a সংখ্যাটিকে f x ফাংশনের সীমা বলা হয়। অনলাইনে ফাংশন সীমা গণনা করুন

ফাংশন y = f (এক্স)একটি আইন (নিয়ম) যা অনুসারে X সেটের প্রতিটি উপাদান x এক এবং শুধুমাত্র Y সেটের একটি উপাদান y এর সাথে যুক্ত।

মৌল x ∈ এক্সডাকা ফাংশন যুক্তিবা স্বাধীন চলক.
উপাদান y ∈ Yডাকা ফাংশন মানবা নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল.

সেট X বলা হয় ফাংশনের ডোমেইন.
উপাদানের সেট y ∈ Y, যা X সেটে প্রিমেজ আছে, বলা হয় এলাকা বা ফাংশন মান সেট.

প্রকৃত ফাংশন বলা হয় উপরে থেকে সীমিত (নীচ থেকে), যদি একটি সংখ্যা M থাকে যাতে অসমতা সবার জন্য থাকে:
.
সংখ্যা ফাংশন বলা হয় সীমিত, যদি এমন একটি সংখ্যা M থাকে যা সবার জন্য:
.

উপরের প্রান্তবা সঠিক সর্বোচ্চ সীমা একটি বাস্তব ফাংশনকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বলা হয় যা উপরে থেকে এর মানগুলির পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে। অর্থাৎ, এটি একটি সংখ্যা s যার জন্য, প্রত্যেকের জন্য এবং যে কোনও জন্য, একটি যুক্তি রয়েছে যার ফাংশনের মান s′ ছাড়িয়ে গেছে: .
একটি ফাংশনের উপরের সীমাটি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা যেতে পারে:
.

যথাক্রমে নীচের প্রান্তবা সঠিক নিম্ন সীমাএকটি বাস্তব ফাংশনকে সবচেয়ে বড় সংখ্যা বলা হয় যা নীচের থেকে এর মানগুলির পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে। অর্থাৎ, এটি এমন একটি সংখ্যা i যার জন্য, প্রত্যেকের জন্য এবং যে কোনও জন্য, একটি যুক্তি রয়েছে যার ফাংশনের মান i′ থেকে কম: .
একটি ফাংশনের ইনফিমাম নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে:
.

একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করা

Cauchy অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ

শেষ বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধ সীমা

ফাংশনটিকে শেষ বিন্দুর কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক, বিন্দুর সম্ভাব্য ব্যতিক্রম সহ। একটি বিন্দুতে যদি কোনটির জন্য এমন একটি জিনিস থাকে যা সমস্ত x এর জন্য যার জন্য অসমতা ধারণ করে তার উপর নির্ভর করে
.
একটি ফাংশনের সীমা নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:
.
অথবা এ.

অস্তিত্ব এবং সার্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে, একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.

একতরফা সীমা।
একটি বিন্দুতে বাম সীমা (বাম দিকের সীমা):
.
একটি বিন্দুতে ডান সীমা (ডান হাতের সীমা):
.
বাম এবং ডান সীমাগুলি প্রায়শই নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:
; .

অসীম বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমাবদ্ধ সীমা

অসীম বিন্দুতে সীমা একইভাবে নির্ধারিত হয়।
.
.
.
তারা প্রায়ই হিসাবে উল্লেখ করা হয়:
; ; .

একটি বিন্দুর প্রতিবেশী ধারণা ব্যবহার করে

যদি আমরা একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশের ধারণাটি প্রবর্তন করি, তাহলে আমরা সসীম এবং অসীম দূরবর্তী বিন্দুতে একটি ফাংশনের সসীম সীমার একটি ঐক্যবদ্ধ সংজ্ঞা দিতে পারি:
.
এখানে শেষ পয়েন্ট জন্য
; ;
.
অসীম বিন্দুর যেকোন আশেপাশের এলাকা পাংচার করা হয়:
; ; .

অসীম ফাংশন সীমা

সংজ্ঞা
ফাংশনটিকে একটি বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক (সসীম বা অসীমে)। ফাংশনের সীমা চ (এক্স) x → x হিসাবে 0 অসীম সমান, যদি কোন ইচ্ছাকৃতভাবে বড় সংখ্যার জন্য এম > 0 , একটি সংখ্যা আছে δ M > 0 , M-এর উপর নির্ভর করে, যে সমস্ত x-এর জন্য খোঁচা δ M - বিন্দুর প্রতিবেশী: , নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে:
.
অসীম সীমা নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:
.
অথবা এ.

অস্তিত্ব এবং সর্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে, একটি ফাংশনের অসীম সীমার সংজ্ঞা নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
.

আপনি নির্দিষ্ট চিহ্নের অসীম সীমার সংজ্ঞাও প্রবর্তন করতে পারেন এবং এর সমান:
.
.

একটি ফাংশনের সীমার সর্বজনীন সংজ্ঞা

একটি বিন্দুর আশেপাশের ধারণাটি ব্যবহার করে, আমরা একটি ফাংশনের সসীম এবং অসীম সীমার একটি সর্বজনীন সংজ্ঞা দিতে পারি, যা সসীম (দ্বি-তরফা এবং একতরফা) এবং অসীম দূরবর্তী বিন্দু উভয়ের জন্যই প্রযোজ্য:
.

Heine অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ

কিছু সেটে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক X: .
a সংখ্যাটিকে ফাংশনের সীমা বলা হয়বিন্দুতে:
,
যদি x-এ রূপান্তরিত কোনো সিকোয়েন্সের জন্য 0 :
,
যার উপাদানগুলি X সেটের অন্তর্গত: ,
.

আসুন আমরা অস্তিত্ব এবং সর্বজনীনতার যৌক্তিক প্রতীক ব্যবহার করে এই সংজ্ঞাটি লিখি:
.

