Използване на калкулатор в началното обучение по математика
Тази статия обсъжда дали калкулаторът трябва да се използва или не при преподаването на математика в началните класове и как да го използвате разумно.
„Битката“ за използването на калкулатор
Някои хора казват, че калкулаторът позволява на децата да се концентрират върху разбирането и математическите концепции, вместо да губят време в досадни изчисления. Казват, че калкулаторът помага да се развие усет за числата и прави учениците по-уверени в своите математически способности.
Други са против използването на калкулатор в по-ниско ниво на преподаване на математика, като казват, че кара децата да не научават основните си факти, пречи на учениците да открият и разберат основните математически концепции и вместо това ги насърчава да опитват на случаен принцип различни операции, без да разбират какво правят.
Те казват, че калкулаторите пречат на учениците да се възползват от една от най-важните причини за изучаване на математика: да тренират и дисциплинират ума и да насърчават логическото мислене.
ИМА баланс
Според мен калкулаторът може да се използва в обучението по добър или лош начин - всичко зависи от подхода на учителя сам по себе си не е лош, нито добър - той е просто инструмент в днешното общество, така че учениците трябва да се научат да го използват, докато завършат училище.
В същото време децата ТРЯБВА да научат своите основни факти, да могат да правят умствени изчисления и да овладеят дълго деление и други основни алгоритми с хартия и молив. Математиката е област на изследване, която се основава на предварително установени факти. Дете, което не знае основни факти за умножение (и деление), трудно ще научи факторизиране, прости числа, опростяване на дроби и други операции с дроби, разпределителното свойство и т.н. и т.н. Основните алгоритми на аритметиката са необходима основа за разбиране на съответните операции с полиноми в алгебрата. Овладяване на дълги предшестващи деления, разбиране как дробите съответстват на повтарящите се (незавършващи) десетични знаци, което след това проправя пътя към разбирането на ирационални числа и реални числа. Всичко се свързва!
Поради тази причина е препоръчително да се ограничи използването на калкулатор в по-ниските класове, докато децата не научат основните си факти и могат да събират, изваждат, умножават и делят дори големи числа с молив и хартия. ТОВА, по мое мнение, изгражда усещане за числа, както и умствените изчисления.
Това не означава, че не можете да използвате калкулатора от време на време в началните класове за специални проекти, когато преподавате конкретни понятия или за забавление. Той може да се използва например в проекти по наука или география, за изследване на определени нови понятия игри с числа или проверка на домашното Вижте по-долу за някои идеи.
Дискусията тук не се отнася за графичните калкулатори в гимназията. Силно подкрепям използването на графични калкулатори или графичен софтуер при изучаване на графики и смятане. Дори и там обаче човек със сигурност трябва да научи основната идея за това как се прави графиката на хартия.
Неща, които трябва да имате предвид, когато използвате калкулатор
Когато калкулаторът се използва по-свободно, трябва да се обърне внимание на следните точки:
- Калкулаторът е a инструментда правите изчисления. Такива са човешкият ум, хартията и моливът. Децата трябва да се учат когада използвате калкулатор и когато умствените изчисления (или дори хартия и молив) са по-ефективни или подходящи. Изборът на правилния „инструмент“ е част от ефективния процес на решаване на проблеми.
- Много е важно учениците научете как да оценяватерезултата, преди да направите изчислението. ТОЛКОВА е лесно да правите грешки, когато въвеждате числата в калкулатор. Ученикът не трябва да се учи да разчита на калкулатора, без да провери дали отговорът е разумен.
- Калкулаторът не трябва да се използва за произволно изпробване на всички възможни операции и за проверка коя дава верния отговор. От решаващо значение е учениците да научат и разберат различните математически операции, така че да знаят КОГА коя да използват - и това е вярно, независимо дали действителното изчисление се извършва наум, на хартия или с калкулатор.
Идеи за използване на калкулатор в елементарната математика
Ако използвате тези идеи, уверете се, че децата не схващат идеята, че калкулаторът отнема необходимостта от учене на умствена математика. Той може да служи като инструмент, който да позволи на децата да изследват и наблюдават, но след това учителят трябва да обясни концепции, да обоснове правилата на математиката и ги съберете заедно.
- Детските градини и първокласниците могат да изследват числата чрез добавяне на 1 многократно(което може да се направи с първо натискане на 1 + 1 = и след това многократно натискане на бутона =) или изваждане на 1 многократно. Наблюдавайте лицата им, когато ударят отрицателни числа! Или ги оставете да проучат какво се случва с число, когато добавите нула към него.
- Пъзели с шаблони на калкулатор: Това е разширение на идеята по-горе, където деца от първи до трети клас добавят или изваждат едно и също число многократно с помощта на калкулатор. Децата ще наблюдават модели, които се появяват, когато добавяте, да речем, 2, 5, 10 или 100 многократно. Например, те могат да започнат от 17 и да добавят 10 многократно или да започнат от 149 и да извадят 10 многократно. Друга идея е да позволите на децата да направят свои собствени „пъзели с шаблони“, които представляват числови последователности с шаблон, където някои числа са пропуснати, например 7, 14, __, __, 35, __, 49. Дейността може да се свърже с идеята на умножение много лесно.
- Дейност за стойност на място с калкулатор : Учениците съставят числа с калкулатора, например:
Направете трицифрено число с 6 на мястото на десетиците; ИЛИ Направете четирицифрено число, по-голямо от 3500 с четири на мястото на единиците; ИЛИ Направете четирицифрено число с 3 в десетиците и 9 в стотните; и т.н.
След това учителят изброява няколко числа на дъската и обсъжда какво е общото между числата, които учениците са направили, като например: всички числа са шестдесет и нещо. - Напишете числото един милион на дъската. Помолете учениците да изберат число, което ще добавят многократно с калкулатора, за да достигнат един милион в рамките на разумно време на класа. Ако изберат малки числа, като 68 или 125, те няма да го достигнат. Това може да научи децата колко огромно е числото един милион!
- Когато въвеждате pi, накарайте учениците да измерят обиколката и диаметъра на няколко кръгли обекта и да изчислят съотношението им с калкулатор (което спестява време и може да помогне да се запази фокусът върху концепцията).
