Ev Kaplanmış dil Perelmanın Puankare zənninin həlli. Bir pişi çuxuru üçün bir milyon dollar

Kaplanmış dil

Perelmanın Puankare zənninin həlli. Bir pişi çuxuru üçün bir milyon dollar

Puankare teoreminin mahiyyəti nədir?

E-ni QIRMIZI saçlı Sofiya sübut etdi, amma o da QIRMIZI saçlıdır....
Nəticə budur ki, Kainat kürə şəklində deyil, pişi kimidir.
Puankare zənninin orijinal tərtibatındakı mənası ondan ibarətdir ki, hər hansı üçölçülü cisim üçün deşiksiz, onu kəsmədən və yapışdırmadan topa çevirməyə imkan verəcək transformasiya var. Əgər bu açıq-aydın görünürsə, bəs kosmos üçölçülü deyil, on və ya on bir ölçüdən ibarətdirsə (yəni, Perelmanın sübut etdiyi Puankare zənninin ümumiləşdirilmiş formalaşdırılmasından danışırıq)
2 sözlə izah edə bilməzsən
1900-cü ildə Puankare sferanın bütün homoloji qruplarına malik üçölçülü manifoldun kürəyə homeomorf olduğunu təklif etdi. 1904-cü ildə o, indi Puankare sferası adlanan əks nümunə də tapdı və fərziyyəsinin son versiyasını formalaşdırdı. Puankare zənnini sübut etmək cəhdləri manifoldların topologiyasında çoxsaylı irəliləyişlərə səbəb olmuşdur.
n #10878 üçün ümumiləşdirilmiş Puankare zənninin sübutları; 5 1960-cı illərin və 1970-ci illərin əvvəllərində, demək olar ki, eyni vaxtda Smale tərəfindən müstəqil olaraq və Stallings (İngilis dili) tərəfindən digər üsullarla əldə edilmişdir (n #10878; 7, onun sübutu Zeeman (İngilis) tərəfindən n = 5 və 6-cı işlərə genişlənmişdir) . Daha çətin n = 4 halının sübutu yalnız 1982-ci ildə Fridman tərəfindən əldə edilmişdir. Pontryaqinin xarakterik siniflərinin topoloji dəyişməzliyi haqqında Novikov teoremindən belə çıxır ki, yüksək ölçülərdə homotopiya ekvivalenti, lakin homeomorf olmayan manifoldlar mövcuddur.
Orijinal Puankare zənninin (və daha ümumi Trston zənninin) sübutu yalnız 2002-ci ildə Qriqori Perelman tərəfindən tapıldı. Daha sonra Perelmanın sübutu ən azı üç qrup alim tərəfindən geniş formada təsdiqləndi və təqdim edildi. 1 Sübut Ricci axınından cərrahiyyə ilə istifadə edir və əsasən Ricci axınından ilk istifadə edən Hamiltonun təsvir etdiyi plana əməl edir.
bu kimdir
Puankare teoremi:
Vektor sahələrinə dair Puankare teoremi
Bendiksonun Puankare teoremi
Dairə homeomorfizmlərinin təsnifatı üzrə Puankare teoremi
Puankarenin homotopiya sferası haqqında fərziyyəsi
Puankarenin qayıdış teoremi
Hansını soruşursan?
Dinamik sistemlər nəzəriyyəsində çevrənin homeomorfizmlərinin təsnifatı üzrə Puankare teoremi f təkrarlanan xəritələşdirmənin p(f) fırlanma sayından asılı olaraq çevrədə inversilə dinamikanın mümkün növlərini təsvir edir. Kobud desək, məlum olur ki, xəritəçəkmə iterasiyalarının dinamikası müəyyən dərəcədə müvafiq bucaqla fırlanma dinamikasına bənzəyir.
Məhz, f çevrəsinin homeomorfizmi verilsin. Sonra:
1) F-nin dövri nöqtələri varsa, fırlanma sayı rasionaldır. Bu halda fırlanma ədədinin məxrəci istənilən dövri nöqtənin dövrüdür və hər hansı bir dövri orbitin nöqtələrinin dairəsi üzrə dövri qayda p(f) üzərindəki fırlanma orbitinin nöqtələri ilə eynidir. Bundan əlavə, hər hansı bir trayektoriya həm irəli, həm də əks zamanda müəyyən dövriliyə meyllidir (a- və -w limit trayektoriyaları fərqli ola bilər).
2) Əgər f fırlanma nömrəsi irrasionaldırsa, onda iki seçim mümkündür:
i) ya f sıx orbitə malikdir, bu halda f-nin homeomorfizmi p(f) ilə fırlanma ilə konyuqa olur. Bu halda f-nin bütün orbitləri sıxdır (çünki bu, irrasional fırlanma üçün doğrudur);
ii) ya f sistemin yeganə minimal çoxluğu olan Cantor invariant C çoxluğuna malikdir. Bu halda, bütün trayektoriyalar həm irəli, həm də geri vaxtda C-yə meyl edir. Bundan əlavə, f xəritələşdirilməsi p(f) ilə fırlanma ilə yarımkonjuqatdır: 1-ci dərəcə h-nin bəzi xəritələşdirilməsi üçün p o f =R p (f) o h
Üstəlik, C çoxluğu h-nin böyümə nöqtələrinin çoxluğudur; başqa sözlə, topoloji baxımdan h C-nin tamamlayıcı intervallarını daraldır.
Məsələnin mahiyyəti 1 milyon dollardır
Onu 1 nəfərdən başqa heç kimin başa düşməməsi
Fransanın xarici siyasətində...
Burada Lka ən yaxşı cavab verdi http://otvet.mail.ru/question/24963208/
Parlaq riyaziyyatçı, parisli professor Henri Puankare bu elmin müxtəlif sahələrində çalışmışdır. 1905-ci ildə Eynşteynin işindən müstəqil və müstəqil olaraq Xüsusi Nisbilik Nəzəriyyəsinin əsas prinsiplərini irəli sürdü. Və o, öz məşhur fərziyyəsini hələ 1904-cü ildə formalaşdırmışdı, ona görə də onun həlli təxminən bir əsr çəkdi.
Puankare, fasiləsiz baş verən deformasiyalar altında dəyişməyən həndəsi fiqurların xassələri haqqında elm olan topologiyanın yaradıcılarından biri idi. Məsələn, bir şar, parkdakı uşaqlar üçün olduğu kimi, asanlıqla müxtəlif formalarda deformasiya edilə bilər. Ancaq topu bir döngəyə (və ya həndəsi dildə desək, torus) bükmək üçün kəsmək lazımdır; başqa yol yoxdur. Və əksinə: bir rezin pişi götürün və onu kürəyə çevirməyə çalışın. Ancaq yenə də işləməyəcək. Topoloji xassələrinə görə, kürə və torusun səthləri uyğun gəlmir və ya qeyri-homeomorfdur. Ancaq deşiksiz hər hansı səthlər (qapalı səthlər), əksinə, homeomorfdur və deformasiyaya uğramağa və kürəyə çevrilməyə qadirdir.
Əgər 19-cu əsrdə sferanın və torusun ikiölçülü səthləri ilə bağlı hər şey qərara alınmışdısa, daha çoxölçülü hallar üçün bu, daha uzun çəkdi. Bu, əslində çoxölçülü hallara nümunəni genişləndirən Puankare zənninin mahiyyətidir. Bir az sadələşdirərək, Puankare zənnində deyilir: Hər bir sadə bağlanmış qapalı n ölçülü manifold n ölçülü sferaya homeomorfdur. Üç ölçülü səthləri olan seçimin ən çətin olduğu gülməli idi. 1960-cı ildə fərziyyə 5 və daha yüksək ölçülər üçün, 1981-ci ildə n=4 üçün sübut edilmişdir. Büdrəmə bloku məhz üçölçülü idi.
1980-ci illərdə William Trsten və Richard Hamiltonun ideyalarını inkişaf etdirərək, Qriqori Perelman üçölçülü səthlərə hamar təkamülün xüsusi tənliyini tətbiq etdi. Və o, ilkin üçölçülü səthin (onda fasilələr olmasa) mütləq üçölçülü sferaya çevriləcəyini göstərə bildi (bu dördölçülü topun səthidir və o, 4ölçülü səthdə mövcuddur) boşluq). Bir sıra ekspertlərin fikrincə, bu, həlli riyaziyyat elmi üçün yeni üfüqlər açan yeni nəsil ideyası idi.
Maraqlıdır ki, nədənsə Perelman özü qərarını son parlaqlığa çatdırmaq üçün narahat olmadı. 2002-ci ilin noyabrında Ricci axını üçün entropiya düsturu və onun həndəsi tətbiqlərində həlli bütövlükdə təsvir etdikdən sonra, 2003-cü ilin martında o, sübutu əlavə etdi və üç manifoldda cərrahiyyə ilə Ricci axınında təqdim etdi və həmçinin hesabat verdi. bir sıra universitetlərin dəvəti ilə 2003-cü ildə verdiyi silsilə mühazirələrdəki metod haqqında. Rəyçilərdən heç biri onun təklif etdiyi versiyada səhv tapa bilmədi, lakin Perelman rəydən keçmiş elmi nəşrdə (xüsusilə bu, Kley Riyaziyyat İnstitutu Mükafatını almaq üçün zəruri şərt idi) nəşr dərc etmədi. Lakin 2006-cı ildə onun metoduna əsaslanaraq, amerikalı və çinli riyaziyyatçıların problemi ətraflı və tam şəkildə araşdırdıqları, Perelmanın buraxdığı məqamları əlavə etdikləri və Puankare zənninin yekun sübutunu verdikləri bir sıra sübutlar buraxıldı.
Ümumiləşdirilmiş Puankare zənnində deyilir:
İstənilən n üçün n ölçüsünün hər hansı manifoldu n ölçülü sferaya homotopiya ekvivalentdir, o halda ki, o, homeomorfdur.
Orijinal Puankare fərziyyəsi n = 3 üçün ümumiləşdirilmiş fərziyyənin xüsusi halıdır.
Aydınlaşdırmaq üçün göbələk yığmaq üçün meşəyə gedin, Qriqori Perelman ora gedir)
Puankarenin qayıdış teoremi erqodik nəzəriyyənin əsas teoremlərindən biridir. Onun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, məkanın ölçüsünü qoruyan xəritələşdirilməsi ilə demək olar ki, hər bir nöqtə öz ilkin qonşuluğuna qayıdacaq. Teoremin tam formalaşdırılması aşağıdakı kimidir: 1:
Sonlu ölçü ilə fəzanın ölçü qoruyan çevrilməsi olsun və ölçülə bilən çoxluq olsun. Sonra hər hansı bir təbii üçün
.
Bu teorem gözlənilməz nəticə verir: belə çıxır ki, arakəsmə ilə iki bölməyə bölünmüş bir gəmidə biri qazla, digəri boşdursa, arakəsmə çıxarılırsa, bir müddət sonra bütün qaz molekulları yenidən gəminin orijinal hissəsində toplayın. Bu paradoksun həlli ondan ibarətdir ki, müəyyən vaxt milyardlarla ildir.
Koreyada kəsilmiş itlər kimi teoremləri var...
kainat sferikdir... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri
Dünən elm adamları kainatın donmuş bir maddə olduğunu açıqladılar... və bunu sübut etmək üçün çoxlu pul istədilər... yenə Merikolar mətbəəni işə salacaqlar... yumurta başlarını əyləndirmək üçün...
Sıfır cazibə qüvvəsində harada yuxarı və aşağı olduğunu sübut etməyə çalışın.
Dünən MƏDƏNİYYƏT mövzusunda gözəl bir film var idi, orada bu problem geniş şəkildə izah edilmişdir. Bəlkə onlarda hələ də var?
http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
Yandex-ə daxil olun və Perelman haqqında Film yazın və filmə gedin

