কিভাবে সঠিকভাবে রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা যায়। রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময় যে বিষয়গুলো মনে রাখতে হবে

এই ভিডিওতে আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সম্পূর্ণ সেট বিশ্লেষণ করব যা একই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সমাধান করা হয় - এজন্যই তাদের সবচেয়ে সহজ বলা হয়।

প্রথমে, আসুন সংজ্ঞায়িত করা যাক: একটি রৈখিক সমীকরণ কী এবং কোনটিকে সবচেয়ে সহজ বলা হয়?

একটি রৈখিক সমীকরণ হল একটি যেখানে শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল এবং শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রী পর্যন্ত।

সবচেয়ে সহজ সমীকরণ মানে নির্মাণ:

অন্যান্য সমস্ত রৈখিক সমীকরণ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সহজে হ্রাস করা হয়েছে:

1. প্রসারিত বন্ধনী, যদি থাকে;
2. একটি ভেরিয়েবল সমন্বিত পদগুলিকে সমান চিহ্নের একপাশে এবং একটি পরিবর্তনশীল ছাড়া পদগুলিকে অন্য দিকে সরান;
3. সমান চিহ্নের বাম এবং ডানে অনুরূপ পদ দিন;
4. $x$ ভেরিয়েবলের সহগ দ্বারা ফলিত সমীকরণটি ভাগ করুন।

অবশ্যই, এই অ্যালগরিদম সবসময় সাহায্য করে না। সত্য যে কখনও কখনও এই সমস্ত কৌশলের পরে ভেরিয়েবলের সহগ $x$ শূন্যের সমান হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, দুটি বিকল্প সম্ভব:

1. সমীকরণের কোনো সমাধান নেই। উদাহরণস্বরূপ, যখন $0\cdot x=8$ এর মতো কিছু দেখা যায়, যেমন বাম দিকে শূন্য, এবং ডানদিকে শূন্য ছাড়া অন্য একটি সংখ্যা। নীচের ভিডিওতে আমরা এই পরিস্থিতির সম্ভাব্য কয়েকটি কারণ দেখব।
2. সমাধান হল সব সংখ্যা। একমাত্র ক্ষেত্রে যখন এটি সম্ভব হয় যখন সমীকরণটি নির্মাণ $0\cdot x=0$ এ হ্রাস করা হয়। এটা বেশ যৌক্তিক যে $x$ আমরা যা কিছু প্রতিস্থাপন করি না কেন, এটি এখনও পরিণত হবে "শূন্য শূন্যের সমান", অর্থাৎ সঠিক সংখ্যাগত সমতা।

এখন দেখা যাক কিভাবে বাস্তব জীবনের উদাহরণ ব্যবহার করে এই সব কাজ করে।

সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

আজ আমরা রৈখিক সমীকরণ নিয়ে কাজ করছি, এবং শুধুমাত্র সবচেয়ে সহজ। সাধারণভাবে, একটি রৈখিক সমীকরণ মানে যে কোনো সমতা যা ঠিক একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করে, এবং এটি শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রিতে যায়।

এই ধরনের নির্মাণগুলি প্রায় একই ভাবে সমাধান করা হয়:

1. প্রথমত, আপনাকে বন্ধনীগুলি প্রসারিত করতে হবে, যদি কোন থাকে (আমাদের শেষ উদাহরণের মতো);
2. তারপর অনুরূপ একত্রিত
3. অবশেষে, ভেরিয়েবলকে আলাদা করুন, যেমন ভেরিয়েবলের সাথে সংযুক্ত সবকিছু-এটি যে পদে রয়েছে—একদিকে সরান এবং এটি ছাড়া বাকি থাকা সমস্ত কিছুকে অন্য দিকে সরান।

তারপরে, একটি নিয়ম হিসাবে, আপনাকে ফলস্বরূপ সমতার প্রতিটি পাশে একই রকম দিতে হবে এবং এর পরে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল "x" এর সহগ দ্বারা ভাগ করা, এবং আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাব।

তাত্ত্বিকভাবে, এটি দেখতে সুন্দর এবং সহজ, কিন্তু বাস্তবে, এমনকি অভিজ্ঞ উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরাও মোটামুটি সহজ রৈখিক সমীকরণে আপত্তিকর ভুল করতে পারে। সাধারণত, বন্ধনী খোলার সময় বা "প্লাস" এবং "মাইনাস" গণনা করার সময় ত্রুটিগুলি করা হয়।

উপরন্তু, এটি ঘটে যে একটি রৈখিক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই, বা সমাধানটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখা, যেমন যেকোনো সংখ্যা। আমরা আজকের পাঠে এই সূক্ষ্মতাগুলি দেখব। তবে আমরা শুরু করব, যেমন আপনি ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছেন, খুব দিয়ে সহজ কাজ.

সরল রৈখিক সমীকরণ সমাধানের স্কিম

প্রথমে, আমাকে আবার সহজ রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য সম্পূর্ণ স্কিমটি লিখতে দিন:

1. বন্ধনী প্রসারিত করুন, যদি থাকে।
2. আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে বিচ্ছিন্ন করি, যেমন আমরা "X's" ধারণ করা সমস্ত কিছু একপাশে এবং "X's" ব্যতীত সমস্ত কিছু অন্য দিকে সরিয়ে দিই।
3. আমরা অনুরূপ শর্তাবলী উপস্থাপন.
4. আমরা "x" এর সহগ দ্বারা সবকিছু ভাগ করি।

অবশ্যই, এই স্কিমটি সর্বদা কাজ করে না; এতে কিছু সূক্ষ্মতা এবং কৌশল রয়েছে এবং এখন আমরা সেগুলি জানতে পারব।

সরল রৈখিক সমীকরণের বাস্তব উদাহরণ সমাধান করা

টাস্ক নং 1

প্রথম ধাপে আমাদের বন্ধনী খুলতে হবে। কিন্তু তারা এই উদাহরণে নেই, তাই আমরা এই ধাপটি এড়িয়ে যাই। দ্বিতীয় ধাপে আমাদের ভেরিয়েবলগুলোকে আলাদা করতে হবে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: আমরা শুধুমাত্র পৃথক পদ সম্পর্কে কথা বলছি। আসুন এটি লিখুন:

আমরা বাম এবং ডানে একই পদ উপস্থাপন করি, কিন্তু এটি ইতিমধ্যেই এখানে করা হয়েছে। অতএব, আমরা চতুর্থ ধাপে এগিয়ে যাই: সহগ দ্বারা ভাগ করুন:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

তাই আমরা উত্তর পেয়েছি।

টাস্ক নং 2

আমরা এই সমস্যায় বন্ধনী দেখতে পাচ্ছি, তাই আসুন সেগুলি প্রসারিত করি:

বাম এবং ডান উভয় দিকেই আমরা প্রায় একই ডিজাইন দেখতে পাই, তবে আসুন অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি, যেমন ভেরিয়েবল আলাদা করা:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

কি শিকড় এই কাজ করে? উত্তরঃ যে কোন জন্য। অতএব, আমরা লিখতে পারি যে $x$ যেকোনো সংখ্যা।

টাস্ক নং 3

তৃতীয় রৈখিক সমীকরণটি আরও আকর্ষণীয়:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

এখানে বেশ কয়েকটি বন্ধনী রয়েছে, তবে সেগুলিকে কোনও কিছু দ্বারা গুণ করা হয় না, সেগুলি কেবল বিভিন্ন চিহ্ন দ্বারা পূর্বে থাকে। আসুন সেগুলি ভেঙে ফেলি:

আমরা ইতিমধ্যে আমাদের কাছে পরিচিত দ্বিতীয় ধাপটি সম্পাদন করি:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

আসুন গণিত করি:

আমরা শেষ ধাপটি সম্পাদন করি - "x" এর সহগ দ্বারা সবকিছু ভাগ করুন:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময় যে বিষয়গুলো মনে রাখতে হবে

যদি আমরা খুব সাধারণ কাজগুলি উপেক্ষা করি, আমি নিম্নলিখিতগুলি বলতে চাই:

• আমি উপরে বলেছি, প্রতিটি রৈখিক সমীকরণের একটি সমাধান থাকে না - কখনও কখনও কেবলমাত্র কোনও শিকড় থাকে না;
• শিকড় থাকলেও তাদের মধ্যে শূন্য থাকতে পারে - এতে দোষের কিছু নেই।

শূন্য হল অন্যদের মতো একই সংখ্যা; আপনার এটির সাথে কোনোভাবেই বৈষম্য করা উচিত নয় বা ধরে নেওয়া উচিত নয় যে আপনি যদি শূন্য পান, তাহলে আপনি কিছু ভুল করেছেন।

আরেকটি বৈশিষ্ট্য বন্ধনী খোলার সাথে সম্পর্কিত। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: যখন তাদের সামনে একটি "বিয়োগ" থাকে, আমরা এটি সরিয়ে ফেলি, কিন্তু বন্ধনীতে আমরা চিহ্নগুলিকে পরিবর্তন করি বিপরীত. এবং তারপরে আমরা স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এটি খুলতে পারি: আমরা উপরের গণনায় যা দেখেছি তা পাব।

এই সাধারণ সত্যটি বোঝা আপনাকে হাই স্কুলে মূর্খ এবং ক্ষতিকারক ভুলগুলি করা এড়াতে সাহায্য করবে, যখন এই ধরনের জিনিসগুলিকে মঞ্জুর করা হয়।

জটিল রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

চলুন আরও জটিল সমীকরণে যাওয়া যাক। এখন নির্মাণগুলি আরও জটিল হয়ে উঠবে এবং বিভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করার সময় একটি চতুর্মুখী ফাংশন প্রদর্শিত হবে। যাইহোক, আমাদের এটিকে ভয় করা উচিত নয়, কারণ যদি, লেখকের পরিকল্পনা অনুসারে, আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করি, তবে রূপান্তর প্রক্রিয়া চলাকালীন একটি দ্বিঘাত ফাংশন ধারণকারী সমস্ত মনোমিয়াল অবশ্যই বাতিল হয়ে যাবে।

উদাহরণ নং 1

স্পষ্টতই, প্রথম ধাপ হল বন্ধনী খোলা। আসুন এটি খুব সাবধানে করি:

এখন গোপনীয়তার দিকে নজর দেওয়া যাক:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

স্পষ্টতই, এই সমীকরণের কোন সমাধান নেই, তাই আমরা উত্তরে এটি লিখব:

\[\varnothing\]

বা কোন শিকড় আছে.

