প্রথমে, দুটি চলকের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। $M_0(x_0;y_0)$ বিন্দুতে একটি ফাংশনের $z=f(x,y)$ শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম হল এই ফাংশনের এক্সট্রিমাম, এই শর্তে অর্জন করা হয়েছে যে ভেরিয়েবল $x$ এবং $y$ এই বিন্দুর আশেপাশে সংযোগ সমীকরণ $\ varphi (x,y)=0$ সন্তুষ্ট করে।

"শর্তাধীন" এক্সট্রিমাম নামটি এই কারণে যে একটি অতিরিক্ত শর্ত $\varphi(x,y)=0$ ভেরিয়েবলের উপর আরোপ করা হয়েছে। যদি একটি ভেরিয়েবলকে সংযোগ সমীকরণ থেকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম নির্ধারণের সমস্যাটি একটি চলকের একটি ফাংশনের স্বাভাবিক প্রান্ত নির্ধারণের সমস্যা থেকে হ্রাস পায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সংযোগ সমীকরণটি বোঝায় $y=\psi(x)$, তাহলে $y=\psi(x)$ কে $z=f(x,y)$ এ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা একটি ভেরিয়েবল $z এর একটি ফাংশন পাই =f\বাম (x,\psi(x)\right)$। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেযাইহোক, এই পদ্ধতিটি খুব কম কাজে লাগে, তাই একটি নতুন অ্যালগরিদম প্রবর্তন প্রয়োজন।

দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য Lagrange গুণক পদ্ধতি।

ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিতে একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার জন্য একটি ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন তৈরি করা হয়: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ প্যারামিটার বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক)। চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় যেখান থেকে স্থির বিন্দুগুলি নির্ধারণ করা হয়:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

একটি পর্যাপ্ত শর্ত যেখান থেকে কেউ এক্সট্রিমমের প্রকৃতি নির্ধারণ করতে পারে তা হল $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$। যদি একটি স্থির বিন্দুতে $d^2F > 0$ হয়, তাহলে এই বিন্দুতে $z=f(x,y)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম আছে, কিন্তু যদি $d^2F< 0$, то условный максимум.

Extremum প্রকৃতি নির্ধারণ করার আরেকটি উপায় আছে। কাপলিং সমীকরণ থেকে আমরা পাই: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, তাই যেকোনো স্থির বিন্দুতে আমাদের আছে:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^(")^2 F_(yy)^ ("") \ ডান)$$

দ্বিতীয় ফ্যাক্টর (বন্ধনীতে অবস্থিত) এই ফর্মটিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

নির্ধারক $\left| এর উপাদানগুলি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। \\ শুরু(অ্যারে) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \শেষ (অ্যারে)\right|$, যা Lagrange ফাংশনের হেসিয়ান। যদি $H > 0$, তাহলে $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, অর্থাৎ আমাদের কাছে $z=f(x,y)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম রয়েছে।

নির্ধারক $H$ এর স্বরলিপি সংক্রান্ত একটি নোট। দেখান\লুকান

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ শেষ(অ্যারে) \right| $$

এই পরিস্থিতিতে, উপরে প্রণয়ন করা নিয়মটি নিম্নরূপ পরিবর্তিত হবে: যদি $H > 0$, তাহলে ফাংশনটির একটি শর্তাধীন সর্বনিম্ন থাকে, এবং যদি $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন অধ্যয়নের জন্য অ্যালগরিদম

1. Lagrange ফাংশন রচনা করুন $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. সিস্টেমটি সমাধান করুন $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0। \end(সারিবদ্ধ) \right.$
3. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে পাওয়া প্রতিটি স্থির বিন্দুতে চরমের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন। এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত যে কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করুন:
   • $H$ এর নির্ধারক রচনা করুন এবং এর চিহ্নটি সন্ধান করুন
   • কাপলিং সমীকরণ বিবেচনা করে, $d^2F$ এর চিহ্নটি গণনা করুন

n ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য Lagrange গুণক পদ্ধতি

ধরা যাক আমাদের $n$ ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন আছে $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ এবং $m$ কাপলিং সমীকরণ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange গুণককে $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের উপস্থিতির জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি একটি সমীকরণের সিস্টেম দ্বারা দেওয়া হয় যেখান থেকে স্থির বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক এবং ল্যাগ্রেঞ্জ গুণকগুলির মানগুলি পাওয়া যায়:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ওভারলাইন(1,মি)) \end(সারিবদ্ধ) \right.$$

আপনি $d^2F$ চিহ্নটি ব্যবহার করে, আগের মতই, একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বা শর্তযুক্ত সর্বোচ্চ আছে কিনা তা খুঁজে পেতে পারেন। যদি পাওয়া বিন্দুতে $d^2F > 0$, তাহলে ফাংশনটির শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম থাকে, কিন্তু যদি $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক $\left| \begin(অ্যারে) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) এবং \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots &\frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\আংশিক x_(2)\আংশিক x_(3)) &\ldots এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(2)\আংশিক x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\আংশিক x_(3) \আংশিক x_(1)) এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)\আংশিক x_(2)) এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)\আংশিক x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots &\frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( অ্যারে) \right|$, ম্যাট্রিক্সে লাল রঙে হাইলাইট করা $L$, হল Lagrange ফাংশনের হেসিয়ান। আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম ব্যবহার করি:

• যদি কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের লক্ষণ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ম্যাট্রিক্স $L$ $(-1)^m$ এর চিহ্নের সাথে মিলে যায়, তারপর অধ্যয়নের অধীনে থাকা স্থির বিন্দু হল ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বিন্দু z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।
• যদি কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের লক্ষণ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ বিকল্প, এবং অপ্রাপ্তবয়স্ক $H_(2m+1)$ $(-1)^(m+1) সংখ্যার চিহ্নের সাথে মিলে যায় )$, তারপর স্থির বিন্দু হল ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ বিন্দু $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।

উদাহরণ নং 1

$x^2+y^2=10$ শর্তের অধীনে $z(x,y)=x+3y$ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি খুঁজুন।

