মহাকাশে একটি রেখার প্রামাণিক সমীকরণ হল সেই সমীকরণ যা রেখার মধ্য দিয়ে যাওয়া নির্ণয় করে এই কেন্দ্রেদিক ভেক্টরের সাথে সমরেখা।

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর দেওয়া যাক। একটি নির্বিচারে বিন্দু একটি লাইনের উপর মিথ্যা lশুধুমাত্র যদি ভেক্টর এবং সমরেখার হয়, অর্থাৎ, তাদের জন্য শর্তটি সন্তুষ্ট হয়:

.

উপরের সমীকরণগুলো সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

সংখ্যা মি , nএবং পিস্থানাঙ্ক অক্ষের উপর দিক ভেক্টরের অনুমান। যেহেতু ভেক্টর অ-শূন্য, তাহলে সব সংখ্যা মি , nএবং পিএকই সাথে শূন্যের সমান হতে পারে না। তবে তাদের মধ্যে দু-একটি শূন্য হতে পারে। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত এন্ট্রি অনুমোদিত:

,

যার অর্থ হল অক্ষের উপর ভেক্টরের অনুমান ওয়এবং ওজশূন্যের সমান। সুতরাং, প্রামাণিক সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত ভেক্টর এবং সরলরেখা উভয়ই অক্ষের সাথে লম্ব। ওয়এবং ওজ, অর্থাৎ প্লেন yOz .

উদাহরণ 1.একটি সমতলের লম্ব স্থানের একটি রেখার জন্য সমীকরণ লিখ এবং অক্ষের সাথে এই সমতলটির ছেদ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে ওজ .

সমাধান। আসুন অক্ষের সাথে এই সমতলটির ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করি ওজ. যেহেতু কোন বিন্দু অক্ষের উপর মিথ্যা ওজসমতলের প্রদত্ত সমীকরণে অনুমান করে, এর স্থানাঙ্ক রয়েছে x = y = 0, আমরা 4 পাই z- 8 = 0 বা z= 2। অতএব, অক্ষের সাথে এই সমতলটির ছেদ বিন্দু ওজস্থানাঙ্ক আছে (0; 0; 2)। যেহেতু কাঙ্খিত রেখাটি সমতলের লম্ব, তাই এটি তার স্বাভাবিক ভেক্টরের সমান্তরাল। অতএব, সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর সাধারণ ভেক্টর হতে পারে প্রদত্ত বিমান।

এখন একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার জন্য প্রয়োজনীয় সমীকরণগুলি লিখি ক= (0; 0; 2) ভেক্টরের দিকে:

দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

একটি সরল রেখার উপর থাকা দুটি বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে, সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর ভেক্টর হতে পারে। তারপর রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলো রূপ নেয়

.

উপরের সমীকরণ দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা নির্ধারণ করে।

উদাহরণ 2।বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া স্থানের একটি রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন এবং।

সমাধান। আসুন তাত্ত্বিক রেফারেন্সে উপরে দেওয়া ফর্মে প্রয়োজনীয় সরলরেখা সমীকরণগুলি লিখি:

.

যেহেতু , তাহলে কাঙ্ক্ষিত সরলরেখাটি অক্ষের লম্ব ওয় .

প্লেনের ছেদ লাইনের মতো সোজা

মহাকাশে একটি সরল রেখাকে দুটি অ-সমান্তরাল সমতলের ছেদ রেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং, অর্থাৎ, দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে এমন বিন্দুর সেট হিসাবে

সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে মহাকাশে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়।

উদাহরণ 3.সাধারণ সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত স্থানের একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করুন

সমাধান। একটি রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ বা, একই, দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি লাইনের সমীকরণগুলি লিখতে, আপনাকে লাইনের যেকোনো দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে। এগুলি যেকোন দুটি স্থানাঙ্ক সমতলের সাথে একটি সরল রেখার ছেদ বিন্দু হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ yOzএবং xOz .

একটি লাইন এবং একটি সমতলের ছেদ বিন্দু yOzএকটি abscissa আছে এক্স= 0। অতএব, সমীকরণ এই সিস্টেমে অনুমান এক্স= 0, আমরা দুটি ভেরিয়েবল সহ একটি সিস্টেম পাই:

তার সিদ্ধান্ত y = 2 , z= 6 এর সাথে একসাথে এক্স= 0 একটি বিন্দু সংজ্ঞায়িত করে ক(0; 2; 6) কাঙ্ক্ষিত লাইন। তারপর সমীকরণের প্রদত্ত সিস্টেমে অনুমান করা হচ্ছে y= 0, আমরা সিস্টেম পেতে

তার সিদ্ধান্ত এক্স = -2 , z= 0 এর সাথে একসাথে y= 0 একটি বিন্দু সংজ্ঞায়িত করে খ(-2; 0; 0) সমতলের সাথে একটি লাইনের ছেদ xOz .

এখন বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সমীকরণগুলো লিখি ক(0; 2; 6) এবং খ (-2; 0; 0) :

,

অথবা হরকে -2 দ্বারা ভাগ করার পর:

,

লাইনটিকে M 1 (x 1; y 1) এবং M 2 (x 2; y 2) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে দিন। বিন্দু M 1 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণটির রূপ y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

কোথায় k - এখনও অজানা সহগ।

যেহেতু সরলরেখাটি M 2 (x 2 y 2) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে অবশ্যই সমীকরণ (10.6) পূরণ করতে হবে: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1)।

এখান থেকে আমরা পাওয়া মানটিকে প্রতিস্থাপন করতে পারি k সমীকরণে (10.6), আমরা বিন্দু M 1 এবং M 2 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ পাই:

ধারণা করা হয় এই সমীকরণে x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

যদি x 1 = x 2 হয়, তাহলে M 1 (x 1,y I) এবং M 2 (x 2,y 2) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখাটি অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল। এর সমীকরণ হলো x = x 1 .

যদি y 2 = y I হয়, তাহলে রেখাটির সমীকরণটি y = y 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে, সরলরেখা M 1 M 2 অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল।

সেগমেন্টে একটি রেখার সমীকরণ

সরলরেখাটিকে M 1 (a;0) বিন্দুতে Ox অক্ষকে এবং M 2 (0;b) বিন্দুতে Oy অক্ষকে ছেদ করতে দিন। সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
সেগুলো.
. এই সমীকরণ বলা হয় সেগমেন্টে একটি সরল রেখার সমীকরণ, কারণ সংখ্যা a এবং b নির্দেশ করে যে রেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষে কোন অংশগুলিকে কেটে দেয়.