উদাহরণ নং 2

আমরা একই কর্ম সঞ্চালন. প্রথম ধাপ:

চলুন একটি ভেরিয়েবল সহ সবকিছু বাম দিকে সরানো যাক, এবং এটি ছাড়া - ডানদিকে:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

স্পষ্টতই, এই রৈখিক সমীকরণের কোনও সমাধান নেই, তাই আমরা এটিকে এভাবে লিখব:

\[\varnothing\],

বা কোন শিকড় আছে.

সমাধানের সূক্ষ্মতা

উভয় সমীকরণ সম্পূর্ণরূপে সমাধান করা হয়. একটি উদাহরণ হিসাবে এই দুটি অভিব্যক্তি ব্যবহার করে, আমরা আবারও নিশ্চিত হয়েছি যে এমনকি সহজ রৈখিক সমীকরণেও, সবকিছু এত সহজ নাও হতে পারে: একটি, বা কোনটি, বা অসীমভাবে অনেকগুলি মূল থাকতে পারে। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা দুটি সমীকরণ বিবেচনা করেছি, উভয়েরই কোনো শিকড় নেই।

তবে আমি অন্য একটি সত্যের প্রতি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই: বন্ধনীগুলির সাথে কীভাবে কাজ করবেন এবং তাদের সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকলে কীভাবে সেগুলি খুলবেন। এই অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন:

খোলার আগে, আপনাকে "X" দ্বারা সবকিছু গুণ করতে হবে। অনুগ্রহ করে নোট করুন: গুণিত হয় প্রতিটি পৃথক পদ. ভিতরে দুটি পদ আছে - যথাক্রমে, দুটি পদ এবং গুণিত।

এবং শুধুমাত্র এই আপাতদৃষ্টিতে প্রাথমিক, কিন্তু খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং বিপজ্জনক রূপান্তরগুলি সম্পন্ন হওয়ার পরে, আপনি কি এই দৃষ্টিকোণ থেকে বন্ধনীটি খুলতে পারেন যে এর পরে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে। হ্যাঁ, হ্যাঁ: শুধুমাত্র এখন, যখন রূপান্তরগুলি সম্পন্ন হয়, আমরা মনে রাখি যে বন্ধনীগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, যার অর্থ নীচের সমস্ত কিছু কেবল চিহ্নগুলিকে পরিবর্তন করে। একই সময়ে, বন্ধনীগুলি নিজেই অদৃশ্য হয়ে যায় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, সামনের "মাইনাস" অদৃশ্য হয়ে যায়।

আমরা দ্বিতীয় সমীকরণের সাথে একই কাজ করি:

এটা দৈবক্রমে নয় যে আমি এই ছোট, আপাতদৃষ্টিতে তুচ্ছ ঘটনাগুলিতে মনোযোগ দিই। কারণ সমীকরণগুলি সমাধান করা সর্বদা প্রাথমিক রূপান্তরের একটি ক্রম, যেখানে স্পষ্টভাবে এবং দক্ষতার সাথে সাধারণ ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করতে অক্ষমতা এই সত্যের দিকে পরিচালিত করে যে উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা আমার কাছে আসে এবং আবার এই জাতীয় সহজ সমীকরণগুলি সমাধান করতে শেখে।

অবশ্যই, এমন দিন আসবে যখন আপনি এই দক্ষতাগুলিকে স্বয়ংক্রিয়তার পর্যায়ে নিয়ে যাবেন। আপনাকে আর প্রতিবার এতগুলি রূপান্তর করতে হবে না; আপনি এক লাইনে সবকিছু লিখবেন। কিন্তু আপনি যখন শিখছেন, তখন আপনাকে প্রতিটি কাজ আলাদাভাবে লিখতে হবে।

আরও জটিল রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

আমরা এখন যা সমাধান করতে যাচ্ছি তা খুব কমই সহজ কাজ বলা যেতে পারে, তবে অর্থ একই থাকে।

টাস্ক নং 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

প্রথম অংশের সমস্ত উপাদানকে গুন করা যাক:

আসুন কিছু গোপনীয়তা করি:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

চলুন শেষ ধাপটি সম্পূর্ণ করি:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

এখানে আমাদের চূড়ান্ত উত্তর. এবং, সমাধানের প্রক্রিয়ায় আমাদের একটি দ্বিঘাত ফাংশন সহ সহগ থাকা সত্ত্বেও, তারা একে অপরকে বাতিল করে দেয়, যা সমীকরণটিকে রৈখিক করে এবং দ্বিঘাত নয়।

টাস্ক নং 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

আসুন সাবধানে প্রথম ধাপটি সম্পাদন করি: প্রথম বন্ধনী থেকে প্রতিটি উপাদানকে দ্বিতীয় থেকে প্রতিটি উপাদান দ্বারা গুণ করুন। রূপান্তরের পরে মোট চারটি নতুন পদ থাকা উচিত:

এখন আসুন প্রতিটি পদে গুণনটি যত্ন সহকারে সম্পাদন করি:

চলুন "X" সহ পদগুলিকে বাম দিকে সরানো যাক, এবং যাদের ছাড়া - ডানদিকে:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

এখানে অনুরূপ পদ আছে:

আবারও আমরা চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি।

সমাধানের সূক্ষ্মতা

এই দুটি সমীকরণ সম্পর্কে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নোট হল নিম্নোক্ত: যত তাড়াতাড়ি আমরা একাধিক পদ ধারণ করে এমন বন্ধনীকে গুণ করা শুরু করি, এটি নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে করা হয়: আমরা প্রথম থেকে প্রথম পদটি গ্রহণ করি এবং প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করি দ্বিতীয়; তারপর আমরা প্রথম থেকে দ্বিতীয় উপাদানটি গ্রহণ করি এবং একইভাবে দ্বিতীয় থেকে প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করি। ফলস্বরূপ, আমাদের চারটি পদ থাকবে।

বীজগণিতের যোগফল সম্পর্কে

এই শেষ উদাহরণ দিয়ে, আমি শিক্ষার্থীদের মনে করিয়ে দিতে চাই যে বীজগণিতের যোগফল কী। শাস্ত্রীয় গণিতে, $1-7$ দ্বারা আমরা একটি সাধারণ নির্মাণকে বোঝায়: একটি থেকে সাতটি বিয়োগ করুন। বীজগণিতে, আমরা এর দ্বারা নিম্নলিখিতগুলি বোঝাতে চাই: "এক" সংখ্যার সাথে আমরা আরেকটি সংখ্যা যোগ করি, যথা "বিয়োগ সাত"। এইভাবে একটি বীজগণিতের যোগফল একটি সাধারণ গাণিতিক যোগফল থেকে পৃথক হয়।

যত তাড়াতাড়ি, সমস্ত রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, প্রতিটি সংযোজন এবং গুণন, আপনি উপরে বর্ণিতগুলির অনুরূপ নির্মাণগুলি দেখতে শুরু করেন, বহুপদ এবং সমীকরণগুলির সাথে কাজ করার সময় আপনার বীজগণিতে কোনও সমস্যা হবে না।

পরিশেষে, আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ দেখি যা আমরা যেগুলি দেখেছি তার চেয়ে আরও জটিল হবে এবং সেগুলি সমাধান করার জন্য আমাদের স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদমকে কিছুটা প্রসারিত করতে হবে।

ভগ্নাংশ দিয়ে সমীকরণ সমাধান করা

এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করার জন্য, আমাদের অ্যালগরিদমে আরও একটি ধাপ যুক্ত করতে হবে। কিন্তু প্রথমে, আমি আপনাকে আমাদের অ্যালগরিদমের কথা মনে করিয়ে দিই:

1. বন্ধনী খুলতে.
2. পৃথক ভেরিয়েবল.
3. অনুরূপ বেশী আনুন.
4. অনুপাত দিয়ে ভাগ করুন।

হায়, এই বিস্ময়কর অ্যালগরিদম, এর সমস্ত কার্যকারিতার জন্য, যখন আমাদের সামনে ভগ্নাংশ থাকে তখন এটি সম্পূর্ণরূপে উপযুক্ত নয়। এবং আমরা নীচে যা দেখব, উভয় সমীকরণে আমাদের বাম এবং ডান উভয় দিকে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে কীভাবে কাজ করবেন? হ্যাঁ, এটা খুব সহজ! এটি করার জন্য, আপনাকে অ্যালগরিদমে আরও একটি ধাপ যুক্ত করতে হবে, যা প্রথম কর্মের আগে এবং পরে উভয়ই করা যেতে পারে, যেমন, ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়া। তাই অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হবে:

1. ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পান.
2. বন্ধনী খুলতে.
3. পৃথক ভেরিয়েবল.
4. অনুরূপ বেশী আনুন.
5. অনুপাত দিয়ে ভাগ করুন।

"ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে" এর অর্থ কী? এবং কেন এটি প্রথম স্ট্যান্ডার্ড ধাপের পরে এবং আগে উভয়ই করা যেতে পারে? আসলে, আমাদের ক্ষেত্রে, সমস্ত ভগ্নাংশ তাদের হর-এ সংখ্যাসূচক, অর্থাৎ সর্বত্র হর একটি সংখ্যা মাত্র। অতএব, যদি আমরা এই সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করি তবে আমরা ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাব।

উদাহরণ নং 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=(x)^(2))-1\]

আসুন এই সমীকরণের ভগ্নাংশগুলি থেকে পরিত্রাণ করি:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

দয়া করে মনে রাখবেন: সবকিছুকে একবার "চার" দ্বারা গুণ করা হয়, যেমন আপনার দুটি বন্ধনী থাকার অর্থ এই নয় যে আপনাকে প্রতিটিকে "চার" দ্বারা গুণ করতে হবে। আসুন লিখুন:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

এখন প্রসারিত করা যাক:

আমরা পরিবর্তনশীলকে আলাদা করি:

আমরা অনুরূপ পদের হ্রাস সম্পাদন করি:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

আমরা পেয়েছি চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত, এবার দ্বিতীয় সমীকরণে যাওয়া যাক।

উদাহরণ নং 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2)=1\]

এখানে আমরা সমস্ত একই ক্রিয়া সম্পাদন করি:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

সমস্যাটি সমাধানকৃত.

যে, আসলে, আজ আমি আপনাকে বলতে চেয়েছিলাম.

