একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। সঠিক ত্রিভুজ

বিভিন্ন উপায়পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ

নবম "ক" শ্রেণীর ছাত্র

৮ নং পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান মাধ্যমিক বিদ্যালয়

বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা:

গণিত শিক্ষক,

৮ নং পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান মাধ্যমিক বিদ্যালয়

শিল্প. Novorozhdestvenskaya

ক্রাসনোদর অঞ্চল।

শিল্প. Novorozhdestvenskaya

টীকা।

পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি যথাযথভাবে জ্যামিতির কোর্সে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয় এবং এটি গভীর মনোযোগের দাবি রাখে। এটি অনেক জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের ভিত্তি, ভবিষ্যতে তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক জ্যামিতি কোর্স অধ্যয়নের ভিত্তি। উপপাদ্যটি এর উপস্থিতি এবং প্রমাণের পদ্ধতি সম্পর্কিত ঐতিহাসিক উপাদানের একটি সম্পদ দ্বারা বেষ্টিত। জ্যামিতির বিকাশের ইতিহাস অধ্যয়ন এই বিষয়ের প্রতি ভালবাসা জাগিয়ে তোলে, জ্ঞানীয় আগ্রহ, সাধারণ সংস্কৃতি এবং সৃজনশীলতার বিকাশকে উৎসাহিত করে এবং গবেষণার দক্ষতাও বিকাশ করে।

অনুসন্ধান ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ, কাজের লক্ষ্য অর্জন করা হয়েছিল, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণে জ্ঞানকে পুনরায় পূরণ এবং সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। স্কুলের পাঠ্যপুস্তকের পৃষ্ঠার বাইরে গিয়ে প্রমাণের বিভিন্ন পদ্ধতি খুঁজে বের করা এবং বিবেচনা করা এবং এই বিষয়ে জ্ঞানকে গভীর করা সম্ভব ছিল।

সংগৃহীত উপাদান আমাদের আরও নিশ্চিত করে যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি জ্যামিতির একটি মহান উপপাদ্য এবং এর প্রচুর তাত্ত্বিক ও ব্যবহারিক তাৎপর্য রয়েছে।

ভূমিকা. ঐতিহাসিক রেফারেন্স 5 প্রধান অংশ 8

3. উপসংহার 19

4. ব্যবহৃত সাহিত্য 20
1। পরিচিতি. ঐতিহাসিক রেফারেন্স।

সত্যের সারমর্ম হল এটি আমাদের জন্য চিরতরে,

যখন অন্তত একবার তার অন্তর্দৃষ্টিতে আমরা আলো দেখতে পাই,

আর এত বছর পর পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

আমাদের জন্য, তার জন্য, এটি অনস্বীকার্য, অনবদ্য।

আনন্দ করার জন্য, পিথাগোরাস দেবতাদের কাছে একটি ব্রত করেছিলেন:

অসীম জ্ঞান স্পর্শ করার জন্য,

তিনি একশ ষাঁড় জবাই করেছিলেন, চিরন্তনদের জন্য ধন্যবাদ;

তিনি শিকারের পরে প্রার্থনা ও প্রশংসা করেন।

তারপর থেকে, যখন ষাঁড়রা এটির গন্ধ পায়, তারা ধাক্কা দেয়,

যে পথচলা আবার মানুষকে এক নতুন সত্যের দিকে নিয়ে যায়,

তারা প্রচণ্ড গর্জন করে, তাই শোনার কোন মানে নেই,

এই ধরনের পিথাগোরাস তাদের মধ্যে চিরকাল ত্রাস সৃষ্টি করেছিল।

ষাঁড়, নতুন সত্যকে প্রতিহত করার ক্ষমতাহীন,

কি অবশিষ্ট থাকে? - শুধু চোখ বন্ধ করে, গর্জন, কাঁপছে।

পিথাগোরাস কীভাবে তার উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন তা জানা যায়নি। এটা নিশ্চিত যে তিনি মিশরীয় বিজ্ঞানের শক্তিশালী প্রভাবে এটি আবিষ্কার করেছিলেন। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস - 3, 4 এবং 5 বাহু সহ একটি ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য - পিথাগোরাসের জন্মের অনেক আগে থেকেই পিরামিড নির্মাতাদের কাছে পরিচিত ছিল এবং তিনি নিজেই 20 বছরেরও বেশি সময় ধরে মিশরীয় পুরোহিতদের সাথে অধ্যয়ন করেছিলেন। একটি কিংবদন্তি সংরক্ষিত হয়েছে যা বলে যে, তার বিখ্যাত উপপাদ্য প্রমাণ করার পরে, পিথাগোরাস দেবতাদের কাছে একটি ষাঁড় বলি দিয়েছিলেন এবং অন্যান্য উত্স অনুসারে, এমনকি 100টি ষাঁড়। যদিও এটি পিথাগোরাসের নৈতিক ও ধর্মীয় দৃষ্টিভঙ্গি সম্পর্কে তথ্যের বিরোধিতা করে। সাহিত্যের উত্সগুলিতে আপনি পড়তে পারেন যে তিনি "এমনকি প্রাণী হত্যা করতেও নিষেধ করেছিলেন, তাদের খুব কম খাওয়ানো, কারণ প্রাণীদেরও আমাদের মতোই আত্মা আছে।" পিথাগোরাস কেবল মধু, রুটি, শাকসবজি এবং মাঝে মাঝে মাছ খেতেন। এই সমস্ত কিছুর সাথে, নিম্নলিখিত এন্ট্রিটিকে আরও যুক্তিসঙ্গত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে: "... এবং এমনকি যখন তিনি আবিষ্কার করেছিলেন যে একটি সমকোণী ত্রিভুজে কর্ণটি পায়ের সাথে মিলে যায়, তখন তিনি গমের ময়দার তৈরি একটি ষাঁড় বলি দিয়েছিলেন।"

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটির জনপ্রিয়তা এতটাই দুর্দান্ত যে এর প্রমাণগুলি এমনকি কথাসাহিত্যেও পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ, বিখ্যাত ইংরেজ লেখক হাক্সলির "ইয়ং আর্কিমিডিস" গল্পে। একই প্রমাণ, কিন্তু একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের বিশেষ ক্ষেত্রে প্লেটোর কথোপকথন "মেনো" এ দেওয়া হয়েছে।

রূপকথার গল্প "বাড়ি"।

"দূর, অনেক দূরে, যেখানে এমনকি প্লেনও উড়ে না, জ্যামিতির দেশ। এই অস্বাভাবিক দেশে একটি আশ্চর্যজনক শহর ছিল - তেওরেম শহর। একদিন এই শহরে এসেছি সুন্দরী তরুণীযার নাম হাইপোটেনাস। তিনি একটি রুম ভাড়া করার চেষ্টা করেছিলেন, কিন্তু তিনি যেখানেই আবেদন করেন না কেন, তাকে প্রত্যাখ্যান করা হয়েছিল। অবশেষে সে রিকেট বাড়ির কাছে গিয়ে নক করল। একজন ব্যক্তি যিনি নিজেকে সমকোণ বলে অভিহিত করেছিলেন তিনি তার দরজা খুলেছিলেন এবং তিনি হাইপোটেনাসকে তার সাথে বসবাসের জন্য আমন্ত্রণ জানান। কর্ণটি সেই বাড়িতেই রয়ে গেল যেখানে সমকোণ এবং কেটেটস নামে তার দুই যুবক পুত্র বাস করত। তারপর থেকে, সমকোণ বাড়ির জীবন একটি নতুন উপায়ে পরিবর্তিত হয়েছে। কর্ণটি জানালায় ফুল লাগিয়েছিল এবং সামনের বাগানে লাল গোলাপ রোপণ করেছিল। বাড়িটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের আকার নিয়েছে। উভয় পা সত্যিই হাইপোটেনাস পছন্দ করেছিল এবং তাকে তাদের বাড়িতে চিরকাল থাকতে বলেছিল। সন্ধ্যায়, এই বন্ধুত্বপূর্ণ পরিবার পারিবারিক টেবিলে জড়ো হয়। কখনও কখনও সমকোণ তার বাচ্চাদের সাথে লুকোচুরি খেলে। প্রায়শই তাকে দেখতে হয়, এবং হাইপোটেনাস এত দক্ষতার সাথে লুকিয়ে থাকে যে এটি খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন হতে পারে। একদিন, খেলার সময়, ডান কোণ একটি আকর্ষণীয় সম্পত্তি লক্ষ্য করেছিল: যদি সে পা খুঁজে বের করতে পারে, তাহলে হাইপোটেনাস খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়। তাই সমকোণ এই প্যাটার্ন ব্যবহার করে, আমি বলতে হবে, খুব সফলভাবে। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য এই সমকোণী ত্রিভুজের সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে।

(এ. ওকুনেভের বই থেকে "পাঠের জন্য ধন্যবাদ, বাচ্চারা")।

উপপাদ্যের একটি হাস্যকর সূত্র:

যদি আমাদের একটি ত্রিভুজ দেওয়া হয়

এবং, তদ্ব্যতীত, একটি সমকোণ সহ,

এটি কর্ণের বর্গক্ষেত্র

আমরা সবসময় সহজেই খুঁজে পেতে পারি:

আমরা পা বর্গক্ষেত্র,

আমরা শক্তির যোগফল খুঁজে পাই -

এবং যেমন একটি সহজ উপায়

আমরা ফলাফলে আসব।

10 তম গ্রেডে বীজগণিত এবং বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতির সূচনা অধ্যয়ন করার সময়, আমি নিশ্চিত হয়েছিলাম যে 8 ম শ্রেণীতে আলোচিত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করার পদ্ধতি ছাড়াও প্রমাণের অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে। আমি আপনার বিবেচনার জন্য তাদের উপস্থাপন.
2. প্রধান অংশ।

উপপাদ্য। একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে

কর্ণটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

1 পদ্ধতি।

বহুভুজের ক্ষেত্রগুলির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা কর্ণ এবং সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য সম্পর্ক স্থাপন করব।

প্রমাণ।

ক, গএবং কর্ণ সঙ্গে(চিত্র 1, ক)।

আসুন প্রমাণ করি c²=a²+b².