Qriqori Perelman. refusenik

Vasili Maksimov

2006-cı ilin avqustunda, riyaziyyatçıların Alfred Nobelin şıltaqlığı ilə məhrum olduğu Nobel mükafatının bir növ analoqu olan nüfuzlu Fields medalını alan planetin ən yaxşı riyaziyyatçılarının adları açıqlandı. Fields medalı - fəxri nişandan əlavə, qaliblərə on beş min Kanada dolları məbləğində çek verilir - hər dörd ildən bir Beynəlxalq Riyaziyyatçılar Konqresi tərəfindən verilir. O, kanadalı alim Con Çarlz Filds tərəfindən yaradılmış və ilk dəfə 1936-cı ildə mükafatlandırılmışdır. 1950-ci ildən etibarən Fields medalı riyaziyyat elminin inkişafına verdiyi töhfəyə görə mütəmadi olaraq İspaniya Kralı tərəfindən verilir. Mükafat laureatları qırx yaşına çatmamış birdən dörd alim ola bilər. Artıq 44 riyaziyyatçı, o cümlədən səkkizi rusiyalı mükafatı alıb.

Qriqori Perelman. Henri Puankare.

2006-cı ildə fransalı Vendelin Verner, avstraliyalı Terens Tao və iki rusiyalı - ABŞ-da işləyən Andrey Okunkov və Sankt-Peterburqdan olan alim Qriqori Perelman laureatlar olub. Ancaq son anda məlum oldu ki, Perelman bu nüfuzlu mükafatdan imtina edib - təşkilatçıların elan etdiyi kimi, "prinsipial səbəblərə görə".

Rus riyaziyyatçısının belə ekstravaqant hərəkəti onu tanıyan insanlar üçün heç də təəccüblü gəlməyib. O, ilk dəfə deyil ki, riyaziyyat üzrə mükafatlardan imtina edir, qərarını mərasim tədbirləri və adı ətrafında lazımsız hay-küyü sevməməsi ilə izah edir. 10 il əvvəl, 1996-cı ildə Perelman Avropa Riyaziyyat Konqresinin mükafatından imtina edərək, mükafata təqdim edilən elmi problem üzərində işi başa çatdırmadığını və bu, sonuncu hal olmadığını əsas gətirdi. Rus riyaziyyatçısı ictimai rəyə və elmi ictimaiyyətə zidd olaraq insanları təəccübləndirməyi həyatının məqsədinə çevirdi.

Qriqori Yakovleviç Perelman 13 iyun 1966-cı ildə Leninqradda anadan olub. Gənc yaşlarından dəqiq elmlərə həvəs göstərirdi, riyaziyyatı dərindən öyrənən məşhur 239 saylı orta məktəbi parlaq şəkildə bitirdi, çoxsaylı riyaziyyat olimpiadalarının qalibi oldu: məsələn, 1982-ci ildə sovet məktəblilərindən ibarət komandanın tərkibində iştirak etdi. Budapeştdə keçirilən Beynəlxalq Riyaziyyat Olimpiadasında. İmtahansız Perelman Leninqrad Universitetinin mexanika-riyaziyyat fakültəsinə daxil oldu və burada əla qiymətlərlə oxudu, bütün səviyyələrdə riyaziyyat müsabiqələrində qalib gəlməyə davam etdi. Universiteti fərqlənmə diplomu ilə bitirdikdən sonra Steklov adına Riyaziyyat İnstitutunun Sankt-Peterburq filialında aspiranturaya daxil olub. Onun elmi rəhbəri məşhur riyaziyyatçı akademik Aleksandrov idi. Qriqori Perelman namizədlik dissertasiyasını müdafiə edərək institutda, həndəsə və topologiya laboratoriyasında qaldı. Onun Aleksandrov fəzaları nəzəriyyəsi üzrə işi məlumdur, o, bir sıra mühüm fərziyyələrə dəlil tapa bilmişdir. Aparıcı Qərb universitetlərindən çoxsaylı təkliflərə baxmayaraq, Perelman Rusiyada işləməyə üstünlük verir.