প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটির সমীকরণটি বের করা যাক প্রদত্ত বিন্দু Mo (x O; y o) প্রদত্ত অ-শূন্য ভেক্টর n = (A; B) লম্ব।

চলুন লাইনে একটি নির্বিচারে বিন্দু M(x; y) নিই এবং M 0 M (x - x 0; y - y o) ভেক্টরটি বিবেচনা করি (চিত্র 1 দেখুন)। যেহেতু n এবং M o M ভেক্টর লম্ব, তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান: অর্থাৎ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0। (10.8)

সমীকরণ (10.8) বলা হয় প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ .

ভেক্টর n= (A; B), রেখার লম্ব, স্বাভাবিক বলা হয় এই লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর .

সমীকরণ (10.8) হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে আহ + উ + সি = 0 , (10.9)

যেখানে A এবং B সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, C = -Ax o - Vu o হল মুক্ত পদ। সমীকরণ (10.9) রেখার সাধারণ সমীকরণ(চিত্র 2 দেখুন)।

Fig.1 Fig.2

লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ

,

কোথায়
- যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে লাইনটি যায় তার স্থানাঙ্ক এবং
- দিক ভেক্টর।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা বৃত্ত

একটি বৃত্ত হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমতলের সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি, যাকে কেন্দ্র বলে।

ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ আর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত
:

বিশেষ করে, যদি স্টেকের কেন্দ্র স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে মিলে যায়, তাহলে সমীকরণটি এরকম দেখাবে:

উপবৃত্ত

একটি উপবৃত্ত হল একটি সমতলে বিন্দুর একটি সেট, যার প্রতিটি থেকে দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের সমষ্টি এবং , যাকে বলা হয় foci, একটি ধ্রুবক পরিমাণ
, foci মধ্যে দূরত্ব চেয়ে বড়
.

একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ যার কেন্দ্রবিন্দু অক্স অক্ষের উপর অবস্থিত এবং ফোসিটির মাঝখানে স্থানাঙ্কের উৎপত্তির ফর্ম রয়েছে
জি ডিক আধা-প্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য;খ - আধা-অপ্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য (চিত্র 2)।

সমতলে সরলরেখার সমীকরণ।
দিক ভেক্টর সোজা। সাধারণ ভেক্টর

একটি সমতলে একটি সরল রেখা হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক আকারআপনার সাথে পরিচিত জুনিয়র ক্লাস, এবং আজ আমরা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির পদ্ধতি ব্যবহার করে কীভাবে এটি মোকাবেলা করতে হয় তা শিখব। উপাদান আয়ত্ত করতে, আপনি একটি সরল রেখা নির্মাণ করতে সক্ষম হতে হবে; কোন সমীকরণটি একটি সরলরেখাকে সংজ্ঞায়িত করে তা জানুন, বিশেষ করে, স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা এবং স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখা। এই তথ্যম্যানুয়াল পাওয়া যাবে প্রাথমিক ফাংশনের গ্রাফ এবং বৈশিষ্ট্য, আমি এটা Matan জন্য তৈরি, কিন্তু বিভাগ সম্পর্কে রৈখিক ফাংশনএটা খুব সফল এবং বিস্তারিত পরিণত. অতএব, প্রিয় চাপাতারা, প্রথমে সেখানে গরম করুন। এছাড়াও, আপনার সম্পর্কে প্রাথমিক জ্ঞান থাকতে হবে ভেক্টর, অন্যথায় উপাদান বোঝার অসম্পূর্ণ হবে.

এই পাঠে আমরা এমন উপায়গুলি দেখব যাতে আপনি একটি সমতলে সরলরেখার সমীকরণ তৈরি করতে পারেন। আমি ব্যবহারিক উদাহরণগুলিকে অবহেলা না করার পরামর্শ দিচ্ছি (যদিও এটি খুব সহজ মনে হয়), যেহেতু আমি তাদের প্রাথমিক এবং গুরুত্বপূর্ণ তথ্য, প্রযুক্তিগত কৌশলগুলি সরবরাহ করব যা ভবিষ্যতে প্রয়োজন হবে, উচ্চতর গণিতের অন্যান্য বিভাগ সহ।

• একটি কোণ সহগ সহ একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ কীভাবে লিখবেন?
• কিভাবে?
• সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে কীভাবে একটি দিক ভেক্টর খুঁজে পাওয়া যায়?
• একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দেওয়া একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ কিভাবে লিখতে হয়?

এবং আমরা শুরু করি:

ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ

সরলরেখার সমীকরণের সুপরিচিত "স্কুল" ফর্ম বলা হয় ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ. উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণ দ্বারা একটি সরল রেখা দেওয়া হয়, তাহলে এর ঢাল হল: . আসুন এই সহগটির জ্যামিতিক অর্থ এবং কীভাবে এর মান লাইনের অবস্থানকে প্রভাবিত করে তা বিবেচনা করা যাক:

জ্যামিতি কোর্সে এটা প্রমাণিত হয় সরলরেখার ঢাল সমান কোণের স্পর্শকইতিবাচক অক্ষ অভিমুখের মধ্যেএবং এই লাইন: , এবং কোণটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে "আনস্ক্রু" করে।

অঙ্কনটি বিশৃঙ্খল না করার জন্য, আমি কেবল দুটি সরল রেখার জন্য কোণ আঁকলাম। আসুন "লাল" রেখা এবং এর ঢাল বিবেচনা করি। উপরের মতে: ("আলফা" কোণটি একটি সবুজ চাপ দ্বারা নির্দেশিত)। কোণ সহগ সহ "নীল" সরল রেখার জন্য, সমতা সত্য ("বিটা" কোণটি একটি বাদামী চাপ দ্বারা নির্দেশিত)। এবং যদি কোণের স্পর্শক জানা থাকে, তাহলে প্রয়োজনে এটি খুঁজে পাওয়া সহজ এবং কোণ নিজেইবিপরীত ফাংশন ব্যবহার করে - arctangent. যেমন তারা বলে, একটি ত্রিকোণমিতিক টেবিল বা আপনার হাতে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর। এইভাবে, কৌণিক সহগ অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে সরলরেখার প্রবণতার ডিগ্রি চিহ্নিত করে.

