আসুন মূল সমীকরণটিকে একটি সমতুল্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং নিয়ম অনুসারে পুনরাবৃত্তি করি 
. সুতরাং, সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি হল একটি এক-পদক্ষেপ পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া। এই প্রক্রিয়াটি শুরু করার জন্য, আপনাকে প্রাথমিক আনুমানিকতা জানতে হবে। আসুন আমরা পদ্ধতির একত্রিত হওয়ার শর্ত এবং প্রাথমিক আনুমানিকতার পছন্দ খুঁজে বের করি।
টিকিট#29
সিডেল পদ্ধতি
সিডেল পদ্ধতি (কখনও কখনও গাউস-সিডেল পদ্ধতি বলা হয়) হল সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির একটি পরিবর্তন, যার মধ্যে রয়েছে যে পরবর্তী অনুমান x (k+1) গণনা করার সময় (সূত্র দেখুন (1.13), (1.14)) এর ইতিমধ্যে প্রাপ্ত উপাদান x 1 ( k+1), ...,x i - 1 (k+1) অবিলম্বে x i (k+1) গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
সমন্বিত স্বরলিপি আকারে, সিডেল পদ্ধতির ফর্ম রয়েছে:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
যেখানে x (0) হল সমাধানের কিছু প্রাথমিক অনুমান।
এইভাবে, (k+1)-তম অনুমানের i-th উপাদানটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
সিডেল পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার সমাপ্তির শর্ত যখন ε একটি সরলীকৃত আকারে নির্ভুলতা অর্জন করা হয় তখন ফর্মটি থাকে:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε।
টিকিট#30
উত্তীর্ণ পদ্ধতি
একটি ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্স সহ A x = b সিস্টেমগুলি সমাধান করতে, প্রায়শই সুইপ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, যা এই ক্ষেত্রে গাউস পদ্ধতির একটি অভিযোজন।
আসুন সমীকরণের সিস্টেম লিখি
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
ম্যাট্রিক্স আকারে: A x = b যেখানে
ক = 
আসুন তাদের প্রয়োগের ক্রম অনুসারে সুইপ পদ্ধতির সূত্রগুলি লিখি।
1. সুইপ পদ্ধতির সরাসরি স্ট্রোক (সহায়ক পরিমাণের গণনা):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. বিপরীত স্ট্রোকসুইপ পদ্ধতি (একটি সমাধান খোঁজা):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
টিকিট#31
সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি
পদ্ধতির সারমর্ম সহজ পুনরাবৃত্তিসমীকরণ থেকে সরানো নিয়ে গঠিত
f(x)= 0 (*)
সমতুল্য সমীকরণে
এক্স=φ(x). (**)
এই রূপান্তর করা যেতে পারে ভিন্ন পথ, প্রকারের উপর নির্ভর করে f(x). উদাহরণস্বরূপ, আপনি লাগাতে পারেন
φ(x) = এক্স+bf(x),(***)
কোথায় খ= const, এবং roots মূল সমীকরণপরিবর্তন হবে না।
মূলের প্রাথমিক আন্দাজ জানা থাকলে x 0, তারপর নতুন আনুমানিক
x 1=φx(0),
সেগুলো. পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার সাধারণ স্কিম:
x k+1=φ(x k).(****)
প্রক্রিয়া শেষ করার জন্য সবচেয়ে সহজ মানদণ্ড
|x k +1 -x k |<ε.
অভিন্নতার মানদণ্ডসহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি:
যদি মূলের কাছে | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого এক্স, তারপর যেকোন প্রাথমিক আনুমানিকতার জন্য পুনরাবৃত্তিগুলি একত্রিত হয়।
আসুন ধ্রুবকের পছন্দটি অন্বেষণ করি খসর্বোচ্চ অভিসার গতি নিশ্চিত করার দৃষ্টিকোণ থেকে। অভিসারের মানদণ্ড অনুসারে, অভিসারণের সর্বোচ্চ গতি নিশ্চিত করা হয় যখন |φ / (x)| = 0. একই সময়ে, (***) এর উপর ভিত্তি করে, b = –1/f / (x),এবং পুনরাবৃত্তি সূত্র (****) ভিতরে যায় x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1)।-সেগুলো. নিউটনের পদ্ধতির সূত্রে সুতরাং, নিউটনের পদ্ধতি হল সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির একটি বিশেষ কেস, যা একটি ফাংশন বেছে নেওয়ার জন্য সম্ভাব্য সমস্ত বিকল্পের অভিসারের সর্বোচ্চ গতি প্রদান করে। φ(x).