Onun ən diqqətəlayiq uğuru 1904-cü ildə nəşr olunan və o vaxtdan bəri sübuta yetirilməmiş məşhur Puankare zənninin 2002-ci ildə həlli oldu. Perelman onun üzərində səkkiz il çalışıb. Puankare fərziyyəsi ən böyük riyazi sirrlərdən biri hesab olunurdu və onun həlli riyaziyyat elminin ən mühüm nailiyyəti hesab olunurdu: o, kainatın fiziki və riyazi əsaslarının problemlərinə dair tədqiqatları dərhal irəli aparardı. Planetin ən görkəmli ağılları onun həllini yalnız bir neçə onillikdən sonra proqnozlaşdırdılar və Kembricdəki Kley Riyaziyyat İnstitutu, Massaçusets, Puankare problemini minilliyin yeddi ən maraqlı həll edilməmiş riyazi problemi sırasına daxil etdi, hər birinin həlli üçün bir milyon dollar mükafat vəd edildi (Minilliyin Mükafat Problemləri). .

Fransız riyaziyyatçısı Henri Puankarenin (1854-1912) fərziyyəsi (bəzən problem adlanır) aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: hər hansı qapalı, sadəcə olaraq birləşdirilmiş üçölçülü fəza üçölçülü sferaya homeomorfdur. Aydınlaşdırmaq üçün aydın bir nümunədən istifadə edin: bir almanı rezin bantla sararsanız, o zaman, prinsipcə, lenti sıxaraq, almanı bir nöqtəyə sıxışdıra bilərsiniz. Əgər pişi eyni lentlə sararsanız, pişi və ya rezin parçanı cırmadan onu bir nöqtəyə qədər sıxa bilməzsiniz. Bu kontekstdə alma "sadəcə bağlı" fiqur adlanır, lakin pişi sadəcə olaraq bağlı deyil. Təxminən yüz il əvvəl Puankare ikiölçülü sferanın sadəcə bir-birinə bağlı olduğunu təsbit etdi və üçölçülü sferanın da sadəcə olaraq bağlı olduğunu irəli sürdü. Dünyanın ən yaxşı riyaziyyatçıları bu fərziyyəni sübut edə bilmədilər.

Kley İnstitutunun mükafatına layiq görülmək üçün Perelman öz həllini yalnız elmi jurnallardan birində dərc etməli idi və əgər iki il ərzində heç kim onun hesablamalarında səhv tapa bilməsə, onda həll yolu düzgün hesab ediləcəkdi. Lakin Perelman lap əvvəldən qaydalardan yayınaraq qərarını Los Alamos Elmi Laboratoriyasının preprint saytında dərc edib. Ola bilsin ki, o, hesablamalarında səhvin olmasından qorxurdu - buna bənzər bir hekayə artıq riyaziyyatda baş vermişdi. 1994-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Endryu Uayls Fermatın məşhur teoreminin həllini təklif etdi və bir neçə ay sonra onun hesablamalarında səhvin olduğu məlum oldu (baxmayaraq ki, sonradan düzəldildi və sensasiya hələ də davam etdi). Puankare fərziyyəsinin sübutunun rəsmi nəşri hələ də yoxdur, lakin Perelmanın hesablamalarının düzgünlüyünü təsdiqləyən planetin ən yaxşı riyaziyyatçılarının mötəbər rəyi var.

Fields medalı məhz Puankare problemini həll etdiyinə görə Qriqori Perelmana verilib. Lakin rus alimi, şübhəsiz ki, layiq olduğu mükafatdan imtina etdi. Ümumdünya Riyaziyyatçılar Birliyinin (WUM) prezidenti ingilis Con Ball, "Qreqori mənə dedi ki, özünü beynəlxalq riyaziyyat ictimaiyyətindən, bu cəmiyyətdən kənarda hiss edir və buna görə də mükafatı almaq istəmir". Madrid.

Qriqori Perelmanın elmi tamamilə tərk edəcəyi barədə şayiələr var: altı ay əvvəl o, doğma Steklov adına Riyaziyyat İnstitutundan istefa verib və deyirlər ki, daha riyaziyyatı öyrənməyəcək. Bəlkə də rus alimi hesab edir ki, məşhur fərziyyəni sübut etməklə elm üçün əlindən gələni edib. Bəs belə parlaq alim və qeyri-adi şəxsiyyətin düşüncə qatarını müzakirə etməyi kim öhdəsinə götürəcək?.. Perelman hər hansı şərhdən imtina edir və o, The Daily Telegraph qəzetinə deyib: “Deyə bildiklərimin heç biri ictimai maraq doğurmur”. Bununla belə, aparıcı elmi nəşrlər “Qriqori Perelman Puankare teoremini həll edərək, keçmişin və indinin ən böyük dahiləri ilə bir sırada dayanıb” xəbərini verərkən yekdilliklə qiymətləndirdi.

Aylıq ədəbi-publisistik jurnal və nəşriyyat.

Alimlər hesab edirlər ki, 38 yaşlı rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelman Puankare məsələsinin düzgün həllini təklif edib. Bunu Stenford Universitetinin riyaziyyat professoru Keyt Devlin Exeterdə (Böyük Britaniya) keçirilən elm festivalında deyib.

Puankare problemi (həmçinin problem və ya fərziyyə adlanır) yeddi ən vacib riyazi problemdən biridir və hər birinin həllinə görə bir milyon dollar mükafata layiq görülmüşdür. Riyazi fizika laboratoriyasının əməkdaşı Qriqori Perelmanın əldə etdiyi nəticələrə belə geniş diqqəti cəlb edən də məhz budur.

Dünyanın hər yerindən elm adamları Perelmanın nailiyyətləri haqqında Los Alamos Elmi Laboratoriyasının ilkin işlər arxivinin saytında müəllifin 2002-ci ilin noyabrında və 2003-cü ilin martında yerləşdirdiyi iki preprintdən (tam hüquqlu elmi nəşrdən əvvəlki məqalələr) öyrəndilər.

Kley İnstitutunun Elmi Məsləhət Şurasının qəbul etdiyi qaydalara görə, yeni fərziyyə ixtisaslaşdırılmış “beynəlxalq reputasiya” jurnalında dərc edilməlidir. Bundan əlavə, İnstitutun qaydalarına əsasən, mükafatın ödənilməsi ilə bağlı qərarı son nəticədə “riyaziyyat ictimaiyyəti” qəbul edir: sübut dərc edildikdən sonra iki il ərzində təkzib edilməməlidir. Hər bir sübut dünyanın müxtəlif ölkələrində riyaziyyatçılar tərəfindən yoxlanılır.

Puankare problemi

13 iyun 1966-cı ildə Leninqradda işçi ailəsində anadan olub. Məşhur 239 saylı orta məktəbi riyaziyyatı dərindən bitirib. 1982-ci ildə sovet məktəblilərindən ibarət komandanın tərkibində Budapeştdə keçirilən Beynəlxalq Riyaziyyat Olimpiadasında iştirak etmişdir. Leninqrad Dövlət Universitetinin riyaziyyat və mexanika fakültəsinə imtahansız daxil olub. O, fakültə, şəhər və ümumittifaq tələbə riyaziyyat olimpiadalarının qalibi olub. Lenin təqaüdü almışdır. Universiteti bitirdikdən sonra Perelman Steklov adına Riyaziyyat İnstitutunun Sankt-Peterburq filialında aspiranturaya daxil olur. Fizika-riyaziyyat elmləri namizədi. Riyazi fizika laboratoriyasında işləyir.

Puankare problemi, müxtəlif ölçülərə malik olan xüsusi bir şəkildə təşkil edilmiş boşluqlar adlanan manifold topologiyasının sahəsinə aiddir. İki ölçülü manifoldlar, məsələn, üçölçülü cisimlərin səthi nümunəsindən istifadə etməklə vizuallaşdırıla bilər - kürə (topun səthi) və ya torus (bir pişi səthi).

Şarın deformasiyaya uğraması (əyilməsi, burulması, dartılması, sıxılması, sıxılması, söndürülməsi və ya şişirilməsi) onun başına nə gələcəyini təsəvvür etmək asandır. Aydındır ki, yuxarıda göstərilən bütün deformasiyalarla top geniş diapazonda öz formasını dəyişəcək. Bununla belə, biz heç vaxt topun səthinin davamlılığını pozmadan, yəni qoparmadan onu dönərə (və ya əksinə) çevirə bilməyəcəyik. Bu halda topoloqlar kürənin (topun) torusa (donut) qeyri-homeomorf olduğunu deyirlər. Bu o deməkdir ki, bu səthlər bir-birinə uyğunlaşdırıla bilməz. Sadə dillə desək, kürə və torus topoloji xüsusiyyətlərinə görə fərqlidir. Və hava şarının səthi, bütün mümkün deformasiyaları altında, bir kürə üçün homeomorfdur, necə ki, xilasedici çarxın səthi torusa. Başqa sözlə, deşikləri olmayan hər hansı qapalı iki ölçülü səth iki ölçülü kürə ilə eyni topoloji xüsusiyyətlərə malikdir.

