Yarım bölmə üsulu(başqa adlar: biseksiya üsulu, dixotomiya üsulu) tənliyi həll etmək f(x) = 0 aşağıdakı kimidir. Bilin ki, funksiya davamlıdır və seqmentin uclarını götürür
[a, b] müxtəlif işarələrin dəyərləri, sonra kök intervalda ( a, b). Gəlin intervalı iki yarıya bölək və sonra funksiyanın müxtəlif işarələrin qiymətlərini aldığı uclarında yarısını nəzərdən keçirəcəyik. Bu yeni seqmenti yenidən iki bərabər hissəyə bölürük və kök olanı seçirik. Bu proses növbəti seqmentin uzunluğu tələb olunan xəta dəyərindən az olana qədər davam edir. Bölmə üsulu üçün alqoritmin daha ciddi təqdimatı:
1) Gəlin hesablayaq x = (a+ b)/2; hesablayaq f(x);
2) Əgər f(x) = 0, sonra 5-ci addıma keçin;
3) Əgər f(x)∙f(a) < 0, то b = x, əks halda a = x;
4) Əgər | b – a| > ε, 1-ci nöqtəyə keçin;
5) Dəyəri çıxarın x;
Misal 2.4. Bölmə metodundan istifadə edərək tənliyin kökünü dəqiqləşdirin ( x– 1) 3 = 0, seqmentə aiddir.
Proqramda həll Excel:
1) Hüceyrələrdə A 1:F 4 Cədvəl 2.3-də göstərildiyi kimi qeydləri, ilkin dəyərləri və düsturları təqdim edirik.
2) Onuncu sətrə qədər doldurma işarəsi ilə hər bir düsturu aşağı hüceyrələrə köçürün, yəni. B 4 - qədər B 10, C 4 - qədər C 10, D 3 - qədər D 10, E 4 - qədər E 10, F 3 - qədər F 10.
Cədvəl 2.3
| A | B | C | D | E | F | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =ƏGƏR(D3=0,C3; ƏGƏR(C$1*D3<0;B3;C3)) | =ƏGƏR(C$1*D3>0; E3;C3) |
Hesablama nəticələri cədvəldə verilmişdir. 2.4. Sütunda F interval uzunluğu qiymətlərinin yoxlanılması b – a. Əgər dəyər 0,01-dən azdırsa, bu sətirdə müəyyən edilmiş xəta ilə kökün təxmini dəyəri tapılır. Tələb olunan dəqiqliyə nail olmaq üçün 5 təkrarlama tələb olundu. Üç onluq yerə yuvarlaqlaşdırıldıqdan sonra 0,01 dəqiqliklə kökün təxmini dəyəri 1,0015625 ≈ 1,00-dir.
Cədvəl 2.4
| A | B | C | D | E | F | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
Verilmiş alqoritm nəzərə alınır mümkün hal“kökünə vurmaq”, yəni. bərabərlik f(x) növbəti mərhələdə sıfır. Əgər misal 2.3-də seqmenti götürürüksə, ilk addımda kökə çatırıq x= 1. Doğrudan da, xanaya yazaq B 3 dəyəri 0,9. Sonra nəticələr cədvəli 2.5 formasını alacaq (yalnız 2 iterasiya verilir).
Cədvəl 2.5
| A | B | C | D | E | F | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| k | a | x | f(x) | b | b-a | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
Onu proqramda yaradaq Excel Daxili dildən istifadə edərək bisect metodundan istifadə edərək tənliklərin həlli üçün f(x) və bisect(a, b, eps) funksiyaları Visual Basic. Onların təsviri aşağıda verilmişdir:
Funksiya f(Byval x)
Funksiya iki hissəli (a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
Əgər f(x) = 0 olarsa, 5-ə keçin
Əgər f(x) * f(a)< 0 Then
Əgər Abs(a - b) > eps Əgər 1-ə keçin
f(x) funksiyası təyin edir sol tərəf tənliklər və funksiya
bisect(a, b, eps) bisect metodundan istifadə edərək tənliyin kökünü hesablayır f(x) = 0. Qeyd edək ki, bisect(a, b, eps) funksiyası f(x) funksiyasına girişdən istifadə edir. Fərdi funksiya yaratmaq üçün alqoritm budur:
1) "Alətlər - Makro - Redaktor" menyu əmrini yerinə yetirin Visual Basic" Pəncərə " Microsoft Visual Basic" Əgər daxil bu fayl proqramlar Excel makrolar və ya istifadəçi funksiyaları və ya prosedurları hələ yaradılmayıb, bu pəncərə Şəkil 2.4-də göstərilən kimi görünəcək.