এই ক্ষেত্রে, এটি সম্ভব নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে:

1) যদি ঢাল ঋণাত্মক হয়: তাহলে লাইন, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, উপরে থেকে নীচে যায়। উদাহরণ হল অঙ্কনের "নীল" এবং "রাস্পবেরি" সরল রেখা।

2) যদি ঢাল ধনাত্মক হয়: তাহলে লাইনটি নিচ থেকে উপরে যায়। উদাহরণ - অঙ্কনে "কালো" এবং "লাল" সরল রেখা।

3) যদি ঢাল শূন্য হয়: , তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয় এবং সংশ্লিষ্ট সরলরেখাটি অক্ষের সমান্তরাল হয়। একটি উদাহরণ হল "হলুদ" সরলরেখা।

4) একটি অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলির একটি পরিবারের জন্য (অক্ষটি ব্যতীত অঙ্কনে কোনও উদাহরণ নেই), কৌণিক সহগ এটির অস্তিত্ব নেই (90 ডিগ্রির স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয়নি).

পরম মানের ঢাল সহগ যত বড় হবে, লাইন গ্রাফ তত বেশি খাড়া হবে।.

উদাহরণস্বরূপ, দুটি সরল রেখা বিবেচনা করুন। এখানে, অতএব, সরলরেখার একটি খাড়া ঢাল আছে। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে মডিউল আপনাকে সাইন উপেক্ষা করার অনুমতি দেয়, আমরা শুধুমাত্র আগ্রহী পরম মান কৌণিক সহগ

পরিবর্তে, একটি সরল রেখা সরল রেখার চেয়ে খাড়া .

বিপরীতভাবে: পরম মানের ঢাল সহগ যত ছোট হবে, সরলরেখা তত বেশি চ্যাপ্টার হবে.

সরল রেখার জন্য অসমতা সত্য, এইভাবে সরলরেখাটি চাটুকার। বাচ্চাদের স্লাইড, যাতে নিজেকে ক্ষত এবং বাধা না দেয়।

কেন এই প্রয়োজন?

আপনার যন্ত্রণাকে দীর্ঘায়িত করুন উপরের তথ্যগুলির জ্ঞান আপনাকে অবিলম্বে আপনার ভুলগুলি দেখতে দেয়, বিশেষত, গ্রাফ তৈরি করার সময় ত্রুটিগুলি - যদি অঙ্কনটি "স্পষ্টতই কিছু ভুল" বলে প্রমাণিত হয়। এটা বাঞ্ছনীয় যে আপনি সোজাসুজিএটি স্পষ্ট ছিল যে, উদাহরণস্বরূপ, সরলরেখাটি খুব খাড়া এবং নীচে থেকে উপরে যায় এবং সরলরেখাটি খুব সমতল, অক্ষের কাছাকাছি চাপা হয় এবং উপরে থেকে নীচে যায়।

জ্যামিতিক সমস্যাগুলিতে, বেশ কয়েকটি সরল রেখা প্রায়শই উপস্থিত হয়, তাই তাদের কোনওভাবে মনোনীত করা সুবিধাজনক।

পদবী: সরলরেখাগুলো ছোট হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে ল্যাটিন অক্ষর সহ: একটি জনপ্রিয় বিকল্প হল প্রাকৃতিক সাবস্ক্রিপ্টের সাথে একই অক্ষর ব্যবহার করে তাদের মনোনীত করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যে পাঁচটি লাইন দেখেছি তা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে .

যেহেতু যেকোন সরলরেখা দুটি বিন্দু দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়, তাই এটি এই বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে: ইত্যাদি পদবী স্পষ্টভাবে বোঝায় যে পয়েন্টগুলি লাইনের অন্তর্গত।

এটা একটু গরম করার সময়:

কিভাবে একটি কোণ সহগ একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ লিখতে হয়?

যদি একটি নির্দিষ্ট রেখার অন্তর্গত একটি বিন্দু এবং এই রেখার কৌণিক সহগ জানা থাকে, তাহলে এই রেখার সমীকরণ সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

উদাহরণ 1

ঢাল সহ একটি লাইনের জন্য একটি সমীকরণ লিখুন যদি এটি জানা যায় যে বিন্দুটি প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত।

সমাধান: চলুন সূত্র ব্যবহার করে সরলরেখার সমীকরণ রচনা করি . ভিতরে এক্ষেত্রে:

উত্তর:

পরীক্ষাসহজভাবে করা হয়। প্রথমে, আমরা ফলাফলের সমীকরণটি দেখি এবং নিশ্চিত করি যে আমাদের ঢাল ঠিক আছে। দ্বিতীয়ত, বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই এই সমীকরণটি পূরণ করবে। আসুন তাদের সমীকরণে প্লাগ করি:

সঠিক সমতা প্রাপ্ত হয়, যার অর্থ বিন্দুটি ফলাফল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

উপসংহার: সমীকরণটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

জন্য একটি আরো চতুর উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত:

উদাহরণ 2

একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন যদি এটি জানা যায় যে অক্ষের ধনাত্মক দিকের প্রবণতার কোণ হল , এবং বিন্দুটি এই সরলরেখার অন্তর্গত।

যদি আপনার কোন অসুবিধা হয়, তাত্ত্বিক উপাদান পুনরায় পড়ুন. আরো সুনির্দিষ্টভাবে, আরো ব্যবহারিক, আমি অনেক প্রমাণ এড়িয়ে যাই।

বেজে উঠল শেষ কল, গ্র্যাজুয়েশন পার্টি শেষ হয়ে গেছে, এবং আমাদের নেটিভ স্কুলের গেটের বাইরে, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি নিজেই আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। রসিকতা শেষ... অথবা হয়তো তারা সবে শুরু করছে =)

আমরা নস্টালজিকভাবে আমাদের কলমটি পরিচিতদের কাছে ঢেলে দিই এবং একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণের সাথে পরিচিত হই। কারণ বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে এটি ঠিক কী ব্যবহার করা হয়:

সাধারণ সমীকরণসরলরেখার ফর্ম আছে:, কিছু সংখ্যা কোথায়। একই সময়ে, সহগ একই সাথেশূন্যের সমান নয়, যেহেতু সমীকরণটি তার অর্থ হারায়।

আসুন একটি স্যুট পরিধান করি এবং ঢাল সহগ সহ সমীকরণটি টাই করি। প্রথমত, চলুন সব শর্ত সরানো যাক বাম পাশে:

"X" শব্দটিকে প্রথমে রাখতে হবে:

নীতিগতভাবে, সমীকরণটির ইতিমধ্যে ফর্ম রয়েছে, তবে গাণিতিক শিষ্টাচারের নিয়ম অনুসারে, প্রথম পদের সহগ (এই ক্ষেত্রে) অবশ্যই ইতিবাচক হতে হবে। পরিবর্তনের লক্ষণ:

এই প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্য মনে রাখবেন!আমরা প্রথম সহগ (প্রায়শই) ইতিবাচক করি!