TOPOLOGİYA, uzanma, sıxılma və ya əyilmə kimi davamlı deformasiyalar altında saxlanılan fiqurların (və ya boşluqların) xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi ilə məşğul olan riyaziyyatın bir qolu. Davamlı deformasiya, heç bir qırılma (yəni fiqurun bütövlüyünün pozulması) və ya yapışdırılma (yəni onun nöqtələrinin müəyyən edilməsi) olmayan bir fiqurun deformasiyasıdır.
Bir həndəsi fiqurun digərinə TOPOLOJİK ÇEVİRİLMƏSİ, birinci fiqurun ixtiyari P nöqtəsinin digər fiqurun P' nöqtəsinə aşağıdakı şərtləri ödəyən xəritələşdirilməsidir: 1) birinci fiqurun hər bir P nöqtəsi bir və yalnız birinə uyğun olmalıdır. ikinci rəqəmin P' nöqtəsi və əksinə; 2) Xəritəçəkmə qarşılıqlı davamlı olmalıdır. Məsələn, eyni fiqura aid iki P və N nöqtəsi var. Əgər P nöqtəsi N nöqtəsinə doğru hərəkət edərkən, onların arasındakı məsafə sıfıra meyllidirsə, başqa bir fiqurun P' və N' nöqtələri arasındakı məsafə də sıfıra meyl etməlidir və əksinə.
HOMEOMORFİZM. Topoloji çevrilmələr zamanı bir-birinə çevrilən həndəsi fiqurlara homeomorf deyilir. Dairə və kvadratın sərhədi homeomorfdur, çünki onlar topoloji çevrilmə yolu ilə bir-birinə çevrilə bilər (yəni, qırılmadan və ya yapışdırılmadan əyilmək və uzanmaq, məsələn, kvadratın sərhədini onun ətrafında çəkilmiş dairəyə uzatmaq) . Hər hansı bir qapalı sadə (yəni, bir dairəyə homeomorf) əyrinin hər zaman bu bölgədə qalaraq bir nöqtəyə qədər büzülə biləcəyi bölgəyə sadə bağlı deyilir və bölgənin müvafiq xüsusiyyəti sadəcə bağlıdır. Əgər bu bölgənin hər hansı qapalı sadə əyrisi hər zaman bu bölgədə qalan bir nöqtəyə qədər büzülə bilmirsə, o zaman bölgə çoxalma bağlı, bölgənin müvafiq xüsusiyyəti isə çoxalma bağlı adlanır.

Puankarenin problemi üçölçülü manifoldlar üçün də eyni şeyi bildirir (sfera kimi iki ölçülü manifoldlar üçün bu nöqtə hələ 19-cu əsrdə sübut edilmişdir). Fransız riyaziyyatçısının qeyd etdiyi kimi, iki ölçülü kürənin ən mühüm xassələrindən biri onun üzərində uzanan hər hansı qapalı ilgəyin (məsələn, kəmənd) səthdən çıxmadan bir nöqtəyə çəkilə bilməsidir. Torus üçün bu, həmişə doğru deyil: onun dəliyindən keçən bir döngə ya torus qırılanda, ya da döngənin özü qırılanda bir nöqtəyə çəkiləcəkdir. 1904-cü ildə Puankare təklif etdi ki, əgər bir dövrə qapalı üçölçülü səthdə bir nöqtəyə büzülə bilirsə, onda belə bir səth üçölçülü sferaya homeomorfdur. Bu fərziyyəni sübut etmək son dərəcə çətin bir iş oldu.

Dərhal aydınlaşdıraq: qeyd etdiyimiz Puankare məsələsinin tərtibi heç də çox çətinlik çəkmədən təsəvvür edə biləcəyimiz üçölçülü kürədən deyil, üçölçülü kürədən, yəni dördlüyün səthindən danışır. -ölçülü top, onu təsəvvür etmək daha çətindir. Lakin 1950-ci illərin sonlarında birdən aydın oldu ki, yüksək ölçülü manifoldlarla işləmək üç və dörd ölçülü olanlarla müqayisədə daha asandır. Aydındır ki, aydınlığın olmaması riyaziyyatçıların tədqiqatlarında qarşılaşdıqları əsas çətinlikdən uzaqdır.

5 və daha yüksək ölçülər üçün Puankare probleminə bənzər bir problem 1960-cı ildə Stephen Smale, John Stallings və Andrew Wallace tərəfindən həll edildi. Lakin bu elm adamlarının istifadə etdiyi yanaşmalar dördölçülü manifoldlara tətbiq edilmir. Onlar üçün Puankare problemi yalnız 1981-ci ildə Maykl Fridman tərəfindən sübuta yetirilib. Üç ölçülü iş ən çətin olduğu ortaya çıxdı; Qriqori Perelman öz həllini təklif edir.

Qeyd edək ki, Perelmanın rəqibi var. 2002-ci ilin aprelində Britaniyanın Sauthempton Universitetinin riyaziyyat professoru Martin Danvudi Puankare probleminin həlli üçün öz metodunu təklif etdi və hazırda Kley İnstitutunun hökmünü gözləyir.

Mütəxəssislər hesab edirlər ki, Puankare məsələsinin həlli mürəkkəb üçölçülü obyektlərdə fiziki proseslərin riyazi təsvirində ciddi addım atmağa imkan verəcək və kompüter topologiyasının inkişafına yeni təkan verəcək. Qriqori Perelmanın təklif etdiyi üsul həndəsə və topologiyada yeni istiqamətin açılmasına səbəb olacaq. Sankt-Peterburqlu riyaziyyatçı Fields mükafatına layiq ola bilər (riyaziyyat üzrə verilməyən Nobel mükafatının analoqu).

Bu arada bəziləri Qriqori Perelmanın davranışını qəribə hesab edir. Britaniyanın “The Guardian” qəzeti yazır: “Çox güman ki, Perelmanın Puankare probleminin həllinə yanaşması düzgündür.Lakin hər şey o qədər də sadə deyil.Perelman əsərin tam hüquqlu elmi nəşr (preprints) kimi nəşr olunduğuna dair sübut təqdim etmir. Belə hesab edilmir).Və əgər insan Kley İnstitutundan mükafat almaq istəyirsə, bu lazımdır. Bundan başqa, o, ümumiyyətlə pula maraq göstərmir”.

Görünür, Qriqori Perelman üçün, əsl alim üçün olduğu kimi, əsas şey pul deyil. Əsl riyaziyyatçı “minilliyin problemləri” adlandırılan hər hansı bir problemi həll etmək üçün öz ruhunu şeytana satar.

Minilliyin siyahısı

8 avqust 1900-cü ildə Parisdə keçirilən Beynəlxalq Riyaziyyat Konqresində riyaziyyatçı David Hilbert XX əsrdə həll edilməli olduğuna inandığı problemlərin siyahısını açıqladı. Siyahıda 23 maddə var idi. İndiyədək onlardan 21-i öz həllini tapıb. Hilbertin siyahısında ən son həll edilən problem alimlərin 358 ildir həll edə bilmədiyi məşhur Fermat teoremi idi. 1994-cü ildə britaniyalı Endryu Uayls öz həllini təklif etdi. Doğru olduğu ortaya çıxdı.

