প্যারাবোলা তত্ত্ব। প্যারাবোলা - একটি দ্বিঘাত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ

একটি প্যারাবোলা হল একটি অসীম বক্ররেখা যা একটি প্রদত্ত রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু নিয়ে গঠিত, যাকে প্যারাবোলার নির্দেশক বলা হয় এবং একটি প্রদত্ত বিন্দু, প্যারাবোলার ফোকাস। একটি প্যারাবোলা একটি কনিক বিভাগ, অর্থাৎ এটি একটি সমতল এবং একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর ছেদকে প্রতিনিধিত্ব করে।

ভিতরে সাধারণ দৃষ্টিকোণএকটি প্যারাবোলার গাণিতিক সমীকরণের ফর্ম রয়েছে: y=ax^2+bx+c, যেখানে a শূন্যের সমান নয়, b হল উৎপত্তির সাপেক্ষে ফাংশন গ্রাফের অনুভূমিক স্থানচ্যুতি প্রতিফলিত করে এবং c হল এর উল্লম্ব স্থানচ্যুতি। উৎপত্তির সাথে সম্পর্কিত ফাংশন গ্রাফ। অধিকন্তু, যদি a>0 হয়, তাহলে গ্রাফটি প্লট করার সময় তারা উপরের দিকে নির্দেশিত হবে, এবং যদি একটি প্যারাবোলার বৈশিষ্ট্য

একটি প্যারাবোলা হল একটি দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা যা প্যারাবোলার ফোকাসের মধ্য দিয়ে যাওয়া প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ এবং প্যারাবোলার নির্দেশিকায় লম্ব।

একটি প্যারাবোলার একটি বিশেষ অপটিক্যাল বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা আলোক রশ্মিগুলিকে তার অক্ষের সমান্তরালে ফোকাস করে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুতে প্যারাবোলায় নির্দেশিত করে এবং প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুতে নির্দেশিত আলোর রশ্মিকে সমান্তরাল আলোক রশ্মিতে নিবদ্ধ করে। একই অক্ষ

আপনি যদি কোন স্পর্শক সাপেক্ষে একটি প্যারাবোলা প্রতিফলিত করেন, তাহলে প্যারাবোলার চিত্রটি তার নির্দেশিকায় প্রদর্শিত হবে। সমস্ত প্যারাবোলা একে অপরের অনুরূপ, অর্থাৎ, একটি প্যারাবোলার প্রতিটি দুটি বিন্দু A এবং B এর জন্য, A1 এবং B1 বিন্দু রয়েছে যার জন্য বিবৃতি |A1,B1| = |A,B|*k, যেখানে k হল সাদৃশ্য সহগ, যার সংখ্যাগত মান সর্বদা শূন্যের চেয়ে বেশি।

জীবনের একটি প্যারাবোলার প্রকাশ

কিছু মহাজাগতিক সংস্থা, যেমন ধূমকেতু বা গ্রহাণু, মহাকাশের বড় বস্তুর কাছাকাছি চলে যাচ্ছে উচ্চ গতিএকটি প্যারাবোলা আকারে একটি গতিপথ আছে. ছোট মহাজাগতিক দেহের এই বৈশিষ্ট্যটি মহাকাশযানের মহাকর্ষীয় কৌশলে ব্যবহৃত হয়।

ভবিষ্যতের মহাকাশচারীদের প্রশিক্ষণের জন্য, একটি প্যারাবোলিক ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর মাটিতে বিশেষ বিমানের ফ্লাইট চালানো হয়, যার ফলে পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে ওজনহীনতার প্রভাব অর্জন করা হয়।

দৈনন্দিন জীবনে, প্যারাবোলাগুলি বিভিন্ন আলোর ফিক্সচারে পাওয়া যায়। এটি একটি প্যারাবোলার অপটিক্যাল সম্পত্তির কারণে। আলোক রশ্মিকে ফোকাস এবং ডিফোকাস করার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে প্যারাবোলা ব্যবহার করার সর্বশেষ উপায়গুলির মধ্যে একটি হল সৌর প্যানেল, যা রাশিয়ার দক্ষিণাঞ্চলে শক্তি সরবরাহ খাতে ক্রমবর্ধমানভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হচ্ছে।

ফর্মের একটি ফাংশন যেখানে বলা হয় দ্বিঘাত ফাংশন.

একটি দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ - পরাবৃত্ত.

আসুন কেস বিবেচনা করা যাক:

আমি কেস, ক্লাসিক্যাল প্যারাবোলা

এটাই , ,

গঠন করতে, x মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে টেবিলটি পূরণ করুন:

পয়েন্ট চিহ্নিত করুন (0;0); (1;1); (-1;1), ইত্যাদি স্থানাঙ্ক সমতলে (আমরা x মান যত ছোট করি (in এক্ষেত্রেধাপ 1), এবং আমরা যত বেশি x মান নিব, বক্ররেখা তত মসৃণ হবে), আমরা একটি প্যারাবোলা পাই:

এটা দেখা সহজ যে যদি আমরা কেস , , , ধরি, তাহলে আমরা একটি প্যারাবোলা পাই যা অক্ষের (ওহ) সম্পর্কে প্রতিসম। একটি অনুরূপ টেবিল পূরণ করে এটি যাচাই করা সহজ:

II কেস, "a" ইউনিট থেকে আলাদা

আমরা নিলে কি হবে,,? প্যারাবোলার আচরণের পরিবর্তন হবে কিভাবে? শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা) সহ" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

প্রথম ছবিতে (উপরে দেখুন) এটি স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান যে প্যারাবোলার জন্য টেবিলের বিন্দুগুলি (1;1), (-1;1) বিন্দুতে রূপান্তরিত হয়েছিল (1;4), (1;-4), অর্থাৎ, একই মান সহ, প্রতিটি বিন্দুর অর্ডিনেটকে 4 দ্বারা গুণ করা হয়। এটি মূল টেবিলের সমস্ত মূল বিন্দুতে ঘটবে। আমরা ছবি 2 এবং 3 এর ক্ষেত্রে একইভাবে যুক্তি দিই।

এবং যখন প্যারাবোলা প্যারাবোলার চেয়ে "প্রশস্ত হয়ে যায়":

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:

1)গুণাঙ্কের চিহ্ন শাখাগুলির দিক নির্ধারণ করে। শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা) সহ" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) পরম মানসহগ (মডুলাস) প্যারাবোলার "সম্প্রসারণ" এবং "সংকোচনের" জন্য দায়ী। প্যারাবোলা যত বড়, তত সংকীর্ণ; ছোট |a|, প্যারাবোলা ততো চওড়া।

III কেস, "C" হাজির

এখন গেমের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক (অর্থাৎ, যখন কেসটি বিবেচনা করুন), আমরা ফর্মের প্যারাবোলা বিবেচনা করব। এটি অনুমান করা কঠিন নয় (আপনি সর্বদা টেবিলটি উল্লেখ করতে পারেন) যে চিহ্নের উপর নির্ভর করে প্যারাবোলা অক্ষ বরাবর উপরে বা নীচে সরে যাবে:

IV কেস, "b" হাজির

কখন প্যারাবোলা অক্ষ থেকে "দূরে" যাবে এবং অবশেষে সমগ্র স্থানাঙ্ক সমতল বরাবর "হাঁটবে"? কবে সমান হওয়া বন্ধ হবে?