গুরুত্বপূর্ণ দিক

মূল অনুসন্ধানগুলি হল:

• রৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম জানুন।
• বন্ধনী খোলার ক্ষমতা।
• দেখলে চিন্তা করবেন না দ্বিঘাত ফাংশন, সম্ভবত, আরও রূপান্তরের প্রক্রিয়াতে তারা হ্রাস পাবে।
• রৈখিক সমীকরণে তিন ধরনের শিকড় রয়েছে, এমনকি সহজতমগুলিও: একটি একক মূল, সম্পূর্ণ সংখ্যারেখাটি একটি মূল, এবং কোনও শিকড় নেই।

আমি আশা করি এই পাঠটি আপনাকে সমস্ত গণিতের আরও বোঝার জন্য একটি সহজ, কিন্তু অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয় আয়ত্ত করতে সাহায্য করবে। যদি কিছু পরিষ্কার না হয়, সাইটে যান এবং সেখানে উপস্থাপিত উদাহরণগুলি সমাধান করুন। সাথে থাকুন, আরও অনেক আকর্ষণীয় জিনিস আপনার জন্য অপেক্ষা করছে!

রৈখিক সমীকরণ. সমাধান, উদাহরণ।

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

রৈখিক সমীকরণ.

রৈখিক সমীকরণ- স্কুলের গণিতের সবচেয়ে কঠিন বিষয় নয়। কিন্তু সেখানে কিছু কৌশল আছে যা একজন প্রশিক্ষিত ছাত্রকেও ধাঁধায় ফেলতে পারে। আসুন এটি বের করা যাক?)

সাধারণত একটি রৈখিক সমীকরণ ফর্মের একটি সমীকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

কুঠার + খ = 0 কোথায় a এবং b- যেকোনো সংখ্যা।

2x + 7 = 0. এখানে a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 এখানে a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 এখানে a=12, b=1/2

কিছুই জটিল, তাই না? বিশেষ করে যদি আপনি শব্দগুলি লক্ষ্য না করেন: "যেখানে a এবং b কোন সংখ্যা"... এবং আপনি যদি লক্ষ্য করেন এবং অসতর্কভাবে এটি সম্পর্কে চিন্তা করেন?) সব পরে, যদি a=0, b=0(কোন সংখ্যা সম্ভব?), তারপর আমরা একটি মজার অভিব্যক্তি পেতে পারি:

কিন্তু এখানেই শেষ নয়! যদি বলি, a=0,ক b=5,এটি সম্পূর্ণরূপে সাধারণের বাইরে কিছু হতে দেখা যাচ্ছে:

যা বিরক্তিকর এবং গণিতের প্রতি আস্থা নষ্ট করে, হ্যাঁ...) বিশেষ করে পরীক্ষার সময়। কিন্তু এই অদ্ভুত অভিব্যক্তিগুলির মধ্যেও আপনাকে এক্স খুঁজে বের করতে হবে! যার কোনো অস্তিত্বই নেই। এবং, আশ্চর্যজনকভাবে, এই এক্স খুঁজে পাওয়া খুব সহজ। আমরা এটা করতে শিখব. এই পাঠে।

কিভাবে একটি রৈখিক সমীকরণ তার চেহারা দ্বারা চিনতে? এটা কি নির্ভর করে চেহারা.) কৌশলটি হল যে শুধুমাত্র ফর্মের সমীকরণগুলিকে রৈখিক সমীকরণ বলা হয় না কুঠার + খ = 0 , কিন্তু কোনো সমীকরণ যা রূপান্তর এবং সরলীকরণের মাধ্যমে এই ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে। এবং এটি নেমে আসে কি না কে জানে?)

একটি রৈখিক সমীকরণ কিছু ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে স্বীকৃত হতে পারে। ধরা যাক, যদি আমাদের একটি সমীকরণ থাকে যেখানে শুধুমাত্র প্রথম ডিগ্রি এবং সংখ্যার অজানা থাকে। এবং সমীকরণে নেই ভগ্নাংশ দ্বারা বিভক্ত অজানা , এটা গুরুত্বপূর্ণ! এবং দ্বারা বিভাজন সংখ্যাঅথবা একটি সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশ - এটা স্বাগত! উদাহরণ স্বরূপ:

এটি একটি রৈখিক সমীকরণ। এখানে ভগ্নাংশ আছে, কিন্তু বর্গক্ষেত্র, কিউব ইত্যাদিতে কোনো x নেই এবং হরগুলিতে x নেই, যেমন না x দ্বারা বিভাজন. এবং এখানে সমীকরণ

রৈখিক বলা যাবে না। এখানে এক্স এর সব প্রথম ডিগ্রী আছে, কিন্তু আছে x দিয়ে রাশি দ্বারা বিভাজন. সরলীকরণ এবং রূপান্তরের পরে, আপনি একটি রৈখিক সমীকরণ, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ বা আপনার পছন্দের যেকোনো কিছু পেতে পারেন।

এটি দেখা যাচ্ছে যে কিছু জটিল উদাহরণে রৈখিক সমীকরণটি সনাক্ত করা অসম্ভব যতক্ষণ না আপনি এটি প্রায় সমাধান করেন। এটা বিরক্তিকর. কিন্তু অ্যাসাইনমেন্টে, একটি নিয়ম হিসাবে, তারা সমীকরণের ফর্ম সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে না, তাই না? অ্যাসাইনমেন্টগুলি সমীকরণের জন্য জিজ্ঞাসা করে সিদ্ধান্তএটি আমাকে খুশি করে.)

রৈখিক সমীকরণ সমাধান করা। উদাহরণ।

রৈখিক সমীকরণের সম্পূর্ণ সমাধান সমীকরণের অভিন্ন রূপান্তর নিয়ে গঠিত। যাইহোক, এই রূপান্তরগুলি (তাদের মধ্যে দুটি!) সমাধানগুলির ভিত্তি গণিতের সমস্ত সমীকরণ।অন্য কথায়, সমাধান যেকোনোসমীকরণ এই খুব রূপান্তর সঙ্গে শুরু হয়. রৈখিক সমীকরণের ক্ষেত্রে, এটি (সমাধান) এই রূপান্তরের উপর ভিত্তি করে এবং একটি পূর্ণ উত্তর দিয়ে শেষ হয়। লিঙ্কটি অনুসরণ করা বোধগম্য, তাই না?) তাছাড়া, সেখানে রৈখিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণও রয়েছে।

প্রথমত, আসুন সবচেয়ে সহজ উদাহরণটি দেখি। কোনো অসুবিধা ছাড়াই। ধরুন আমাদের এই সমীকরণটি সমাধান করতে হবে।

x - 3 = 2 - 4x

এটি একটি রৈখিক সমীকরণ। X-এর সমস্তই প্রথম শক্তিতে, X-এর দ্বারা কোনও বিভাজন নেই। কিন্তু, প্রকৃতপক্ষে, এটি কোন ধরনের সমীকরণ তা আমাদের কাছে বিবেচ্য নয়। আমরা এটা সমাধান করতে হবে. এখানে স্কিম সহজ. সমীকরণের বাম দিকে X-এর সাথে সবকিছু সংগ্রহ করুন, ডানদিকে X-এর (সংখ্যা) ছাড়া সবকিছু।

এটি করার জন্য আপনাকে স্থানান্তর করতে হবে - 4x ইন বাম পাশে, চিহ্নের পরিবর্তন সহ, অবশ্যই, এবং - 3 - ডানদিকে. উপায় দ্বারা, এই হয় সমীকরণের প্রথম অভিন্ন রূপান্তর।বিস্মিত? এর মানে হল যে আপনি লিঙ্কটি অনুসরণ করেননি, কিন্তু নিরর্থক...) আমরা পাই:

x + 4x = 2 + 3

এখানে অনুরূপ আছে, আমরা বিবেচনা করি:

সম্পূর্ণ সুখের জন্য আমাদের কী দরকার? হ্যাঁ, যাতে বাম দিকে একটি বিশুদ্ধ এক্স আছে! পাঁচটি পথে আছে। পাঁচজনের সাহায্যে মুক্তি পাওয়া সমীকরণের দ্বিতীয় অভিন্ন রূপান্তর।যথা, আমরা সমীকরণের উভয় দিককে 5 দ্বারা ভাগ করি। আমরা একটি প্রস্তুত উত্তর পাই:

একটি প্রাথমিক উদাহরণ, অবশ্যই। এটি ওয়ার্মিং আপের জন্য।) এটি খুব স্পষ্ট নয় কেন আমি এখানে অভিন্ন রূপান্তরগুলি মনে রেখেছি? ঠিক আছে. আসুন শিং দ্বারা ষাঁড়টি নেওয়া যাক।) আসুন আরও কঠিন কিছু সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক।

উদাহরণস্বরূপ, এখানে সমীকরণ:

আমরা কোথায় শুরু করব? X এর সাথে - বাম দিকে, X ছাড়া - ডানে? তাই হতে পারে. লম্বা রাস্তা ধরে ছোট ছোট ধাপ। অথবা আপনি অবিলম্বে করতে পারেন, সর্বজনীনভাবে এবং একটি শক্তিশালী উপায়ে. যদি, অবশ্যই, আপনার অস্ত্রাগারে সমীকরণের অভিন্ন রূপান্তর থাকে।

আমি আপনাকে একটি মূল প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি: আপনি এই সমীকরণ সম্পর্কে সবচেয়ে অপছন্দ কি?

100 জনের মধ্যে 95 জন উত্তর দেবে: ভগ্নাংশ ! উত্তরটি সঠিক। সুতরাং আসুন তাদের পরিত্রাণ পেতে. অতএব, আমরা সঙ্গে সঙ্গে শুরু দ্বিতীয় পরিচয় রূপান্তর. বাম দিকের ভগ্নাংশটিকে কী দ্বারা গুণ করতে হবে যাতে হর সম্পূর্ণরূপে হ্রাস পায়? এটা ঠিক, 3 এ. এবং ডানদিকে? 4 দ্বারা। কিন্তু গণিত আমাদের উভয় পক্ষকে দ্বারা গুণ করতে দেয় একই সংখ্যা. আমরা কিভাবে বের হতে পারি? এর উভয় পক্ষকে 12 দ্বারা গুণ করা যাক! সেগুলো. একটি সাধারণ হরকে। তাহলে তিনটি এবং চারটি উভয়ই কমে যাবে। ভুলে যাবেন না যে আপনাকে প্রতিটি অংশকে গুণ করতে হবে সম্পূর্ণরূপে. প্রথম ধাপটি কেমন দেখায় তা এখানে:

বন্ধনী প্রসারিত করা হচ্ছে:

বিঃদ্রঃ! অংক (x+2)আমি বন্ধনী এটা করা! এর কারণ হল ভগ্নাংশকে গুণ করার সময়, সম্পূর্ণ লব গুণ করা হয়! এখন আপনি ভগ্নাংশ কমাতে পারেন:

অবশিষ্ট বন্ধনী প্রসারিত করুন:

একটি উদাহরণ নয়, কিন্তু বিশুদ্ধ আনন্দ!) এখন থেকে বানান মনে রাখা যাক জুনিয়র ক্লাস: একটি X সহ - বাম দিকে, একটি X ছাড়া - ডানে!এবং এই রূপান্তরটি প্রয়োগ করুন:

এখানে কিছু অনুরূপ আছে:

এবং উভয় অংশকে 25 দ্বারা ভাগ করুন, অর্থাৎ দ্বিতীয় রূপান্তর আবার প্রয়োগ করুন:

এখানেই শেষ. উত্তর: এক্স=0,16

দয়া করে মনে রাখবেন: মূল বিভ্রান্তিকর সমীকরণটিকে একটি সুন্দর আকারে আনতে, আমরা দুটি ব্যবহার করেছি (শুধু দুটি!) পরিচয় রূপান্তর- একই সংখ্যা দ্বারা একটি সমীকরণের চিহ্ন এবং গুণ-ভাগের পরিবর্তন সহ বাম-ডানে অনুবাদ। এটি একটি সর্বজনীন পদ্ধতি! সাথে আমরা এই ভাবে কাজ করব যেকোনো সমীকরণ! একেবারে যে কেউ. এই কারণেই আমি ক্লান্তিকরভাবে এই অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পর্কে সব সময় পুনরাবৃত্তি করি।)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, রৈখিক সমীকরণ সমাধানের নীতিটি সহজ। আমরা সমীকরণটি গ্রহণ করি এবং উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত অভিন্ন রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে সরলীকরণ করি। এখানে মূল সমস্যাগুলি গণনায়, সমাধানের নীতিতে নয়।

কিন্তু... সবচেয়ে প্রাথমিক রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়ায় এমন চমক রয়েছে যেগুলি আপনাকে একটি শক্তিশালী মূর্খের দিকে চালিত করতে পারে...) সৌভাগ্যবশত, এই ধরনের বিস্ময় মাত্র দুটি হতে পারে। আসুন তাদের বিশেষ ক্ষেত্রে বলা যাক।

রৈখিক সমীকরণ সমাধানে বিশেষ ক্ষেত্রে।

প্রথম চমক।

ধরুন আপনি একটি খুব মৌলিক সমীকরণ জুড়ে এসেছেন, যেমন:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

সামান্য বিরক্ত, আমরা এটিকে একটি X দিয়ে বাম দিকে, একটি X ছাড়াই - ডানদিকে নিয়ে যাই... চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে, সবকিছুই নিখুঁত... আমরা পাই:

2x-5x+3x=5-2-3

আমরা গণনা করি, এবং... উফ!!! আমরা পেতে:

এই সমতা নিজেই আপত্তিকর নয়। জিরো আসলেই শূন্য। কিন্তু এক্স অনুপস্থিত! এবং আমাদের অবশ্যই উত্তরে লিখতে হবে, x এর সমান কি?অন্যথায়, সমাধান গণনা করা হয় না, ঠিক...) অচলাবস্থা?

শান্ত! এই ধরনের সন্দেহজনক ক্ষেত্রে, সবচেয়ে সাধারণ নিয়ম আপনাকে রক্ষা করবে। কিভাবে সমীকরণ সমাধান? একটি সমীকরণ সমাধান করার মানে কি? এর মানে, x এর সমস্ত মান খুঁজুন যা প্রতিস্থাপিত হলে মূল সমীকরণ, আমাদের প্রকৃত সমতা দেবে।

কিন্তু আমাদের প্রকৃত সমতা আছে ইতিমধ্যেঘটেছিলো! 0=0, কতটা সঠিক?! এটা কি x এর এই ঘটবে তা বের করা অবশেষ। X এর কোন মানগুলিকে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে মূলসমীকরণ যদি এই x এর তারা কি এখনও শূন্যে হ্রাস পাবে?চলে আসো?)

হ্যাঁ!!! X এর প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে কোনো!আপনি কোনটি চান? কমপক্ষে 5, কমপক্ষে 0.05, কমপক্ষে -220। তারা এখনও সঙ্কুচিত হবে. আপনি যদি আমাকে বিশ্বাস না করেন তবে আপনি এটি পরীক্ষা করতে পারেন।) X-এর যেকোনো মান প্রতিস্থাপন করুন মূলসমীকরণ এবং গণনা। সব সময় আপনি বিশুদ্ধ সত্য পাবেন: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ইত্যাদি।

এখানে আপনার উত্তর: x - যেকোনো সংখ্যা।

উত্তর বিভিন্ন গাণিতিক প্রতীকে লেখা যেতে পারে, সারমর্ম পরিবর্তন হয় না। এটি একটি সম্পূর্ণ সঠিক এবং সম্পূর্ণ উত্তর।

দ্বিতীয় চমক।

আসুন একই প্রাথমিক রৈখিক সমীকরণ গ্রহণ করি এবং এটিতে একটি সংখ্যা পরিবর্তন করি। এই আমরা কি সিদ্ধান্ত নেব:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

একই অভিন্ন রূপান্তরের পরে, আমরা কিছু আকর্ষণীয় পেতে পারি:

এটার মত. আমরা একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করেছি এবং একটি অদ্ভুত সমতা পেয়েছি। কথা বলছি গাণিতিক ভাষা, আমরা পেয়েছি মিথ্যা সমতা।এবং কথা বলছি সহজ ভাষায়, এই সত্য নয়. রেভ কিন্তু তবুও, এই বাজে কথাটি সমীকরণের সঠিক সমাধানের জন্য একটি খুব ভাল কারণ।)

আবার আমরা উপর ভিত্তি করে চিন্তা সপ্তাহের দিন. মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হলে x এর কী হবে, তা আমাদের দেবে সত্যসমতা? হ্যাঁ, কোনটাই! এরকম কোন এক্স নেই। আপনি যাই রাখুন না কেন, সবকিছু কমে যাবে, শুধু বাজে কথাই থাকবে।)

এখানে আপনার উত্তর: কোন সমাধান আছে.

এটিও একটি সম্পূর্ণ সম্পূর্ণ উত্তর। গণিতে, এই ধরনের উত্তর প্রায়ই পাওয়া যায়।

এটার মত. এখন, আমি আশা করি, কোনো (শুধু রৈখিক নয়) সমীকরণ সমাধানের প্রক্রিয়ায় X-এর অদৃশ্য হওয়া আপনাকে বিভ্রান্ত করবে না। এটি ইতিমধ্যে একটি পরিচিত বিষয়।)

এখন যেহেতু আমরা রৈখিক সমীকরণে সমস্ত ত্রুটিগুলি মোকাবেলা করেছি, সেগুলি সমাধান করা বোধগম্য।

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

এই পাঠে আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের পদ্ধতিগুলি দেখব। উচ্চতর গণিতের একটি কোর্সে, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলিকে পৃথক কাজের আকারে সমাধান করা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, "ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন" এবং অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি উচ্চতর গণিতের প্রায় সমস্ত শাখায় মোকাবেলা করতে হয়।

প্রথমত, একটু তত্ত্ব। কি ভেতরে এক্ষেত্রেগাণিতিক শব্দ "রৈখিক" জন্য দাঁড়িয়েছে? এর মানে হল সিস্টেমের সমীকরণ সবভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত প্রথম ডিগ্রিতে: কোনো অভিনব জিনিস ছাড়া ইত্যাদি, যা শুধুমাত্র গাণিতিক অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণকারীরা আনন্দিত হয়।

উচ্চতর গণিতে, ভেরিয়েবল বোঝাতে শুধুমাত্র শৈশব থেকে পরিচিত অক্ষর ব্যবহার করা হয় না।
একটি মোটামুটি জনপ্রিয় বিকল্প হল সূচক সহ ভেরিয়েবল: .
বা প্রাথমিক অক্ষর ল্যাটিন বর্ণমালা, ছোট এবং বড়:
গ্রীক অক্ষরগুলি খুঁজে পাওয়া এত বিরল নয়: – অনেকের কাছে "আলফা, বিটা, গামা" নামে পরিচিত। এবং সূচক সহ একটি সেট, বলুন, "mu" অক্ষর সহ:

এক বা অন্য সেট অক্ষরের ব্যবহার উচ্চতর গণিতের বিভাগের উপর নির্ভর করে যেখানে আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের মুখোমুখি হই। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণাঙ্গ সমাধান করার সময় রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে সম্মুখীন হয়, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণস্বরলিপি ব্যবহার করা ঐতিহ্যগত

তবে ভেরিয়েবলগুলিকে যেভাবে মনোনীত করা হোক না কেন, রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের নীতি, পদ্ধতি এবং পদ্ধতিগুলি পরিবর্তিত হয় না। এইভাবে, যদি আপনি ভীতিকর কিছু জুড়ে আসেন, ভয়ে সমস্যা বইটি বন্ধ করার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না, সর্বোপরি, আপনি পরিবর্তে সূর্য আঁকতে পারেন, পরিবর্তে একটি পাখি এবং পরিবর্তে একটি মুখ (শিক্ষক)। এবং, মজার মনে হতে পারে, এই স্বরলিপিগুলির সাথে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমও সমাধান করা যেতে পারে।

আমি একটি অনুভূতি যে নিবন্ধটি বেশ দীর্ঘ হতে চালু হবে, তাই বিষয়বস্তুর একটি ছোট টেবিল. সুতরাং, অনুক্রমিক "ডিব্রিফিং" এইরকম হবে:

- প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা (“ স্কুল পদ্ধতি») ;
- সিস্টেম সমীকরণের টার্ম-বাই-টার্ম যোগ (বিয়োগ) দ্বারা সিস্টেমটি সমাধান করা;
- ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমের সমাধান;
- একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করা;
- গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করা.