এই সমস্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ: সিলিন্ডার $x^2+y এর সাথে এর ছেদ বিন্দুগুলির জন্য সমতল $z=x+3y$ এর প্রয়োগের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে ^2=10$।

কাপলিং সমীকরণ থেকে একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা এবং এটিকে $z(x,y)=x+3y$ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করা কিছুটা কঠিন, তাই আমরা Lagrange পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ বোঝাতে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\আংশিক) F)(\আংশিক x)=1+2\lambda x; \frac(\আংশিক F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

ল্যাগ্রাঞ্জ ফাংশনের স্থির বিন্দু নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম লিখি:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0। \end (সারিবদ্ধ)\right।$$

যদি আমরা ধরে নিই $\lambda=0$, তাহলে প্রথম সমীকরণটি হবে: $1=0$। ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব নির্দেশ করে যে $\lambda\neq 0$। $\lambda\neq 0$ শর্তের অধীনে, প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমাদের আছে: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $ প্রাপ্ত মানগুলিকে তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2)। \end(সারিবদ্ধ) \right।\\ \begin(সারিবদ্ধ) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(সারিবদ্ধ) $$

সুতরাং, সিস্টেমের দুটি সমাধান রয়েছে: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ এবং $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$। আসুন প্রতিটি স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিম্যামের প্রকৃতি খুঁজে বের করি: $M_1(1;3)$ এবং $M_2(-1;-3)$। এটি করার জন্য, আমরা প্রতিটি বিন্দুতে $H$ এর নির্ধারক গণনা করি।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(অ্যারে) \right|= \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right| $$

$M_1(1;3)$ বিন্দুতে আমরা পাই: $H=8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, তাই পয়েন্ট $M_1(1;3)$ ফাংশন $z(x,y)=x+3y$ এর একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=z(1;3)=10$ আছে।

একইভাবে, $M_2(-1,-3)$ বিন্দুতে আমরা পাই: $H=8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$। যেহেতু $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

আমি লক্ষ্য করি যে প্রতিটি পয়েন্টে নির্ধারক $H$ এর মান গণনা করার পরিবর্তে, এটিকে প্রসারিত করা অনেক বেশি সুবিধাজনক সাধারণ দৃষ্টিকোণ. বিশদ সহ পাঠ্যকে বিশৃঙ্খল না করার জন্য, আমি একটি নোটের নীচে এই পদ্ধতিটি লুকিয়ে রাখব।

সাধারণ আকারে নির্ধারক $H$ লেখা। দেখান\লুকান

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(অ্যারে)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right)। $$

নীতিগতভাবে, $H$-এর কী চিহ্ন রয়েছে তা ইতিমধ্যেই স্পষ্ট৷ যেহেতু $M_1$ বা $M_2$ এর কোনোটিই মূলের সাথে মিলে না, তাহলে $y^2+x^2>0$। অতএব, $H$ এর চিহ্নটি $\lambda$ এর চিহ্নের বিপরীত। আপনি গণনা সম্পূর্ণ করতে পারেন:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40। \end(সারিবদ্ধ) $$

$M_1(1;3)$ এবং $M_2(-1;-3)$ নির্ধারক $H$ ব্যবহার না করেই স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিমামের প্রকৃতি সম্পর্কে প্রশ্নটি সমাধান করা যেতে পারে। আসুন প্রতিটি স্থির বিন্দুতে $d^2F$ এর চিহ্ন খুঁজে বের করি:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

আমি মনে করি যে স্বরলিপি $dx^2$ মানে ঠিক $dx$ দ্বিতীয় শক্তিতে উত্থাপিত, যেমন $\left(dx \right)^2$। তাই আমাদের আছে: $dx^2+dy^2>0$, অতএব, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ দিয়ে আমরা $d^2F পাব< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

উত্তর: বিন্দুতে $(-1;-3)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম, $z_(\min)=-10$ আছে। বিন্দুতে $(1;3)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ আছে, $z_(\max)=10$

উদাহরণ নং 2

$x+y=0$ শর্তের অধীনে $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি খুঁজুন।

প্রথম পদ্ধতি (ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি)

$\varphi(x,y)=x+y$ বোঝাতে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$।

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, আমরা পাই: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ এবং $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$। আমাদের দুটি স্থির বিন্দু আছে: $M_1(0;0)$ এবং $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$। আসুন নির্ধারক $H$ ব্যবহার করে প্রতিটি স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি খুঁজে বের করি।

$$H=\বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(অ্যারে) \right|= \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(অ্যারে) \right|=-10-18y $$

বিন্দুতে $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, তাই এই মুহুর্তে ফাংশনটির একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=\frac(500)(243)$ আছে।

আমরা $d^2F$ চিহ্নের উপর ভিত্তি করে একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতিটি পয়েন্টে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি তদন্ত করি:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

সংযোগ সমীকরণ $x+y=0$ থেকে আমাদের আছে: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

যেহেতু $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, তাহলে $M_1(0;0)$ হল $z(x,y)=3y^3+ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বিন্দু 4x^ 2-xy$। একইভাবে, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

দ্বিতীয় উপায়

সংযোগ সমীকরণ $x+y=0$ থেকে আমরা পাই: $y=-x$। $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ফাংশনে $y=-x$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা $x$ ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশন পাই। আসুন এই ফাংশনটিকে $u(x)$ হিসাবে চিহ্নিত করি:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2। $$

এইভাবে, আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটিকে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত নির্ধারণের সমস্যাকে কমিয়ে দিয়েছি।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9)। $$

আমরা $M_1(0;0)$ এবং $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ পয়েন্ট পেয়েছি। একটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের কোর্স থেকে আরও গবেষণা জানা যায়। প্রতিটি স্থির বিন্দুতে $u_(xx)^("")$ এর চিহ্ন পরীক্ষা করে বা পাওয়া বিন্দুতে $u_(x)^(")$ এর চিহ্নের পরিবর্তন পরীক্ষা করে, আমরা একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যখন প্রথম পদ্ধতিটি সমাধান করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা $u_(xx)^("")$ চিহ্নটি পরীক্ষা করব:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