এখানে একটি প্যারাবোলা তৈরি করতে আমাদের প্রয়োজন শীর্ষবিন্দু গণনার জন্য সূত্র: , .

সুতরাং এই বিন্দুতে (বিন্দু হিসাবে (0; 0) নতুন সিস্টেমস্থানাঙ্ক) আমরা একটি প্যারাবোলা তৈরি করব, যা আমরা ইতিমধ্যে করতে পারি। যদি আমরা কেসটি নিয়ে কাজ করি, তাহলে শীর্ষবিন্দু থেকে আমরা ডানদিকে এক ইউনিট সেগমেন্ট রাখি, এক উপরে, - ফলস্বরূপ বিন্দুটি আমাদের (একইভাবে, বাম দিকে একটি ধাপ, একটি ধাপ উপরে আমাদের বিন্দু); যদি আমরা এর সাথে কাজ করি, উদাহরণস্বরূপ, তাহলে শীর্ষবিন্দু থেকে আমরা ডানদিকে একটি ইউনিট সেগমেন্ট রাখি, দুই - ঊর্ধ্বমুখী, ইত্যাদি।

উদাহরণস্বরূপ, একটি প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু:

এখন মূল জিনিসটি বুঝতে হবে যে এই শীর্ষে আমরা প্যারাবোলা প্যাটার্ন অনুসারে একটি প্যারাবোলা তৈরি করব, কারণ আমাদের ক্ষেত্রে।

একটি প্যারাবোলা নির্মাণ করার সময় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাওয়ার পরনিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করা সুবিধাজনক:

1) পরাবৃত্ত স্পষ্টভাবে বিন্দু মাধ্যমে পাস হবে . প্রকৃতপক্ষে, সূত্রে x=0 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা তা পাই। অর্থাৎ, অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুর অর্ডিনেট হল (oy)। আমাদের উদাহরণে (উপরে), প্যারাবোলা অর্ডিনেটকে বিন্দুতে ছেদ করে, যেহেতু।

2) প্রতিসাম্য অক্ষ প্যারাবোলাস একটি সরল রেখা, তাই প্যারাবোলার সমস্ত বিন্দু এটি সম্পর্কে প্রতিসম হবে। আমাদের উদাহরণে, আমরা অবিলম্বে বিন্দু (0; -2) গ্রহণ করি এবং প্যারাবোলার প্রতিসাম্য অক্ষের সাথে এটিকে প্রতিসাম্য তৈরি করি, আমরা বিন্দুটি (4; -2) পাই যার মধ্য দিয়ে প্যারাবোলাটি যাবে।

3) সমীকরণ করে, আমরা অক্ষ (ওহ) সহ প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণটি সমাধান করি। বৈষম্যকারীর উপর নির্ভর করে, আমরা একটি (, ), দুটি ( title="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা) পাব" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . পূর্ববর্তী উদাহরণে, আমাদের বৈষম্যকারীর মূলটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয়; নির্মাণ করার সময়, শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়া আমাদের পক্ষে খুব বেশি অর্থবোধ করে না, তবে আমরা স্পষ্টভাবে দেখতে পাচ্ছি যে আমাদের অক্ষের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু থাকবে (ওহ) (যেহেতু শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

তাই এর কাজ করা যাক

একটি প্যারাবোলা নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদম যদি এটি আকারে দেওয়া হয়

1) শাখার দিক নির্ণয় কর (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) আমরা সূত্র ব্যবহার করে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই।

3) আমরা মুক্ত শব্দটি ব্যবহার করে অক্ষ (oy) এর সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দু খুঁজে পাই, প্যারাবোলার প্রতিসাম্য অক্ষের সাথে সাপেক্ষে এই বিন্দুতে প্রতিসাম্য একটি বিন্দু তৈরি করি (এটি লক্ষ করা উচিত যে এটি চিহ্নিত করা অলাভজনক এই পয়েন্ট, উদাহরণস্বরূপ, কারণ মানটি বড়... আমরা এই পয়েন্টটি এড়িয়ে যাই...)

4) পাওয়া বিন্দুতে - প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু (নতুন স্থানাঙ্ক সিস্টেমের বিন্দুতে (0;0) হিসাবে) আমরা একটি প্যারাবোলা তৈরি করি। যদি শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) আমরা সমীকরণটি সমাধান করে অক্ষ (oy) (যদি তারা এখনও "সার্ফেস" না করে থাকে) সহ প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পাই

উদাহরণ 1

উদাহরণ 2

নোট 1.যদি প্যারাবোলাটি প্রাথমিকভাবে আমাদের আকারে দেওয়া হয়, যেখানে কিছু সংখ্যা (উদাহরণস্বরূপ, ), তাহলে এটি নির্মাণ করা আরও সহজ হবে, কারণ আমাদের ইতিমধ্যে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে। কেন?

চলুন একটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক নিই এবং এতে সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করি: দেখুন, আমরা এটি পেয়েছি ,। আপনি এবং আমি পূর্বে একটি প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুকে বলতাম, অর্থাৎ এখন,।

উদাহরণ স্বরূপ, . আমরা সমতলে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করি, আমরা বুঝতে পারি যে শাখাগুলি নীচের দিকে পরিচালিত হয়, প্যারাবোলা প্রসারিত হয় (এর সাথে সম্পর্কিত)। যে, আমরা পয়েন্ট 1 বহন; 3; 4; একটি প্যারাবোলা নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদম থেকে 5 (উপরে দেখুন)।

নোট 2।যদি প্যারাবোলাকে এর অনুরূপ একটি আকারে দেওয়া হয় (অর্থাৎ, দুটি রৈখিক কারণের গুণফল হিসাবে উপস্থাপিত), তবে আমরা অবিলম্বে অক্ষ (ষাঁড়) এর সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি দেখতে পাই। এই ক্ষেত্রে - (0;0) এবং (4;0)। বাকি জন্য, আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ, বন্ধনী খোলার.

একটি প্যারাবোলা হল একটি প্রদত্ত বিন্দু F থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থান এবং একটি প্রদত্ত সরল রেখা d এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে না প্রদত্ত বিন্দু. এই জ্যামিতিক সংজ্ঞা প্রকাশ করে একটি প্যারাবোলার নির্দেশিক সম্পত্তি.

