkkəbliyinə və yuxarıda təsvir edilən xüsusi hallara uyğun olaraq bu matrisin qurulması bir neçə mərhələyə bölünür.

Hər bir mərhələdə yuxarıda göstərilən A, B, C və ya D hallarının bu və ya digərinə uyğun gələn, dəqiq müəyyən edilmiş həndəsi xassələrə malik matris axtarılır.

Müvafiq üçüncü dərəcəli matrisləri yazaq.

A. Fırlanma matrisi

B. Dilatasiya matrisi

B. Refleks matrisi

D. Transfer matrisi (tərcümə)

Müstəvinin affin çevrilmələrinin nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal 1.

A nöqtəsi ətrafında fırlanma matrisini qurun (a,b) bir bucaq (şək. 9).

1-ci addım. Fırlanma mərkəzini koordinatların başlanğıcına uyğunlaşdırmaq üçün vektora köçürmə – A (-a, -b);

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım. bucaqla fırladın

müvafiq çevrilmənin matrisi.

3-cü addım. A(a,) vektoruna köçürün b) fırlanma mərkəzini əvvəlki vəziyyətinə qaytarmaq;

müvafiq çevrilmənin matrisi.

Matrisləri yazıldığı ardıcıllıqla vuraq:

Nəticədə tapırıq ki, istənilən çevrilmə (matris qeydində) belə görünəcək:

Yaranan matrisin elementlərini (xüsusilə də sonuncu cərgədə) yadda saxlamaq o qədər də asan deyil. Eyni zamanda, üç vurulan matrisin hər biri müvafiq xəritələşdirmənin həndəsi təsvirindən asanlıqla qurula bilər.

Misal 3

Uzatma əmsalları olan bir uzanma matrisi qurun x oxu boyunca və ordinat oxu boyunca və mərkəzi A(a, b) nöqtəsində.

1-ci addım. Dartma mərkəzini koordinatların başlanğıcına uyğunlaşdırmaq üçün -A(-a, -b) vektoruna köçürün;

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım. Müvafiq olaraq  və  əmsallı koordinat oxları boyunca uzanma; çevrilmə matrisi formaya malikdir

3-cü addım. Gərginlik mərkəzini əvvəlki vəziyyətinə qaytarmaq üçün A(a, b) vektoruna köçürün; müvafiq çevrilmə matrisi –

Matrislərin eyni ardıcıllıqla vurulması

nəhayət alacağıq

Şərh

Bənzər bir şəkildə düşünmə, yəni təklif olunan çevrilməni matrislər tərəfindən dəstəklənən mərhələlərə bölmək[R],[D],[M],[T], Onun həndəsi təsvirindən istənilən afin çevrilmənin matrisini qurmaq olar.

Shift əlavə etməklə, miqyaslama və fırlanma isə vurma ilə həyata keçirilir.

Ölçəkləmə Transformasiyası (dilatasiya) mənşəyə nisbətən aşağıdakı formaya malikdir:

və ya matris şəklində:

Harada Dx,Dy oxlar boyu miqyaslama faktorlarıdır və

- miqyaslama matrisi.

D > 1 olduqda genişlənmə baş verir, 0 olduqda<=D<1- сжатие

Fırlanma çevrilməsi mənşəyə nisbətən formaya malikdir:

və ya matris şəklində:

burada φ fırlanma bucağıdır və

- fırlanma matrisi.

Şərh: Fırlanma matrisinin sütunları və cərgələri qarşılıqlı ortoqonal vahid vektorlardır. Əslində, cərgə vektorlarının uzunluqlarının kvadratları birinə bərabərdir:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 və (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

sıra vektorlarının skalyar hasilidir

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Vektorların skalyar hasilindən bəri A · B = |A| ·| B| ·cosψ, harada | A| - vektor uzunluğu A, |B| - vektor uzunluğu B, və ψ aralarındakı ən kiçik müsbət bucaqdır, onda uzunluğu 1 olan iki cərgə vektorunun skalyar hasilinin 0 bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, aralarındakı bucaq 90 °-dir.

Bizə xətti tənliklə təyin olunan müəyyən düz xətt və onun koordinatları (x0, y0) ilə təyin olunan və bu xətt üzərində olmayan bir nöqtə verilsin. Verilmiş düz xətt üzrə verilmiş nöqtəyə simmetrik olacaq, yəni müstəvi bu düz xətt boyunca əqli olaraq yarıya qədər əyilmişsə, onunla üst-üstə düşəcək bir nöqtə tapmaq tələb olunur.

Təlimatlar

1. Aydındır ki, hər iki nöqtə - verilən və arzu olunan - eyni xətt üzərində yerləşməlidir və bu xətt verilmiş birinə perpendikulyar olmalıdır. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsi hansısa verilmiş xəttə perpendikulyar olacaq və eyni zamanda verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyini tapmaqdır.