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, একটি সরল রেখার সমীকরণ প্রায় সবসময় দেওয়া হবে সাধারণ ফর্ম. ঠিক আছে, যদি প্রয়োজন হয়, এটি একটি কৌণিক সহগ (অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখাগুলি বাদ দিয়ে) সহ সহজেই "স্কুল" ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে।

আসুন নিজেদেরকে জিজ্ঞেস করি কি যথেষ্টসরলরেখা তৈরি করতে জানেন? দুটি বিন্দু. কিন্তু শৈশবের এই ঘটনা নিয়ে আরও, এখন লাঠি হাতে তীর শাসন। প্রতিটি সরলরেখার একটি খুব নির্দিষ্ট ঢাল থাকে, যার সাথে "অভিযোজিত" করা সহজ। ভেক্টর.

একটি রেখার সমান্তরাল একটি ভেক্টরকে সেই লাইনের দিক ভেক্টর বলে. এটা স্পষ্ট যে যেকোন সরলরেখায় অসীম সংখ্যক দিকনির্দেশক ভেক্টর রয়েছে এবং তাদের সবগুলিই সমরেখা হবে (কোডাইরেক্টাল বা না - এটা কোন ব্যাপার না)।

আমি নিম্নরূপ দিক ভেক্টর নির্দেশ করব: .

কিন্তু একটি ভেক্টর একটি সরলরেখা তৈরি করার জন্য যথেষ্ট নয়; অতএব, রেখার অন্তর্গত কিছু বিন্দু জানতে অতিরিক্ত প্রয়োজন।

কিভাবে একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ লিখতে হয়?

যদি একটি রেখার অন্তর্গত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং এই রেখার দিক ভেক্টর জানা থাকে, তাহলে এই লাইনের সমীকরণ সূত্রটি ব্যবহার করে সংকলন করা যেতে পারে:

কখনও কখনও এটি বলা হয় লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ .

কখন কি করতে হবে স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটিশূন্যের সমান, আমরা নিচের ব্যবহারিক উদাহরণে বুঝতে পারব। যাইহোক, দয়া করে নোট করুন - একসাথে উভয়স্থানাঙ্ক শূন্যের সমান হতে পারে না, যেহেতু শূন্য ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে না।

উদাহরণ 3

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন

সমাধান: আসুন সূত্র ব্যবহার করে একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করি। এক্ষেত্রে:

অনুপাতের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে আমরা ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাই:

এবং আমরা সমীকরণ আনতে সাধারণ উপস্থিতি:

উত্তর:

একটি নিয়ম হিসাবে, এই ধরনের উদাহরণগুলিতে একটি অঙ্কন করার প্রয়োজন নেই, তবে বোঝার জন্য:

অঙ্কনে আমরা প্রারম্ভিক বিন্দু, মূল দিক ভেক্টর (এটি সমতলের যেকোনো বিন্দু থেকে প্লট করা যেতে পারে) এবং নির্মিত সরলরেখা দেখতে পাই। যাইহোক, অনেক ক্ষেত্রে কৌণিক সহগ সহ একটি সমীকরণ ব্যবহার করে একটি সরল রেখা তৈরি করা সবচেয়ে সুবিধাজনক। আমাদের সমীকরণকে আকারে রূপান্তর করা সহজ এবং সহজে সরলরেখা তৈরি করতে অন্য একটি বিন্দু নির্বাচন করা।

অনুচ্ছেদের শুরুতে উল্লিখিত হিসাবে, একটি সরল রেখার অসীমভাবে অনেকগুলি দিক ভেক্টর রয়েছে এবং সেগুলি সবই সমরেখার। উদাহরণস্বরূপ, আমি এই জাতীয় তিনটি ভেক্টর আঁকলাম: . আমরা যে দিক ভেক্টরই বেছে নিই না কেন, ফলাফল সবসময় একই সরলরেখার সমীকরণ হবে।

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক:

অনুপাত সমাধান করা:

উভয় পক্ষকে –2 দ্বারা ভাগ করুন এবং পরিচিত সমীকরণটি পান:

যারা আগ্রহী তারা একইভাবে ভেক্টর পরীক্ষা করতে পারে বা অন্য কোন সমরেখা ভেক্টর।

এখন বিপরীত সমস্যার সমাধান করা যাক:

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে কীভাবে একটি দিক ভেক্টর খুঁজে পাওয়া যায়?

খুব সহজ:

যদি একটি রেখা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সাধারণ সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়, তবে ভেক্টরটি এই লাইনের দিকনির্দেশ ভেক্টর।

সরলরেখার দিকনির্দেশনা ভেক্টর খোঁজার উদাহরণ:

বিবৃতিটি আমাদের একটি অসীম সংখ্যার মধ্যে শুধুমাত্র একটি দিক ভেক্টর খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়, কিন্তু আমাদের আর প্রয়োজন নেই। যদিও কিছু ক্ষেত্রে দিকনির্দেশনা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি হ্রাস করার পরামর্শ দেওয়া হয়:

এইভাবে, সমীকরণটি একটি সরল রেখা নির্দিষ্ট করে যা অক্ষের সমান্তরাল এবং ফলে অভিমুখ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে সুবিধাজনকভাবে –2 দ্বারা ভাগ করা হয়, দিকনির্দেশ ভেক্টর হিসাবে ঠিক ভিত্তি ভেক্টরটি পাওয়া যায়। যৌক্তিক।

