Разгънете функцията по степени на x. Разгъване на функции в степенни редове

„Намерете разширение в редица на Maclaurin на функцията f(x)“- точно така звучи задачата по висша математика, която някои студенти могат да направят, а други не могат да се справят с примерите. Има няколко начина за разширяване на ред по степени; тук ще дадем техника за разширяване на функции в ред на Маклорен. Когато разработвате функция в серия, трябва да сте добри в изчисляването на производни.

Пример 4.7 Разгъване на функция по степени на x

Изчисления: Извършваме разширение на функцията по формулата на Маклорен. Първо, нека разширим знаменателя на функцията в серия

Накрая умножете разширението по числителя.
Първият член е стойността на функцията при нула f (0) = 1/3.
Нека намерим производните на функцията от първи и по-висок ред f (x) и стойността на тези производни в точката x=0




След това, въз основа на модела на промените в стойността на производните при 0, ние записваме формулата за n-та производна

И така, представяме знаменателя под формата на разширение в редицата на Маклорен

Умножаваме по числителя и получаваме желаното разширение на функцията в редица по степени на x

Както можете да видите, тук няма нищо сложно.
Всички ключови точки се основават на способността за изчисляване на производни и бързо обобщаване на стойността на производната от по-висок порядък при нула. Следните примери ще ви помогнат да научите как бързо да подредите функция в серия.

Пример 4.10 Намерете разширението на функцията в редица на Маклорен

Изчисления: Както може би се досещате, ще поставим косинуса в числителя в серия. За да направите това, можете да използвате формули за безкрайно малки количества или да извлечете разширението по косинус чрез производни. В резултат на това стигаме до следната редица по степени на x

Както можете да видите, имаме минимум изчисления и компактно представяне на разширението на серията.

Пример 4.16 Разгъване на функция по степени на x:
7/(12-x-x^2)
Изчисления: В този вид примери е необходимо дробта да се разшири чрез сбора на простите дроби.
Няма да ви покажем как да направите това сега, но с помощта несигурни коефициентиНека стигнем до сбора на дробите.
След това записваме знаменателите в експоненциална форма

Остава да разширим термините с помощта на формулата на Maclaurin. Обобщавайки членовете при същите степени на "x", ние съставяме формула за общия член на разширението на функция в серия



Последната част от прехода към серията в началото е трудна за изпълнение, тъй като е трудно да се комбинират формулите за сдвоени и несдвоени индекси (градуси), но с практика ще станете по-добри в това.

Пример 4.18 Намерете разширението на функцията в редица на Маклорен

Изчисления: Нека намерим производната на тази функция:

Нека разширим функцията в серия, използвайки една от формулите на Макларън:

Сумираме серията термин по термин въз основа на факта, че и двата са абсолютно идентични. След като интегрираме цялата серия член по член, получаваме разширението на функцията в серия по степени на x

Има преход между последните два реда на разширението, което ще ви отнеме много време в началото. Обобщаването на серийна формула не е лесно за всеки, така че не се притеснявайте, че не можете да получите хубава, компактна формула.

Пример 4.28 Намерете разширение в редица на Маклорен на функцията:

Нека запишем логаритъма по следния начин

Използвайки формулата на Maclaurin, разширяваме функцията логаритъм в редица по степени на x

Крайната намотка е сложна на пръв поглед, но при редуване на знаци винаги ще получите нещо подобно. Урокът за въвеждане по темата за функциите за планиране в ред е завършен. Други също толкова интересни схеми на разлагане ще бъдат разгледани подробно в следващите материали.

Ако функцията f(x) има производни от всички порядъци на определен интервал, съдържащ точка a, тогава към нея може да се приложи формулата на Тейлър:
,
Където r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, може да се оцени с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.

f(x)=

в точка x 0 = Брой елементи на реда 3 4 5 6 7

Използвайте разлагане елементарни функции e x, cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила за въвеждане на функции:

Ако за някаква стойност х r n→0 при н→∞, тогава в границата формулата на Тейлър става сходяща за тази стойност Серия Тейлър:
,
По този начин функцията f(x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.

Когато a = 0, получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
,
Разширение на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
Експоненциални функции
, R=∞
Тригонометрични функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява по степени на x, защото ctg0=∞
Хиперболични функции


Логаритмични функции
, -1
Биномни редове
.

