"চতুর্ঘাত সমীকরণ" শব্দটিতে মূল শব্দটি হল "চতুর্মুখী।" এর মানে হল যে সমীকরণে অবশ্যই একটি পরিবর্তনশীল (একই x) বর্গ থাকতে হবে এবং তৃতীয় (বা বড়) পাওয়ারে xes থাকা উচিত নয়।
অনেক সমীকরণের সমাধান হুবহু সমাধান করতে নেমে আসে দ্বিঘাত সমীকরণ.
আসুন নির্ণয় করতে শিখি যে এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অন্য কোন সমীকরণ নয়।
উদাহরণ 1.
আসুন হর থেকে পরিত্রাণ পাই এবং সমীকরণের প্রতিটি পদকে দ্বারা গুণ করি
আসুন সবকিছু বাম দিকে নিয়ে যাই এবং X এর ক্ষমতার অবরোহ ক্রমে পদগুলি সাজাই
এখন আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে এই সমীকরণটি দ্বিঘাত!
উদাহরণ 2।
বাম এবং ডান দিক দিয়ে গুণ করুন:
এই সমীকরণ, যদিও এটি মূলত এটি ছিল, দ্বিঘাত নয়!
উদাহরণ 3.
এর দ্বারা সবকিছু গুণ করা যাক:
ভীতিকর? চতুর্থ এবং দ্বিতীয় ডিগ্রি... যাইহোক, যদি আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি, আমরা দেখতে পাব যে আমাদের একটি সহজ দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে:
উদাহরণ 4.
এটা আছে বলে মনে হচ্ছে, কিন্তু এর একটি ঘনিষ্ঠভাবে তাকান যাক. সবকিছু বাম দিকে সরানো যাক:
দেখুন, এটি হ্রাস পেয়েছে - এবং এখন এটি একটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণ!
এখন নিজের জন্য নির্ধারণ করার চেষ্টা করুন নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির মধ্যে কোনটি দ্বিঘাতী এবং কোনটি নয়:
উদাহরণ:
উত্তর:
- বর্গক্ষেত্র;
- বর্গক্ষেত্র;
- বর্গক্ষেত্র নয়;
- বর্গক্ষেত্র নয়;
- বর্গক্ষেত্র নয়;
- বর্গক্ষেত্র;
- বর্গক্ষেত্র নয়;
- বর্গক্ষেত্র
গণিতবিদরা প্রচলিতভাবে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে নিম্নলিখিত প্রকারে ভাগ করেন:
- দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন- সমীকরণ যেখানে সহগ এবং সেইসাথে মুক্ত শব্দ c, শূন্যের সমান নয় (উদাহরণ হিসাবে)। উপরন্তু, সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের মধ্যে রয়েছে দেওয়া- এগুলি এমন সমীকরণ যেখানে সহগ (উদাহরণ থেকে সমীকরণটি কেবল সম্পূর্ণ নয়, কমও হয়েছে!)
- অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ- সমীকরণ যেখানে সহগ এবং বা মুক্ত শব্দ c শূন্যের সমান:
তারা অসম্পূর্ণ কারণ তারা কিছু উপাদান অনুপস্থিত. কিন্তু সমীকরণে সবসময় x বর্গ থাকতে হবে!!! অন্যথায়, এটি আর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না, তবে অন্য কিছু সমীকরণ হবে।
কেন তারা এমন বিভক্তি নিয়ে এলো? এটা মনে হবে যে একটি X বর্গক্ষেত্র আছে, এবং ঠিক আছে. এই বিভাজন সমাধান পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়. আসুন আরো বিস্তারিতভাবে তাদের প্রতিটি তাকান।
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা
প্রথমে, আসুন অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার দিকে মনোনিবেশ করি - সেগুলি অনেক সহজ!
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকার রয়েছে:
- , এই সমীকরণে সহগ সমান।
- , এই সমীকরণে মুক্ত শব্দটি সমান।
- , এই সমীকরণে সহগ এবং মুক্ত পদ সমান।
1. i. কারণ আমরা জানি কিভাবে বের করতে হয় বর্গমূল, তাহলে এই সমীকরণ থেকে প্রকাশ করা যাক
অভিব্যক্তি নেতিবাচক বা ইতিবাচক হতে পারে। একটি বর্গ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, কারণ দুটি ঋণাত্মক বা দুটি ধনাত্মক সংখ্যাকে গুণ করার সময় ফলাফলটি সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে, তাই: যদি, তাহলে সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই।
এবং যদি, তারপর আমরা দুটি শিকড় পেতে. এই সূত্রগুলো মুখস্থ করার দরকার নেই। মূল জিনিসটি আপনাকে অবশ্যই জানতে হবে এবং সর্বদা মনে রাখবেন যে এটি কম হতে পারে না।
আসুন কিছু উদাহরণ সমাধান করার চেষ্টা করি।
উদাহরণ 5:
সমীকরণটি সমাধান করুন
এখন যা অবশিষ্ট থাকে তা হল বাম এবং ডান দিক থেকে মূল বের করা। সব পরে, আপনি শিকড় নিষ্কাশন কিভাবে মনে রাখবেন?
উত্তর:
একটি নেতিবাচক চিহ্ন সঙ্গে শিকড় সম্পর্কে ভুলবেন না!!!
উদাহরণ 6:
সমীকরণটি সমাধান করুন
উত্তর:
উদাহরণ 7:
সমীকরণটি সমাধান করুন
উহু! একটি সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, যার অর্থ হল সমীকরণ
কোন শিকড় নেই!
এই জাতীয় সমীকরণগুলির জন্য যার কোনও শিকড় নেই, গণিতবিদরা একটি বিশেষ আইকন নিয়ে এসেছিলেন - (খালি সেট)। এবং উত্তর এই মত লেখা যেতে পারে:
উত্তর:
সুতরাং, এই দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে। এখানে কোন সীমাবদ্ধতা নেই, যেহেতু আমরা মূলটি বের করিনি।
উদাহরণ 8:
সমীকরণটি সমাধান করুন
বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরটি নেওয়া যাক:
এইভাবে,
এই সমীকরণ দুটি মূল আছে.
উত্তর:
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সহজ প্রকার (যদিও সেগুলি সবই সহজ, তাই না?) স্পষ্টতই, এই সমীকরণের সর্বদা একটি মাত্র মূল থাকে:
আমরা এখানে উদাহরণ দিয়ে বিতরণ করা হবে.
সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা
আমরা আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্ম সমীকরণের একটি সমীকরণ যেখানে
সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা এগুলোর চেয়ে একটু বেশি কঠিন (একটু)।
মনে রেখো, কোন দ্বিঘাত সমীকরণ একটি বৈষম্য ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে! এমনকি অসম্পূর্ণ।
অন্যান্য পদ্ধতিগুলি আপনাকে এটি দ্রুত করতে সাহায্য করবে, কিন্তু যদি আপনার দ্বিঘাত সমীকরণে সমস্যা থাকে, তাহলে প্রথমে বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধানটি আয়ত্ত করুন।
1. একটি বৈষম্যকারী ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।
এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা খুব সহজ; প্রধান জিনিসটি কর্মের ক্রম এবং কয়েকটি সূত্র মনে রাখা।
যদি, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে। বিশেষ মনোযোগএকটি পদক্ষেপ নাও. বৈষম্যকারী () আমাদের সমীকরণের মূল সংখ্যা বলে।
- যদি, তাহলে ধাপে ফর্মুলা কমে যাবে। সুতরাং, সমীকরণের শুধুমাত্র একটি মূল থাকবে।
- যদি, তাহলে আমরা ধাপে ধাপে বৈষম্যকারীর মূল উত্তোলন করতে সক্ষম হব না। এটি ইঙ্গিত দেয় যে সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।
আসুন আমাদের সমীকরণে ফিরে যাই এবং কিছু উদাহরণ দেখি।
উদাহরণ 9:
সমীকরণটি সমাধান করুন
ধাপ 1আমরা এড়িয়ে যাই।
ধাপ ২.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
এর মানে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে।
ধাপ 3.
উত্তর:
উদাহরণ 10:
সমীকরণটি সমাধান করুন
সমীকরণটি প্রমিত আকারে উপস্থাপিত হয়, তাই ধাপ 1আমরা এড়িয়ে যাই।
ধাপ ২.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
এর মানে হল যে সমীকরণের একটি মূল আছে।
উত্তর:
উদাহরণ 11:
সমীকরণটি সমাধান করুন
সমীকরণটি প্রমিত আকারে উপস্থাপিত হয়, তাই ধাপ 1আমরা এড়িয়ে যাই।
ধাপ ২.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
এর মানে আমরা বৈষম্যকারীর মূল বের করতে সক্ষম হব না। সমীকরণের কোন শিকড় নেই।
এখন আমরা জানি কিভাবে সঠিকভাবে এই ধরনের উত্তর লিখতে হয়।
উত্তর:কোন শিকড়
2. ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।
আপনি যদি মনে রাখবেন, এক ধরনের সমীকরণ আছে যাকে হ্রাস করা হয় (যখন a সহগ সমান হয়):
এই ধরনের সমীকরণগুলি ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা খুব সহজ:
মূলের সমষ্টি দেওয়াদ্বিঘাত সমীকরণ সমান, এবং মূলের গুণফল সমান।
উদাহরণ 12:
সমীকরণটি সমাধান করুন
এই সমীকরণটি ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে কারণ .
