অভিব্যক্তি 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x সংখ্যা, চলক এবং তাদের ক্ষমতার গুণফল। এই ধরনের অভিব্যক্তি বলা হয় monomials. সংখ্যা, ভেরিয়েবল এবং তাদের ক্ষমতাগুলিও একক হিসাবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি - 8, 35,y এবং y 2 - একপদ।

মনোমিয়ালের স্ট্যান্ডার্ড ফর্মপ্রথম স্থানে একটি সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টরের গুণফল এবং বিভিন্ন চলকের শক্তির আকারে একটি মনোমিয়াল বলা হয়। যেকোন মনোমিয়ালকে এতে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত ভেরিয়েবল এবং সংখ্যাগুলিকে গুণ করে একটি আদর্শ আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। এখানে একটি মনোমিয়ালকে স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে হ্রাস করার একটি উদাহরণ রয়েছে:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

প্রমিত আকারে লিখিত একটি মনোমিয়ালের সংখ্যাসূচক গুণনীয়ক বলা হয় গুণাঙ্কএকচেটিয়া. উদাহরণস্বরূপ, মনোমিয়াল -12сx 6 y 5 এর সহগ -12 এর সমান। মনোমিয়াল x 3 এবং -xy এর সহগগুলি 1 এবং -1 এর সমান হিসাবে বিবেচিত হয়, যেহেতু x 7 = 1x 7 এবং -xy = -1xy

একচেটিয়া শক্তির দ্বারাএতে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত ভেরিয়েবলের সূচকের যোগফলকে কল করুন। যদি একটি মনোমিয়্যালে ভেরিয়েবল না থাকে, অর্থাৎ এটি একটি সংখ্যা, তাহলে এর ডিগ্রি শূন্যের সমান বলে বিবেচিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, মনোমিয়াল 8x 3 yz 2 এর ডিগ্রী 6, একপদ 6x এর ডিগ্রী 1, একপদ -10 এর ডিগ্রী 0।

বহুপদএকক সমষ্টি বলা হয়।

যে সকল একপদ বহুপদী গঠন করে তাদেরকে বহুপদীর সদস্য বলা হয়। সুতরাং বহুপদী 4x 2 y - 5xy + 3x -1 এর পদগুলি হল 4x 2 y, -5xy, 3x এবং -1।

একটি বহুপদ যদি দুটি পদ নিয়ে গঠিত হয়, তবে তাকে দ্বিপদ বলা হয়, যদি এটি তিনটি নিয়ে গঠিত হয়, তবে তাকে ত্রিনমীয় বলা হয়। একটি একপদকে একটি পদ নিয়ে গঠিত বহুপদ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

বহুপদে 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6, পদ 7x 3 y 2 এবং - 2y 2 x 3 একই পদ কারণ তাদের একই বর্ণের অংশ রয়েছে। পদ -12 এবং 6, যার একটি অক্ষর অংশ নেই, এছাড়াও একই রকম। বহুপদীতে অনুরূপ পদগুলিকে বহুপদীর অনুরূপ পদ বলা হয় এবং বহুপদীতে অনুরূপ পদের হ্রাসকে বহুপদীর অনুরূপ পদের হ্রাস বলা হয়।

আসুন আমরা উদাহরণ হিসাবে বহুপদ 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6 এর অনুরূপ পদগুলি দিই।

বহুপদ বলা হয় আদর্শ ফর্মের বহুপদ, যদি এর প্রতিটি পদ আদর্শ আকারের একপদ হয় এবং এই বহুপদীতে অনুরূপ পদ না থাকে।

যেকোন বহুপদীকে প্রমিত আকারে হ্রাস করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে এর প্রতিটি সদস্যকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে উপস্থাপন করতে হবে এবং অনুরূপ পদ আনতে হবে।

বহুপদ ডিগ্রীস্ট্যান্ডার্ড ফর্ম এটিতে অন্তর্ভুক্ত মনোমিয়ালগুলির শক্তিগুলির মধ্যে বৃহত্তম।

একটি স্বেচ্ছাচারী বহুপদীর ডিগ্রি হল আদর্শ ফর্মের একটি অভিন্নভাবে সমান বহুপদীর ডিগ্রি।

উদাহরণ স্বরূপ, চলুন বহুপদী 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 এর ডিগ্রী বের করা যাক:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6।

উল্লেখ্য যে মূল বহুপদীতে ষষ্ঠ ডিগ্রির একপদ রয়েছে, কিন্তু যখন একই পদগুলি হ্রাস করা হয়েছিল, তখন তাদের সবগুলি হ্রাস করা হয়েছিল, এবং ফলাফলটি ছিল তৃতীয় ডিগ্রির একটি বহুপদী, যার অর্থ মূল বহুপদীটির ডিগ্রি 3 রয়েছে!

নোট জন্য প্রশ্ন

একটি বহুপদী P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4 দেওয়া হয়েছে। P(1) গণনা করুন।

বহুপদীর মাত্রা নির্ধারণ করুন: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

7ম গ্রেডে, ছাত্রদের একটি বীজগণিত কোর্সের অংশ হিসাবে নতুন ধারণা এবং বিষয়গুলির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হবে। গণিত নামক এক চিত্তাকর্ষক গোলকধাঁধায় তাদের জন্য নতুন দরজা খুলে যায়। এর মধ্যে একপদ এবং বহুপদীর অধ্যয়নের পাশাপাশি তাদের প্রয়োগ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

এটা কি?