Пример №1. Разгънете функцията в степенен ред f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
f(x) = 2х, е( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2х ln2, е"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2хв 2 2, е""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0) = 2 0 вътре н 2=в н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -∞<х<+∞.

Пример №2. Напишете реда на Тейлър в степени ( х+4) за функция f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
f(x)= д х, е(-4) = д -4 ;
f"(x)= д х, е"(-4) = д -4 ;
f""(x)= д х, е""(-4) = д -4 ;
…
f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .
Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:

Това разширение е валидно и за -∞<х<+∞.

Пример №3. Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( Х- 1),
(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение. Намерете производните на тази функция.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:

Използвайки теста на d'Alembert, можете да проверите, че редът се събира при ½x-1½<1 . Действительно,

Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. Когато x=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Пример №4. Разгънете функцията в степенен ред.
Решение. В разширението (1) заместваме x с -x 2, получаваме:
, -∞

Пример №5. Разширете функцията в серия Maclaurin.
Решение. Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:

замествайки –x вместо x във формулата, получаваме:

От тук намираме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме
. Този ред се събира в интервала (-1;1), тъй като се получава от два реда, всеки от които се събира в този интервал.

Коментирайте .
Формули (1)-(5) също могат да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.

Този метод се основава на теоремата за уникалността на разлагането на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение.

Пример № 5а. Разгънете функцията в редица на Маклорен и посочете областта на конвергенция.
Решение. Първо намираме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до елементарно:

Дробта 3/(1-3x) може да се разглежда като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с област на конвергенция |x|< 1/3.

Пример №6. Разгънете функцията в редица на Тейлър в близост до точката x = 3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):
=
Полученият ред се събира при или –3

Пример № 7. Напишете реда на Тейлър по степени (x -1) на функцията ln(x+2) .
Решение.


Серията се събира при , или -2< x < 5.

Пример № 8. Разгънете функцията f(x)=sin(πx/4) в редица на Тейлър в близост до точката x =2.
Решение. Нека направим замяната t=x-2:

Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:

Полученият ред се събира към дадената функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞По този начин,
, (-∞

Приблизителни изчисления с помощта на степенни редове

Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа и определени интеграли с определена точност. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Нека разгледаме разширяването на функция в степенен ред:

За да се изчисли приблизителната стойност на функция в дадена точка х, принадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първите са оставени в неговото разширение нчленове ( н– краен брой), а останалите членове се изхвърлят:

За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък rn (x) . За да направите това, използвайте следните техники:

• ако получената серия се редува, тогава се използва следното свойство: за редуваща се серия, удовлетворяваща условията на Лайбниц, остатъкът от серията по абсолютна стойност не надвишава първия изхвърлен член.
• ако дадена серия е с постоянен знак, тогава серията, съставена от изхвърлени членове, се сравнява с безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
• в общия случай, за да оцените остатъка от реда на Тейлър, можете да използвате формулата на Лагранж: a х ).

Пример №1. Изчислете ln(3) с точност до 0,01.
Решение. Нека използваме разширението, където x=1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим

Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001.
Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.



тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводната, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x с точност до 10 -5 .
Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Формулата на Нютон-Лайбниц не може да се приложи тук. Нека изчислим приблизително интеграла.
Разделяне на термин по термин на серията за грях хНа х, получаваме:

Интегрирайки този ред член по термин (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:

Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме
.

Пример №4. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Решение.
. Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Студентите по висша математика трябва да знаят, че сумата от определен степенен ред, принадлежащ на дадения ни интервал на сходимост на реда, се оказва непрекъсната и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се каже, че дадена произволна функция f(x) е сумата от определен степенен ред? Тоест, при какви условия функцията f(x) може да бъде представена чрез степенен ред? Важността на този въпрос се крие във факта, че е възможно приблизително да се замени функцията f(x) със сумата от първите няколко членове на степенен ред, тоест полином. Тази замяна на функция с доста прост израз - полином - също е удобна при решаване на определени задачи, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване и т.н.