সমীকরণের মূলের যোগফল সমান, অর্থাৎ আমরা প্রথম সমীকরণ পাই:
এবং পণ্যটি সমান:
আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি:
- এবং. পরিমাণ সমান;
- এবং. পরিমাণ সমান;
- এবং. পরিমাণ সমান।
এবং সিস্টেমের সমাধান:
উত্তর: ; .
উদাহরণ 13:
সমীকরণটি সমাধান করুন
উত্তর:
উদাহরণ 14:
সমীকরণটি সমাধান করুন
সমীকরণ দেওয়া হয়, যার মানে হল:
উত্তর:
দ্বিঘাত সমীকরণ. গড় স্তর
দ্বিঘাত সমীকরণ কি?
অন্য কথায়, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে - অজানা, - কিছু সংখ্যা, এবং।
সংখ্যাটিকে সর্বোচ্চ বা বলা হয় প্রথম সহগদ্বিঘাত সমীকরণ, - দ্বিতীয় সহগ, ক - বিনামূল্যে সদস্য.
কেন? কারণ যদি সমীকরণটি অবিলম্বে রৈখিক হয়ে যায়, কারণ অদৃশ্য হবে.
এই ক্ষেত্রে, এবং শূন্য সমান হতে পারে. এই চেয়ারের সমীকরণকে বলা হয় অসম্পূর্ণ। যদি সমস্ত পদের জায়গায় থাকে, অর্থাৎ, সমীকরণটি সম্পূর্ণ।
বিভিন্ন ধরণের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি:
প্রথমে, আসুন অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি দেখি - সেগুলি আরও সহজ।
আমরা নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণগুলিকে আলাদা করতে পারি:
I., এই সমীকরণে সহগ এবং মুক্ত পদ সমান।
২. , এই সমীকরণে সহগ সমান।
III. , এই সমীকরণে মুক্ত শব্দটি সমান।
এখন আসুন এই প্রতিটি উপপ্রকারের সমাধান দেখি।
স্পষ্টতই, এই সমীকরণের সর্বদা একটি মাত্র মূল থাকে:
একটি বর্গ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, কারণ আপনি যখন দুটি ঋণাত্মক বা দুটি ধনাত্মক সংখ্যাকে গুণ করেন, ফলাফলটি সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। এই জন্য:
যদি, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই;
যদি আমাদের দুটি শিকড় থাকে
এই সূত্রগুলো মুখস্থ করার দরকার নেই। মনে রাখা প্রধান জিনিস এটি কম হতে পারে না।
উদাহরণ:
সমাধান:
উত্তর:
একটি নেতিবাচক চিহ্ন সঙ্গে শিকড় সম্পর্কে ভুলবেন না!
একটি সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, যার অর্থ হল সমীকরণ
কোন শিকড়
সংক্ষেপে লিখতে যে একটি সমস্যার কোন সমাধান নেই, আমরা খালি সেট আইকন ব্যবহার করি।
উত্তর:
সুতরাং, এই সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: এবং।
উত্তর:
বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরটি নেওয়া যাক:
গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান। এর মানে হল যে সমীকরণের একটি সমাধান আছে যখন:
সুতরাং, এই দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: এবং।
উদাহরণ:
সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান:
আসুন সমীকরণের বাম দিকটি ফ্যাক্টর করি এবং শিকড়গুলি সন্ধান করি:
উত্তর:
সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি:
1. বৈষম্যমূলক
এইভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা সহজ, প্রধান জিনিসটি কর্মের ক্রম এবং কয়েকটি সূত্র মনে রাখা। মনে রাখবেন, যে কোন দ্বিঘাত সমীকরণ একটি বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে! এমনকি অসম্পূর্ণ।
আপনি শিকড় জন্য সূত্রে বৈষম্যকারী থেকে মূল লক্ষ্য করেছেন? কিন্তু বৈষম্যকারী নেতিবাচক হতে পারে। কি করো? আমাদের ২য় ধাপে বিশেষ মনোযোগ দিতে হবে। বৈষম্যকারী আমাদের সমীকরণের মূল সংখ্যা বলে।
- যদি, তাহলে সমীকরণটির মূল আছে:
- যদি, তাহলে সমীকরণটির একই শিকড় থাকে, এবং প্রকৃতপক্ষে, একটি মূল:
এই জাতীয় শিকড়কে ডাবল রুট বলা হয়।
- যদি, তাহলে বৈষম্যকারীর মূল নিষ্কাশন করা হয় না। এটি ইঙ্গিত দেয় যে সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।
কেন বিভিন্ন সংখ্যা শিকড় সম্ভব? চলুন চালু করা যাক জ্যামিতিক ইন্দ্রিয়দ্বিঘাত সমীকরণ. ফাংশনের গ্রাফ একটি প্যারাবোলা:
একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, . এর মানে হল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি হল অ্যাবসিসা অক্ষের (অক্ষ) সাথে ছেদ বিন্দু। একটি প্যারাবোলা অক্ষটিকে মোটেও ছেদ করতে পারে না বা এটিকে একটিতে ছেদ করতে পারে (যখন প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু অক্ষের উপর থাকে) বা দুটি বিন্দুতে।
উপরন্তু, সহগ প্যারাবোলার শাখাগুলির দিকনির্দেশের জন্য দায়ী। যদি, তাহলে প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, এবং যদি, তাহলে নীচের দিকে।
উদাহরণ:
সমাধান:
উত্তর:
উত্তর: .
উত্তর:
এর মানে কোন সমাধান নেই।
উত্তর: .
2. ভিয়েটার উপপাদ্য
ভিয়েটার উপপাদ্যটি ব্যবহার করা খুব সহজ: আপনাকে কেবল একটি জোড়া সংখ্যা বেছে নিতে হবে যার গুণফলটি সমীকরণের মুক্ত পদের সমান, এবং যোগফলটি বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া দ্বিতীয় সহগটির সমান।
এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে Vieta এর উপপাদ্য শুধুমাত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে হ্রাস দ্বিঘাত সমীকরণ ()।
আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:
উদাহরণ #1:
সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান:
এই সমীকরণটি ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে কারণ . অন্যান্য সহগ: ; .
সমীকরণের মূলের যোগফল হল:
এবং পণ্যটি সমান:
আসুন সংখ্যার জোড়া নির্বাচন করি যার গুণফল সমান এবং তাদের যোগফল সমান কিনা তা পরীক্ষা করি:
- এবং. পরিমাণ সমান;
- এবং. পরিমাণ সমান;
- এবং. পরিমাণ সমান।
এবং সিস্টেমের সমাধান:
এইভাবে, এবং আমাদের সমীকরণের মূল।
উত্তর: ; .
উদাহরণ #2:
সমাধান:
আসুন সংখ্যার জোড়া নির্বাচন করি যেগুলি গুণমানে দেয় এবং তারপরে তাদের যোগফল সমান কিনা তা পরীক্ষা করি:
এবং: তারা মোট দেয়।
এবং: তারা মোট দেয়। প্রাপ্ত করার জন্য, কেবল অনুমিত শিকড়ের লক্ষণগুলি পরিবর্তন করা যথেষ্ট: এবং সর্বোপরি, পণ্যটি।
উত্তর:
উদাহরণ #3:
সমাধান:
সমীকরণের মুক্ত পদটি ঋণাত্মক, এবং সেইজন্য মূলের গুণফল একটি নেতিবাচক সংখ্যা. এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন একটি শিকড় নেতিবাচক এবং অন্যটি ইতিবাচক। তাই মূলের যোগফল সমান তাদের মডিউলের পার্থক্য.
আসুন আমরা সংখ্যার জোড়া নির্বাচন করি যেগুলি গুণফল দেয় এবং যার পার্থক্য সমান:
এবং: তাদের পার্থক্য সমান - খাপ খায় না;
এবং: - উপযুক্ত নয়;
এবং: - উপযুক্ত নয়;
এবং: - উপযুক্ত। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল মনে রাখা যে একটি শিকড় নেতিবাচক। যেহেতু তাদের যোগফল অবশ্যই সমান হতে হবে, ছোট মডুলাস সহ মূলটি অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে: আমরা পরীক্ষা করি:
উত্তর:
উদাহরণ #4:
সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান:
সমীকরণ দেওয়া হয়, যার মানে হল:
মুক্ত শব্দটি ঋণাত্মক, এবং সেইজন্য শিকড়ের গুণফল ঋণাত্মক। এবং এটি তখনই সম্ভব যখন সমীকরণের একটি মূল ঋণাত্মক এবং অন্যটি ধনাত্মক।
আসুন সংখ্যার জোড়া নির্বাচন করি যার গুণফল সমান, এবং তারপর নির্ধারণ করি কোন শিকড়গুলির একটি নেতিবাচক চিহ্ন থাকা উচিত:
স্পষ্টতই, শুধুমাত্র শিকড় এবং প্রথম অবস্থার জন্য উপযুক্ত:
উত্তর:
উদাহরণ #5:
সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান:
সমীকরণ দেওয়া হয়, যার মানে হল:
মূলের যোগফল ঋণাত্মক, যার মানে অন্তত একটি মূল ঋণাত্মক। কিন্তু যেহেতু তাদের পণ্যটি ইতিবাচক, এর মানে উভয় শিকড়ের একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে।
আসুন সংখ্যার জোড়া নির্বাচন করি যার গুণফল সমান:
স্পষ্টতই, শিকড় হল সংখ্যা এবং.