প্রথমত, আসুন ধারণাগুলি বুঝতে পারি। গণিতে অনেকগুলি নির্দিষ্ট অভিব্যক্তি রয়েছে, যার অনেকগুলির নিজস্ব নির্দিষ্ট নাম রয়েছে। এই শব্দগুলির মধ্যে একটি হল একচেটিয়া। এটি একটি গাণিতিক শব্দ যা সংখ্যা, ভেরিয়েবলের একটি গুণ নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি কিছু পরিমাণে গুণমানে উপস্থিত হতে পারে। বহুপদ,সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই বীজগাণিতিক এক্সপ্রেশন, যা monomials এর সমষ্টি। প্রায়ই আনতে হয় একচেটিয়াতার আদর্শ ফর্ম. এটি করার জন্য, আপনাকে একপদে উপস্থিত সমস্ত সংখ্যাসূচক গুণকগুলিকে গুণ করতে হবে এবং ফলস্বরূপ সংখ্যাটিকে প্রথম স্থানে রাখতে হবে। তারপর একই অক্ষরের ভিত্তি আছে এমন সমস্ত শক্তিকে গুণ করুন। একটি বহুপদকে একটি আদর্শ আকারে আনা হয়;

পানির নিচের পাথর

দেখে মনে হবে যে, প্রথম নজরে, মারাত্মক জটিল কিছু নেই, তবে আধুনিক স্কুলছাত্রদের জন্য এমন অনেকগুলি পরিস্থিতি রয়েছে যা চিত্রটিকে মেঘ করে দিতে পারে। আইটেম বড় সংখ্যা স্কুলের পাঠ্যক্রম, অধ্যয়নের সময়ের মোট অভাব, অনেক শিশুর মধ্যে একটি মানবিক মানসিকতা, সেইসাথে মৌলিক ক্লান্তি নতুন উপাদান শিখতে খুব কঠিন করে তুলতে পারে। এটি প্রায়শই ঘটে যে একটি শিশু, কিছু বুঝতে না পেরে শিক্ষককে জিজ্ঞাসা করতে বিব্রত বা ভয় পায়, তবে সে নিজেই বিষয়টি আয়ত্ত করতে অক্ষম হয় এবং অসুবিধা শুরু হয়।

সমস্যার সমাধান

এই ক্ষতিগুলি এড়াতে বিভিন্ন উপায় রয়েছে। প্রথমত, স্কুলছাত্রীদের অভিভাবকদের মনোযোগ দেওয়া উচিত যে কীভাবে তাদের সন্তান সাধারণভাবে প্রোগ্রামের সাথে এবং বিশেষভাবে আচ্ছাদিত বিষয়গুলির সাথে মোকাবিলা করে। এটি শিশুর উপর কঠোর তত্ত্বাবধান বা নিয়ন্ত্রণের রূপ নেওয়া উচিত নয়, তবে লক্ষ্যটি শেখার জন্য একটি দায়িত্বশীল এবং গুরুতর পদ্ধতির বিকাশ করা উচিত। এর মূল চাবিকাঠি একটি বিশ্বস্ত সম্পর্ক, তবে ভয় নয়।

স্কুলে একটি মোটামুটি সাধারণ পরিস্থিতি হল যখন একটি শিশু একটি নতুন বিষয় সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারে না, সহপাঠীদের কাছ থেকে উপহাস এবং শিক্ষকের অসম্মতিতে ভয় পায় এবং তাই তার দ্বিধা সম্পর্কে নীরব থাকতে পছন্দ করে। শিক্ষকদের সাথে সম্পর্কও পরিবর্তিত হয়; এবং বেশ কয়েকটি প্রস্থান বিকল্প রয়েছে:

• পরিদর্শন অতিরিক্ত ক্লাসস্কুলে, যদি থাকে;
• একজন গৃহশিক্ষকের সাথে পাঠ;
• বিশেষ শিক্ষাগত সম্পদ ব্যবহার করে ইন্টারনেটের মাধ্যমে প্রশিক্ষণ।

প্রথম দুটি ক্ষেত্রে, কিছু অসুবিধা রয়েছে যা সময় এবং আর্থিক সংস্থানগুলির মধ্যে রয়েছে, বিশেষ করে যখন এটি টিউটোরিংয়ের ক্ষেত্রে আসে। তৃতীয়টি সুবিধাজনক কারণ এই প্রশিক্ষণ বিকল্পটি:

• বিনামূল্যে
• আপনি যে কোনো সুবিধাজনক সময়ে অধ্যয়ন করতে পারেন;
• ছাত্রের জন্য কোন মানসিক অস্বস্তি, উপহাসের ভয় ইত্যাদি নেই।
• প্রথমবার কিছু পরিষ্কার না হলে আপনি সবসময় ভিডিও পাঠটি আবার দেখতে পারেন।