একটি প্যারাবোলার নির্দেশিক সম্পত্তি

বিন্দু F কে প্যারাবোলার ফোকাস বলা হয়, লাইন d হল প্যারাবোলার ডাইরেক্ট্রিক্স, ফোকাস থেকে ডিরেক্ট্রিক্সে নিচু হওয়া লম্বের মধ্যবিন্দু O হল প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু, ফোকাস থেকে ডিরেক্ট্রিক্সের দূরত্ব p। প্যারাবোলার প্যারামিটার এবং প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু থেকে এর ফোকাস পর্যন্ত দূরত্ব \frac(p)(2) হল ফোকাল দৈর্ঘ্য (চিত্র 3.45a)। ডাইরেক্ট্রিক্সের লম্ব সরলরেখা এবং ফোকাসের মধ্য দিয়ে যাওয়াকে প্যারাবোলার অক্ষ (প্যারাবোলার ফোকাল অক্ষ) বলা হয়। প্যারাবোলার একটি নির্বিচারী বিন্দু M কে তার ফোকাসের সাথে সংযুক্ত করে সেগমেন্ট FM কে M বিন্দুর ফোকাল ব্যাসার্ধ বলে। একটি প্যারাবোলার দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী অংশটিকে প্যারাবোলার জ্যা বলে।

একটি প্যারাবোলার একটি নির্বিচারে বিন্দুর জন্য, ফোকাসের দূরত্ব থেকে ডিরেক্ট্রিক্সের দূরত্বের অনুপাত একের সমান। , এবং প্যারাবোলাসের নির্দেশিক বৈশিষ্ট্যের তুলনা করে, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি প্যারাবোলা উন্মাদনাসংজ্ঞা অনুসারে একের সমান (e=1)।

একটি প্যারাবোলার জ্যামিতিক সংজ্ঞা, তার নির্দেশিক সম্পত্তি প্রকাশ করে, তার বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞার সমতুল্য - দ্বারা প্রদত্ত লাইন ক্যানোনিকাল সমীকরণপ্যারাবোলাস:

প্রকৃতপক্ষে, আসুন একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করি (চিত্র 3.45, খ)। আমরা প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু O কে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উৎপত্তি হিসাবে নিই; আমরা ফোকাস লম্বের মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাটিকে অ্যাবসিসা অক্ষ হিসাবে গ্রহণ করি (এটির ধনাত্মক দিকটি O বিন্দু থেকে F বিন্দু পর্যন্ত); আসুন আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের লম্ব সরল রেখাটি গ্রহণ করি এবং অর্ডিনেট অক্ষ হিসাবে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছি (অর্ডিনেট অক্ষের দিকটি বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি ঠিক থাকে)।

এর জ্যামিতিক সংজ্ঞা ব্যবহার করে একটি প্যারাবোলার জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক, যা একটি প্যারাবোলার নির্দেশিক বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে। নির্বাচিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমে, আমরা ফোকাসের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করি F\!\left(\frac(p)(2);\,0\ডান)এবং ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ x=-\frac(p)(2)। প্যারাবোলার অন্তর্গত একটি নির্বিচারে বিন্দু M(x,y) এর জন্য, আমাদের আছে:

FM=MM_d,

কোথায় M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - অর্থোগ্রাফিক অভিক্ষেপডিরেক্ট্রিক্সে M(x,y) পয়েন্ট করে। আমরা এই সমীকরণটি স্থানাঙ্ক আকারে লিখি:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

আমরা সমীকরণের উভয় পাশে বর্গক্ষেত্র করি: (\বাম(x-\frac(p)(2)\ডান)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. অনুরূপ পদ আনা, আমরা পেতে ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ

y^2=2\cdot p\cdot x,সেগুলো. নির্বাচিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি ক্যানোনিকাল।

মধ্যে যুক্তি দ্বারা বিপরীত ক্রম, এটি দেখানো যেতে পারে যে সমস্ত বিন্দু যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (3.51) সন্তুষ্ট করে এবং শুধুমাত্র তারাই প্যারাবোলা নামক বিন্দুগুলির অবস্থানের অন্তর্গত। সুতরাং, একটি প্যারাবোলার বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা তার জ্যামিতিক সংজ্ঞার সমতুল্য, যা একটি প্যারাবোলার নির্দেশিক বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে।

মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্যারাবোলা সমীকরণ

পোলার স্থানাঙ্ক সিস্টেম Fr\varphi (চিত্র 3.45, c) এর একটি প্যারাবোলার সমীকরণের ফর্ম রয়েছে

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),যেখানে p হল প্যারাবোলার প্যারামিটার, এবং e=1 হল এর বিকেন্দ্রতা।

প্রকৃতপক্ষে, মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মেরু হিসাবে আমরা প্যারাবোলার ফোকাস F বেছে নিই, এবং মেরু অক্ষ হিসাবে - F বিন্দুতে শুরু সহ একটি রশ্মি, নির্দেশকটির সাথে লম্ব এবং এটিকে ছেদ করে না (চিত্র 3.45, c) . তারপর প্যারাবোলার জ্যামিতিক সংজ্ঞা (দিকনির্দেশক সম্পত্তি) অনুসারে প্যারাবোলার অন্তর্গত একটি নির্বিচারে বিন্দু M(r,\varphi) এর জন্য, আমাদের আছে MM_d=r। কারন MM_d=p+r\cos\varphi, আমরা সমন্বিত আকারে প্যারাবোলা সমীকরণ পাই:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. উল্লেখ্য যে মেরু স্থানাঙ্কে উপবৃত্তের সমীকরণ, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলা একত্রিত হয়, তবে বিভিন্ন রেখা বর্ণনা করে, যেহেতু তারা বিকেন্দ্রিকতায় ভিন্ন (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 এর জন্য)।

প্যারাবোলা সমীকরণে প্যারামিটারের জ্যামিতিক অর্থ

এর ব্যাখ্যা করা যাক জ্যামিতিক অর্থপ্যারামিটার p ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণে। x=\frac(p)(2) কে সমীকরণে (3.51) প্রতিস্থাপন করে, আমরা y^2=p^2 পাই, অর্থাৎ y=\pm p। অতএব, প্যারামিটার p হল প্যারাবোলার কর্ডের অর্ধেক দৈর্ঘ্য যা এর ফোকাস প্যারাবোলার অক্ষের লম্বের মধ্য দিয়ে যায়।