Gilbertdən nümunə götürərək, keçən əsrin sonlarında bir çox riyaziyyatçılar 21-ci əsr üçün oxşar strateji vəzifələri formalaşdırmağa çalışdılar. Bu siyahılardan biri Boston milyarderi Landon T. Clay sayəsində geniş şəkildə tanındı. 1998-ci ildə onun vəsaiti ilə Kembricdə (Massaçusets, ABŞ) müasir riyaziyyatın bir sıra mühüm problemlərinin həllinə görə mükafatlar təsis edilmiş və təsis edilmişdir. 2000-ci il mayın 24-də institutun mütəxəssisləri yeddi problem seçdilər - mükafata ayrılan milyonlarla dolların sayına görə. Siyahı Minilliyin Mükafat Problemləri adlanır:

1. Kukun problemi (1971-ci ildə tərtib edilmişdir)

Deyək ki, siz böyük bir şirkətdə olduğunuz üçün dostunuzun da orada olduğundan əmin olmaq istəyirsiniz. Əgər sizə desələr ki, o, küncdə oturub, onda bir saniyəlik bir nəzər salmaq və məlumatın doğruluğuna əmin olmaq üçün kifayət edəcək. Bu məlumat olmadan, qonaqlara baxaraq bütün otaqda gəzmək məcburiyyətində qalacaqsınız. Bu, problemin həllinin həllin düzgünlüyünü yoxlamaqdan daha çox vaxt tələb etdiyini göstərir.

Stiven Kuk problemi formalaşdırdı: problemin həllinin düzgünlüyünü yoxlamaq, yoxlama alqoritmindən asılı olmayaraq həllin özünün əldə edilməsindən daha uzun çəkə bilər. Bu problem həm də məntiq və informatika sahəsində həllini tapmayan problemlərdən biridir. Onun həlli məlumatların ötürülməsi və saxlanmasında istifadə olunan kriptoqrafiyanın əsaslarında inqilab edə bilər.

2. Riemann hipotezi (1859-cu ildə tərtib edilmişdir)

Bəzi tam ədədləri iki kiçik tam ədədin hasili kimi ifadə etmək olmaz, məsələn, 2, 3, 5, 7 və s. Belə ədədlər sadə ədədlər adlanır və xalis riyaziyyatda və onun tətbiqlərində mühüm rol oynayır. Sadə ədədlərin bütün natural ədədlər silsiləsi arasında paylanması heç bir qanunauyğunluğa əməl etmir. Lakin alman riyaziyyatçısı Riemann sadə ədədlər ardıcıllığının xassələri ilə bağlı bir fərziyyə irəli sürdü. Riemann fərziyyəsi sübut olunarsa, bu, şifrələmə haqqında biliklərimizdə inqilabi dəyişikliyə və internet təhlükəsizliyində misli görünməmiş bir irəliləyişə səbəb olacaq.

3. Birç və Svinnerton-Dyer hipotezi (1960-cı ildə tərtib edilmişdir)

Tam əmsallı bir neçə dəyişənli bəzi cəbri tənliklərin həllər toplusunun təsviri ilə əlaqələndirilir. Belə tənliyə misal olaraq x 2 + y 2 = z 2 ifadəsini göstərmək olar. Evklid bu tənliyin həll yollarının tam təsvirini verdi, lakin daha mürəkkəb tənliklər üçün həll yollarını tapmaq olduqca çətin olur.

4. Hodge hipotezi (1941-ci ildə tərtib edilmişdir)

20-ci əsrdə riyaziyyatçılar mürəkkəb obyektlərin formasını öyrənmək üçün güclü bir üsul kəşf etdilər. Əsas ideya obyektin özünün əvəzinə bir-birinə yapışdırılmış və onun bənzərini təşkil edən sadə “kərpiclərdən” istifadə etməkdir. Hodge fərziyyəsi bu cür "tikinti blokları" və obyektlərin xüsusiyyətləri ilə bağlı bəzi fərziyyələrlə əlaqələndirilir.

5. Navier - Stokes tənlikləri (1822-ci ildə tərtib edilmişdir)

Bir göldə bir qayıqla üzsəniz, dalğalar yaranacaq və bir təyyarədə uçsanız, havada turbulent cərəyanlar yaranacaq. Bu və digər hadisələrin Navier-Stokes tənlikləri kimi tanınan tənliklərlə təsvir olunduğu güman edilir. Bu tənliklərin həlli yolları məlum deyil və hətta onların necə həll ediləcəyi də məlum deyil. Həllin mövcud olduğunu və kifayət qədər hamar bir funksiya olduğunu göstərmək lazımdır. Bu problemin həlli hidro- və aerodinamik hesablamaların aparılması üsullarını əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdirəcəkdir.

6. Puankare problemi (1904-cü ildə tərtib edilmişdir)

Bir almanın üzərinə rezin çəksəniz, bandı səthdən qaldırmadan yavaş-yavaş hərəkət etdirərək, onu bir nöqtəyə qədər sıxa bilərsiniz. Digər tərəfdən, eyni rezin bant bir pişi ətrafında uyğun şəkildə uzanırsa, lenti cırmadan və ya pişi qırmadan bandı bir nöqtəyə qədər sıxmaq üçün bir yol yoxdur. Deyirlər ki, almanın səthi sadəcə olaraq bağlıdır, amma pişiyin səthi deyil. Riyaziyyatçılar hələ də düzgün cavabı axtarırlar ki, yalnız sferanın sadəcə bağlı olduğunu sübut etmək o qədər çətin oldu.

7. Yang-Mills tənlikləri (1954-cü ildə tərtib edilmişdir)

Kvant fizikasının tənlikləri elementar hissəciklər dünyasını təsvir edir. Fiziklər Yanq və Mills həndəsə ilə hissəciklər fizikası arasındakı əlaqəni kəşf edərək tənliklərini yazdılar. Beləliklə, onlar elektromaqnit, zəif və güclü qarşılıqlı təsirlər nəzəriyyələrini birləşdirməyin yolunu tapdılar. Yang-Mills tənlikləri əslində bütün dünyada laboratoriyalarda müşahidə edilən hissəciklərin mövcudluğunu nəzərdə tuturdu, buna görə də Yang-Mills nəzəriyyəsi əksər fiziklər tərəfindən qəbul edilir, baxmayaraq ki, bu nəzəriyyə çərçivəsində hələ də proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. elementar hissəciklərin kütlələri.

Mixail Vitebski

“Problem həll olundu Perelman, böyük fransız riyaziyyatçısının 1904-cü ildə irəli sürdüyü fərziyyəni sübut etmək tələbidir Henri Puankare(1854-1912) və onun adını daşıyır. Puankarenin riyaziyyatdakı rolu haqqında ensiklopediyadakından daha yaxşı demək çətindir: “Puankarenin riyaziyyat sahəsindəki əsərləri bir tərəfdən klassik istiqaməti tamamlayır, digər tərəfdən isə inkişafa yol açır. yeni riyaziyyatın, burada kəmiyyət əlaqələri ilə yanaşı, keyfiyyət xarakterli faktlar da müəyyən edilir” (TSB, 3-cü nəşr, cild 2). Puankare fərziyyəsi məhz keyfiyyət xarakterlidir - aid olduğu və yaradılmasında Puankarenin həlledici rol oynadığı riyaziyyatın bütün sahəsi (yəni topologiya) kimi.

Müasir dildə Puankare fərziyyəsi belə səslənir: sərhədsiz hər bir sadə bağlanmış yığcam üçölçülü manifold üçölçülü sferaya homeomorfdur.

Növbəti paraqraflarda bu qorxunc şifahi formulun mənasını heç olmasa qismən və çox kobud şəkildə izah etməyə çalışacağıq. Başlamaq üçün qeyd edirik ki, adi bir topun səthi olan adi bir kürə iki ölçülüdür (və topun özü üç ölçülüdür). İki ölçülü kürə üçölçülü fəzanın sferaya aid olmayan, mərkəz adlanan bəzi seçilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrindən ibarətdir. Üçölçülü sfera, dördölçülü fəzanın mərkəzindən bərabər məsafədə olan (sferaya aid olmayan) bütün nöqtələrindən ibarətdir. İki ölçülü kürələrdən fərqli olaraq üçölçülü kürələr Mövcud deyil bizim bilavasitə müşahidəmizdir və onları təsəvvür etmək bizim üçün Vasili İvanoviçin məşhur zarafatdan kvadrat üçbucaqlı təsəvvür etmək kimi çətindir. Bununla belə, hamımızın üçölçülü sferada olmağımız, yəni Kainatımızın üçölçülü sfera olması mümkündür.