উত্তর:
সম্মত হন, এই বাজে বৈষম্যকে গণনা করার পরিবর্তে মৌখিকভাবে শিকড় নিয়ে আসা খুব সুবিধাজনক। যতবার সম্ভব ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করার চেষ্টা করুন।
কিন্তু শিকড় খোঁজার সুবিধার্থে এবং গতি বাড়ানোর জন্য ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োজন। আপনি এটি ব্যবহার করে উপকৃত হওয়ার জন্য, আপনাকে অবশ্যই ক্রিয়াগুলিকে স্বয়ংক্রিয়তায় আনতে হবে। এবং এর জন্য আরও পাঁচটি উদাহরণ সমাধান করুন। কিন্তু প্রতারণা করবেন না: আপনি একটি বৈষম্যকারী ব্যবহার করতে পারবেন না! শুধুমাত্র ভিয়েতার উপপাদ্য:
স্বাধীন কাজের জন্য কাজের সমাধান:
টাস্ক 1। ((x)^(2))-8x+12=0
ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে:
যথারীতি, আমরা টুকরা দিয়ে নির্বাচন শুরু করি:
উপযুক্ত নয় কারণ পরিমাণ;
: পরিমাণ আপনার প্রয়োজন ঠিক কি.
উত্তর: ; .
টাস্ক 2।
এবং আবার আমাদের প্রিয় Vieta উপপাদ্য: যোগফল সমান হতে হবে, এবং গুণফল সমান হতে হবে।
কিন্তু যেহেতু এটি অবশ্যই নয়, কিন্তু, আমরা শিকড়ের লক্ষণগুলি পরিবর্তন করি: এবং (মোট)।
উত্তর: ; .
টাস্ক 3।
হুম... ওটা কোথায়?
আপনাকে একটি অংশে সমস্ত পদ সরাতে হবে:
মূলের যোগফল গুণফলের সমান।
ঠিক আছে, থামুন! সমীকরণ দেওয়া হয় না। কিন্তু ভিয়েতার উপপাদ্য শুধুমাত্র প্রদত্ত সমীকরণে প্রযোজ্য। তাই প্রথমে আপনাকে একটি সমীকরণ দিতে হবে। আপনি যদি নেতৃত্ব দিতে না পারেন তবে এই ধারণাটি ছেড়ে দিন এবং এটি অন্য উপায়ে সমাধান করুন (উদাহরণস্বরূপ, একটি বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দেওয়ার অর্থ হল অগ্রণী সহগ সমান করা:
দারুণ। তারপর মূলের যোগফল সমান এবং গুণফল।
এখানে শেলিং নাশপাতি বেছে নেওয়ার মতোই সহজ: সর্বোপরি, এটি একটি মৌলিক সংখ্যা (টাউটোলজির জন্য দুঃখিত)।
উত্তর: ; .
টাস্ক 4।
মুক্ত সদস্য নেতিবাচক। এই সম্পর্কে বিশেষ কি? এবং সত্য যে শিকড় বিভিন্ন লক্ষণ থাকবে। এবং এখন, নির্বাচনের সময়, আমরা শিকড়ের যোগফল পরীক্ষা করি না, তবে তাদের মডিউলগুলির পার্থক্য: এই পার্থক্যটি সমান, তবে একটি পণ্য।
সুতরাং, শিকড় সমান এবং, কিন্তু তাদের মধ্যে একটি বিয়োগ। ভিয়েতার উপপাদ্য আমাদের বলে যে মূলের যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান, অর্থাৎ। এর মানে হল যে ছোট রুটের একটি বিয়োগ থাকবে: এবং, যেহেতু।
উত্তর: ; .
টাস্ক 5।
আপনাকে প্রথমে কী করা উচিত? এটা ঠিক, সমীকরণ দিন:
আবার: আমরা সংখ্যার গুণক নির্বাচন করি, এবং তাদের পার্থক্য সমান হওয়া উচিত:
শিকড় সমান এবং, কিন্তু তাদের মধ্যে একটি বিয়োগ। কোনটি? তাদের যোগফল সমান হওয়া উচিত, যার মানে বিয়োগের একটি বড় মূল থাকবে।
উত্তর: ; .
আমাকে সংক্ষিপ্ত করা যাক:
- ভিয়েতার উপপাদ্যটি শুধুমাত্র প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণে ব্যবহৃত হয়।
- ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে, আপনি মৌখিকভাবে নির্বাচনের মাধ্যমে শিকড় খুঁজে পেতে পারেন।
- যদি সমীকরণ দেওয়া না হয় বা কোনো সমীকরণ পাওয়া না যায় উপযুক্ত জোড়ামুক্ত শব্দের গুণক, যার অর্থ কোনও সম্পূর্ণ শিকড় নেই এবং আপনাকে এটি অন্য উপায়ে সমাধান করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)।
3. একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করার পদ্ধতি
অজানা সম্বলিত সমস্ত পদ যদি সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র থেকে পদের আকারে উপস্থাপিত হয় - যোগফল বা পার্থক্যের বর্গ - তাহলে চলকগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, সমীকরণটি প্রকারের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
উদাহরণ স্বরূপ:
উদাহরণ 1:
সমীকরণটি সমাধান করুন:।
সমাধান:
উত্তর:
উদাহরণ 2:
সমীকরণটি সমাধান করুন:।
সমাধান:
উত্তর:
ভিতরে সাধারণ দৃষ্টিকোণরূপান্তর এই মত দেখাবে:
এই থেকেই বোঝা: .
কিছু মনে করিয়ে দেয় না? এটা একটা বৈষম্যমূলক ব্যাপার! ঠিক এভাবেই আমরা বৈষম্যমূলক সূত্র পেয়েছি।
দ্বিঘাত সমীকরণ. সংক্ষেপে প্রধান জিনিস সম্পর্কে
দ্বিঘাত সমীকরণ- এটি ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে - অজানা, - দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ, - মুক্ত শব্দ।
দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন- একটি সমীকরণ যেখানে সহগগুলি শূন্যের সমান নয়৷
দ্বিঘাত সমীকরণ হ্রাস করা হয়েছে- একটি সমীকরণ যেখানে সহগ, সেটি হল: .
অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ- একটি সমীকরণ যেখানে সহগ এবং বা মুক্ত শব্দ c শূন্যের সমান:
- সহগ হলে, সমীকরণটি এরকম দেখায়: ,
- যদি একটি মুক্ত শব্দ থাকে, তাহলে সমীকরণটির ফর্ম আছে: ,
- যদি এবং, সমীকরণটি এরকম দেখায়: .
1. অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম
1.1। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে, :
1) আসুন অজানা প্রকাশ করি: ,
2) অভিব্যক্তির চিহ্ন পরীক্ষা করুন:
- যদি, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই,
- যদি, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।
1.2। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে, :
1) বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়কটি নেওয়া যাক: ,
2) গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান। অতএব, সমীকরণ দুটি মূল আছে:
1.3। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে:
এই সমীকরণের সর্বদা একটি মাত্র মূল থাকে:
2. ফর্মের সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম যেখানে
2.1। বৈষম্যমূলক ব্যবহার করে সমাধান
1) আসুন সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে নিয়ে আসি: ,
2) আসুন সূত্রটি ব্যবহার করে বৈষম্য গণনা করি: , যা সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্দেশ করে:
3) সমীকরণের মূল খুঁজুন:
- যদি, তাহলে সমীকরণটির মূল রয়েছে, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
- যদি, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
- যদি, তাহলে সমীকরণটির কোনো শিকড় নেই।
2.2। ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান
হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল (যেখানে ফর্মের সমীকরণ) সমান, এবং মূলের গুণফল সমান, অর্থাৎ , ক.
2.3। একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান
যদি ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় থাকে তবে এটি ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে: .
ব্যস, টপিক শেষ। আপনি যদি এই লাইনগুলি পড়ছেন তবে এর অর্থ আপনি খুব শান্ত।
কারণ মাত্র 5% মানুষ নিজেরাই কিছু আয়ত্ত করতে সক্ষম। আর আপনি যদি শেষ পর্যন্ত পড়েন, তাহলে আপনি এই 5% এর মধ্যে!
এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।
আপনি এই বিষয়ে তত্ত্ব বুঝতে পেরেছেন. এবং, আমি আবারও বলছি, এটা... এটা শুধুই সুপার! আপনি ইতিমধ্যে আপনার সহকর্মীদের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠ থেকে ভাল.
সমস্যা হল এটি যথেষ্ট নাও হতে পারে...
কি জন্য?
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা সফলভাবে পাস করার জন্য, বাজেটে কলেজে প্রবেশের জন্য এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, জীবনের জন্য।
আমি তোমাকে কিছুতেই বোঝাবো না, শুধু একটা কথা বলব...
প্রাপ্ত মানুষ একটি ভাল শিক্ষা, যারা এটি পাননি তাদের থেকে অনেক বেশি উপার্জন করুন। এই পরিসংখ্যান.
তবে এটি মূল বিষয় নয়।
প্রধান বিষয় হল যে তারা আরও সুখী (এমন অধ্যয়ন আছে)। সম্ভবত কারণ তাদের সামনে আরও অনেক সুযোগ খুলে যায় এবং জীবন উজ্জ্বল হয়ে ওঠে? জানি না...