প্রমাণ।

ত্রিভুজটিকে একটি বর্গক্ষেত্রে পূর্ণ করি a + bচিত্রে দেখানো হয়েছে। 1, খ. এই বর্গক্ষেত্রের S ক্ষেত্রফল হল (a + b)²। অন্যদিকে, এই বর্গক্ষেত্রটি চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত, যার প্রতিটির ক্ষেত্রফল ½ aw, এবং পাশে একটি বর্গক্ষেত্র সঙ্গে,তাই এস = 4 * ½ aw + গ² = 2aw + গ².

এইভাবে,

(a + b)² = 2 aw + গ²,

c²=a²+b².

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
2 পদ্ধতি।

"অনুরূপ ত্রিভুজ" বিষয় অধ্যয়ন করার পরে, আমি খুঁজে পেয়েছি যে আপনি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণে ত্রিভুজের মিল প্রয়োগ করতে পারেন। যথা, আমি এই বিবৃতিটি ব্যবহার করেছি যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা হল কর্ণের গড় সমানুপাতিক এবং পা এবং শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা উচ্চতার মধ্যে আবদ্ধ কর্ণের অংশ। সমকোণ.

সমকোণ C, CD – উচ্চতা (চিত্র 2) সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। আসুন প্রমাণ করি এসি² + NE² = AB² .

প্রমাণ।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা সম্পর্কে বিবৃতির উপর ভিত্তি করে:

AC = , SV = .

আসুন আমরা বর্গক্ষেত্র করি এবং ফলস্বরূপ সমতা যোগ করি:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), যেখানে AD+DB=AB, তারপর

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB²।

প্রমাণ সম্পূর্ণ।
3 পদ্ধতি।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের কোসাইনের সংজ্ঞা প্রয়োগ করতে পারেন। এর Fig তাকান. 3.

প্রমাণ:

ABC কে সমকোণ C সহ একটি প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজ বলা যাক। সমকোণ C এর শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা CD আঁকুন।

একটি কোণের কোসাইনের সংজ্ঞা অনুসারে:

cos A = AD/AC = AC/AB। তাই AB * AD = AC²

একইভাবে,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ।

তাই AB * BD = BC²।

ফলে সমতা পদটি পদ দ্বারা যোগ করে এবং লক্ষ্য করে যে AD + DB = AB, আমরা পাই:

এসি² + সূর্য² = AB (AD + DB) = এবি²

প্রমাণ সম্পূর্ণ।
4 পদ্ধতি।

"একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু এবং কোণের মধ্যে সম্পর্ক" বিষয়টি অধ্যয়ন করার পরে, আমি মনে করি যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি অন্য উপায়ে প্রমাণিত হতে পারে।

পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন ক, গএবং কর্ণ সঙ্গে. (চিত্র 4)।

আসুন প্রমাণ করি c²=a²+b²।

প্রমাণ।

পাপ বি =উচ্চ গুনসম্পন্ন ; কারণ বি = a/c , তারপর, ফলস্বরূপ সমতাগুলিকে বর্গ করে, আমরা পাই:

sin² বি =²/s²; cos² ভিতরে= a²/c²।

এগুলি যোগ করে, আমরা পাই:

sin² ভিতরে+cos² বি =в²/с²+ а²/с², যেখানে sin² ভিতরে+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², অতএব,

c²= a² + b²।

প্রমাণ সম্পূর্ণ।

5 পদ্ধতি।

এই প্রমাণটি পায়ে তৈরি বর্গক্ষেত্র কাটার উপর ভিত্তি করে (চিত্র 5) এবং ফলস্বরূপ অংশগুলিকে কর্ণের উপর নির্মিত একটি বর্গক্ষেত্রে স্থাপন করা।

6 পদ্ধতি।

পাশে প্রমাণের জন্য সূর্যআমরা নির্মাণ করছি বিসিডি এবিসি(ছবি 6)। আমরা জানি যে অনুরূপ পরিসংখ্যানগুলির ক্ষেত্রগুলি তাদের অনুরূপ রৈখিক মাত্রাগুলির বর্গ হিসাবে সম্পর্কিত:

প্রথম সমতা থেকে দ্বিতীয় বিয়োগ, আমরা পেতে

c2 = a2 + b2.

প্রমাণ সম্পূর্ণ।

7 পদ্ধতি।

দেওয়া(চিত্র 7):

এবিসি,= 90° , সূর্য= a, AC=b, AB = c.

প্রমাণ করুন:c2 = a2 +b2.

প্রমাণ।

পা যাক খ ক.এর সেগমেন্ট চালিয়ে যাক NEপ্রতি পয়েন্ট ভিতরেএবং একটি ত্রিভুজ তৈরি করুন বিএমডিযাতে পয়েন্ট এমএবং কসরলরেখার একপাশে রাখা সিডিএবং তাছাড়া, বিডি =খ, বিডিএম= 90°, ডিএম= a, তারপর বিএমডি= এবিসিদুই পাশে এবং তাদের মধ্যে কোণ। পয়েন্ট A এবং এমসেগমেন্টের সাথে সংযোগ করুন এএমআমাদের আছে এম.ডি. সিডিএবং A.C. সিডি,তার মানে এটা সোজা এসিলাইনের সমান্তরাল এম.ডি.কারণ এম.ডি.< АС, তারপর সোজা সিডিএবং এ.এম.সমান্তরাল না অতএব, এএমডিসি-আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েড।

সমকোণী ত্রিভুজে ABC এবং বিএমডি 1 + 2 = 90° এবং 3 + 4 = 90°, কিন্তু যেহেতু = =, তারপর 3 + 2 = 90°; তারপর এভিএম=180° - 90° = 90°। দেখা গেল ট্র্যাপিজয়েড এএমডিসিতিনটি অ-ওভারল্যাপিং সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত, তারপর এলাকা স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা

(a+b)(a+b)

অসমতার সকল পদকে দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই

কb + c2 + ab = (a +খ) , 2 ab+ c2 = a2+ 2কখ+ b2,

c2 = a2 + b2.

প্রমাণ সম্পূর্ণ।

8 পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং পায়ের উপর ভিত্তি করে এবিসিতিনি সংশ্লিষ্ট বর্গগুলি তৈরি করেন এবং প্রমাণ করেন যে কর্ণের উপর নির্মিত বর্গটি পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান (চিত্র 8)।

প্রমাণ।

1) ডিবিসি= এফবিএ= 90°;

DBC+ এবিসি= FBA+ এবিসি,মানে, FBC = ডিবিএ।

এইভাবে, এফবিসি=এবিডি(দুই পাশে এবং তাদের মধ্যে কোণ)।

2) , যেখানে AL ​​DE, যেহেতু BD একটি সাধারণ ভিত্তি, DL-মোট উচ্চতা।

3) যেহেতু FB একটি ভিত্তি, এবি- মোট উচ্চতা।

4)

5) একইভাবে, এটি প্রমাণিত হতে পারে

6) শব্দ দ্বারা শব্দ যোগ করে, আমরা পাই:

, BC2 = AB2 + AC2 . প্রমাণ সম্পূর্ণ।

9 পদ্ধতি।

প্রমাণ।

1) যাক এবিডিই- একটি বর্গক্ষেত্র (চিত্র 9), যার পাশে একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণের সমান এবিসি= s, BC = a, AC =খ)।

2) যাক ডিকে B.C.এবং DK = সূর্য,যেহেতু 1 + 2 = 90° (একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের মতো), 3 + 2 = 90° (একটি বর্গক্ষেত্রের কোণের মতো), এবি= বিডি(বর্গক্ষেত্রের দিক)।

মানে, এবিসি= বিডিকে(কর্ণ এবং তীব্র কোণ দ্বারা)।

3) যাক ইএল D.K., A.M. ই.এল.এটি সহজেই প্রমাণ করা যায় যে ABC = BDK = DEL = EAM (পা সহ কএবং খ)।তারপর কেএস= সেমি= এম.এল.= এল.কে.= ক -খ.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (ক - খ),সঙ্গে2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

প্রমাণ সম্পূর্ণ।

10 পদ্ধতি।

প্রমাণটি মজা করে "পিথাগোরিয়ান প্যান্ট" (চিত্র 10) নামে একটি চিত্রের উপর করা যেতে পারে। এর ধারণাটি হল পাশের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলিকে সমান ত্রিভুজে রূপান্তর করা যা একসাথে কর্ণের বর্গ তৈরি করে।

এবিসিতীর দ্বারা দেখানো হিসাবে এটি সরান, এবং এটি অবস্থান নেয় কেডিএনবাকি চিত্র একেডিসিবিবর্গক্ষেত্রের সমান এলাকা একেডিসিএটি একটি সমান্তরালগ্রাম একেএনবি।

একটি সমান্তরালগ্রাম মডেল তৈরি করা হয়েছে একেএনবি. আমরা কাজের বিষয়বস্তুর স্কেচ হিসাবে সমান্তরালগ্রাম পুনর্বিন্যাস করি। একটি সমান্তরালগ্রামের একটি সমান-ক্ষেত্রের ত্রিভুজে রূপান্তর দেখানোর জন্য, শিক্ষার্থীদের সামনে, আমরা মডেলের একটি ত্রিভুজ কেটে ফেলি এবং এটিকে নীচে নিয়ে যাই। এভাবে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একেডিসিআয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হতে দেখা গেছে। একইভাবে, আমরা একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে রূপান্তর করি।

এর একটি পাশে নির্মিত একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য একটি রূপান্তর করা যাক ক(চিত্র 11, ক):

ক) বর্গক্ষেত্রটি একটি সমান সমান্তরালগ্রামে রূপান্তরিত হয় (চিত্র 11.6):

খ) সমান্তরালগ্রামটি এক চতুর্থাংশ বাঁক ঘোরে (চিত্র 12):

c) সমান্তরাল বৃত্তটি একটি সমান আয়তক্ষেত্রে রূপান্তরিত হয় (চিত্র 13): 11 পদ্ধতি।

প্রমাণ:

পিসিএল -সোজা (চিত্র 14);

KLOA= এসিপিএফ= ACED= a2;

এলজিবিও= SVMR =সিবিএনকিউ= খ 2;

একেজিবি= AKLO +এলজিবিও= c2;

c2 = a2 + b2.