একইভাবে, সমীকরণটি অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখাকে নির্দিষ্ট করে এবং ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে 5 দ্বারা ভাগ করে, আমরা একক ভেক্টরকে দিক ভেক্টর হিসাবে পাই।

এখন এটা করা যাক পরীক্ষা করা উদাহরণ 3. উদাহরণটি উঠে গেছে, তাই আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে এটিতে আমরা একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার সমীকরণ কম্পাইল করেছি

প্রথমত, সরলরেখার সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা এর দিক ভেক্টর পুনর্গঠন করি: – সবকিছু ঠিক আছে, আমরা আসল ভেক্টর পেয়েছি (কিছু ক্ষেত্রে ফলাফলটি আসলটির সাথে একটি সমরেখা ভেক্টর হতে পারে এবং এটি সাধারণত সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের সমানুপাতিকতার দ্বারা লক্ষ্য করা সহজ)।

দ্বিতীয়ত, বিন্দুর স্থানাঙ্ক অবশ্যই সমীকরণটি পূরণ করবে। আমরা তাদের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

সঠিক সমতা পাওয়া গেছে, যা নিয়ে আমরা খুবই খুশি।

উপসংহার: কাজটি সঠিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে।

উদাহরণ 4

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। সমাধান এবং উত্তর পাঠের শেষে আছে। এইমাত্র আলোচনা করা অ্যালগরিদম ব্যবহার করে পরীক্ষা করা অত্যন্ত যুক্তিযুক্ত। সর্বদা (যদি সম্ভব) একটি খসড়া চেক করার চেষ্টা করুন। ভুল করা বোকামি যেখানে সেগুলি 100% এড়ানো যায়।

ইভেন্টে যে দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটি শূন্য হয়, খুব সহজভাবে এগিয়ে যান:

উদাহরণ 5

সমাধান: সূত্রটি উপযুক্ত নয় যেহেতু ডান পাশের হরটি শূন্য। একটি প্রস্থান আছে! অনুপাতের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আমরা ফর্মুলাটি ফর্মটিতে পুনরায় লিখি এবং বাকিগুলি একটি গভীর রাট বরাবর ঘূর্ণিত হয়:

উত্তর:

পরীক্ষা:

1) লাইনের নির্দেশক ভেক্টর পুনরুদ্ধার করুন:
- ফলে প্রাপ্ত ভেক্টরটি মূল দিক ভেক্টরের সাথে সমান্তরাল।

2) বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

সঠিক সমতা পাওয়া যায়

উপসংহার: টাস্ক সঠিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে

প্রশ্ন জাগে, যদি এমন একটি সর্বজনীন সংস্করণ থাকে যা যে কোনও ক্ষেত্রে কাজ করবে তবে সূত্রটি নিয়ে কেন বিরক্ত? দুটি কারণ আছে। প্রথমত, সূত্রটি ভগ্নাংশের আকারে থাকে অনেক ভালো মনে আছে. এবং দ্বিতীয়ত, অসুবিধা সার্বজনীন সূত্রতাই কি বিভ্রান্ত হওয়ার ঝুঁকি উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি পায়স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করার সময়।

উদাহরণ 6

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর ব্যবহার করে একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন।

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ।

চলুন সর্বব্যাপী দুটি পয়েন্টে ফিরে আসা যাক:

দুটি বিন্দু ব্যবহার করে সরলরেখার সমীকরণ কিভাবে লিখবেন?

যদি দুটি বিন্দু পরিচিত হয়, তাহলে এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ সূত্রটি ব্যবহার করে সংকলন করা যেতে পারে:

আসলে, এটি এক ধরণের সূত্র এবং এখানে কেন: যদি দুটি বিন্দু জানা যায়, তাহলে ভেক্টরটি প্রদত্ত লাইনের দিকনির্দেশক ভেক্টর হবে। এই পাঠে ডামি জন্য ভেক্টরআমরা বিবেচনা করেছি সবচেয়ে সহজ কাজ- কিভাবে দুটি বিন্দু থেকে একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হয়। এই সমস্যা অনুসারে, দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি হল:

বিঃদ্রঃ : পয়েন্টগুলি "অদলবদল" করা যেতে পারে এবং সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে . যেমন একটি সমাধান সমতুল্য হবে।

উদাহরণ 7

দুটি বিন্দু ব্যবহার করে একটি সরলরেখার সমীকরণ লেখ .

সমাধান: আমরা সূত্র ব্যবহার করি:

হরকে আঁচড়ানো:

এবং ডেক এলোমেলো করুন:

এখন পরিত্রাণের সময় ভগ্নাংশ সংখ্যা. এই ক্ষেত্রে, আপনাকে উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করতে হবে:

বন্ধনী খুলুন এবং সমীকরণটি মনে রাখুন:

উত্তর:

পরীক্ষাস্পষ্ট - স্থানাঙ্ক শুরুর পয়েন্টফলস্বরূপ সমীকরণটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

1) বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন:

প্রকৃত সমতা।

2) বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন:

প্রকৃত সমতা।

উপসংহার: লাইনের সমীকরণটি সঠিকভাবে লেখা হয়েছে।

যদি অন্তত একটাপয়েন্টগুলির সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে না, একটি ত্রুটি সন্ধান করুন।

এটি লক্ষণীয় যে এই ক্ষেত্রে গ্রাফিকাল যাচাই করা কঠিন, যেহেতু একটি সরল রেখা তৈরি করা এবং পয়েন্টগুলি এর অন্তর্গত কিনা তা দেখা। , এত সহজ না.

আমি সমাধানের আরও কয়েকটি প্রযুক্তিগত দিক নোট করব। সম্ভবত এই সমস্যায় আয়না সূত্র ব্যবহার করা বেশি লাভজনক এবং, একই পয়েন্টে একটি সমীকরণ তৈরি করুন:

কম ভগ্নাংশ। আপনি যদি চান, আপনি শেষ পর্যন্ত সমাধানটি চালিয়ে যেতে পারেন, ফলাফলটি একই সমীকরণ হওয়া উচিত।

দ্বিতীয় পয়েন্টটি হল চূড়ান্ত উত্তরটি দেখুন এবং এটিকে আরও সরলীকরণ করা যাবে কিনা? উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি সমীকরণটি পান, তাহলে এটি দুটি দ্বারা কমানোর পরামর্শ দেওয়া হয়: - সমীকরণটি একই সরলরেখাকে সংজ্ঞায়িত করবে। যাইহোক, এটি ইতিমধ্যেই আলোচনার একটি বিষয় লাইনের আপেক্ষিক অবস্থান.