টিকিট#32
নিউটনের পদ্ধতি
পদ্ধতিটির মূল ধারণাটি নিম্নরূপ: অনুমানমূলক মূলের কাছাকাছি একটি প্রাথমিক অনুমান নির্দিষ্ট করা হয়, তারপরে অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনের একটি স্পর্শক আনুমানিক বিন্দুতে নির্মিত হয়, যার জন্য অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে ছেদ পাওয়া যায়। এই বিন্দুটি পরবর্তী আনুমানিক হিসাবে নেওয়া হয়। এবং তাই যতক্ষণ না প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জন করা হয়।
একটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন হতে দিন এবং এটিতে পার্থক্যযোগ্য। তারপরে পুনরাবৃত্তিমূলক অনুমান ক্যালকুলাসের সূত্রটি নিম্নরূপ উদ্ভূত হতে পারে:
যেখানে α বিন্দুতে স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ।
অতএব, এর জন্য প্রয়োজনীয় অভিব্যক্তিটির ফর্ম রয়েছে:
টিকিট#33
গোল্ডেন রেশিও পদ্ধতি
গোল্ডেন রেশিও পদ্ধতি আপনাকে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে শুধুমাত্র একটি ফাংশন মান গণনা করে ব্যবধান দূর করতে দেয়। দুটি বিবেচিত ফাংশন মানগুলির ফলস্বরূপ, ভবিষ্যতে যে ব্যবধানটি ব্যবহার করা উচিত তা নির্ধারিত হয়। এই ব্যবধানে পূর্ববর্তী বিন্দুগুলির একটি থাকবে এবং পরবর্তী বিন্দুটি প্রতিসমভাবে স্থাপন করা হবে। বিন্দুটি ব্যবধানটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করে যাতে পুরো অংশের সাথে বৃহত্তর অংশের অনুপাতটি বৃহত্তর অংশের ছোট অংশের অনুপাতের সমান হয়, অর্থাৎ তথাকথিত "সুবর্ণ অনুপাত" এর সমান।
ব্যবধানটিকে অসম অংশে ভাগ করা আপনাকে আরও কার্যকর পদ্ধতি খুঁজে পেতে দেয়। আসুন আমরা সেগমেন্টের শেষে ফাংশনটি গণনা করি [ ক,খ] এবং রাখ ক=এক্স 1 , খ=এক্স 2. আসুন আমরা দুটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে ফাংশনটি গণনা করি এক্স 3 , এক্স 4 আসুন ফাংশনের চারটি মান তুলনা করি এবং তাদের মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি বেছে নেওয়া যাক। উদাহরণস্বরূপ, সবচেয়ে ছোট হতে চালু করা যাক চ(x 3) স্পষ্টতই, ন্যূনতমটি অবশ্যই এটির সংলগ্ন অংশগুলির একটিতে হতে হবে। তাই সেগমেন্টটি [ এক্স 4 ,খ] বাতিল করে সেগমেন্ট ছেড়ে যেতে পারে। 
প্রথম পদক্ষেপ নেওয়া হয়েছে। সেগমেন্টে, আপনাকে আবার দুটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু নির্বাচন করতে হবে, তাদের এবং প্রান্তে ফাংশনের মানগুলি গণনা করতে হবে এবং পরবর্তী পদক্ষেপ নিতে হবে। কিন্তু গণনার আগের ধাপে, আমরা ইতিমধ্যেই নতুন সেগমেন্টের শেষে এবং এর অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলির একটিতে ফাংশনটি খুঁজে পেয়েছি এক্স 4 অতএব, ভিতরে আরও একটি পয়েন্ট নির্বাচন করা যথেষ্ট x 5এতে ফাংশনের মান নির্ধারণ করুন এবং প্রয়োজনীয় তুলনা করুন। এটি প্রতি প্রক্রিয়া ধাপে প্রয়োজনীয় গণনার পরিমাণকে চারগুণ করে। পয়েন্ট স্থাপন করার সেরা উপায় কি? প্রতিবার অবশিষ্ট অংশটিকে তিনটি ভাগে ভাগ করা হয় এবং তারপরে বাইরের অংশগুলির একটি বাতিল করা হয়।
এর দ্বারা প্রাথমিক অনিশ্চয়তার ব্যবধান বোঝানো যাক ডি.