প্রমাণ শেষ .

12 পদ্ধতি।

ভাত। চিত্র 15 পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আরেকটি মূল প্রমাণ চিত্রিত করে।

এখানে: সমকোণ সি সহ ত্রিভুজ ABC; লাইনের অংশ বি ফল.খাড়া NEএবং এটির সমান, সেগমেন্ট থাকাখাড়া এবিএবং এটির সমান, সেগমেন্ট বিজ্ঞাপনখাড়া এসিএবং এর সমান; পয়েন্ট F, C,ডিএকই লাইনের অন্তর্গত; চতুর্ভুজ এডিএফবিএবং ASVEআকারে সমান, যেহেতু ABF = ECB;ত্রিভুজ এডিএফএবং ACEআকারে সমান; উভয় সমান চতুর্ভুজ থেকে তাদের ভাগ করা ত্রিভুজ বিয়োগ করুন এবিসি,আমরা পেতে

, c2 = a2 + b2.

প্রমাণ সম্পূর্ণ।

13 পদ্ধতি।

প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, একদিকে, সমান , অন্যের সঙ্গে, ,

3. উপসংহার।

অনুসন্ধান ক্রিয়াকলাপের ফলস্বরূপ, কাজের লক্ষ্য অর্জন করা হয়েছিল, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণে জ্ঞানকে পুনরায় পূরণ এবং সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। স্কুলের পাঠ্যপুস্তকের পৃষ্ঠার বাইরে গিয়ে এটি প্রমাণ করার বিভিন্ন উপায় খুঁজে বের করা এবং বিবেচনা করা এবং এই বিষয়ে জ্ঞানকে গভীর করা সম্ভব ছিল।

আমি যে উপাদানটি সংগ্রহ করেছি তা আমাকে আরও বেশি বিশ্বাস করে যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি জ্যামিতির একটি দুর্দান্ত উপপাদ্য এবং এর প্রচুর তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক তাত্পর্য রয়েছে। উপসংহারে, আমি বলতে চাই: পিথাগোরিয়ান ট্রাইউন উপপাদ্যের জনপ্রিয়তার কারণ হল এর সৌন্দর্য, সরলতা এবং তাৎপর্য!

4. ব্যবহৃত সাহিত্য।

1. বিনোদনমূলক বীজগণিত। . মস্কো "বিজ্ঞান", 1978।

2. "সেপ্টেম্বরের প্রথম", 24/2001 সংবাদপত্রের সাপ্তাহিক শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত সম্পূরক।

3. জ্যামিতি 7-9। এবং ইত্যাদি.

4. জ্যামিতি 7-9। এবং ইত্যাদি.

(বার্লিন মিউজিয়ামের প্যাপিরাস 6619 অনুসারে)। ক্যান্টরের মতে, হারপেডোনাপ্টেস বা "দড়ি টানার" 3, 4 এবং 5 এর বাহু সহ সমকোণ ত্রিভুজ ব্যবহার করে সমকোণ তৈরি করে।

তাদের নির্মাণ পদ্ধতি পুনরুত্পাদন করা খুব সহজ। আসুন 12 মিটার লম্বা একটি দড়ি নিন এবং এক প্রান্ত থেকে 3 মিটার এবং অন্য প্রান্ত থেকে 4 মিটার দূরত্বে একটি রঙিন ফালা বেঁধে দিন। সমকোণটি 3 এবং 4 মিটার লম্বা বাহুগুলির মধ্যে হবে। হার্পেডোনাপ্টিয়ানদের কাছে এটা আপত্তি করা যেতে পারে যে তাদের নির্মাণের পদ্ধতিটি অতিরিক্ত হয়ে যায় যদি কেউ ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ, একটি কাঠের বর্গক্ষেত্র, যা সমস্ত ছুতাররা ব্যবহার করে। প্রকৃতপক্ষে, মিশরীয় অঙ্কনগুলি পরিচিত যেখানে এই জাতীয় সরঞ্জাম পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ, একটি ছুতার কর্মশালার চিত্রিত অঙ্কন।

ব্যাবিলনীয়দের মধ্যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য সম্পর্কে আরও কিছু জানা যায়। হাম্মুরাবির সময়, অর্থাৎ খ্রিস্টপূর্ব 2000 অব্দের একটি লেখায়। e , একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণের একটি আনুমানিক হিসাব দেওয়া হয়েছে। এ থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে মেসোপটেমিয়ায় তারা সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে গণনা করতে সক্ষম হয়েছিল, অন্তত কিছু ক্ষেত্রে। একদিকে, মিশরীয় এবং ব্যাবিলনীয় গণিত সম্পর্কে জ্ঞানের বর্তমান স্তরের উপর ভিত্তি করে, এবং অন্যদিকে, গ্রীক উত্সগুলির একটি সমালোচনামূলক অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে, ভ্যান ডার ওয়ার্ডেন (একজন ডাচ গণিতবিদ) এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে একটি উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে যে কর্ণের বর্গক্ষেত্রের উপপাদ্যটি ভারতে ইতিমধ্যেই খ্রিস্টপূর্ব 18 শতকের কাছাকাছি পরিচিত ছিল। e

400 খ্রিস্টপূর্বাব্দের কাছাকাছি। বিসি, প্রোক্লাসের মতে, প্লেটো বীজগণিত এবং জ্যামিতি একত্রিত করে পাইথাগোরিয়ান ট্রিপলেটগুলি খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি দিয়েছিলেন। 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দের কাছাকাছি। e পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রাচীনতম স্বতঃসিদ্ধ প্রমাণ ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে উপস্থিত হয়েছিল।

ফর্মুলেশন

জ্যামিতিক সূত্র:

তত্ত্বটি মূলত নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছিল:

বীজগণিত সূত্র:

অর্থাৎ, ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য , এবং পায়ের দৈর্ঘ্য এবং দ্বারা নির্দেশ করে :

উপপাদ্যের উভয় সূত্রই সমতুল্য, কিন্তু দ্বিতীয় সূত্রটি আরও প্রাথমিক; এতে ক্ষেত্রফলের ধারণার প্রয়োজন নেই। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল সম্পর্কে কিছু না জেনেই এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে দ্বিতীয় বিবৃতিটি যাচাই করা যেতে পারে।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কভার করুন:

প্রমাণ

চালু এই মুহূর্তেএই তত্ত্বের 367টি প্রমাণ বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে লিপিবদ্ধ করা হয়েছে। সম্ভবত, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যই একমাত্র উপপাদ্য যার এত চিত্তাকর্ষক সংখ্যক প্রমাণ রয়েছে। এই ধরনের বৈচিত্র্য শুধুমাত্র জ্যামিতির জন্য উপপাদ্যের মৌলিক তাৎপর্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

অবশ্যই, ধারণাগতভাবে তাদের সকলকে অল্প সংখ্যক শ্রেণিতে ভাগ করা যায়। তাদের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত: এলাকা পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ, স্বতঃসিদ্ধ এবং বহিরাগত প্রমাণ (উদাহরণস্বরূপ, ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ).

অনুরূপ ত্রিভুজ মাধ্যমে

বীজগণিত সূত্রের নিম্নলিখিত প্রমাণটি প্রমাণগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ, সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে নির্মিত। বিশেষ করে, এটি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ধারণা ব্যবহার করে না।

দিন এবিসিএকটি সমকোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজ রয়েছে গ. থেকে উচ্চতা আঁকা যাক গএবং দ্বারা এর ভিত্তি নির্দেশ করুন এইচ. ত্রিভুজ ACHএকটি ত্রিভুজ অনুরূপ এবিসিদুই কোণে। একইভাবে, ত্রিভুজ সিবিএইচঅনুরূপ এবিসি. স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিয়ে

আমরা পেতে

কি সমতুল্য

এটা যোগ করা, আমরা পেতে

, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন কি

এলাকা পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ

নীচের প্রমাণগুলি, তাদের আপাত সরলতা সত্ত্বেও, এত সহজ নয়। তারা সকলেই ক্ষেত্রফলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, যার প্রমাণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণের চেয়ে জটিল।

সমতুল্যতার মাধ্যমে প্রমাণ

1. চিত্র 1 এ দেখানো চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজকে সাজাই।
2. বাহু সহ চতুর্ভুজ গএকটি বর্গক্ষেত্র, যেহেতু দুটি তীব্র কোণের যোগফল 90° এবং সরল কোণটি 180°।
3. পুরো চিত্রটির ক্ষেত্রফল একদিকে, পাশের (a + b) বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান এবং অন্যদিকে চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। ভিতরের বর্গক্ষেত্রের এলাকা।

Q.E.D.

