Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича привеждане на моном в стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решения на примери с подробни обяснения.
Навигация в страницата.
Какво означава да се намали един моном до стандартна форма?
Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но много често мономите се задават във форма, различна от стандартната. В тези случаи винаги можете да преминете от оригиналния моном към моном със стандартна форма чрез извършване на трансформации на идентичност. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича редуциране на монома до стандартна форма.
Нека обобщим горните аргументи. Редуцирайте монома до стандартна форма- това означава извършване на идентични трансформации с него, така че да приеме стандартна форма.
Как да приведа моном в стандартна форма?
Време е да разберем как да редуцираме мономи до стандартна форма.
Както е известно от определението, мономи нестандартен типса продукти на числа, променливи и техните степени и евентуално повтарящи се такива. И един моном от стандартната форма може да съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как да приведем продукти от първия тип към типа на втория?
За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:
- Първо се извършва групиране на числени фактори, както и идентични променливи и техните мощности;
- Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.
В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартна форма.
Примери, решения
Остава само да се научим да прилагаме правилото от предходния параграф при решаване на примери.
Пример.
Редуцирайте монома 3 x 2 x 2 до стандартна форма.
Решение.
Нека групираме числови фактори и фактори с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3·2)·(x·x 2) . Произведението на числата в първите скоби е равно на 6, а правилото за умножение на степени с еднакви основи позволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6 x 3.
Ето кратко резюме на решението: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.
Отговор:
3 x 2 x 2 =6 x 3.
И така, за да приведете един моном в стандартна форма, трябва да можете да групирате фактори, да умножавате числа и да работите със степени.
За да консолидираме материала, нека решим още един пример.
Пример.
Представете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.
Решение.
Оригиналният моном има единичен числов множител в своето обозначение -1, нека го преместим в началото. След това отделно ще групираме факторите с променливата a, отделно с променливата b и няма с какво да групираме променливата m, ще я оставим както е, имаме 
. След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, от която можем да видим, че коефициентът на монома е равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .
В този урок ще дадем строга дефиниция на моном и ще разгледаме различни примери от учебника. Нека си припомним правилата за умножение на степени с еднакви основи. Нека дефинираме стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквена част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно привеждане до стандартна форма и изчисляване на конкретна числена стойност на мономи за дадени стойности на включените в него буквални променливи. Нека формулираме правило за редуциране на моном до стандартна форма. Да се научим да решаваме типични задачис всякакви мономи.
Предмет:Мономи. Аритметични действия върху мономи
Урок:Концепцията за моном. Стандартен изгледмоном
Помислете за някои примери:
3. 
;
Ще намерим Общи чертиза дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това даваме мономиална дефиниция : моном се нарича нещо подобно алгебричен израз, който се състои от произведението на степени и числа.
Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:
Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции ги няма.
Ето още няколко примера:
Израз номер 8 е моном, защото е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.
Сега нека разберем действия върху мономи .
1. Опростяване. Да разгледаме пример №3 ;и пример № 2 /
Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " А" се представя в едно копие като "", по подобен начин променливите "" и "" се появяват само веднъж.
В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се появява два пъти. Тоест този израз трябва да бъде опростен, така стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се редуцират мономи до стандартна форма . За да направим това, ще редуцираме израза от Пример 3 до стандартна форма, след което ще дефинираме тази операция и ще научим как да редуцираме всеки моном до стандартна форма.
Така че, помислете за пример:
Първото действие в операцията за привеждане до стандартна форма винаги е да се умножат всички числови множители:
;
Резултатът от това действие ще бъде извикан коефициент на монома .
След това трябва да умножите правомощията. Нека умножим степените на променливата " х„според правилото за умножение на степени с еднакви основи, което гласи, че при умножение степените се събират:
Сега нека умножим правомощията " при»:
;
И така, ето един опростен израз:
;
Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :
Умножете всички числени фактори;
Поставете получения коефициент на първо място;
Умножете всички степени, т.е. получете буквената част;
Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че едночлените, които имат една и съща буквена част, се наричат подобни.
Сега трябва да тренираме техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:
Задача: приведете монома в стандартна форма, назовете коефициента и буквената част.
За изпълнение на задачата ще използваме правилото за привеждане на моном до стандартен вид и свойствата на степените.
1. 
;
3. 