প্যারাবোলার ফোকাল প্যারামিটার, সেইসাথে একটি উপবৃত্ত এবং একটি হাইপারবোলার জন্য, বলা হয় জ্যার অর্ধেক দৈর্ঘ্য যা তার ফোকাস অক্ষের ঋজু মধ্য দিয়ে যায় (চিত্র 3.45, c দেখুন)। এ পোলার স্থানাঙ্কে প্যারাবোলা সমীকরণ থেকে \varphi=\frac(\pi)(2)আমরা r=p পাই, i.e. প্যারাবোলার প্যারামিটার তার ফোকাল প্যারামিটারের সাথে মিলে যায়।

নোট 3.11।

1. একটি প্যারাবোলার প্যারামিটার p তার আকৃতিকে চিহ্নিত করে। বৃহত্তর p, প্যারাবোলার শাখা প্রশস্ত, p শূন্যের কাছাকাছি, প্যারাবোলার শাখাগুলি সংকীর্ণ (চিত্র 3.46)।

2. সমীকরণ y^2=-2px (p>0 এর জন্য) একটি প্যারাবোলাকে সংজ্ঞায়িত করে, যা অর্ডিনেট অক্ষের বাম দিকে অবস্থিত (চিত্র 3.47,a)। x-অক্ষের (3.37) দিক পরিবর্তন করে এই সমীকরণটি ক্যানোনিকাল এক হয়ে গেছে। চিত্রে। 3.47,a প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি এবং ক্যানোনিকাল অক্স "y" দেখায়।

3. সমীকরণ (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0শীর্ষবিন্দু O"(x_0,y_0) সহ একটি প্যারাবোলাকে সংজ্ঞায়িত করে, যার অক্ষটি অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল (চিত্র 3.47,6)। সমান্তরাল অনুবাদ (3.36) ব্যবহার করে এই সমীকরণটি ক্যানোনিকালটিতে হ্রাস করা হয়েছে।

সমীকরণটি (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, শীর্ষবিন্দু O"(x_0,y_0) এর সাথে একটি প্যারাবোলাকেও সংজ্ঞায়িত করে, যার অক্ষটি অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল (চিত্র 3.47, c)। সমান্তরাল অনুবাদ (3.36) ব্যবহার করে এই সমীকরণটি ক্যানোনিকাল তে নামানো হয় এবং এর নাম পরিবর্তন করা হয়। স্থানাঙ্ক অক্ষ (3.38) চিত্র 3.47,b,c-এ প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি এবং ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্স"y" চিত্রিত করা হয়েছে।

4. y=ax^2+bx+c, ~a\ne0বিন্দুতে শীর্ষবিন্দু সহ একটি প্যারাবোলা O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), যার অক্ষটি অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল, প্যারাবোলার শাখাগুলি ঊর্ধ্বমুখী (a>0 এর জন্য) বা নীচের দিকে (একটির জন্য)<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

যা ক্যানোনিকাল ফর্ম (y")^2=2px" , যেখানে হ্রাস করা হয় p=\left|\frac(1)(2a)\right|, প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে y"=x+\frac(b)(2a)এবং x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

চিহ্নটি অগ্রণী সহগ a-এর চিহ্নের সাথে মিলে যাওয়ার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছে। এই প্রতিস্থাপন রচনা অনুরূপ: সমান্তরাল স্থানান্তর (3.36) সঙ্গে x_0=-\frac(b)(2a)এবং y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), স্থানাঙ্ক অক্ষের নাম পরিবর্তন করা (3.38), এবং a এর ক্ষেত্রে<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 এবং ক<0 соответственно.

5. ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের x-অক্ষ হল প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ, যেহেতু y পরিবর্তনশীলকে -y দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে সমীকরণ পরিবর্তন হয় না (3.51)। অন্য কথায়, প্যারাবোলার অন্তর্গত M(x,y) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং M"(x,-y) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, x-অক্ষের সাপেক্ষে M বিন্দুর প্রতিসম, সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (3.S1) ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষগুলিকে বলা হয় প্যারাবোলার প্রধান অক্ষ.

উদাহরণ 3.22। ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিতে প্যারাবোলা y^2=2x আঁকুন। ফোকাল প্যারামিটার, ফোকাল স্থানাঙ্ক এবং ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান।আমরা একটি প্যারাবোলা তৈরি করি, অ্যাবসিসা অক্ষের (চিত্র 3.49) সাপেক্ষে এর প্রতিসাম্য বিবেচনা করে। প্রয়োজনে প্যারাবোলার কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। উদাহরণ স্বরূপ, প্যারাবোলা সমীকরণে x=2 প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. ফলস্বরূপ, স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু (2;2),\,(2;-2) প্যারাবোলার অন্তর্গত।

প্রদত্ত সমীকরণটি ক্যানোনিকাল এক (3.S1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা ফোকাল প্যারামিটার নির্ধারণ করি: p=1। ফোকাস স্থানাঙ্ক x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, অর্থাৎ F\!\left(\frac(1)(2),\,0\ডান). আমরা directrix এর সমীকরণ রচনা করি x=-\frac(p)(2), অর্থাৎ x=-\frac(1)(2)।

উপবৃত্ত, অতিবৃত্ত, প্যারাবোলার সাধারণ বৈশিষ্ট্য

1. ডিরেক্টরিয়াল প্রোপার্টি একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা, প্যারাবোলার একক সংজ্ঞা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে (চিত্র 3.50 দেখুন): সমতলে বিন্দুগুলির অবস্থান, যার প্রত্যেকটির জন্য একটি প্রদত্ত বিন্দু F (ফোকাস) থেকে দূরত্বের অনুপাত একটি প্রদত্ত সরলরেখা d (ডাইরেক্ট্রিক্স) একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে না যাওয়া দূরত্বের অনুপাত ধ্রুবক এবং বিকেন্দ্রতা e এর সমান , বলা হয়:

ক) যদি 0\leqslant e<1 ;

খ) যদি e>1;

গ) প্যারাবোলা যদি e=1।

2. একটি উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত, এবং প্যারাবোলা একটি বৃত্তাকার শঙ্কুর অংশে সমতল হিসাবে প্রাপ্ত হয় এবং তাই বলা হয় কনিক বিভাগ. এই বৈশিষ্ট্যটি একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলার জ্যামিতিক সংজ্ঞা হিসাবেও কাজ করতে পারে।

3. উপবৃত্তের সাধারণ বৈশিষ্ট্য, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলা অন্তর্ভুক্ত দ্বিখণ্ডিত সম্পত্তিতাদের স্পর্শক অধীন স্পর্শককোন বিন্দুতে একটি রেখাকে K কে সেক্যান্ট KM-এর সীমাবদ্ধ অবস্থান বলে বোঝা যায় যখন বিন্দু M, বিবেচনাধীন রেখায় অবশিষ্ট, K বিন্দুতে থাকে। একটি সরল রেখা একটি স্পর্শক থেকে একটি রেখার উপর লম্ব এবং স্পর্শক বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়াকে বলে স্বাভাবিকএই লাইনে।

