Лекция: Пресечни, успоредни и пресичащи се прави; перпендикулярност на линиите

Пресичащи се линии

Ако в една равнина има няколко прави линии, тогава рано или късно те ще се пресичат произволно, или под прав ъгъл, или ще бъдат успоредни. Нека разгледаме всеки случай.

Правите, които имат поне една пресечна точка, могат да бъдат наречени пресичащи се.

Може да попитате защо поне една права линия не може да пресича друга права линия два или три пъти. Прав си! Но правите линии могат напълно да съвпадат една с друга. В този случай ще има безкраен брой общи точки.

Паралелизъм

ПаралеленМожете да назовете онези линии, които никога няма да се пресичат, дори в безкрайност.

С други думи, паралелни са тези, които нямат нито една обща точка. Моля, имайте предвид, че това определение е валидно само ако линиите са в една и съща равнина; ако нямат общи точки, тъй като са в различни равнини, тогава те се считат за пресичащи се.

Примери за успоредни линии в живота: два срещуположни ръба на екрана на монитора, линии в тетрадки, както и много други части на неща, които имат квадратна, правоъгълна и други форми.

Когато искат да покажат писмено, че една права е успоредна на друга, те използват следното обозначение a||b. Този запис казва, че права a е успоредна на права b.

Когато изучавате тази тема, е важно да разберете още едно твърдение: през определена точка от равнината, която не принадлежи на дадена линия, може да се начертае една успоредна линия. Но обърнете внимание, отново корекцията е в самолета. Ако разгледаме триизмерното пространство, тогава можем да начертаем безкраен брой линии, които няма да се пресичат, но ще се пресичат.

Изявлението, което беше описано по-горе, се нарича аксиома за успоредни прави.

Перпендикулярност

Директните линии могат да бъдат извикани само ако перпендикулярен, ако се пресичат под ъгъл, равен на 90 градуса.

В пространството, през определена точка на една права, могат да бъдат начертани безкраен брой перпендикулярни прави. Ако обаче говорим за равнина, тогава през една точка на линия можете да начертаете една перпендикулярна линия.

Кръстосани прави линии. Секанс

Ако някои линии се пресичат в дадена точка под произволен ъгъл, те могат да бъдат наречени кръстосване.

Всички пресичащи се линии имат вертикални и съседни ъгли.

Ако ъглите, образувани от две пресичащи се прави, имат една обща страна, тогава те се наричат ​​съседни:

Сумата на съседните ъгли е 180 градуса.

Теорема. Ако една права лежи в дадена равнина и друга права пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат. Знак за пресичане на линии Доказателство. Нека права a лежи в равнината и права b пресича равнината в точка B, която не принадлежи на права a. Ако правите a и b лежат в една и съща равнина, тогава точка B също ще лежи в тази равнина, тъй като има само една равнина, минаваща през правата и точка извън тази права, тогава тази равнина трябва да е равнина. Но тогава права b ще лежи в равнината, което противоречи на условието. Следователно, правите a и b не лежат в една и съща равнина, т.е. кръстосвам се.

Колко двойки коси прави има, които съдържат ръбовете на правилна триъгълна призма? Решение: За всяко ребро на основите има три ребра, които се пресичат с него. За всеки страничен ръб има две ребра, които се пресичат с него. Следователно, необходимият брой двойки наклонени линии е Упражнение 5

Колко двойки коси прави има, които съдържат ръбовете на правилна шестоъгълна призма? Решение: Всеки ръб на основите участва в 8 двойки пресичащи се линии. Всеки страничен ръб участва в 8 двойки пресичащи се линии. Следователно необходимият брой двойки наклонени линии е Упражнение 6

Относителното положение на две линии в пространството.

Относителното разположение на две линии в пространството се характеризира със следните три възможности.

Правите лежат в една равнина и нямат общи точки - успоредни прави.

Правите лежат в една равнина и имат една обща точка - правите се пресичат.

В пространството две прави могат да бъдат разположени и така, че да не лежат в никоя равнина. Такива линии се наричат ​​коси (те не се пресичат или са успоредни).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 Триъгълник ABC лежи в равнина, a

Триъгълник ABC лежи в равнината, но точка D не е в тази равнина. Точките M, N и K са съответно среди на отсечки DA, DB и DC

Теорема.Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

На фиг. 26 права a лежи в равнината, а права c се пресича в точка N. Правите a и c се пресичат.

Теорема.През всяка от двете пресичащи се прави минава само една равнина, успоредна на другата права.

На фиг. 26 прави a и b се пресичат. Начертана е права линия и е начертана равнина (алфа) || b (в равнина B (бета) е посочена правата a1 || b).

Теорема 3.2.

Две прави, успоредни на трета, са успоредни.

Това свойство се нарича преходностуспоредност на линиите.

Доказателство

Нека правите a и b са едновременно успоредни на правата c. Да приемем, че a не е успоредна на b, тогава права a пресича права b в някаква точка A, която не лежи на права c по условие. Следователно имаме две прави a и b, минаващи през точка A, която не лежи на дадена права c и в същото време е успоредна на нея. Това противоречи на аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Теорема 3.3.

През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара една и само една права, успоредна на дадената.