Използването на калкулатори е в основата на доброто преподаване – статия от Сюзън Рей; вече не е онлайн
Коментари
Преподавам в много малко училище и в момента преподавам алгебра 1, природни науки за 8 клас, а след това и физика на зрелостниците и имам малка група, която е завършила гимназиално смятане и ние правим малко линейна алгебра. Аз самият имам магистър по физика.Преди да прочета някои от тези публикации, чувствах, че съм доста яростен анти-калкулатор, но сега мисля, че съм по-скоро по средата.
Коментарите относно извличането на квадратни корени на хартия са добри. Не, вече не е необходимо да знаем как да правим това с добра точност. Въпреки това, наистина бих искал всички мои ученици да могат да ви кажат между кои две числа е това. Пример: 8
Точно миналата година открих как да въведа данни в TI-83 и да го накарам да изплюе средната стойност и стандартното отклонение. В контекста на час по физика не искам да отделям много време за неща, които те трябва да научат в час по статистика. Но ако калкулаторът го прави лесно, тогава мога внимателно да представя концепцията и да се надявам, че първоначалната експозицията ги е подготвила за това, което трябва да научат в статистиката.В Алгебра 1 обаче изобщо не позволявам на учениците да използват калкулатори. И в моето училище откривам, че повечето деца идват на моя курс без калкулатор или склонност да го използват. Смятам, че основният преглед на математиката в алгебра 1 трябва да бъде: 80% от числата трябва да използват основната информация от таблицата за умножение 12x12, която децата трябва да са запомнили, 15% от числата трябва да надхвърлят тези граници. И последните 5% трябва да са неща, за които им трябва калкулатор.
Според мен научаваш неща за числата, когато трябва да ги правиш наум. Ако искате да направите простите множители на 357, можете да започнете с идеята, че е по-малко от 400, така че трябва да проверите само до 20. Знаете също, че е странно, така че не е нужно проверете 2 или някое от събитията. Тогава можете да разберете, че не е нужно да проверявате нито едно от непростите числа между 1 и 20. Така че трябва да проверявате само 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Това помага на учениците да започнат да развиват някои основни концепции, свързани с множествата. Има групи от числа, които споделят общи свойства, като четни числа, шансове и прости числа. Това е дълбока концепция, която може да не разберете, ако не трябва да опростявате процеса за себе си.
Но също така опростяването на процеса за себе си е наистина важно. Да предположим, че сте главен механик на автомобил Sprint Cup NASCAR. Чупят се през цялото време. Какво трябва да направите, за да ги поправите? Какво е странично за проблема? Какъв е най-малкият брой неща, които трябва да тествате/коригирате и в какъв ред трябва да ги опитате? Това е дълъг период от развиването на алгоритмична мисъл в часовете по математика в гимназията. Но бих казал, че е по-трудно да стигнете до там, ако цял живот сте получавали отговори от машина.
Знам, че това продължава дълго. Още две точки... Никога не бих използвал графичен калкулатор, за да рисувам графики. Имам софтуер за $100 на лаптопа си, който издухва всеки ръчен графичен калкулатор от водата.
И накрая, коментарът за продавачите в магазините и калкулаторите привлече вниманието ми. Светът със сигурност има нужда от хора, които да управляват касовите апарати в универсалните магазини. Но някак си чувствам, че целта да получите добро образование е, за да можете по-късно да изберете кариера, към която сте страстен. Касиерите, които са запалени по търговията на дребно, са малко и рядко се срещат. Надявам се моите ученици да имат по-широк избор, когато завършат училище.
Дейвид Айвърсън
Мисля, че и двете трябва да се използват. Съгласен съм, че трябва да научим основите в началното училище, събиране, изваждане и т.н.) Въпреки това, когато отидете в Macy's, Olive Garden или Mc Donald's, касиерът не използва хартия и молив. Живеем в компютърна ера. Вече не сме в Индустриалната революция, така че нека влезем в 21-ви век.
Здравейте, аз съм Кели. Аз съм първокурсник в колежа в St. Charles Community College в Мисури. Вашият сайт е прекрасен. Търсих го за по-малката си сестра. Нещо, което наистина бих искал да кажа на всички и на всеки, който планира да отиде в колеж, е незабавно да спре да използва калкулатор. Използвайте го само за графични дневници и такива необходими неща. Завърших гимназия в клас по математика, използвайки калкулатор дори за най-простите задачи с умножение и деление, а когато стигнах до колежа, трябваше да започна всичко отначало с НАЧАЛО НА АЛГЕБРА, защото не знаех как да умножавам и деля без калкулатор. Така че, моля, направете услуга на всички и ги помолете или им кажете да спрат да използват калкулатор. Те ще ми благодарят за това по-късно.
Здравейте, казвам се Рафик и съм първокурсник в колежите Хобарт и Уилям Смит в Женева, Ню Йорк. Пиша статия за технологиите и ефектите от тях, така че реших да избера калкулатора. Попаднах на този сайт в моето проучване. Искам да подчертая казаното от Кели. Същото нещо се случи и с мен, бях страхотен по математика в гимназията, на практика имах успех на всички изпити по математика, след това дойдох тук за ориентация и ми казаха, че трябва да се явя на класационен тест по математика БЕЗ изчисление. Не осъзнавах, че не мога да реша много от простите задачи, защото винаги го включвах в моя calc и получавах отговора. Това вече става нещо сериозно, вече взех по-малкия си брат и сестри калц. и им казах, че няма да използват calc, докато не са в колежа (поне не пред мен). Сега приемам предварително калц. и целта ми е да не използвам calc. НЕ ЗАВИСЕТЕ ОТ КАЛКУЛАТОРА СИ!!!
Когато в университета посещавах курсове по математика за моя BMath, не ни разрешаваха калкулатори за много от изпитите (за да предотвратим контрабанда на хора в джобни компютърни устройства, бих казал, че е от съществено значение да могат да правят суми на хартия). .Емили Бел
Никога не съм бил добър по математика и затова, когато хванах калкулатора си и колко окуражаващ е той в гимназията, се влюбих в него. Това е докато не взех теста си за класиране в колежа. Справих се ужасно. Не можех дори си спомнете как да решите проста задача с деление наум. Проблемът с училищата днес е, че те се притесняват и насърчават твърде много относно калкулаторите. Учениците трябва да имат добра основа на умствена математика, преди да се научат да използват калкулатора, и ако питате мен, степента K-3 не е достатъчна, не трябва да бъде разрешена до колежа.