2) Menyudan “Insert - Module” əmrini yerinə yetirin və şəkil 2.5-də göstərildiyi kimi proqram funksiyalarının mətnlərini daxil edin.
İndi proqram vərəqinin xanalarında Excel Düsturlarda yaradılmış funksiyalardan istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, hücrəyə daxil olaq D 18 düstur
Bisect(0,95;1;0,00001),
onda biz 0,999993896 dəyərini alırıq.
Başqa bir tənliyi həll etmək üçün (fərqli sol tərəflə) "Alətlər - Makro - Redaktor" əmrindən istifadə edərək redaktor pəncərəsinə keçməlisiniz. Visual Basic” və sadəcə f(x) funksiyasının təsvirini yenidən yazın. Məsələn, sin5 tənliyinin kökünü 0,001 dəqiqliklə tapaq. x + x 2 – 1 = 0, intervala aiddir (0,4; 0,5). Bunun üçün funksiyanın təsvirini dəyişdirək
yeni təsvir üçün
f = Sin(5 * x) + x^2 - 1
Sonra kamerada D 18 0.441009521 dəyərini alırıq (bu nəticəni 2.3-cü misalda tapılan intervalın kökünün (0.4; 0.5) dəyəri ilə müqayisə edin!).
Proqramda yarıya bölmə metodundan istifadə edərək tənliyi həll etmək Mathcad alt proqram funksiyasını yaradaq bisek(f, a, b, ε), burada:
f- tənliyin sol tərəfinə uyğun gələn funksiya adı f(x) = 0;
a, b- seqmentin sol və sağ ucları [ a, b];
ε - kökün təxmini dəyərinin dəqiqliyi.
Proqramdakı nümunənin həlli Mathcad:
1) Proqramı işə salın Mathcad. Funksiyanın tərifini təqdim edək bisek(f, a, b, ε). Bunu etmək üçün klaviatura və "Yunan simvolları" alətlər panelindən istifadə edərək yazın bisek(f, a, b, ε):=. “Proqramlaşdırma” alətlər panelində “:=” təyin işarəsindən sonra “Xətt əlavə et” üzərinə sol klikləmək üçün siçan göstəricisindən istifadə edin. Tapşırıq işarəsindən sonra şaquli xətt görünəcək. Sonra, “Proqramlaşdırma” alətlər panelindən istifadə edərək, “←” işarəsini, döngə operatorunu daxil etmək üçün aşağıda göstərilən proqram mətnini daxil edin. isə, operator fasilə və şərti operator əks halda.
2) funksiyanın tərifini təqdim edək f(x):=sin(5*x)+x^2–1 və sonra funksiyadan istifadə edərək kökün dəyərini hesablayın bisek verilmiş dəyərlərdə:
bisek(f, –0,8,–0,7,0,0001)=. “=” işarəsindən sonra proqram tərəfindən hesablanmış kök dəyəri –0,7266601563 avtomatik olaraq görünəcək. Qalan kökləri eyni şəkildə hesablayaq.