Nəticənin mənası budur Perelman fizika və astronomiya üçün. “Sadəcə birləşdirilmiş, kənarı olmayan kompakt üçölçülü manifold” termini Kainatımızın ehtimal olunan xüsusiyyətlərinin göstəricilərini ehtiva edir. “Homeomorf” termini müəyyən yüksək dərəcədə oxşarlıq, müəyyən mənada fərqlənməmək deməkdir. Bütövlükdə formula o deməkdir ki, əgər Kainatımız kənarı olmayan sadəcə birləşdirilmiş kompakt üçölçülü manifoldun bütün xüsusiyyətlərinə malikdirsə, o zaman - eyni "məlum mənada" - üç ölçülü sferadır.

Sadə bağlılıq anlayışı kifayət qədər sadə bir anlayışdır. Təsəvvür edək ki, bir rezin bant (yəni ucları yapışdırılmış rezin sap) o qədər elastikdir ki, onu tutmasanız, bir nöqtəyə qədər kiçilir. Biz həmçinin elastik bandımızdan tələb edəcəyik ki, bir nöqtəyə çəkildikdə, onu yerləşdirdiyimiz səthdən kənara çıxmasın. Belə bir elastik bandı bir təyyarədə uzatsaq və onu buraxsaq, dərhal bir nöqtəyə qədər kiçilir. Yer kürəsinin səthinə, yəni kürə üzərində elastik bir zolaq qoysaq, eyni şey baş verəcəkdir. Bir xilasetmə çarxının səthi üçün vəziyyət tamamilə fərqli olacaq: mehriban oxucu bu səthdə elastikin belə tənzimləmələrini asanlıqla tapa bilər ki, sözügedən səthdən kənara çıxmadan elastiki bir nöqtəyə çəkmək mümkün deyil. Bu fiqurun hüdudlarında yerləşən hər hansı qapalı kontur qeyd olunan hədlərdən kənara çıxmadan bir nöqtəyə büzülə bilirsə, həndəsi fiqur sadəcə bağlı adlanır. Biz bayaq gördük ki, təyyarə ilə kürə sadəcə bir-birinə bağlıdır, lakin xilasedici çarxın səthi sadəcə bir-birinə bağlı deyil. İçində deşik olan bir təyyarə də sadəcə olaraq bağlanmır. Sadəcə bağlılıq anlayışı üçölçülü fiqurlara da aiddir. Beləliklə, bir kub və top sadəcə birləşdirilir: onların qalınlığında yerləşən istənilən qapalı kontur bir nöqtəyə qədər büzülə bilər və büzülmə prosesində kontur həmişə bu qalınlıqda qalacaqdır. Ancaq simit sadəcə bağlanmır: onda siz bir nöqtəyə qədər büzülməsi mümkün olmayan bir kontur tapa bilərsiniz ki, büzülmə zamanı kontur həmişə simit xəmirində olsun. Simit də monoconnected deyil. Üçölçülü sferanın sadəcə olaraq bağlı olduğunu sübut etmək olar.

Ümid edirik ki, oxucu məktəbdə öyrədilən seqment və interval arasındakı fərqi unutmamışdır. Seqmentin iki ucu var, bu uclardan və onların arasında yerləşən bütün nöqtələrdən ibarətdir. Interval yalnız ucları arasında yerləşən bütün nöqtələrdən ibarətdir; ucların özləri intervala daxil edilmir: deyə bilərik ki, interval ucları ondan çıxarılan bir seqmentdir və seqment ucları əlavə edilmiş bir intervaldır. o. İnterval və seqment birölçülü kollektorların ən sadə nümunələridir, burada interval kənarı olmayan, seqment isə kənarı olan manifolddur; seqment halında bir kənar iki ucdan ibarətdir. Kollektorların onların tərifinin əsasını təşkil edən əsas xüsusiyyəti odur ki, manifoldda kənardakı nöqtələr istisna olmaqla (mövcud olmaya bilər) bütün nöqtələrin məhəllələri tam eyni şəkildə düzülür.

Bu halda, A nöqtəsinin qonşuluğu bu A nöqtəsinə yaxın olan bütün nöqtələrin toplusudur. Kenarı olmayan bir manifoldda yaşayan və bu manifoldun yalnız özünə ən yaxın nöqtələrini görə bilən mikroskopik bir məxluq bunu edə bilməz. varlığın hansı məqamda olduğunu müəyyən et: öz ətrafında həmişə eyni şeyi görür. Kenarı olmayan bir ölçülü manifoldların daha çox nümunəsi: bütün düz xətt, bir dairə. Kollektor olmayan bir ölçülü fiqurun nümunəsi T hərfi şəklində bir xəttdir: xüsusi bir nöqtə var, qonşuluğu digər nöqtələrin qonşuluğuna bənzəmir - bu, üç nöqtənin olduğu nöqtədir. seqmentlər görüşür. Bir ölçülü manifoldun başqa bir nümunəsi səkkiz rəqəmdir; Burada xüsusi bir nöqtədə dörd xətt birləşir. Təyyarə, kürə və xilasetmə dəstəsinin səthi kənarı olmayan iki ölçülü manifoldlara misaldır. İçində kəsilmiş bir çuxur olan bir təyyarə də bir manifold olacaq - lakin kənarı olan və ya olmayan, çuxurun konturunu harada yerləşdirməyimizdən asılıdır. Bir çuxura istinad etsək, kənarı olmayan bir manifold alırıq; konturu müstəvidə tərk etsək, kənarı olan bir manifold alırıq, bu kontur nə kimi xidmət edəcəkdir. Təbii ki, burada ideal riyazi kəsməni nəzərdə tuturduq və qayçı ilə real fiziki kəsimdə konturun hara aid olması sualının heç bir mənası yoxdur.

Üç ölçülü manifoldlar haqqında bir neçə söz. Kürə onun səthi rolunu oynayan kürə ilə birlikdə kənarı olan manifolddur; göstərilən kürə məhz bu kənardır. Bu topu ətrafdakı boşluqdan çıxarsaq, kənarı olmayan bir manifold alırıq. Bir topun səthini soysaq, riyazi jarqonda “qumlanmış top”, daha çox elmi dildə açıq top adlanan şeyi əldə edirik. Ətrafdakı boşluqdan açıq bir topu çıxarsaq, kənarı olan bir manifold alırıq və kənar topdan qopardığımız kürə olacaqdır. Simit qabığı ilə birlikdə kənarı olan üçölçülü manifolddur və qabığını qoparsanız (bunu sonsuz nazik, yəni səth kimi qəbul edirik), qabığında kənarı olmayan bir manifold alırıq. "zımparalanmış simit" forması. Bütövlükdə bütün məkan, əgər onu orta məktəbdə başa düşüldüyü kimi başa düşsək, kənarı olmayan üçölçülü manifolddur.

Yığcamlığın riyazi anlayışı “yığcam” sözünün gündəlik rus dilində olan mənasını qismən əks etdirir: “yaxın”, “sıxılmış”. Həndəsi fiqur, onun nöqtələrinin sonsuz sayda hər hansı düzülüşü üçün eyni fiqurun nöqtələrindən birinə və ya bir çox nöqtəsinə toplanırsa, yığcam adlanır. Seqment yığcamdır: onun seqmentindəki hər hansı sonsuz nöqtələr dəsti üçün ən azı bir sözdə limit nöqtəsi var, hər hansı qonşuluqda nəzərdən keçirilən çoxluğun sonsuz sayda elementi var. Bir interval yığcam deyil: onun sonuna doğru və yalnız ona doğru yığılan nöqtələr toplusunu təyin edə bilərsiniz - lakin son intervala aid deyil!