Аз съм наскоро завършил колеж. Специалността ми беше Електроинженерство. Тъй като курсът ми на обучение включваше голяма част от математиката, се чувствам длъжен да говоря по този важен въпрос. Според мен калкулаторите никога не трябва да се използват в часовете по математика, дори на ниво колеж. Използването на калкулатор за който и да е предмет ще накара потребителя да стане психически мързелив и неспособен да владее основни математически умения. Никога не трябва да използвате калкулатор, когато се учите как да умножавате, да правите дълго деление или дори да чертаете графика на функция.„Някои хора казват, че калкулаторът позволява на децата да се концентрират върху разбирането и изучаването на математически концепции, вместо да прекарват време в досадни изчисления. Те казват, че калкулаторът помага да се развие усет за числата и прави учениците по-уверени в своите математически способности.“
Горното твърдение е пълна глупост. Единственият начин да развиете усет за числата и да разберете математическите концепции е да излеете часове досадни изчисления. Единственият начин да развиете увереност в своите математически способности е да използвате молив и хартия винаги, когато се сблъскате с математически проблем. Ако учителят по математика е съгласен с горното твърдение, той или тя трябва да бъдат уволнени незабавно за това, че се примирихте с такива пагубни идеали.
Единственото време, когато трябва да се използват калкулатори в училище, е в лабораторните упражнения, когато правите изчисления на числа с повече от 4 значещи цифри. В противен случай ученикът трябва да разчита на хартия, молив и мозъка си.
Калкулаторът няма място; НЯМА МЯСТО; в класната стая на началното училище. Месечен цикъл. Аз съм учител по математика в гимназията и по-голямата част от моите ученици имат абсолютно нулев усет за числа. Те използват калкулатори, за да решават задачи с едноцифрено умножение, които трябваше правилно да са запомнили в трети клас. Те са безпомощни без тях. Хвърлям 100% от вината върху използването на калкулатор в ранните класове.
Децата ми са на 4 и 2 години. Дъщеря ми тръгва на детска градина следващата година и аз ще инструктирам учителите й всяка година и периодично през годината й е ЗАБРАНЕНО да използва калкулатор за КАКВАТО и да е работа, докато не започне гимназията НЯМА НИЩО в учебната програма за начално или средно училище, което да изисква използването на калкулатор.
AS към това изявление "Националният съвет на учителите по математика (1989) препоръча дългото деление и "практикуването на досадни изчисления с молив и хартия" да получават намалено внимание в училищата и калкулаторите да бъдат достъпни за всички ученици по всяко време." Разбирам, че това е реакция на проучване на времето, прекарано на теми по математика в класната стая и почти една трета от четвърти и пети клас е прекарано в учене да прави деление с десетични и двуцифрени делители (т.е. 340/.15 или 500/15) Да, учителите прекарваха повече от два месеца за всяко от тях! Това просто не отразява положението на математиката в сегашния свят.
Лично аз съм виждал много страхотни приложения на калкулаторите. Те позволяват повторение без грешки, за да мога да открия модели. Много от преобразуванията и бързите трикове, които мога да направя, бяха, защото имах само основен калкулатор през целия път на предварителното смятане. Между другото, NCMT също актуализира своите стандарти, за да включи свободно владеене на математически факти във втори и четвърти клас. Като учител по математика слушах от родители през цялото време, че децата не прекарват никакво време в училище, за да запомнят основния факт.
Вероятно щеше да ми хареса в дългосрочен план, ако не ми беше позволено да използвам калкулатор поне до гимназията (за мен Geometry). математика. Мога да го направя, просто ми отнема много повече време.
Като прогимназиален и гимназиален учител по математика, пред-алгебра и алгебра I се оказвам, че водя тази битка всяка година. Въпреки че да, калкулаторите предлагат бърз начин за намиране на отговори, не знам за проблем в който и да е от трите учебника, които използвам в момента, който да изисква от ученика да решава задачи с дълго деление до най-надесетото място след десетичната запетая (което е общ аргумент).
Все пак очаквам моите ученици да могат да правят основни математически функции без използването на калкулатор. Докато навлизат в алгебрата, те прекарват твърде много време в опити да разберат как да правят неща с калкулатора, които не са възможни с калкулаторите, които имат, очаквам също да покажат работата си на тестове и тестове (така е и новият държавни тестове за частични точки), така че ЗНАЯ, че те познават процеса „Използвах калкулатор“ не ми демонстрира, че знаят процеса и правилата или „защо“ работи до „вижте какво открих“. и "ах-ха" на математиката.
Често напомням на учениците, че калкулаторите са изобретени много след като са започнали математическите правила; следователно цялата математика може да се направи без използването на калкулатор. Велики умове, не ставайте велики, като изберете лесния път.
По отношение на работниците в търговията на дребно, докато много клиенти, които стоят на опашка, биха станали нетърпеливи от продавача, който пресмята всичко на ръка, като учител, когато отида в заведение за хранене, и този мой нещастен ученик е сервитьор/сервитьорка/и т.н. Очаквам да ми преброят ресто обратно. Внимавам, когато правя тези „проверки“ и повечето мениджъри (знаете онези, които могат да правят математика без калкулатор) обикновено са благодарни, че служителите им знаят как да броят рестото обратно.
Трябваше да се посмея малко на коментара относно „касиерите в Macy's, Olive Garden, McDonalds...използват калкулатори, компютри.“ Вярно е, но това не е аргумент за използването им. Били ли сте някога в някой от тези магазини, когато „компютрите не работят?“ Много касиери не могат да изчислят общите суми, да направят дребни пари и т.н. без компютър, който да им каже какво да правят, са много важни и IMHO използването на калкулатора трябва да бъде много ограничено нашите млади хора биха се справили в истинско бедствие/извънредна ситуация, когато може да няма ток, мобилни телефони, компютри, възможност за интернет и т.н. Като родител, който се обучава вкъщи, една от целите ми е детето ми да има добри основни умения, така че да може да работи добре във всеки предмет без електронна помощ.