Aşağıda vərəq var Mathcad funksiya tərifi ilə bisek(f, a, b, ε) və hesablamalar:
dildə proqram verək C tənliyi həll etmək üçün ++ f(x) = 0 yarıya bölünmə üsulu ilə:
#daxildir
#daxildir
ikiqat f(ikiqat x);
typedef double (*PF)(ikiqat);
ikiqat bisek(PF f,double a, double b,double eps);
ikiqat a, b, x, eps;PF pf;
cout<< "\n a = "; cin >>a;
cout<< "\n b = "; cin >>b;
cout<< "\n eps = "; cin >> eps;
x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;
cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >>a;
ikiqat f(ikiqat x)(
r = sin(5*x)+x*x-1;
ikiqat bisek (PF f, ikiqat a, ikiqat b, ikiqat eps)(
do( x = (a + b)/2;
əgər (f(x) == 0) qırılırsa;
əgər (f(x)*f(a)<0) b = x;
)while (fabs(b-a) > eps);
Proqramda funksiya f(x) tənliyini həll etmək üçün təyin edilir
günah5 x + x 2 – 1 = 0
2.3 misaldan. 0,00001 dəqiqliklə intervalın kökünü (0,4; 0,5) təyin etmək üçün proqramın nəticəsi aşağıda təqdim olunur (kompüter ekranı):
İstənilən düyməni basın & Enter
Nəticəyə baxmaq üçün fasilə təşkil etmək üçün sonuncu sətir lazımdır.
Qeyri-xətti tənlikləri 2 sinfə bölmək olar - cəbri və transsendental. Cəbri tənliklər yalnız cəbri funksiyaları (tam, rasional, irrasional) ehtiva edən tənliklər adlanır. Xüsusilə, çoxhədli bütöv bir cəbr funksiyasıdır. Digər funksiyaları (triqonometrik, eksponensial, loqarifmik və s.) ehtiva edən tənliklər adlanır. transsendental.
Qeyri-xətti tənliklərin həlli üsulları iki qrupa bölünür:
- dəqiq üsullar ;
- iterativ üsullar .
Dəqiq üsullar kökləri hansısa sonlu əlaqə (düstur) şəklində yazmağa imkan verir. Məktəb cəbri kursundan triqonometrik, loqarifmik, eksponensial, eləcə də sadə cəbr tənliklərinin həlli üçün belə üsullar məlumdur.
Məlum olduğu kimi, bir çox tənlik və tənlik sistemlərinin analitik həlli yoxdur. Bu, ilk növbədə transsendental tənliklərin əksəriyyətinə aiddir. Həmçinin sübut edilmişdir ki, dörddən yüksək dərəcəli ixtiyari cəbri tənliyi həll etmək üçün istifadə oluna bilən düstur qurmaq mümkün deyil. Bundan əlavə, bəzi hallarda tənlik yalnız təxminən məlum olan əmsalları ehtiva edir və buna görə də tənliyin köklərini dəqiq müəyyən etmək vəzifəsinin özü mənasını itirir. Onları həll etmək üçün istifadə edirik iterativ üsullar müəyyən bir dəqiqlik dərəcəsi ilə.
Tənlik verilsin
- Funksiya f(x) [ intervalında davamlıdır a, b] 1-ci və 2-ci dərəcəli törəmələri ilə birlikdə.
- Dəyərlər f(x) seqmentin uclarında fərqli işarələr var ( f(a) * f(b) < 0).
- Birinci və ikinci törəmələr f"(x) Və f""(x) bütün seqment boyu müəyyən işarəni saxlayır.
Şərtlər 1) və 2) zəmanət verir ki, intervalda [ a, b] ən azı bir kök var və 3)-dən belə çıxır f(x) bu intervalda monotondur və buna görə də kök unikal olacaqdır.
Tənliyi həll edin (1) iterativ üsul kökünün olub-olmadığını, neçə kök olduğunu müəyyən etmək və köklərin qiymətlərini lazımi dəqiqliklə tapmaq deməkdir.
Funksiyanı tərsinə çevirən istənilən dəyər f(x) sıfıra, yəni. belə:
çağırdı kök tənliklər(1) və ya sıfır funksiyaları f(x).
Tənliyin kökünün tapılması məsələsi f(x) = 0 iterativ üsulla iki mərhələdən ibarətdir:
- kök ayrılması - kökün və ya onu ehtiva edən seqmentin təxmini qiymətinin tapılması;
- təxmini köklərin dəqiqləşdirilməsi - onları müəyyən bir dəqiqlik dərəcəsinə çatdırmaq.