Доказателство

Нека (AB) е дадена права, C точка, която не лежи на нея. Правата AC разделя равнината на две полуравнини. Точка B лежи в една от тях. В съответствие с аксиома 3.2 е възможно да се постави ъгъл (ACD) от лъча C A, равен на ъгъла (CAB), в друга полуравнина. ACD и CAB са равни вътрешни напречно лежащи с правите AB и CD и секущата (AC). Тогава, по Теорема 3.1 (AB) || (CD). Като се има предвид аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Свойството на успоредните прави се дава от следната теорема, обратна на теорема 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни.

Доказателство

Нека (AB) || (CD). Да приемем, че ACD ≠ BAC. През точка A прекарваме права AE, така че EAC = ACD. Но тогава, по Теорема 3.1 (AE ) || (CD), а по условие – (AB) || (CD). В съответствие с теорема 3.2 (AE ) || (AB). Това противоречи на теорема 3.3, според която през точка A, която не лежи на правата CD, може да се начертае единствена права, успоредна на нея. Теоремата е доказана.

Фигура 3.3.1.

Въз основа на тази теорема лесно се обосновават следните свойства.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Следствие 3.2.

Ако правата е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Концепцията за паралелизъм ни позволява да въведем следната нова концепция, която ще бъде необходима по-късно в глава 11.

Двата лъча се наричат еднакво насочени, ако има права, така че, първо, те са перпендикулярни на тази права, и второ, лъчите лежат в една и съща полуравнина спрямо тази права.

Двата лъча се наричат противоположно насочени, ако всеки от тях е еднакво насочен с допълнителен към другия лъч.

Ще означим еднакво насочени лъчи AB и CD: и противоположно насочени лъчи AB и CD -

Фигура 3.3.2.

Знак за пресичане на линии.

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Случаи на взаимно разположение на прави в пространството.

1. Има четири различни случая на разположение на две линии в пространството:

   
   

   – право пресичане, т.е. не лежат в една равнина;

   – пресичат се прави, т.е. лежат в една равнина и имат една обща точка;

   – успоредни прави, т.е. лежат в една равнина и не се пресичат;

   - линиите съвпадат.

   
   

   Нека получим характеристиките на тези случаи на относителната позиция на линиите, дадени от каноничните уравнения

   
   
   Където — точки, принадлежащи на правиИ съответно, а— насочващи вектори (фиг. 4.34). Нека означим свектор, свързващ дадени точки.
   
   

   Следните характеристики съответстват на случаите на относителна позиция на линиите, изброени по-горе:

   
   

   – прави и пресичащи се вектори не са копланарни;

   
   

   – правите и пресичащите се вектори са копланарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – директните и успоредните вектори са колинеарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – прави и съвпадащи вектори са колинеарни.

   
   

   Тези условия могат да бъдат записани, като се използват свойствата на смесени и векторни продукти. Спомнете си, че смесеното произведение на векторите в дясната правоъгълна координатна система се намира по формулата:

   
   
   и детерминантата intersects е нула, а нейният втори и трети ред не са пропорционални, т.е.
   

   – прави и успоредни втори и трети ред на определителя са пропорционални, т.е. и първите два реда не са пропорционални, т.е.

   
   

   – прави и всички прави от детерминантата съвпадат и са пропорционални, т.е.

Доказателство за теста за наклонена линия.

Ако една от двете прави лежи в равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат.

Доказателство

Нека a принадлежи на α, b пресича α = A, A не принадлежи на a (Чертеж 2.1.2). Да приемем, че правите a и b не се пресичат, т.е. се пресичат. Тогава съществува равнина β, на която принадлежат правите a и b. В тази равнина β лежат права a и точка A. Тъй като правата a и точката A извън нея определят една равнина, то β = α. Но b задвижва β и b не принадлежи на α, следователно равенството β = α е невъзможно.

Ако две прави в пространството имат обща точка, тогава се казва, че тези две прави се пресичат. На следващата фигура правите a и b се пресичат в точка A. Правите a и c не се пресичат.

Всякакви две прави имат или само една обща точка, или нямат общи точки.

Паралелни линии

Две прави в пространството се наричат ​​успоредни, ако лежат в една равнина и не се пресичат. За да обозначите успоредни прави, използвайте специална икона - ||.

Означението a||b означава, че права a е успоредна на права b. На фигурата, представена по-горе, правите a и c са успоредни.

Теорема за успоредни прави

През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава права, успоредна на дадената, при това само една.

Пресичане на линии

Две прави, които лежат в една и съща равнина, могат да се пресичат или да са успоредни. Но в пространството две прави линии не принадлежат непременно на тази равнина. Те могат да бъдат разположени в две различни равнини.

Очевидно е, че линиите, разположени в различни равнини, не се пресичат и не са успоредни прави. Две прави, които не лежат в една равнина, се наричат пресичане на прави линии.

Следната фигура показва две пресичащи се прави a и b, които лежат в различни равнини.

Тест и теорема за коси прави

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Теорема за косите прави: през всяка от двете пресичащи се прави минава равнина, успоредна на другата права, при това само една.

По този начин разгледахме всички възможни случаи на взаимно разположение на линиите в пространството. Те са само три.

1. Линиите се пресичат. (Тоест те имат само една обща точка.)

2. Правите са успоредни. (Тоест те нямат общи точки и лежат в една равнина.)

3. Правите линии се пресичат. (Тоест те са разположени в различни равнини.)