Имам едно момче, което отива в трети клас и му купих изключително прост калкулатор (само +,-,*,/). Той е доста добър в решаването на задачи, знае таблицата си за умножение, може да събира и изважда с 12 цифри на хартия, учи се как да прави умножения на хартия и т.н... и всъщност търсех някои смислени задачи за решаване с калкулатор, когато открих този емоционален дебат.
Напълно съм съгласен, че калкулаторът не трябва да замества обучението за извършване на умствени операции и научаването как да го правите на хартия. Трябва да можете да правите тези неща сами, дори и да е тромаво.Но въпросът е, че обществото напредва. Когато беше полезно да правите правилно и бързо суми от 20 числа на малка банкнота и хората дори ви плащаха за това умение преди 40 години, вече не е така. Повечето от нас не се научават как да убиват заек с лък и стрела - докато това е било основно умение за нашите предци, живеещи в пещери.
Когато гледам коментарите тук, изглежда, че единствените проблеми, с които се сблъскват хората, когато не могат да изчисляват без калкулатор, са в изкуствена среда, където това е изрично тествана компетентност. Ловът на зайци със стрела и лък също би представлявал проблем, ако това не се преподава и изрично се тества за един или друг изпит. Мисля, че в "реалния живот" вече е важно да си под ръка с калкулатор - въпреки че човек, разбира се, трябва да може и без него, но може би не е *учен* да го прави ефективно, правилно и бързо без него.
Между другото, кой все още знае как да вади квадратен корен на хартия? Не е ли това важно умение? И кой знае как да използва ефективно логаритмична таблица, за да прави умножения? принадлежат повече към фолклора, не казвам, че да знаеш как да направиш допълнение на хартия е фолклор, човек трябва да знае как да го направи, но се чудя каква е причината да можеш да го направиш бързо и ефективно (и следователно). прекарват часове в обучение за това). Не може ли човек да използва това време сега, за да прави по-полезни неща?
Бих казал, че това, което все още е практическо умение, е *умственото* изчисление, прецизното умствено изчисление и приблизителното изчисление, за да получите представа за порядъка на величината. Дали умножението на две числа с 6 или 7 цифри все още е много полезно умение за трениране, имам своите съмнения - въпреки че, отново, човек трябва да може да знае как се прави.
Нещата, които стават интересни с калкулаторите, са конструкции като триъгълника на Паскал или редицата на Фибоначи, или факториели, комбинации и подобни неща, и които са твърде досадни, за да се правят на ръка.
Патрик Ван Еш
Въпрос:Какви са основните причини да не се използват калкулатори в първи до трети клас на гимназията?Не съм съвсем сигурен какви са класовете от едно до три, но предполагам, че говорите за гимназия.
Аз лично не бих отрекъл използването на калкулатор от гимназисти. Децата трябва да се научат да използват калкулатор и да го използват разумно - което означава, че трябва да научат КОГА е добре да го използват и кога не. Може би някой би отказал използването на калкулатор в гимназията, ако ученик постоянно го използва неправилно, в други думи, използващи го за 6 x 7 и т.н., в който случай такъв ученик може да се наложи да прегледа математиката за по-ниски класове.
В момента съм шестокласник, знам, че повечето деца на моята възраст предпочитат да използват калкулатор не за проверка на работата, а да правят голяма част от математиката си с калкулатори. Калкулаторът трябва да се използва само за проверка на работата, наскоро моят учител по математика на практика ни принуждава да използваме калкулатори TI30 xa, както знаете, училището предоставя калкулатор, който може да събира, изважда, умножава и дели и това изглежда е достатъчно. Напоследък се улавям, че разчитам на калкулатори, за да направя всичко мое .работа, но днес по време на часа по математика реших да не използвам повече калкулатор, една задача, която трябваше да реша, беше 3,8892 делено на 3 и не можех да си спомня как да го направя. И онзи ден майка ми ми даде проста математическа задача, докато получавах газ и ми отне 5 минути, за да реша тази основна задача със събиране. Родителите ми не са използвали калкулатори, когато са били в училище и ако те не са имали нужда от тях, значи и ние нямаме. Но след като всички наши настоящи средношколци станат пълнолетни, нашата училищна система ще види, че възрастните ще бъдат много изоставам в математиката, докато разчитам на компютри и калкулатори, за да направя всички там дела, аз съм официално антикалкулатор!
Имах късмета да науча основни математически факти (умножение, деление, дроби, оценка и т.н.), преди да получа калкулатор в 8-ми клас, но станах наистина зависим от моята помощна програма за графики TI 83 за часовете ми по алгебра/предварителни изчисления в гимназията. Бих начертал графика на функцията за намиране на нулите, вместо да използвам квадратната формула и подобни неща.Моят клас по математика не позволяваше калкулатори и се провалих, след като се справих доста добре в гимназиалното предварително смятане, влязох в по-лесна серия по житейски/социални науки (все още трябваше да се боря за B"s/C"s). когато имах лесни A в гимназията) и в крайна сметка повторих по-трудния час по смятане много по-подготвен. Моите часове по житейски/социални науки позволяваха помощни програми с 4 функции, но не и графики. Освен това в колежа трябваше да покажа работата си. за да получа някакъв кредит, дори ако отговорът беше правилен, мисля, че един от проблемите е, че бях твърде закъсал с намирането на отговорите, вместо да науча процеса.
Сестра ми от друга страна има калкулатор от 3-ти клас и тя буквално не може да умножи 6*7 без калкулатор или да реши текстова задача, въпреки че получава B по математика в гимназията.
Като старши специалист по ранно детско/начално образование разбирам колко е важно да имате познания как да използвате калкулатор, защото да, живеем в епоха, в която технологията е широко използвана. Въпреки това, като много от вас, когато за първи път дойдох в колежа и трябваше да се явя на изпити без да използвам калкулатора, бях в голяма беда! Все още се справях много добре, но ми отне много време да науча отново всички основни функции на математиката. От моя личен опит в областта и чрез моите собствени курсове препоръчвам последователен баланс между двата метода!!