Kökün ayrılması prosesi funksiyanın əlamətlərinin müəyyən edilməsi ilə başlayır f(x) sərhədində x=a Və x=b mövcud olduğu bölgədəki nöqtələr.
Misal 1 . Tənliyin köklərini ayırın:
|
f( x) є x 3 - 6x + 2 = 0. |
Təxmini diaqram quraq:
Beləliklə, (2) tənliyinin [-3, -1] və intervallarında yerləşən üç həqiqi kökü var.
Köklərin təxmini dəyərləri ( ilkin təxminlər) məsələnin fiziki mənasından, oxşar məsələnin müxtəlif ilkin verilənlərlə həllindən də məlum ola bilər və ya qrafik şəkildə tapıla bilər.
Mühəndislik təcrübəsində ümumi qrafik metod təxmini köklərin təyini.
Nəzərə alsaq ki, (1) tənliyinin həqiqi kökləri funksiya qrafikinin kəsişmə nöqtələridir. f(x) x oxu ilə funksiyanın qrafikini çəkmək kifayətdir f(x) və kəsişmə nöqtələrini qeyd edin f(x) ox ilə Oh, və ya oxda işarələyin Oh bir kök olan seqmentlər. Qrafiklərin qurulması çox vaxt (1) tənliyini əvəz etməklə çox sadələşdirilə bilər. ekvivalent onu tənliklə:
Tənlik (4) rahatlıqla bərabərlik kimi yenidən yazıla bilər:
Buradan aydın olur ki, (4) tənliyinin köklərini loqarifmik əyrinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri kimi tapmaq olar. y= log x və hiperbollar y = . Bu əyriləri qurduqdan sonra biz təxminən (4) tənliyinin yeganə kökünü tapacağıq və ya onu ehtiva edən seqmenti təyin edəcəyik.
İterativ proses ilkin yaxınlaşmanın ardıcıl dəqiqləşdirilməsindən ibarətdir X 0 . Hər bir belə addım deyilir iterasiya. İterasiyalar nəticəsində təxmini kök dəyərlərinin ardıcıllığı tapılır X 1 , X 2 , ..., xn.Əgər bu dəyərlər iterasiya sayının artması ilə n kökün həqiqi dəyərinə yaxınlaşırıq, o zaman iterativ proses deyirik birləşir.
[ seqmentinə aid olan (1) tənliyinin kökünü tapmaq üçün a, b], bu seqmenti yarıya bölün. Əgər f= 0, sonra x = tənliyin köküdür. Əgər f 0-a bərabər deyil (təcrübədə bu, çox güman ki), onda biz yarımlardan birini və ya sonunda funksiyası olanı seçirik. f(x) əks əlamətlərə malikdir. Yeni daralmış seqment [ A 1 , b 1] yenidən yarıya bölün və eyni hərəkətləri yerinə yetirin.
Yarımlar üsulu verilmiş tənliyin kökünü təxmini tapmaq üçün praktiki olaraq rahatdır; metod sadə və etibarlıdır və həmişə birləşir.
Misal 3. Tənliyin kökünü aydınlaşdırmaq üçün yarıya bölünmə üsulundan istifadə edin
f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0
seqmentində uzanan [0, 1] .
Ardıcıl olaraq bizdə:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;
f(0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 və s.
Qəbul edilə bilər
x = (0,859 + 0,875) = 0,867
Bu üsulda iterasiya prosesi (1) tənliyinin kökünə yaxınlaşma kimi qəbul edilən aşağıdakı dəyərlərdən ibarətdir: X 1 , X 2 , ..., x n akkordların kəsişmə nöqtələri AB x oxu ilə (Şəkil 3). Əvvəlcə akkordun tənliyini yazırıq AB:
.
Akkordun kəsişmə nöqtəsi üçün AB x oxu ilə ( x = x 1 ,y = 0) tənliyi alırıq:
Qoy əminlik üçün f""(x) > 0 saat a x b(baş verir f""(x) < Tənliyi - şəklində yazsaq, 0 bizimkinə endirilir. f(x) = 0). Sonra əyri saat = f(x) aşağıya doğru qabarıq olacaq və buna görə də akkordunun altında yerləşir AB. İki mümkün hal var: 1) f(A) > 0 (Şəkil 3, A) və 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, b).