আমরা যদি x বিন্দুর বাম-পার্শ্ববর্তী স্থানটিকে X সেট হিসাবে নিই 0 , তারপর আমরা বাম সীমার সংজ্ঞা পাই। যদি এটি ডানহাতি হয়, তবে আমরা সঠিক সীমার সংজ্ঞা পাই। আমরা যদি অসীমতার একটি বিন্দুর প্রতিবেশকে একটি সেট X হিসাবে নিই, আমরা অসীমে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা পাই।

উপপাদ্য
একটি ফাংশনের সীমার Cauchy এবং Heine সংজ্ঞা সমতুল্য।
প্রমাণ

একটি ফাংশনের সীমার বৈশিষ্ট্য এবং উপপাদ্য

আরও, আমরা অনুমান করি যে বিবেচনাধীন ফাংশনগুলি বিন্দুর সংশ্লিষ্ট আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা একটি সসীম সংখ্যা বা প্রতীকগুলির মধ্যে একটি: . এটি একটি একতরফা সীমা বিন্দুও হতে পারে, অর্থাৎ ফর্ম আছে বা। আশেপাশের এলাকাটি দ্বিমুখী সীমার জন্য দ্বিমুখী এবং একতরফা সীমার জন্য একতরফা।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

যদি ফাংশনের মান f (এক্স)একটি সীমিত সংখ্যক পয়েন্ট x পরিবর্তন করুন (বা অনির্ধারিত করুন) 1, x 2, x 3, ... x n, তাহলে এই পরিবর্তনটি একটি নির্বিচারে বিন্দু x এ ফাংশনের সীমার অস্তিত্ব এবং মানকে প্রভাবিত করবে না 0 .

যদি একটি সসীম সীমা থাকে, তাহলে x বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ রয়েছে 0 , যার উপর ফাংশন f (এক্স)সীমিত:
.

ফাংশনটি x বিন্দুতে থাকুক 0 সীমিত অ-শূন্য সীমা:
.
তারপর, ব্যবধান থেকে c সংখ্যার জন্য, x বিন্দুর এমন একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ রয়েছে 0 কি জন্য,
, যদি;
, যদি.

যদি, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, , একটি ধ্রুবক হয়, তাহলে।

যদি সীমিত সীমা থাকে এবং এবং x বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে থাকে 0
,
যে.

যদি, এবং বিন্দু কিছু আশেপাশে
,
যে.
বিশেষ করে, যদি একটি বিন্দু কিছু আশেপাশে
,
তারপর যদি, তারপর এবং;
যদি , তারপর এবং .

পয়েন্ট x এর কিছু punctured আশেপাশে যদি 0 :
,
এবং সীমাবদ্ধ (বা একটি নির্দিষ্ট চিহ্নের অসীম) সমান সীমা রয়েছে:
, যে
.

মূল বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ পৃষ্ঠায় দেওয়া হয়
"একটি ফাংশনের সীমার মৌলিক বৈশিষ্ট্য।"

একটি ফাংশনের সীমার গাণিতিক বৈশিষ্ট্য

ফাংশন এবং বিন্দু কিছু punctured আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক. এবং সীমাবদ্ধ সীমা থাকতে দিন:
এবং .
এবং C একটি ধ্রুবক, অর্থাৎ একটি প্রদত্ত সংখ্যা হতে দিন। তারপর
;
;
;
, যদি.

যদি, তাহলে।

পৃষ্ঠায় গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ দেওয়া হয়
"একটি ফাংশনের সীমার গাণিতিক বৈশিষ্ট্য"।

একটি ফাংশনের সীমার অস্তিত্বের জন্য কচি মানদণ্ড

উপপাদ্য
একটি সসীম বা অসীম দূরবর্তী বিন্দু x এর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনের জন্য 0 , এই মুহুর্তে একটি সীমাবদ্ধ সীমা ছিল, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে কোনও ε এর জন্য > 0 বিন্দু x এর এমন একটি ছিদ্রযুক্ত এলাকা ছিল 0 , যে কোনো পয়েন্টের জন্য এবং এই আশেপাশের থেকে, নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে:
.

একটি জটিল ফাংশনের সীমা

সীমা উপপাদ্য জটিল ফাংশন
ফাংশনের একটি সীমা থাকতে দিন এবং একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত আশেপাশের একটি বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে ম্যাপ করুন৷ ফাংশন এই আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং এটির একটি সীমা আছে.
এখানে চূড়ান্ত বা অসীম দূরবর্তী পয়েন্ট: . আশেপাশের এলাকা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সীমা দুই-তরফা বা একতরফা হতে পারে।
তারপরে একটি জটিল ফাংশনের একটি সীমা রয়েছে এবং এটি সমান:
.

একটি জটিল ফাংশনের সীমা উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয় যখন ফাংশনটি একটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না বা সীমা থেকে ভিন্ন একটি মান থাকে। এই উপপাদ্যটি প্রয়োগ করার জন্য, বিন্দুর একটি ছিদ্রযুক্ত প্রতিবেশ থাকতে হবে যেখানে ফাংশনের মানগুলির সেটটিতে বিন্দুটি থাকে না:
.

যদি বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন থাকে, তাহলে সীমা চিহ্নটি আর্গুমেন্টে প্রয়োগ করা যেতে পারে ক্রমাগত ফাংশন:
.
নিম্নলিখিত এই ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট একটি উপপাদ্য.

একটি ফাংশনের ক্রমাগত ফাংশনের সীমার উপর উপপাদ্য
ফাংশনের একটি সীমা থাকুক (টি) t → t হিসাবে 0 , এবং এটি x এর সমান 0 :
.
এখানে পয়েন্ট টি 0 সসীম বা অসীম দূরবর্তী হতে পারে:
এবং ফাংশন চ দিন (এক্স) x বিন্দুতে একটানা থাকে 0 .
তারপর জটিল ফাংশন f এর একটি সীমা আছে (g(t)), এবং এটি f এর সমান (x0):
.

পৃষ্ঠায় উপপাদ্যের প্রমাণ দেওয়া আছে
"একটি জটিল ফাংশনের সীমা এবং ধারাবাহিকতা"।

অসীম এবং অসীম বড় ফাংশন

অসীম ফাংশন

সংজ্ঞা
একটি ফাংশন বলা হয় infinitesimal যদি
.

যোগফল, পার্থক্য এবং পণ্যএকটি অসীম সংখ্যক অসীম ফাংশন-এ একটি অসীম ফাংশন।

সীমাবদ্ধ একটি ফাংশনের পণ্যবিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, একটি অসীম-এ-এ একটি অসীম ফাংশন।

একটি ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট
,
যেখানে - অসীমভাবে ছোট ফাংশনএ

"অসীম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য"।

অসীম বড় ফাংশন

সংজ্ঞা
একটি ফাংশন অসীম বড় যদি বলা হয়
.