একটি উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং প্যারাবোলার স্পর্শক (এবং স্বাভাবিক) এর দ্বিখণ্ডিত সম্পত্তি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: স্পর্শক (স্বাভাবিক) একটি উপবৃত্ত বা অতিবৃত্তের স্পর্শক বিন্দুর ফোকাল রেডিআইয়ের সাথে সমান কোণ গঠন করে(চিত্র 3.51, a, b); প্যারাবোলার স্পর্শক (স্বাভাবিক) স্পর্শক বিন্দুর ফোকাল ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ গঠন করে এবং এটি থেকে ডাইরেক্ট্রিক্সে নেমে যাওয়া লম্ব(চিত্র 3.51, গ)। অন্য কথায়, K বিন্দুতে উপবৃত্তের স্পর্শক হল F_1KF_2 ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডক (এবং স্বাভাবিক হল ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ F_1KF_2-এর দ্বিখণ্ডক); হাইপারবোলার স্পর্শক হল F_1KF_2 ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক (এবং স্বাভাবিক হল বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডক); প্যারাবোলার স্পর্শক হল FKK_d ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক (এবং স্বাভাবিক হল বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডক)। একটি প্যারাবোলার স্পর্শকটির দ্বিখণ্ডিত সম্পত্তি একটি উপবৃত্ত এবং একটি অতিবৃত্তের মতো একইভাবে তৈরি করা যেতে পারে, যদি আমরা ধরে নিই যে অসীমতার একটি বিন্দুতে প্যারাবোলার দ্বিতীয় ফোকাস রয়েছে।

4. দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য থেকে এটি অনুসরণ করে উপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলার অপটিক্যাল বৈশিষ্ট্য, "ফোকাস" শব্দটির শারীরিক অর্থ ব্যাখ্যা করে। ফোকাল অক্ষের চারপাশে একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা বা প্যারাবোলা ঘোরানোর মাধ্যমে গঠিত পৃষ্ঠগুলিকে কল্পনা করা যাক। যদি এই পৃষ্ঠগুলিতে একটি প্রতিফলিত আবরণ প্রয়োগ করা হয় তবে উপবৃত্তাকার, অধিবৃত্তীয় এবং প্যারাবোলিক আয়না পাওয়া যায়। আলোকবিজ্ঞানের সূত্র অনুসারে, একটি আয়নায় আলোক রশ্মির আপতন কোণ প্রতিফলনের কোণের সমান, অর্থাৎ ঘটনা এবং প্রতিফলিত রশ্মি পৃষ্ঠের স্বাভাবিকের সাথে সমান কোণ তৈরি করে এবং উভয় রশ্মি এবং ঘূর্ণনের অক্ষ একই সমতলে থাকে। এখান থেকে আমরা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য পেতে পারি:

– যদি আলোর উৎস একটি উপবৃত্তাকার আয়নার ফোকাসগুলির একটিতে অবস্থিত হয়, তবে আয়না থেকে প্রতিফলিত আলোর রশ্মিগুলি অন্য ফোকাসে সংগ্রহ করা হয় (চিত্র 3.52, a);

– যদি আলোর উৎস একটি হাইপারবোলিক মিররের একটি ফোকাসে অবস্থিত থাকে, তাহলে আলোর রশ্মি, আয়না থেকে প্রতিফলিত হয়, অন্য ফোকাস থেকে আসা আলোর রশ্মিগুলি বিচ্ছিন্ন হয় (চিত্র 3.52, b);

– যদি আলোর উৎস একটি প্যারাবোলিক মিররের ফোকাসে থাকে, তাহলে আলোক রশ্মি, আয়না থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফোকাল অক্ষের সমান্তরালে যায় (চিত্র 3.52, c)।

5. ডায়ামেট্রিক সম্পত্তিউপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলা নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে:

– উপবৃত্তের (হাইপারবোলা) সমান্তরাল জ্যাগুলির মধ্যবিন্দুগুলি উপবৃত্তের (হাইপারবোলা) কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখায় অবস্থিত;

– একটি প্যারাবোলার সমান্তরাল জ্যাগুলির মধ্যবিন্দুগুলি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের সোজা, সমরেখার অক্ষের উপর অবস্থিত.

একটি উপবৃত্তের (হাইপারবোলা, প্যারাবোলা) সমস্ত সমান্তরাল জ্যাগুলির মধ্যবিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থানকে বলা হয় উপবৃত্তের ব্যাস (হাইপারবোলা, প্যারাবোলা), এই chords সংগঠিত.

এটি সংকীর্ণ অর্থে ব্যাসের সংজ্ঞা (উদাহরণ 2.8 দেখুন)। পূর্বে, ব্যাসের একটি সংজ্ঞা একটি বিস্তৃত অর্থে দেওয়া হয়েছিল, যেখানে একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা, প্যারাবোলা এবং অন্যান্য দ্বিতীয় ক্রম রেখার ব্যাস হল একটি সরল রেখা যেখানে সমস্ত সমান্তরাল জ্যাগুলির মধ্যবিন্দু রয়েছে। একটি সংকীর্ণ অর্থে, একটি উপবৃত্তের ব্যাস হল তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া কোনো জ্যা (চিত্র 3.53, a); হাইপারবোলার ব্যাস হল হাইপারবোলার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া কোনো সরল রেখা (অ্যাসিম্পটোটস ব্যতীত), অথবা এই ধরনের সরলরেখার অংশ (চিত্র 3.53,6); প্যারাবোলার ব্যাস হল প্যারাবোলার একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্গত যেকোন রশ্মি এবং প্রতিসাম্যের অক্ষের সমরেখায় (চিত্র 3.53, c)।

দুটি ব্যাস, যার প্রত্যেকটি অন্য ব্যাসের সমান্তরাল সমস্ত জ্যাকে দ্বিখণ্ডিত করে, তাকে কনজুগেট বলে। চিত্র 3.53-এ, গাঢ় রেখাগুলি একটি উপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলার সংযোজিত ব্যাস দেখায়।

K বিন্দুতে উপবৃত্তের স্পর্শক (হাইপারবোলা, প্যারাবোলা) সমান্তরাল সেকেন্ট M_1M_2 এর সীমা অবস্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যখন বিন্দু M_1 এবং M_2, বিবেচনাধীন রেখায় অবশিষ্ট থাকে, K বিন্দুতে থাকে। এই সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে জ্যাগুলির সমান্তরাল একটি স্পর্শক এই জ্যাগুলির সাথে ব্যাসের সংযোজিত প্রান্তের মধ্য দিয়ে যায়।