Şəkil 3, a, b.
Birinci halda sondur A hərəkətsiz və ardıcıl yaxınlaşmalar: x 0 = b;x , burada funksiya f (X) onun ikinci törəməsinin işarəsinə əks işarəyə malikdir f""(X).
İterativ proses tapılana qədər davam edir
| x i - x i - 1 |< e ,
burada e müəyyən edilmiş maksimum mütləq xətadır.
Misal 4. Tənliyin müsbət kökünü tapın
f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 X - 1,2 = 0
e = 0,01 dəqiqliyi ilə.
Əvvəlcə kökü ayırırıq. Çünki
f(1) = -0,6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,
onda tələb olunan x kökü intervalda yerləşir. Yaranan interval böyükdür, ona görə də onu yarıya bölürük. Çünki
f (1.5) = 1.425 > 0, sonra 1< x < 1,5.
Çünki f""(x) = 6 x- 1-də 0,4 > 0< X < 1,5 и f(1.5) > 0 olarsa, problemi həll etmək üçün (5) düsturundan istifadə edirik:
= 1,15;
| x 1-x 0 | = 0.15 > e,
buna görə də hesablamaları davam etdiririk;
f ( X 1) = -0,173;
= 1,190;
|x 2-x 1 | = 0,04 > e,
f (X 2) = -0,036;
= 1,198;
| x 3-x 2 | = 0,008 < e .
Beləliklə, x = 1.198-i e = 0.01 dəqiqliyi ilə götürə bilərik.
Qeyd edək ki, tənliyin dəqiq kökü x = 1.2-dir.
Qoy f(x) – davamlı funksiya [ a; b], .
Nyuton metodu (tangens metodu)
Qoy f(x)
intervalında iki dəfə davamlı diferensiallanan funksiyadır [ a;
b],
,
Və 
işarəni [ kimi dəyişməyin a;
b].
ilə işarə edək 
İşarələrin olduğu seqmentin ucu 
Və 
uyğunlaşdırmaq. Dəqiq kökə ardıcıl yaxınlaşmalar c düsturla tapın
üçün 
.
Sonra 
(1) tənliyinin dəqiq köküdür.
Hesablama prosesi adətən zaman dayandırılır 
göstərilən dəqiqlikdən az olduğu ortaya çıxır ε
. Bununla belə, bu şərt göstərilən dəqiqliyin əldə edilməsinə ciddi zəmanət verə bilməz. Tam əminlik üçün siz bu bölmənin əvvəlində deyildiyi kimi düzgünlüyün yoxlanılmasını həyata keçirə bilərsiniz. Dəqiqlik əldə edilmirsə, təkrarlamaları bir neçə dəfə təkrarlamaq lazımdır.
Sekant üsulu
Bəzi ilkin təxminlər olsun 
. Düsturdan istifadə edərək daha bir xal alırıq 
, Harada h- kiçik rəqəm. Metodun bir neçə addımını tamamladığımızı güman edəcəyik və bu nöqtədə iki ardıcıl yaxınlaşmamız var. 
Və 
dəqiq kökə (ilkin mərhələdə bu 
Və 
). Sonra düsturdan istifadə edərək növbəti yaxınlaşmanı tapırıq
,
Proses Nyuton metodunda olduğu kimi eyni kriteriyaya uyğun olaraq dayanır.
İterasiya üsulu
İterasiya metodunda ilkin tənlik (1) ekvivalent tənliyə çevrilir 
. İlkin yaxınlaşma seçilir 
. Hər bir sonrakı yaxınlaşma düsturla əldə edilir 
,
Proses Nyuton metodunda olduğu kimi eyni kriteriyaya uyğun olaraq dayanır. Metod birləşəcək, yəni. limit 
bərabərsizlik kökün qonşuluğunda olarsa, kökün dəqiq qiymətinə bərabərdir 
və ilkin yaxınlaşma kökə kifayət qədər yaxındır.