একটি আবদ্ধ ফাংশনের যোগফল বা পার্থক্য, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে এবং একটি অসীমভাবে বড় ফাংশন অসীম মহান ফাংশনএ

যদি ফাংশনটি সীমাহীনভাবে বড় হয়, এবং ফাংশনটি বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে আবদ্ধ থাকে, তাহলে
.

যদি ফাংশন , বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে, অসমতাকে সন্তুষ্ট করে:
,
এবং ফাংশনটি এখানে অসীম:
, এবং (বিন্দুর কিছু punctured আশেপাশে), তারপর
.

সম্পত্তির প্রমাণ বিভাগে উপস্থাপন করা হয়
"অসীমভাবে বড় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য"।

অসীম বড় এবং অসীম ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক

পূর্ববর্তী দুটি বৈশিষ্ট্য থেকে অসীম বৃহৎ এবং অসীম ফাংশনের মধ্যে সংযোগ অনুসরণ করে।

যদি একটি ফাংশন অসীমভাবে বড় হয়, তাহলে ফাংশনটি অসীম হয়।

যদি একটি ফাংশন , এবং এর জন্য অসীম হয়, তাহলে ফাংশনটি সীমাহীনভাবে বড়।

একটি অসীম এবং একটি অসীম বৃহৎ ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক প্রতীকীভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
, .

যদি একটি অসীম ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন থাকে, অর্থাৎ, বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে এটি ধনাত্মক (বা ঋণাত্মক) হয়, তাহলে এই সত্যটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে:
.
একইভাবে, যদি একটি অসীম বৃহৎ ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন থাকে, তাহলে তারা লিখবে:
.

তারপর অসীম ছোট এবং অসীম বৃহৎ ফাংশনের মধ্যে প্রতীকী সংযোগ নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলির সাথে সম্পূরক হতে পারে:
, ,
, .

পৃষ্ঠায় অসীম প্রতীক সম্পর্কিত অতিরিক্ত সূত্র পাওয়া যাবে
"অনন্তে পয়েন্ট এবং তাদের বৈশিষ্ট্য।"

একঘেয়ে ফাংশন সীমা

সংজ্ঞা
বাস্তব সংখ্যা X এর কিছু সেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন বলা হয় কঠোরভাবে বাড়ছে, যদি সকলের জন্য নিম্নোক্ত অসমতা থাকে:
.
সেই অনুযায়ী, জন্য কঠোরভাবে কমছেনিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে কাজ করে:
.
জন্য অ-হ্রাস:
.
জন্য অ বৃদ্ধি:
.

এটি অনুসরণ করে যে একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশনও কমছে না। একটি কঠোরভাবে হ্রাস ফাংশন এছাড়াও অ বর্ধিত হয়.

ফাংশন বলা হয় একঘেয়ে, যদি এটি অ-হ্রাস বা অ-বর্ধিত হয়।

উপপাদ্য
যেখানে ব্যবধানে ফাংশনটি কমে না যায়।
যদি এটি উপরে M সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ হয়: তাহলে একটি সীমাবদ্ধ সীমা আছে। উপর থেকে সীমাবদ্ধ না হলে, তারপর.
যদি এটি নীচে থেকে m সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ হয়: তাহলে একটি সীমাবদ্ধ সীমা রয়েছে। নীচে থেকে সীমাবদ্ধ না হলে, তারপর.

যদি বিন্দু a এবং b অসীমতায় থাকে, তাহলে অভিব্যক্তিতে সীমা চিহ্নের অর্থ হল।
এই উপপাদ্য আরো কম্প্যাক্টভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে।

যেখানে ব্যবধানে ফাংশনটি কমে না যায়। তারপর a এবং b বিন্দুতে একতরফা সীমা রয়েছে:
;
.

একটি অ-বর্ধিত ফাংশনের জন্য একটি অনুরূপ উপপাদ্য।

যেখানে ব্যবধানে ফাংশন বাড়বে না। তারপর একতরফা সীমা আছে:
;
.

উপপাদ্যের প্রমাণ পৃষ্ঠায় উপস্থাপন করা হয়েছে
"একঘেয়ে ফাংশনের সীমা"।

তথ্যসূত্র:
এল.ডি. কুদ্র্যাভতসেভ। আমরা হব গাণিতিক বিশ্লেষণ. ভলিউম 1. মস্কো, 2003।
সেমি. নিকোলস্কি। গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স। ভলিউম 1. মস্কো, 1983।

সমাধান অনলাইন ফাংশন সীমা. একটি বিন্দুতে একটি ফাংশন বা কার্যকরী অনুক্রমের সীমিত মান খুঁজুন, গণনা করুন চূড়ান্তঅনন্তে ফাংশনের মান। একটি সংখ্যা সিরিজের কনভারজেন্স নির্ধারণ করুন এবং আরও অনেক কিছু করা যেতে পারে আমাদের ধন্যবাদ অনলাইন পরিষেবা- আমরা আপনাকে অনলাইনে দ্রুত এবং নির্ভুলভাবে ফাংশন সীমা খুঁজে পেতে অনুমতি দিই। আপনি নিজেই এটি লিখুন ফাংশন পরিবর্তনশীলএবং এটি যে সীমা পর্যন্ত চেষ্টা করে, আমাদের পরিষেবা আপনার জন্য সমস্ত গণনা বহন করে, একটি সঠিক এবং সহজ উত্তর দেয়। এবং জন্য অনলাইনে সীমা খুঁজে বের করাআপনি আক্ষরিক অভিব্যক্তিতে ধ্রুবক ধারণকারী সংখ্যাসূচক সিরিজ এবং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন উভয়ই প্রবেশ করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের পাওয়া সীমাতে এই ধ্রুবকগুলিকে অভিব্যক্তিতে ধ্রুবক আর্গুমেন্ট হিসাবে থাকবে। আমাদের পরিষেবা খোঁজার যেকোন জটিল সমস্যার সমাধান করে অনলাইনে সীমাবদ্ধতা, এটি ফাংশন এবং যে বিন্দুতে এটি গণনা করা প্রয়োজন তা নির্দেশ করার জন্য যথেষ্ট ফাংশনের সীমা মান. হিসাব করা অনলাইন সীমা, তুমি ব্যবহার করতে পার বিভিন্ন পদ্ধতিএবং তাদের সমাধানের নিয়ম, ফলাফল পরীক্ষা করার সময় অনলাইনে সীমা সমাধান www.site-এ, যা কাজটির সফল সমাপ্তির দিকে পরিচালিত করবে - আপনি নিজের ভুল এবং করণিক ত্রুটিগুলি এড়াতে পারবেন। অথবা আপনি সম্পূর্ণরূপে আমাদের বিশ্বাস করতে পারেন এবং ফাংশনের সীমা স্বাধীনভাবে গণনা করার জন্য অতিরিক্ত প্রচেষ্টা এবং সময় ব্যয় না করে আপনার কাজে আমাদের ফলাফল ব্যবহার করতে পারেন। আমরা সীমা মান যেমন অসীম ইনপুট অনুমতি. এটি একটি সংখ্যা ক্রম এবং একটি সাধারণ সদস্য প্রবেশ করা আবশ্যক www.siteমান গণনা করবে অনলাইনে সীমাবদ্ধপ্লাস বা মাইনাস ইনফিনিটি পর্যন্ত।

গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি মৌলিক ধারণা ফাংশন সীমাএবং ক্রম সীমাএকটি বিন্দুতে এবং অসীমে, সঠিকভাবে সমাধান করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ সীমা. আমাদের পরিষেবার সাথে এটি কঠিন হবে না। একটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হচ্ছে অনলাইনে সীমাবদ্ধতাকয়েক সেকেন্ডের মধ্যে, উত্তরটি সঠিক এবং সম্পূর্ণ। গাণিতিক বিশ্লেষণের অধ্যয়ন শুরু হয় সীমাতে রূপান্তর, সীমাউচ্চতর গণিতের প্রায় সব ক্ষেত্রেই ব্যবহার করা হয়, তাই হাতে একটি সার্ভার থাকা উপকারী অনলাইন সীমা সমাধান, যা সাইট.

একটি বিন্দু এবং সময়ে একটি ফাংশনের সীমা

একটি ফাংশনের সীমা গাণিতিক বিশ্লেষণের প্রধান যন্ত্র। এর সাহায্যে, একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা, ডেরিভেটিভ, অখণ্ড এবং একটি সিরিজের যোগফল পরবর্তীতে নির্ধারিত হয়।

ফাংশন y যাক=চ(এক্স)পয়েন্টের কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত , সম্ভবত বিন্দু নিজেই ছাড়া .

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমার দুটি সমতুল্য সংজ্ঞা প্রণয়ন করা যাক।

সংজ্ঞা 1 ("সিকোয়েন্সের ভাষায়" বা হেইনের মতে). সংখ্যা খডাকা ফাংশনের সীমা y=চ(এক্স) বিন্দুতে (বা যখন
), যদি বৈধ আর্গুমেন্ট মানের কোনো অনুক্রমের জন্য

converging to (সেগুলো.
), সংশ্লিষ্ট ফাংশন মানগুলির ক্রম
একটি সংখ্যায় রূপান্তরিত হয় খ(সেগুলো.
).

এক্ষেত্রে তারা লেখেন
বা
এ
. একটি ফাংশনের সীমার জ্যামিতিক অর্থ:
সব পয়েন্ট জন্য যে মানে এক্স, পর্যাপ্ত বিন্দু কাছাকাছি , ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান সংখ্যার থেকে যতটা ইচ্ছা ততটা আলাদা খ.

সংজ্ঞা 2 ("ভাষায়", বা কচির মতে). সংখ্যা খডাকা ফাংশনের সীমা y=চ(এক্স) বিন্দুতে (বা যখন
), যদি কোনো ধনাত্মক সংখ্যার জন্য  একটি ধনাত্মক সংখ্যা থাকে  যেমন সবার জন্য
অসমতা সন্তুষ্ট
, অসমতা ঝুলিতে
.

লেখ
.

এই সংজ্ঞাটি সংক্ষেপে নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

লক্ষ্য করুন
এভাবে লেখা যায়
.

জি একটি ফাংশনের সীমার জ্যামিতিক অর্থ:
, যদি পয়েন্টের কোন পাড়ার জন্য খবিন্দুর যেমন একটি প্রতিবেশী আছে এটা সবার জন্য
এই neighbourhood থেকে ফাংশনের সংশ্লিষ্ট মান চ (এক্স) বিন্দুর পাড়ায় থাকা খ. অন্য কথায়, ফাংশনের গ্রাফের বিন্দু y = চ (এক্স) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ 2 প্রস্থের একটি স্ট্রিপের ভিতরে থাকা এ = খ + , এ = খ  (চিত্র 17)। স্পষ্টতই,  এর মান  এর পছন্দের উপর নির্ভর করে, তাই তারা  = () লিখবে।

উদাহরণপ্রমাণ কর যে

সমাধান . চলুন একটি নির্বিচারে   0 নিই এবং  = ()  0 খুঁজে বের করি যা সবার জন্য এক্স
, অসমতা ঝুলিতে
. থেকে

সেগুলো.
, তারপর গ্রহণ , আমরা প্রত্যেকের জন্য এটি দেখতে এক্স, অসমতা সন্তুষ্ট
, অসমতা ঝুলিতে
. তাই,

উদাহরণপ্রমাণ করুন যদি চ (এক্স) = সঙ্গে, যে
.

সমাধান . জন্য
এটা তুমি নিতে পারো
. তারপর এ

আমাদের আছে . তাই,
.

একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণে
এটা বিশ্বাস করা হয় এক্সজন্য প্রচেষ্টা করে যেকোনো উপায়ে: এর চেয়ে কম অবশিষ্ট থাকে (বাম ), অপেক্ষা বৃহত্তর (ডানদিকে ), অথবা একটি বিন্দুর চারপাশে ওঠানামা করছে .

কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন একটি যুক্তি আনুমানিক পদ্ধতি এক্সপ্রতি উল্লেখযোগ্যভাবে ফাংশন সীমা মান প্রভাবিত করে. অতএব, একতরফা সীমা ধারণা চালু করা হয়.