নিঃসন্দেহে ইতিবাচক দিকএখানে আরো আছে, তাই অভিভাবকদের মনে রাখা উচিত যে তাদের সন্তানকে অতিরিক্ত ক্রিয়াকলাপের জন্য এমন একটি বিকল্প দেওয়া যেতে পারে। এটা খুবই সম্ভব যে প্রথমে ছাত্র এই প্রস্তাবটি উত্সাহের সাথে গ্রহণ করবে না, তবে চেষ্টা করার পরে, সে এর সুবিধার প্রশংসা করবে। বছরের পর বছর স্কুলে বিষয়ের লোড বৃদ্ধি পায়, 7 ম গ্রেডে এটি ইতিমধ্যে বেশ গুরুতর।

আমাদের অনলাইন রিসোর্সে, একটি শিশু সহজেই এমন একটি বিষয়ে পাঠ খুঁজে পেতে পারে যা তার পক্ষে কঠিন হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, “বহুপদ৷ একটি আদর্শ আকারে হ্রাস।" এটি বোঝার পরে, তিনি আরও সহজ এবং সহজে আরও উপাদান বুঝতে এবং আয়ত্ত করতে সক্ষম হবেন।

- বহুপদ. এই নিবন্ধে আমরা বহুপদ সম্পর্কে প্রাথমিক এবং প্রয়োজনীয় সমস্ত তথ্যের রূপরেখা দেব। এর মধ্যে রয়েছে, প্রথমত, বহুপদীর শর্তাবলীর সহগামী সংজ্ঞা সহ একটি বহুপদীর সংজ্ঞা, বিশেষ করে, মুক্ত শব্দ এবং অনুরূপ পদ। দ্বিতীয়ত, আমরা স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদী নিয়ে আলোচনা করব, উপযুক্ত সংজ্ঞা দেব এবং সেগুলির উদাহরণ দেব। অবশেষে, আমরা একটি বহুপদীর ডিগ্রির সংজ্ঞা প্রবর্তন করব, এটি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা বের করব এবং বহুপদী পদের সহগ সম্পর্কে কথা বলব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

বহুপদ এবং এর পদ - সংজ্ঞা এবং উদাহরণ

গ্রেড 7-এ, বহুপদী অধ্যয়ন করা হয় মনোমিয়ালের পরপরই, এটি বোধগম্য, যেহেতু বহুপদ সংজ্ঞা monomials মাধ্যমে দেওয়া হয়. একটি বহুপদ কি তা ব্যাখ্যা করার জন্য এই সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা।

বহুপদ monomials এর সমষ্টি; একটি একপদকে বহুপদীর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়।

লিখিত সংজ্ঞা আপনাকে আপনার পছন্দ মতো বহুপদীর উদাহরণ দিতে দেয়। 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, ইত্যাদির যেকোনো একটি। একটি বহুপদ। এছাড়াও, সংজ্ঞা অনুসারে, 1+x, a 2 +b 2 এবং বহুপদ।

বহুপদ বর্ণনা করার সুবিধার জন্য, একটি বহুপদ শব্দের একটি সংজ্ঞা চালু করা হয়েছে।

সংজ্ঞা।

বহুপদ পদএকটি বহুপদীর উপাদান একপদ।

উদাহরণস্বরূপ, বহুপদী 3 x 4 −2 x y+3−y 3 চারটি পদ নিয়ে গঠিত: 3 x 4 , −2 x y , 3 এবং −y 3। একটি একপদকে একটি পদ নিয়ে গঠিত বহুপদ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

সংজ্ঞা।

দুই এবং তিনটি পদ নিয়ে গঠিত বহুপদগুলির বিশেষ নাম রয়েছে - দ্বিপদএবং trinomialযথাক্রমে

সুতরাং x+y একটি দ্বিপদ, এবং 2 x 3 q−q x x x+7 b একটি ত্রিপদ।

স্কুলে, আমাদের প্রায়শই কাজ করতে হয় রৈখিক দ্বিপদ a x+b , যেখানে a এবং b কিছু সংখ্যা, এবং x একটি পরিবর্তনশীল, সেইসাথে c দ্বিঘাত ত্রিনামিক a·x 2 +b·x+c, যেখানে a, b এবং c কিছু সংখ্যা এবং x একটি পরিবর্তনশীল। এখানে রৈখিক দ্বিপদগুলির উদাহরণ রয়েছে: x+1 , x 7,2−4 , এবং এখানে উদাহরণ রয়েছে বর্গাকার ত্রিনয়ক: x 2 +3 x−5 এবং .

তাদের স্বরলিপিতে বহুপদ একই পদ থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বহুপদী 1+5 x−3+y+2 x অনুরূপ পদগুলি হল 1 এবং −3, সেইসাথে 5 x এবং 2 x। তাদের নিজস্ব বিশেষ নাম রয়েছে - একটি বহুপদীর অনুরূপ পদ।

সংজ্ঞা।

বহুপদীর অনুরূপ পদবহুপদে অনুরূপ পদ বলা হয়।

আগের উদাহরণে, 1 এবং −3, সেইসাথে 5 x এবং 2 x জোড়া, বহুপদীর অনুরূপ পদ। যে বহুপদে একই পদ রয়েছে, আপনি তাদের ফর্ম সরল করার জন্য অনুরূপ পদগুলির হ্রাস করতে পারেন।