কিন্তু নিজের জন্য চিন্তা করুন ...
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় অন্যদের চেয়ে ভালো হতে এবং শেষ পর্যন্ত... সুখী হতে নিশ্চিত হতে কী লাগে?
এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করে আপনার হাত পেতে.
পরীক্ষার সময় আপনাকে তত্ত্বের জন্য জিজ্ঞাসা করা হবে না।
আপনার প্রয়োজন হবে সময়ের বিপরীতে সমস্যার সমাধান করুন.
এবং, আপনি যদি সেগুলি সমাধান না করে থাকেন (অনেক!), আপনি অবশ্যই কোথাও একটি বোকা ভুল করবেন বা আপনার কাছে সময় থাকবে না।
এটি খেলাধুলার মতো - নিশ্চিতভাবে জেতার জন্য আপনাকে এটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করতে হবে।
আপনি যেখানে চান সংগ্রহ খুঁজুন, অগত্যা সমাধান সহ, বিস্তারিত বিশ্লেষণ এবং সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন!
আপনি আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করতে পারেন (ঐচ্ছিক) এবং আমরা অবশ্যই তাদের সুপারিশ করি।
আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করে আরও ভাল করার জন্য, আপনি বর্তমানে যে YouClever পাঠ্যপুস্তকটি পড়ছেন তার আয়ু বাড়াতে আপনাকে সাহায্য করতে হবে।
কিভাবে? দুটি বিকল্প আছে:
- এই নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজগুলি আনলক করুন - 299 ঘষা।
- পাঠ্যপুস্তকের 99টি নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজের অ্যাক্সেস আনলক করুন - 499 ঘষা।
হ্যাঁ, আমাদের পাঠ্যপুস্তকে এই জাতীয় 99টি নিবন্ধ রয়েছে এবং সমস্ত কাজের অ্যাক্সেস এবং সেগুলিতে লুকানো সমস্ত পাঠ্য অবিলম্বে খোলা যেতে পারে।
সাইটের পুরো জীবনের জন্য সমস্ত লুকানো কাজগুলিতে অ্যাক্সেস দেওয়া হয়।
উপসংহারে...
আপনি আমাদের কাজ পছন্দ না হলে, অন্যদের খুঁজুন. শুধু তত্ত্বে থামবেন না।
"বুঝলাম" এবং "আমি সমাধান করতে পারি" সম্পূর্ণ ভিন্ন দক্ষতা। আপনি উভয় প্রয়োজন.
সমস্যা খুঁজুন এবং তাদের সমাধান!
কোপিয়েভস্কায়া গ্রামীণ মাধ্যমিক বিদ্যালয়
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের 10টি উপায়
প্রধান: প্যাট্রিকিভা গালিনা আনাতোলিয়েভনা,
গণিত শিক্ষক
গ্রাম কোপেভো, 2007
1. দ্বিঘাত সমীকরণের বিকাশের ইতিহাস
1.1 প্রাচীন ব্যাবিলনে দ্বিঘাত সমীকরণ
1.2 কিভাবে ডায়োফ্যান্টাস দ্বিঘাত সমীকরণ রচনা ও সমাধান করেছে
1.3 ভারতে দ্বিঘাত সমীকরণ
1.4 আল-খোরেজমি দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ
1.5 ইউরোপ XIII - XVII শতাব্দীতে দ্বিঘাত সমীকরণ
1.6 ভিয়েতার উপপাদ্য সম্পর্কে
2. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি
উপসংহার
সাহিত্য
1. দ্বিঘাত সমীকরণের বিকাশের ইতিহাস
1.1 প্রাচীন ব্যাবিলনে দ্বিঘাত সমীকরণ
শুধুমাত্র প্রথমটির নয়, দ্বিতীয় স্তরের সমীকরণগুলিও সমাধান করার প্রয়োজনীয়তা, এমনকি প্রাচীনকালেও, জমির প্লটগুলির ক্ষেত্রগুলি এবং সামরিক প্রকৃতির খনন কাজের সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধান করার প্রয়োজনের কারণে হয়েছিল। জ্যোতির্বিদ্যা এবং গণিতের বিকাশের সাথে সাথে। 2000 খ্রিস্টপূর্বাব্দের দিকে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা যেতে পারে। e ব্যাবিলনীয়।
আধুনিক বীজগণিতের স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে তাদের কিউনিফর্ম পাঠ্যগুলিতে অসম্পূর্ণ ছাড়াও রয়েছে, যেমন, সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ:
এক্স 2 + এক্স = ¾; এক্স 2 - এক্স = 14,5
এই সমীকরণগুলি সমাধানের নিয়ম, ব্যাবিলনীয় পাঠ্যগুলিতে নির্ধারিত, মূলত আধুনিক সমীকরণের সাথে মিলে যায়, কিন্তু ব্যাবিলনীয়রা কীভাবে এই নিয়মে পৌঁছেছিল তা জানা যায়নি। এখন পর্যন্ত পাওয়া প্রায় সমস্ত কিউনিফর্ম পাঠ্যগুলি রেসিপি আকারে দেওয়া সমাধানগুলির সাথে কেবল সমস্যাগুলিই সরবরাহ করে, সেগুলি কীভাবে পাওয়া গেল তার কোনও ইঙ্গিত নেই।
সত্ত্বেও উচ্চস্তরব্যাবিলনে বীজগণিতের বিকাশ, কিউনিফর্ম গ্রন্থে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার ধারণার অভাব রয়েছে এবং সাধারণ পদ্ধতিদ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।
1.2 কিভাবে ডায়োফ্যান্টাস দ্বিঘাত সমীকরণ রচনা ও সমাধান করেছে।
ডায়োফ্যান্টাসের পাটিগণিত বীজগণিতের একটি পদ্ধতিগত উপস্থাপনা ধারণ করে না, তবে এটিতে সমস্যাগুলির একটি পদ্ধতিগত সিরিজ রয়েছে, যা ব্যাখ্যা সহ এবং বিভিন্ন ডিগ্রির সমীকরণ তৈরি করে সমাধান করা হয়।
সমীকরণ রচনা করার সময়, ডায়োফ্যান্টাস দক্ষতার সাথে সমাধানটি সহজ করার জন্য অজানাগুলি নির্বাচন করে।
এখানে, উদাহরণস্বরূপ, তার কাজ এক.
সমস্যা 11."দুটি সংখ্যা খুঁজুন, জেনে নিন যে তাদের যোগফল 20 এবং তাদের গুণফল 96"
ডায়োফ্যান্টাসের কারণগুলি নিম্নরূপ: সমস্যার শর্তগুলি থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলি সমান নয়, যেহেতু তারা যদি সমান হয় তবে তাদের গুণফল 96 এর সমান হবে না, তবে 100 হবে। সুতরাং, তাদের মধ্যে একটি এর চেয়ে বেশি হবে। তাদের যোগফলের অর্ধেক, অর্থাৎ 10 + x, অন্যটি কম, অর্থাৎ 10 এর. তাদের মধ্যে পার্থক্য 2x .
তাই সমীকরণ:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
এখান থেকে x = 2. প্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলির একটি সমান 12 , অন্যান্য 8 . সমাধান x = -2ডায়োফ্যান্টাসের অস্তিত্ব নেই, যেহেতু গ্রীক গণিত শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যা জানত।
যদি আমরা অজানা হিসাবে প্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি বেছে নিয়ে এই সমস্যার সমাধান করি, তাহলে আমরা সমীকরণটির সমাধানে আসব।
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0। (2)
এটা স্পষ্ট যে প্রয়োজনীয় সংখ্যার অর্ধ-পার্থক্যকে অজানা হিসাবে বেছে নেওয়ার মাধ্যমে, ডায়োফ্যান্টাস সমাধানটিকে সরলীকরণ করে; তিনি একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ (1) সমাধানে সমস্যাটি হ্রাস করতে পরিচালনা করেন।
1.3 ভারতে দ্বিঘাত সমীকরণ
ভারতীয় গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী আর্যভট্ট দ্বারা 499 সালে সংকলিত জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত গ্রন্থ "আর্যভট্টিয়াম"-এ দ্বিঘাত সমীকরণের সমস্যাগুলি ইতিমধ্যেই পাওয়া যায়। আরেকজন ভারতীয় বিজ্ঞানী ব্রহ্মগুপ্ত (সপ্তম শতক) রূপরেখা দিয়েছেন সাধারণ নিয়মদ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানগুলি একটি একক ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস পেয়েছে:
আহ 2 + খ x = c, a > 0। (1)
সমীকরণে (1), সহগ, ব্যতীত ক, এছাড়াও নেতিবাচক হতে পারে. ব্রহ্মগুপ্তের শাসন মূলত আমাদের মতই।
ভিতরে প্রাচীন ভারতকঠিন সমস্যা সমাধানে পাবলিক প্রতিযোগিতা সাধারণ ছিল। একটি পুরানো ভারতীয় বই এই ধরনের প্রতিযোগিতা সম্পর্কে নিম্নলিখিত বলে: "সূর্য যেমন তার তেজ সহ তারাকে গ্রহণ করে, শেখা মানুষঅন্যের গৌরব গ্রহন করবে জনগণের সমাবেশ, বীজগণিতীয় সমস্যার প্রস্তাবনা এবং সমাধান।" সমস্যাগুলি প্রায়শই কাব্যিক আকারে উপস্থাপন করা হত।
এটি দ্বাদশ শতাব্দীর বিখ্যাত ভারতীয় গণিতবিদদের অন্যতম সমস্যা। ভাস্করস।
সমস্যা 13.