2. Düz xətt iki yolla müəyyən edilə bilər. Xəttin kanonik tənliyi belə görünür: Ax + By + C = 0, burada A, B və C sabitlərdir. Siz həmçinin xətti funksiyadan istifadə edərək düz xətti müəyyən edə bilərsiniz: y = kx + b, burada k - bucaq göstəricisidir, b - yerdəyişmədir.Bu iki üsul bir-birini əvəz edir və siz bir-birindən digərinə keçə bilərsiniz. Əgər Axe + By + C = 0, onda y = – (Ax + C)/B. Başqa sözlə, y = kx + b xətti funksiyasında bucaq göstəricisi k = -A/B, yerdəyişmə isə b = -C/B olur. Tapşırıq üçün düz xəttin kanonik tənliyinə əsaslanaraq düşünmək daha rahatdır.

3. Əgər iki xətt bir-birinə perpendikulyardırsa və birinci xəttin tənliyi Ax + By + C = 0 olarsa, 2-ci xəttin tənliyi Bx – Ay + D = 0 kimi görünməlidir, burada D sabitdir. D-nin müəyyən qiymətini aşkar etmək üçün perpendikulyar xəttin hansı nöqtədən keçdiyini əlavə olaraq bilmək lazımdır. Bu halda (x0, y0) nöqtəsidir.Deməli, D bərabərliyi təmin etməlidir: Bx0 – Ay0 + D = 0, yəni D = Ay0 – Bx0.

4. Perpendikulyar xətt aşkar edildikdən sonra onun verilmiş nöqtə ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablamaq lazımdır. Bunun üçün xətti tənliklər sistemini həll etmək lazımdır: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Onun həlli koordinatları kimi xidmət edən ədədləri (x1, y1) verəcəkdir. xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

5. İstənilən nöqtə aşkar edilmiş xətt üzərində uzanmalı və onun kəsişmə nöqtəsinə olan məsafəsi kəsişmə nöqtəsindən nöqtəyə (x0, y0) qədər olan məsafəyə bərabər olmalıdır. Beləliklə (x0, y0) nöqtəsinə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ancaq bunu daha asan edə bilərsiniz. Əgər (x0, y0) və (x, y) nöqtələri (x1, y1) nöqtəsindən bərabər məsafədədirsə və hər üç nöqtə eyni düz xətt üzərində yerləşirsə, onda: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0.Deməli, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Bu dəyərləri birinci sistemin ikinci tənliyinə əvəz etməklə və ifadələri sadələşdirərək, onun sağ tərəfinin sol tərəflə eyni olmasına əmin olmaq asandır. Bundan əlavə, birinci tənliyi daha sonra nəzərdən keçirməyin mənası yoxdur, çünki (x0, y0) və (x1, y1) nöqtələrinin onu təmin etdiyi və (x, y) nöqtəsinin açıq şəkildə eyni xətt üzərində yerləşdiyi məlumdur. .

Tapşırıq düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır . Mən addımları özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlar Biz tapdıq .

Məsafənin də 2,2 vahid olduğunu yoxlamaq yaxşı olardı.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin adi fraksiyaları hesablamağa imkan verən mikrokalkulyator qüllədə böyük köməklik göstərir. Mən sizə dəfələrlə məsləhət vermişəm və yenə də tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu, özünüz qərar verməyiniz üçün başqa bir nümunədir. Mən sizə bir az ipucu verəcəyəm: bunu həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma özünüz üçün təxmin etməyə çalışmaq daha yaxşıdır, düşünürəm ki, ixtiranız yaxşı inkişaf etmişdir.

İki düz xətt arasındakı bucaq

Hər künc bir tıxacdır:

Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi qəbul edilir və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, geniş ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlüdür"moruq" küncü.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, bucağın "sürüşdüyü" istiqamət əsaslıdır. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu sənə niyə dedim? Görünür, biz adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərik. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlar asanlıqla mənfi nəticə ilə nəticələnə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Rəsmdə mənfi bir bucaq üçün onun istiqamətini oxla (saat istiqamətində) göstərməyi unutmayın.

İki düz xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Həll Və Birinci üsul

Ümumi formada tənliklərlə müəyyən edilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirək:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin yönləndirici vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci sıfıra çevrilir və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaqdır. Məhz buna görə də düsturda düz xətlərin qeyri-perpendikulyarlığı ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həlli iki mərhələdə rəsmiləşdirmək rahatdır:

1) Xətlərin istiqamət vektorlarının skalyar hasilini hesablayaq:

2) Düsturdan istifadə edərək düz xətlər arasındakı bucağı tapın:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, arktangentin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabınızda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə etməklə hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Yaxşı, mənfi, mənfi, böyük bir şey deyil. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucağın mənfi yönlü olduğu ortaya çıxdı, çünki problemin ifadəsində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “açılması” məhz onunla başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .

Gizlətməyəcəyəm, düz xətləri özüm sıra ilə seçirəm ki, bucaq müsbət olsun. Daha gözəldir, amma başqa heç nə yoxdur.

Həllinizi yoxlamaq üçün bir iletki götürüb bucağı ölçə bilərsiniz.

İkinci üsul

Düz xətlər yamaclı tənliklərlə verilirsə və perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucağı düsturla tapmaq olar:

Xətlərin perpendikulyarlıq şərti bərabərliklə ifadə edilir ki, ondan yeri gəlmişkən, perpendikulyar xətlərin bucaq əmsalları arasında çox faydalı əlaqə yaranır: bəzi məsələlərdə istifadə olunur.

Həll alqoritmi əvvəlki paraqrafa bənzəyir. Ancaq əvvəlcə düz xətlərimizi tələb olunan formada yenidən yazaq:

Beləliklə, yamaclar:

1) Xətlərin perpendikulyar olub olmadığını yoxlayaq:
, yəni xətlər perpendikulyar deyil.

2) Düsturdan istifadə edin:

Cavab verin:

Düz xətlərin tənlikləri ilkin olaraq bucaq əmsalı ilə təyin edildikdə ikinci üsuldan istifadə etmək məqsədəuyğundur. Qeyd etmək lazımdır ki, ən azı bir düz xətt ordinat oxuna paraleldirsə, düstur ümumiyyətlə tətbiq edilmir, çünki belə düz xətlər üçün yamac müəyyən edilmir (bax. Müstəvidə düz xəttin tənliyi).

Üçüncü bir həll yolu var. İdeya dərsdə müzakirə olunan düsturdan istifadə edərək xətlərin istiqamət vektorları arasındakı bucağı hesablamaqdır Vektorların nöqtə hasili:

Burada artıq istiqamətlənmiş bir bucaqdan danışırıq, ancaq "yalnız bir bucaq" haqqında danışırıq, yəni nəticə mütləq müsbət olacaqdır. Tutmaq odur ki, siz küt bucaqla nəticələnə bilərsiniz (lazım olanı deyil). Bu vəziyyətdə, düz xətlər arasındakı bucağın daha kiçik bir bucaq olduğunu qeyd etməli və nəticədə qövs kosinusunu "pi" radyanlarından (180 dərəcə) çıxarmalı olacaqsınız.

Arzu edənlər problemi üçüncü yolla həll edə bilərlər. Ancaq yenə də geniş yayılmış olduğu üçün birinci yanaşmaya yönəlmiş bucaqla yapışmağı məsləhət görürəm.

Misal 11

Xətlər arasındakı bucağı tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Bunu iki yolla həll etməyə çalışın.

Nə isə, nağıl yol boyu söndü... Çünki ölməz Kaşchey yoxdur. Mən varam və mən xüsusilə buxarlanmıram. Düzünü desəm, məqalənin daha uzun olacağını düşündüm. Ancaq yenə də yeni aldığım papağımı və eynəyimi götürüb sentyabr gölünün suyunda çimməyə gedəcəm. Yorğunluğu və mənfi enerjini mükəmməl şəkildə aradan qaldırır.

Tezliklə görüşərik!

Və unutmayın, Baba Yaga ləğv edilməyib =)

Həll və cavablar:

Misal 3:Həll : Xəttin istiqamət vektorunu tapaq :

Nöqtədən istifadə edərək istədiyiniz xəttin tənliyini tərtib edək və istiqamət vektoru . İstiqamət vektorunun koordinatlarından biri sıfır olduğundan, tənlik. formada yenidən yazaq:

Cavab verin :

Misal 5:Həll :
1) Xəttin tənliyi iki nöqtəni təşkil edək :

2) Xəttin tənliyi iki nöqtəni təşkil edək :

3) Dəyişənlər üçün uyğun əmsallar mütənasib deyil: , yəni xətlərin kəsişməsi deməkdir.
4) Bir nöqtə tapın :

Qeyd : burada sistemin birinci tənliyi 5-ə vurulur, sonra 2-ci 1-ci tənlikdən həd-həd çıxarılır.
Cavab verin :

Kosmosda düz xətt həmişə iki paralel olmayan müstəvilərin kəsişmə xətti kimi müəyyən edilə bilər. Bir müstəvinin tənliyi ikinci müstəvinin tənliyidirsə, xəttin tənliyi belə verilir.

Burada qeyri-kollinear
. Bu tənliklər deyilir ümumi tənliklər düz kosmosda.

Xəttin kanonik tənlikləri

Verilmiş xətt üzərində və ya ona paralel olan sıfırdan fərqli istənilən vektor bu xəttin istiqamət vektoru adlanır.