স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদ

বহুপদী জন্য, সেইসাথে monomials জন্য, একটি তথাকথিত আছে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ. আসুন সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞাটি বলি।

ভিত্তিক এই সংজ্ঞা, আমরা আদর্শ ফর্মের বহুপদগুলির উদাহরণ দিতে পারি। সুতরাং বহুপদ 3 x 2 −x y+1 এবং স্ট্যান্ডার্ড আকারে লেখা। এবং অভিব্যক্তি 5+3 x 2 −x 2 +2 x z এবং x+x y 3 x x z 2 +3 z স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদ নয়, যেহেতু তাদের প্রথমটিতে 3 x 2 এবং −x 2 অনুরূপ পদ রয়েছে এবং দ্বিতীয়টি - একটি মনোমিয়াল x·y 3 ·x·z 2, যার ফর্মটি আদর্শ থেকে আলাদা।

মনে রাখবেন, যদি প্রয়োজন হয়, আপনি সর্বদা বহুপদকে প্রমিত আকারে কমাতে পারেন।

স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদী সম্পর্কিত আরেকটি ধারণা হল একটি বহুপদীর একটি মুক্ত পদের ধারণা।

সংজ্ঞা।

বহুপদীর মুক্ত পদএকটি অক্ষর অংশ ছাড়া আদর্শ ফর্ম একটি বহুপদী সদস্য.

অন্য কথায়, স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদীতে যদি একটি সংখ্যা থাকে, তবে তাকে মুক্ত সদস্য বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 5 হল বহুপদ x 2 z+5 এর মুক্ত পদ, কিন্তু বহুপদী 7 a+4 a b+b 3-এর কোনো মুক্ত পদ নেই।

একটি বহুপদ ডিগ্রী - কিভাবে এটি খুঁজে পেতে?

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সহগামী সংজ্ঞাএকটি বহুপদ ডিগ্রী নির্ধারণ করা হয়. প্রথমত, আমরা স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদীর ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করি;

সংজ্ঞা।

স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের একটি বহুপদীর ডিগ্রিএটির স্বরলিপিতে অন্তর্ভুক্ত মনোমিয়ালগুলির ক্ষমতাগুলির মধ্যে বৃহত্তম।

উদাহরণ দেওয়া যাক। বহুপদী 5 x 3 −4 এর ডিগ্রী 3 এর সমান, যেহেতু এতে অন্তর্ভুক্ত মনোমিয়াল 5 x 3 এবং −4 এর মধ্যে যথাক্রমে 3 এবং 0 রয়েছে, এই সংখ্যাগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড়টি হল 3, যা বহুপদীর ডিগ্রি। সংজ্ঞানুসারে. এবং বহুপদী ডিগ্রি 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xসংখ্যার বৃহত্তম সংখ্যা 2+3=5, 4+1=5 এবং 1, অর্থাৎ 5 এর সমান।

এখন চলুন জেনে নেওয়া যাক কিভাবে যেকোন ফর্মের বহুপদীর ডিগ্রী বের করা যায়।

সংজ্ঞা।

স্বেচ্ছাচারী ফর্মের বহুপদীর ডিগ্রিস্ট্যান্ডার্ড ফর্মের সংশ্লিষ্ট বহুপদীর ডিগ্রিকে কল করুন।

সুতরাং, যদি একটি বহুপদী স্ট্যান্ডার্ড আকারে লেখা না হয়, এবং আপনাকে এটির ডিগ্রি খুঁজে বের করতে হবে, তাহলে আপনাকে মূল বহুপদীটিকে মান আকারে কমিয়ে আনতে হবে, এবং ফলস্বরূপ বহুপদীর ডিগ্রি খুঁজে বের করতে হবে - এটি প্রয়োজনীয় হবে। এর উদাহরণ সমাধান তাকান.

উদাহরণ।

বহুপদীর ডিগ্রি নির্ণয় কর 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

সমাধান।

প্রথমে আপনাকে বহুপদীকে আদর্শ আকারে উপস্থাপন করতে হবে:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের ফলস্বরূপ বহুপদীতে দুটি একপদ রয়েছে −2 · a 2 · b 2 · c 2 এবং y 2 · z 2। আসুন তাদের ক্ষমতাগুলি খুঁজে বের করি: 2+2+2=6 এবং 2+2=4। স্পষ্টতই, এই শক্তিগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি হল 6, যা সংজ্ঞা অনুসারে আদর্শ ফর্মের বহুপদীর শক্তি −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, এবং সেইজন্য মূল বহুপদীর ডিগ্রি।, বহুপদী 2 x−0.5 x y+3 x+7 এর 3 x এবং 7।