যেহেতু সাধারণ ক্ষেত্রে সেগমেন্টের যে কোনোটি বাতিল করা যেতে পারে X 1, X 3বা X 4, X 2তারপর পয়েন্ট নির্বাচন করুন X 3এবং X 4যাতে এই অংশগুলির দৈর্ঘ্য একই হয়:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
বাতিল করার পরে, আমরা একটি নতুন দৈর্ঘ্য অনিশ্চয়তার ব্যবধান পাই ডি'.
সম্পর্ক বোঝানো যাক ডি/ডি'চিঠি φ:
অর্থাৎ, আসুন সেট করি, পরবর্তী অনিশ্চয়তার ব্যবধান কোথায়। কিন্তু
পূর্ববর্তী পর্যায়ে বাতিল করা অংশের দৈর্ঘ্যের সমান, অর্থাৎ
তাই আমরা পাই:
.
এই সমীকরণ বা, সমতুল্য বাড়ে 
.
এই সমীকরণের ইতিবাচক মূল দেয়
.
টিকিট#34
ফাংশনের ইন্টারপোলেশন, যেমন একটি প্রদত্ত ফাংশন ব্যবহার করে, আরেকটি (সাধারণত সহজ) ফাংশন তৈরি করা যার মান নির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়। অধিকন্তু, ইন্টারপোলেশনের ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক উভয়ই তাৎপর্য রয়েছে।
সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি, যাকে ধারাবাহিক আনুমানিক পদ্ধতিও বলা হয়, এটি একটি অজানা পরিমাণের মান ধীরে ধীরে পরিমার্জন করে খুঁজে বের করার জন্য একটি গাণিতিক অ্যালগরিদম। এই পদ্ধতির সারমর্ম হল যে, নাম অনুসারে, ধীরে ধীরে প্রাথমিক অনুমান থেকে পরবর্তীগুলি প্রকাশ করে, আরও বেশি পরিশ্রুত ফলাফল পাওয়া যায়। এই পদ্ধতিটি একটি প্রদত্ত ফাংশনে একটি ভেরিয়েবলের মান খুঁজে বের করার পাশাপাশি রৈখিক এবং অরৈখিক উভয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত হয়।
আসুন আমরা বিবেচনা করি যে SLAE গুলি সমাধান করার সময় এই পদ্ধতিটি কীভাবে প্রয়োগ করা হয়। সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম রয়েছে:
1. মূল ম্যাট্রিক্সে কনভারজেন্স শর্তের পূর্ণতা পরীক্ষা করা হচ্ছে। কনভারজেন্স থিওরেম: যদি সিস্টেমের মূল ম্যাট্রিক্সে তির্যক আধিপত্য থাকে (অর্থাৎ, প্রতিটি সারিতে, প্রধান কর্ণের উপাদানগুলি পরম মানের গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির যোগফলের থেকে পরম মানতে বেশি হতে হবে), তাহলে সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি অভিসারী।
2. মূল সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের সবসময় একটি তির্যক প্রাধান্য থাকে না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সিস্টেম রূপান্তর করা যেতে পারে। যে সমীকরণগুলি অভিসারী অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে সেগুলিকে অস্পৃশ্য রেখে দেওয়া হয়, এবং রৈখিক সমন্বয়গুলি তৈরি করা হয় যেগুলি নয়, যেমন পছন্দসই ফলাফল না পাওয়া পর্যন্ত একে অপরের সাথে গুণ, বিয়োগ, সমীকরণ যোগ করুন।
যদি ফলস্বরূপ সিস্টেমে প্রধান তির্যকটিতে অসুবিধাজনক সহগ থাকে, তবে i * x i সহ ফর্মের শর্তগুলি এই জাতীয় সমীকরণের উভয় পাশে যুক্ত করা হয়, যার লক্ষণগুলি অবশ্যই তির্যক উপাদানগুলির লক্ষণগুলির সাথে মিলে যায়।
3. ফলে সিস্টেমের স্বাভাবিক আকারে রূপান্তর:
x - =β - +α*x -
এটি অনেক উপায়ে করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, এইরকম: প্রথম সমীকরণ থেকে, x 1 প্রকাশ করুন অন্যান্য অজানা পরিপ্রেক্ষিতে, দ্বিতীয় থেকে - x 2, তৃতীয় থেকে - x 3, ইত্যাদি। এই ক্ষেত্রে আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করি:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
আপনার আবার নিশ্চিত হওয়া উচিত যে স্বাভাবিক ফর্মের ফলে সিস্টেমটি কনভারজেন্স শর্ত পূরণ করে:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, যখন i= 1,2,...n