যেহেতু $u_(xx)^("")(M_1)>0$, তাহলে $M_1$ হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু $u(x)$, এবং $u_(\min)=u(0)=0 $ যেহেতু $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

একটি প্রদত্ত সংযোগ শর্তের জন্য $u(x)$ ফাংশনের মানগুলি $z(x,y)$ ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়, যেমন $u(x)$ ফাংশনের পাওয়া এক্সট্রিমা হল $z(x,y)$ ফাংশনের চাওয়া শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমা।

উত্তর: $(0;0)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম, $z_(\min)=0$ আছে। $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$।

আসুন আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক যেখানে আমরা $d^2F$-এর চিহ্ন নির্ধারণ করে এক্সট্রিমমের প্রকৃতিকে স্পষ্ট করব।

উদাহরণ নং 3

$z=5xy-4$ ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন যদি $x$ এবং $y$ ভেরিয়েবলগুলি ধনাত্মক হয় এবং $\frac(x^2)(8)+\frac( কাপলিং সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। y^2)(2) -1=0$।

চলুন Lagrange ফাংশন রচনা করি: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$। চলুন Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দু খুঁজে বের করা যাক:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(সারিবদ্ধ) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

পরবর্তী সমস্ত রূপান্তর $x > 0 বিবেচনায় নিয়ে করা হয়; \; y > 0$ (এটি সমস্যা বিবৃতিতে উল্লেখ করা হয়েছে)। দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা $\lambda=-\frac(5x)(y)$ প্রকাশ করি এবং পাওয়া মানটিকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$। তৃতীয় সমীকরণে $x=2y$ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$।

যেহেতু $y=1$, তারপর $x=2$, $\lambda=-10$। আমরা $d^2F$ এর চিহ্নের উপর ভিত্তি করে $(2;1)$ বিন্দুতে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি নির্ধারণ করি।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

যেহেতু $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, তারপর:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)। $$

নীতিগতভাবে, এখানে আপনি অবিলম্বে স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করতে পারেন $x=2$, $y=1$ এবং পরামিতি $\lambda=-10$, প্রাপ্ত করে:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2)।\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2। $$

যাইহোক, শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমেমের অন্যান্য সমস্যাগুলিতে বেশ কয়েকটি স্থির বিন্দু থাকতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সাধারণ আকারে $d^2F$ উপস্থাপন করা ভাল, এবং তারপর পাওয়া স্থির বিন্দুগুলির প্রতিটির স্থানাঙ্কগুলিকে ফলাফলের অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করুন:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2। $$

যেহেতু $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

উত্তর: বিন্দুতে $(2;1)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=6$ আছে।

পরবর্তী অংশে আমরা আরও সংখ্যক ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতির প্রয়োগ বিবেচনা করব।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের এক্সট্রিমা। একটি extremum জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত. একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত. শর্তাধীন চরম. Lagrange গুণক পদ্ধতি। বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খোঁজা.

লেকচার 5।

সংজ্ঞা 5.1।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বোচ্চ পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) > f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y) M 0.

সংজ্ঞা 5.2।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বনিম্ন পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) < f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y)একটি বিন্দুর কিছু পাড়া থেকে M 0.

নোট 1. সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট বলা হয় চরম পয়েন্টবিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন।

মন্তব্য 2. যেকোনো সংখ্যক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য চরম বিন্দু একইভাবে নির্ধারিত হয়।

উপপাদ্য 5.1(একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি M 0 (x 0, y 0)- ফাংশনের চরম বিন্দু z = f (x, y),তারপর এই সময়ে এই ফাংশনের প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

প্রমাণ।

চলকের মান ঠিক করা যাক এ, গণনা y = y 0. তারপর ফাংশন f (x, y 0)একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে এক্স, কিসের জন্য x = x 0চরম বিন্দু হয়. অতএব, Fermat এর উপপাদ্য দ্বারা, বা বিদ্যমান নেই. একই বিবৃতি জন্য একইভাবে প্রমাণিত হয়.

সংজ্ঞা 5.3।কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডোমেইনের অন্তর্গত বিন্দু যেখানে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় স্থির পয়েন্টএই ফাংশন।

মন্তব্য করুন। সুতরাং, প্রান্তটি কেবল স্থির বিন্দুতে পৌঁছানো যেতে পারে, তবে তাদের প্রতিটিতে এটি অগত্যা পরিলক্ষিত হয় না।

উপপাদ্য 5.2(একটি চরমের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত)। বিন্দু কিছু আশেপাশে যাক M 0 (x 0, y 0), যা ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু z = f (x, y),এই ফাংশনে 3য় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। আসুন তাহলে বোঝাই:

1) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বোচ্চ যদি এসি-বি² > 0, ক < 0;

2) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বনিম্ন যদি এসি-বি² > 0, ক > 0;

3) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে কোন চরমপন্থা নেই যদি এসি-বি² < 0;

4) যদি এসি-বি² = 0, আরও গবেষণা প্রয়োজন।

প্রমাণ।

ফাংশনের জন্য দ্বিতীয় ক্রম টেলর সূত্র লিখি f(x,y),মনে রাখবেন যে একটি স্থির বিন্দুতে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান:

কোথায় যদি সেগমেন্টের মধ্যে কোণ থাকে M 0 M, কোথায় M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ এ), এবং O অক্ষ এক্সφ বোঝান, তারপর Δ x =Δ ρ কারণ φ, Δ y =Δρsinφ এই ক্ষেত্রে, টেলরের সূত্রটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: . চলুন তাহলে আমরা বন্ধনীতে থাকা এক্সপ্রেশনটিকে দ্বারা ভাগ ও গুণ করতে পারি ক. আমরা পেতে:

এখন চারটি বিবেচনা করা যাক সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:

1) এসি-বি² > 0, ক < 0. Тогда , и যথেষ্ট ছোট Δρ এ। অতএব, কিছু পাড়ায় M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), এটাই M 0- সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

2) যাক এসি-বি² > 0, A > 0।তারপর , এবং M 0- সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

3) যাক এসি-বি² < 0, ক> 0. রশ্মি φ = 0 বরাবর আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি বিবেচনা করুন। তারপর (5.1) থেকে এটি অনুসরণ করে , অর্থাৎ, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন বৃদ্ধি পায়। যদি আমরা একটি রশ্মি বরাবর অগ্রসর হই যেমন tg φ 0 = -A/B,যে , অতএব, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন হ্রাস পায়। সুতরাং, সময়কাল M 0একটি চরম বিন্দু না.