সংজ্ঞা. সংখ্যা ডাকা ফাংশনের সীমা y=চ(এক্স) বাম বিন্দুতে , যদি কোন সংখ্যার জন্য   0 একটি সংখ্যা থাকে  = ()  0 যেমন
, অসমতা ঝুলিতে
.

বাম দিকে সীমা নিম্নরূপ লেখা আছে
বা সংক্ষেপে
(ডিরিচলেট স্বরলিপি) (চিত্র 18)।

একইভাবে সংজ্ঞায়িত ডানদিকে ফাংশনের সীমা , আসুন চিহ্ন ব্যবহার করে লিখি:

সংক্ষেপে, ডানদিকে সীমা নির্দেশ করা হয়
.

পৃ বাম এবং ডান দিকে একটি ফাংশন অংশ বলা হয় একমুখী সীমা . স্পষ্টতই, যদি থাকে
, তারপর উভয় একতরফা সীমা বিদ্যমান, এবং
.

কথোপকথনটিও সত্য: যদি উভয় সীমা বিদ্যমান
এবং
এবং তারা সমান, তারপর একটি সীমা আছে
এবং .

যদি
, যে
এটির অস্তিত্ব নেই.

সংজ্ঞা. ফাংশন যাক y=চ(এক্স) ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয়
. সংখ্যা খডাকা ফাংশনের সীমা y=চ(এক্স) এ এক্স , যদি কোন সংখ্যার জন্য   0 এমন একটি সংখ্যা থাকে এম = এম()  0, যা সবার জন্য এক্স, অসমতা সন্তুষ্ট
অসমতা ধরে রাখে
. সংক্ষেপে এই সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

ই যদি এক্স +, তারপর তারা লেখে
, যদি এক্স , তারপর তারা লেখে
, যদি
=
, তারপর তাদের সাধারণ অর্থ সাধারণত চিহ্নিত করা হয়
.

এই সংজ্ঞার জ্যামিতিক অর্থ নিম্নরূপ: জন্য
, যে এ
এবং
সংশ্লিষ্ট ফাংশন মান y=চ(এক্স) বিন্দুর প্রতিবেশীর মধ্যে পড়ে খ, অর্থাৎ গ্রাফ পয়েন্টগুলি 2 চওড়া একটি স্ট্রিপে অবস্থিত, সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ
এবং
(চিত্র 19)।

ফাংশন সীমা- সংখ্যা ককিছু পরিবর্তনশীল পরিমাণের সীমা হবে, যদি পরিবর্তনের প্রক্রিয়ায়, এই পরিবর্তনশীল পরিমাণ অনির্দিষ্টকালের জন্য আসে ক.

বা অন্য কথায়, সংখ্যা কফাংশনের সীমা y = f(x)বিন্দুতে x 0, যদি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন থেকে পয়েন্টের কোনো অনুক্রমের জন্য, সমান নয় x 0, এবং যা বিন্দুতে একত্রিত হয় x 0 (lim x n = x0), সংশ্লিষ্ট ফাংশন মানের ক্রম সংখ্যার সাথে একত্রিত হয় ক.

একটি ফাংশনের গ্রাফ যার সীমা, একটি যুক্তি দেওয়া হয় যা অসীমের দিকে ঝোঁক, সমান এল:

অর্থ কহয় ফাংশনের সীমা (সীমা মান) f(x)বিন্দুতে x 0পয়েন্টের কোনো ক্রম জন্য ক্ষেত্রে , যা রূপান্তরিত হয় x 0, কিন্তু যা ধারণ করে না x 0এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি হিসাবে (অর্থাৎ ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে x 0), ফাংশন মানের ক্রম একত্রিত হয় ক.

Cauchy অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা।

অর্থ কহবে ফাংশনের সীমা f(x)বিন্দুতে x 0যদি অগ্রিম নেওয়া কোনো নন-নেগেটিভ নম্বরের জন্য ε সংশ্লিষ্ট নন-নেগেটিভ নম্বর পাওয়া যাবে δ = δ(ε) যেমন প্রতিটি যুক্তির জন্য এক্স, শর্ত সন্তুষ্ট 0 < | x - x0 | < δ , অসমতা সন্তুষ্ট হবে | f(x)A |< ε .

আপনি যদি সীমার সারমর্ম এবং এটি খোঁজার প্রাথমিক নিয়মগুলি বুঝতে পারেন তবে এটি খুব সহজ হবে। ফাংশনের সীমা কত চ (এক্স)এ এক্সজন্য প্রচেষ্টা কসমান ক, এভাবে লেখা হয়:

তাছাড়া, ভ্যারিয়েবল যে মানটির দিকে ঝোঁক এক্স, শুধুমাত্র একটি সংখ্যাই নয়, অসীমও হতে পারে (∞), কখনও কখনও +∞ বা -∞, অথবা এর কোনো সীমা নেই।

কিভাবে বুঝতে একটি ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করুন, সমাধানের উদাহরণগুলি দেখা ভাল৷

ফাংশনের সীমা খুঁজে বের করা প্রয়োজন চ (x) = 1/এক্সএ:

এক্স→ 2, এক্স→ 0, এক্স→ ∞.

আসুন প্রথম সীমার একটি সমাধান খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, আপনি কেবল বিকল্প করতে পারেন এক্সএটি যে সংখ্যার দিকে থাকে, যেমন 2, আমরা পাই:

ফাংশনের দ্বিতীয় সীমাটি খুঁজে বের করা যাক. এখানে বিকল্প বিশুদ্ধ ফর্মপরিবর্তে 0 এক্সএটা অসম্ভব, কারণ আপনি 0 দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না। কিন্তু আমরা শূন্যের কাছাকাছি মান নিতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 এবং তাই, এবং ফাংশনের মান চ (এক্স)বৃদ্ধি পাবে: 100; 1000; 10000; 100,000 এবং তাই. এভাবে বোঝা যাবে কখন এক্স→ 0 সীমা চিহ্নের অধীনে থাকা ফাংশনের মান সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পাবে, যেমন অসীম দিকে প্রচেষ্টা. যার অর্থ:

তৃতীয় সীমা সম্পর্কে। আগের ক্ষেত্রে একই অবস্থা, এটি প্রতিস্থাপন করা অসম্ভব ∞ তার বিশুদ্ধতম আকারে। আমাদের সীমাহীন বৃদ্ধির ক্ষেত্রে বিবেচনা করা দরকার এক্স. আমরা একে একে 1000 প্রতিস্থাপন করি; 10000; 100000 এবং তাই, আমরা যে ফাংশন মান আছে চ (x) = 1/এক্সহ্রাস পাবে: 0.001; 0.0001; 0.00001; এবং তাই, শূন্য প্রবণতা. এই জন্য:

ফাংশনের সীমা গণনা করা প্রয়োজন

দ্বিতীয় উদাহরণ সমাধান করা শুরু, আমরা অনিশ্চয়তা দেখতে. এখান থেকে আমরা লব এবং হর এর সর্বোচ্চ ডিগ্রী খুঁজে পাই - এটি x 3, আমরা এটিকে লব এবং হর এর বন্ধনী থেকে বের করি এবং তারপরে এটিকে হ্রাস করি:

উত্তর

প্রথম ধাপ এই সীমা খুঁজে, পরিবর্তে মান 1 প্রতিস্থাপন করুন এক্স, অনিশ্চয়তার ফলে। এটি সমাধান করার জন্য, আসুন লবকে ফ্যাক্টরাইজ করি এবং শিকড় খোঁজার পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি করি দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ ডি =√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

সুতরাং লব হবে:

উত্তর

এটি তার নির্দিষ্ট মান বা একটি নির্দিষ্ট এলাকার সংজ্ঞা যেখানে ফাংশন পড়ে, যা সীমা দ্বারা সীমাবদ্ধ।

সীমা সমাধান করতে, নিয়ম অনুসরণ করুন:

সারমর্ম এবং মূল বুঝতে পেরে সীমা সমাধানের নিয়ম, আপনি তাদের সমাধান কিভাবে একটি প্রাথমিক বোঝার পাবেন.

ধ্রুবক সংখ্যা কডাকা সীমা ক্রম(x n), যদি কোনো ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট ধনাত্মক সংখ্যার জন্য হয়ε > 0 একটি সংখ্যা N আছে যার সমস্ত মান রয়েছে x n, যার জন্য n>N, অসমতাকে সন্তুষ্ট করে

|x n - a|< ε. (6.1)

এটি নিম্নরূপ লিখুন: বা x n →ক

অসমতা (6.1) দ্বিগুণ অসমতার সমতুল্য

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

যার মানে যে পয়েন্ট x n, কিছু সংখ্যা n>N থেকে শুরু করে, ব্যবধানের ভিতরে থাকা (a-ε, a+ ε ), i.e. কোন ছোট মধ্যে পড়াε - একটি বিন্দুর প্রতিবেশী ক.

একটি সীমা আছে একটি ক্রম বলা হয় অভিসারী, অন্যথায় - divergent.

একটি ফাংশন সীমার ধারণাটি একটি ক্রম সীমার ধারণার একটি সাধারণীকরণ, যেহেতু একটি অনুক্রমের সীমাটিকে একটি পূর্ণসংখ্যা আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন x n = f(n) এর সীমা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। n.

ফাংশন f(x) দেওয়া যাক এবং যাক ক - সীমা বিন্দুএই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন D(f), অর্থাৎ এই ধরনের একটি বিন্দু, যার যে কোনো আশেপাশে সেট D(f) এর বিন্দু ধারণ করে ক. ডট কসেট D(f) এর অন্তর্গত হতে পারে বা নাও পারে।

সংজ্ঞা 1.ধ্রুবক সংখ্যা A বলা হয় সীমা ফাংশন f(x) এ x→a, যদি আর্গুমেন্ট মানের কোন ক্রম (x n ) এর জন্য প্রবণতা থাকে ক, সংশ্লিষ্ট অনুক্রমের (f(x n)) একই সীমা A আছে।

এই সংজ্ঞা বলা হয় Heine অনুযায়ী একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করে,অথবা " ক্রমিক ভাষায়”.

সংজ্ঞা 2. ধ্রুবক সংখ্যা A বলা হয় সীমা ফাংশন f(x) এ x→একটি, যদি, একটি নির্বিচারে নির্বিচারে ছোট ধনাত্মক সংখ্যা ε উল্লেখ করে, কেউ যেমন δ খুঁজে পেতে পারেন>0 (ε এর উপর নির্ভর করে), যা সবার জন্য এক্স, মিথ্যাε-সংখ্যার প্রতিবেশী ক, অর্থাৎ জন্য এক্স, অসমতা সন্তুষ্ট
0 < x-a< ε , ফাংশনের মান f(x) এর মধ্যে থাকবেε-সংখ্যা A-এর প্রতিবেশী, i.e.|f(x)-A|< ε.

এই সংজ্ঞা বলা হয় কচি অনুসারে একটি ফাংশনের সীমা নির্ধারণ করে,বা "ভাষায় ε - δ “.

সংজ্ঞা 1 এবং 2 সমতুল্য। ফাংশন f(x) হলে x → হিসেবেa আছে সীমা, A এর সমান, এটি আকারে লেখা হয়

. (6.3)

ঘটনা যে অনুক্রম (f(x n)) কোনো আনুমানিক পদ্ধতির জন্য সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি (বা হ্রাস) এক্সআপনার সীমা পর্যন্ত ক, তারপর আমরা বলব যে ফাংশন f(x) আছে অসীম সীমা,এবং ফর্মে এটি লিখুন:

একটি পরিবর্তনশীল (অর্থাৎ ক্রম বা ফাংশন) যার সীমা শূন্য বলা হয় অসীম ছোট।

একটি চলক যার সীমা অসীম বলা হয় অসীম বড়.

অনুশীলনে সীমা খুঁজে পেতে, নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করা হয়।

উপপাদ্য ঘ . যদি প্রতিটি সীমা বিদ্যমান থাকে

(6.4)

(6.5)

(6.6)

মন্তব্য করুন. এক্সপ্রেশন যেমন 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - অনিশ্চিত, উদাহরণস্বরূপ, দুটি অসীম ছোট বা অসীমভাবে বড় পরিমাণের অনুপাত, এবং এই ধরণের একটি সীমা খুঁজে পাওয়াকে "অনিশ্চয়তা উন্মোচন" বলা হয়।

উপপাদ্য 2। (6.7)

সেগুলো. কেউ একটি ধ্রুবক সূচকের সাথে শক্তির উপর ভিত্তি করে সীমাতে যেতে পারে, বিশেষ করে, ;

(6.8)

(6.9)

উপপাদ্য 3.