গ্রন্থপঞ্জি।

• বীজগণিত:পাঠ্যপুস্তক 7 ম শ্রেণীর জন্য। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; দ্বারা সম্পাদিত এস এ টেলিকভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম।: শিক্ষা, 2008। - 240 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।
• মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত। 7 ম গ্রেড. দুপুর ২টায় পার্ট 1। শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক শিক্ষা প্রতিষ্ঠান/ এ. জি. মর্ডকোভিচ। - 17 তম সংস্করণ, যোগ করুন। - এম.: মেমোসিন, 2013। - 175 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-02432-3।
• বীজগণিতএবং শুরু গাণিতিক বিশ্লেষণ. দশম শ্রেণী: পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান: মৌলিক এবং প্রোফাইল। স্তর / [ইউ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; দ্বারা সম্পাদিত এ বি ঝিজচেঙ্কো। - 3য় সংস্করণ। - এম.: শিক্ষা, 2010.- 368 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-022771-1।
• গুসেভ ভি.এ., মর্ডকোভিচ এ.জি.গণিত (কারিগরি স্কুলে আবেদনকারীদের জন্য একটি ম্যানুয়াল): Proc. ভাতা।- এম।; ঊর্ধ্বতন স্কুল, 1984.-351 পি।, অসুস্থ।

19. সূত্র ধরা যাক

আমরা এটিকে এভাবে পড়ি: "ক এবং খ সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য।" আমরা এই সূত্রে a সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি; তারপর সে চালু হবে

0 – b বা শুধু -b-এ।

শূন্য থেকে b বিয়োগ করার অর্থ হল, আপেক্ষিক সংখ্যা বিয়োগ করার বিষয়ে আমরা যা জানি, সেই অনুসারে বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া b সংখ্যাটিকে শূন্যের সাথে যোগ করা। অতএব, রাশি –bটিকে b সংখ্যার বিপরীত চিহ্ন হিসাবে বোঝা উচিত। যদি, উদাহরণস্বরূপ, b = +5, তাহলে –b = –5; যদি b = –4, তাহলে –b = +4 ইত্যাদি। আমরা যদি +a রাশিটি লিখি, তবে এটিকে a সংখ্যার সমান একটি সংখ্যা হিসাবে বুঝতে হবে। যদি a = +5, তাহলে +a = +5; যদি a = –4, তাহলে +a = 4, ইত্যাদি।

অতএব সূত্র

আমরা ফলাফলের পার্থক্য ছাড়াই বা অর্থে বুঝতে পারি

বা অর্থে

সুতরাং, আমরা সর্বদা যোগ দিয়ে বিয়োগ প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং দুটি সংখ্যার যোগফল হিসাবে যেকোনো পার্থক্য বুঝতে পারি:
a – b হল a এবং (–b) সংখ্যার সমষ্টি
x – y হল x এবং (–y) সংখ্যার যোগফল
–a – b হল (–a) এবং (–b), ইত্যাদি সংখ্যার যোগফল।

সেই সূত্রগুলি যেখানে, পাটিগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, বেশ কয়েকটি যোগ এবং বিয়োগ ঘটে, উদাহরণস্বরূপ,

a – b + c + d – e – f,

আমরা এখন, বীজগণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, শুধুমাত্র একটি যোগফল হিসাবে বুঝতে পারি, যথা:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f)।

অতএব, এই জাতীয় অভিব্যক্তিকে "বীজগণিতীয় সমষ্টি" নামে ডাকার প্রথা রয়েছে।

20. কিছু বীজগাণিতিক যোগফল নেওয়া যাক

a – b – c বা –3bc² + 2ab – 4a²b, ইত্যাদি।

এই অভিব্যক্তিগুলোকে নাম দিয়ে ডাকার রীতি আছে বহুপদ, এবং এই শব্দটি "সমষ্টি" বা "বীজগণিতীয় যোগফল" নামটি প্রতিস্থাপন করে। আমরা জানি যে

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), ইত্যাদি।

পৃথকভাবে, প্রতিটি পদকে বহুপদীর সদস্য বলা হয়।

প্রথম বহুপদ

তিনটি পদ নিয়ে গঠিত: (+a), (–b) এবং (+c)।

দ্বিতীয় বহুপদ

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

চারটি পদ নিয়ে গঠিত: (–abc), (–3bc²), (+2ab) এবং (–4a²b)।

যোগফল যেকোনো ক্রমে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc।

একটি যোগফলের এই বৈশিষ্ট্যটি এখন ভিন্নভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: একটি বহুপদীর পদ যেকোনো ক্রমে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে। এটি উপরোক্ত বহুপদী –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b এর জন্য করা হয়েছিল, তাছাড়া, এমনভাবে যে শব্দটি এখন (+2ab) সামনে রয়েছে। এটি অভিব্যক্তিটিকে কিছুটা সরল করা সম্ভব করেছে: আপনাকে সামনে + চিহ্ন লিখতে হবে না। অবশ্যই, এই ধরনের পুনর্বিন্যাস অবিলম্বে করা উচিত, প্রথম বন্ধনীতে প্রতিটি শব্দকে (উপরের মতো) না দিয়ে।

আরেকটি উদাহরণ:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1।

এই বহুপদীর প্রথম পদটি মূলত ছিল (+1) - + চিহ্নটি এককের আগে উহ্য ছিল; যখন আমরা এই সদস্যটিকে প্রথম ব্যতীত অন্য জায়গায় নিয়ে যাই (উপরে আমরা এটিকে শেষ স্থানে নিয়ে এসেছি), তখন এই + চিহ্নটি এড়ানো যাবে না।

আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে পূর্ববর্তী উদাহরণে, বহুপদীর পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে, আমরা একটি নির্দিষ্ট ক্রম অর্জন করেছি: প্রথম স্থানে a অক্ষরটি 4র্থ ঘাতের সাথে, পরের স্থানে a অক্ষর সহ শব্দটি। 3য় শক্তিতে, তারপর 3য় শক্তি 2য় ডিগ্রীতে a অক্ষর সহ শব্দটি আসে, তারপর - a থেকে 1ম ডিগ্রি এবং অবশেষে, একটি শব্দ যেখানে কোনও অক্ষর নেই।

একটি বহুপদী পদের এই বিন্যাসটি "ক অক্ষরের অবরোহী শক্তিতে বহুপদী সাজানো হয়" এই শব্দ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এখানে এই ব্যবস্থার অন্যান্য উদাহরণ রয়েছে:

3x 5 – 2ax 3 + b (x অক্ষরের অবরোহী শক্তিতে)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (a বর্ণের অবরোহ শক্তিতে)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (খ অক্ষরের অবরোহী শক্তিতে)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (x অক্ষরের অবরোহী শক্তিতে)।

বিপরীত "আরোহী ডিগ্রী" বিন্যাস প্রায়শই ব্যবহার করা হয়, যেখানে নির্বাচিত চিঠির মাত্রা ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় এবং 1ম মেয়াদে হয় এই অক্ষরটি একেবারেই উপস্থিত নয়, অথবা অন্যান্য পদের তুলনায় এটি এখানে সর্বনিম্ন ডিগ্রি রয়েছে। পূর্ববর্তী উদাহরণগুলির দ্বিতীয়টিতে, আমরা বলতে পারি যে এখানে বহুপদটি b অক্ষরের আরোহী ঘাতে সাজানো হয়েছে। এখানে উদাহরণ আছে:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (a অক্ষরের আরোহী শক্তিতে);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (x অক্ষরের আরোহী শক্তিতে);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (x অক্ষরের আরোহী শক্তিতে);
a 3 – 2ab + b 2 (b অক্ষরের আরোহী শক্তিতে বা a অক্ষরের অবরোহ শক্তিতে);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (x অক্ষরের অবরোহী শক্তিতে বা y অক্ষরের আরোহী শক্তিতে)।

21. দুটি পদ বিশিষ্ট বহুপদ বলা হয় দ্বিপদ(উদাহরণস্বরূপ, 3a + 2b), প্রায় তিনটি পদ - একটি ত্রিনয়ক (উদাহরণস্বরূপ, 2a² - 3ab + 4b²), ইত্যাদি। একটি পদের যোগফল (অন্য পদটি শূন্য), বা একটি সম্পর্কে কথা বলা সম্ভব। একটি পদ সম্পর্কে বহুপদ। তারপর, অবশ্যই, "বহুপদ" নামটি অনুপযুক্ত এবং "একপদ" নামটি ব্যবহার করা হয়। যে কোনো বহুপদীর প্রতিটি পদ, আলাদাভাবে নেওয়া হয়, একটি একপদ। এখানে সহজতম মনোমিয়ালগুলির উদাহরণ রয়েছে:

2; -3a; a²; 4x³; -5x4; ab; ab²; -3abc; ইত্যাদি

উপরে লেখা প্রায় সবগুলোই দুই বা ততোধিক ফ্যাক্টরের পণ্য, এবং তাদের বেশিরভাগেরই সংখ্যাগত ফ্যাক্টর এবং একটি বর্ণমালা উভয়ই রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, মনোমিয়াল –3abc-এর একটি সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর –3 এবং অক্ষর ফ্যাক্টর a, b এবং c আছে; মনোমিয়াল 4x³-এ একটি সাংখ্যিক গুণনীয়ক +4 (+ চিহ্নটি উহ্য) এবং একটি আক্ষরিক গুণনীয়ক x³, ইত্যাদি রয়েছে। যদি আমরা কয়েকটি সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর (এবং বর্ণমালারও) সহ একটি মনোমিয়াল লিখতাম, যেমন নিচের মত

,

তারপরে গুণনীয়কগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা আরও সুবিধাজনক যাতে সংখ্যাসূচক কারণগুলি কাছাকাছি থাকে, যেমন

,

এই সাংখ্যিক ফ্যাক্টর গুন এবং পেতে

–4a²bc² (বিন্দু, গুণের চিহ্ন বাদ দেওয়া হয়েছে)।

এটিও প্রথাগত, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর সামনে লিখতে। তারা লিখে:

4a, একটি 4 নয়
–3a²b, a²(–3)b নয়

একটি মনোমিয়ালের সংখ্যাসূচক গুণনীয়ককে সহগ বলে।

যদি একটি সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর একটি মনোমিয়াল লেখা না হয়, উদাহরণস্বরূপ, ab, তাহলে আপনি সর্বদা এটি বোঝাতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, ইত্যাদি।

সুতরাং, মনোমিয়াল a², ab, ab² প্রতিটির একটি সহগ 1 (আরো সঠিকভাবে: +1)। যদি আমরা –ab, –a², –ab² ইত্যাদি একপদ লিখি, তাহলে তাদের –1 সহগ থাকা উচিত।