"এক ঝাঁক চটকদার বানর, আর দ্রাক্ষালতার পাশে বারোটি...
কর্তৃপক্ষ, খেয়েছে, মজা করেছে। তারা লাফাতে শুরু করে, ঝুলতে থাকে...
চত্বরে আছে, আট ভাগে। কত বানর ছিল?
আমি ক্লিয়ারিং মধ্যে মজা ছিল. বলুন তো, এই প্যাকেটে?
ভাস্করের সমাধান ইঙ্গিত করে যে তিনি জানতেন যে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুটি-মূল্য (চিত্র 3)।
সমস্যা 13 এর সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ হল:
( এক্স /8) 2 + 12 = এক্স
ভাস্কর ছদ্মবেশে লিখেছেন:
x 2 - 64x = -768
এবং, এই সমীকরণের বাম দিকটি বর্গক্ষেত্রে সম্পূর্ণ করতে, উভয় পাশে যোগ করে 32 2 , তারপর পাচ্ছেন:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48।
1.4 আল-খোরেজমিতে দ্বিঘাত সমীকরণ
আল-খোরেজমির বীজগণিত গ্রন্থে, রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণের একটি শ্রেণীবিভাগ দেওয়া হয়েছে। লেখক 6 ধরণের সমীকরণ গণনা করেছেন, সেগুলিকে নিম্নরূপ প্রকাশ করেছেন:
1) "বর্গগুলি মূলের সমান," অর্থাৎ ax 2 + c = খ এক্স.
2) "বর্গগুলি সংখ্যার সমান", অর্থাৎ ax 2 = c.
3) "মূলগুলি সংখ্যার সমান," অর্থাৎ ah = s.
4) "বর্গ এবং সংখ্যা মূলের সমান," অর্থাৎ ax 2 + c = খ এক্স.
5) "বর্গ এবং মূল সংখ্যার সমান", অর্থাৎ আহ 2 + bx = সে.
6) "মূল এবং সংখ্যাগুলি বর্গক্ষেত্রের সমান," অর্থাৎ bx + c = কুঠার 2।
আল-খোরেজমির জন্য, যিনি ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার এড়িয়ে গেছেন, এই সমীকরণগুলির প্রতিটির পদ যোগ এবং বিয়োগযোগ্য নয়। এই ক্ষেত্রে, যে সমীকরণগুলির ইতিবাচক সমাধান নেই সেগুলি অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া হয় না। লেখক আল-জাবর এবং আল-মুকাবালার কৌশল ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি নির্ধারণ করেছেন। তার সিদ্ধান্তগুলি অবশ্যই আমাদের সাথে পুরোপুরি মিলে না। উল্লেখ করার মতো নয় যে এটি সম্পূর্ণরূপে অলঙ্কৃত, এটি লক্ষ করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম ধরণের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়
আল-খোরেজমি, 17 শতকের আগের সমস্ত গণিতবিদদের মতো, শূন্য সমাধানকে বিবেচনায় নেন না, সম্ভবত নির্দিষ্ট ব্যবহারিক সমস্যার ক্ষেত্রে এটি কোন ব্যাপার নয়। আংশিকভাবে আল-খোরেজমি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময় সংখ্যাসূচক উদাহরণসমাধানের জন্য নিয়ম এবং তারপর জ্যামিতিক প্রমাণ দেয়।
সমস্যা 14.“বর্গ এবং সংখ্যা 21টি 10 মূলের সমান। মূল খুঁজুন" (x 2 + 21 = 10x সমীকরণের মূল বোঝায়)।
লেখকের সমাধানটি এরকম কিছু: মূলের সংখ্যাকে অর্ধেক ভাগ করুন, আপনি 5 পাবেন, 5 নিজেই গুণ করুন, গুণফল থেকে 21 বিয়োগ করুন, যা 4 থাকবে। 4 থেকে মূল নিন, আপনি 2 পাবেন। 5 থেকে 2 বিয়োগ করুন। , আপনি 3 পাবেন, এটি কাঙ্ক্ষিত রুট হবে। অথবা 2 থেকে 5 যোগ করুন, যা 7 দেয়, এটিও একটি মূল।
আল-খোরেজমির গ্রন্থটি আমাদের কাছে আসা প্রথম বই, যা পদ্ধতিগতভাবে দ্বিঘাত সমীকরণের শ্রেণীবিভাগ নির্ধারণ করে এবং তাদের সমাধানের সূত্র দেয়।
1.5 ইউরোপে দ্বিঘাত সমীকরণ XIII - XVII bb
ইতালীয় গণিতবিদ লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি 1202 সালে লিখিত অ্যাবাকাসের বইয়ে ইউরোপে আল-খোয়ারিজমির লাইন ধরে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সূত্রগুলি প্রথম সেট করা হয়েছিল। এই বিশাল কাজ, যা গণিতের প্রভাব প্রতিফলিত করে, উভয় ইসলামী দেশ এবং প্রাচীন গ্রীস, উপস্থাপনার সম্পূর্ণতা এবং স্বচ্ছতা উভয় দ্বারা আলাদা করা হয়। লেখক স্বাধীনভাবে সমস্যা সমাধানের কিছু নতুন বীজগাণিতিক উদাহরণ তৈরি করেছেন এবং নেতিবাচক সংখ্যার প্রবর্তনের কাছে ইউরোপে প্রথম ব্যক্তি ছিলেন। তার বইটি কেবল ইতালিতে নয়, জার্মানি, ফ্রান্স এবং অন্যান্য ইউরোপীয় দেশেও বীজগণিত জ্ঞানের বিস্তারে অবদান রাখে। অ্যাবাকাস বইয়ের অনেক সমস্যা 16-17 শতকের প্রায় সমস্ত ইউরোপীয় পাঠ্যপুস্তকে ব্যবহৃত হয়েছিল। এবং আংশিকভাবে XVIII।
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সাধারণ নিয়ম একটি একক ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা হয়েছে:
x 2 + bx = গ,
সহগ চিহ্নের সমস্ত সম্ভাব্য সমন্বয়ের জন্য খ , সঙ্গেশুধুমাত্র এম. স্টিফেল দ্বারা 1544 সালে ইউরোপে প্রণয়ন করা হয়েছিল।
সাধারণ আকারে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সূত্রের উদ্ভব Viète থেকে পাওয়া যায়, কিন্তু Viète শুধুমাত্র ধনাত্মক শিকড়কে স্বীকৃতি দিয়েছে। ইতালীয় গণিতবিদ টারটাগলিয়া, কার্ডানো, বোম্বেলি ছিলেন 16 শতকের প্রথম গণিতবিদদের মধ্যে। ইতিবাচক ছাড়াও, নেতিবাচক শিকড়গুলিও বিবেচনায় নেওয়া হয়। শুধুমাত্র 17 শতকে। Girard, Descartes, Newton এবং অন্যান্য বিজ্ঞানীদের কাজের জন্য ধন্যবাদ, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিটি একটি আধুনিক রূপ ধারণ করে।
1.6 ভিয়েতার উপপাদ্য সম্পর্কে
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ এবং এর শিকড়ের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশকারী উপপাদ্য, ভিয়েটা নামে নামকরণ করা হয়েছে, তিনি 1591 সালে প্রথমবারের মতো এইভাবে প্রণয়ন করেছিলেন: “যদি খ + ডি, দ্বারা গুণিত ক - ক 2 , সমান বিডি, যে কসমান ভিতরেএবং সমান ডি ».
ভিয়েটা বোঝার জন্য, আমাদের এটি মনে রাখা উচিত ক, যেকোনো স্বরবর্ণ বর্ণের মতো, অজানাকে বোঝায় (আমাদের এক্স), স্বরবর্ণ ভিতরে, ডি- অজানা জন্য সহগ. আধুনিক বীজগণিতের ভাষায়, উপরের ভিয়েটা সূত্রের অর্থ হল: যদি থাকে
(a + খ )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + খ )x + a খ = 0,
x 1 = a, x 2 = খ .
সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করা সাধারণ সূত্রচিহ্ন ব্যবহার করে লেখা, ভিয়েত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিতে অভিন্নতা প্রতিষ্ঠা করেছে। যাইহোক, ভিয়েতের প্রতীকবাদ এখনও অনেক দূরে আধুনিক চেহারা. তিনি নেতিবাচক সংখ্যাগুলি চিনতে পারেননি এবং তাই, সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, তিনি কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছিলেন যেখানে সমস্ত মূল ইতিবাচক ছিল।
2. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি
দ্বিঘাত সমীকরণ হল সেই ভিত্তি যার উপর বীজগণিতের মহিমান্বিত স্থাপনা টিকে আছে। দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায় ব্যাপক আবেদনত্রিকোণমিতিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, অযৌক্তিক এবং অতীন্দ্রিয় সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়। আমরা সবাই জানি কিভাবে স্কুল (8ম শ্রেণী) থেকে স্নাতক পর্যন্ত দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হয়।
আমি আশা করি এই নিবন্ধটি অধ্যয়ন করার পরে আপনি শিখবেন কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করতে হয়।
বৈষম্যকারী ব্যবহার করে, শুধুমাত্র সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়; অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে, অন্যান্য পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়, যা আপনি "অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা" নিবন্ধে পাবেন।
কোন দ্বিঘাত সমীকরণকে সম্পূর্ণ বলা হয়? এই ax 2 + b x + c = 0 ফর্মের সমীকরণ, যেখানে a, b এবং c সহগ শূন্যের সমান নয়। সুতরাং, একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, আমাদের বৈষম্যকারী D গণনা করতে হবে।
D = b 2 – 4ac।
বৈষম্যকারীর মূল্যের উপর নির্ভর করে, আমরা উত্তরটি লিখব।
যদি বৈষম্যকারী একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয় (D< 0),то корней нет.