স্কুলের গণিত কোর্স থেকে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সাথে সবাই পরিচিত। মূলত, আমরা পুনরাবৃত্তি দিয়ে শুরু করি।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা

এই পদ্ধতিএটিকে "স্কুল পদ্ধতি" বা অজানা দূর করার পদ্ধতিও বলা যেতে পারে। রূপকভাবে বলতে গেলে, এটিকে "একটি অসমাপ্ত গাউসিয়ান পদ্ধতি"ও বলা যেতে পারে।

উদাহরণ 1

এখানে আমাদের দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া হয়েছে। মনে রাখবেন যে মুক্ত পদ (সংখ্যা 5 এবং 7) সমীকরণের বাম দিকে অবস্থিত। সাধারণভাবে বলতে গেলে, তারা বাম দিকে বা ডানদিকে কোথায় আছে তা বিবেচ্য নয়, উচ্চতর গণিতের সমস্যায় তারা প্রায়শই সেভাবে অবস্থান করে। এবং এই ধরনের রেকর্ডিং বিভ্রান্তির দিকে পরিচালিত করবে না; প্রয়োজন হলে, সিস্টেমটি সর্বদা "স্বাভাবিক হিসাবে" লেখা যেতে পারে: . ভুলে যাবেন না যে একটি শব্দকে অংশ থেকে অংশে স্থানান্তর করার সময়, এটির চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে।

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার অর্থ কী? সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা মানে এর অনেকগুলি সমাধান খুঁজে পাওয়া। একটি সিস্টেমের সমাধান হল এতে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত ভেরিয়েবলের মানগুলির একটি সেট, যা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সত্যিকারের সমতায় পরিণত করে। উপরন্তু, সিস্টেম হতে পারে অ জয়েন্ট (কোন সমাধান নেই)চিন্তা করবেন না, এটা সাধারণ সংজ্ঞা=) আমাদের শুধুমাত্র একটি মান "x" এবং একটি মান "y" থাকবে, যা প্রতিটি সমীকরণ c-we সন্তুষ্ট করে।

বিদ্যমান গ্রাফিক পদ্ধতিসিস্টেমের সমাধান, যা ক্লাসে পাওয়া যাবে একটি লাইনের সাথে সবচেয়ে সহজ সমস্যা. সেখানে কথা বলেছি জ্যামিতিক ইন্দ্রিয় দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। কিন্তু এখন এটা বীজগণিতের যুগ, এবং সংখ্যা-সংখ্যা, ক্রিয়া-ক্রিয়া।

সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক: প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি:
আমরা ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

আমরা বন্ধনী খুলি, অনুরূপ পদ যোগ করি এবং মান খুঁজে পাই:

এরপরে, আমরা মনে করি আমরা কি জন্য নাচ করেছি:
আমরা ইতিমধ্যে মান জানি, যা বাকি আছে তা হল খুঁজে বের করা:

উত্তর:

সমীকরণের যে কোনও সিস্টেম যে কোনও উপায়ে সমাধান করার পরে, আমি দৃঢ়ভাবে চেক করার পরামর্শ দিই (মৌখিকভাবে, একটি খসড়া বা একটি ক্যালকুলেটরে). ভাগ্যক্রমে, এটি সহজে এবং দ্রুত করা হয়।

1) পাওয়া উত্তরটিকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

- সঠিক সমতা পাওয়া যায়।

2) পাওয়া উত্তরটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

- সঠিক সমতা পাওয়া যায়।

অথবা, আরও সহজভাবে বলতে গেলে, "সবকিছু একত্রিত হয়েছিল"

সমাধানের বিবেচিত পদ্ধতিটি একমাত্র নয়; প্রথম সমীকরণ থেকে এটি প্রকাশ করা সম্ভব ছিল, এবং নয়।
আপনি বিপরীতটি করতে পারেন - দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে কিছু প্রকাশ করুন এবং এটিকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। যাইহোক, মনে রাখবেন যে চারটি পদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে অসুবিধাজনক হল দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রকাশ করা:

ফলাফল ভগ্নাংশ, কিন্তু কেন? আরো যুক্তিসঙ্গত সমাধান আছে।

যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে আপনি এখনও ভগ্নাংশ ছাড়া করতে পারবেন না। এই বিষয়ে, আমি আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই কিভাবে আমি অভিব্যক্তি লিখেছি। এই মত না: এবং এই মত কোন ক্ষেত্রে: .

উচ্চতর গণিতে যদি আপনি ডিল করছেন ভগ্নাংশ সংখ্যা, তারপর সাধারণ অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে সমস্ত গণনা চালানোর চেষ্টা করুন।

হুবহু, আর না নাকি!

একটি কমা শুধুমাত্র কখনও কখনও ব্যবহার করা যেতে পারে, বিশেষ করে যদি এটি কিছু সমস্যার চূড়ান্ত উত্তর হয়, এবং এই সংখ্যার সাথে আর কোন কাজ করার প্রয়োজন নেই৷

অনেক পাঠক সম্ভবত ভেবেছিলেন "কেন এটি করবেন? বিস্তারিত ব্যাখ্যা, একটি সংশোধন ক্লাসের জন্য, এবং তাই সবকিছু পরিষ্কার।" সেরকম কিছু না, খুব সহজ মনে হচ্ছে স্কুল উদাহরণ, এবং কতগুলি খুব গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার! এখানে আরেকটি আছে:

আপনি সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত উপায়ে যে কোনো কাজ সম্পন্ন করার চেষ্টা করা উচিত. যদি শুধুমাত্র কারণ এটি সময় এবং স্নায়ু সংরক্ষণ করে, এবং একটি ভুল করার সম্ভাবনা কমিয়ে দেয়।

যদি উচ্চতর গণিতের সমস্যায় আপনি দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের মুখোমুখি হন, তবে আপনি সর্বদা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন (যদি না এটি নির্দেশিত হয় যে সিস্টেমটি অন্য পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা দরকার)। একজন শিক্ষকও তা করবেন না। মনে করুন যে আপনি একজন চোষা এবং "স্কুল পদ্ধতি" ব্যবহার করার জন্য আপনার গ্রেড কমিয়ে দেবেন
তদুপরি, কিছু ক্ষেত্রে এটি একটি বড় সংখ্যক ভেরিয়েবল সহ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

উদাহরণ 2

তিনটি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

তথাকথিত পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় প্রায়ই সমীকরণের একটি অনুরূপ সিস্টেম দেখা দেয় অনিশ্চিত সহগযখন আমরা একটি ভগ্নাংশের মূলদ ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশ খুঁজে পাই। প্রশ্নযুক্ত সিস্টেমটি আমার দ্বারা সেখান থেকে নেওয়া হয়েছিল।

অখণ্ড খুঁজে যখন, লক্ষ্য হয় দ্রুতসহগগুলির মানগুলি সন্ধান করুন এবং ক্র্যামারের সূত্রগুলি অবলম্বন করবেন না, পদ্ধতিটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সইত্যাদি অতএব, এই ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি উপযুক্ত।

সমীকরণের যে কোনও সিস্টেম দেওয়া হলে, প্রথমে এটি খুঁজে বের করা বাঞ্ছনীয় যে এটি কোনওভাবে তাৎক্ষণিকভাবে সহজ করা সম্ভব কিনা? সিস্টেমের সমীকরণ বিশ্লেষণ করে, আমরা লক্ষ্য করি যে সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি 2 দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে, যা আমরা করি:

তথ্যসূত্র:গাণিতিক চিহ্নের অর্থ "এটি থেকে এটি অনুসরণ করে" এবং প্রায়শই সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

এখন সমীকরণ বিশ্লেষণ করা যাক; আমাদের অন্যের পরিপ্রেক্ষিতে কিছু পরিবর্তনশীল প্রকাশ করতে হবে। আমি কোন সমীকরণ নির্বাচন করা উচিত? আপনি সম্ভবত ইতিমধ্যে অনুমান করেছেন যে এই উদ্দেশ্যে সবচেয়ে সহজ উপায় হল সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি নেওয়া:

এখানে, কোন পরিবর্তনশীলই প্রকাশ করা হোক না কেন, একজন সহজে প্রকাশ করতে পারে বা।

এর পরে, আমরা সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণের জন্য অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করি:

আমরা বন্ধনী খুলি এবং অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি:

তৃতীয় সমীকরণটিকে 2 দ্বারা ভাগ করুন:

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি এবং তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

প্রায় সবকিছু প্রস্তুত, তৃতীয় সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই:
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:
প্রথম সমীকরণ থেকে:

চেক করুন: সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে ভেরিয়েবলের পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন:

1)
2)
3)

সমীকরণগুলির সংশ্লিষ্ট ডানদিকের দিকগুলি পাওয়া যায়, এইভাবে সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া যায়।

উদাহরণ 3

4টি অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত(পাঠের শেষে উত্তর)।

সিস্টেম সমীকরণের টার্ম-বাই-টার্ম যোগ (বিয়োগ) দ্বারা সিস্টেমটি সমাধান করা

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, আপনার "স্কুল পদ্ধতি" ব্যবহার করার চেষ্টা করা উচিত নয়, তবে সিস্টেমের সমীকরণগুলির মেয়াদ-দ্বারা-টার্ম যোগ (বিয়োগ) পদ্ধতি ব্যবহার করার চেষ্টা করা উচিত। কেন? এটি সময় বাঁচায় এবং গণনাকে সহজ করে, তবে, এখন সবকিছু পরিষ্কার হয়ে যাবে।

উদাহরণ 4

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

আমি প্রথম উদাহরণের মতো একই সিস্টেম নিয়েছি।
সমীকরণের পদ্ধতি বিশ্লেষণ করে, আমরা লক্ষ্য করি যে পরিবর্তনশীলের সহগগুলি মাত্রায় অভিন্ন এবং চিহ্নের বিপরীতে (–1 এবং 1)। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, সমীকরণগুলি পদ দ্বারা পদ যোগ করা যেতে পারে:

লাল বৃত্তাকার ক্রিয়াগুলি মানসিকভাবে সঞ্চালিত হয়।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, টার্ম-বাই-টার্ম যোগের ফলে, আমরা পরিবর্তনশীলটি হারিয়েছি। এই, আসলে, কি পদ্ধতির সারমর্ম হল ভেরিয়েবলগুলির একটি থেকে পরিত্রাণ পাওয়া.

রৈখিক সমীকরণগুলি স্কুলের গণিতের একটি মোটামুটি নিরীহ এবং বোধগম্য বিষয়। কিন্তু, অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় নীল থেকে ত্রুটির সংখ্যা অন্যান্য বিষয়গুলির তুলনায় সামান্য কম - দ্বিঘাত সমীকরণলগারিদম, ত্রিকোণমিতি এবং অন্যান্য। বেশিরভাগ ত্রুটির কারণ হল সমীকরণের সাধারণ অভিন্ন রূপান্তর। প্রথমত, এটি সমীকরণের এক অংশ থেকে অন্য অংশে পদ স্থানান্তর করার সময় লক্ষণগুলিতে বিভ্রান্তি, সেইসাথে ভগ্নাংশ এবং ভগ্নাংশের সহগগুলির সাথে কাজ করার সময় ত্রুটিগুলি। হ্যা হ্যা! রৈখিক সমীকরণেও ভগ্নাংশ দেখা যায়! চারদিকে. নীচে আমরা অবশ্যই এই ধরনের মন্দ সমীকরণ বিশ্লেষণ করব।)

আচ্ছা, আসুন বিড়ালটিকে লেজ ধরে টেনে না নিয়ে এটি বের করা শুরু করি, আমরা কি করব? তারপরে আমরা এটি পড়ি এবং গভীরভাবে অনুসন্ধান করি।)

একটি রৈখিক সমীকরণ কি? উদাহরণ।

সাধারণত রৈখিক সমীকরণটি এইরকম দেখায়:

কুঠার + খ = 0,

যেখানে a এবং b যেকোনো সংখ্যা। যেকোনো ধরনের: পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ, ঋণাত্মক, অযৌক্তিক - যে কোনো হতে পারে!