উত্তর পেয়ে উদাহরণ 7-এ, শুধুমাত্র ক্ষেত্রে, আমি পরীক্ষা করে দেখেছি যে সমীকরণের সমস্ত সহগ 2, 3 বা 7 দ্বারা বিভাজ্য কিনা। যদিও, প্রায়শই সমাধানের সময় এই ধরনের হ্রাস করা হয়।

উদাহরণ 8

বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি লাইনের জন্য একটি সমীকরণ লিখ .

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ, যা আপনাকে গণনার কৌশলগুলি আরও ভালভাবে বুঝতে এবং অনুশীলন করতে দেবে।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অনুরূপ: যদি সূত্রে হরগুলির মধ্যে একটি (দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক) শূন্য হয়ে যায়, তারপরে আমরা এটি আকারে আবার লিখি। আবার, লক্ষ্য করুন যে সে দেখতে কতটা বিশ্রী এবং বিভ্রান্ত। আমি আনার খুব একটা লাভ দেখছি না ব্যবহারিক উদাহরণ, যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে এই ধরনের একটি সমস্যার সমাধান করেছি (নং 5, 6 দেখুন)।

সরাসরি স্বাভাবিক ভেক্টর (সাধারণ ভেক্টর)

স্বাভাবিক কি? সহজ কথায়, স্বাভাবিক লম্ব। অর্থাৎ, একটি রেখার স্বাভাবিক ভেক্টর একটি প্রদত্ত রেখার সাথে লম্ব। স্পষ্টতই, যেকোন সরলরেখার অসীম সংখ্যক (সেই সাথে দিক ভেক্টর) আছে এবং সরলরেখার সমস্ত স্বাভাবিক ভেক্টর সমরেখা হবে (কোডাইরেক্টাল বা না, এতে কোন পার্থক্য নেই)।

গাইড ভেক্টরের তুলনায় তাদের সাথে মোকাবিলা করা আরও সহজ হবে:

যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সাধারণ সমীকরণ দ্বারা একটি রেখা দেওয়া হয়, তবে ভেক্টরটি এই লাইনের সাধারণ ভেক্টর।

যদি দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে সমীকরণ থেকে সাবধানে "টেনে আনতে হয়" তবে সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে সহজভাবে "মুছে ফেলা" যেতে পারে।

সাধারণ ভেক্টর সবসময় লাইনের দিক ভেক্টরের সাথে অর্থোগোনাল হয়। আসুন আমরা এই ভেক্টরগুলির অর্থোগোনালিটি ব্যবহার করে যাচাই করি বিন্দু পণ্য:

আমি দিক ভেক্টরের মতো একই সমীকরণ সহ উদাহরণ দেব:

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দেওয়া একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ তৈরি করা কি সম্ভব? আমি এটা আমার অন্ত্রে অনুভব করি, এটা সম্ভব। যদি স্বাভাবিক ভেক্টরটি পরিচিত হয়, তবে সরলরেখার দিকটি নিজেই স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় - এটি 90 ডিগ্রি কোণ সহ একটি "অনমনীয় কাঠামো"।

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দেওয়া একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ কিভাবে লিখতে হয়?

যদি একটি রেখার অন্তর্গত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং এই রেখার স্বাভাবিক ভেক্টর জানা থাকে, তাহলে এই রেখার সমীকরণ সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

এখানে সবকিছু ভগ্নাংশ এবং অন্যান্য আশ্চর্য ছাড়াই কাজ করেছে। এটি আমাদের স্বাভাবিক ভেক্টর। তাকে ভালবাসি. এবং সম্মান =)

উদাহরণ 9

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দেওয়া একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ লিখুন। লাইনের দিক ভেক্টর খুঁজুন।

সমাধান: আমরা সূত্র ব্যবহার করি:

লাইনের সাধারণ সমীকরণ পাওয়া গেছে, আসুন পরীক্ষা করা যাক:

1) সমীকরণ থেকে সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি "সরান": – হ্যাঁ, প্রকৃতপক্ষে, মূল ভেক্টরটি শর্ত থেকে প্রাপ্ত হয়েছিল (বা একটি সমতলীয় ভেক্টর পাওয়া উচিত)।

2) বিন্দুটি সমীকরণটি পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করা যাক:

প্রকৃত সমতা।

আমরা নিশ্চিত হওয়ার পরে যে সমীকরণটি সঠিকভাবে তৈরি করা হয়েছে, আমরা টাস্কের দ্বিতীয়, সহজ অংশটি সম্পূর্ণ করব। আমরা সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর বের করি:

উত্তর:

অঙ্কন মধ্যে পরিস্থিতি এই মত দেখায়:

প্রশিক্ষণের উদ্দেশ্যে, স্বাধীনভাবে সমাধানের জন্য একটি অনুরূপ কাজ:

উদাহরণ 10

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর দেওয়া একটি সরল রেখার একটি সমীকরণ লিখুন। লাইনের দিক ভেক্টর খুঁজুন।

পাঠের চূড়ান্ত অংশটি কম সাধারণ, তবে সমতলে একটি লাইনের সমীকরণের গুরুত্বপূর্ণ ধরণের জন্য উত্সর্গীকৃত হবে

অংশে সরলরেখার সমীকরণ।
প্যারামেট্রিক আকারে একটি রেখার সমীকরণ

সেগমেন্টে একটি সরলরেখার সমীকরণের ফর্ম আছে, যেখানে অশূন্য ধ্রুবক রয়েছে। কিছু ধরণের সমীকরণ এই ফর্মটিতে উপস্থাপন করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, সরাসরি আনুপাতিকতা (যেহেতু মুক্ত শব্দটি শূন্যের সমান এবং ডানদিকে একটি পাওয়ার কোন উপায় নেই)।

এটি, রূপকভাবে বলতে গেলে, একটি "প্রযুক্তিগত" সমীকরণ। একটি সাধারণ কাজ হল রেখার সাধারণ সমীকরণকে রেখার সমীকরণ হিসাবে রেখার অংশে উপস্থাপন করা। এটা কিভাবে সুবিধাজনক? সেগমেন্টে একটি রেখার সমীকরণ আপনাকে স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ একটি রেখার ছেদ বিন্দুগুলিকে দ্রুত খুঁজে পেতে দেয়, যা উচ্চতর গণিতের কিছু সমস্যায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে।

চলুন অক্ষের সাথে রেখার ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা যাক। আমরা "y" রিসেট করি এবং সমীকরণটি রূপ নেয়। পছন্দসই বিন্দু স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রাপ্ত হয়: .