Доказано е, че за определена функция f(x), в която е възможно да се изчислят производни до (n+1)-ти ред, включително последния, в близост до (α - R; x 0 + R ) някаква точка x = α, вярно е, че формулата:

Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната, се нарича серия на Маклорен:

Правилото, което прави възможно извършването на разширение в серия Maclaurin:

1. Определете производните на първи, втори, трети... ред.
2. Изчислете на какво са равни производните при x=0.
3. Запишете реда на Maclaurin за тази функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
4. Определете интервала (-R;R), където е остатъкът от формулата на Маклорен

R n (x) -> 0 при n -> безкрайност. Ако такъв съществува, функцията f(x) в него трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен.

Нека сега разгледаме сериите Maclaurin за отделни функции.

1. И така, първото ще бъде f(x) = e x. Разбира се, по своите характеристики, такава функция има производни от много различни порядъци и f (k) (x) = e x, където k е равно на всички. Получаваме f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Въз основа на горното, серията e x ще изглежда така:

2. Ред на Маклорен за функцията f(x) = sin x. Нека незабавно да изясним, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен това f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), където k е равно на произволно естествено число заключението, че серията за f(x) = sin x ще изглежда така:

3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x) = cos x. За всички неизвестни има производни от произволен ред и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серия Маклорен, но те са допълнени от серия Тейлър за някои функции. Сега ще ги изброим. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорен са важна част от практическата работа по решаване на редове във висшата математика. И така, серия Тейлър.

1. Първият ще бъде редът за функцията f(x) = ln(1+x). Както в предишните примери, за даденото f(x) = ln(1+x) можем да добавим серията, използвайки общата форма на серията на Маклорен. но за тази функция серията Maclaurin може да се получи много по-лесно. След като интегрирахме определена геометрична серия, получаваме серия за f(x) = ln(1+x) от такава извадка:

2. И втората, която ще бъде последна в нашата статия, ще бъде серията за f(x) = arctan x. За x, принадлежащ на интервала [-1;1], разширението е валидно:

Това е всичко. Тази статия разглежда най-използваните серии на Тейлър и Маклорен във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети.

Ако функцията f(x)има на някакъв интервал, съдържащ точката А, производни на всички поръчки, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към него:

Където r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, може да се оцени с помощта на формулата на Лагранж:

, където числото x е между хИ А.

Ако за някаква стойност x r n®0 при н®¥, тогава в границата формулата на Тейлър се превръща в конвергентна формула за тази стойност Серия Тейлър:

Така че функцията f(x)може да се разшири в серия на Тейлър във въпросната точка х, ако:

1) има производни от всички поръчки;

2) построеният ред се събира в тази точка.

При А=0 получаваме серия, наречена близо до Маклорен:

Пример 1 f(x)= 2х.

Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0

f(x) = 2х, е( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2х ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2хв 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0) = 2 0 вътре н 2=в н 2.

Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -¥<х<+¥.

Пример 2 х+4) за функция f(x)=д х.

Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.

f(x)= д х, е(-4) = д -4 ;

f¢(x)= д х, f¢(-4) = д -4 ;

f¢¢(x)= д х, f¢¢(-4) = д -4 ;

f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .

Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:

Това разширяване е валидно и за -¥<х<+¥.

Пример 3 . Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( Х- 1),

(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката х=1).

Решение. Намерете производните на тази функция.

Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:

Използвайки теста на д'Аламбер, можете да проверите дали редът се сближава, когато

½ Х- 1½<1. Действительно,

Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. При х=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Нека представим разширенията, получени по подобен начин в редицата на Маклорен (т.е. в близост до точката х=0) за някои елементарни функции:

(2) ,

(3) ,

(последното разлагане се нарича биномен ред)

Пример 4 . Разгънете функцията в степенен ред

Решение. В разширението (1) заместваме хНа - х 2, получаваме:

Пример 5 . Разширете функцията в серия Maclaurin

Решение. Ние имаме

Използвайки формула (4), можем да запишем:

замествайки вместо това хвъв формулата -Х, получаваме:

От тук намираме:

Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме

Този ред се събира в интервала

(-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се събира в този интервал.

Коментирайте .

Формули (1)-(5) също могат да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.

Този метод илюстрира теоремата за уникалността на разширение в степенен ред на функция. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение.

Пример 6 . Разгънете функцията в ред на Тейлър в околност на точка х=3.

Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):

Полученият ред се събира при или –3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7 . Напишете реда на Тейлър в степени ( х-1) функции .

Решение.

Поредицата се сближава в , или 2< х£5.