3`) কখন এসি-বি² < 0, ক < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

আগেরটির মতো।

3``) যদি এসি-বি² < 0, ক= 0, তারপর। যার মধ্যে. তারপর যথেষ্ট ছোট φ এক্সপ্রেশন 2 এর জন্য খ cosφ + গ sinφ 2 এর কাছাকাছি ভিতরে, অর্থাৎ, এটি একটি ধ্রুবক চিহ্ন ধরে রাখে, কিন্তু sinφ বিন্দুর আশেপাশে চিহ্ন পরিবর্তন করে M 0।এর মানে হল যে ফাংশনের বৃদ্ধি একটি স্থির বিন্দুর আশেপাশে সাইন পরিবর্তন করে, যা তাই একটি চরম বিন্দু নয়।

4) যদি এসি-বি² = 0, এবং , , অর্থাৎ, বৃদ্ধির চিহ্নটি 2α 0 চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়। একই সময়ে, একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের প্রশ্নটি স্পষ্ট করার জন্য আরও গবেষণা প্রয়োজন।

উদাহরণ। আসুন ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি z = x² - 2 xy + 2y² + 2 এক্স.স্থির বিন্দু খুঁজে পেতে, আমরা সিস্টেম সমাধান . সুতরাং, স্থির বিন্দু হল (-2,-1)। যার মধ্যে ক = 2, ভিতরে = -2, সঙ্গে= 4. তারপর এসি-বি² = 4 > 0, অতএব, একটি স্থির বিন্দুতে একটি চরমে পৌঁছেছে, যথা সর্বনিম্ন (যেহেতু ক > 0).

সংজ্ঞা 5.4।যদি ফাংশন আর্গুমেন্ট f (x 1 , x 2 ,…, x n)সংযুক্ত অতিরিক্ত শর্তসমূহহিসাবে মিসমীকরণ ( মি< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ মি ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (5.2)

যেখানে ফাংশন φ i ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ থাকে, তখন সমীকরণ (5.2) বলা হয় সংযোগ সমীকরণ.

সংজ্ঞা 5.5।ফাংশন এর চরম f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্ত (5.2) পূরণ করা হয়, এটি বলা হয় শর্তাধীন চরম.

মন্তব্য করুন। আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি: ফাংশনের আর্গুমেন্টের কথা বলা যাক f(x,y)φ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত (x,y)= 0, O সমতলে কিছু বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করা xy. এই বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দু থেকে সমতল O-তে লম্ব পুনর্গঠন xyযতক্ষণ না এটি পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করে z = f (x,y),আমরা বক্ররেখার উপরে পৃষ্ঠে থাকা একটি স্থানিক বক্ররেখা পাই φ (x,y)= 0. কাজটি ফলাফল বক্ররেখার চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা, যা অবশ্যই, সাধারণ ক্ষেত্রে ফাংশনের শর্তহীন চরম বিন্দুগুলির সাথে মিলিত হয় না f(x,y)।

আসুন আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি প্রবর্তন করে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের প্রয়োজনীয় শর্তগুলি নির্ধারণ করি:

সংজ্ঞা 5.6।ফাংশন L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

কোথায় λi -কিছু ধ্রুবক, বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এবং সংখ্যা λ আমি– অনির্দিষ্ট Lagrange গুণক.

উপপাদ্য 5.3(কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f (x, y)কাপলিং সমীকরণের উপস্থিতিতে φ ( x, y)= 0 শুধুমাত্র Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুতে অর্জন করা যেতে পারে L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y)।

প্রমাণ। কাপলিং সমীকরণ একটি অন্তর্নিহিত সম্পর্ক নির্দিষ্ট করে এথেকে এক্সতাই আমরা ধরে নেব যে এথেকে একটি ফাংশন আছে এক্স: y = y(x)।তারপর zএখানে জটিল ফাংশনথেকে এক্স, এবং এর সমালোচনামূলক পয়েন্ট শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়: . (5.4) কাপলিং সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে . (5.5)

আসুন সমতা (5.5) কে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করি এবং এটিকে (5.4) যোগ করি। আমরা পেতে:

, বা

শেষ সমতা অবশ্যই স্থির বিন্দুতে সন্তুষ্ট হতে হবে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে:

(5.6)

তিনটি অজানার জন্য তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়: x, yএবং λ, এবং প্রথম দুটি সমীকরণ হল Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুর শর্ত। সিস্টেম (5.6) থেকে অক্জিলিয়ারী অজানা λ বাদ দিয়ে, আমরা বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই যেখানে মূল ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম থাকতে পারে।

মন্তব্য 1. থিওরেম 5.2 এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশনের দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অধ্যয়ন করে পাওয়া বিন্দুতে একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের উপস্থিতি পরীক্ষা করা যেতে পারে।

মন্তব্য 2. যেসব পয়েন্টে ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তে পৌঁছানো যায় f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্তগুলি (5.2) পূরণ হয়, তখন সিস্টেমের সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (5.7)

উদাহরণ। চলুন ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে বের করি z = xyদেত্তয়া আছে x + y= 1. এবার Lagrange ফাংশন রচনা করা যাক L(x, y) = xy + λ (x + y – 1)। সিস্টেম (5.6) এর মত দেখাচ্ছে:

যেখানে -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5। যার মধ্যে L(x,y)ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, তাই পাওয়া স্থির বিন্দুতে L(x,y)সর্বোচ্চ আছে এবং z = xy -শর্তাধীন সর্বোচ্চ।

সংজ্ঞা 1: একটি ফাংশন বলা হয় একটি বিন্দুতে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ আছে যদি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেমন কোনো বিন্দুর জন্য এমস্থানাঙ্ক সহ (x, y)অসমতা ধারণ করে: এই ক্ষেত্রে, অর্থাৎ, ফাংশনের বৃদ্ধি< 0.