22. বহুপদ এবং একপদগুলির আরও জটিল উদাহরণ।

(a + b)² + 3(a – b)² ... এই সূত্রটি দুটি পদের যোগফল প্রকাশ করে: প্রথমটি হল a এবং b সংখ্যার যোগফলের বর্গ এবং দ্বিতীয়টি সংখ্যাটির গুণফল একই সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ দ্বারা 3। অতএব, এই সূত্রটিকে দ্বিপদ হিসাবে স্বীকৃত করা উচিত: প্রথম পদটি (a + b)² এবং দ্বিতীয়টি 3(a – b)²। যদি আমরা রাশিটি (a + b)² আলাদাভাবে নিই, তবে পূর্ববর্তীটির গুণে এটিকে একটি মনোমিয়াল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত এবং এর সহগ = +1।

ক ) এবং এর সহগ = +1, দ্বিতীয় পদ –b(a – 1), এর সহগ = –1, তৃতীয় পদ –(a – 1)(b – 1), এর সহগ = – 1।

কখনও কখনও একটি বহুপদী পদের সংখ্যা কৃত্রিমভাবে হ্রাস করা হয়। তাই ত্রয়ী

উদাহরণস্বরূপ, একটি দ্বিপদ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে এবং a + b, উদাহরণস্বরূপ, একটি পদ (একটি পদ) হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি পরিষ্কার করতে, বন্ধনী ব্যবহার করুন:

তারপর শব্দটি (a + b) +1 এর একটি অন্তর্নিহিত সহগ আছে

[প্রকৃতপক্ষে (a + b) = (+1)(a + b)]।

যার জন্য একটি বহুপদী গুণনীয়ক প্রয়োজন, প্রদত্ত রাশিটির সাধারণ গুণনীয়ক নির্ধারণ করুন। এটি করার জন্য, প্রথমে বন্ধনী থেকে সেই ভেরিয়েবলগুলি সরিয়ে ফেলুন যেগুলি এক্সপ্রেশনের সমস্ত সদস্যের অন্তর্ভুক্ত। অধিকন্তু, এই ভেরিয়েবলগুলির সর্বনিম্ন সূচক থাকা উচিত। তারপর বহুপদীর প্রতিটি সহগের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক গণনা করুন। ফলাফল সংখ্যার মডুলাস হবে সাধারণ গুণকের সহগ।

উদাহরণ। 5m³–10m²n²+5m² জুড়ে বিস্তৃত। বন্ধনীর বাইরে m² রাখুন, কারণ এই রাশিটির প্রতিটি পদে পরিবর্তনশীল m এবং এর ক্ষুদ্রতম সূচক দুটি। সাধারণ গুণক গুণনীয়ক গণনা করুন। এটি পাঁচটির সমান। সুতরাং, এই অভিব্যক্তির সাধারণ গুণনীয়ক হল 5m²। তাই: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1)।

যদি একটি অভিব্যক্তিতে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর না থাকে তবে গ্রুপিং পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি প্রসারিত করার চেষ্টা করুন। এটি করার জন্য, সাধারণ ফ্যাক্টর আছে এমন সদস্যদের গ্রুপে একত্রিত করুন। বন্ধনী থেকে প্রতিটি গ্রুপের সাধারণ গুণনীয়ক নিন। বন্ধনী থেকে সমস্ত গঠিত গ্রুপের সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করুন।

উদাহরণ। বহুপদী a³–3a²+4a–12 গুণনীয়ক। নিম্নরূপ গ্রুপ করুন: (a³–3a²)+(4a–12)। প্রথম গ্রুপে সাধারণ গুণনীয়ক a² এবং দ্বিতীয় গ্রুপে সাধারণ গুণনীয়ক 4 বের করুন। তাই: a²(a–3)+4(a–3)। বন্ধনী থেকে বহুপদী a–3 নিন এবং পান: (a–3)(a²+4)। অতএব, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4)।

কিছু বহুপদসংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজ করা হয়। এটি করার জন্য, গোষ্ঠীবদ্ধ করে বা বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়কটি সরিয়ে বহুপদীটিকে পছন্দসই আকারে আনুন। এর পরে, উপযুক্ত সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র প্রয়োগ করুন।

উদাহরণ। বহুপদী 4x²–m²+2mn–n² গুণনীয়ক। বন্ধনী থেকে –1 নেওয়ার সময় বন্ধনীতে শেষ তিনটি পদ একত্রিত করুন। পান: 4x²–(m²–2mn+n²)। বন্ধনীর অভিব্যক্তিটিকে পার্থক্যের বর্গ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তাই: (2x)²–(m–n)²। এটি বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, আমরা এটি লিখতে পারি: (2x–m+n)(2x+m+n)। এইভাবে, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n)।

পদ্ধতি ব্যবহার করে কিছু বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে অনিশ্চিত সহগ. সুতরাং, প্রতিটি বহুপদকে (y–t)(my²+ny+k) আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে t, m, n, k হল সংখ্যাগত সহগ। ফলস্বরূপ, কাজটি এই সহগগুলির মান নির্ধারণে নেমে আসে। এটি এই সমতার উপর ভিত্তি করে করা হয়: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk।