Преподавам математика в колеж, където калкулаторът е забранен. За съжаление много ученици са били съсипани от използването на калкулатор. Имат проблеми дори с най-простата алгебра. Това доведе до увеличаване на поправителната математика в колежите навсякъде с до 95%. Издадена е книга, наречена „The Deliberate Dumbing Down Of America“, написана от бивш информатор от Department O Education (известен също като DOE, което би трябвало да означава Dopes of Education)
Меню за уроци по математика
|
|
|
Информация за каталога
Заглавие
Елементарна линейна алгебра.
(Кредитни часове: Лекционни часове: Лабораторни часове)
Предлага се
Предпоставка
Минимални резултати от обучението
След завършване на този курс успешният студент ще може да:
- Използвайте елиминирането на Гаус, за да направите всичко от следното: решаване на линейна система с намалена форма на ешелон на ред, решаване на линейна система с форма на ешелон на ред и обратно заместване, намиране на обратната на дадена матрица и намиране на детерминантата на дадена матрица.
- Демонстрирайте умения в матричната алгебра. За матрично умножение демонстрирайте разбиране на асоциативния закон, закона за обратен ред за инверсии и транспониране и провала на комутативния закон и закона за анулиране.
- Използвайте правилото на Cramer за решаване на линейна система.
- Използвайте кофактори, за да намерите обратното на дадена матрица и детерминантата на дадена матрица.
- Определете дали набор с дадено понятие за събиране и скаларно умножение е векторно пространство. Тук и в съответните числа по-долу, запознайте се както с крайни, така и с безкрайни примери.
- Определете дали дадено подмножество на векторно пространство е подпространство.
- Определете дали даден набор от вектори е линейно независим, обхваща или е основа.
- Определете размерността на дадено векторно пространство или на дадено подпространство.
- Намерете основи за нулевото пространство, пространството на редовете и пространството на колоните на дадена матрица и определете нейния ранг.
- Демонстрирайте разбиране на теоремата за ранговата нищожност и нейните приложения.
- Дадено е описание на линейна трансформация, намерете нейното матрично представяне спрямо дадени бази.
- Демонстрирайте разбиране на връзката между сходството и промяната на основата.
- Намерете нормата на вектор и ъгъла между два вектора в пространството с вътрешно произведение.
- Използвайте вътрешното произведение, за да изразите вектор във вътрешно продуктово пространство като линейна комбинация от ортогонален набор от вектори.
- Намерете ортогоналното допълнение на дадено подпространство.
- Демонстрирайте разбиране на връзката между пространството на редовете, пространството на колоните и нулевото пространство на матрица (и нейното транспониране) чрез ортогонални допълнения.
- Демонстрирайте разбиране на неравенството на Коши-Шварц и неговите приложения.
- Определете дали векторно пространство с (сесквилинейна) форма е пространство с вътрешен продукт.
- Използвайте процеса на Грам-Шмид, за да намерите ортонормална основа на вътрешно продуктово пространство. Бъдете способни да правите това както в Р n и във функционални пространства, които са вътрешни продуктови пространства.
- Използвайте най-малките квадрати, за да паснете на линия ( г = брадва + b) към таблица с данни, начертайте линията и точките от данни и обяснете значението на най-малките квадрати по отношение на ортогоналната проекция.
- Използвайте идеята за най-малки квадрати, за да намерите ортогонални проекции върху подпространства и за напасване на полиномна крива.
- Намерете (реални и комплексни) собствени стойности и собствени вектори на 2 × 2 или 3 × 3 матрици.
- Определете дали дадена матрица може да се диагонализира. Ако е така, намерете матрица, която го диагонализира чрез подобие.
- Демонстрирайте разбиране на връзката между собствените стойности на квадратна матрица и нейната детерминанта, нейната следа и нейната обратимост/сингулярност.
- Идентифицирайте симетрични матрици и ортогонални матрици.
- Намерете матрица, която ортогонално диагонализира дадена симетрична матрица.
- Да знае и да може да прилага спектралната теорема за симетрични матрици.
- Знае и може да прилага декомпозицията на сингулярна стойност.
- Правилно дефинирайте термините и дайте примери, свързани с горните понятия.
- Докажете основни теореми относно горните понятия.
- Докажете или опровергайте твърдения, свързани с горните концепции.
- Бъдете опитни в изчисленията на ръка за намаляване на редове, инверсия на матрица и подобни проблеми; също така използвайте MATLAB или подобна програма за проблеми с линейната алгебра.
В проблема с пътуващия търговец, за да създадете оптимален маршрут около n града, трябва да изберете най-добрия от (n-1)! опции въз основа на време, цена или дължина на маршрута. Този проблем включва определяне на Хамилтонов цикъл с минимална дължина. В такива случаи наборът от всички възможни решения трябва да бъде представен под формата на дърво - свързан граф, който не съдържа цикли или цикли. Коренът на дървото обединява целия набор от опции, а върховете на дървото са подмножества от частично подредени опции за решение.
Цел на услугата. Използвайки услугата, можете да проверите решението си или да получите ново решение на проблема с пътуващия търговец, като използвате два метода: метода на разклоняване и обвързване и унгарския метод.
Математически модел на проблема на пътуващия търговец
Формулираната задача е целочислена. Нека x ij =1, ако пътникът се премести от i-тия град в j-тия и x ij =0, ако това не е така.Формално въвеждаме (n+1) град, разположен на същото място като първия град, т.е. разстоянията от (n+1) града до всеки друг град, различен от първия, са равни на разстоянията от първия град. Освен това, ако можете да напуснете само първия град, тогава можете да дойдете само в (n+1) град.
Нека въведем допълнителни целочислени променливи, равни на броя посещения на този град по пътя. u 1 =0, u n +1 =n. За да избегнем затворени пътища, напускане на първия град и връщане към (n+1), ние въвеждаме допълнителни ограничения, свързващи променливите x ij и променливите u i (u i са неотрицателни цели числа).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, с i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1, i=2..n
Методи за решаване на проблема с пътуващия търговец
- метод на разклоняване и обвързване (алгоритъм на Литъл или елиминиране на подцикъл). Пример за разклонение и обвързано решение;
- Унгарски метод. Пример за решение по унгарския метод.
Алгоритъм на Литъл или елиминиране на подцикъл
- Операция на редукция по редове: във всеки ред на матрицата се намира минималният елемент d min и се изважда от всички елементи на съответния ред. Долна граница: H=∑d min .