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে x = (-b)/2a। যখন বৈষম্যকারী একটি ধনাত্মক সংখ্যা (D > 0),
তারপর x 1 = (-b - √D)/2a, এবং x 2 = (-b + √D)/2a।
উদাহরণ স্বরূপ. সমীকরণটি সমাধান করুন x 2- 4x + 4 = 0।
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
উত্তর: 2।
সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + x + 3 = 0।
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
উত্তর: শিকড় নেই.
সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
উত্তরঃ- 3.5; 1.
তাহলে আসুন চিত্র 1-এর চিত্রটি ব্যবহার করে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান কল্পনা করি।
এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে আপনি যে কোনও সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারেন। আপনি শুধু সতর্ক হতে হবে সমীকরণটি বহুপদ হিসাবে লেখা হয়েছিল স্ট্যান্ডার্ড ভিউ
ক x 2 + bx + c,অন্যথায় আপনি একটি ভুল করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, x + 3 + 2x 2 = 0 সমীকরণটি লেখার সময়, আপনি ভুলভাবে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে
a = 1, b = 3 এবং c = 2। তারপর
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 এবং তারপর সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। এবং এটি সত্য নয়। (উপরে 2 উদাহরণের সমাধান দেখুন)।
অতএব, যদি সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদী হিসাবে লেখা না হয়, তবে প্রথমে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে আদর্শ ফর্মের বহুপদ হিসাবে লিখতে হবে (সবচেয়ে বড় সূচক সহ একপদ প্রথমে আসা উচিত, অর্থাৎ ক x 2 , তারপর কম দিয়ে – bxএবং তারপর একটি বিনামূল্যে সদস্য সঙ্গে.
হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দ্বিতীয় পদে একটি সমান সহগ সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, আপনি অন্যান্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন। আসুন এই সূত্রগুলোর সাথে পরিচিত হই। যদি একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে দ্বিতীয় পদটির একটি জোড় সহগ থাকে (b = 2k), তাহলে আপনি চিত্র 2-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন।
একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণকে হ্রাস বলা হয় যদি সহগ at হয় x 2 একের সমান এবং সমীকরণটি রূপ নেয় x 2 + px + q = 0. এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধানের জন্য দেওয়া যেতে পারে, অথবা সমীকরণের সমস্ত সহগকে সহগ দ্বারা ভাগ করে এটি পাওয়া যেতে পারে ক, দাঁড়ানো x 2 .
চিত্র 3 হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্র সমাধানের জন্য একটি চিত্র দেখায় 
সমীকরণ আসুন এই নিবন্ধে আলোচিত সূত্রগুলির প্রয়োগের একটি উদাহরণ দেখি।
উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন
3x 2 + 6x – 6 = 0।
চিত্র 1-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করা যাক।
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
উত্তর: –1 – √3; –1 + √3
আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে এই সমীকরণে x এর সহগটি একটি জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ b = 6 বা b = 2k, যেখান থেকে k = 3। তাহলে চলুন D চিত্রের চিত্রে দেখানো সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি। 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
উত্তর: –1 – √3; –1 + √3. এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমস্ত সহগ 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং বিভাজন সম্পাদন করার লক্ষ্যে, আমরা হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই x 2 + 2x – 2 = 0 হ্রাসকৃত দ্বিঘাতের সূত্রগুলি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করি 
সমীকরণ চিত্র 3।
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
উত্তর: –1 – √3; –1 + √3।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করার সময়, আমরা একই উত্তর পেয়েছি। অতএব, চিত্র 1-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে আয়ত্ত করার পরে, আপনি সর্বদা যেকোনো সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে সক্ষম হবেন।
blog.site, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান কপি করার সময়, মূল উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।
ভিতরে আধুনিক সমাজএকটি পরিবর্তনশীল বর্গযুক্ত সমীকরণের সাথে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার ক্ষমতা কার্যকলাপের অনেক ক্ষেত্রে কার্যকর হতে পারে এবং বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত উন্নয়নে অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এর প্রমাণ পাওয়া যায় সমুদ্র ও নদীর জলযান, বিমান ও ক্ষেপণাস্ত্রের নকশায়। এই ধরনের গণনা ব্যবহার করে, সর্বাধিক আন্দোলনের গতিপথ বিভিন্ন সংস্থা, মহাকাশ বস্তু সহ। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ উদাহরণগুলি শুধুমাত্র অর্থনৈতিক পূর্বাভাস, ভবনের নকশা এবং নির্মাণে নয়, সবচেয়ে সাধারণ দৈনন্দিন পরিস্থিতিতেও ব্যবহৃত হয়। হাইকিং ট্রিপে, খেলাধুলার ইভেন্টে, কেনাকাটা করার সময় দোকানে এবং অন্যান্য খুব সাধারণ পরিস্থিতিতে তাদের প্রয়োজন হতে পারে।
এর কম্পোনেন্ট ফ্যাক্টর মধ্যে অভিব্যক্তি বিরতি করা যাক
একটি সমীকরণের ডিগ্রি অভিব্যক্তিতে থাকা ভেরিয়েবলের ডিগ্রির সর্বোচ্চ মান দ্বারা নির্ধারিত হয়। যদি এটি 2 এর সমান হয়, তবে এই ধরনের সমীকরণকে দ্বিঘাত বলা হয়।
যদি আমরা সূত্রের ভাষায় কথা বলি, তাহলে নির্দেশিত অভিব্যক্তিগুলি, সেগুলি যেভাবেই দেখা যাক না কেন, সর্বদা ফর্মে আনা যেতে পারে যখন বাম পাশেঅভিব্যক্তি তিনটি পদ নিয়ে গঠিত। তাদের মধ্যে: ax 2 (অর্থাৎ, একটি পরিবর্তনশীল তার সহগ সহ বর্গক্ষেত্র), bx (একটি অজানা যার সহগ সহ একটি বর্গক্ষেত্র ছাড়াই) এবং c (একটি মুক্ত উপাদান, অর্থাৎ একটি সাধারণ সংখ্যা)। ডান দিকের এই সমস্তগুলি 0 এর সমান। যে ক্ষেত্রে এই ধরনের বহুপদে তার একটি উপাদান পদের অভাব থাকে, ax 2 ব্যতীত, এটিকে একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এই ধরনের সমস্যার সমাধান সহ উদাহরণ, ভেরিয়েবলের মানগুলি যেখানে খুঁজে পাওয়া সহজ, প্রথমে বিবেচনা করা উচিত।
যদি এক্সপ্রেশনটি দেখে মনে হয় যে এটির ডানদিকে দুটি পদ আছে, আরও সঠিকভাবে ax 2 এবং bx, x খুঁজে পাওয়ার সবচেয়ে সহজ উপায় হল ভেরিয়েবলটিকে বন্ধনীর বাইরে রেখে। এখন আমাদের সমীকরণটি এরকম দেখাবে: x(ax+b)। এর পরে, এটা স্পষ্ট হয়ে যায় যে হয় x=0, অথবা সমস্যাটি নিচের অভিব্যক্তি থেকে একটি পরিবর্তনশীল খুঁজে বের করতে আসে: ax+b=0। এটি গুণনের একটি বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। নিয়মে বলা হয়েছে যে দুটি ফ্যাক্টরের গুণফল 0 হয় শুধুমাত্র যদি তাদের একটি শূন্য হয়।
উদাহরণ
x=0 বা 8x - 3 = 0
ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণের দুটি মূল পাই: 0 এবং 0.375।
এই ধরণের সমীকরণগুলি মহাকর্ষের প্রভাবের অধীনে দেহগুলির গতিবিধি বর্ণনা করতে পারে, যা স্থানাঙ্কের উত্স হিসাবে নেওয়া একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সরতে শুরু করে। এখানে গাণিতিক স্বরলিপিনিম্নলিখিত ফর্ম নেয়: y = v 0 t + gt 2 /2। প্রয়োজনীয় মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, ডান দিকটিকে 0 এর সাথে সমান করে এবং সম্ভাব্য অজানাগুলি খুঁজে বের করার মাধ্যমে, আপনি শরীরের বৃদ্ধির মুহূর্ত থেকে এটি পড়ে যাওয়ার মুহুর্ত পর্যন্ত যে সময়টি কেটে যায়, সেই সাথে অন্যান্য অনেক পরিমাণও খুঁজে পেতে পারেন। তবে আমরা এই বিষয়ে পরে কথা বলব।
একটি অভিব্যক্তি ফ্যাক্টরিং
উপরে বর্ণিত নিয়মটি এই সমস্যাগুলি আরও বেশি সমাধান করা সম্ভব করে তোলে কঠিন মামলা. আসুন এই ধরণের দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ দেখি।
X 2 - 33x + 200 = 0
এই দ্বিঘাত ত্রিনামিকসম্পূর্ণ. প্রথমে, আসুন অভিব্যক্তিটিকে রূপান্তরিত করি এবং এটিকে গুণিত করি। তাদের মধ্যে দুটি আছে: (x-8) এবং (x-25) = 0। ফলস্বরূপ, আমাদের দুটি মূল আছে 8 এবং 25।
9 গ্রেডে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার উদাহরণগুলি এই পদ্ধতিটিকে শুধুমাত্র দ্বিতীয় নয়, এমনকি তৃতীয় এবং চতুর্থ ক্রমগুলির অভিব্যক্তিতে একটি পরিবর্তনশীল খুঁজে পেতে দেয়৷
উদাহরণস্বরূপ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0। একটি পরিবর্তনশীলের সাহায্যে ডান দিকটিকে গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করার সময়, তাদের মধ্যে তিনটি থাকে, অর্থাৎ (x+1), (x-3) এবং (x+ 3)।
ফলস্বরূপ, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে এই সমীকরণটির তিনটি মূল রয়েছে: -3; -1; 3.