4. আমরা বাস্তবে প্রয়োগ করতে শুরু করি, পরপর অনুমান পদ্ধতি নিজেই।
x (0) হল প্রাথমিক অনুমান, আমরা এর মাধ্যমে x (1) প্রকাশ করব, তারপর আমরা x (1) এর মাধ্যমে x (2) প্রকাশ করব। ম্যাট্রিক্স আকারে সাধারণ সূত্রটি এইরকম দেখাচ্ছে:
x (n) = β - +α*x (n-1)
আমরা প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অর্জন না করা পর্যন্ত আমরা গণনা করি:
সর্বোচ্চ |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
সুতরাং, এর সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি অনুশীলন করা যাক. উদাহরণ:
SLAE সমাধান করুন:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 নির্ভুলতার সাথে ε=10 -3
চলুন দেখি মডুলাসে তির্যক উপাদান প্রাধান্য পায় কিনা।
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে শুধুমাত্র তৃতীয় সমীকরণটি অভিসারী অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন প্রথম এবং দ্বিতীয়টি রূপান্তর করি এবং প্রথম সমীকরণে দ্বিতীয়টি যোগ করি:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
তৃতীয় থেকে আমরা প্রথমটি বিয়োগ করি:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
আমরা মূল সিস্টেমটিকে একটি সমতুল্যে রূপান্তরিত করেছি:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
এখন সিস্টেমটিকে তার স্বাভাবিক আকারে নিয়ে আসা যাক:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
আমরা পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়ার সংমিশ্রণ পরীক্ষা করি:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, অর্থাৎ শর্ত পূরণ করা হয়।
0,3947
প্রাথমিক অনুমান x(0) = 0.4762
0,8511
এই মানগুলিকে সাধারণ ফর্ম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা নিম্নলিখিত মানগুলি পাই:
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
নতুন মান প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে এমন মানগুলির কাছে না যাওয়া পর্যন্ত আমরা গণনা চালিয়ে যাই।
x (7) = 0.441091
প্রাপ্ত ফলাফলের সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
প্রাপ্ত মানগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি সমীকরণের শর্তগুলিকে সম্পূর্ণরূপে সন্তুষ্ট করে।
আমরা দেখতে পাচ্ছি, সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি মোটামুটি সঠিক ফলাফল দেয়, কিন্তু এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য আমাদের অনেক সময় ব্যয় করতে হয়েছিল এবং কষ্টকর গণনা করতে হয়েছিল।
n অজানা সহ n বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া যাক:
সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির জন্য অ্যালগরিদম:
উল্লেখ্য যে এখানে এবং তারপরে নিম্ন সূচকটি অজানা ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট উপাদানকে নির্দেশ করে এবং উপরের সূচকটি পুনরাবৃত্তি (আনুমানিক) সংখ্যাকে নির্দেশ করে।
তারপর একটি চক্রীয় গাণিতিক প্রক্রিয়া গঠিত হয়, যার প্রতিটি চক্র একটি পুনরাবৃত্তি প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ফলে, অজানা ভেক্টরের একটি নতুন মান প্রাপ্ত হয়। পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া সংগঠিত করার জন্য, আমরা হ্রাস আকারে সিস্টেম (1) লিখি। এই ক্ষেত্রে, প্রধান তির্যকের পদগুলি স্বাভাবিক করা হয় এবং সমান চিহ্নের বাম দিকে থাকে এবং বাকিগুলি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়। সমীকরণের হ্রাস সিস্টেমফর্ম আছে:
লক্ষ্য করুন কখনই অর্জন করা হবে না, কিন্তু প্রতিটি পরবর্তী পুনরাবৃত্তির সাথে অজানা ভেক্টর সঠিক সমাধানের কাছাকাছি যায়।
12. একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মৌলিক পুনরাবৃত্তি সূত্র:
13. একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া বন্ধ করার মানদণ্ড:
পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া শেষ হয় যদি অজানা ভেক্টরের প্রতিটি i-তম উপাদানের জন্য নির্ভুলতা অর্জনের শর্ত পূরণ করা হয়।
লক্ষ্য করুন সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিতে সঠিক সমাধানকখনোই অর্জিত হবে না, যাইহোক, প্রতিটি পরবর্তী পুনরাবৃত্তির সাথে অজানা ভেক্টর সঠিক সমাধানের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি হয়
14. ব্যবধানের পুনরাবৃত্তিমূলক অংশের জন্য অক্জিলিয়ারী ফাংশন F(x) বেছে নেওয়ার মানদণ্ড:
সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির সমাধান করার জন্য গণিতে একটি পরীক্ষা নেওয়ার সময়, প্রথমে অভিসার অবস্থা পরীক্ষা করা আবশ্যক। পদ্ধতিটি একত্রিত করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে ম্যাট্রিক্স A-তে সমস্ত তির্যক উপাদানগুলির পরম মানগুলি সংশ্লিষ্ট সারির অন্যান্য সমস্ত উপাদানের মডিউলির যোগফলের চেয়ে বেশি:
পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির অসুবিধাএটি একটি বরং কঠোর কনভারজেন্স শর্ত, যা সমীকরণের সমস্ত সিস্টেমের জন্য সন্তুষ্ট নয়।
যদি কনভারজেন্স শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে পরবর্তী পর্যায়ে অজানা ভেক্টরের একটি প্রাথমিক আনুমানিকতা নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন, যা সাধারণত শূন্য ভেক্টর হয়:
15. রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত গাউস পদ্ধতিটি প্রদান করে:
পদ্ধতিটি একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে রূপান্তরের উপর ভিত্তি করে। এটি সিস্টেম সমীকরণ থেকে ক্রমানুসারে অজানা বাদ দিয়ে অর্জন করা হয়।
সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটি একটি সমতুল্য সমীকরণের সাথে মূল সমীকরণ প্রতিস্থাপনের উপর ভিত্তি করে:
মূলের প্রাথমিক অনুমান জানা যাক x = x 0. এটিকে সমীকরণের (2.7) ডান দিকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি নতুন অনুমান পাই 
, তারপর একই ভাবে আমরা পেতে 
ইত্যাদি:
. (2.8)
 |
সমস্ত অবস্থার অধীনে পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া সমীকরণের মূলে রূপান্তরিত হয় না এক্স. আসুন এই প্রক্রিয়াটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। চিত্র 2.6 একটি একমুখী অভিসারী এবং ভিন্ন প্রক্রিয়ার একটি গ্রাফিক্যাল ব্যাখ্যা দেখায়। চিত্র 2.7 দ্বিমুখী অভিসারী এবং অপসারণ প্রক্রিয়া দেখায়। একটি ভিন্ন প্রক্রিয়াটি যুক্তি এবং ফাংশনের মানগুলির দ্রুত বৃদ্ধি এবং সংশ্লিষ্ট প্রোগ্রামের অস্বাভাবিক সমাপ্তির দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
 |
একটি দ্বি-মুখী প্রক্রিয়ার মাধ্যমে, সাইক্লিং সম্ভব, অর্থাৎ একই ফাংশন এবং আর্গুমেন্ট মানগুলির অবিরাম পুনরাবৃত্তি। লুপিং একটি অভিসারী প্রক্রিয়া থেকে একটি ভিন্ন প্রক্রিয়াকে পৃথক করে।
গ্রাফগুলি থেকে এটি স্পষ্ট যে একমুখী এবং দ্বিমুখী উভয় প্রক্রিয়ার জন্য, মূলের অভিসরণ মূলের কাছাকাছি বক্ররেখার ঢাল দ্বারা নির্ধারিত হয়। ঢাল যত ছোট, কনভারজেন্স তত ভালো। হিসাবে জানা যায়, একটি বক্ররেখার ঢালের স্পর্শক একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে বক্ররেখার ডেরিভেটিভের সমান।