6. উপবৃত্ত, হাইপারবোলা এবং প্যারাবোলার উপরে উল্লেখিতগুলি ছাড়াও অসংখ্য জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য এবং ভৌত প্রয়োগ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 3.50 মাধ্যাকর্ষণ F কেন্দ্রের আশেপাশে অবস্থিত মহাকাশ বস্তুর গতিপথের একটি চিত্র হিসাবে পরিবেশন করতে পারে।

সমতলে একটি রেখা এবং এই লাইনের উপর না থাকা একটি বিন্দু বিবেচনা করুন। এবং উপবৃত্ত, এবং অধিবৃত্তবিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থান হিসাবে একটি সমন্বিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার জন্য একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব থেকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক মান

পদমর্যাদা ε। 0 1 এ - হাইপারবোলা। প্যারামিটার ε হল উপবৃত্ত এবং অতিবৃত্ত উভয়েরই বিকেন্দ্রতা. প্যারামিটারের সম্ভাব্য ইতিবাচক মানগুলির মধ্যে ε, একটি, যথা ε = 1, অব্যবহৃত হতে দেখা যাচ্ছে। এই মানটি একটি প্রদত্ত বিন্দু এবং একটি প্রদত্ত রেখা থেকে সমদূরত্বের বিন্দুগুলির জ্যামিতিক অবস্থানের সাথে মিলে যায়।

সংজ্ঞা 8.1।একটি স্থির বিন্দু এবং একটি স্থির রেখা থেকে সমতলে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থানকে বলে পরাবৃত্ত.

স্থির বিন্দু বলা হয় প্যারাবোলার ফোকাস, এবং সরলরেখা - একটি প্যারাবোলার directrix. একই সঙ্গে এটা বিশ্বাস করা হয় প্যারাবোলা উন্মাদনাএকের সমান

জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্যারাবোলাটি ডাইরেক্ট্রিক্সের লম্ব সরলরেখার সাপেক্ষে এবং প্যারাবোলার ফোকাসের মধ্য দিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে প্রতিসম। এই সরলরেখাকে বলা হয় প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ বা সহজভাবে প্যারাবোলার অক্ষ. একটি প্যারাবোলা তার প্রতিসাম্যের অক্ষকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। এই পয়েন্ট বলা হয় প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু. এটি প্যারাবোলার ফোকাসকে তার অক্ষের ছেদ বিন্দুর সাথে ডাইরেক্ট্রিক্সের সাথে সংযুক্ত করে সেগমেন্টের মাঝখানে অবস্থিত (চিত্র 8.3)।

প্যারাবোলা সমীকরণ।একটি প্যারাবোলার সমীকরণ বের করতে, আমরা সমতলে বেছে নিই মূলপ্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুতে, যেমন x-অক্ষ- প্যারাবোলার অক্ষ, ইতিবাচক দিক যার উপর ফোকাসের অবস্থান দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় (চিত্র 8.3 দেখুন)। এই সমন্বয় সিস্টেম বলা হয় ক্যানোনিকালপ্রশ্নে প্যারাবোলার জন্য, এবং সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবলগুলি হল ক্যানোনিকাল.

ফোকাস থেকে ডিরেক্ট্রিক্সের দূরত্ব p দ্বারা বোঝাই। তাকে বলা হয় প্যারাবোলার ফোকাল প্যারামিটার.

তারপর ফোকাসে F(p/2; 0) স্থানাঙ্ক রয়েছে এবং ডিরেক্ট্রিক্স d কে x = - p/2 সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে। বিন্দুর অবস্থান M(x; y), বিন্দু F থেকে সমদূরত্ব এবং লাইন d থেকে, সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

আসুন বর্গাকার সমীকরণ (8.2) এবং অনুরূপ সমীকরণ উপস্থাপন করি। আমরা সমীকরণ পেতে

চমগ্মজগচ ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ.

মনে রাখবেন যে এই ক্ষেত্রে বর্গকরণ হল সমীকরণের একটি সমতুল্য রূপান্তর (8.2), যেহেতু সমীকরণের উভয় দিকই নেতিবাচক নয়, যেমন র্যাডিকেলের অধীনে অভিব্যক্তি।

প্যারাবোলার প্রকার।যদি প্যারাবোলা y 2 = x, যে ফর্মটিকে আমরা পরিচিত বলে মনে করি, সেটিকে অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর একটি সহগ 1/(2р) দিয়ে সংকুচিত করা হয়, তাহলে সাধারণ ফর্মের একটি প্যারাবোলা পাওয়া যায়, যা সমীকরণ (8.3) দ্বারা বর্ণিত হয়।

উদাহরণ 8.2।আসুন আমরা ফোকাসের স্থানাঙ্ক এবং প্যারাবোলার ডিরেক্ট্রিক্সের সমীকরণ খুঁজে বের করি যদি এটি একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় যার ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্ক (25; 10)।

ক্যানোনিকাল স্থানাঙ্কে, প্যারাবোলার সমীকরণটির রূপ y 2 = 2px। যেহেতু বিন্দুটি (25; 10) প্যারাবোলার উপর, তাহলে 100 = 50p এবং তাই p = 2। অতএব, y 2 = 4x প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ, x = - 1 হল এর ডিরেক্ট্রিক্সের সমীকরণ, এবং ফোকাস বিন্দুতে (1; 0)।

একটি প্যারাবোলার অপটিক্যাল সম্পত্তি।প্যারাবোলা নিম্নলিখিত আছে অপটিক্যাল সম্পত্তি. যদি প্যারাবোলার ফোকাসে একটি আলোর উৎস স্থাপন করা হয়, তাহলে প্যারাবোলা থেকে প্রতিফলনের পর সমস্ত আলোক রশ্মি প্যারাবোলার অক্ষের সমান্তরাল হবে (চিত্র 8.4)। অপটিক্যাল প্রপার্টি মানে প্যারাবোলার যেকোনো বিন্দুতে M স্বাভাবিক ভেক্টরস্পর্শকটি ফোকাল ব্যাসার্ধ MF এবং অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে সমান কোণ তৈরি করে।

সংজ্ঞা 1. পরাবৃত্ত সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেট, যার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমানভাবে দূরত্ব, বলা হয় ফোকাস এবং একটি প্রদত্ত লাইন থেকে একটি প্রদত্ত বিন্দু অতিক্রম না করে এবং বলা হয় প্রধান শিক্ষিকা

একটি প্রদত্ত বিন্দুতে ফোকাস সহ একটি প্যারাবোলার জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক চএবং যার directrix হল লাইন ডি,মধ্য দিয়ে যাচ্ছে না চ.আসুন নিম্নরূপ একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়া যাক: অক্ষ উহুএর ফোকাস মাধ্যমে যান চপরিচালকের সাথে লম্ব dদিক থেকে dপ্রতি চ,এবং উৎপত্তি সম্পর্কিতআসুন এটিকে ফোকাস এবং ডিরেক্ট্রিক্সের মাঝখানে রাখি (চিত্র 1)।

সংজ্ঞা 2।ফোকাস দূরত্ব চপ্রধান শিক্ষিকাকে dডাকা প্যারাবোলা প্যারামিটার এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয় p(p> 0).

