Решаване на биквадратни уравнения. Уравнения с две променливи

Цели:

1. Систематизират и обобщават знанията и уменията по темата: Решения на уравнения от трета и четвърта степен.
2. Задълбочете знанията си, като изпълните редица задачи, някои от които са непознати нито по вид, нито по начин на решаване.
3. Формиране на интерес към математиката чрез изучаване на нови глави от математиката, възпитаване на графична култура чрез изграждане на графики на уравнения.

Тип урок: комбиниран.

Оборудване:графичен проектор.

Видимост:таблица "Теорема на Виете".

По време на часовете

1. Устно броене

а) Какъв е остатъкът от деленето на многочлена p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 на бинома x-a?

б) Колко корена може да има едно кубично уравнение?

в) Как решаваме уравнения от трета и четвърта степен?

г) Ако b е четно число в квадратно уравнение, тогава каква е стойността на D и x x 1;

2. Самостоятелна работа (в групи)

Напишете уравнение, ако корените са известни (кодирани са отговорите на задачите) Използва се „Теорема на Виета“

1 група

Корени: x 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6

Съставете уравнение:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(това уравнение след това се решава от група 2 на дъската)

Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Числото 1 удовлетворява уравнението, следователно =1 е коренът на уравнението. По схемата на Хорнер

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Отговор: 1;-2;-3;6 сбор от корени 2 (P)

2-ра група

Корени: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; х 4 =5

Съставете уравнение:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (група 3 решава това уравнение на дъската)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10=0 x 1 =2; х 2 =5

Отговор: -1;2;2;5 сбор от корени 8(P)

3 група

Корени: x 1 = -1; х 2 =1; х 3 = -2; х 4 =3

Съставете уравнение:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

х 4 - х 3- 7x 2 + x + 6 = 0(група 4 решава това уравнение по-късно на дъската)

Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото 6.

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; х 2 =3

Отговор: -1;1;-2;3 Сума от корени 1(O)

4 група

Корени: x 1 = -2; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = -3

Съставете уравнение:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

х 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(това уравнение след това се решава от група 5 на дъската)

Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото -36

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Отговор: -2; -2; -3; 3 Сума от корени-4 (F)

5 група

Корени: x 1 = -1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = -4

Напишете уравнение

х 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(това уравнение след това се решава от група 6 на дъската)

Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 24.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x + 12 = 0

Отговор: -1;-2;-3;-4 сума-10 (I)

6 група

Корени: x 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8

Напишете уравнение

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43х - 24 = 0 (това уравнение след това се решава от група 1 на дъската)

Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Отговор: 1;1;-3;8 сума 7 (L)

3. Решаване на уравнения с параметър

1. Решете уравнението x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ако един от корените е равен на (-1)

Напишете отговора във възходящ ред

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условие x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Отговор: - 1; 3

Във възходящ ред: -5;-1;3. (b N S)

2. Намерете всички корени на многочлена x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ако остатъците от разделянето му на биноми x-1 и x +2 са равни.

Решение: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; х 2 =0; х 4 =0

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; x=a ± √a

2. Напишете уравнение

1 група. Корени: -4; -2; 1; 7;

2-ра група. Корени: -3; -2; 1; 2;

3 група. Корени: -1; 2; 6; 10;

4 група. Корени: -3; 2; 2; 5;

5 група. Корени: -5; -2; 2; 4;

6 група. Корени: -8; -2; 6; 7.

В тази статия ще се научим да решаваме биквадратни уравнения.

И така, какъв тип уравнения се наричат ​​биквадратни?
всичко уравнения на формата ах 4 + bx 2 + ° С = 0 , Където a ≠ 0, които са квадратни по отношение на x 2, и се наричат ​​биквадратичниуравнения. Както можете да видите, този запис е много подобен на записа за квадратно уравнение, така че ще решаваме биквадратни уравнения, като използваме формулите, които използвахме за решаване на квадратното уравнение.

Само ще трябва да въведем нова променлива, тоест обозначаваме х 2 друга променлива, например при или T (или всяка друга буква от латинската азбука).

Например, нека решим уравнението x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

Нека обозначим х 2 през при (x 2 = y ) и получаваме уравнението y 2 + 4y – 5 = 0.
Както виждате, вече знаете как да решавате такива уравнения.

Решаваме полученото уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Нека се върнем към нашата променлива x.

Открихме, че x 2 = – 5 и x 2 = 1.

Забелязваме, че първото уравнение няма решения, а второто дава две решения: x 1 = 1 и x 2 = ‒1. Внимавайте да не загубите отрицателния корен (най-често получават отговора x = 1, но това не е правилно).

Отговор:- 1 и 1.

За да разберем по-добре темата, нека разгледаме няколко примера.

Пример 1.Решете уравнението 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

Нека x 2 = y, тогава 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.

Тогава x 2 = 1 и x 2 = 1,5.

Получаваме x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5.

Отговор: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2.Решете уравнението 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогава x 2 = - 2 и x 2 = - 0,5. Моля, обърнете внимание, че нито едно от тези уравнения няма решение.

Отговор:няма решения.

Непълни биквадратни уравнения- това е кога b = 0 (ax 4 + c = 0) или ° С = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) се решават като непълни квадратни уравнения.

Пример 3.Решете уравнението x 4 ‒ 25x 2 = 0

Нека разложим на множители, изведем x 2 извън скобите и след това x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.

Получаваме x 2 = 0 или x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.

Тогава имаме корени 0; 5 и – 5.