সংজ্ঞা 2: একটি ফাংশন বলা হয় একটি বিন্দুতে একটি স্থানীয় ন্যূনতম থাকে যদি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী থাকে যেমন কোনো বিন্দুর জন্য এমস্থানাঙ্ক সহ (x, y)অসমতা ধারণ করে: এই ক্ষেত্রে, যেমন, ফাংশনের বৃদ্ধি > 0।

সংজ্ঞা 3: স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় চরম পয়েন্ট.

শর্তাধীন চরম

অনেক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা অনুসন্ধান করার সময়, প্রায়ই তথাকথিত এর সাথে সম্পর্কিত সমস্যা দেখা দেয় শর্তাধীন চরম।এই ধারণাটি দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের উদাহরণ ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

একটি ফাংশন এবং একটি লাইন দেওয়া যাক এলপৃষ্ঠের উপর 0xy. কাজ হল লাইনে উঠা এলযেমন একটি বিন্দু খুঁজে P(x, y),যেখানে লাইনের বিন্দুতে এই ফাংশনের মানের তুলনায় একটি ফাংশনের মান সবচেয়ে বড় বা সবচেয়ে ছোট এল, পয়েন্ট কাছাকাছি অবস্থিত পৃ. যেমন পয়েন্ট পৃডাকল শর্তাধীন চরম পয়েন্টলাইনে ফাংশন এল. সাধারণ চরম বিন্দুর বিপরীতে, শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুতে ফাংশনের মানকে ফাংশনের মানের সাথে তুলনা করা হয় তার আশেপাশের সমস্ত পয়েন্টে নয়, তবে শুধুমাত্র সেই লাইনে যেগুলি থাকে এল.

এটা একেবারে পরিষ্কার যে স্বাভাবিক চরমের বিন্দু (তারাও বলে শর্তহীন চরম) এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখার জন্য একটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু। কথোপকথন, অবশ্যই, সত্য নয়: শর্তাধীন চরম বিন্দু সাধারণ চরম বিন্দু নাও হতে পারে। আমি যা বলেছি তা একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করি। ফাংশনের গ্রাফ হল উপরের গোলার্ধ (পরিশিষ্ট 3 (চিত্র 3))।

এই ফাংশনটির মূলে সর্বাধিক রয়েছে; শীর্ষবিন্দু এটির সাথে মিলে যায় এমগোলার্ধ লাইন হলে এলপয়েন্টের মধ্য দিয়ে একটি লাইন যাচ্ছে কএবং ভিতরে(তার সমীকরণ x+y-1=0), তাহলে এটি জ্যামিতিকভাবে পরিষ্কার যে এই লাইনের বিন্দুগুলির জন্য সর্বোচ্চ মানবিন্দুর মাঝখানে থাকা একটি বিন্দুতে ফাংশন অর্জন করা হয় কএবং ভিতরে.এটি এই লাইনের ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম (সর্বোচ্চ) বিন্দু; এটি গোলার্ধে M 1 বিন্দুর সাথে মিলে যায়, এবং চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে এখানে কোন সাধারণ চরমপন্থার কথা বলা যাবে না।

উল্লেখ্য যে ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মান খুঁজে বের করার সমস্যার চূড়ান্ত অংশে বন্ধ এলাকাআমাদের এই অঞ্চলের সীমানায় ফাংশনের চরম মান খুঁজে বের করতে হবে, যেমন কিছু লাইনে, এবং এর মাধ্যমে শর্তসাপেক্ষ চরম সমস্যার সমাধান করুন।

আসুন এখন Z= f(x, y) ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুগুলির জন্য ব্যবহারিক অনুসন্ধানে এগিয়ে যাই তবে শর্ত থাকে যে x এবং y ভেরিয়েবল সমীকরণ (x, y) = 0 দ্বারা সম্পর্কিত। আমরা এই সম্পর্কটিকে বলব সংযোগ সমীকরণ। যদি কাপলিং সমীকরণ থেকে y কে x এর পরিপ্রেক্ষিতে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যায়: y=(x), আমরা একটি চলক Z= f(x, (x)) = Ф(x) এর একটি ফাংশন পাই।

x যে মানটিতে এই ফাংশনটি একটি চরমসীমায় পৌঁছায়, এবং তারপর সংযোগ সমীকরণ থেকে সংশ্লিষ্ট y মানগুলি নির্ধারণ করে, আমরা শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের পছন্দসই পয়েন্টগুলি পাই।

সুতরাং, উপরের উদাহরণে, সম্পর্ক সমীকরণ থেকে x+y-1=0 আমাদের আছে y=1-x। এখান থেকে

এটা পরীক্ষা করা সহজ যে z তার সর্বোচ্চ x = 0.5 এ পৌঁছেছে; কিন্তু তারপর সংযোগ সমীকরণ y = 0.5 থেকে, এবং আমরা জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে পাওয়া P বিন্দু ঠিক পাই।

একটি শর্তসাপেক্ষ চরমের সমস্যাটি খুব সহজেই সমাধান করা হয় এমনকি যখন সংযোগ সমীকরণটি উপস্থাপন করা যায় প্যারামেট্রিক সমীকরণ x=x(t), y=y(t)। এই ফাংশনে x এবং y-এর এক্সপ্রেশন প্রতিস্থাপন করে, আমরা আবার একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার সমস্যায় আসি।

যদি কাপলিং সমীকরণ এর থেকে বেশি থাকে জটিল চেহারাএবং আমরা হয় স্পষ্টভাবে একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে অক্ষম, অথবা প্যারামেট্রিক সমীকরণের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি না, তাহলে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে বের করার কাজটি আরও কঠিন হয়ে যায়। আমরা অনুমান করতে থাকব যে z= f(x, y) ফাংশনের এক্সপ্রেশনে ভেরিয়েবল (x, y) = 0। ফাংশনের মোট ডেরিভেটিভ z= f(x, y) এর সমান:

যেখানে অন্তর্নিহিত ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ y` পাওয়া যায়। কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের বিন্দুতে, পাওয়া মোট ডেরিভেটিভ অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে; এটি x এবং y সম্পর্কিত একটি সমীকরণ দেয়। যেহেতু তাদের অবশ্যই কাপলিং সমীকরণটি পূরণ করতে হবে, আমরা দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই

আসুন একটি অনুপাত আকারে প্রথম সমীকরণটি লিখে এবং একটি নতুন অক্জিলিয়ারী অজানা প্রবর্তন করে এই সিস্টেমটিকে আরও বেশি সুবিধাজনক হিসাবে রূপান্তরিত করি:

(সামনে মাইনাস চিহ্নটি সুবিধার জন্য)। এই সমতা থেকে নিম্নলিখিত সিস্টেমে সরানো সহজ:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f`y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

যা, সংযোগ সমীকরণ (x, y) = 0 সহ, অজানা x, y এবং সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে।

এই সমীকরণগুলি (*) নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করে মনে রাখা সবচেয়ে সহজ: ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের বিন্দু হতে পারে এমন পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে

Z= f(x, y) সংযোগ সমীকরণ (x, y) = 0 সহ, আপনাকে একটি সহায়ক ফাংশন গঠন করতে হবে

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

কোথায় কিছু ধ্রুবক আছে, এবং এই ফাংশনের চরম বিন্দু খুঁজে পেতে সমীকরণ তৈরি করুন।

সমীকরণের নির্দেশিত সিস্টেম, একটি নিয়ম হিসাবে, শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় শর্ত প্রদান করে, যেমন প্রতিটি জোড়া মান x এবং y যা এই সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে তা অপরিহার্যভাবে একটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু নয়। আমি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুর জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেব না; প্রায়শই সমস্যার নির্দিষ্ট বিষয়বস্তু নিজেই নির্দেশ করে যে পাওয়া পয়েন্টটি কী। শর্তসাপেক্ষ প্রান্তে সমস্যা সমাধানের জন্য বর্ণিত কৌশলটিকে ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি বলা হয়।

উদাহরণ

যে প্রদত্ত ফাংশন এর চরমতম খুঁজুন এক্সএবং এসম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত: . জ্যামিতিকভাবে, সমস্যার অর্থ নিম্নলিখিত: একটি উপবৃত্তে
সমতল
.

এই সমস্যাটি এইভাবে সমাধান করা যেতে পারে: সমীকরণ থেকে
আমরা খুঁজি
এক্স:

যে প্রদান
, ব্যবধানে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার সমস্যাকে হ্রাস করা হয়েছে
.

জ্যামিতিকভাবে, সমস্যার অর্থ নিম্নলিখিত: একটি উপবৃত্তে , সিলিন্ডার অতিক্রম করে প্রাপ্ত
সমতল
, আপনাকে আবেদনকারীর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান খুঁজে বের করতে হবে (চিত্র.9)। এই সমস্যাটি এইভাবে সমাধান করা যেতে পারে: সমীকরণ থেকে
আমরা খুঁজি
. সমতলের সমীকরণে y এর পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি চলকের একটি ফাংশন পাই এক্স:

এইভাবে, ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পেতে সমস্যা
যে প্রদান
, একটি ব্যবধানে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার সমস্যাকে হ্রাস করা হয়েছে।

তাই, একটি শর্তসাপেক্ষ চরম খুঁজে বের করার সমস্যা- এটি উদ্দেশ্য ফাংশনের চরম অংশ খুঁজে বের করার সমস্যা
, যে ভেরিয়েবল প্রদান এক্সএবং এসীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে
, বলা হয় সংযোগ সমীকরণ।

সেটা বলা যাক বিন্দু
, কাপলিং সমীকরণ সন্তুষ্ট করা, স্থানীয় শর্তসাপেক্ষ সর্বাধিকের বিন্দু (সর্বনিম্ন), যদি একটি প্রতিবেশী থাকে
যে কোন পয়েন্টের জন্য যেমন
, যার স্থানাঙ্ক সংযোগ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, অসমতা সন্তুষ্ট হয়।

যদি কাপলিং সমীকরণ থেকে কেউ এর জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজে পেতে পারে এ, তারপর এই অভিব্যক্তিটিকে মূল ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পরবর্তীটিকে একটি চলকের একটি জটিল ফাংশনে পরিণত করি এক্স.

শর্তাধীন চরম সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতি Lagrange গুণক পদ্ধতি. চলুন একটি সহায়ক ফাংশন তৈরি করা যাক, যেখানে ─ কিছু সংখ্যা। এই ফাংশন বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এ ─ ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক। এইভাবে, একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার কাজটি ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের জন্য স্থানীয় এক্সট্রিমাম পয়েন্টগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য হ্রাস করা হয়েছে। সম্ভাব্য চরম বিন্দু খুঁজে পেতে, আপনাকে তিনটি অজানা সহ 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে x, yএবং.

তারপর আপনি একটি extremum জন্য নিম্নলিখিত যথেষ্ট শর্ত ব্যবহার করা উচিত.

থিওরেম. Lagrange ফাংশনের জন্য বিন্দুটিকে একটি সম্ভাব্য চরম বিন্দু হতে দিন। ধরা যাক বিন্দুর সান্নিধ্যে
ফাংশনের দ্বিতীয় ক্রমটির ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে এবং . এর উল্লেখ করা যাক

তারপর যদি
, যে
─ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু
কাপলিং সমীকরণের সাথে
এই ক্ষেত্রে, যদি
, যে
─ শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম পয়েন্ট, যদি
, যে
─ শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

§8। গ্রেডিয়েন্ট এবং দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ

ফাংশন যাক
কিছু (খোলা) অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত। কোন পয়েন্ট বিবেচনা করুন
এই এলাকা এবং যে কোনো নির্দেশিত সরলরেখা (অক্ষ) , এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে (চিত্র 1)। দিন
- এই অক্ষের অন্য কিছু বিন্দু,
- এর মধ্যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য
এবং
, একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে নেওয়া, যদি দিক নির্দেশ করে
অক্ষের দিকের সাথে মিলে যায় , এবং তাদের দিকনির্দেশ বিপরীত হলে একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ।

দিন
অনির্দিষ্টকালের কাছে আসে
. সীমা

ডাকা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ
দিকে (বা অক্ষ বরাবর ) এবং নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

.