ডুমুর থেকে। 1 এটা স্পষ্ট যে p = FK,তাই ফোকাস স্থানাঙ্ক আছে F (p/2; 0), এবং directrix সমীকরণের ফর্ম আছে এক্স= – r/2,বা

দিন M(x;y)প্যারাবোলার একটি নির্বিচারে বিন্দু। এর বিন্দু সংযোগ করা যাক এমসঙ্গে চএবং আমরা ব্যয় করব MN ঘ.সরাসরি চিত্র থেকে। 1 এটা স্পষ্ট যে

এবং দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র অনুসারে

প্যারাবোলার সংজ্ঞা অনুসারে, MF = MN, (1)

তাই, (2)

সমীকরণ (2) প্রয়োজনীয় প্যারাবোলা সমীকরণ। সমীকরণ (2) সহজ করার জন্য, আমরা এটিকে নিম্নরূপ রূপান্তর করি:

সেগুলো.,

স্থানাঙ্ক এক্সএবং এপয়েন্ট এমপ্যারাবোলাস শর্ত পূরণ করে (1), এবং সেইজন্য সমীকরণ (3)।

সংজ্ঞা 3.সমীকরণ (3) বলা হয় একটি প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

2. এর সমীকরণ ব্যবহার করে একটি প্যারাবোলার আকৃতি অধ্যয়ন করুন।আসুন প্যারাবোলার আকৃতি নির্ধারণ করি এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ (3) ব্যবহার করে।

1) পয়েন্ট স্থানাঙ্ক O (0; 0)সন্তুষ্ট সমীকরণ (3), অতএব, এই সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্যারাবোলা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়।

2) যেহেতু সমীকরণে (3) চলক এশুধুমাত্র অন্তর্ভুক্ত এমনকি ডিগ্রি, তারপর প্যারাবোলা y 2 = 2pxঅ্যাবসিসা অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম।

3) যেহেতু p > 0, তারপর (3) থেকে এটি x ≥ 0 অনুসরণ করে। ফলস্বরূপ, প্যারাবোলা y 2 = 2pxঅক্ষের ডানদিকে অবস্থিত OU.

4) অ্যাবসিসা বাড়লে এক্সথেকে 0 +∞ অর্ডিনেট করা এথেকে পরিবর্তিত হয় 0 আগে ± ∞, অর্থাৎ প্যারাবোলার বিন্দুগুলি অক্ষ থেকে সীমাহীনভাবে দূরে সরে যায় উহু, এবং অক্ষ থেকে OU.

পরাবৃত্ত y 2 = 2pxচিত্রে দেখানো আকৃতি আছে। 2.

সংজ্ঞা 4.অক্ষ উহুডাকা প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ. ডট O (0; 0)প্রতিসাম্যের অক্ষের সাথে একটি প্যারাবোলার ছেদকে বলা হয় প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু. লাইনের অংশ এফএমডাকা ফোকাল ব্যাসার্ধ পয়েন্ট এম.

মন্তব্য করুন। ফর্মের একটি প্যারাবোলা সমীকরণ তৈরি করতে y 2 = 2pxআমরা বিশেষভাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নিয়েছি (বিন্দু 1 দেখুন)। যদি স্থানাঙ্ক পদ্ধতিটি অন্যভাবে বেছে নেওয়া হয়, তাহলে প্যারাবোলার সমীকরণটি ভিন্ন রূপ পাবে।

ক

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি অক্ষকে নির্দেশ করেন উহুফোকাস থেকে পরিচালক পর্যন্ত (চিত্র 3, ক

y 2 = –2px। (4)

F(–р/2; 0), এবং প্রধান শিক্ষিকা dসমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত x = p/2।

যদি অক্ষ OUএর ফোকাস মাধ্যমে যান চ dদিক থেকে dপ্রতি চ, এবং উৎপত্তি সম্পর্কিতএটিকে ফোকাস এবং ডাইরেক্ট্রিক্সের মাঝখানে রাখুন (চিত্র 3, খ), তারপর প্যারাবোলা সমীকরণটি ফর্মের একটি উদাহরণ

x 2 = 2ru . (5)

এই ধরনের প্যারাবোলার ফোকাসে স্থানাঙ্ক রয়েছে F (0; p/2), এবং প্রধান শিক্ষিকা dসমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত y=–p/2।

যদি অক্ষ OUএর ফোকাস মাধ্যমে যান চপরিচালকের সাথে লম্ব dদিক থেকে চপ্রতি d(চিত্র 3, ভি), তাহলে প্যারাবোলার সমীকরণ রূপ নেয়

x 2 = –2ru (6)

এর ফোকাসের স্থানাঙ্ক হবে F (0; –р/2), এবং directrix সমীকরণ dইচ্ছাশক্তি y = p/2।

সমীকরণ (4), (5), (6) সবচেয়ে সহজ ফর্ম আছে বলা হয়.

3. একটি প্যারাবোলার সমান্তরাল স্থানান্তর।বিন্দুতে তার শীর্ষবিন্দু সহ একটি প্যারাবোলা দেওয়া যাক ও" (ক; খ), যার প্রতিসাম্যের অক্ষ অক্ষের সমান্তরাল OU, এবং শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয় (চিত্র 4)। আপনাকে একটি প্যারাবোলার জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করতে হবে।

(9)

সংজ্ঞা 5।সমীকরণ (9) বলা হয় একটি স্থানচ্যুত শীর্ষবিন্দু সহ একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।

আসুন এই সমীকরণটি নিম্নরূপ রূপান্তর করি:

বসানো

থাকবে (10)

এটা কোন জন্য এটা দেখানো কঠিন নয় A, B, Cসময়সূচী দ্বিঘাত ত্রিনামিক(10) সংজ্ঞা 1 অর্থে একটি প্যারাবোলা। ফর্মের একটি প্যারাবোলা সমীকরণ (10) অধ্যয়ন করা হয়েছিল স্কুল কোর্সবীজগণিত

স্বাধীন সমাধানের জন্য অনুশীলন

নং 1। একটি বৃত্তের সমীকরণ লিখ:

ক উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ 7 সহ;

খ. বিন্দুতে কেন্দ্র সহ (-1;4) এবং ব্যাসার্ধ 2।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে বৃত্তের ডেটা তৈরি করুন।

নং 2। শীর্ষবিন্দু সহ একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন

এবং কৌশল

3 নং. ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি উপবৃত্ত তৈরি করুন:

1) 2)

নং 4। শীর্ষবিন্দু সহ একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন

এবং কৌশল

নং 5। শীর্ষবিন্দু সহ একটি হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন

এবং কৌশল

নং 6। একটি হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন যদি:

1. ফোসি এবং শীর্ষবিন্দুর মধ্যে দূরত্ব

2. বাস্তব আধা-অক্ষ, এবং উদ্বেগ;

3. অক্ষের উপর ফোকাস করে, বাস্তব অক্ষ হল 12, এবং কাল্পনিক অক্ষ হল 8৷

নং 7। ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি হাইপারবোলা তৈরি করুন:

1) 2) .