অতএব, মূলের কাছাকাছি সংখ্যা যত কম হবে, প্রক্রিয়াটি তত দ্রুত একত্রিত হবে।
পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি অভিসারী হওয়ার জন্য, মূলের আশেপাশে নিম্নলিখিত অসমতা অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে:
সমীকরণ (2.1) থেকে সমীকরণে (2.7) রূপান্তরটি ফাংশনের ধরণের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন উপায়ে সঞ্চালিত হতে পারে f(x)।এই ধরনের ট্রানজিশনে, ফাংশনটি তৈরি করা প্রয়োজন যাতে কনভারজেন্স অবস্থা (2.9) সন্তুষ্ট হয়।
সমীকরণ (2.1) থেকে সমীকরণে (2.7) রূপান্তরের জন্য সাধারণ অ্যালগরিদমগুলির একটি বিবেচনা করা যাক।
আসুন সমীকরণের (2.1) বাম এবং ডান দিকগুলিকে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক দ্বারা গুণ করি খএবং উভয় অংশে অজানা যোগ করুন এক্স.এই ক্ষেত্রে, মূল সমীকরণের শিকড় পরিবর্তন হবে না:
স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক 
এবং আসুন সম্পর্ক (2.10) থেকে সমীকরণে (2.8) চলে যাই।
 |
ধ্রুবকের নির্বিচারে পছন্দ খকনভারজেন্স শর্ত পূরণ নিশ্চিত করবে (2.9)। পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া শেষ করার মাপকাঠি হবে শর্ত (2.2)। চিত্র 2.8 উপস্থাপনের বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সরল পুনরাবৃত্তির পদ্ধতির একটি গ্রাফিক্যাল ব্যাখ্যা দেখায় (X এবং Y অক্ষ বরাবর দাঁড়িপাল্লা আলাদা)।
যদি একটি ফাংশন ফর্মে নির্বাচন করা হয়, তাহলে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ হবে। কনভারজেন্সের সর্বোচ্চ গতি হবে তখন 
এবং পুনরাবৃত্তি সূত্র (2.11) নিউটনের সূত্রে যায়। এইভাবে, নিউটনের পদ্ধতিতে সমস্ত পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার সর্বোচ্চ মাত্রা রয়েছে।
সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির সফ্টওয়্যার বাস্তবায়ন একটি সাবরুটিন পদ্ধতির আকারে তৈরি করা হয় ইটারাস(প্রোগ্রাম 2.1)।
পুরো পদ্ধতিটি কার্যত একটি পুনরাবৃত্তি নিয়ে গঠিত ... চক্র পর্যন্ত, পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া (সূত্র (2.2)) বন্ধ করার শর্ত বিবেচনা করে সূত্র (2.11) বাস্তবায়ন করা।
নাইটার ভেরিয়েবল ব্যবহার করে লুপের সংখ্যা গণনা করে পদ্ধতিতে অন্তর্নির্মিত লুপ সুরক্ষা রয়েছে। ব্যবহারিক ক্লাসে, আপনাকে প্রোগ্রামটি চালানোর মাধ্যমে নিশ্চিত করতে হবে যে সহগের পছন্দ কীভাবে প্রভাবিত করে খএবং রুট অনুসন্ধানের প্রক্রিয়ায় প্রাথমিক অনুমান। সহগ পরিবর্তন করার সময় খঅধ্যয়নের অধীনে ফাংশনের জন্য পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার প্রকৃতি পরিবর্তন হয়। এটি প্রথমে দ্বিমুখী হয়ে যায় এবং তারপরে লুপ হয়ে যায় (চিত্র 2.9)। অক্ষ দাঁড়িপাল্লা এক্সএবং Yভিন্ন. মডুলাস b-এর আরও বড় মান একটি ভিন্ন প্রক্রিয়ার দিকে নিয়ে যায়।
সমীকরণের আনুমানিক সমাধানের জন্য পদ্ধতির তুলনা
সমীকরণের সংখ্যাসূচক সমাধানের জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলির তুলনা একটি প্রোগ্রাম ব্যবহার করে করা হয়েছিল যা আপনাকে পিসি স্ক্রিনে গ্রাফিকাল আকারে রুট খুঁজে পাওয়ার প্রক্রিয়াটি পর্যবেক্ষণ করতে দেয়। এই প্রোগ্রামে অন্তর্ভুক্ত পদ্ধতি এবং তুলনামূলক পদ্ধতিগুলি বাস্তবায়ন নীচে দেওয়া হল (প্রোগ্রাম 2.1)।
ভাত। 2.3-2.5, 2.8, 2.9 হল পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার শেষে পিসি স্ক্রিনের কপি।