উদাহরণ স্বরূপ:

7x + 1 = 0 (এখানে a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (এখানে a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (এখানে a = 1/2, b = -1.1)

সাধারণভাবে, আপনি বোঝেন, আমি আশা করি।) সবকিছুই সহজ, রূপকথার মতো। আপাতত... এবং আপনি যদি সাধারণ স্বরলিপি ax+b=0 ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন এবং একটু চিন্তা করেন? সর্বোপরি, a এবং b হয় যেকোনো সংখ্যা! এবং যদি আমাদের থাকে, বলুন, a = 0 এবং b = 0 (যেকোন সংখ্যা নেওয়া যেতে পারে!), তাহলে আমরা কী পাব?

0 = 0

কিন্তু যে সব মজা না! যদি বলি, a = 0, b = -10? তারপরে এটি একধরনের বাজে কথায় পরিণত হয়:

0 = 10.

যা খুবই বিরক্তিকর এবং গণিতের উপর আস্থাকে ক্ষুন্ন করে যা আমরা ঘাম এবং রক্তের মাধ্যমে অর্জন করেছি... বিশেষ করে পরীক্ষা এবং পরীক্ষার সময়। কিন্তু এই বোধগম্য এবং অদ্ভুত সমতাগুলির মধ্যেও আপনাকে এক্স খুঁজে বের করতে হবে! যার কোনো অস্তিত্বই নেই! এবং এখানে, এমনকি সুপ্রস্তুত ছাত্র-ছাত্রীরাও মাঝে মাঝে যাকে বোকা বলা হয় তাতে পড়তে পারে... কিন্তু চিন্তা করবেন না! এই পাঠে আমরা এমন সব চমক দেখব। এবং আমরা অবশ্যই এই ধরনের সমতা থেকে একটি X খুঁজে পাব।) তাছাড়া, এই একই X খুব সহজভাবে পাওয়া যেতে পারে। হ্যা হ্যা! আশ্চর্যজনক হলেও সত্য।)

ঠিক আছে, এটা বোধগম্য। কিন্তু কাজের চেহারা দেখে আপনি কীভাবে বলতে পারেন যে এটি একটি রৈখিক সমীকরণ এবং অন্য কোনো সমীকরণ নয়? দুর্ভাগ্যবশত, শুধুমাত্র চেহারা দ্বারা সমীকরণের ধরন সনাক্ত করা সবসময় সম্ভব হয় না। মোদ্দা কথা হল যে শুধুমাত্র ফর্ম ax + b = 0 এর সমীকরণগুলিকে রৈখিক বলা হয় না, তবে অন্য যেকোন সমীকরণগুলিকেও বলা হয় যেগুলি, এক বা অন্যভাবে, অভিন্ন রূপান্তর দ্বারা এই ফর্মটিতে হ্রাস করা যেতে পারে। এটা যোগ বা না হলে আপনি কিভাবে জানেন? যতক্ষণ না আপনি খুব কমই উদাহরণটি সমাধান করতে পারেন - প্রায় মোটেই নয়। এটা বিরক্তিকর. কিন্তু কিছু ধরণের সমীকরণের জন্য, আপনি অবিলম্বে আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারেন যে এটি রৈখিক কিনা তা এক নজরে দেখে।

এটি করার জন্য, আসুন আবার কোনো রৈখিক সমীকরণের সাধারণ কাঠামোর দিকে তাকাই:

কুঠার + খ = 0

অনুগ্রহ করে নোট করুন: রৈখিক সমীকরণে সর্বদাশুধুমাত্র পরিবর্তনশীল x উপস্থিত প্রথম ডিগ্রিতেএবং কিছু সংখ্যা! এখানেই শেষ! আর কিছু না. একই সময়ে, বর্গক্ষেত্রে, ঘনক্ষেত্রে, মূলের নীচে, লগারিদমের নীচে এবং অন্যান্য বহিরাগত জিনিস নেই। এবং (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ!) কোনো ভগ্নাংশ নেই হরগুলিতে X সহ!কিন্তু হর বা ভাগে সংখ্যা সহ ভগ্নাংশ প্রতি সংখ্যা- সহজে!

উদাহরণ স্বরূপ:

এটি একটি রৈখিক সমীকরণ। সমীকরণটিতে শুধুমাত্র X এর প্রথম শক্তি এবং সংখ্যা রয়েছে। এবং উচ্চ ক্ষমতার মধ্যে কোন X নেই - বর্গ, ঘন, এবং তাই। হ্যাঁ, এখানে ভগ্নাংশ আছে, কিন্তু একই সময়ে ভগ্নাংশের হর ধারণ করে শুধুমাত্র সংখ্যা।যথা, দুই এবং তিন. অন্য কথায়, নেই x দ্বারা বিভাজন.

এবং এখানে সমীকরণ

এটিকে আর রৈখিক বলা যাবে না, যদিও এখানেও, প্রথম শক্তিতে শুধুমাত্র সংখ্যা এবং X আছে। কারণ, অন্যান্য জিনিসের মধ্যে ভগ্নাংশও আছে হরগুলিতে X এর সাথে. এবং সরলীকরণ এবং রূপান্তরের পরে, এই জাতীয় সমীকরণ যে কোনও কিছুতে পরিণত হতে পারে: রৈখিক, চতুর্ভুজ - যে কোনও কিছু।

রৈখিক সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন? উদাহরণ।

তাহলে আপনি কিভাবে রৈখিক সমীকরণ সমাধান করবেন? পড়ুন এবং অবাক হন।) রৈখিক সমীকরণের সম্পূর্ণ সমাধান শুধুমাত্র দুটি প্রধান জিনিসের উপর ভিত্তি করে। তাদের তালিকা করা যাক.

1) গণিতের প্রাথমিক ক্রিয়া এবং নিয়মগুলির একটি সেট।

এগুলো হচ্ছে বন্ধনী ব্যবহার করা, বন্ধনী খোলা, ভগ্নাংশের সাথে কাজ করা, ঋণাত্মক সংখ্যার সাথে কাজ করা, গুণের টেবিল ইত্যাদি। এই জ্ঞান এবং দক্ষতা শুধুমাত্র রৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য নয়, সাধারণভাবে সমস্ত গণিতের জন্য প্রয়োজনীয়। এবং, যদি আপনার এটির সাথে সমস্যা থাকে তবে নিম্ন গ্রেডগুলি মনে রাখবেন। নইলে তোমার কষ্ট হবে...

2)

তাদের মধ্যে মাত্র দুটি আছে। হ্যা হ্যা! তদুপরি, এই মৌলিক পরিচয়ের রূপান্তরগুলি কেবল রৈখিক নয়, সাধারণভাবে যে কোনও গাণিতিক সমীকরণের সমাধানকে অন্তর্নিহিত করে! এক কথায়, অন্য কোনো সমীকরণের সমাধান- দ্বিঘাত, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, অযৌক্তিক ইত্যাদি। - একটি নিয়ম হিসাবে, এটি এই মৌলিক রূপান্তরগুলির সাথে শুরু হয়। কিন্তু রৈখিক সমীকরণের সমাধান আসলে তাদের (রূপান্তর) দিয়ে শেষ হয়। প্রস্তুত উত্তর।) তাই অলস হবেন না এবং লিঙ্কটি দেখে নিন।) তাছাড়া, রৈখিক সমীকরণগুলিও সেখানে বিশদভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।

ওয়েল, আমি মনে করি এটা উদাহরণ খুঁজছেন শুরু করার সময়.

শুরুতে, একটি ওয়ার্ম-আপ হিসাবে, আসুন কিছু মৌলিক জিনিস দেখি। কোনো ভগ্নাংশ বা অন্যান্য ঘণ্টা এবং শিস ছাড়াই। উদাহরণস্বরূপ, এই সমীকরণ:

x – 2 = 4 – 5x

এটি একটি ক্লাসিক রৈখিক সমীকরণ। সমস্ত X এর প্রথম শক্তি সর্বাধিক এবং কোথাও X দ্বারা কোন বিভাজন নেই। এই ধরনের সমীকরণের সমাধান স্কিম সবসময় একই এবং ভয়ঙ্করভাবে সহজ: X এর সাথে সমস্ত পদ বাম দিকে সংগ্রহ করতে হবে, এবং X-এর (অর্থাৎ সংখ্যা) ছাড়া সমস্ত পদ ডানদিকে সংগ্রহ করতে হবে। তাই সংগ্রহ শুরু করা যাক.

এটি করার জন্য, আমরা প্রথম পরিচয় রূপান্তর চালু করি। আমাদের বাম দিকে -5x সরাতে হবে এবং ডানদিকে -2 সরাতে হবে। অবশ্যই চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে।) তাই আমরা স্থানান্তর করি:

x + 5x = 4 + 2

এখানে আপনি যান. অর্ধেক যুদ্ধ সম্পন্ন হয়েছে: X-গুলিকে একটি স্তূপে সংগ্রহ করা হয়েছে, এবং সংখ্যাগুলিও রয়েছে। এখন আমরা বাম দিকে অনুরূপ উপস্থাপন করি, এবং আমরা তাদের ডানদিকে গণনা করি। আমরা পেতে:

6x = 6

সম্পূর্ণ সুখের জন্য এখন আমাদের কিসের অভাব আছে? হ্যাঁ, যাতে খাঁটি এক্স বাম দিকে থাকে! আর ছয়জন পথ পায়। কিভাবে এটি পরিত্রাণ পেতে? এখন আমরা দ্বিতীয় পরিচয় রূপান্তর চালাচ্ছি - সমীকরণের উভয় দিককে 6 দ্বারা ভাগ করুন। উত্তর প্রস্তুত।)

x = 1

অবশ্যই, উদাহরণটি সম্পূর্ণ আদিম। সাধারণ ধারণা পেতে. ঠিক আছে, আসুন আরও উল্লেখযোগ্য কিছু সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক। উদাহরণস্বরূপ, আসুন এই সমীকরণটি দেখি:

আসুন এটি বিস্তারিতভাবে দেখি।) এটিও একটি রৈখিক সমীকরণ, যদিও মনে হবে এখানে ভগ্নাংশ রয়েছে। কিন্তু ভগ্নাংশে দুই দ্বারা ভাগ আছে এবং তিন দ্বারা ভাগ আছে, কিন্তু একটি এক্স সহ একটি রাশি দ্বারা কোনো বিভাজন নেই! তাই সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক। একই অভিন্ন রূপান্তর ব্যবহার করে, হ্যাঁ।)