Yer azlığına görə bu şərhlə məhdudlaşacağıq. Tutaq ki, nəzərdən keçirdiyimiz nümunələrdən yığcam olanlar seqment, dairə, kürə, simit və simit səthləri, top (kürəsi ilə birlikdə), simit və simit (birlikdə) onun qabıqları). Bunun əksinə olaraq, interval, təyyarə, qumlu top, simit və simit yığcam deyil. Kənarı olmayan üçölçülü yığcam həndəsi fiqurlar arasında ən sadəsi üçölçülü kürədir, lakin bu cür fiqurlar bizim adi “məktəb” məkanımıza sığmır. Bəlkə də fərziyyə ilə əlaqəli olan bu anlayışların ən dərini Puankare, homeomorfiya anlayışıdır. Homeomorfiya həndəsi eyniliyin ən yüksək səviyyəsidir . İndi biz bu anlayışa tədricən yaxınlaşaraq onun təxmini izahını verməyə çalışacağıq.

Artıq məktəb həndəsəsində biz iki növ eyniliyə rast gəlirik - fiqurların uyğunluğu və onların oxşarlığı. Xatırladaq ki, rəqəmlər üst-üstə qoyulduqda bir-biri ilə üst-üstə düşürsə konqruent adlanır. Məktəbdə konqruent fiqurlar sanki fərqlənmir və ona görə də uyğunluq bərabərlik adlanır. Konqruent fiqurlar bütün detallarında eyni ölçülərə malikdir. Eyni ölçü tələb etmədən oxşarlıq bu ölçülərin eyni nisbətlərini bildirir; buna görə də oxşarlıq fiqurların uyğunluqdan daha əsaslı oxşarlığını əks etdirir.Ümumiyyətlə, həndəsə fizikadan daha yüksək abstraksiya səviyyəsidir, fizika isə materialşünaslıqdan yüksəkdir.

Məsələn, bilyard topu, kroket topu və topu götürün. Fizika onların hazırlandığı material kimi təfərrüatları araşdırmır, ancaq həcm, çəki, elektrik keçiriciliyi və s. kimi xassələrlə maraqlanır. Riyaziyyat üçün onların hamısı yalnız ölçüləri ilə fərqlənən toplardır. Topların müxtəlif ölçüləri varsa, metrik həndəsə üçün onlar fərqlidir, lakin oxşarlıq həndəsəsi üçün hamısı eynidir. Həndəsə baxımından bütün toplar və bütün kublar oxşardır, lakin top və kub eyni deyil.

İndi torusa baxaq. Üst forması sükan çarxı və xilasedici çarx kimi formalaşan həndəsi fiqurdur. Ensiklopediyada bir torus, dairənin xaricində yerləşən bir ox ətrafında bir dairənin fırlanması ilə əldə edilən bir fiqur olaraq təyin olunur. Biz mehriban oxucunu başa düşməyə çağırırıq ki, top və kub onların hər biri ilə torusla müqayisədə bir-birinə “daha çox bənzəyir”. Aşağıdakı düşüncə təcrübəsi bizə bu intuitiv şüuru dəqiq məna ilə doldurmağa imkan verir. Təsəvvür edək ki, o qədər elastik materialdan hazırlanmış bir topu əymək, uzatmaq, sıxmaq və ümumiyyətlə, istədiyiniz şəkildə deformasiya etmək olar - sadəcə cırmaq və ya yapışdırmaq olmaz. Aydındır ki, sonra top kuba çevrilə bilər, ancaq torusa çevrilmək mümkün deyil. Uşakovun izahlı lüğətində simit B hərfi şəklində xəmir (hərfi mənada: kərə yağı ilə bükülmüş çörək kimi) kimi müəyyən edilir. Bu gözəl lüğətə hörmətlə yanaşsaq, “8 rəqəmi şəklində” sözləri mənə daha çox görünür. dəqiq; Lakin homeomorfiya məfhumunda ifadə olunan nöqteyi-nəzərdən 8 rəqəmi şəklində bişirmə, B hərfi şəklində bişirmə və fitə şəklində bişirmə eyni formadadır. Çörəkçilərin yuxarıda qeyd olunan elastiklik xüsusiyyətlərinə malik olan xəmiri əldə edə bildiyini fərz etsək belə, bir çörək mümkün deyil - gözyaşardıcı və yapışqan olmadan! - nə simit, nə də simit halına salın, eynilə son iki bişmiş mal bir-birinə çevrilir. Ancaq sferik çörəyi kub və ya piramidaya çevirə bilərsiniz. Xeyirxah oxucu, şübhəsiz ki, nə çörək, nə simit, nə də simit çevirmək mümkün olmayan mümkün bişirmə formasını tapa biləcəkdir.

Bu anlayışı adlandırmadan biz artıq homeomorfiya ilə tanış olmuşuq. Biri davamlı (yəni qırılmadan və yapışdırmadan) deformasiya ilə digərinə çevrilə bilsə, iki fiqur homeomorf adlanır; belə deformasiyaların özləri homeomorfizmlər adlanır. Biz indicə bildik ki, top kub və piramida üçün homeomorfdur, lakin nə torus, nə də simit üçün homeomorf deyil və son iki cisim bir-birinə homeomorf deyil. Oxucudan anlamasını xahiş edirik ki, biz mexaniki çevrilmə baxımından verilən homeomorfiya anlayışının yalnız təxmini təsvirini vermişik.

Homeomorfiya anlayışının fəlsəfi tərəfinə toxunaq. Təsəvvür edək ki, hansısa həndəsi fiqurun içində yaşayan düşünən varlıq və yox bu rəqəmə kənardan, “kənardan” baxmaq imkanının olması. Onun üçün yaşadığı fiqur Kainatı təşkil edir. Onu da təsəvvür edək ki, əhatə edən fiqur davamlı deformasiyaya məruz qaldıqda, onunla birlikdə varlıq deformasiyaya uğrayır. Əgər sözügedən fiqur topdursa, o zaman məxluq onun topda, kubda və ya piramidada olduğunu heç bir şəkildə ayırd edə bilməz. Bununla belə, onun Kainatının torus və ya simit kimi formalaşmadığına əmin olması mümkündür. Ümumiyyətlə, məxluq onu əhatə edən məkanın formasını yalnız homeomorfiyə qədər qura bilir, yəni bir formanı digərindən ayıra bilmir, nə qədər ki, bu formalar homeomorfdur.

Riyaziyyat üçün hipotezin mənası Puankareİndi bir fərziyyədən Puankare-Perelman teoreminə çevrilən , nəhəngdir (problemin həlli üçün bir milyon dollar təklif edilməsi əbəs yerə deyil), Perelmanın onu sübut etmək üçün tapdığı metodun əhəmiyyəti böyük olduğu kimi, lakin bu əhəmiyyəti burada izah etmək bizim imkanımız xaricindədir. Məsələnin kosmoloji tərəfinə gəlincə, bəlkə də bu cəhətin əhəmiyyəti jurnalistlər tərəfindən bir qədər şişirdilib.

Bununla belə, bəzi nüfuzlu ekspertlər deyirlər ki, Perelmanın elmi kəşfi qara dəliklərin əmələ gəlməsi proseslərinin öyrənilməsinə kömək edə bilər. Yeri gəlmişkən, qara dəliklər dünyanın bilinməsi haqqında tezisin birbaşa təkzibi rolunu oynayır - 70 il ərzində bizim kasıb başlarımıza zorla vurulan ən qabaqcıl, yeganə doğru və hər şeyə qadir olan təlimin mərkəzi müddəalarından biridir. Axı, fizikanın öyrətdiyi kimi, bu dəliklərdən heç bir siqnal bizə prinsipcə çata bilməz, ona görə də orada nə baş verdiyini öyrənmək mümkün deyil. Biz ümumiyyətlə Kainatımızın necə işlədiyi barədə çox az şey bilirik və bunu nə vaxtsa öyrənəcəyimiz şübhəlidir. Və onun strukturu ilə bağlı sualın mənası tam aydın deyil. Mümkündür ki, bu sual, təlimə görə, onlardan biridir Budda, yox cavabı var. Fizika yalnız məlum faktlarla az-çox razılaşan cihazların modellərini təklif edir. Bu vəziyyətdə, fizika, bir qayda olaraq, riyaziyyatın ona verdiyi artıq hazırlanmış hazırlıqlardan istifadə edir.