Metodların üstünlükləri və mənfi cəhətləri
Bölmə üsulu kökün ayrılmasını tələb edir və yüksək dəqiqliyə nail olmaq üçün funksiya dəfələrlə qiymətləndirilməlidir. Bu üsulda göstərilən dəqiqliyə nail olmaq təmin edilir.
Nyuton metodu çox sürətli yaxınlaşma (kvadrat yaxınlaşma), yəni.
,
Harada c– kökün dəqiq dəyəri; M– funksiyadan asılı olaraq bəzi sabitlər. Kobud desək, müəyyən bir iterasiyadan başlayaraq, hər iterasiyada düzgün onluq yerlərin sayı ikiqat artacaqdır.
Nyuton metodunun yaxınlaşmasını təmin etmək üçün kifayət qədər bir neçə şərt yerinə yetirilməlidir. Ümumiyyətlə, bu şərtləri yoxlamadan Nyuton metodundan istifadə edərək hesablamalara başlaya bilərsiniz, lakin sonra konvergensiya müşahidə olunmaya bilər.
Sekant metodu hamar funksiyalar üçün Nyuton metodunun yaxınlaşma dərəcəsinə yaxın yaxınlaşma dərəcəsini təmin edir. Bu, funksiyanın törəməsinin hesablanmasını tələb etmir. Başlanğıc nöqtəsi kökdən uzaq götürülərsə, onda yaxınlaşma olmaya bilər.
İterasiya metodu Nyuton metodundan əhəmiyyətli dərəcədə aşağı yaxınlaşma dərəcəsi verir. Konvergensiya varsa, təxmin tətbiq edilir 
, Harada 
- nömrələri, 
,
;c– kökün dəqiq dəyəri. Kəmiyyətlər M,
q funksiyadan asılıdır və iterasiya sayından asılı deyil. Əgər 
onda 1-ə yaxındır q də 1-ə yaxındır və metodun yaxınlaşması yavaş olacaq. İterasiya metodundan istifadə edərək hesablamaya şərtləri yoxlamadan başlamaq olar 
Və 
. Bu halda proses fərqli ola bilər və sonra cavab alınmayacaq.
Qeyri-xətti tənliyin köklərini tapmaq üçün sadalananlardan başqa bir çox üsul var. MATHCAD-də kök funksiyası formatdadır 
sekant metodundan istifadə edir və əgər bu arzu olunan nəticələrə gətirib çıxarmırsa, o zaman Müller üsulundan istifadə edir. Sonuncuda sekant metodundan fərqli olaraq hər addımda iki əlavə nöqtə götürülür, funksiyanın qrafiki üç nöqtədən keçən parabolla əvəz olunur və parabolanın oxu ilə kəsişmə nöqtəsi götürülür. növbəti yaxınlaşma öküz. Formatda kök funksiyasında root( f(x),
x,
a,
b) Ridder və Brent üsullarından istifadə edilir. MATHCAD-də polinomun köklərini tapmaq üçün Laguerre metodundan istifadə olunur.
Dixotomiya üsulu adını qədim yunan sözündən götürüb, tərcümədə ikiyə bölmək deməkdir. Buna görə də bu metodun ikinci adı da var: yarımlar üsulu. Biz ondan tez-tez istifadə edirik. Tutaq ki, “Nömrəni tap” oyununu oynayırıq, burada bir oyunçu 1-dən 100-ə qədər rəqəmi təxmin edir, digəri isə “çox” və ya “az” ipuçlarını rəhbər tutaraq onu təxmin etməyə çalışır. Birinci rəqəmin 50, azdırsa ikincinin isə 25, çox olarsa 75 adlandırılacağını güman etmək məntiqlidir.Beləliklə, hər mərhələdə (iterasiyada) naməlumun qeyri-müəyyənliyi 2 dəfə azalır. Bunlar. hətta dünyanın ən bədbəxt adamı belə 100 təsadüfi ifadə əvəzinə bu diapazondakı gizli nömrəni 7 təxmində təxmin edəcək.