;
Коментари по първия пример: Първо, нека определим дали този израз наистина е моном, нека проверим дали съдържа операции на умножение на числа и степени и дали съдържа операции на събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. След това, съгласно правилото за редуциране на моном до стандартна форма, умножаваме числените множители:
- намерихме коефициента на даден моном;
; ; ; тоест получава се буквалната част на израза:;
Нека запишем отговора: ;
Коментари по втория пример: Следвайки правилото, което изпълняваме:
1) умножете числови фактори:
2) умножете правомощията:
Променливите са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:
Нека запишем отговора:
;
В този пример коефициентът на монома е равен на едно, а буквената част е .
Коментари към третия пример: аПодобно на предишните примери, извършваме следните действия:
1) умножете числови фактори:
;
2) умножете правомощията:
;
Нека запишем отговора: ;
IN в такъв случайкоефициентът на монома е "", а буквалната част 
.
Сега нека помислим втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат специфични числови стойности, тогава имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следващата операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .
Нека разгледаме един пример. Даден моном:
този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквената част
По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които са включени в него, не могат да приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви характеристики на монома.
И така, в даден примеризисква се да се изчисли стойността на монома при , , , .
Мономите са произведения на числа, променливи и техните степени. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Мономът 5aa2b2b може да се редуцира до формата 20a^2b^2. Това означава, че стандартният вид на монома е произведението на коефициента (който е първи) и степените на. променливите. Коефициенти 1 и -1 не се изписват, но се запазва минус от -1. Моном и неговата стандартна форма
Изразите 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x са произведения на числа, променливи и техните степени. Такива изрази се наричат мономи. Числата, променливите и техните степени също се считат за мономи.
Например изразите 8, 35,y и y2 са мономи.
Стандартната форма на монома е моном под формата на произведение на числен фактор на първо място и степени на различни променливи. Всеки моном може да бъде редуциран до стандартна форма чрез умножаване на всички променливи и числа, включени в него. Ето пример за редуциране на моном до стандартна форма:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Численият фактор на монома, записан в стандартна форма, се нарича коефициент на монома. Например, коефициентът на монома -7x2y2 е равен на -7. Коефициентите на мономите x3 и -xy се считат за равни на 1 и -1, тъй като x3 = 1x3 и -xy = -1xy
Степента на монома е сумата от показателите на всички променливи, включени в него. Ако един моном не съдържа променливи, т.е. той е число, тогава неговата степен се счита за равна на нула.
Например степента на монома 8x3yz2 е 6, монома 6x е 1, а степента на -10 е 0.
Умножение на мономи. Повдигане на мономи на степени
При умножаване на мономи и повишаване на мономи на степен се използват правилото за умножение на степени с една и съща основа и правилото за повишаване на степен на степен. Това създава моном, който обикновено се представя в стандартна форма.
Например
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Степен на моном
За монома съществува понятието степен. Нека да разберем какво е то.
Определение.
Степен на мономстандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в неговия запис; ако в нотацията на монома няма променливи и той е различен от нула, тогава неговата степен се счита за равна на нула; числото нула се счита за моном, чиято степен е недефинирана.
Определянето на степента на монома ви позволява да дадете примери. Степента на монома a е равна на едно, тъй като a е a 1. Степента на монома 5 е нула, тъй като той е различен от нула и неговият запис не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е моном от осма степен, тъй като сумата от показателите на всички променливи a, x и y е равна на 2+1+3+2=8.
Между другото, степента на моном, който не е записан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном от стандартна форма. За да илюстрираме това, нека изчислим степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4, неговата степен е 8+4=12. Така степента на първоначалния моном е 12.
Мономен коефициент
Моном в стандартна форма, който има поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един числен фактор - числен коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формулираме горните аргументи под формата на определение.
Определение.
Мономен коефициенте численият фактор на моном, записан в стандартна форма.
Сега можем да дадем примери за коефициенти на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5·a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2,3)·x·y·z има коефициент от −2,3.
Специално внимание заслужават коефициентите на мономите, равни на 1 и −1. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономите със стандартна форма, които нямат числен фактор в записа си, е равен на единица. Например мономи a, x·z 3, a·t·x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1·a, x·z 3 - като 1·x·z 3 и т.н.
По същия начин, коефициентът на мономи, чиито записи в стандартна форма нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например мономи −x, −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1, тъй като −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и така нататък.
Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи от стандартната форма, които са числа без буквени множители. Коефициентите на такива мономи-числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.
Библиография.
- Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Мономите са един от основните типове изрази, изучавани в училищния курс по алгебра. В този материал ще ви кажем какво представляват тези изрази, ще дефинираме тяхната стандартна форма и ще покажем примери, а също така ще разберем свързани понятия, като степента на монома и неговия коефициент.