- Операция на редукция по колони: във всяка колона на матрицата изберете минималния елемент d min и го извадете от всички елементи на съответната колона. Долна граница: H=H+∑d мин.
- Редукционната константа H е долната граница на множеството от всички допустими контури на Хамилтон.
- Намиране на степени на нули за матрица, дадена от редове и колони. За да направите това, временно заменете нулите в матрицата със знака "∞" и намерете сумата от минималните елементи на реда и колоната, съответстващи на тази нула.
- Изберете дъгата (i,j), за която степента на нулевия елемент достига максималната стойност.
- Множеството от всички контури на Хамилтон е разделено на две подмножества: подмножество от контури на Хамилтон, съдържащи дъгата (i,j), и тези, които не я съдържат (i*,j*). За да получите матрица от контури, включваща дъга (i,j), задраскайте ред i и колона j в матрицата. За да предотвратите образуването на нехамилтонов контур, заменете симетричния елемент (j,i) със знака „∞“. Елиминирането на дъгата се постига чрез замяна на елемента в матрицата с ∞.
- Матрицата на хамилтоновите контури се редуцира с търсене на редукционните константи H(i,j) и H(i*,j*) .
- Сравняват се долните граници на подмножеството от контури на Хамилтон H(i,j) и H(i*,j*). Ако H(i,j)
- Ако в резултат на разклоняване се получи (2x2) матрица, тогава се определя хамилтоновият контур, получен чрез разклоняване, и неговата дължина.
- Дължината на Хамилтоновия контур се сравнява с долните граници на висящите клони. Ако дължината на контура не надвишава долните им граници, проблемът е решен. В противен случай се развиват разклонения на подмножества с долна граница, по-малка от резултантния контур, докато се получи маршрут с по-къса дължина.
Пример. Решете задачата на пътуващия търговец с матрица, като използвате алгоритъма на Литъл
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Решение. Нека вземем като произволен маршрут: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Тогава F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
За да определим долната граница на набора, използваме редукционна операцияили намаляване на матрицата ред по ред, за което е необходимо да се намери минималният елемент във всеки ред на матрицата D: d i = min(j) d ij
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | М | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | М | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | М | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | М | 5 |
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | М | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | М |
d j = min(i) d ij
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | М | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | М |
| диджей | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | М | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | М |
Елементите на матрицата d ij съответстват на разстоянието от точка i до точка j.
Тъй като в матрицата има n града, тогава D е nxn матрица с неотрицателни елементи d ij ≥ 0
Всеки валиден маршрут представлява цикъл, в който пътуващият търговец посещава града само веднъж и се връща в първоначалния град.
Дължината на маршрута се определя от израза: F(M k) = ∑d ij
Освен това всеки ред и колона се включват в маршрута само веднъж с елемента d ij.
Етап 1.
Определяне на разклонения ръб
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | М | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | М | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | М | 0 |
| диджей | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Най-голямата сума от редукционни константи е (0 + 6) = 6 за ръба (5,2), следователно наборът е разделен на две подгрупи (5,2) и (5*,2*).
Изключване на ръбове(5.2) се извършва чрез замяна на елемента d 52 = 0 с M, след което извършваме следващото редуциране на матрицата на разстоянието за полученото подмножество (5*,2*), като в резултат получаваме намалена матрица.
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | М | 1 | 0 |
| 5 | 0 | М | 0 | 0 | М | 0 |
| диджей | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Активиране на край(5.2) се извършва чрез елиминиране на всички елементи от 5-ти ред и 2-ра колона, в които елементът d 25 се заменя с M, за да се елиминира образуването на нехамилтонов цикъл.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | М | 0 |
| 3 | 6 | М | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | М | 1 | 0 |
| диджей | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Долната граница на подмножеството (5,2) е равна на: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Тъй като долната граница на това подмножество (5,2) е по-малка от подмножеството (5*,2*), ние включваме ръб (5,2) в маршрута с нова граница H = 35
Стъпка 2.
Определяне на разклонения ръби разделете целия набор от маршрути спрямо този ръб на две подмножества (i,j) и (i*,j*).
За целта за всички клетки на матрицата с нулеви елементи заменяме нулите една по една с М (безкрайност) и определяме за тях сумата от получените редукционни константи, те са дадени в скоби.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | М | 2 |
| 3 | 6 | М | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | М | 1 | 0 |
| диджей | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Най-голямата сума от редукционни константи е (0 + 9) = 9 за ръба (4,3), следователно наборът е разделен на две подгрупи (4,3) и (4*,3*).
Изключване на ръбове(4.3) се извършва чрез замяна на елемента d 43 = 0 с M, след което извършваме следващото редуциране на матрицата на разстоянието за полученото подмножество (4*,3*), като в резултат получаваме намалена матрица.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | М | 0 |
| 3 | 6 | М | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | М | М | 1 | 0 |
| диджей | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Активиране на край(4.3) се извършва чрез елиминиране на всички елементи от 4-ти ред и 3-та колона, в които елементът d 34 се заменя с M, за да се елиминира образуването на нехамилтонов цикъл.
След операцията по редукция намалената матрица ще изглежда така:
| аз дж | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | М | 0 |
| 3 | 6 | М | 5 | 5 |
| диджей | 0 | 2 | 0 | 7 |
Долната граница на подмножеството (4,3) е равна на: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Тъй като 42 > 41, ние изключваме подмножеството (5,2) за по-нататъшно разклоняване.
Връщаме се към предишния план X 1.
План X 1.
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | М | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | М | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | М | 1 |
| 5 | 0 | М | 0 | 0 | М |
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | М | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | М | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | М | 1 |
| 5 | 0 | М | 0 | 0 | М |
Определяне на разклонения ръби разделете целия набор от маршрути спрямо този ръб на две подмножества (i,j) и (i*,j*).
За целта за всички клетки на матрицата с нулеви елементи заменяме нулите една по една с М (безкрайност) и определяме за тях сумата от получените редукционни константи, те са дадени в скоби.
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | М | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | М | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | М | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | М | 0(0) | 0(0) | М | 0 |
| диджей | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Най-голямата сума от редукционни константи е (0 + 6) = 6 за ръба (4,2), следователно наборът е разделен на две подгрупи (4,2) и (4*,2*).