Tənliyin həllində yarımbölmə üsulu
Yarımlar metodundan istifadə etməklə tənliyin düzgün həlli o zaman mümkündür ki, verilmiş intervalda kökün olması və onun unikal olması məlum olsun. Bu, heç də o demək deyil ki, dixotomiya metodu yalnız xətti tənliklərin həlli üçün istifadə edilə bilər. Bölmə üsulundan istifadə edərək daha yüksək dərəcəli tənliklərin köklərini tapmaq üçün əvvəlcə kökləri seqmentlərə ayırmaq lazımdır. Köklərin ayrılması prosesi funksiyanın birinci və ikinci törəmələrinin tapılması və f"(x)=0 və f""(x)=0 sıfıra bərabərləşdirilməsi ilə həyata keçirilir. Sonra f(x) işarələri. kritik və sərhəd nöqtələrində müəyyən edilir.Funksiyanın işarəsini dəyişdiyi interval |a,b|, burada f(a)*f(b)< 0.
Dixotomiya metodunun alqoritmi
Dixotomiya metodunun alqoritmi çox sadədir. |a,b| seqmentini nəzərdən keçirək içərisində bir kök x 1 var
Birinci mərhələdə x 0 =(a+b)/2 hesablanır
Sonra, bu nöqtədə funksiyanın qiyməti müəyyən edilir: əgər f(x 0)< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
B-a fərqi tələb olunan xətadan az olduqda hesablamalar dayanır.
Yarımbölmə metodundan istifadə nümunəsi olaraq x 3 -3*x+1=0 tənliyinin intervalında kökü 10 -3 dəqiqliklə tapacağıq.
Cədvəldən göründüyü kimi, kök 0,347-dir. Təkrarların sayı 10. Tamamlanma şərti: a-b=0,0009< 10 -3
Yarımlar üsulu və ya dixotomiya üsuluədədi üsullardan istifadə edərək tənliyin həlli üçün ən sadədir.
Yüklə:
Dixotomiya üsulu ilə tənliyin həlli - Paskalda bisection üsulu ilə tənliyin həlli.
Buna dixotomiya üsulu da deyilir. Tənliklərin həllinin bu üsulu yuxarıda müzakirə olunan üsullardan onunla fərqlənir ki, birinci və ikinci törəmələrin intervalda işarəsini saxlaması şərtinin yerinə yetirilməsini tələb etmir. Bölmə metodu qeyri-diferensiallaşdırılmayanlar da daxil olmaqla istənilən davamlı f(x) funksiyaları üçün birləşir.
Seqmenti bir nöqtə ilə yarıya bölün. Əgər (bu, praktiki olaraq ən çox ehtimaldır), onda iki hal mümkündür: ya f(x) seqmentdə işarəni dəyişir (şək. 3.8), ya da seqmentdə (şək. 3.9).
Hər bir halda funksiyanın işarəsini dəyişdiyi seqmenti seçməklə və yarıya bölünmə prosesini daha da davam etdirməklə, tənliyin kökünü ehtiva edən ixtiyari kiçik seqmentə çatmaq olar.
Misal 4. 5x - 6x -3 = 0 tənliyinin intervalda tək kökü var. Bu tənliyi yarıya bölmə metodundan istifadə edərək həll edin.
Həll: Paskal proqramı belə görünə bilər:
f(x: real): real;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: real;
isə abs(b-a)>e edir
əgər f(a)*f(c)<0 then
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
Proqramın icrasının nəticəsi:
e=0,001 x=1,562 f(x)=-0,0047
20. Yarımlara bölmə metodunun alqoritmi.
1.Yeni kök yaxınlaşmasını təyin edin X seqmentin ortasında [a,b]: x=(a+b)/2.
2. Funksiyanın qiymətlərini nöqtələrdə tapın A Və X: F(a) Və F(x).
3. Vəziyyəti yoxlayın F(a)*F(x)< 0 . Şərt yerinə yetirilirsə, kök seqmentdə yerləşir [Oh] b nöqtəsinə keçin x (b=x). Şərt yerinə yetirilmirsə, kök seqmentdə yerləşir [x,b]. Bu vəziyyətdə bir nöqtə lazımdır A nöqtəsinə keçin x (a=x).