আমাদের প্রথমে কি করা উচিত? X এর সাথে - বাম দিকে, X ছাড়া - ডানে? নীতিগতভাবে, এটি সম্ভব। ভ্লাদিভোস্টক হয়ে সোচিতে ফ্লাই করুন।) অথবা আপনি একটি সর্বজনীন এবং শক্তিশালী পদ্ধতি ব্যবহার করে অবিলম্বে সংক্ষিপ্ততম রুট নিতে পারেন। আপনি যদি পরিচয়ের রূপান্তরগুলি জানেন তবে অবশ্যই।)

প্রথমে, আমি একটি মূল প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি: এই সমীকরণ সম্পর্কে আপনার কাছে সবচেয়ে বেশি কী দাঁড়ায় এবং সবচেয়ে বেশি অপছন্দ করে? 100 জনের মধ্যে 99 জন বলবে: ভগ্নাংশ!এবং তারা সঠিক হবে।) সুতরাং আসুন প্রথমে তাদের পরিত্রাণ পান। সমীকরণের জন্যই নিরাপদ।) অতএব, এখনই শুরু করা যাক দ্বিতীয় পরিচয় রূপান্তর- গুণ থেকে। আমাদের বাম দিকটি কী দ্বারা গুণ করা উচিত যাতে হরটি সফলভাবে হ্রাস পায়? এটা ঠিক, একটি দুই. ক ডান পাশ? তিন জনের জন্য! কিন্তু... গণিত একজন চতুর মহিলা। তিনি, আপনি দেখতে, শুধুমাত্র উভয় পক্ষের গুন প্রয়োজন একই সংখ্যার জন্য!প্রতিটি অংশকে তার নিজস্ব সংখ্যা দ্বারা গুণ করা কাজ করে না... আমরা কি করতে যাচ্ছি? কিছু... একটা সমঝোতার জন্য দেখুন। আমাদের আকাঙ্ক্ষাগুলি (ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে) এবং গণিতকে বিরক্ত না করার জন্য।) আসুন উভয় অংশকে ছয় দ্বারা গুণ করি!) অর্থাৎ, সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত ভগ্নাংশের সাধারণ হর দ্বারা। তারপর এক ধাক্কায় দুই এবং তিনজনই কমে যাবে!)

তাই এর গুণ করা যাক. পুরো বাম পাশে আর পুরো ডান পাশে! অতএব, আমরা বন্ধনী ব্যবহার করি। এই পদ্ধতিটি নিজেই দেখতে কেমন:

এখন আমরা এই একই বন্ধনী খুলি:

এখন, 6 কে 6/1 হিসাবে উপস্থাপন করে, আসুন বাম এবং ডান দিকের প্রতিটি ভগ্নাংশ দিয়ে ছয়টি গুণ করি। এটি ভগ্নাংশের স্বাভাবিক গুণ, কিন্তু তাই হোক, আমি এটি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করব:

এবং এখানে - মনোযোগ! আমি লব (x-3) বন্ধনীতে রাখলাম! এই সব কারণ ভগ্নাংশ গুণ করার সময়, লব সম্পূর্ণরূপে, সম্পূর্ণরূপে গুণিত হয়! এবং x-3 এক্সপ্রেশন একটি অবিচ্ছেদ্য কাঠামো হিসাবে কাজ করা আবশ্যক. কিন্তু আপনি যদি এইভাবে লব লেখেন:

6x - 3,

তবে আমাদের সবকিছু ঠিক আছে এবং আমাদের এটি চূড়ান্ত করতে হবে। পরবর্তী কি করতে হবে? বাম দিকে লব বন্ধনী খুলুন? কোন অবস্থাতেই! আপনি এবং আমি ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পেতে এবং বন্ধনী খোলার বিষয়ে চিন্তা না করার জন্য উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করেছি। এই পর্যায়ে আমাদের প্রয়োজন আমাদের ভগ্নাংশ কমিয়ে দিন।গভীর সন্তুষ্টির অনুভূতির সাথে, আমরা সমস্ত হর কমিয়ে ফেলি এবং কোনো ভগ্নাংশ ছাড়াই একটি সমীকরণ পাই, একটি শাসকের মধ্যে:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

এবং এখন অবশিষ্ট বন্ধনী খোলা যাবে:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

সমীকরণ ভালো থেকে ভালো হচ্ছে! এখন প্রথম অভিন্ন রূপান্তর সম্পর্কে আবার মনে রাখা যাক। সোজা মুখে আমরা জুনিয়র ক্লাস থেকে বানান পুনরাবৃত্তি করি: এক্স সহ - বাম দিকে, এক্স ছাড়া - ডানে. এবং এই রূপান্তরটি প্রয়োগ করুন:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

আমরা বাম দিকে অনুরূপ উপস্থাপন করি এবং ডানদিকে গণনা করি:

13x = 39

এটি উভয় অংশকে 13 দ্বারা বিভক্ত করতে রয়ে গেছে। অর্থাৎ, দ্বিতীয় রূপান্তরটি আবার প্রয়োগ করুন। আমরা ভাগ করি এবং উত্তর পাই:

x = 3

কাজ হয়ে গেছে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই সমীকরণে আমাদের প্রথম রূপান্তরটি একবার প্রয়োগ করতে হয়েছিল (শব্দ স্থানান্তর) এবং দ্বিতীয়টি দুবার: সমাধানের শুরুতে আমরা ভগ্নাংশগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য গুণ (6 দ্বারা) ব্যবহার করেছি এবং শেষে সমাধানটির আমরা X এর সামনে সহগ থেকে পরিত্রাণ পেতে বিভাজন (13 দ্বারা) ব্যবহার করেছি। এবং যে কোনো (হ্যাঁ, যেকোনো!) রৈখিক সমীকরণের সমাধান এক বা অন্য ক্রমানুসারে এই একই রূপান্তরের সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত। ঠিক কোথায় শুরু করবেন তা নির্ভর করে নির্দিষ্ট সমীকরণের উপর। কিছু জায়গায় এটি স্থানান্তর দিয়ে শুরু করা আরও লাভজনক, এবং অন্যগুলিতে (এই উদাহরণের মতো) গুণ (বা ভাগ) দিয়ে।

আমরা সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত কাজ করি। এখন সরাসরি নিষ্ঠুরতা বিবেচনা করা যাক। ভগ্নাংশ এবং বন্ধনী একটি গুচ্ছ সঙ্গে. এবং আমি আপনাকে বলব কীভাবে নিজেকে অতিরিক্ত চাপ দেবেন না।)

উদাহরণস্বরূপ, এখানে সমীকরণ:

আমরা এক মিনিটের জন্য সমীকরণের দিকে তাকাই, আতঙ্কিত হয়ে পড়ি, কিন্তু এখনও নিজেদেরকে একত্রিত করি! মূল সমস্যা হল কোথা থেকে শুরু করবেন? আপনি ডান দিকে ভগ্নাংশ যোগ করতে পারেন. আপনি বন্ধনীতে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে পারেন। আপনি উভয় অংশকে কিছু দ্বারা গুণ করতে পারেন। বা ভাগ... তাহলে এখনও কি সম্ভব? উত্তরঃ সবই সম্ভব! গণিত তালিকাভুক্ত কোনো কাজ নিষিদ্ধ করে না। এবং আপনি যে ক্রিয়া এবং রূপান্তরের ক্রমটি বেছে নিন না কেন, উত্তরটি সর্বদা একই হবে - সঠিকটি। যদি না, অবশ্যই, কিছু ধাপে আপনি আপনার রূপান্তরের পরিচয় লঙ্ঘন করেন এবং এর ফলে, ত্রুটি তৈরি করেন...

এবং, ভুল না করার জন্য, এটির মতো পরিশীলিত উদাহরণগুলিতে, এটির চেহারাটি মূল্যায়ন করা এবং আপনার মনের মধ্যে চিন্তা করা সর্বদা সবচেয়ে কার্যকর: উদাহরণে কী করা যেতে পারে যাতে সর্বোচ্চএক ধাপে এটা সরলীকরণ?

সুতরাং এর এটা বের করা যাক. বাম দিকে হরকদের মধ্যে ছক্কা আছে। ব্যক্তিগতভাবে, আমি তাদের পছন্দ করি না, এবং তারা অপসারণ করা খুব সহজ। আমাকে সমীকরণের উভয় দিককে 6 দিয়ে গুণ করতে দিন! তারপরে বাম দিকের ছক্কাগুলি সফলভাবে হ্রাস করা হবে, বন্ধনীর ভগ্নাংশগুলি এখনও কোথাও যাবে না। আচ্ছা, ঠিক আছে। আমরা তাদের সাথে একটু পরে মোকাবেলা করব।) কিন্তু ডানদিকে, আমাদের হর 2 এবং 3 বাতিল হচ্ছে। এই ক্রিয়াটি (6 দ্বারা গুণ করা) দ্বারা আমরা এক ধাপে সর্বাধিক সরলীকরণ অর্জন করি!

গুণের পরে, আমাদের পুরো মন্দ সমীকরণটি এরকম হয়ে যায়:

আপনি যদি ঠিক বুঝতে না পারেন যে এই সমীকরণটি কীভাবে এসেছে, তাহলে আপনি আগের উদাহরণের বিশ্লেষণটি ভালভাবে বুঝতে পারেননি। এবং আমি চেষ্টা করেছি, যাইহোক ...