এই ডেরিভেটিভটি বিন্দুতে ফাংশনের "পরিবর্তনের হার" চিহ্নিত করে
দিকে . বিশেষ করে, সাধারণ আংশিক ডেরিভেটিভস ,"নির্দেশের ক্ষেত্রে" ডেরিভেটিভ হিসাবেও ভাবা যেতে পারে।

আসুন এখন ধরে নিই যে ফাংশনটি
বিবেচনাধীন অঞ্চলে ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ আছে। অক্ষ যাক স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে কোণ গঠন করে
এবং . তৈরি অনুমান অধীনে, দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

.

ভেক্টর হলে
এর স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত
, তারপর ফাংশনের ডেরিভেটিভ
ভেক্টরের দিকে
সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

.

স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর
ডাকা গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরফাংশন
বিন্দুতে
. গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

উদাহরণ

একটি ফাংশন দেওয়া হয়েছে, বিন্দু A(1, 1) এবং ভেক্টর
. খুঁজুন: 1) বিন্দু A এ গ্রেড z; 2) ভেক্টরের দিকে A বিন্দুতে ডেরিভেটিভ .

একটি বিন্দুতে একটি প্রদত্ত ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ
:

;
.

তারপর এই পয়েন্টে ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর হল:
. ভেক্টর পচন ব্যবহার করে গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরও লেখা যেতে পারে এবং :

. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ ভেক্টরের দিকে :

তাই,
,
.◄

শর্তাধীন চরম।

বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।

স্থানীয় চরমপত্রএফএনপি

ফাংশন দেওয়া যাক এবং= চ(P), РÎDÌR nএবং বিন্দু P 0 দিন ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) –অভ্যন্তরীণসেট ডি পয়েন্ট

সংজ্ঞা 9.4।

1) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বোচ্চ পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0) М D এর কোনো আশেপাশের এলাকা থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P) £ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) সর্বাধিক বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং মনোনীত করা হয় চ(P0) = সর্বোচ্চ চ(পি)।

2) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বনিম্ন পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0)Ì D এর কোনো প্রতিবেশী থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P)³ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) ন্যূনতম বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ন্যূনতম ফাংশন এবং মনোনীত করা হয় চ(P 0) = মিনিট চ(পি)।

একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় চরম বিন্দু, এক্সট্রিমা পয়েন্টে ফাংশনের মানগুলিকে বলা হয় ফাংশনের চরম

সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ, অসমতা চ(P) £ চ(P 0), চ(P)³ চ(P 0) শুধুমাত্র P 0 বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সন্তুষ্ট হতে হবে, এবং ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, যার মানে হল যে ফাংশনে একই ধরণের একাধিক এক্সট্রিমা থাকতে পারে (অনেক মিনিমা, বেশ কয়েকটি ম্যাক্সিমা) . অতএব, উপরে সংজ্ঞায়িত চরম বলা হয় স্থানীয়(স্থানীয়) চরম।

উপপাদ্য 9.1.( প্রয়োজনীয় শর্ত FNP-এর চরম অংশ)

যদি ফাংশন এবং= চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n) P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম্যাম আছে, তাহলে এই বিন্দুতে এর প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি হয় শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

প্রমাণ।ধরুন বিন্দু P 0 ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) ফাংশন এবং= চ(P) এর একটি এক্সট্রিম আছে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সর্বোচ্চ। এর যুক্তিগুলো ঠিক করা যাক এক্স 2 , ..., x n, বসানো এক্স 2 =ক 2 ,..., x n = একটি পি. তারপর এবং= চ(P) = চ 1 ((এক্স 1 , ক 2 , ..., একটি পি) একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন এক্স 1 যেহেতু এই ফাংশন আছে এক্স 1 = ক 1 extremum (সর্বোচ্চ), তারপর চ 1 ¢=0 বা যখন অস্তিত্ব নেই এক্স 1 =ক 1 (একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত)। কিন্তু, এর মানে বা বিন্দু P 0-এ বিদ্যমান নেই - চরম বিন্দু। একইভাবে, আমরা অন্যান্য ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ বিবেচনা করতে পারি। সিটিডি।

একটি ফাংশনের ডোমেইনের বিন্দু যেখানে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় সমালোচনামূলক পয়েন্ট এই ফাংশন।

উপপাদ্য 9.1 থেকে নিম্নরূপ, ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির মধ্যে FNP-এর চরম বিন্দুগুলি অনুসন্ধান করা উচিত। কিন্তু, একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে, প্রতিটি সমালোচনামূলক বিন্দু একটি চরম বিন্দু নয়।

উপপাদ্য 9.2. (FNP এর প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত)

ধরুন P 0 ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু এবং= চ(P) এবং এই ফাংশনের দ্বিতীয় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল। তারপর

এবং যদি d 2 u(P 0) > 0 এ, তারপর P 0 একটি বিন্দু সর্বনিম্নফাংশন এবং= চ(পি);

খ) যদি d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка সর্বোচ্চফাংশন এবং= চ(পি);

গ) যদি d 2 u(P 0) চিহ্ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তাহলে P 0 একটি চরম বিন্দু নয়;

আমরা প্রমাণ ছাড়াই এই উপপাদ্য বিবেচনা করব।

উল্লেখ্য যে উপপাদ্য যখন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে না d 2 u(P 0) = 0 বা বিদ্যমান নেই। এর মানে হল যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমিয়ামের উপস্থিতির প্রশ্নটি খোলা থাকে - আমাদের প্রয়োজন অতিরিক্ত গবেষণা, উদাহরণস্বরূপ, এই সময়ে একটি ফাংশনের বৃদ্ধি অধ্যয়ন করা।

আরও বিস্তারিত গণিত কোর্সে এটা প্রমাণিত হয় যে, বিশেষ করে ফাংশনের জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের, যার দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়ালটি ফর্মের যোগফল

সমালোচনামূলক বিন্দু P 0 এ একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি অধ্যয়নকে সরলীকরণ করা যেতে পারে।

আসুন বোঝাই, , . এর একটি নির্ধারক রচনা করা যাক

.