সমস্ত ক্ষেত্রে, দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 -x-6 = 0 অধ্যয়নের অধীনে ফাংশন হিসাবে নেওয়া হয়েছিল, যার একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান x 1 = -2 এবং x 2 = 3 রয়েছে। ত্রুটি এবং প্রাথমিক অনুমানগুলি সমস্ত পদ্ধতির জন্য সমান ধরে নেওয়া হয়েছিল। রুট অনুসন্ধান ফলাফল x= 3, পরিসংখ্যান উপস্থাপিত, নিম্নরূপ. দ্বি-বিভাজন পদ্ধতিটি ধীরতম - 22টি পুনরাবৃত্তিকে একত্রিত করে, দ্রুততমটি হল b = -0.2 - 5টি পুনরাবৃত্তি সহ সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি। নিউটনের পদ্ধতি সবচেয়ে দ্রুত এই বক্তব্যের সাথে এখানে কোনো বিরোধ নেই।
বিন্দুতে অধ্যয়নের অধীনে ফাংশনের ডেরিভেটিভ এক্স= 3 সমান -0.2, অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে গণনাটি কার্যত নিউটনের পদ্ধতিতে সমীকরণের মূলের বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান দিয়ে করা হয়েছিল। সহগ পরিবর্তন করার সময় খঅভিসারের হার কমে যায় এবং ধীরে ধীরে অভিসারী প্রক্রিয়াটি প্রথমে চক্রে যায় এবং তারপরে ভিন্ন হয়ে যায়।
(2.1) এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, সিস্টেম (5.1) নিম্নলিখিত সমতুল্য আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
যেখানে g(x) ভেক্টর আর্গুমেন্টের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক ভেক্টর ফাংশন। অরৈখিক সমীকরণগুলির সিস্টেমগুলি প্রায়শই (5.2) আকারে সরাসরি উত্থিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সংখ্যাসূচক স্কিমগুলিতে); এই ক্ষেত্রে, সমীকরণগুলি (5.1) কে সিস্টেমে (5.2) রূপান্তর করার জন্য কোনও অতিরিক্ত প্রচেষ্টার প্রয়োজন হয় না। যদি আমরা একটি সমীকরণের জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির সাথে সাদৃশ্যটি চালিয়ে যাই, তাহলে সমীকরণ (5.2) এর উপর ভিত্তি করে পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপ সংগঠিত হতে পারে:
- 1) কিছু প্রাথমিক ভেক্টর x (,) e 5 o (x 0, ক)(এটা ধরে নেওয়া হয় যে x*e 5″(x 0, ক));
- 2) পরবর্তী অনুমানগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়
তারপর পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া সম্পন্ন হয় এবং
আগের মতই, আমাদের খুঁজে বের করতে হবে কোন অবস্থায়
আসুন একটি সহজ বিশ্লেষণ সম্পাদন করে এই সমস্যাটি আলোচনা করা যাক। প্রথমে আমরা ith আনুমানিকতার ত্রুটিটিকে e(^ = x(i) - x* হিসাবে উপস্থাপন করি। তারপর আমরা লিখতে পারি
আসুন এই অভিব্যক্তিগুলিকে (5.3) এ প্রতিস্থাপন করি এবং g(x* + e (/i)) শক্তিতে প্রসারিত করি e(k>ভেক্টর আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন হিসাবে x* এর আশেপাশে (ধরে নিচ্ছি যে ফাংশন g(x) এর সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভ অবিচ্ছিন্ন)। এটাও বিবেচনায় রাখলে যে x* = g(x*), আমরা পাই
অথবা ম্যাট্রিক্স আকারে
খ = (বিএনএম)= I (x*)1 - পুনরাবৃত্তি ম্যাট্রিক্স।
যদি ত্রুটির হার ||e®|| যথেষ্ট ছোট, তাহলে অভিব্যক্তির ডান দিকের দ্বিতীয় শব্দটি (5.4) উপেক্ষা করা যেতে পারে এবং তারপরে এটি অভিব্যক্তি (2.16) এর সাথে মিলে যায়। ফলস্বরূপ, সঠিক সমাধানের কাছাকাছি পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া (5.3) এর একত্রিত হওয়ার শর্তটি উপপাদ্য 3.1 দ্বারা বর্ণিত হয়েছে।