ইউক্লিডের প্রমাণ

ইউক্লিডের প্রমাণের ধারণাটি নিম্নরূপ: আসুন প্রমাণ করার চেষ্টা করি যে কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান এবং তারপরে ক্ষেত্রফল বড় এবং দুটি ছোট বর্গ সমান।

এর বাম দিকে অঙ্কন তাকান. এটিতে আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাশে বর্গক্ষেত্র তৈরি করেছি এবং কর্ণ AB-এর লম্ব কোণ C এর শীর্ষবিন্দু থেকে একটি রশ্মি s আঁকছি, এটি কর্ণের উপর নির্মিত বর্গাকার ABIK কে দুটি আয়তক্ষেত্রে কেটেছে - BHJI এবং HAKJ, যথাক্রমে দেখা যাচ্ছে যে এই আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি সংশ্লিষ্ট পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমান।

আসুন প্রমাণ করার চেষ্টা করি যে DECA বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্র AHJK এর ক্ষেত্রফলের সমান। এটি করার জন্য, আমরা একটি সহায়ক পর্যবেক্ষণ ব্যবহার করব: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যার উচ্চতা এবং ভিত্তি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রটি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান। এটি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে ভিত্তি এবং উচ্চতার অর্ধেক গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার ফলাফল। এই পর্যবেক্ষণ থেকে এটি অনুসরণ করে যে ত্রিভুজ ACK এর ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ AHK এর ক্ষেত্রফলের সমান (চিত্রে দেখানো হয়নি), যা ঘুরে আয়তক্ষেত্র AHJK এর অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান।

আসুন এখন প্রমাণ করি যে ত্রিভুজ ACK এর ক্ষেত্রফলও DECA বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান। এর জন্য যা করতে হবে তা হল ত্রিভুজ ACK এবং BDA এর সমতা প্রমাণ করা (যেহেতু ত্রিভুজ BDA এর ক্ষেত্রফল উপরের সম্পত্তি অনুসারে বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান)। এই সমতা সুস্পষ্ট: ত্রিভুজ উভয় পাশে সমান এবং তাদের মধ্যে কোণ। যথা - AB=AK, AD=AC - CAK এবং BAD কোণের সমতা গতির পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ করা সহজ: আমরা CAK 90° ত্রিভুজটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরাই, তাহলে এটি স্পষ্ট যে দুটি ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলি প্রশ্নটি মিলবে (বর্গক্ষেত্রের শীর্ষে কোণটি 90° হওয়ার কারণে)।

বর্গাকার BCFG এবং আয়তক্ষেত্র BHJI এর ক্ষেত্রগুলির সমতার যুক্তি সম্পূর্ণভাবে একই রকম।

এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমন্বয়ে গঠিত। এই প্রমাণের পিছনের ধারণাটি উপরের অ্যানিমেশন দ্বারা আরও চিত্রিত হয়েছে।

লিওনার্দো দা ভিঞ্চির প্রমাণ

প্রমাণের প্রধান উপাদানগুলি হল প্রতিসাম্য এবং গতি।

আসুন অঙ্কনটি বিবেচনা করা যাক, যেমন প্রতিসাম্য থেকে দেখা যায়, সেগমেন্টটি বর্গটিকে দুটি অভিন্ন অংশে কাটে (যেহেতু ত্রিভুজগুলি নির্মাণে সমান)।

বিন্দুর চারপাশে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন 90-ডিগ্রী ব্যবহার করে, আমরা ছায়াযুক্ত পরিসংখ্যান এবং সমতা দেখতে পাই।

এখন এটা স্পষ্ট যে আমরা যে চিত্রটি ছায়া দিয়েছি তার ক্ষেত্রফল ছোট বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমষ্টি (পায়ে নির্মিত) এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। অন্যদিকে, এটি বৃহৎ বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল (কর্ণের উপর নির্মিত) এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। সুতরাং, ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক সমষ্টি বড় বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান, এবং তাই পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল বর্গের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের সমান। কর্ণ

অসীম পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত প্রমাণগুলি প্রায়শই বিখ্যাত ইংরেজ গণিতবিদ হার্ডিকে দায়ী করা হয়, যিনি 20 শতকের প্রথমার্ধে বসবাস করতেন।

চিত্রে দেখানো অঙ্কনটি দেখে এবং পাশের পরিবর্তনটি পর্যবেক্ষণ করা ক, আমরা অসীম পার্শ্ব বৃদ্ধির জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক লিখতে পারি সঙ্গেএবং ক(ত্রিভুজ সাদৃশ্য ব্যবহার করে):

ভেরিয়েবলের পৃথকীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা খুঁজে পাই

আরও সাধারণ অভিব্যক্তিউভয় পায়ের বৃদ্ধির ক্ষেত্রে কর্ণ পরিবর্তন করা

এই সমীকরণটি একত্রিত করা এবং প্রাথমিক শর্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা পাই

এইভাবে আমরা কাঙ্ক্ষিত উত্তরে পৌঁছাই

যেমনটি দেখতে সহজ, ত্রিভুজের বাহু এবং বৃদ্ধির মধ্যে রৈখিক আনুপাতিকতার কারণে চূড়ান্ত সূত্রে দ্বিঘাত নির্ভরতা প্রদর্শিত হয়, যখন যোগফল বিভিন্ন পায়ের বৃদ্ধি থেকে স্বাধীন অবদানের সাথে যুক্ত থাকে।

একটি সহজ প্রমাণ পাওয়া যেতে পারে যদি আমরা ধরে নিই যে একটি পা বৃদ্ধি অনুভব করে না (এ এক্ষেত্রেপা)। তারপর ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক জন্য আমরা প্রাপ্ত

বৈচিত্র এবং সাধারণীকরণ

তিন দিকে অনুরূপ জ্যামিতিক আকার

অনুরূপ ত্রিভুজগুলির জন্য সাধারণীকরণ, সবুজ আকৃতির ক্ষেত্রফল A + B = নীল C এর ক্ষেত্রফল

অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

ইউক্লিড তার কাজে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করেছিলেন শুরু, পাশের বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলিকে অনুরূপ জ্যামিতিক চিত্রগুলির এলাকায় প্রসারিত করা:

যদি আপনি অনুরূপ নির্মাণ জ্যামিতিক পরিসংখ্যান(ইউক্লিডীয় জ্যামিতি দেখুন) একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাশে, তাহলে দুটি ছোট পরিসংখ্যানের যোগফল বৃহত্তর চিত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হবে।

এই সাধারণীকরণের মূল ধারণাটি হল যে এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল তার যে কোনো রৈখিক মাত্রার বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক এবং বিশেষ করে, যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক। অতএব, এলাকার সঙ্গে অনুরূপ পরিসংখ্যান জন্য ক, খএবং গদৈর্ঘ্য সহ পাশে নির্মিত ক, খএবং গ, আমাদের আছে:

কিন্তু, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, ক 2 + খ 2 = গ 2 তারপর ক + খ = গ.

বিপরীতভাবে, যদি আমরা তা প্রমাণ করতে পারি ক + খ = গপাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার না করে তিনটি অনুরূপ জ্যামিতিক পরিসংখ্যানের জন্য, তাহলে আমরা তত্ত্বটি নিজেই প্রমাণ করতে পারি, বিপরীত দিকে চলে। উদাহরণস্বরূপ, প্রারম্ভিক কেন্দ্র ত্রিভুজটিকে একটি ত্রিভুজ হিসাবে পুনরায় ব্যবহার করা যেতে পারে গকর্ণের উপর, এবং দুটি অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ ( কএবং খ), অন্য দুটি দিকে নির্মিত, যা কেন্দ্রীয় ত্রিভুজটিকে তার উচ্চতা দ্বারা ভাগ করে গঠিত হয়। দুটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল তখন স্পষ্টতই তৃতীয়টির ক্ষেত্রফলের সমান ক + খ = গএবং, পূর্ববর্তী প্রমাণ পূরণ বিপরীত ক্রম, আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য a 2 + b 2 = c 2 পাই।

কোসাইন উপপাদ্য

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য হল বিশেষ মামলাকোসাইনগুলির একটি আরও সাধারণ উপপাদ্য, যা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে সম্পর্কিত করে:

যেখানে θ বাহুগুলির মধ্যে কোণ কএবং খ.

যদি θ 90 ডিগ্রি হয় তাহলে cos θ = 0 এবং সূত্রটি সাধারণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সরল করে।

মুক্ত ত্রিভুজ

বাহু সহ নির্বিচারে ত্রিভুজের যেকোনো নির্বাচিত কোণে a, b, cআসুন আমরা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজকে এমনভাবে লিখি যাতে এর ভিত্তি θ এর সমান কোণগুলি নির্বাচিত কোণের সমান হয়। আসুন আমরা ধরে নিই যে নির্বাচিত কোণ θ নির্ধারিত বাহুর বিপরীতে অবস্থিত গ. ফলস্বরূপ, আমরা কোণ θ সহ ত্রিভুজ ABD পেয়েছি, যা বাহুর বিপরীতে অবস্থিত কএবং দলগুলি r. দ্বিতীয় ত্রিভুজটি θ কোণ দ্বারা গঠিত হয়, যা পাশের বিপরীতে অবস্থিত খএবং দলগুলি সঙ্গেদৈর্ঘ্য s, এটি ছবিতে দেখানো হয়েছে. সাবিত ইবনে কুররা যুক্তি দিয়েছিলেন যে এই তিনটি ত্রিভুজের বাহুগুলি নিম্নরূপ সম্পর্কিত:

কোণ θ যত π/2 এর কাছে আসে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তি ছোট হয়ে যায় এবং r এবং s দুটি বাহু একে অপরকে কম-বেশি ওভারল্যাপ করে। যখন θ = π/2, ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, r + s = গএবং আমরা প্রাথমিক পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য পাই।

এর একটি যুক্তি বিবেচনা করা যাক. ত্রিভুজ ABC-এর ত্রিভুজ ABD-এর মতো একই কোণ আছে, কিন্তু বিপরীত ক্রমে। (দুটি ত্রিভুজ আছে সাধারণ কোণশীর্ষবিন্দু B এ, উভয়েরই একটি কোণ θ এবং একই তৃতীয় কোণ রয়েছে, ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি দ্বারা) তদনুসারে, ABC ত্রিভুজ DBA-এর প্রতিফলন ABD এর অনুরূপ, যেমনটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। আসুন আমরা বিপরীত বাহু এবং কোণ θ সংলগ্নগুলির মধ্যে সম্পর্ক লিখি,

এছাড়াও আরেকটি ত্রিভুজের প্রতিফলন,

আসুন ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করি এবং এই দুটি অনুপাত যোগ করি:

Q.E.D.