প্রস্থান:

d 2 z> P 0 বিন্দুতে 0, অর্থাৎ P 0 - ন্যূনতম পয়েন্ট, যদি ক(P 0) > 0 এবং D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ক(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

যদি D(P 0)< 0, то d 2 zবিন্দু P 0 এর আশেপাশে এটি চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং P 0 বিন্দুতে কোন চরম নেই;

যদি D(Р 0) = 0 হয়, তাহলে গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু Р 0 এর আশেপাশে ফাংশনের অতিরিক্ত অধ্যয়নও প্রয়োজন।

সুতরাং, ফাংশন জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের একটি এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম রয়েছে (আসুন এটিকে "অ্যালগরিদম D" বলি):

1) সংজ্ঞা D এর ডোমেন খুঁজুন চ) ফাংশন।

2) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজুন, যেমন ডি থেকে পয়েন্ট ( চ), যার জন্য এবং শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

3) প্রতিটি জটিল বিন্দু P 0 এ, চরমের জন্য পর্যাপ্ত অবস্থা পরীক্ষা করুন। এটি করতে, খুঁজুন , যেখানে , , এবং গণনা করুন D(P 0) এবং ক(P 0) তারপর:

যদি D(P 0) >0, তাহলে P 0 বিন্দুতে একটি extremum আছে, এবং যদি ক(P 0) > 0 – তাহলে এটি সর্বনিম্ন, এবং যদি ক(P 0)< 0 – максимум;

যদি D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

যদি D(P 0) = 0 হয়, তাহলে অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন।

4) পাওয়া চরম বিন্দুতে, ফাংশনের মান গণনা করুন।

উদাহরণ 1.

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন z = এক্স 3 + 8y 3 – 3xy .

সমাধান।এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল সমগ্র স্থানাঙ্ক সমতল। আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজে বের করা যাক।

, , Þ P 0 (0,0), .

এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত পূরণ করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। আমরা খুঁজে বের করব

6এক্স, = -3, = 48এএবং = 288xy – 9.

তারপর D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – বিন্দু Р 1-এ একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু ক(P 1) = 3 >0, তাহলে এই extremum হল সর্বনিম্ন। তাই মিন z=z(P 1) = .

উদাহরণ 2।

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন .

সমাধান: D( চ) =R 2। সমালোচনামূলক পয়েন্ট: ; অস্তিত্ব নেই যখন এ= 0, যার মানে P 0 (0,0) হল এই ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট।

2, = 0, = , = , কিন্তু D(P 0) সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, তাই এর চিহ্ন অধ্যয়ন করা অসম্ভব।

একই কারণে, উপপাদ্য 9.2 সরাসরি প্রয়োগ করা অসম্ভব - d 2 zএই সময়ে বিদ্যমান নেই।

এর ফাংশন বৃদ্ধি বিবেচনা করা যাক চ(এক্স, y) বিন্দু P 0 এ। যদি ডি চ =চ(P) - চ(P 0)>0 "P, তারপর P 0 সর্বনিম্ন বিন্দু, কিন্তু যদি D চ < 0, то Р 0 – точка максимума.

আমাদের ক্ষেত্রে আমরা আছে

ডি চ = চ(এক্স, y) – চ(0, 0) = চ(0+D এক্স,0+D y) – চ(0, 0) = .

ডি এ এক্স= 0.1 এবং D y= -0.008 আমরা D পাই চ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dএক্স= 0.1 এবং D y= 0.001 ডি চ= 0.01 + 0.1 > 0, অর্থাৎ বিন্দু P 0 এর আশেপাশে কোন অবস্থা D সন্তুষ্ট নয় চ <0 (т.е. চ(এক্স, y) < চ(0, 0) এবং তাই P 0 সর্বাধিক বিন্দু নয়, বা শর্ত D নয় চ>0 (যেমন চ(এক্স, y) > চ(0, 0) এবং তারপর P 0 একটি সর্বনিম্ন বিন্দু নয়)। সুতরাং, একটি চরমের সংজ্ঞা অনুসারে, এই ফাংশনকোন চরম আছে.

শর্তাধীন চরম।

ফাংশনের বিবেচিত প্রান্তকে বলা হয় শর্তহীন, যেহেতু ফাংশন আর্গুমেন্টে কোন সীমাবদ্ধতা (শর্ত) আরোপ করা হয় না।

সংজ্ঞা 9.2।ফাংশন এর চরম এবং = চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n), শর্ত অধীনে পাওয়া যে তার আর্গুমেন্ট এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x nসমীকরণ j 1 ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, …, j টি(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, যেখানে P ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) ও ডি( চ), বলা হয় শর্তাধীন চরম .

সমীকরণ j k(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., মি, ডাকল সংযোগ সমীকরণ.

চলুন ফাংশন তাকান z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবল। যদি সংযোগ সমীকরণ এক হয়, i.e. , তারপর একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম খুঁজে পাওয়ার অর্থ হল ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, তবে ডি (ডি) তে থাকা কিছু বক্ররেখায় এক্সট্রিম্যাম চাওয়া হয়েছে চ) (অর্থাৎ, এটি পৃষ্ঠের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু নয় যা চাওয়া হয় z = f(এক্স,y), এবং সিলিন্ডারের সাথে এই পৃষ্ঠের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু, চিত্র 5)।

একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f(এক্স,yদুটি ভেরিয়েবলের ) নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যাবে( নির্মূল পদ্ধতি) সমীকরণ থেকে, একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করুন (উদাহরণস্বরূপ, লিখুন) এবং, ভেরিয়েবলের এই মানটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে, পরবর্তীটিকে একটি চলকের ফাংশন হিসাবে লিখুন (বিবেচিত ক্ষেত্রে ) একটি ভেরিয়েবলের ফলস্বরূপ ফাংশনের প্রান্ত নির্ণয় কর।