Изключване на ръбове(4.2) се извършва чрез замяна на елемента d 42 = 0 с M, след което извършваме следващото редуциране на матрицата на разстоянието за полученото подмножество (4*,2*), като в резултат получаваме намалена матрица.
| аз дж | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | М | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | М | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | М | 0 | М | 1 | 0 |
| 5 | 0 | М | 0 | 0 | М | 0 |
| диджей | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Активиране на край(4.2) се извършва чрез елиминиране на всички елементи от 4-ти ред и 2-ра колона, в които елементът d 24 се заменя с M, за да се елиминира образуването на нехамилтонов цикъл.
Резултатът е друга редуцирана матрица (4 х 4), която подлежи на операцията редукция.
След операцията по редукция намалената матрица ще изглежда така:
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | М | 6 | 0 |
| 3 | 6 | М | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | М | 0 |
| диджей | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Долната граница на подмножеството (4,2) е равна на: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Тъй като долната граница на това подмножество (4,2) е по-малка от подмножеството (4*,2*), ние включваме ръб (4,2) в маршрута с нова граница H = 41
Стъпка 2.
Определяне на разклонения ръби разделете целия набор от маршрути спрямо този ръб на две подмножества (i,j) и (i*,j*).
За целта за всички клетки на матрицата с нулеви елементи заменяме нулите една по една с М (безкрайност) и определяме за тях сумата от получените редукционни константи, те са дадени в скоби.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | М | 6 | 6 |
| 3 | 6 | М | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | М | 0 |
| диджей | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Най-голямата сума от редукционни константи е (4 + 5) = 9 за ръба (1,5), следователно наборът е разделен на две подгрупи (1,5) и (1*,5*).
Изключване на ръбове(1.5) се извършва чрез замяна на елемента d 15 = 0 с M, след което извършваме следващото редуциране на матрицата на разстоянието за полученото подмножество (1*,5*), като в резултат получаваме намалена матрица.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | М | 10 | 4 | М | 4 |
| 2 | 0 | 9 | М | 6 | 0 |
| 3 | 6 | М | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | М | 0 |
| диджей | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Активиране на край(1.5) се извършва чрез елиминиране на всички елементи от 1-ви ред и 5-та колона, в които елементът d 51 се заменя с M, за да се елиминира образуването на нехамилтонов цикъл.
В резултат на това получаваме друга редуцирана матрица (3 х 3), която е обект на операцията за редукция.
След операцията по редукция намалената матрица ще изглежда така:
| аз дж | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | М | 0 |
| 3 | 6 | М | 0 | 0 |
| 5 | М | 0 | 0 | 0 |
| диджей | 0 | 0 | 0 | 0 |
Долната граница на подмножеството (1,5) е равна на: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Тъй като долната граница на това подмножество (1,5) е по-малка от подмножеството (1*,5*), ние включваме ръб (1,5) в маршрута с нова граница H = 41
Стъпка #3.
Определяне на разклонения ръби разделете целия набор от маршрути спрямо този ръб на две подмножества (i,j) и (i*,j*).
За целта за всички клетки на матрицата с нулеви елементи заменяме нулите една по една с М (безкрайност) и определяме за тях сумата от получените редукционни константи, те са дадени в скоби.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | М | 9 |
| 3 | 6 | М | 0(6) | 6 |
| 5 | М | 0(9) | 0(0) | 0 |
| диджей | 6 | 9 | 0 | 0 |
Най-голямата сума от редукционни константи е (9 + 6) = 15 за ръб (2,1), следователно наборът е разделен на две подгрупи (2,1) и (2*,1*).
Изключване на ръбове(2.1) се извършва чрез замяна на елемента d 21 = 0 с M, след което извършваме следващото редуциране на матрицата на разстоянието за полученото подмножество (2*,1*), като в резултат получаваме намалена матрица.
| аз дж | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | М | 9 | М | 9 |
| 3 | 6 | М | 0 | 0 |
| 5 | М | 0 | 0 | 0 |
| диджей | 6 | 0 | 0 | 15 |
Активиране на край(2.1) се извършва чрез елиминиране на всички елементи от 2-ри ред и 1-ва колона, в които елементът d 12 се заменя с M, за да се елиминира образуването на нехамилтонов цикъл.
В резултат на това получаваме друга редуцирана матрица (2 х 2), която е обект на операцията за редукция.
След операцията по редукция намалената матрица ще изглежда така:
| аз дж | 3 | 4 | d i |
| 3 | М | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| диджей | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Долната граница на подмножеството (2,1) е равна на: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Тъй като долната граница на това подмножество (2,1) е по-малка от подмножеството (2*,1*), ние включваме ръба (2,1) в маршрута с нова граница H = 41.
В съответствие с тази матрица, ние включваме ръбове (3,4) и (5,3) в Хамилтоновия маршрут.
В резултат на това по протежение на разклоненото дърво на Хамилтоновия цикъл се образуват ръбовете:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Дължината на маршрута е F(Mk) = 41
Дърво на решенията.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), Н=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), Н=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следните също се използват с този калкулатор:
Графичен метод за решаване на ЗЛП
Симплексен метод за решаване на ЗЛП
Решаване на матрична игра
С помощта на онлайн услугата можете да определите цената на матрична игра (долна и горна граница), да проверите за наличието на седлова точка, да намерите решение на смесена стратегия, като използвате следните методи: минимаксен, симплексен метод, графичен (геометричен ) метод, метод на Браун.
Екстремум на функция на две променливи
Проблеми на динамичното програмиране
Първият етап от решаването на транспортния проблеме да се определи неговият тип (отворен или затворен, или по друг начин балансиран или небалансиран). Приблизителни методи ( методи за намиране на референтен план) позволяват втори етап на решениев малък брой стъпки да получите приемливо, но не винаги оптимално решение на проблема. Тази група методи включва следните методи:
- изтриване (метод на двойно предпочитание);
- северозападен ъгъл;
- минимален елемент;
- Приближения на Фогел.