সমান্তরালগ্রামের মাধ্যমে নির্বিচারে ত্রিভুজের জন্য সাধারণীকরণ

নির্বিচারে ত্রিভুজগুলির জন্য সাধারণীকরণ,
সবুজ অঞ্চল প্লট = এলাকানীল

উপরের চিত্রে থিসিসের প্রমাণ

চলো বর্গক্ষেত্রের পরিবর্তে তিন বাহুর সমান্তরালগ্রাম ব্যবহার করে অ-সমকোণী ত্রিভুজের জন্য আরও সাধারণীকরণ করা যাক। (বর্গক্ষেত্রগুলি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।) উপরের চিত্রটি দেখায় যে একটি তীব্র ত্রিভুজের জন্য, দীর্ঘ দিকের সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল অন্য দুটি বাহুর সমান্তরালগ্রামের যোগফলের সমান, তবে শর্ত থাকে যে দীর্ঘটির উপর সমান্তরালগ্রাম চিত্রে দেখানো হিসাবে দিকটি তৈরি করা হয়েছে (তীর দ্বারা নির্দেশিত মাত্রাগুলি একই এবং নীচের সমান্তরালগ্রামের দিকগুলি নির্ধারণ করে)। সমান্তরালগ্রামের সাথে বর্গক্ষেত্রের এই প্রতিস্থাপনটি পিথাগোরাসের প্রাথমিক উপপাদ্যের সাথে একটি স্পষ্ট সাদৃশ্য রয়েছে, যা 4 খ্রিস্টাব্দে আলেকজান্দ্রিয়ার পাপ্পাস দ্বারা প্রণয়ন করা হয়েছিল বলে মনে করা হয়। e

নীচের চিত্রটি প্রমাণের অগ্রগতি দেখায়। ত্রিভুজের বাম দিকে তাকাই। বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামের সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে বাম পাশেনীল সমান্তরালগ্রাম কারণ তাদের একই ভিত্তি আছে খএবং উচ্চতা জ. এছাড়াও, বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামের উপরের ছবিতে বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামের সমান ক্ষেত্র রয়েছে কারণ তারা একটি সাধারণ ভিত্তি (শীর্ষ) ভাগ করে বাম দিকেত্রিভুজ) এবং ত্রিভুজের সেই বাহুর মোট উচ্চতা লম্ব। ত্রিভুজের ডান দিকের জন্য অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করে, আমরা প্রমাণ করব যে নীচের সমান্তরালগ্রামের দুটি সবুজ সমান্তরালগ্রামের সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।

জটিল সংখ্যা

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয় এবং এই উপপাদ্যটি সমস্ত সত্য স্থানাঙ্কের জন্য বৈধ: দূরত্ব sদুই পয়েন্টের মধ্যে ( ক, খ) এবং ( গ, ঘ) সমান

যদি জটিল সংখ্যাগুলিকে বাস্তব উপাদান সহ ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা হয় তবে সূত্রের সাথে কোন সমস্যা নেই এক্স + i y = (এক্স, y). . উদাহরণস্বরূপ, দূরত্ব s 0 + 1 এর মধ্যে iএবং 1 + 0 iভেক্টরের মডুলাস হিসাবে গণনা করা হয় (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), বা

যাইহোক, জটিল স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টরগুলির সাথে অপারেশনের জন্য, পিথাগোরিয়ান সূত্রে কিছু উন্নতি করা প্রয়োজন। সঙ্গে পয়েন্ট মধ্যে দূরত্ব জটিল সংখ্যা (ক, খ) এবং ( গ, d); ক, খ, গ, এবং dসমস্ত জটিল, আসুন আমরা ব্যবহার করে প্রণয়ন করি পরম মান. দূরত্ব sভেক্টর পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে (ক − গ, খ − d) নিম্নলিখিত আকারে: পার্থক্য যাক ক − গ = পি+ i q, কোথায় পি- পার্থক্যের আসল অংশ, qকাল্পনিক অংশ, এবং i = √(−1)। একইভাবে, যাক খ − d = r+ i s. তারপর:

এর জন্য জটিল সংযোজক সংখ্যা কোথায়। উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব (ক, খ) = (0, 1) এবং (গ, d) = (i, 0) , এর পার্থক্য গণনা করা যাক (ক − গ, খ − d) = (−i, 1) জটিল কনজুগেট ব্যবহার না করলে ফলাফল 0 হবে। অতএব, উন্নত সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পেতে

মডিউলটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

স্টেরিওমেট্রি

ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি উল্লেখযোগ্য সাধারণীকরণ হল ডি গয়ের উপপাদ্য, যার নাম J.-P. ডি গোইস: যদি একটি টেট্রাহেড্রনের একটি সমকোণ থাকে (একটি ঘনক্ষেত্রের মতো), তবে সমকোণের বিপরীত মুখের ক্ষেত্রফলের বর্গটি অন্য তিনটি মুখের ক্ষেত্রগুলির বর্গের সমষ্টির সমান। এই উপসংহারটি সংক্ষেপে বলা যেতে পারে " n-মাত্রিক পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য":

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ত্রিমাত্রিক স্থানতির্যক AD কে তিনটি বাহুর সাথে সংযুক্ত করে।

আরেকটি সাধারণীকরণ: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি স্টেরিওমেট্রিতে নিম্নলিখিত আকারে প্রয়োগ করা যেতে পারে। চিত্রে দেখানো একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ বিবেচনা করুন। আসুন পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে তির্যক BD-এর দৈর্ঘ্য বের করি:

যেখানে তিনটি বাহু একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। আমরা কর্ণ AD এর দৈর্ঘ্য বের করতে অনুভূমিক তির্যক BD এবং উল্লম্ব প্রান্ত AB ব্যবহার করি, এর জন্য আমরা আবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করি:

অথবা, যদি আমরা সবকিছু এক সমীকরণে লিখি:

এই ফলাফলটি ভেক্টরের মাত্রা নির্ধারণের জন্য একটি ত্রিমাত্রিক অভিব্যক্তি v(তির্যক AD), এর লম্ব উপাদানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় ( v k ) (তিনটি পারস্পরিক লম্ব বাহু):

এই সমীকরণটিকে বহুমাত্রিক স্থানের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যাইহোক, ফলাফলটি আসলে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বারবার প্রয়োগ ছাড়া আর কিছুই নয়, ক্রমাগত লম্ব সমতলে সমকোণী ত্রিভুজের একটি ক্রম।

ভেক্টর স্থান

ভেক্টরের একটি অর্থোগোনাল সিস্টেমের ক্ষেত্রে, একটি সমতা রয়েছে, যাকে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যও বলা হয়:

যদি - এগুলি স্থানাঙ্কের অক্ষের উপর ভেক্টরের অনুমান হয়, তাহলে এই সূত্রটি ইউক্লিডীয় দূরত্বের সাথে মিলে যায় - এবং এর অর্থ হল ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য তার উপাদানগুলির বর্গগুলির সমষ্টির বর্গমূলের সমান।

ভেক্টরের অসীম সিস্টেমের ক্ষেত্রে এই সমতার অ্যানালগটিকে পার্সেভালের সমতা বলা হয়।

অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ থেকে উদ্ভূত এবং প্রকৃতপক্ষে, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য বৈধ নয়, যে আকারে এটি উপরে লেখা হয়েছে। (অর্থাৎ, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ইউক্লিডের সমান্তরালতার ধারণার এক ধরণের সমতুল্য হয়ে উঠেছে) অন্য কথায়, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে একটি ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে সম্পর্ক অবশ্যই পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে ভিন্ন আকারে হবে। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার জ্যামিতিতে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু (বলুন ক, খএবং গ), যা একক গোলকের অষ্টেন্ট (অষ্টম অংশ) সীমাবদ্ধ করে, তার দৈর্ঘ্য π/2, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বিরোধিতা করে, কারণ ক 2 + খ 2 ≠ গ 2 .

আসুন আমরা এখানে নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করি - গোলাকার এবং অধিবৃত্তীয় জ্যামিতি; উভয় ক্ষেত্রেই, সমকোণী ত্রিভুজের জন্য ইউক্লিডীয় স্থান হিসাবে, ফলাফল, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রতিস্থাপন করে, কোসাইন উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে।

যাইহোক, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি হাইপারবোলিক এবং উপবৃত্তাকার জ্যামিতির জন্য বৈধ থাকে যদি ত্রিভুজটি আয়তক্ষেত্রাকার হওয়ার প্রয়োজনীয়তা এই শর্তে প্রতিস্থাপিত হয় যে ত্রিভুজের দুটি কোণের যোগফল অবশ্যই তৃতীয়টির সমান হবে। ক+খ = গ. তারপর পক্ষগুলির মধ্যে সম্পর্কটি এইরকম দেখায়: ব্যাস সহ বৃত্তগুলির ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি৷ কএবং খব্যাস সহ একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান গ.

গোলাকার জ্যামিতি

ব্যাসার্ধ সহ একটি গোলকের যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের জন্য আর(উদাহরণস্বরূপ, যদি ত্রিভুজের কোণ γ সঠিক হয়) বাহু সহ ক, খ, গদলগুলোর মধ্যে সম্পর্ক এই রকম হবে:

এই সমতা হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে একটি বিশেষ ক্ষেত্রেগোলাকার কোসাইন উপপাদ্য, যা সমস্ত গোলাকার ত্রিভুজের জন্য বৈধ:

যেখানে cosh হল হাইপারবোলিক কোসাইন। এই সূত্রটি হাইপারবোলিক কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যা সমস্ত ত্রিভুজের জন্য বৈধ:

যেখানে γ হল সেই কোণ যার শীর্ষবিন্দুটি বাহুর বিপরীত গ.