অক্ষের সাথে একই – যে বিন্দুতে সরলরেখা অর্ডিনেট অক্ষকে ছেদ করে।

সংজ্ঞা।সমতলে যেকোন সরলরেখা একটি প্রথম-ক্রম সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে

Ax + Wu + C = 0,

অধিকন্তু, ধ্রুবক A এবং B একই সময়ে শূন্যের সমান নয়। এই প্রথম ক্রম সমীকরণ বলা হয় সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।মানগুলির উপর নির্ভর করে ধ্রুবক A, Bএবং C নিম্নলিখিত বিশেষ ক্ষেত্রে সম্ভব:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - সরলরেখাটি মূলের মধ্য দিয়ে যায়

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - অক্স অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখা

B = C = 0, A ≠0 - সরলরেখাটি Oy অক্ষের সাথে মিলে যায়

A = C = 0, B ≠0 - সরলরেখাটি অক্স অক্ষের সাথে মিলে যায়

একটি সরলরেখার সমীকরণটি উপস্থাপন করা যেতে পারে বিভিন্ন আকারেযে কোনো প্রাথমিক অবস্থার উপর নির্ভর করে।

একটি বিন্দু এবং সাধারণ ভেক্টর থেকে সরলরেখার সমীকরণ

সংজ্ঞা।কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, উপাদান (A, B) সহ একটি ভেক্টর Ax + By + C = 0 সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব।

উদাহরণ. A(1, 2) বিন্দুর মধ্য দিয়ে (3, -1) লম্ব হয়ে যাওয়া রেখাটির সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান. A = 3 এবং B = -1 দিয়ে, আসুন সরলরেখার সমীকরণটি রচনা করি: 3x – y + C = 0। সহগ C বের করতে, আমরা প্রদত্ত বিন্দু A-এর স্থানাঙ্কগুলিকে ফলের অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি: 3 – 2 + C = 0, অতএব, C = -1। মোট: প্রয়োজনীয় সমীকরণ: 3x – y – 1 = 0।

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

দুটি বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) এবং M 2 (x 2, y 2, z 2) স্থানটিতে দেওয়া যাক, তাহলে এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটির সমীকরণ হল:

যদি কোন হর শূন্যের সমান হয়, তাহলে সংশ্লিষ্ট লবটি শূন্যের সমান হওয়া উচিত, উপরে লেখা লাইনের সমীকরণটি সরলীকৃত হয়েছে:

যদি x 1 ≠ x 2 এবং x = x 1, x 1 = x 2 হলে।

ভগ্নাংশ = k বলা হয় ঢালসোজা

উদাহরণ. A(1, 2) এবং B(3, 4) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান।উপরে লিখিত সূত্র প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

একটি বিন্দু এবং ঢাল থেকে সরলরেখার সমীকরণ

মোট Ax + Bu + C = 0 হলে, ফর্মের দিকে নিয়ে যান:

এবং মনোনীত , তারপর ফলাফল সমীকরণ বলা হয় ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণk.

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর থেকে একটি সরল রেখার সমীকরণ

একটি সাধারণ ভেক্টরের মাধ্যমে সরলরেখার সমীকরণ বিবেচনা করে বিন্দুর সাথে সাদৃশ্যের মাধ্যমে, আপনি একটি বিন্দুর মাধ্যমে সরলরেখার সংজ্ঞা এবং সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর লিখতে পারেন।

সংজ্ঞা।প্রতিটি অ-শূন্য ভেক্টর (α 1, α 2), যেগুলির উপাদানগুলি A α 1 + B α 2 = 0 শর্ত পূরণ করে তাকে লাইনের একটি নির্দেশক ভেক্টর বলা হয়

Ax + Wu + C = 0।

উদাহরণ। একটি দিক ভেক্টর (1, -1) এবং A(1, 2) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান।আমরা ফর্মে পছন্দসই লাইনের সমীকরণটি সন্ধান করব: Ax + By + C = 0। সংজ্ঞা অনুসারে, সহগগুলিকে শর্তগুলি পূরণ করতে হবে:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

তারপর সরলরেখার সমীকরণের ফর্ম আছে: Ax + Ay + C = 0, অথবা x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 এর জন্য আমরা C/ A = -3 পাই, অর্থাৎ প্রয়োজনীয় সমীকরণ:

সেগমেন্টে একটি রেখার সমীকরণ

যদি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণে Ах + Ву + С = 0 С≠0, তাহলে, –С দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই: বা

জ্যামিতিক অর্থসহগ হল সেই সহগ কঅক্স অক্ষের সাথে রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক, এবং খ– Oy অক্ষের সাথে সরলরেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

উদাহরণ।রেখার সাধারণ সমীকরণ x – y + 1 = 0 দেওয়া হয়েছে এই রেখার সমীকরণটি খণ্ডে।

C = 1, , a = -1, b = 1।

একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ

Ax + By + C = 0 সমীকরণের উভয় বাহুকে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হলে চমগ্মজগচ স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর, তারপর আমরা পেতে

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

একটি লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ। স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টরের চিহ্ন ± নির্বাচন করতে হবে যাতে μ * C হয়< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

উদাহরণ. সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ 12x – 5y – 65 = 0 দেওয়া। আপনাকে লিখতে হবে বিভিন্ন ধরনেরএই লাইনের সমীকরণ।

অংশে এই লাইনের সমীকরণ:

ঢাল সহ এই রেখার সমীকরণ: (5 দিয়ে ভাগ করুন)

; cos φ = 12/13; পাপ φ= -5/13; p = 5।

এটি লক্ষ করা উচিত যে প্রতিটি সরল রেখাকে সেগমেন্টে একটি সমীকরণ দ্বারা উপস্থাপিত করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখাগুলি বা স্থানাঙ্কগুলির উত্সের মধ্য দিয়ে যাওয়া।