বর্গমূল
একটি অসম্পূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণের আরেকটি কেস হল একটি অভিব্যক্তি যা অক্ষরের ভাষায় এমনভাবে উপস্থাপন করা হয় যে ডান অংশউপাদান ax 2 এবং c থেকে নির্মিত হয়। এখানে, ভেরিয়েবলের মান পেতে, মুক্ত শব্দটি স্থানান্তরিত হয় ডান পাশ, এবং এর পরে সমতার উভয় দিক থেকে বর্গমূল নেওয়া হয়। এটা উল্লেখ করা উচিত যে মধ্যে এক্ষেত্রেসমীকরণের সাধারণত দুটি মূল থাকে। একমাত্র ব্যতিক্রমগুলি সমতা হতে পারে যেগুলির সাথে কোনও পদ নেই, যেখানে ভেরিয়েবলটি শূন্যের সমান, সেইসাথে যখন ডান দিকটি নেতিবাচক হতে দেখা যায় তখন অভিব্যক্তির রূপগুলি। পরবর্তী ক্ষেত্রে, কোনও সমাধান নেই, যেহেতু উপরের ক্রিয়াগুলি শিকড় দিয়ে করা যায় না। এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করা উচিত।
এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের মূল হবে সংখ্যা -4 এবং 4।
জমির আয়তনের হিসাব
এই ধরণের গণনার প্রয়োজনীয়তা প্রাচীনকালে উপস্থিত হয়েছিল, কারণ সেই দূরবর্তী সময়ে গণিতের বিকাশ মূলত ভূমি প্লটগুলির ক্ষেত্র এবং পরিধিগুলি সর্বাধিক নির্ভুলতার সাথে নির্ধারণের প্রয়োজনীয়তার দ্বারা নির্ধারিত হয়েছিল।
আমাদের এই ধরণের সমস্যার উপর ভিত্তি করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণগুলিও বিবেচনা করা উচিত।
সুতরাং, ধরা যাক জমির একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্লট রয়েছে, যার দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 16 মিটার বেশি। সাইটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং পরিধি খুঁজে বের করা উচিত যদি আপনি জানেন যে এর ক্ষেত্রফল হল 612 m2।
শুরু করতে, প্রথমে প্রয়োজনীয় সমীকরণ তৈরি করা যাক। ক্ষেত্রফলের প্রস্থ x দ্বারা চিহ্নিত করা যাক, তাহলে এর দৈর্ঘ্য হবে (x+16)। যা লেখা হয়েছে তা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ক্ষেত্রফল x(x+16) রাশি দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা আমাদের সমস্যার শর্ত অনুসারে 612। এর মানে হল x(x+16) = 612।
সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা, এবং এই অভিব্যক্তিটি ঠিক যে, একইভাবে করা যাবে না। কেন? যদিও বাম দিকে এখনও দুটি ফ্যাক্টর রয়েছে, তবে তাদের পণ্যটি 0 এর সমান নয়, তাই এখানে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে।
বৈষম্যমূলক
প্রথমত, এর প্রয়োজনীয় রূপান্তর করা যাক, তারপর চেহারাএই এক্সপ্রেশনটির এইরকম দেখাবে: x 2 + 16x - 612 = 0। এর মানে হল যে আমরা পূর্বে নির্দিষ্ট করা স্ট্যান্ডার্ডের সাথে সম্পর্কিত একটি ফর্মে একটি এক্সপ্রেশন পেয়েছি, যেখানে a=1, b=16, c=-612।
এটি একটি বৈষম্যকারী ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ হতে পারে। এখানে প্রয়োজনীয় গণনাস্কিম অনুযায়ী উত্পাদিত হয়: D = b 2 - 4ac। এই সহায়ক পরিমাণটি কেবলমাত্র দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণে প্রয়োজনীয় পরিমাণগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে না, এটি পরিমাণ নির্ধারণ করে সম্ভাব্য বিকল্প. যদি D>0, তাদের মধ্যে দুটি আছে; D=0 এর জন্য একটি রুট আছে। ক্ষেত্রে ডি<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
শিকড় এবং তাদের সূত্র সম্পর্কে
আমাদের ক্ষেত্রে, বৈষম্যকারী সমান: 256 - 4(-612) = 2704। এটি প্রস্তাব করে যে আমাদের সমস্যার একটি উত্তর আছে। আপনি যদি k জানেন, তাহলে নিচের সূত্রটি ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান চালিয়ে যেতে হবে। এটি আপনাকে শিকড় গণনা করতে দেয়।
এর মানে হল যে উপস্থাপিত ক্ষেত্রে: x 1 =18, x 2 =-34। এই দ্বিধায় দ্বিতীয় বিকল্পটি সমাধান হতে পারে না, কারণ জমির প্লটের মাত্রা ঋণাত্মক পরিমাণে পরিমাপ করা যায় না, যার মানে x (অর্থাৎ প্লটের প্রস্থ) হল 18 মিটার। এখান থেকে আমরা দৈর্ঘ্য গণনা করি: 18 +16=34, এবং পরিধি 2(34+ 18)=104(m2)।
উদাহরণ এবং কাজ
আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ নিয়ে আমাদের অধ্যয়ন চালিয়ে যাচ্ছি। তাদের কয়েকটির উদাহরণ এবং বিস্তারিত সমাধান নীচে দেওয়া হবে।
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
আসুন সবকিছুকে সমতার বাম দিকে নিয়ে যাই, একটি রূপান্তর করি, অর্থাৎ, আমরা এমন সমীকরণ পাব যাকে সাধারণত স্ট্যান্ডার্ড বলা হয়, এবং এটিকে শূন্যের সমান করি।
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
অনুরূপগুলি যোগ করে, আমরা বৈষম্যকারী নির্ধারণ করি: D = 49 - 48 = 1। এর মানে আমাদের সমীকরণের দুটি মূল থাকবে। আসুন উপরের সূত্র অনুসারে তাদের গণনা করি, যার অর্থ তাদের মধ্যে প্রথমটি 4/3 এবং দ্বিতীয়টি 1 এর সমান হবে।
2) এখন একটি ভিন্ন ধরনের রহস্য সমাধান করা যাক.