সরল পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির কনভারজেন্স। প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্তপুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়ার একত্রীকরণের জন্য (5.3): 
এবং একটি পর্যাপ্ত শর্ত:
এই শর্তগুলি ব্যবহারিক তাত্পর্যের পরিবর্তে তাত্ত্বিক, যেহেতু আমরা x' জানি না। (1.11) এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, আমরা একটি শর্ত পাই যা দরকারী হতে পারে। ধরুন x* e 5 o (x 0, ক)এবং g(x) ফাংশনের জন্য জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স
সকল x e এর জন্য বিদ্যমান S n (x 0 , a) (উল্লেখ্য যে C(x*) = B)। যদি ম্যাট্রিক্স C(x) এর উপাদানগুলি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে
সকলের জন্য x e 5″(x 0, ক),তারপর পর্যাপ্ত শর্ত (5.5) কোনো ম্যাট্রিক্স আদর্শের জন্যও সন্তুষ্ট।
উদাহরণ 5.1 (সরল পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি) বিবেচনা করুন নিম্নলিখিত সিস্টেমসমীকরণ:
এই সিস্টেমটিকে সমতুল্য আকারে উপস্থাপন করার একটি সম্ভাবনা (5.2) প্রকাশ করা এক্সপ্রথম সমীকরণ থেকে এবং x 2দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: 
তারপর পুনরাবৃত্তি স্কিম ফর্ম আছে
সঠিক সমাধান হল x*e 5″((2, 2), 1)। আসুন প্রাথমিক ভেক্টর x (0) = (2,2) এবং নির্বাচন করি ? p =সিটি 5। গণনার ফলাফল টেবিলে উপস্থাপন করা হয়। 5.1।
সারণি 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
এই ফলাফলগুলি দেখায় যে অভিসারণটি বেশ ধীর। কনভারজেন্সের একটি পরিমাণগত বৈশিষ্ট্য পাওয়ার জন্য, আমরা x (1/) কে একটি সঠিক সমাধান হিসাবে বিবেচনা করে একটি সাধারণ বিশ্লেষণ করি। আমাদের পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনের জন্য জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স C(x) এর ফর্ম রয়েছে
তারপর ম্যাট্রিক্স বি আনুমানিক হিসাবে অনুমান করা হয়
এটি পরীক্ষা করা সহজ যে শর্ত (5.5) বা শর্ত (5.6) উভয়ই সন্তুষ্ট নয়, কিন্তু 5(B) ~ 0.8 থেকে একত্রিত হয়।
প্রায়ই গণনা প্রক্রিয়ায় সামান্য পরিবর্তন করে সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির অভিসারকে গতি বাড়ানো সম্ভব। এই পরিবর্তনের ধারণাটি খুবই সহজ: গণনা করা পৃম ভেক্টর উপাদান x (A+1)না শুধুমাত্র ব্যবহার করা যেতে পারে (t = n,..., এন), কিন্তু পরবর্তী আনুমানিক ভেক্টরের ইতিমধ্যে গণনা করা উপাদানগুলিও x k^ (/= 1,P - 1)। সুতরাং, সংশোধিত সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটি নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি স্কিম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
যদি পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া (5.3) দ্বারা উত্পন্ন অনুমানগুলি একত্রিত হয়, তবে পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া (5.8) তথ্যের আরও সম্পূর্ণ ব্যবহারের কারণে দ্রুত একত্রিত হতে থাকে।
উদাহরণ 5.2 (সংশোধিত সাধারণ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি) সিস্টেমের জন্য পরিবর্তিত সরল পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি (5.7) হিসাবে উপস্থাপন করা হয়
আগের মতো, আমরা প্রাথমিক ভেক্টর x (0) = (2, 2) এবং নির্বাচন করি g r = = 10 -5। গণনার ফলাফল টেবিলে উপস্থাপন করা হয়। 5.2।
সারণি 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I গণনার ক্রমে বড় পরিবর্তনের ফলে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা অর্ধেক হয়ে যায় এবং সেইজন্য অপারেশনের সংখ্যা অর্ধেক হয়।