Какво е моном
Училищните учебници обикновено дават следното определение на това понятие:
Определение 1
Мономите включватчисла, променливи, както и техните степени с естествени показатели и различни видовепроизведения, съставени от тях.
Въз основа на това определение можем да дадем примери за такива изрази. Така всички числа 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 ще бъдат едночлени. Всички променливи, например x, a, b, p, q, t, y, z, също ще бъдат мономи по дефиниция. Това също включва степени на променливи и числа, например 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 и t 15, както и изрази от вида 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.н. Моля, обърнете внимание, че един моном може да съдържа едно число или променлива, или няколко, и те могат да бъдат споменати няколко пъти в един полином.
Такива видове числа като цели числа, рационални числа и естествени числа също принадлежат към мономи. Можете също да включите валидни и комплексни числа. По този начин изрази от формата 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 също ще бъдат мономи.
Каква е стандартната форма на моном и как да преобразуваме израз към нея
За по-лесно използване всички мономи първо се редуцират до специална форма, наречена стандартна. Нека формулираме конкретно какво означава това.
Определение 2
Стандартна форма на мономасе нарича неговата форма, в която е продукт на числен множител и естествени степени на различни променливи. Численият фактор, наричан още коефициент на монома, обикновено се записва първо от лявата страна.
За по-голяма яснота нека изберем няколко монома от стандартната форма: 6 (това е моном без променливи), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Това включва и израза x y(тук коефициентът ще бъде равен на 1), − x 3(тук коефициентът е - 1).
Сега даваме примери за мономи, които трябва да бъдат доведени до стандартна форма: 4 а 2 а 3(тук трябва да комбинирате същите променливи), 5 x (− 1) 3 y 2(тук трябва да комбинирате числените фактори отляво).
Обикновено, когато един моном има няколко променливи, написани с букви, буквените фактори се записват по азбучен ред. Например, за предпочитане е да пишете 6 a b 4 c z 2, как b 4 6 a z 2 c. Редът обаче може да е различен, ако целта на изчислението го изисква.
Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. За да направите това, трябва да извършите всички необходими трансформации на самоличността.
Концепцията за степен на моном
Много е важно свързано понятиестепени на монома. Нека напишем определението на това понятие.
Определение 3
По силата на монома, написана в стандартна форма, е сборът от показателите на всички променливи, които са включени в неговата нотация. Ако в него няма променливи и самият моном е различен от 0, тогава неговата степен ще бъде нула.
Нека дадем примери за степени на моном.
Пример 1
Така мономът a има степен, равна на 1, тъй като a = a 1. Ако имаме моном 7, тогава той ще има степен нула, тъй като няма променливи и е различен от 0. А ето и записа 7 a 2 x y 3 a 2ще бъде моном от 8-ма степен, тъй като сумата от показателите на всички степени на включените в него променливи ще бъде равна на 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Мономът, приведен до стандартна форма, и оригиналният полином ще имат една и съща степен.
Пример 2
Нека покажем как се изчислява степента на моном 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. В стандартна форма може да се запише като − 6 x 8 y 4. Изчисляваме степента: 8 + 4 = 12 . Това означава, че степента на оригиналния полином също е равна на 12.
Понятие за мономенален коефициент
Ако имаме моном, редуциран до стандартна форма, който включва поне една променлива, тогава говорим за него като за продукт с един числен фактор. Този фактор се нарича числен коефициент или мономиален коефициент. Нека напишем определението.
Определение 4
Коефициентът на монома е численият фактор на монома, приведен до стандартна форма.
Да вземем за пример коефициентите на различни мономи.
Пример 3
И така, в израза 8 а 3коефициентът ще бъде числото 8, а в (− 2 , 3) x y zте ще − 2 , 3 .
Особено внимание трябва да се обърне на коефициентите, равни на едно и минус едно. По правило те не са изрично посочени. Смята се, че в монома от стандартната форма, в който няма числов фактор, коефициентът е равен на 1, например в изразите a, x · z 3, a · t · x, тъй като те могат да бъдат разглежда като 1 · a, x · z 3 – Как 1 x z 3и т.н.
По същия начин, в мономи, които нямат числов фактор и започват със знак минус, можем да считаме - 1 за коефициент.
Пример 4
Например, изразите − x, − x 3 · y · z 3 ще имат такъв коефициент, тъй като могат да бъдат представени като − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 и т.н.
Ако един моном изобщо няма фактор с една буква, тогава можем да говорим за коефициент в този случай. Коефициентите на такива мономи-числа ще бъдат самите тези числа. Така, например, коефициентът на монома 9 ще бъде равен на 9.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