উদাহরণ। বহুপদী 2a³–a²–7a+2 গুণনীয়ক। তৃতীয় ডিগ্রির বহুপদীর জন্য দ্বিতীয় অংশ থেকে, নিম্নলিখিত সমতাগুলি তৈরি করুন: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; -tk=2। একটি সিস্টেম হিসাবে তাদের লিখুন. ইহা সমাধান করো. আপনি মান খুঁজে পাবেন t=2; n=3; k=–1। সূত্রের প্রথম অংশে গণনাকৃত সহগ প্রতিস্থাপন করুন, আপনি পাবেন: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1)।

সূত্র:

• গুণনীয়ক বহুপদ
• কিভাবে একটি বহুপদী গুণনীয়ক

গাণিতিক বিজ্ঞানবিভিন্ন কাঠামো, সংখ্যার ক্রম, তাদের মধ্যে সম্পর্ক, সমীকরণ রচনা এবং তাদের সমাধান অধ্যয়ন করে। এটি একটি আনুষ্ঠানিক ভাষা যা বিজ্ঞানের অন্যান্য ক্ষেত্রে অধ্যয়ন করা বাস্তব বস্তুর কাছাকাছি-আদর্শ বৈশিষ্ট্যগুলিকে স্পষ্টভাবে বর্ণনা করতে পারে। এই ধরনের একটি কাঠামো একটি বহুপদ।

নির্দেশনা

বহুপদ বা (গ্রীক "পলি" থেকে - অনেকগুলি এবং ল্যাটিন "নাম" - নাম) - প্রাথমিক ফাংশনশাস্ত্রীয় বীজগণিত এবং বীজগণিত জ্যামিতি। এটি একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন, যার ফর্ম F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, যেখানে c_i স্থির সহগ, x একটি পরিবর্তনশীল।

শূন্য, ঋণাত্মক এবং জটিল সংখ্যার অধ্যয়ন, গোষ্ঠীর তত্ত্ব, রিং, নট, সেট ইত্যাদি সহ অনেক ক্ষেত্রে বহুপদ ব্যবহার করা হয়। বহুপদী গণনা ব্যবহার করে বিভিন্ন বস্তুর বৈশিষ্ট্যের প্রকাশকে ব্যাপকভাবে সরল করে।

মৌলিক সংজ্ঞা:
বহুপদীর প্রতিটি পদকে একপদ বলা হয়।
দুটি একপদ নিয়ে গঠিত বহুপদীকে দ্বিপদ বা দ্বিপদ বলা হয়।
বহুপদ সহগ – বাস্তব বা জটিল সংখ্যা.
সহগ 1 এর সমান হলে তাকে একক (হ্রাস) বলে।
প্রতিটি একপদে পরিবর্তনশীলের ডিগ্রী হল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, সর্বাধিক ডিগ্রী বহুপদীর ডিগ্রী নির্ধারণ করে এবং এর সম্পূর্ণ ডিগ্রী হল একটি পূর্ণসংখ্যা, যোগফলের সমানসব ডিগ্রী
ডিগ্রী শূন্যের সাথে সম্পর্কিত মনোমিয়ালকে মুক্ত পদ বলা হয়।
একটি বহুপদী যার সবকটির মোট ডিগ্রি একই থাকে তাকে সমজাতীয় বলে।

কিছু সাধারণভাবে ব্যবহৃত বহুপদীর নামকরণ করা হয়েছে বিজ্ঞানীর নামানুসারে যিনি তাদের সংজ্ঞায়িত করেছেন, সেইসাথে তারা যে ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। উদাহরণ স্বরূপ, নিউটনের দ্বিপদ হল ক্ষমতা গণনা করার জন্য একটি বহুপদীকে পৃথক পদে পচানোর জন্য। স্কুলের পাঠ্যক্রম (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 থেকে জানা যোগফল এবং পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের স্বরলিপি এইগুলি – 2*a*b + b^2 এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b)।

যদি আমরা একটি বহুপদীর স্বরলিপিতে ঋণাত্মক ডিগ্রী অনুমোদন করি, আমরা একটি বহুপদী বা লরেন্ট সিরিজ পাই; চেবিশেভ বহুপদী আনুমানিক তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়; হারমাইট বহুপদী - সম্ভাব্যতা তত্ত্বে; Lagrange - জন্য সংখ্যাগত একীকরণএবং ইন্টারপোলেশন; টেলর - যখন একটি ফাংশন আনুমানিক, ইত্যাদি

বিঃদ্রঃ

নিউটনের দ্বিপদ প্রায়ই বই (দ্য মাস্টার এবং মার্গারিটা) এবং চলচ্চিত্রে (স্টকার) উল্লেখ করা হয় যখন অক্ষরগুলি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে। এই শব্দটি সুপরিচিত এবং তাই সবচেয়ে বিখ্যাত বহুপদ হিসাবে বিবেচিত।

টিপ 3: কিভাবে 90 কে দুটি কপ্রাইম ফ্যাক্টর এ ফ্যাক্টর করবেন

পারস্পরিক মৌলিক গুণনীয়ক হল এমন সংখ্যা যেগুলির একটি ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ ভাজক নেই। অ্যালগরিদমটি বেশ সহজ, একটি উদাহরণ ব্যবহার করে এটি বিবেচনা করার চেষ্টা করুন: 90 নম্বরটিকে দুটি পারস্পরিক প্রধান উপাদানে পরিণত করুন।