(6.10)

(6.11)

কোথায় e » 2.7 - প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। সূত্র (6.10) এবং (6.11) প্রথম বলা হয় বিস্ময়কর সীমাএবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা।

সূত্রের ফলাফল (6.11) অনুশীলনেও ব্যবহৃত হয়:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

বিশেষ করে সীমা,

যদি x → a এবং একই সময়ে x > a, তারপর x লিখুন→a + 0. যদি, বিশেষভাবে, a = 0, তাহলে 0+0 চিহ্নের পরিবর্তে +0 লিখুন। একইভাবে যদি x→a এবং একই সময়ে x a-0 সংখ্যা এবং সেই অনুযায়ী ডাকা হয় সঠিক সীমাএবং বাম সীমা ফাংশন f(x) বিন্দুতে ক. x→ হিসাবে f(x) ফাংশনের একটি সীমা থাকতে হবেএকটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যাতে . ফাংশন f(x) বলা হয় একটানা বিন্দুতে x 0 যদি সীমা

. (6.15)

শর্ত (6.15) এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

,

অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ক্রমাগত থাকলে একটি ফাংশনের চিহ্নের অধীনে সীমা অতিক্রম করা সম্ভব।

যদি সমতা (6.15) লঙ্ঘন করা হয়, তাহলে আমরা তা বলি এ x = x o ফাংশন f(x) ইহা ছিল ফাঁক y = 1/x ফাংশনটি বিবেচনা করুন। এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেইন হল সেট আর, x = 0 ব্যতীত। বিন্দু x = 0 হল D(f) সেটের একটি সীমা বিন্দু, যেহেতু এটির যে কোনো এলাকায়, যেমন বিন্দু 0 সমন্বিত যেকোনো খোলা ব্যবধানে, D(f) থেকে বিন্দু রয়েছে, কিন্তু এটি নিজেই এই সেটের অন্তর্গত নয়। মান f(x o)= f(0) অনির্ধারিত, তাই x o = 0 বিন্দুতে ফাংশনের একটি বিচ্ছিন্নতা আছে।

ফাংশন f(x) বলা হয় বিন্দুতে ডানদিকে অবিরত x o যদি সীমা

,

এবং বিন্দুতে বাম দিকে একটানা x o, সীমা হলে

.

একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ধারাবাহিকতা xoএই সময়ে ডান এবং বাম উভয় দিকেই এর ধারাবাহিকতার সমান।

একটি বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হওয়ার জন্য xo, উদাহরণস্বরূপ, ডানদিকে, এটি প্রয়োজনীয়, প্রথমত, একটি সীমাবদ্ধ সীমা থাকা দরকার এবং দ্বিতীয়ত, এই সীমাটি f(x o) এর সমান। অতএব, যদি এই দুটি শর্তের মধ্যে অন্তত একটি পূরণ না হয়, তবে ফাংশনটি একটি বিচ্ছিন্নতা থাকবে।

1. যদি সীমা বিদ্যমান থাকে এবং f(x o) এর সমান না হয়, তাহলে তারা বলে ফাংশন f(x) বিন্দুতে x o আছে প্রথম ধরনের ফেটে যাওয়া,বা লাফ.

2. যদি সীমা হয়+∞ বা -∞ বা বিদ্যমান নেই, তারপর তারা বলে যে ইন বিন্দু xo ফাংশন একটি discontinuity আছে দ্বিতীয় ধরনের.

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন y = cot x এ x→ +0 এর একটি সীমা আছে +∞ এর সমান, যার মানে হল x=0 বিন্দুতে এটির দ্বিতীয় ধরনের একটি বিচ্ছিন্নতা রয়েছে। ফাংশন y = E(x) (এর পূর্ণসংখ্যা অংশ এক্স) সম্পূর্ণ অ্যাবসিসাস সহ বিন্দুতে প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বা জাম্প রয়েছে।

ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন একটি ফাংশন বলা হয় একটানাভি. একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন একটি কঠিন বক্ররেখা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

কিছু পরিমাণের ক্রমাগত বৃদ্ধির সাথে যুক্ত অনেক সমস্যা দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমার দিকে নিয়ে যায়। এই ধরনের কাজগুলি, উদাহরণস্বরূপ, অন্তর্ভুক্ত: চক্রবৃদ্ধি সুদের আইন অনুসারে আমানতের বৃদ্ধি, দেশের জনসংখ্যা বৃদ্ধি, তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়, ব্যাকটেরিয়ার বিস্তার ইত্যাদি।

চলো বিবেচনা করি ইয়া আই. পেরেলম্যানের উদাহরণ, সংখ্যার একটি ব্যাখ্যা প্রদান eচক্রবৃদ্ধি সুদের সমস্যায়। সংখ্যা eএকটি সীমা আছে . সঞ্চয় ব্যাংকে, সুদের টাকা বার্ষিক স্থায়ী মূলধনের সাথে যোগ করা হয়। যদি যোগদান আরও প্রায়ই করা হয়, তবে মূলধন দ্রুত বৃদ্ধি পায়, যেহেতু একটি বৃহত্তর পরিমাণ সুদ গঠনের সাথে জড়িত। আসুন একটি বিশুদ্ধভাবে তাত্ত্বিক, খুব সরলীকৃত উদাহরণ নেওয়া যাক। 100 অস্বীকারকারীকে ব্যাংকে জমা দেওয়া হোক। ইউনিট বার্ষিক 100% এর উপর ভিত্তি করে। যদি নির্দিষ্ট মূলধনের সাথে সুদের টাকা শুধুমাত্র এক বছর পরে যোগ করা হয়, তাহলে এই সময়ের মধ্যে 100 ডেন। ইউনিট 200টি আর্থিক ইউনিটে পরিণত হবে। এখন দেখা যাক 100 অস্বীকার কি পরিণত হবে। ইউনিট, যদি সুদের টাকা প্রতি ছয় মাসে স্থায়ী মূলধন যোগ করা হয়। ছয় মাস পর 100 ডেন। ইউনিট বেড়ে 100 হবে× 1.5 = 150, এবং আরও ছয় মাস পরে - 150 এ× 1.5 = 225 (ডেন। একক)। যদি প্রাপ্তি বছরের প্রতি 1/3 করা হয়, তাহলে এক বছর পর 100 ডেন। ইউনিট 100 এ পরিণত হবে× (1 +1/3) 3 " 237 (ডেন। ইউনিট)। আমরা 0.1 বছর, 0.01 বছর পর্যন্ত, 0.001 বছর পর্যন্ত, ইত্যাদিতে সুদের অর্থ যোগ করার শর্তাবলী বৃদ্ধি করব। তারপর আউট 100 ডেন. ইউনিট এক বছর পরে এটি হবে:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ডেন। ইউনিট),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ডেন। ইউনিট),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ডেন। ইউনিট)।