চলুন জেনে নেওয়া যাক এখানে x 2 - 4x + 5 = 1 কোন শিকড় আছে কিনা? একটি বিস্তৃত উত্তর পেতে, চলুন বহুপদকে সংশ্লিষ্ট স্বাভাবিক ফর্মে কমিয়ে দিই এবং বৈষম্যকারী গণনা করি। উপরের উদাহরণে, দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার প্রয়োজন নেই, কারণ এটি মোটেই সমস্যার সারমর্ম নয়। এই ক্ষেত্রে, D = 16 - 20 = -4, যার মানে সত্যিই কোন শিকড় নেই।
ভিয়েতার উপপাদ্য
উপরের সূত্র এবং বৈষম্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা সুবিধাজনক, যখন পরবর্তীটির মান থেকে বর্গমূল নেওয়া হয়। কিন্তু এটা সবসময় ঘটে না। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে ভেরিয়েবলের মান প্রাপ্ত করার অনেক উপায় আছে। উদাহরণ: ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা। তার নামকরণ করা হয়েছে যিনি ফ্রান্সে 16 শতকে বসবাস করতেন এবং তার গাণিতিক প্রতিভা এবং আদালতে সংযোগের জন্য একটি উজ্জ্বল ক্যারিয়ার তৈরি করেছিলেন। প্রবন্ধে তার প্রতিকৃতি দেখা যাবে।
বিখ্যাত ফরাসী যে প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছিলেন তা নিম্নরূপ ছিল। তিনি প্রমাণ করেছেন যে সমীকরণের মূলগুলি সাংখ্যিকভাবে -p=b/a যোগ করে এবং তাদের গুণফল q=c/a এর সাথে মিলে যায়।
এখন আসুন নির্দিষ্ট কাজগুলি দেখুন।
3x 2 + 21x - 54 = 0
সরলতার জন্য, আসুন অভিব্যক্তিটি রূপান্তর করি:
x 2 + 7x - 18 = 0
আসুন ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করি, এটি আমাদের নিম্নলিখিত দেবে: মূলের যোগফল -7, এবং তাদের গুণফল -18। এখান থেকে আমরা পাই যে সমীকরণের মূল হল সংখ্যা -9 এবং 2। চেক করার পরে, আমরা নিশ্চিত করব যে এই পরিবর্তনশীল মানগুলি সত্যিই অভিব্যক্তিতে ফিট করে।
প্যারাবোলা গ্রাফ এবং সমীকরণ
দ্বিঘাত ফাংশন এবং দ্বিঘাত সমীকরণের ধারণাগুলি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এর উদাহরণ আগেই দেওয়া হয়েছে। এখন একটু বিস্তারিতভাবে কিছু গাণিতিক ধাঁধা দেখি। বর্ণিত ধরনের যে কোনো সমীকরণ দৃশ্যত উপস্থাপন করা যেতে পারে. এই ধরনের একটি সম্পর্ক, একটি গ্রাফ হিসাবে আঁকা, একটি প্যারাবোলা বলা হয়. এর বিভিন্ন প্রকার নিচের চিত্রে উপস্থাপন করা হয়েছে।
যে কোনো প্যারাবোলার একটি শীর্ষবিন্দু থাকে, অর্থাৎ একটি বিন্দু যেখান থেকে এর শাখা বের হয়। যদি a>0, তারা অসীম পর্যন্ত উচ্চে যায়, এবং যখন a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
ফাংশনের ভিজ্যুয়াল উপস্থাপনা দ্বিঘাত সমীকরণ সহ যেকোনো সমীকরণ সমাধান করতে সাহায্য করে। এই পদ্ধতিকে গ্রাফিক্যাল বলা হয়। এবং x ভেরিয়েবলের মান হল বিন্দুতে অ্যাবসিসা স্থানাঙ্ক যেখানে গ্রাফ লাইনটি 0x এর সাথে ছেদ করে। শুধু x 0 = -b/2a দেওয়া সূত্রটি ব্যবহার করে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি পাওয়া যাবে। এবং ফলাফলের মানটিকে ফাংশনের মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আপনি y 0 খুঁজে পেতে পারেন, অর্থাৎ, প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক, যা অর্ডিনেট অক্ষের অন্তর্গত।
অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে একটি প্যারাবোলার শাখাগুলির ছেদ
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের অনেক উদাহরণ রয়েছে, তবে সাধারণ নিদর্শনও রয়েছে। চলুন তাদের তাকান. এটা স্পষ্ট যে a>0 এর জন্য 0x অক্ষের সাথে গ্রাফটির ছেদ শুধুমাত্র 0 নেতিবাচক মান গ্রহণ করলেই সম্ভব। এবং একটি জন্য<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. অন্যথায় ডি<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
প্যারাবোলার গ্রাফ থেকেও আপনি শিকড় নির্ধারণ করতে পারেন। বিপরীতটাও সত্য. অর্থাৎ, যদি দ্বিঘাত ফাংশনের চাক্ষুষ উপস্থাপনা পাওয়া সহজ না হয়, তাহলে আপনি রাশিটির ডান দিকটি 0 এর সাথে সমান করতে পারেন এবং ফলাফলের সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন। এবং 0x অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি জেনে, একটি গ্রাফ তৈরি করা সহজ।
ইতিহাস থেকে
একটি বর্গীয় পরিবর্তনশীল সমীকরণ ব্যবহার করে, পুরানো দিনে তারা কেবল গাণিতিক গণনাই করত না এবং জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রগুলি নির্ধারণ করত। প্রাচীনদের পদার্থবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যার ক্ষেত্রগুলিতে, সেইসাথে জ্যোতিষশাস্ত্রীয় পূর্বাভাস তৈরির জন্য এই ধরনের গণনার প্রয়োজন ছিল।
আধুনিক বিজ্ঞানীরা যেমন পরামর্শ দেন, ব্যাবিলনের বাসিন্দারা দ্বিঘাত সমীকরণের প্রথম সমাধান করেছিলেন। এটি আমাদের যুগের চার শতাব্দী আগে ঘটেছিল। অবশ্যই, তাদের গণনাগুলি বর্তমানে গৃহীত হওয়া থেকে আমূল ভিন্ন ছিল এবং অনেক বেশি আদিম হিসাবে পরিণত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, মেসোপটেমিয়ার গণিতবিদদের ঋণাত্মক সংখ্যার অস্তিত্ব সম্পর্কে কোনো ধারণা ছিল না। তারা অন্যান্য সূক্ষ্মতার সাথেও অপরিচিত ছিল যা যে কোনও আধুনিক স্কুলছাত্র জানে।
সম্ভবত ব্যাবিলনের বিজ্ঞানীদের চেয়েও আগে, ভারতের বৌধ্যাম ঋষি দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে শুরু করেছিলেন। এটি খ্রিস্টের যুগের প্রায় আট শতাব্দী আগে ঘটেছিল। সত্য, দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ, সমাধানের পদ্ধতি যা তিনি দিয়েছেন, সবচেয়ে সহজ ছিল। তিনি ছাড়াও, চীনা গণিতবিদরাও পুরানো দিনে অনুরূপ প্রশ্নে আগ্রহী ছিলেন। ইউরোপে, চতুর্মাত্রিক সমীকরণগুলি কেবল 13 শতকের শুরুতে সমাধান করা শুরু হয়েছিল, কিন্তু পরবর্তীতে নিউটন, ডেসকার্টস এবং আরও অনেকের মতো মহান বিজ্ঞানীরা তাদের কাজে ব্যবহার করেছিলেন।
দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1)
.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল(1) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
;
.
এই সূত্রগুলি এইভাবে একত্রিত করা যেতে পারে:
.
যখন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলি জানা যায়, তখন দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদকে গুণনীয়ক (গুণিত) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
.
পরবর্তীতে আমরা ধরে নিই যে এটি আসল সংখ্যা।
চলো বিবেচনা করি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী:
.
যদি বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে:
;
.
তারপর দ্বিঘাত ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.
যদি বৈষম্যকারী শূন্যের সমান হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি একাধিক (সমান) বাস্তব মূল রয়েছে:
.
ফ্যাক্টরাইজেশন:
.
যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি জটিল সংযোজক মূল রয়েছে:
;
.
এখানে কাল্পনিক একক, ;
এবং মূলের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ:
;
.
তারপর
.
গ্রাফিক ব্যাখ্যা
যদি আপনি ফাংশন প্লট
,
যা একটি প্যারাবোলা, তাহলে অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি হবে সমীকরণের মূল
.
, গ্রাফটি x-অক্ষকে (অক্ষ) দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
যখন , গ্রাফটি এক বিন্দুতে x-অক্ষকে স্পর্শ করে।
কখন , গ্রাফটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না।
নীচে এই ধরনের গ্রাফগুলির উদাহরণ রয়েছে।
দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কিত দরকারী সূত্র
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের প্রাপ্তি
আমরা রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি এবং সূত্র প্রয়োগ করি (f.1) এবং (f.3):
,
কোথায়
;
.
সুতরাং, আমরা ফর্মটিতে দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদীর সূত্র পেয়েছি:
.
এই সমীকরণ দেখায়
এ সঞ্চালিত
এবং .
যে, এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূল
.
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের উদাহরণ
উদাহরণ 1
(1.1)
.
সমাধান
.
আমাদের সমীকরণ (1.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী ইতিবাচক, সমীকরণটির দুটি আসল মূল রয়েছে:
;
;
.
এখান থেকে আমরা চতুর্মুখী ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন পাই:
.
ফাংশনের গ্রাফ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-অক্ষকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে।
এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি দুটি বিন্দুতে অ্যাবসিসা অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে:
এবং .
এই পয়েন্টগুলি মূল সমীকরণের মূল (1.1)।
উত্তর
;
;
.
উদাহরণ 2
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(2.1)
.
সমাধান
চলুন সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
.
মূল সমীকরণ (2.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্য, সমীকরণটির দুটি একাধিক (সমান) মূল রয়েছে:
;
.
তারপর ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে:
.
ফাংশনের গ্রাফ y = x 2 - 4 x + 4এক বিন্দুতে x-অক্ষ স্পর্শ করে।
এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি এক বিন্দুতে এক্স-অক্ষ (অক্ষ) স্পর্শ করে:
.
এই বিন্দুটি মূল সমীকরণের মূল (2.1)। কারণ এই মূলটি দুইবার ফ্যাক্টর করা হয়:
,
তাহলে এই ধরনের মূলকে সাধারণত একাধিক বলা হয়। অর্থাৎ, তারা বিশ্বাস করে যে দুটি সমান শিকড় রয়েছে:
.
উত্তর
;
.
উদাহরণ 3
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(3.1)
.
সমাধান
চলুন সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
(1)
.
আসুন মূল সমীকরণটি পুনরায় লিখি (3.1):
.
(1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারী নেতিবাচক, . অতএব কোন প্রকৃত শিকড় আছে.
আপনি জটিল শিকড় খুঁজে পেতে পারেন:
;
;
এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি x-অক্ষ (অক্ষ) কে ছেদ করে না। অতএব কোন প্রকৃত শিকড় আছে.
উত্তর
কোন প্রকৃত শিকড় আছে. জটিল শিকড়:
;
;
.