সুতরাং, আসুন প্রকাশ করা যাক:

এখন সবচেয়ে যৌক্তিক পদক্ষেপটি হবে বাম দিকের ভগ্নাংশগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা এবং ডান দিকে 5x পাঠান। একই সময়ে, আমরা ডানদিকে অনুরূপ উপস্থাপন করব। আমরা পেতে:

ইতিমধ্যে অনেক ভালো. এখন বাম দিক গুণের জন্য নিজেকে প্রস্তুত করেছে। আমাদের বাম দিককে কী দিয়ে গুণ করা উচিত যাতে পাঁচ এবং চার উভয়ই একবারে কমে যায়? ২০ তারিখে! কিন্তু সমীকরণের উভয় দিকেই আমাদের অসুবিধা রয়েছে। অতএব, সমীকরণের উভয় দিককে 20 দ্বারা নয়, -20 দ্বারা গুণ করা সবচেয়ে সুবিধাজনক হবে। তারপর এক ধাক্কায় বিয়োগ এবং ভগ্নাংশ উভয়ই অদৃশ্য হয়ে যাবে।

তাই আমরা গুণ করি:

যে কেউ এখনও এই পদক্ষেপটি বুঝতে পারে না তার মানে সমস্যাটি সমীকরণে নেই। সমস্যা বেসিক আছে! আসুন আবার মনে করি শ্রেষ্ঠ নিয়মখোলা বন্ধনী:

যদি একটি সংখ্যাকে বন্ধনীতে কিছু রাশি দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে এই সংখ্যাটি অবশ্যই এই রাশিটির প্রতিটি পদ দ্বারা ক্রমিকভাবে গুণ করতে হবে। তদুপরি, সংখ্যাটি ধনাত্মক হলে, সম্প্রসারণের পরে প্রকাশের চিহ্নগুলি সংরক্ষিত হয়। নেতিবাচক হলে, বিপরীতে পরিবর্তন করুন:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

উভয় পক্ষকে -20 দ্বারা গুণ করার পরে আমাদের কনস অদৃশ্য হয়ে গেছে। এবং এখন আমরা বাম দিকের ভগ্নাংশ সহ বন্ধনীগুলিকে বেশ দ্বারা গুণ করি সঠিক নাম্বার 20. অতএব, যখন এই বন্ধনীগুলি খোলা হয়, তখন তাদের ভিতরে থাকা সমস্ত চিহ্নগুলি সংরক্ষিত থাকে। কিন্তু ভগ্নাংশের সংখ্যার বন্ধনীগুলি কোথা থেকে এসেছে, আমি পূর্ববর্তী উদাহরণে ইতিমধ্যে বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করেছি।

এখন আপনি ভগ্নাংশ কমাতে পারেন:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

অবশিষ্ট বন্ধনী খুলুন. আবার, আমরা সঠিকভাবে এটি প্রকাশ. প্রথম বন্ধনীগুলিকে ধনাত্মক সংখ্যা 4 দ্বারা গুণ করা হয় এবং তাই, সমস্ত চিহ্নগুলি যখন খোলা হয় তখন সংরক্ষিত থাকে৷ কিন্তু দ্বিতীয় বন্ধনী দ্বারা গুণ করা হয় নেতিবাচকসংখ্যাটি -5 এবং তাই, সমস্ত চিহ্ন বিপরীত:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

নিছক সামান্য কিছু বাকি আছে। X এর বাম দিকে, X এর ডানদিকে ছাড়া:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

যে প্রায় সব. বাম দিকে আপনার একটি বিশুদ্ধ এক্স প্রয়োজন, তবে সংখ্যা -35টি পথে রয়েছে। সুতরাং আমরা উভয় পক্ষকে (-35) দ্বারা ভাগ করি। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে দ্বিতীয় পরিচয় রূপান্তর আমাদের উভয় পক্ষকে গুণ ও ভাগ করতে দেয় যাই হোকসংখ্যা নেতিবাচক সহ।) যতক্ষণ না এটি শূন্য হয়! বিভক্ত এবং উত্তর পেতে নির্দ্বিধায়:

X = 2/35

এই সময় X ভগ্নাংশ হতে পরিণত. ঠিক আছে. যেমন একটি উদাহরণ।)

আমরা দেখতে পাচ্ছি, রৈখিক সমীকরণগুলি (এমনকি সবচেয়ে জটিলগুলি) সমাধানের নীতিটি বেশ সহজ: আমরা মূল সমীকরণটি গ্রহণ করি এবং অভিন্ন রূপান্তর ব্যবহার করে, উত্তর না পাওয়া পর্যন্ত এটিকে ধারাবাহিকভাবে সরলীকরণ করি। বেসিক সঙ্গে, অবশ্যই! এখানে প্রধান সমস্যাগুলি হল সুনির্দিষ্টভাবে বেসিকগুলি অনুসরণ করতে ব্যর্থতা (উদাহরণস্বরূপ, বন্ধনীর সামনে একটি বিয়োগ রয়েছে এবং তারা প্রসারিত হওয়ার সময় লক্ষণগুলি পরিবর্তন করতে ভুলে গেছে), পাশাপাশি সাধারণ পাটিগণিতেও। তাই বেসিক অবহেলা করবেন না! এরা অন্য সব গণিতের ভিত্তি!

রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার সময় কিছু মজার জিনিস। বা বিশেষ অনুষ্ঠান।

সবকিছু ঠিক হবে. যাইহোক... রৈখিক সমীকরণগুলির মধ্যে এমন মজার মুক্তাও রয়েছে যেগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়াতে আপনাকে একটি শক্তিশালী মূর্খতার দিকে নিয়ে যেতে পারে। এমনকি একজন চমৎকার ছাত্র।)

উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি নিরীহ-সুদর্শন সমীকরণ রয়েছে:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

ব্যাপকভাবে এবং কিছুটা বিরক্ত হয়ে হাঁপিয়ে উঠলে, আমরা বাম দিকের সমস্ত X এবং ডানদিকে সমস্ত সংখ্যা সংগ্রহ করি:

7x-4x-3x = 5-2-3

আমরা অনুরূপ উপস্থাপন করি, গণনা করি এবং পাই:

0 = 0

এটাই! একটা নমুনা ট্রিক দিলাম! এই সমতা নিজেই কোন আপত্তি উত্থাপন করে না: শূন্য সত্যিই শূন্যের সমান। কিন্তু এক্স অনুপস্থিত! একটি ট্রেস ছাড়া! এবং আমাদের অবশ্যই উত্তরে লিখতে হবে, x এর সমান কি?. অন্যথায়, সিদ্ধান্ত গণনা না, হ্যাঁ।) কি করবেন?

আতঙ্কিত হবেন না! এই ধরনের অ-মানক ক্ষেত্রে, সবচেয়ে সাধারণ ধারণাএবং গণিতের নীতি। একটি সমীকরণ কি? কিভাবে সমীকরণ সমাধান? একটি সমীকরণ সমাধান করার মানে কি?

একটি সমীকরণ সমাধান করা মানে খুঁজে পাওয়া সবভেরিয়েবল x এর মান, যা প্রতিস্থাপিত হলে মূলসমীকরণ আমাদের সঠিক সমতা (পরিচয়) দেবে!

কিন্তু আমাদের প্রকৃত সমতা আছে এটা ইতিমধ্যে ঘটেছে! 0=0, বা বরং, কোথাও নেই!) আমরা শুধু অনুমান করতে পারি X এর দ্বারা আমরা এই সমতা কি পাই। কি ধরনের X এর প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে মূলসমীকরণ, যদি প্রতিস্থাপনের উপর তাদের সব তারা কি এখনও শূন্যে হ্রাস পাবে?আপনি এখনও এটা মূর্তি আউট না?

নিশ্চয়ই! X এর প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে যেকোনো!!! একেবারে যে কোনো. আপনি যা চান জমা দিন। কমপক্ষে 1, কমপক্ষে -23, কমপক্ষে 2.7 - যাই হোক না কেন! তারা এখনও হ্রাস করা হবে এবং ফলস্বরূপ, বিশুদ্ধ সত্য থেকে যাবে। এটি চেষ্টা করুন, এটি প্রতিস্থাপন করুন এবং নিজের জন্য দেখুন।)

এখানে আপনার উত্তর:

x - যেকোনো সংখ্যা.

ভিতরে বৈজ্ঞানিক রেকর্ডএই সমতা এই মত লেখা হয়:

এই এন্ট্রি এই মত পড়া: "X হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।"

অথবা অন্য ফর্মে, বিরতিতে:

আপনি যেভাবে পছন্দ করেন সেভাবে ডিজাইন করুন। এটি একটি সঠিক এবং সম্পূর্ণ সম্পূর্ণ উত্তর!

এখন আমি আমাদের মূল সমীকরণে শুধুমাত্র একটি সংখ্যা পরিবর্তন করতে যাচ্ছি। এখন এই সমীকরণটি সমাধান করা যাক:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

আবার আমরা শর্তাবলী স্থানান্তর করি, গণনা করি এবং পাই:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

এবং আপনি এই কৌতুক কি মনে করেন? একটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণ ছিল, কিন্তু এটি একটি বোধগম্য সমতা হয়ে উঠেছে

0 = 1…

বৈজ্ঞানিকভাবে বলতে গেলে, আমরা পেয়েছি মিথ্যা সমতা।কিন্তু রাশিয়ান ভাষায় এটি সত্য নয়। বাজে কথা. বাজে কথা।) কারণ শূন্য কোনোভাবেই একের সমান নয়!

এবং এখন আসুন আবার বের করা যাক, আসল সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হলে কী ধরনের X আমাদের দেবে প্রকৃত সমতা?কোনটি? কিন্তু কোনটাই! আপনি X কে প্রতিস্থাপন করুন না কেন, সবকিছু এখনও সংক্ষিপ্ত হবে এবং সবকিছুই বাজে থাকবে।)

এখানে উত্তর: কোন সমাধান.

ভিতরে গাণিতিক স্বরলিপিএই ধরনের একটি প্রতিক্রিয়া এই মত ফর্ম্যাট করা হয়:

এটি পড়ে: "এক্স খালি সেটের অন্তর্গত।"

গণিতে এই ধরনের উত্তরগুলি প্রায়শই ঘটে: সর্বদা নীতিগতভাবে কোনও সমীকরণের মূল থাকে না। কিছু সমীকরণের একেবারে শিকড় নাও থাকতে পারে। আদৌ।

এখানে দুটি চমক। আমি আশা করি যে এখন সমীকরণ থেকে X এর হঠাৎ অদৃশ্য হয়ে যাওয়া আপনাকে চিরতরে বিভ্রান্ত করবে না। এটি বেশ পরিচিত।)

এবং তারপরে আমি একটি যৌক্তিক প্রশ্ন শুনি: তারা কি ওজিই বা ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় থাকবে? একটি টাস্ক হিসাবে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা নিজেই - না. খুবই সহজ. কিন্তু ওজিই বা শব্দ সমস্যায় - সহজে! সুতরাং এখন প্রশিক্ষণ এবং সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক:

উত্তর (বিশৃঙ্খলায়): -2; -1; যেকোনো সংখ্যা; 2; কোন সমাধান নেই; 7/13।

সব কাজ আউট? দারুণ! পরীক্ষায় তোমার ভালো সুযোগ আছে।

কিছু যোগ আপ না? হুম... দুঃখ, অবশ্যই। এর মানে এখনও কোথাও ফাঁক আছে। হয় মৌলিক বা অভিন্ন রূপান্তরে। অথবা এটি কেবল সাধারণ অমনোযোগের বিষয়। পাঠ আবার পড়ুন। কারণ এটি এমন একটি বিষয় নয় যেটি গণিতে এত সহজে ডিসপেন্ড করা যায়...

শুভকামনা! তিনি অবশ্যই আপনার দিকে হাসবেন, বিশ্বাস করুন!)