কোথায় g ijএকটি মেট্রিক টেনসর বলা হয়। এটি অবস্থানের একটি ফাংশন হতে পারে। এই ধরনের বক্ররেখার স্থানগুলির মধ্যে রিম্যানিয়ান জ্যামিতি অন্তর্ভুক্ত সাধারণ উদাহরণ. বক্ররেখার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার সময় এই সূত্রটি ইউক্লিডীয় স্থানের জন্যও উপযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, মেরু স্থানাঙ্কের জন্য:

ভেক্টর আর্টওয়ার্ক

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য একটি ভেক্টর পণ্যের মাত্রার জন্য দুটি অভিব্যক্তিকে সংযুক্ত করে। একটি ক্রস পণ্য সংজ্ঞায়িত করার একটি পদ্ধতির প্রয়োজন যে এটি সমীকরণটি পূরণ করে:

এই সূত্রটি ডট পণ্য ব্যবহার করে। ডান পাশসমীকরণকে গ্রাম নির্ধারক বলা হয় কএবং খ, যা এই দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সমান। এই প্রয়োজনীয়তার উপর ভিত্তি করে, পাশাপাশি ভেক্টর পণ্যটি তার উপাদানগুলির সাথে লম্ব হওয়া প্রয়োজন কএবং খএটি অনুসরণ করে যে, 0- এবং 1-মাত্রিক স্থান থেকে তুচ্ছ ক্ষেত্রে ছাড়া, ক্রস পণ্যটি শুধুমাত্র তিন এবং সাত মাত্রায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আমরা কোণের সংজ্ঞা ব্যবহার করি n-মাত্রিক স্থান:

একটি ক্রস পণ্যের এই বৈশিষ্ট্যটি নিম্নরূপ তার মাত্রা দেয়:

পিথাগোরাসের মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের মাধ্যমে আমরা এর মান লেখার আরেকটি রূপ পাই:

একটি ক্রস পণ্য সংজ্ঞায়িত করার একটি বিকল্প পদ্ধতি হল এর মাত্রার জন্য একটি অভিব্যক্তি ব্যবহার করা। তারপরে, বিপরীত ক্রমে যুক্তি দিয়ে, আমরা স্কেলার পণ্যের সাথে একটি সংযোগ পাই:

আরো দেখুন

মন্তব্য

1. ইতিহাস বিষয়: ব্যাবিলনীয় গণিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য
2. (, পৃ. 351) পৃ. 351
3. (, ভলিউম I, পৃ. 144)
4. আলোচনা ঐতিহাসিক সত্যদেওয়া (, p. 351) p. 351
5. কার্ট ভন ফ্রিটজ (এপ্রিল, 1945)। "মেটাপন্টামের হিপ্পাসাস দ্বারা অসামঞ্জস্যতার আবিষ্কার"। দ্য অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স, দ্বিতীয় সিরিজ(গণিতের ইতিহাস) 46 (2): 242–264.
6. লুইস ক্যারল, "দ্য স্টোরি উইথ নটস", এম., মির, 1985, পৃ. 7
7. আসগার আবোগণিতের প্রাথমিক ইতিহাস থেকে পর্ব। - ম্যাথমেটিকাল অ্যাসোসিয়েশন অফ আমেরিকা, 1997। - পি. 51. - ISBN 0883856131
8. পাইথন প্রস্তাবএলিশা স্কট লুমিস দ্বারা
9. ইউক্লিডের উপাদান: বই VI, প্রস্তাবনা VI 31: "সমকোণ ত্রিভুজগুলিতে সমকোণকে সাবটেন করে পাশের চিত্রটি সমকোণ বিশিষ্ট বাহুগুলির অনুরূপ এবং একইভাবে বর্ণিত চিত্রের সমান।"
10. লরেন্স এস লেফ উদ্ধৃত কাজ. - ব্যারনের শিক্ষামূলক সিরিজ - পি. 326. - ISBN 0764128922
11. হাওয়ার্ড হুইটলি ইভস§4.8:...পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাধারণীকরণ // গণিতের দুর্দান্ত মুহূর্ত (1650 সালের আগে)। - ম্যাথমেটিকাল অ্যাসোসিয়েশন অফ আমেরিকা, 1983. - পি. 41. - ISBN 0883853108
12. তাবিত ইবনে কোরা (পুরো নাম থাবিত ইবনে কুররা ইবনে মারওয়ান আল-সাবি'আল-হাররানি) (826-901 খ্রিস্টাব্দ) বাগদাদে বসবাসকারী একজন চিকিৎসক ছিলেন যিনি ইউক্লিডের উপাদান এবং অন্যান্য গাণিতিক বিষয়ে ব্যাপকভাবে লিখেছেন।
13. আয়দিন সাইলি (মার্চ 1960)। "থাবিত ইবনে কুরার পিথাগোরিয়ান থিওরেমের সাধারণীকরণ।" আইসিস 51 (1): 35-37। DOI:10.1086/348837.
14. জুডিথ ডি. স্যালি, পল স্যালিঅনুশীলনী 2.10 (ii) // উদ্ধৃত কাজ। - পি. 62. - আইএসবিএন 0821844032
15. এই ধরনের নির্মাণের বিশদ বিবরণের জন্য, দেখুন জর্জ জেনিংসচিত্র 1.32: সাধারণীকৃত পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য // অ্যাপ্লিকেশন সহ আধুনিক জ্যামিতি: 150টি পরিসংখ্যান সহ। - ৩য়। - স্প্রিংগার, 1997. - পি. 23. - আইএসবিএন 038794222X
16. আর্লেন ব্রাউন, কার্ল এম পিয়ারসিআইটেম গ: একটি নির্বিচারে জন্য আদর্শ n-টুপল ... // বিশ্লেষণের একটি ভূমিকা। - স্প্রিংগার, 1995। - পি. 124. - আইএসবিএন 0387943692এছাড়াও পৃষ্ঠা 47-50 দেখুন।
17. আলফ্রেড গ্রে, এলসা অ্যাবেনা, সাইমন সালামনম্যাথমেটিকার সাথে বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠের আধুনিক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি। - ৩য়। - CRC প্রেস, 2006. - পৃ. 194. - ISBN 1584884487
18. রাজেন্দ্র ভাটিয়াম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ। - স্প্রিংগার, 1997. - পি. 21. - আইএসবিএন 0387948465
19. স্টিফেন ডব্লিউ হকিং উদ্ধৃত কাজ. - 2005. - পৃ. 4. - ISBN 0762419229
20. এরিক ডব্লিউ উইস্টেইন CRC গণিতের সংক্ষিপ্ত বিশ্বকোষ। - ২য়। - 2003. - পি. 2147. - আইএসবিএন 1584883472
21. আলেকজান্ডার আর প্রুস

আপনি যখন প্রথম বর্গমূল সম্পর্কে শিখতে শুরু করেন এবং কীভাবে অযৌক্তিক সমীকরণ (মূল চিহ্নের অধীনে একটি অজানা জড়িত সমতা) সমাধান করতে হয়, আপনি সম্ভবত তাদের ব্যবহারিক ব্যবহারের প্রথম স্বাদ পেয়েছেন। নিষ্কাশন করার ক্ষমতা বর্গমূল Pythagorean উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানের জন্য সংখ্যা থেকেও প্রয়োজনীয়। এই উপপাদ্যটি যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত।

একটি সমকোণ ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্যগুলি (যে দুটি বাহু সমকোণে মিলিত হয়) অক্ষর দ্বারা মনোনীত করা যাক এবং এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য (সমকোণের বিপরীতে অবস্থিত ত্রিভুজের দীর্ঘতম দিক) দ্বারা মনোনীত করা হবে চিঠি. তারপর সংশ্লিষ্ট দৈর্ঘ্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত হয়:

এই সমীকরণটি আপনাকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে দেয় যখন এর অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা যায়। এছাড়াও, এটি আপনাকে প্রশ্নে থাকা ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ কিনা তা নির্ধারণ করতে দেয়, তবে শর্ত থাকে যে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য আগে থেকেই জানা থাকে।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান

উপাদান একত্রিত করতে, আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি সমাধান করব।

সুতরাং, দেওয়া:

1. একটি পায়ের দৈর্ঘ্য 48, কর্ণ 80।
2. পায়ের দৈর্ঘ্য 84, কর্ণ 91।

আসুন সমাধানে আসা যাক:

ক) উপরের সমীকরণে ডেটা প্রতিস্থাপন করলে নিম্নলিখিত ফলাফল পাওয়া যায়:

48 2 + খ 2 = 80 2

2304 + খ 2 = 6400

খ 2 = 4096

খ= 64 বা খ = -64

যেহেতু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য প্রকাশ করা যায় না ঋণাত্মক সংখ্যা, দ্বিতীয় বিকল্প স্বয়ংক্রিয়ভাবে বাতিল করা হয়.

প্রথম ছবির উত্তর: খ = 64.