Отговор: 0; 5; – 5.

Пример 4.Решете уравнението 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (няма решения)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Както можете да видите, ако можете да решавате квадратни уравнения, можете да решавате и биквадратни уравнения.

Ако все още имате въпроси, запишете се за моите уроци. Преподавател Валентина Галиневская.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Понятието уравнения с две променливи се формира за първи път в курса по математика за 7. клас. Разгледани са конкретни задачи, чието решаване води до този тип уравнения.

Те обаче се изучават доста повърхностно. Програмата се фокусира върху системи от уравнения с две неизвестни.

Това стана причина практически да не се разглеждат задачи, при които се налагат определени ограничения върху коефициентите на уравнението. Недостатъчно внимание се обръща на методи за решаване на задачи като „Решете уравнение в естествени или цели числа”. Известно е, че материалите за единен държавен изпит и билетите за приемни изпити често съдържат такива упражнения.

Кои уравнения се дефинират като уравнения с две променливи?

xy = 8, 7x + 3y = 13 или x 2 + y = 7 са примери за уравнения с две променливи.

Да разгледаме уравнението x – 4y = 16. Ако x = 4 и y = -3, това ще бъде правилно равенство. Това означава, че тази двойка стойности е решението на това уравнение.

Решението на всяко уравнение с две променливи е наборът от двойки числа (x; y), които удовлетворяват това уравнение (превърнете го в истинско равенство).

Често уравнението се трансформира, така че да може да се използва за получаване на система за намиране на неизвестни.

Примери

Решете уравнението: xy – 4 = 4x – y.

В този пример можете да използвате метода на факторизиране. За да направите това, трябва да групирате термините и да извадите общия множител от скоби:

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Отговор: Всички двойки (x; 4), където x е всяко рационално число и (-1; y), където y е всяко рационално число.

Решете уравнението: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Първата стъпка е групирането.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Прилагайки формулата за разлика на квадрат, получаваме:

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Когато сумирате два неотрицателни израза, ще се получи нула само ако 2x – 1 = 0 и y + 1 = 0. Следва: x = ½ и y = -1.

Отговор: (1/2; -1).

Решете уравнението (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.

Рационално е да се приложи методът на оценка, като се подчертаят пълните квадрати в скоби.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

В този случай (x - 3) 2 + 1 ≥ 1 и (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Тогава лявата страна на уравнението винаги е поне 4. Равенството е възможно в случая

(x - 3) 2 + 1 = 1 и (y + 5) 2 + 4 = 4. Следователно x = 3, y = -5.

Отговор: (3; -5).

Решете уравнението в цели числа: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

Това уравнение може да се напише по следния начин:

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Ако дясната страна на равенството е разделена на 5, тогава 3 е остатъкът. От това следва, че x 2 не се дели на 5. Известно е, че квадратът на число, което не се дели на 5, трябва да остави остатък или 1, или 4. Това означава, че уравнението няма корени.

Отговор: Няма решения.

Не се обезсърчавайте от трудността да намерите правилното решение за уравнение с две променливи. Упоритостта и практиката определено ще дадат плод.

Ние ви предлагаме удобно безплатно онлайн калкулатор за решаване на квадратни уравнения.Можете бързо да разберете как се решават, като използвате ясни примери.
Да произвежда решаване на квадратно уравнение онлайн, първо приведете уравнението в неговия общ вид:
ax 2 + bx + c = 0
Попълнете съответно полетата на формуляра:

Как да решим квадратно уравнение

Как да решим квадратно уравнение:	Видове корени:
1. Редуцирайте квадратното уравнение до неговия общ вид: Общ изглед Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3x - 2x 2 +1=-1 Намалете до -2x 2 +3x+2=0 2. Намерете дискриминанта D. D=B 2 -4*A*C . За нашия пример D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Намиране на корените на уравнението. x1=(-B+D 1/2)/2A. За нашия случай x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. За нашия пример x2=(-3-5)/(-4)=2 Ако B е четно число, тогава е по-удобно да се изчислят дискриминантът и корените, като се използват формулите: D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Където K=B/2	1. Истински корени. Освен това. x1 не е равно на x2 Ситуацията възниква, когато D>0 и A не е равно на 0. 2. Истинските корени са същите. x1 е равно на x2 Ситуацията възниква, когато D=0. Въпреки това, нито A, нито B, нито C трябва да е равно на 0. 3. Два сложни корена. x1=d+ei, x2=d-ei, където i=-(1) 1/2 Ситуацията възниква, когато Д 4. Уравнението има едно решение. A=0, B и C не са равни на нула. Уравнението става линейно. 5. Уравнението има безброй решения. A=0, B=0, C=0. 6. Уравнението няма решения. A=0, B=0, C не е равно на 0.

За да консолидираме алгоритъма, ето още няколко илюстративни примери за решения на квадратни уравнения.

Пример 1. Решаване на обикновено квадратно уравнение с различни реални корени.
x 2 + 3x -10 = 0
В това уравнение
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Ще обозначим квадратния корен като числото 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

За да проверим, нека заместим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Пример 2. Решаване на квадратно уравнение със съвпадащи реални корени.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Да заместим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Пример 3. Решаване на квадратно уравнение с комплексни корени.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Дискриминантът е отрицателен – корените са сложни.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, където I е корен квадратен от -1

Ето всъщност всички възможни случаи на решаване на квадратни уравнения.
Надяваме се, че нашите онлайн калкулаторще ви бъде много полезно.
Ако материалът е полезен, можете