Məsələ məlumdursa
düz xətt və onun istiqamət vektoru
, onda xəttin kanonik tənlikləri formaya malikdir:

. (9)

Xəttin parametrik tənlikləri

Xəttin kanonik tənlikləri verilsin

Buradan xəttin parametrik tənliklərini əldə edirik:

(10)

Bu tənliklər xəttin və təyyarənin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün faydalıdır.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi
Və
formaya malikdir:

Düz xətlər arasındakı bucaq

Düz xətlər arasındakı bucaq

Və

onların istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir. Beləliklə, (4) düsturu ilə hesablana bilər:

Paralel xətlər üçün şərt:

Təyyarələrin perpendikulyar olması üçün şərt:

Bir xəttdən nöqtənin məsafəsi

P deyək ki, nöqtə verilib
və düz

Xəttin kanonik tənliklərindən nöqtəni bilirik
, xəttə aid olan və onun istiqamət vektoru
. Sonra nöqtənin məsafəsi
düz xəttdən vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın hündürlüyünə bərabərdir Və
. Beləliklə,

Xətlərin kəsişməsi şərti

İki paralel olmayan xətt

yalnız və yalnız o halda kəsişir

Düz xəttin və təyyarənin nisbi mövqeyi.

Düz xətt verilsin
və təyyarə. Künc onların arasında düsturla tapıla bilər

Problem 73. Xəttin kanonik tənliklərini yazın

(11)

Həll. (9) xəttinin kanonik tənliklərini yazmaq üçün xəttə aid olan istənilən nöqtəni və xəttin istiqamət vektorunu bilmək lazımdır.

vektoru tapaq , bu xəttə paralel. Bu müstəvilərin normal vektorlarına perpendikulyar olması lazım olduğundan, yəni.

,
, Bu

Düz xəttin ümumi tənliklərindən bunu əldə edirik
,
. Sonra

Məsələdən bəri
xəttin hər hansı bir nöqtəsi, onda onun koordinatları xəttin tənliklərini təmin etməlidir və onlardan biri göstərilə bilər, məsələn,
, (11) sistemindən digər iki koordinatı tapırıq:

Buradan,
.

Beləliklə, istənilən xəttin kanonik tənlikləri formaya malikdir:

və ya
.

Problem 74.

Və
.

Həll. Birinci xəttin kanonik tənliklərindən nöqtənin koordinatları məlumdur
xəttinə aid olan və istiqamət vektorunun koordinatları
. İkinci xəttin kanonik tənliklərindən nöqtənin koordinatları da məlumdur
və istiqamət vektorunun koordinatları
.

Paralel xətlər arasındakı məsafə nöqtənin məsafəsinə bərabərdir
ikinci düz xəttdən. Bu məsafə düsturla hesablanır

vektorun koordinatlarını tapaq
.

Gəlin vektor məhsulunu hesablayaq
:

Problem 75. Bir nöqtə tapın simmetrik nöqtə
nisbətən düz

Həll. Verilmiş xəttə perpendikulyar və nöqtədən keçən müstəvi tənliyini yazaq . Onun normal vektoru kimi düz xəttin istiqamət vektorunu götürə bilərsiniz. Sonra
. Beləliklə,

Gəlin bir məqam tapaq
bu xəttlə P müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi. Bunun üçün (10) tənliklərindən istifadə edərək xəttin parametrik tənliklərini yazırıq, alırıq.

Beləliklə,
.

Qoy
nöqtəyə simmetrikdir
bu xəttə nisbətən. Sonra işarə edin
orta nöqtə
. Bir nöqtənin koordinatlarını tapmaq üçün Seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlardan istifadə edirik:

,
,
.

Belə ki,
.

Problem 76. Xəttdən keçən təyyarənin tənliyini yazın
Və

a) bir nöqtə vasitəsilə
;

b) müstəviyə perpendikulyar.

Həll. Bu xəttin ümumi tənliklərini yazaq. Bunu etmək üçün iki bərabərliyi nəzərdən keçirin:

Bu o deməkdir ki, istənilən təyyarə generatorları olan təyyarələr dəstəsinə aiddir və onun tənliyini (8) formada yazmaq olar:

a) Gəlin tapaq
Və təyyarənin nöqtədən keçməsi şərtindən
, buna görə də onun koordinatları müstəvi tənliyini təmin etməlidir. Nöqtənin koordinatlarını əvəz edək
bir dəstə təyyarənin tənliyinə:

Dəyəri tapıldı
Onu (12) tənliyində əvəz edək. İstənilən təyyarənin tənliyini alırıq:

b) Gəlin tapaq
Və istənilən müstəvinin müstəviyə perpendikulyar olması şərtindən. Verilmiş müstəvinin normal vektoru
, istədiyiniz müstəvinin normal vektoru (bax təyyarələr dəstəsinin tənliyinə (12).