Riyaziyyat, əlbəttə ki, Kainatın hər hansı həndəsi xassələrini təyin etmək iddiasında deyil. Lakin o, başqa elmlərin kəşf etdiyi xassələri dərk etməyə imkan verir. Üstəlik. Təsəvvür etmək çətin olan bəzi xüsusiyyətləri daha başa düşülən etməyə imkan verir, bunun necə ola biləcəyini izah edir. Belə mümkün (vurğulayırıq: sadəcə mümkündür!) xassələrə Kainatın sonluluğu və onun istiqamətləndirilməməsi daxildir.

Uzun müddət Kainatın həndəsi quruluşunun yeganə təsəvvür edilən modeli üçölçülü Evklid fəzası, yəni orta məktəbdən hər kəsə məlum olan fəza idi. Bu məkan sonsuzdur; görünür ki, başqa ideyalar mümkün deyil; Kainatın sonluğu haqqında düşünmək dəli kimi görünürdü. Ancaq indi Kainatın sonluğu ideyası onun sonsuzluğu ideyasından az qanuni deyil. Xüsusilə, üç ölçülü sfera sonludur. Fiziklərlə ünsiyyətdən məndə elə təəssürat yarandı ki, bəziləri “çox güman ki. Kainat sonsuzdur”, digərləri isə “çox güman ki, Kainat sonludur” dedi.

Uspensky V.A. , Riyaziyyatın üzr istəməsi və ya mənəvi mədəniyyətin bir hissəsi kimi riyaziyyat haqqında, “Yeni Dünya” jurnalı, 2007, N 12, səh. 141-145.

Demək olar ki, hər bir insan, hətta riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayanlar belə, “Puankare zənni” sözlərini eşitmişlər, lakin hər kəs onun mahiyyətinin nə olduğunu izah edə bilmir. Çoxları üçün ali riyaziyyat çox mürəkkəb və anlaşılmaz bir şey kimi görünür. Buna görə də gəlin Puankare fərziyyəsinin sadə sözlərlə nə demək olduğunu anlamağa çalışaq.

Məzmun:

Puankarenin fərziyyəsi nədir?

Fərziyyənin orijinal formalaşdırılması belə səslənir: “ Sərhədsiz sadə birləşdirilmiş üçölçülü manifoldun hər biri üçölçülü sferaya homeomorfdur.».

Top həndəsi üç ölçülü cisimdir, onun səthi kürə adlanır, iki ölçülüdür və bu sferaya aid olmayan bir nöqtədən - topun mərkəzindən bərabər məsafədə olan üç ölçülü fəzanın nöqtələrindən ibarətdir. . İki ölçülü kürələrlə yanaşı, dördölçülü fəzanın bir çox nöqtələrindən ibarət üçölçülü kürələr də var ki, onlar da sferaya aid olmayan bir nöqtədən - onun mərkəzindən bərabər məsafədə yerləşirlər. İki ölçülü kürələri öz gözlərimizlə görə biliriksə, üç ölçülü olanlar vizual qavrayışımıza tabe deyildir.

Kainatı görmək imkanımız olmadığı üçün onun bütün bəşəriyyətin yaşadığı üçölçülü sfera olduğunu düşünə bilərik. Puankare zənninin mahiyyəti budur. Məhz, Kainatın aşağıdakı xüsusiyyətləri var: üçölçülülük, hüdudsuzluq, sadəcə bağlılıq, yığcamlıq. Fərziyyədəki "homeomorfiya" anlayışı Kainat vəziyyətində ən yüksək dərəcədə oxşarlıq, oxşarlıq deməkdir - fərq edilməzlik.

Puancare kimdir?

Jül Henri Puankare- 1854-cü ildə Fransada anadan olmuş ən böyük riyaziyyatçı. Onun maraqları təkcə riyaziyyat elmi ilə məhdudlaşmırdı, o, fizika, mexanika, astronomiya və fəlsəfəni öyrənirdi. O, dünyanın 30-dan çox elmi akademiyasının, o cümlədən Sankt-Peterburq Elmlər Akademiyasının üzvü olub. Bütün dövrlərin və xalqların tarixçiləri David Hilbert və Henri Puancaré-ni dünyanın ən böyük riyaziyyatçıları sırasına daxil edirlər. 1904-cü ildə alim bu gün “Puankare fərziyyəsi” kimi tanınan bir fərziyyəni ehtiva edən məşhur bir məqalə dərc etdi. Riyaziyyatçılar üçün öyrənilməsi çox çətin olan üçölçülü fəza idi; digər hallar üçün dəlil tapmaq çətin deyildi. Təxminən bir əsr ərzində bu teoremin doğruluğu sübuta yetirildi.

21-ci əsrin əvvəllərində minilliyin problemləri siyahısına daxil edilmiş bu elmi problemin həlli üçün Kembricdə bir milyon ABŞ dolları məbləğində mükafat təsis edildi. Bunu yalnız Peterburqdan olan rus riyaziyyatçısı Qriqori Perelman üç ölçülü sfera üçün edə bildi. 2006-cı ildə bu nailiyyətinə görə Fields medalı ilə təltif olundu, lakin o, onu almaqdan imtina etdi.

Puankarenin elmi fəaliyyətinin məziyyətlərinə Aşağıdakı nailiyyətlərə aid edilə bilər:

topologiyanın əsası (müxtəlif hadisə və proseslərin nəzəri əsaslarının işlənməsi);
diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsinin yaradılması;
xüsusi nisbilik nəzəriyyəsinin əsasını təşkil edən amorf funksiyalar nəzəriyyəsinin inkişafı;
qayıdış teoreminin irəli sürülməsi;
səma mexanikasının ən son, ən təsirli üsullarının işlənib hazırlanması.

Hipotezin sübutu

Sadəcə birləşdirilmiş üçölçülü fəza həndəsi xüsusiyyətlərə malikdir və bucaqlar yaratmaq üçün aralarında məsafə olan metrik elementlərə bölünür. Sadələşdirmək üçün nümunə olaraq birölçülü manifoldu götürürük ki, burada Evklid müstəvisində hamar qapalı əyriyə hər nöqtədə 1-ə bərabər olan tangens vektorları çəkilir.Əyri boyunca hərəkət edərkən vektor müəyyən bucaq sürəti ilə fırlanır. əyriliyə bərabərdir. Xətt nə qədər çox əyilirsə, əyrilik də bir o qədər çox olur. Sürət vektoru xəttin ayırdığı müstəvinin içərisinə doğru fırlanırsa əyrilik müsbət mailliyə, xaricə fırlanırsa mənfi yamaclı olur. Bükülmə yerlərində əyrilik 0-a bərabərdir. İndi əyrinin hər bir nöqtəsinə bucaq sürət vektoruna perpendikulyar və əyriliyin dəyərinə bərabər uzunluqlu bir vektor təyin edilir. Əyrilik müsbət olduqda içəriyə, mənfi olduqda isə xaricə çevrilir. Müvafiq vektor təyyarədəki hər bir nöqtənin hərəkət istiqamətini və sürətini təyin edir. Hər hansı bir yerdə qapalı bir əyri çəksəniz, belə bir təkamüllə bir dairəyə çevriləcəkdir. Bu, sübut edilməli olan üçölçülü məkan üçün doğrudur.

Misal: Qırılmadan deformasiya edildikdə, bir şar müxtəlif formalarda edilə bilər. Ancaq simit hazırlaya bilməzsiniz, bunu etmək üçün sadəcə kəsmək lazımdır. Və əksinə, bir simit varsa, möhkəm bir top edə bilməzsiniz. Baxmayaraq ki, hər hansı digər səthdən deformasiya zamanı kəsiklər olmadan kürə əldə etmək mümkündür. Bu, bu səthin topa homeomorf olduğunu göstərir. Hər hansı bir top bir düyünlə bir iplə bağlana bilər, ancaq pişi ilə bunu etmək mümkün deyil.

Top deformasiyaya uğraya və bir nöqtəyə və əksinə qatlana bilən ən sadə üç ölçülü müstəvidir.

Vacibdir! Puankare zənnində deyilir ki, qapalı n-ölçülü manifold homeomorfdursa, n-ölçülü sferaya ekvivalentdir. Çoxölçülü müstəvilər nəzəriyyəsinin inkişafında başlanğıc nöqtəsi oldu.