সুদ যোগ করার শর্তে সীমাহীন হ্রাসের সাথে, পুঞ্জীভূত মূলধন অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায় না, তবে আনুমানিক 271 এর সমান একটি নির্দিষ্ট সীমার কাছে পৌঁছে যায়। বার্ষিক 100% এ জমা করা মূলধন 2.71 গুণের বেশি বাড়তে পারে না, এমনকি অর্জিত সুদ হলেও প্রতি সেকেন্ডে মূলধন যোগ করা হয়েছে কারণ সীমা

উদাহরণ 3.1।একটি সংখ্যা অনুক্রমের সীমার সংজ্ঞা ব্যবহার করে প্রমাণ করুন যে অনুক্রম x n =(n-1)/n এর সীমা 1 এর সমান।

সমাধান।আমাদের সেটা প্রমাণ করতে হবে, যাই হোক না কেনε > 0 আমরা যাই নিই না কেন, তার জন্য কিছু আছে স্বাভাবিক সংখ্যা N, যেমন সকল n N-এর জন্য অসমতা বজায় থাকে|x n -1|< ε.

যে কোনো ই > 0 নেওয়া যাক। যেহেতু; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, তারপর N খুঁজে বের করার জন্য অসমতা 1/n সমাধান করা যথেষ্ট< e তাই n>1/ e এবং, তাই, N কে 1/ এর পূর্ণসংখ্যা হিসাবে নেওয়া যেতে পারে e , N = E(1/ e ) আমরা এর মাধ্যমে প্রমাণ করেছি যে সীমা।

উদাহরণ 3.2 . একটি সাধারণ পদ দ্বারা প্রদত্ত অনুক্রমের সীমা নির্ণয় কর .

সমাধান।আসুন যোগফলের উপপাদ্যের সীমা প্রয়োগ করি এবং প্রতিটি পদের সীমা খুঁজে বের করি। যখন n→ ∞ প্রতিটি পদের লব এবং হর অসীমের দিকে ঝোঁক, এবং আমরা সরাসরি ভাগফল সীমা উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি না। অতএব, প্রথমে আমরা রূপান্তর করি x n, প্রথম পদের লব এবং হরকে দ্বারা ভাগ করে n 2, এবং দ্বিতীয় অন n. তারপর, ভাগফলের সীমা এবং সমষ্টি উপপাদ্যের সীমা প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

.

উদাহরণ 3.3. . অনুসন্ধান .

সমাধান। .

এখানে আমরা ডিগ্রি উপপাদ্যের সীমা ব্যবহার করেছি: একটি ডিগ্রির সীমা বেসের সীমার ডিগ্রির সমান।

উদাহরণ 3.4 . অনুসন্ধান ( ).

সমাধান।পার্থক্য উপপাদ্যের সীমা প্রয়োগ করা অসম্ভব, যেহেতু আমাদের ফর্মের একটি অনিশ্চয়তা রয়েছে ∞-∞ . সাধারণ শব্দ সূত্র রূপান্তর করা যাক:

.

উদাহরণ 3.5 . ফাংশন f(x)=2 1/x দেওয়া আছে। প্রমাণ করুন যে কোন সীমা নেই।

সমাধান।একটি সিকোয়েন্সের মাধ্যমে একটি ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা 1 ব্যবহার করা যাক। আসুন একটি ক্রম ( x n ) 0-তে রূপান্তরিত করি, অর্থাৎ আসুন দেখাই যে মান f(x n)= বিভিন্ন অনুক্রমের জন্য ভিন্নভাবে আচরণ করে। ধরুন x n = 1/n। স্পষ্টতই, তারপর সীমা আমাদের এখন হিসাবে নির্বাচন করা যাক x nএকটি সাধারণ পদ x n = -1/n সহ একটি ক্রম, এছাড়াও শূন্যের দিকে ঝোঁক। তাই কোনো সীমা নেই।

উদাহরণ 3.6 . প্রমাণ করুন যে কোন সীমা নেই।

সমাধান।x 1 , x 2 ,..., x n ,... এর জন্য একটি ক্রম হোক
. কিভাবে ক্রম (f(x n)) = (sin x n) ভিন্ন x n → ∞ এর জন্য আচরণ করে

যদি x n = p n হয়, তাহলে sin x n = sin p n = 0 সবার জন্য nএবং সীমা যদি
x n =2 p n+ p /2, তারপর sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 সবার জন্য nএবং তাই সীমা। তাই এর অস্তিত্ব নেই।

অনলাইনে সীমা গণনা করার জন্য উইজেট

উপরের উইন্ডোতে, sin(x)/x এর পরিবর্তে, ফাংশনটি লিখুন যার সীমা আপনি খুঁজে পেতে চান। নীচের উইন্ডোতে, x যে সংখ্যার দিকে ঝুঁকছে সেটি লিখুন এবং ক্যালকুলার বোতামে ক্লিক করুন, পছন্দসই সীমা পান। এবং যদি ফলাফল উইন্ডোতে আপনি উপরের ডানদিকের কোণায় Show steps এ ক্লিক করেন, আপনি একটি বিস্তারিত সমাধান পাবেন।

ফাংশন প্রবেশের নিয়ম: sqrt(x)- বর্গমূল, cbrt(x) - ঘনমূল, exp(x) - সূচক, ln(x) - প্রাকৃতিক লগারিদম, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan(x) - স্পর্শক, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. চিহ্ন: * গুণ, / ভাগ, ^ সূচক, পরিবর্তে অনন্তঅনন্ত। উদাহরণ: ফাংশনটি sqrt(tan(x/2)) হিসাবে প্রবেশ করা হয়েছে।