4.1-ci addıma keçin və yenidən seqmenti yarıya bölün. Alqoritm şərt yerinə yetirilənə qədər davam edir /F(x)/< e (müəyyən edilmiş dəqiqlik).
21. Kökləri tapmaq üçün sadə iterasiya üsulu. Həndəsi şərh.
Orijinal f(x)=0 tənliyi sol tərəfdə naməlum seçilmiş formada ekvivalent çevrilmə yolu ilə azaldılır, yəni x=φ(x), burada φ(x) orijinal f funksiyası ilə əlaqəli bəzi funksiyadır. (x). Tənliyin bu cür yazılması forması x 0 ilkin yaxınlaşmasını nəzərə alaraq, növbəti, ilk x 1 =φ(x 0) yaxınlaşmasını, sonra ikinci x 2 =φ(x 1) yaxınlaşmasını və s. x n +1 almağa imkan verir. =φ(x n)… . (x n )= x 0, x 1, x 2, …, x n,… ilkin qiyməti x 0 olan təkrarlamalar və ya yaxınlaşmalar ardıcıllığı adlanır. φ(x) funksiyası davamlı deyilsə və limiti varsa ξ = lim x n n→∞ kimi, onda x n +1 =φ(x n) bərabərliyində limitə keçərək, n→ ∞ kimi tapırıq: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n) ), yəni ξ=φ(ξ).Nəticədə, yaxınlaşma ardıcıllığı yaxınlaşırsa, (2) tənliyinin kökünə, deməli (1) tənliyinə yaxınlaşır. İterativ prosesin yaxınlaşması səbəbindən bu kök kifayət qədər böyük hesablana bilər n hər hansı bir dəqiqliklə. Bununla belə, ardıcıllığın (x n) hansı şəraitdə yaxınlaşacağını müəyyən etmək lazımdır. İki qonşu yaxınlaşmanın - ε n və ε n +1 xətaları arasında əlaqə əldə edək: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1. Bu təsvirləri x n +1 =φ(x n) ilə əvəz edək və funksiyanı kökün yaxınlığında Teylor sırasına genişləndirək:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n. φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), burada η О [ξ; ξ+ε n ] М . ξ kök olduğundan ξ=φ(ξ) , alırıq: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2 ε ildən<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
Sadə təkrarlama metodunun yaxınlaşması haqqında teorem.ξ x=φ(x) tənliyinin kökü olsun, φ(x) funksiyası müəyyən edilir və intervalda diferensiallaşdırılır, x О üçün isə φ (x) О funksiyasının bütün qiymətləri. Onda belə müsbət ədəd varsa q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, onda qonşu təxminlər kökün əks tərəflərində yatır - belə yaxınlaşma ikitərəfli (və ya spiral) adlanır - şək. 2. Bu halda kök ucları qonşu təxminlər olan intervalda yer aldığından – ξÎ(x n ,x n +1), onda şərtin yerinə yetirilməsi |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
İterativ metodları yaxınlaşma sürəti baxımından müqayisə etmək üçün aşağıdakı anlayışlar təqdim olunur:
Tərif 1: Ardıcıllığın (x n) ξ-ə yaxınlaşması deyilir xətti(müvafiq olaraq, iterativ prosesdir xətti konvergent), sabit CO(0,1) və n 0 ədədi varsa, bərabərsizliklər |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0 üçün.
Daha əvvəl təqdim edilmiş səhvlər üçün bu, |ε n+1 |≤C|ε n | deməkdir. Sadə təkrarlama metodunda C sabiti q qiymətidir, yəni metod xətti şəkildə yaxınlaşır.
Tərif 2: Təxminlər ardıcıllığı (x n ) ən azı ilə ξ-ə yaxınlaşır R ci sıra (müvafiq olaraq, iterativ proses ən azı səh-ci sıra), əgər belə sabitlər C>0 olarsa, səh≥1 və n 0 , bütün n≥n 0 şərtləri üçün |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (və ya digər qeydlərdə |ε n+1 |≤C|ε n | p).