Справочно решение на транспортната задача
Справочното решение на транспортния проблеме всяко възможно решение, за което векторите на условието, съответстващи на положителните координати, са линейно независими. За проверка на линейната независимост на векторите на условията, съответстващи на координатите на допустимо решение, се използват цикли.ЦикълИзвиква се поредица от клетки в таблица на транспортна задача, в която две и само съседни клетки са разположени в един и същи ред или колона, а първата и последната също са в един и същи ред или колона. Система от вектори на условията на транспортната задача е линейно независима тогава и само ако не може да се формира цикъл от съответните клетки на таблицата. Следователно допустимо решение на транспортната задача, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n е препратка само ако не може да се образува цикъл от заетите от нея клетки на таблицата.
Приблизителни методи за решаване на транспортната задача.
Метод на зачеркване (метод на двойно предпочитание). Ако има една заета клетка в ред или колона на таблица, тогава тя не може да бъде включена в нито един цикъл, тъй като цикълът има две и само две клетки във всяка колона. Следователно можете да задраскате всички редове на таблицата, които съдържат една заета клетка, след това да задраскате всички колони, които съдържат една заета клетка, след това да се върнете към редовете и да продължите да зачертавате редове и колони. Ако в резултат на изтриването всички редове и колони са зачеркнати, това означава, че от заетите клетки на таблицата е невъзможно да се избере част, която образува цикъл, а системата от съответни вектори на условия е линейно независима, а решението е референтно. Ако след изтриването останат някои клетки, тогава тези клетки образуват цикъл, системата от съответните вектори от условия е линейно зависима и решението не е референтно.
Метод на северозападния ъгълсе състои от последователно преминаване през редовете и колоните на транспортната таблица, започвайки от лявата колона и горния ред, и изписване на максималните възможни пратки в съответните клетки на таблицата, така че възможностите на доставчика или нуждите на потребителя, посочени в задача не са превишени. При този метод не се обръща внимание на цените за доставка, тъй като се предполага допълнителна оптимизация на пратките.
Метод на минималния елемент. Отличава се с простота този методвсе още по-ефективен от, например, метода на северозападния ъгъл. Освен това методът на минималния елемент е ясен и логичен. Същността му е, че в транспортната таблица първо се попълват клетките с най-ниски тарифи, а след това клетките с високи тарифи. Тоест избираме транспорт с минимални разходи за доставка на товари. Това е очевиден и логичен ход. Вярно е, че не винаги води до оптималния план.
Апроксимационен метод на Фогел. При апроксимационния метод на Vogel при всяка итерация се намира разликата между двете записани в тях минимални тарифи за всички колони и всички редове. Тези разлики се записват в специално определен ред и колона в таблицата с условия на проблема. Сред посочените разлики се избира минималната. В реда (или колоната), на който съответства тази разлика, се определя минималната тарифа. Клетката, в която е записан, се попълва при тази итерация.
Пример №1. Тарифна матрица (тук броят на доставчиците е 4, броят на магазините е 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Резерви | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| потребности | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Условието за баланс е изпълнено. Задоволява равни нужди. И така, моделът на транспортния проблем е затворен. Ако моделът беше отворен, би било необходимо да се въведат допълнителни доставчици или потребители.
На втори етапРеферентният план се търси с помощта на методите, дадени по-горе (най-често срещаният е методът на най-ниската цена).
За да демонстрираме алгоритъма, представяме само няколко итерации.
Итерация №1. Минималният матричен елемент е нула. За този елемент запасите са 60, а изискванията са 30. От тях избираме минималното число 30 и го изваждаме (виж таблицата). В същото време задраскваме шестата колона от таблицата (нуждите й са равни на 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | х | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | х | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | х | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Итерация № 2. Отново търсим минимума (0). От двойката (60;50) избираме минималното число 50. Зачертайте петата колона.
| 3 | 20 | 8 | х | 4 | х | 80 |
| 4 | 4 | 18 | х | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | х | 6 | х | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | х | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Итерация № 3. Продължаваме процеса, докато не изберем всички нужди и консумативи.
Итерация № N. Елементът, който търсите, е 8. За този елемент доставките са равни на изискванията (40).
| 3 | х | 8 | х | 4 | х | 40 - 40 = 0 |
| х | х | х | х | 3 | 0 | 0 |
| х | 4 | х | х | х | х | 0 |
| х | х | х | 0 | 1 | х | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Резерви | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| потребности | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Нека преброим броя на заетите клетки на таблицата, те са 8, но трябва да бъде m + n - 1 = 9. Следователно планът за поддръжка е изроден. Правим нов план. Понякога трябва да изградите няколко референтни плана, преди да намерите неизроден такъв.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Резерви | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| потребности | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
В резултат на това се получава първият опорен план, който е валиден, тъй като броят на заетите клетки на таблицата е 9 и отговаря на формулата m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, т.е. референтният план е неизродени.
Трети етапсе състои в подобряване на намерения референтен план. Тук те използват потенциалния метод или метода на разпространение. На този етап коректността на решението може да се следи чрез функцията на разходите F(x) . Ако намалява (при минимизиране на разходите), тогава решението е правилно.
Пример №2. Използвайки метода на минималната тарифа, представете първоначален план за решаване на транспортен проблем. Проверете за оптималност, като използвате потенциалния метод.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Пример №3. Четири сладкарски фабрики могат да произвеждат три вида сладкарски изделия. Производствените разходи за един центнер (центнер) сладкарски изделия от всяка фабрика, производственият капацитет на фабриките (центнер на месец) и дневните нужди от сладкарски изделия (центнер на месец) са посочени в таблицата. Направете план за производство на сладкарски изделия, който минимизира общите производствени разходи.
Забележка. Тук можете първо да транспонирате таблицата на разходите, тъй като за класическата формулировка на транспортния проблем капацитетът (производството) е на първо място, а след това потребителите.
Пример №4. За изграждането на съоръженията се доставят тухли от три (I, II, III) завода. Фабриките имат съответно 50, 100 и 50 хиляди единици в складове. тухли Обектите изискват съответно 50, 70, 40 и 40 хиляди парчета. тухли Тарифите (ден. единици/хиляда единици) са дадени в таблицата. Създайте транспортен план, който минимизира общите транспортни разходи.
ще бъде затворен, ако:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Условие на затворената транспортна задача: ∑a = ∑b
Намираме, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Получаваме: 55+b = 60+a
Равенството ще бъде спазено само когато a=40, b=45