খ) দ্বিতীয় ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্য একইভাবে পাওয়া যায়:

84 2 + খ 2 = 91 2

7056 + খ 2 = 8281

খ 2 = 1225

খ= 35 বা খ = -35

আগের ক্ষেত্রে যেমন, একটি নেতিবাচক সিদ্ধান্ত বাতিল করা হয়।

দ্বিতীয় ছবির উত্তর: খ = 35

আমাদের দেওয়া হয়:

1. ত্রিভুজের ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 45 এবং 55 এবং বড় বাহু 75।
2. ত্রিভুজের ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 28 এবং 45 এবং বড় বাহুর 53টি।

চলুন সমস্যার সমাধান করা যাক:

ক) একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের ছোট বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি বড়টির দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমান কিনা তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

অতএব, প্রথম ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

খ) একই অপারেশন সঞ্চালিত হয়:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

অতএব, দ্বিতীয় ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রথমে, স্থানাঙ্ক (-2, -3) এবং (5, -2) সহ বিন্দু দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা যাক। এর জন্য আমরা ব্যবহার করি সুপরিচিত সূত্রএকটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে:

একইভাবে, আমরা স্থানাঙ্ক (-2, -3) এবং (2, 1) সহ বিন্দুগুলির মধ্যে আবদ্ধ অংশটির দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই:

অবশেষে, আমরা স্থানাঙ্ক (2, 1) এবং (5, -2) সহ বিন্দুগুলির মধ্যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করি:

যেহেতু সমতা ধারণ করে:

তাহলে সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজটি সমকোণ।

এইভাবে, আমরা সমস্যার উত্তর প্রণয়ন করতে পারি: যেহেতু ক্ষুদ্রতম দৈর্ঘ্যের বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল দীর্ঘতম দৈর্ঘ্যের বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমান, তাই বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

ভিত্তি (কঠোরভাবে অনুভূমিকভাবে অবস্থিত), জ্যাম্ব (কঠোরভাবে উল্লম্বভাবে অবস্থিত) এবং তারের (তির্যকভাবে প্রসারিত) যথাক্রমে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, তারের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ব্যবহার করা যেতে পারে:

এইভাবে, তারের দৈর্ঘ্য প্রায় 3.6 মিটার হবে।

প্রদত্ত: বিন্দু R থেকে বিন্দু P (ত্রিভুজের পা) এর দূরত্ব হল 24, বিন্দু R থেকে Q বিন্দু পর্যন্ত (হাইপোটেনাস) হল 26।

সুতরাং, আসুন ভাইটাকে সমস্যা সমাধানে সাহায্য করি। যেহেতু চিত্রে দেখানো ত্রিভুজটির বাহুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করার কথা, আপনি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন:

সুতরাং, পুকুরের প্রস্থ 10 মিটার।

সের্গেই ভ্যালেরিভিচ

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য- ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, সম্পর্ক স্থাপন

একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে।

এটা বিশ্বাস করা হয় যে এটি গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাস দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, যার নামানুসারে এর নামকরণ করা হয়েছিল।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের জ্যামিতিক সূত্র।

তত্ত্বটি মূলত নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছিল:

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান,

পায়ে নির্মিত।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের বীজগণিত সূত্র।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গ পায়ের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, দ্বারা ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে গ, এবং মাধ্যমে পা এর দৈর্ঘ্য কএবং খ:

উভয় সূত্র পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যসমতুল্য, কিন্তু দ্বিতীয় সূত্রটি আরো প্রাথমিক, এটা করে না

এলাকার ধারণা প্রয়োজন। অর্থাৎ এলাকা সম্পর্কে কিছু না জেনেই দ্বিতীয় বক্তব্য যাচাই করা যায় এবং

একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে।

পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কনভার্স করুন।

যদি একটি ত্রিভুজের এক বাহুর বর্গ অন্য দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে

সঠিক ত্রিভুজ.

অথবা, অন্য কথায়:

ধনাত্মক সংখ্যার প্রতিটি ট্রিপলের জন্য ক, খএবং গ, যেমন যে

পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে কএবং খএবং কর্ণ গ.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

একটি সমবাহু ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।

বর্তমানে, এই উপপাদ্যটির 367টি প্রমাণ বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে রেকর্ড করা হয়েছে। সম্ভবত উপপাদ্য

পিথাগোরাসই একমাত্র উপপাদ্য যার প্রমাণের এত চিত্তাকর্ষক সংখ্যা। এমন বৈচিত্র্য

শুধুমাত্র জ্যামিতির জন্য উপপাদ্যের মৌলিক তাৎপর্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

অবশ্যই, ধারণাগতভাবে তাদের সকলকে অল্প সংখ্যক শ্রেণিতে ভাগ করা যায়। তাদের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত:

প্রমাণ এলাকা পদ্ধতি, স্বতঃসিদ্ধএবং বহিরাগত প্রমাণ(উদাহরণ স্বরূপ,

ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ).

1. অনুরূপ ত্রিভুজ ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।

বীজগণিত সূত্রের নিম্নলিখিত প্রমাণটি নির্মিত প্রমাণগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ

সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে। বিশেষ করে, এটি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ধারণা ব্যবহার করে না।

দিন এবিসিএকটি সমকোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজ রয়েছে গ. থেকে উচ্চতা আঁকা যাক গএবং বোঝান

মাধ্যমে তার ভিত্তি এইচ.

ত্রিভুজ ACHএকটি ত্রিভুজ অনুরূপ এবিদুই কোণে সি. একইভাবে, ত্রিভুজ সিবিএইচঅনুরূপ এবিসি.

স্বরলিপি প্রবর্তন করে:

আমরা পেতে:

,

যা অনুরূপ -

ভাঁজ করা ক 2 এবং খ 2, আমরা পাই:

বা, যা প্রমাণ করা দরকার।

2. এলাকা পদ্ধতি ব্যবহার করে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।

নীচের প্রমাণগুলি, তাদের আপাত সরলতা সত্ত্বেও, এত সহজ নয়। তাদের সবাই

ক্ষেত্রফলের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করুন, যার প্রমাণগুলি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণের চেয়ে আরও জটিল।

• সমতুল্যতার মাধ্যমে প্রমাণ।

চারটি সমান আয়তক্ষেত্রাকার সাজানো যাক

চিত্রে দেখানো ত্রিভুজ

ডানে.

বাহু সহ চতুর্ভুজ গ- বর্গক্ষেত্র,

যেহেতু দুটি তীব্র কোণের যোগফল 90°, এবং

উন্মোচিত কোণ - 180°।

পুরো চিত্রের ক্ষেত্রফল একদিকে সমান,

পাশ সহ একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ( a+b), এবং অন্যদিকে, চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এবং

Q.E.D.

3. অসীম পদ্ধতি দ্বারা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণ।

​

চিত্রে দেখানো অঙ্কনটি দেখছি এবং

পাশ পরিবর্তন দেখছিক, আমরা পারি

অসীম জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্ক লিখুন

ছোট পাশ বৃদ্ধিসঙ্গেএবং ক(সাদৃশ্য ব্যবহার করে

ত্রিভুজ):

পরিবর্তনশীল পৃথকীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা খুঁজে পাই:

উভয় পক্ষের বৃদ্ধির ক্ষেত্রে কর্ণের পরিবর্তনের জন্য আরও সাধারণ অভিব্যক্তি:

এই সমীকরণটি সংহত করে এবং প্রাথমিক শর্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা পাই:

এইভাবে আমরা কাঙ্ক্ষিত উত্তরে পৌঁছেছি:

যেমনটি দেখতে সহজ, চূড়ান্ত সূত্রে দ্বিঘাত নির্ভরতা রৈখিক কারণে প্রদর্শিত হয়

ত্রিভুজের বাহু এবং বৃদ্ধির মধ্যে সমানুপাতিকতা, যখন যোগফল স্বাধীনের সাথে সম্পর্কিত

বিভিন্ন পা বৃদ্ধি থেকে অবদান.

একটি সহজ প্রমাণ পাওয়া যেতে পারে যদি আমরা ধরে নিই যে একটি পা বৃদ্ধি অনুভব করে না

(এই ক্ষেত্রে পা খ) তারপর ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক জন্য আমরা প্রাপ্ত:

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

অন্যান্য উপপাদ্য এবং সমস্যার ভাগ্য অদ্ভুত... কিভাবে ব্যাখ্যা করা যায়, উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদ এবং গণিত প্রেমীদের পক্ষ থেকে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রতি এমন ব্যতিক্রমী মনোযোগ? কেন তাদের মধ্যে অনেকেই ইতিমধ্যে পরিচিত প্রমাণে সন্তুষ্ট ছিলেন না, কিন্তু তাদের নিজেদের খুঁজে পেয়েছেন, যা প্রমাণের সংখ্যাকে পঁচিশটি অপেক্ষাকৃত পূর্ববর্তী শতাব্দীরও বেশি শতকে নিয়ে এসেছে?
যখন এটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য আসে, অস্বাভাবিক তার নাম দিয়ে শুরু হয়। এটা বিশ্বাস করা হয় যে পিথাগোরাস এটি প্রথম প্রণয়ন করেননি। তিনি এর প্রমাণ দিয়েছেন এটাও সন্দেহজনক বলে মনে করা হচ্ছে। যদি পিথাগোরাস একজন সত্যিকারের ব্যক্তি হন (কেউ কেউ এতে সন্দেহও করেন!), তাহলে তিনি সম্ভবত 6-5 শতকে বসবাস করতেন। বিসি e তিনি নিজে কিছুই লেখেননি, নিজেকে একজন দার্শনিক বলে অভিহিত করেছিলেন, যার অর্থ ছিল, তার বোঝার জন্য, "প্রজ্ঞার জন্য প্রচেষ্টা" এবং পিথাগোরিয়ান ইউনিয়ন প্রতিষ্ঠা করেছিলেন, যার সদস্যরা সঙ্গীত, জিমন্যাস্টিকস, গণিত, পদার্থবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যা অধ্যয়ন করেছিলেন। স্পষ্টতই, তিনি একজন চমৎকার বক্তাও ছিলেন, যেমনটি ক্রোটন শহরে তার অবস্থান সম্পর্কিত নিম্নলিখিত কিংবদন্তি দ্বারা প্রমাণিত: “ক্রোটনের লোকদের সামনে পিথাগোরাসের প্রথম উপস্থিতি যুবকদের উদ্দেশ্যে বক্তৃতা দিয়ে শুরু হয়েছিল, যেখানে তিনি ছিলেন কঠোর, কিন্তু একই সময়ে তাই আকর্ষণীয় যুবকদের কর্তব্য রূপরেখা, এবং শহরের প্রবীণরা নির্দেশ ছাড়া তাদের ছেড়ে না যেতে বলেছেন। এই দ্বিতীয় বক্তৃতায় তিনি পরিবারের ভিত্তি হিসাবে বৈধতা এবং নৈতিকতার বিশুদ্ধতার দিকে ইঙ্গিত করেছিলেন; পরের দুটিতে তিনি শিশু ও মহিলাদের সম্বোধন করেন। শেষ বক্তৃতার পরিণতি, যেখানে তিনি বিশেষ করে বিলাসিতাকে নিন্দা করেছিলেন, হেরার মন্দিরে হাজার হাজার মূল্যবান পোশাক বিতরণ করা হয়েছিল, কারণ একজন মহিলাও তাদের মধ্যে আর রাস্তায় উপস্থিত হওয়ার সাহস করেনি...” যাইহোক, এমনকি খ্রিস্টীয় দ্বিতীয় শতাব্দীতে, অর্থাৎ 700 বছর পরে, তারা সম্পূর্ণভাবে বেঁচে ছিল এবং কাজ করেছিল আসল মানুষ, অসাধারণ বিজ্ঞানী যারা স্পষ্টতই পিথাগোরিয়ান জোট দ্বারা প্রভাবিত ছিলেন এবং কিংবদন্তি অনুসারে, পিথাগোরাস তৈরি করেছিলেন তার জন্য যারা খুব সম্মান করেছিলেন।
এতেও কোন সন্দেহ নেই যে উপপাদ্যের প্রতি আগ্রহ সৃষ্টি হয় উভয় কারণে যে এটি গণিতের কেন্দ্রীয় স্থানগুলির মধ্যে একটি দখল করে এবং প্রমাণের লেখকদের সন্তুষ্টি দ্বারা, যারা রোমান কবি কুইন্টাস হোরেস ফ্ল্যাকাস, যে অসুবিধাগুলি অতিক্রম করেছিলেন, যারা আমাদের যুগের আগে বেঁচে ছিলেন, ভাল বলেছেন: "পরিচিত তথ্য প্রকাশ করা কঠিন।"
প্রাথমিকভাবে, উপপাদ্যটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ এবং পায়ের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করেছিল:
.
বীজগণিত সূত্র:
একটি সমকোণী ত্রিভুজে, কর্ণের দৈর্ঘ্যের বর্গ পায়ের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, c দ্বারা ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং a এবং b দ্বারা পায়ের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে: a 2 + b 2 =c 2। উপপাদ্যের উভয় সূত্রই সমতুল্য, কিন্তু দ্বিতীয় সূত্রটি আরও প্রাথমিক; এতে ক্ষেত্রফলের ধারণার প্রয়োজন নেই। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল সম্পর্কে কিছু না জেনেই এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে দ্বিতীয় বিবৃতিটি যাচাই করা যেতে পারে।
পীথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে কনভার্স করুন। ধনাত্মক সংখ্যার যে কোনো ত্রিগুণের জন্য a, b এবং c যেমন
a 2 + b 2 = c 2, একটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে যার পা a এবং b এবং কর্ণ c আছে।

প্রমাণ

বর্তমানে, এই উপপাদ্যটির 367টি প্রমাণ বৈজ্ঞানিক সাহিত্যে রেকর্ড করা হয়েছে। সম্ভবত, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যই একমাত্র উপপাদ্য যার এত চিত্তাকর্ষক সংখ্যক প্রমাণ রয়েছে। এই ধরনের বৈচিত্র্য শুধুমাত্র জ্যামিতির জন্য উপপাদ্যের মৌলিক তাৎপর্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।
অবশ্যই, ধারণাগতভাবে তাদের সকলকে অল্প সংখ্যক শ্রেণিতে ভাগ করা যায়। তাদের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত: এলাকা পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ, স্বতঃসিদ্ধ এবং বহিরাগত প্রমাণ (উদাহরণস্বরূপ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে)।

অনুরূপ ত্রিভুজ মাধ্যমে

বীজগণিত সূত্রের নিম্নলিখিত প্রমাণটি প্রমাণগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ, সরাসরি স্বতঃসিদ্ধ থেকে নির্মিত। বিশেষ করে, এটি একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ধারণা ব্যবহার করে না।
ABC কে সমকোণ C সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ ধরা যাক। C থেকে উচ্চতা আঁকুন এবং H দ্বারা এর ভিত্তি নির্দেশ করুন। ত্রিভুজ ACH দুটি কোণে ABC ত্রিভুজের অনুরূপ।
একইভাবে, ত্রিভুজ CBH ABC-এর অনুরূপ। স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিয়ে

আমরা পেতে

কি সমতুল্য

এটা যোগ করা, আমরা পেতে

বা

এলাকা পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ

নীচের প্রমাণগুলি, তাদের আপাত সরলতা সত্ত্বেও, এত সহজ নয়। তারা সকলেই ক্ষেত্রফলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, যার প্রমাণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রমাণের চেয়ে জটিল।

সমতুল্যতার মাধ্যমে প্রমাণ

1. চিত্রে দেখানো চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজ রাখুন।
2. c বাহু বিশিষ্ট একটি চতুর্ভুজ একটি বর্গক্ষেত্র, যেহেতু দুটি তীব্র কোণের যোগফল 90° এবং সরল কোণটি 180°।
3. পুরো চিত্রটির ক্ষেত্রফল একদিকে, একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান (a + b), এবং অন্যদিকে, চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এবং ভিতরের বর্গক্ষেত্র।



Q.E.D.

সমতুলতার মাধ্যমে প্রমাণ

এরকম একটি প্রমাণের উদাহরণ ডানদিকের অঙ্কনে দেখানো হয়েছে, যেখানে কর্ণের উপর নির্মিত একটি বর্গক্ষেত্রকে পায়ে নির্মিত দুটি বর্গক্ষেত্রে পুনর্বিন্যাস করা হয়েছে।

ইউক্লিডের প্রমাণ

ইউক্লিডের প্রমাণের ধারণাটি নিম্নরূপ: আসুন প্রমাণ করার চেষ্টা করি যে কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান এবং তারপরে ক্ষেত্রফল বড় এবং দুটি ছোট বর্গ সমান। এর বাম দিকে অঙ্কন তাকান. এটিতে আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাশে বর্গক্ষেত্র তৈরি করেছি এবং কর্ণ AB-এর লম্ব কোণ C এর শীর্ষবিন্দু থেকে একটি রশ্মি s আঁকছি, এটি কর্ণের উপর নির্মিত বর্গাকার ABIK কে দুটি আয়তক্ষেত্রে কেটেছে - BHJI এবং HAKJ, যথাক্রমে দেখা যাচ্ছে যে এই আয়তক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি সংশ্লিষ্ট পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমান। আসুন প্রমাণ করার চেষ্টা করি যে DECA বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্র AHJK এর ক্ষেত্রফলের সমান। এটি করার জন্য, আমরা একটি সহায়ক পর্যবেক্ষণ ব্যবহার করব: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যার উচ্চতা এবং ভিত্তি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রটি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান। এটি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে ভিত্তি এবং উচ্চতার অর্ধেক গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার ফলাফল। এই পর্যবেক্ষণ থেকে এটি অনুসরণ করে যে ত্রিভুজ ACK এর ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ AHK এর ক্ষেত্রফলের সমান (চিত্রে দেখানো হয়নি), যা ঘুরে আয়তক্ষেত্র AHJK এর অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান। আসুন এখন প্রমাণ করি যে ত্রিভুজ ACK এর ক্ষেত্রফলও DECA বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান। এর জন্য যা করতে হবে তা হল ত্রিভুজ ACK এবং BDA এর সমতা প্রমাণ করা (যেহেতু ত্রিভুজ BDA এর ক্ষেত্রফল উপরের সম্পত্তি অনুসারে বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান)। এই সমতা সুস্পষ্ট, ত্রিভুজ উভয় পাশে সমান এবং তাদের মধ্যে কোণ। যথা - AB=AK,AD=AC - CAK এবং BAD কোণের সমতা গতির পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণ করা সহজ: আমরা CAK 90° ত্রিভুজটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরান, তাহলে এটি স্পষ্ট যে দুটি ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলি প্রশ্নটি মিলবে (বর্গক্ষেত্রের শীর্ষে কোণটি 90° হওয়ার কারণে)। বর্গাকার BCFG এবং আয়তক্ষেত্র BHJI এর ক্ষেত্রগুলির সমতার যুক্তি সম্পূর্ণভাবে একই রকম। এইভাবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রগুলির সমন্বয়ে গঠিত।

লিওনার্দো দা ভিঞ্চির প্রমাণ

প্রমাণের প্রধান উপাদানগুলি হল প্রতিসাম্য এবং গতি।

আসুন অঙ্কনটি বিবেচনা করা যাক, যেমন প্রতিসাম্য থেকে দেখা যায়, সেগমেন্ট CI বর্গাকার ABHJ কে দুটি অভিন্ন অংশে কাটে (যেহেতু ত্রিভুজ ABC এবং JHI নির্মাণে সমান)। একটি 90-ডিগ্রী ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন ব্যবহার করে, আমরা CAJI এবং GDAB ছায়াযুক্ত পরিসংখ্যানগুলির সমতা দেখতে পাই। এখন এটা পরিষ্কার যে আমরা যে চিত্রটি ছায়া দিয়েছি তার ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অন্যদিকে, এটি কর্ণের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল এবং মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান। প্রমাণের শেষ ধাপটি পাঠকের উপর ছেড়ে দেওয়া হয়েছে।