নং 8। একটি প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ লিখুন যদি:

1) প্যারাবোলা অক্ষ এবং এর পরামিতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে ডান অর্ধ-বিমানে অবস্থিত;

2) প্যারাবোলা অক্ষের সাপেক্ষে বাম অর্ধ-বিমানে অবস্থিত এবং এর পরামিতি হল।

এই প্যারাবোলা, তাদের ফোসি এবং ডাইরেক্ট্রিক্স তৈরি করুন।

নং 9। লাইনের ধরন নির্ধারণ করুন যদি এর সমীকরণ হয়:

স্ব-পরীক্ষার প্রশ্ন

1. মহাকাশে ভেক্টর।

1.1. ভেক্টর কাকে বলে?

1.2. একটি ভেক্টরের পরম মাত্রা কত?

1.3. আপনি মহাকাশে কি ধরনের ভেক্টর জানেন?

1.4. আপনি তাদের সাথে কি কর্ম সঞ্চালন করতে পারেন?

1.5. ভেক্টর স্থানাঙ্ক কি? কিভাবে তাদের খুঁজে বের করতে?

2. তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্দিষ্ট ভেক্টর উপর কর্ম.

2.1. সমন্বিত আকারে প্রদত্ত ভেক্টরের সাহায্যে কী কী কাজ করা যেতে পারে (নিয়ম, সমতা, উদাহরণ); কিভাবে পাবো পরম মানযেমন একটি ভেক্টর।

2.2. বৈশিষ্ট্য:

2.2.1 সমরেখা;

2.2.2 লম্ব;

2.2.3 কপ্ল্যানার;

2.2.4 সমান ভেক্টর।
(সূত্র, সমতা)।

3. সরলরেখার সমীকরণ। প্রয়োগকৃত সমস্যা।

3.1. সরলরেখার কি ধরনের সমীকরণ আপনি জানেন (রেকর্ডিং থেকে লিখতে এবং ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হবেন);

3.2. সমান্তরালতার জন্য কীভাবে পরীক্ষা করা যায় - কৌণিক সহগ বা সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট দুটি সরল রেখা সাধারণ সমীকরণ?

3.3. একটি বিন্দু থেকে দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি রেখার দূরত্ব কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়?

3.4. সাধারণ লাইন সমীকরণ বা ঢাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত রেখার মধ্যে কোণটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়?

3.5. একটি রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং এই রেখাংশের দৈর্ঘ্য কীভাবে খুঁজে বের করবেন?

4. সমতলের সমীকরণ। ফলিত সমস্যা।

4.1. আপনি কি ধরনের সমতল সমীকরণ জানেন (রেকর্ডিং থেকে লিখতে এবং ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হবেন)?

4.2. কিভাবে মহাকাশে সরল রেখার সমান্তরালতা এবং লম্বতা পরীক্ষা করবেন?

4.3. কিভাবে একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব এবং সমতল মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে?

4.4. কিভাবে অন্বেষণ পারস্পরিক ব্যবস্থাসরলরেখা এবং মহাকাশে সমতল?

4.5. স্থানের একটি রেখার সমীকরণের ধরন: সাধারণ, ক্যানোনিকাল, প্যারামেট্রিক, দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া।

4.6. সরলরেখার মধ্যে কোণ এবং মহাকাশের বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়?

5. দ্বিতীয় আদেশের লাইন।

5.1. উপবৃত্ত: সংজ্ঞা, ফোসি, শীর্ষবিন্দু, প্রধান এবং ছোট অক্ষ, ফোকাল রেডিআই, বিকেন্দ্রিকতা, ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ, উপবৃত্তের সহজতম (বা ক্যানোনিকাল) সমীকরণ; অঙ্কন

5.2. হাইপারবোলা: সংজ্ঞা, ফোসি, শীর্ষবিন্দু, বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষ, ফোকাল রেডিআই, বিকেন্দ্রিকতা, ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ, সহজতম (বা ক্যানোনিকাল) হাইপারবোলা সমীকরণ; অঙ্কন

5.3. প্যারাবোলা: সংজ্ঞা, ফোকাস, নির্দেশিকা, শীর্ষবিন্দু, পরামিতি, প্রতিসাম্যের অক্ষ, একটি প্যারাবোলার সহজতম (বা ক্যানোনিকাল) সমীকরণ; অঙ্কন

নোট করুন 4.1, 4.2, 4.3: প্রতিটি 2য় অর্ডার লাইনের জন্য, নির্মাণ বর্ণনা করতে সক্ষম হন।

স্ব-পরীক্ষার কাজ

1. প্রদত্ত পয়েন্ট: , যেখানে N হল তালিকার ছাত্র নম্বর।

3) বিন্দু M থেকে সমতল P এর দূরত্ব নির্ণয় করুন।

4. এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি দ্বিতীয়-ক্রম লাইন তৈরি করুন:

.

সাহিত্য

1. অর্থনীতিবিদদের জন্য উচ্চতর গণিত - বিশ্ববিদ্যালয়গুলির জন্য পাঠ্যপুস্তক, ed. N.Sh. ক্রেমার এট আল।, মস্কো, ইউনিটি, 2003।

2. বারকোভস্কি ভি.ভি., বারকোভস্কা এন.ভি. - অর্থনীতিবিদদের জন্য Vischa গণিত - কিয়েভ, TsUL, 2002।

3. সুভোরভ আই.এফ. - উচ্চতর গণিতের কোর্স। - এম., উচ্চ বিদ্যালয়, 1967।

4. তারাসভ এন.পি. - কারিগরি স্কুলগুলির জন্য উচ্চতর গণিতের কোর্স। - এম।; বিজ্ঞান, 1969।

5. জাইতসেভ আই.এল. - প্রযুক্তিগত বিদ্যালয়ের জন্য উচ্চতর গণিতের উপাদান। - এম।; বিজ্ঞান, 1965।

6. Valutse N.N., Diligul G.D. - প্রযুক্তিগত বিদ্যালয়ের জন্য গণিত। - এম।; বিজ্ঞান, 1990।

7. শিপাচেভ ভি.এস. - উচ্চতর গণিত। বিশ্ববিদ্যালয়গুলির জন্য পাঠ্যপুস্তক - এম.: উচ্চ বিদ্যালয়, 2003।