Еднофакторен дисперсионен моделизглежда като
Където Xjj-стойността на изследваната променлива, получена върху g-нивофактор (r = 1, 2,..., T) su-ти сериен номер (j- 1,2,..., P);/y - ефект, дължащ се на влиянието на i-то ниво на фактора; д^. - случаен компонент или смущение, причинено от влиянието на неконтролируеми фактори, т.е. вариация на променлива в рамките на индивидуално ниво.
Под факторно нивосе отнася до някаква негова мярка или състояние, например количеството на приложения тор, вида на топенето на метала или партидния брой части и т.н.
Основни предпоставки на дисперсионния анализ.
1. Математическо очакване на смущение ? (/ - е равно на нула за всяко i,тези.
- 2. Смущенията са взаимно независими.
- 3. Дисперсията на смущението (или променливата Xy) е постоянна за всеки ij>тези.
4. Смущението e# (или променливата Xy) има нормален закон на разпределение N( 0; а 2).
Влиянието на факторните нива може да бъде като фиксирани, или систематичен(модел I) и случаен(модел II).
Да предположим, например, че е необходимо да се установи дали има значителни разлики между партиди продукти по отношение на някакъв показател за качество, т.е. проверка на влиянието върху качеството на един фактор - партида от продукти. Ако включим всички партиди суровини в изследването, тогава влиянието на нивото на такъв фактор е систематично (модел I) и получените заключения са приложими само за онези отделни партиди, които са били включени в изследването; ако включим само произволно избрана част от партиите, тогава влиянието на фактора е случайно (модел II). В многофакторните комплекси е възможен смесен модел III, при който някои фактори имат произволни нива, докато други имат фиксирани нива.
Нека разгледаме тази задача по-подробно. Нека има Tпартиди продукти. Избрани от всяка партида съответно p L, p 2 ,p tпродукти (за простота приемаме, че u = n 2 =... = p t = p).Представяме стойностите на показателя за качество на тези продукти под формата на матрица за наблюдение
Необходимо е да се провери значимостта на влиянието на продуктовите партиди върху тяхното качество.
Ако приемем, че елементите на редовете на матрицата за наблюдение са числени стойности (реализации) случайни променливи X t, X 2 ,..., X t,изразяващи качеството на продуктите и имащи нормален закон на разпределение с математически очаквания, респ a v a 2, ..., a tи идентични вариации a 2, тогава тази задача се свежда до тестване на нулевата хипотеза # 0: a v = a 2l = ... = А t, извършено при дисперсионен анализ.
Нека означим осредняването по някакъв индекс със звездичка (или точка) вместо с индекс, тогава средно аритметичнокачество на продуктите от партидата i, или средна групаза i-то ниво на фактора, приема формата
А обща средна стойност -
Нека разгледаме сумата на квадратите на отклоненията на наблюденията от общата средна стойност x„:
или Q= Q, + Въпрос 2+ ?>з Последен срок
тъй като сумата от отклоненията на стойностите на променливата от нейната средна стойност, т.е. ? 1.g y - x) е равно на нула. ) =x
Първият член може да бъде записан във формата
В резултат на това получаваме следната идентичност:
и т.н. _
Където Q = Y,х [ x ij _ x„, I 2 - общ,или пълен,сума на квадратите на отклоненията; 7=1
Q, - н^ / Петербург. 2011. - 256 с.
Математическа статистика за психолози Ermolaev O.Yu [Текст] / Москва_2009 -336s
Лекция 7. Аналитична статистика [Електронен ресурс].
Теория на вероятностите и математическа статистика [Текст] / Gmurman V.E. 2010 -479s