উদাহরণ. সরলরেখা স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান ধনাত্মক অংশগুলিকে কেটে দেয়। একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন যদি এই অংশগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 8 সেমি 2 হয়।

সমাধান।সরলরেখার সমীকরণের ফর্ম আছে: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

উদাহরণ. বিন্দু A(-2, -3) এবং উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখ।

সমাধান. সরলরেখার সমীকরণ হল: , যেখানে x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3।

একটি সমতলে সরল রেখার মধ্যে কোণ

সংজ্ঞা।যদি দুটি লাইন দেওয়া হয় y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, তাহলে এই রেখাগুলির মধ্যে তীব্র কোণটি সংজ্ঞায়িত হবে

.

k 1 = k 2 হলে দুটি রেখা সমান্তরাল হয়। k 1 = -1/ k 2 হলে দুটি রেখা লম্ব হয়।

উপপাদ্য। Ax + Bу + C = 0 এবং A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 রেখাগুলি সমান্তরাল হয় যখন সহগ A 1 = λA, B 1 = λB সমানুপাতিক হয়। যদি C 1 = λC হয়, তাহলে রেখাগুলো মিলে যায়। দুটি রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি এই রেখাগুলির সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান হিসাবে পাওয়া যায়।

একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ

সংজ্ঞা।বিন্দু M 1 (x 1, y 1) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা এবং y = kx + b সরলরেখার লম্ব সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়:

বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব

উপপাদ্য।যদি একটি বিন্দু M(x 0, y 0) দেওয়া হয়, তাহলে রেখার দূরত্ব Ax + Bу + C = 0 হিসাবে নির্ধারিত হয়

.

প্রমাণ।বিন্দু M 1 (x 1, y 1) বিন্দু M থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখায় নেমে যাওয়া লম্বের ভিত্তি। তারপর পয়েন্ট M এবং M 1 এর মধ্যে দূরত্ব:

(1)

সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান করে x 1 এবং y 1 স্থানাঙ্কগুলি পাওয়া যেতে পারে:

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ হল প্রদত্ত রেখার লম্ব M 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার সমীকরণ। যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটিকে ফর্মে রূপান্তর করি:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

তারপর, সমাধান করে, আমরা পাই:

এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে (1), আমরা পাই:

উপপাদ্য প্রমাণিত।

উদাহরণ. রেখাগুলির মধ্যে কোণ নির্ধারণ করুন: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1।

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4।

উদাহরণ. দেখাও যে রেখা 3x – 5y + 7 = 0 এবং 10x + 6y – 3 = 0 লম্ব।

সমাধান. আমরা খুঁজে পাই: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, অতএব, রেখাগুলি লম্ব।

উদাহরণ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। শীর্ষবিন্দু C থেকে অঙ্কিত উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান. আমরা পাশের AB এর সমীকরণটি খুঁজে পাই: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

প্রয়োজনীয় উচ্চতা সমীকরণের ফর্ম আছে: Ax + By + C = 0 বা y = kx + b। k =। তারপর y = . কারণ উচ্চতা C বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণটি পূরণ করে: যেখান থেকে b = 17. মোট: .

উত্তর: 3 x + 2 y – 34 = 0।

এই নিবন্ধটি একটি সমতলে একটি রেখার সমীকরণের বিষয়টি অব্যাহত রেখেছে: আমরা এই ধরণের সমীকরণটিকে একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ হিসাবে বিবেচনা করব। আসুন উপপাদ্যটিকে সংজ্ঞায়িত করি এবং এর প্রমাণ দিই; আসুন একটি রেখার একটি অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ কী এবং কীভাবে একটি সাধারণ সমীকরণ থেকে একটি লাইনের অন্যান্য ধরণের সমীকরণে রূপান্তর করা যায় তা বের করা যাক। আমরা সম্পূর্ণ তত্ত্বকে দৃষ্টান্ত এবং ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান দিয়ে শক্তিশালী করব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা O x y নির্দিষ্ট করা যাক।

উপপাদ্য ঘ

A x + B y + C = 0 ফর্ম থাকা প্রথম ডিগ্রির যেকোনো সমীকরণ, যেখানে A, B, C কিছু বাস্তব সংখ্যা (A এবং B একই সময়ে শূন্যের সমান নয়), একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে একটি সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা। পালাক্রমে, একটি সমতলের আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যেকোন সরলরেখা একটি সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয় যার একটি নির্দিষ্ট সেট মান A, B, C এর জন্য A x + B y + C = 0 ফর্ম রয়েছে।

প্রমাণ

এই উপপাদ্য দুটি পয়েন্ট নিয়ে গঠিত; আমরা তাদের প্রতিটি প্রমাণ করব।

1. আসুন প্রমাণ করি যে সমীকরণ A x + B y + C = 0 সমতলের একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে।

কিছু বিন্দু M 0 (x 0 , y 0) আছে যার স্থানাঙ্কগুলি A x + B y + C = 0 সমীকরণের সাথে মিলে যায়। এভাবে: A x 0 + B y 0 + C = 0। সমীকরণ A x + B y + C = 0 সমীকরণ A x 0 + B y 0 + C = 0 সমীকরণের বাম এবং ডান দিক থেকে বিয়োগ করুন, আমরা একটি নতুন সমীকরণ পাই যা দেখতে A (x) এর মতো - x 0) + B (y - y 0) = 0। এটি A x + B y + C = 0 এর সমতুল্য।

ফলস্বরূপ সমীকরণ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্তভেক্টরের লম্বতা n → = (A, B) এবং M 0 M → = (x - x 0, y - y 0)। এইভাবে, বিন্দুর সেট M (x, y) ভেক্টরের দিকে লম্ব একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে n → = (A, B)। আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি তেমন নয়, তবে তারপর ভেক্টর n → = (A, B) এবং M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) লম্ব হবে না এবং সমতা A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 সত্য হবে না।

ফলস্বরূপ, সমীকরণ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি নির্দিষ্ট রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে এবং সেইজন্য সমতুল্য সমীকরণ A x + B y + C = 0 সংজ্ঞায়িত করে একই লাইন এইভাবে আমরা উপপাদ্যের প্রথম অংশ প্রমাণ করেছি।

1. আসুন আমরা একটি প্রমাণ উপস্থাপন করি যে একটি সমতলের আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যেকোন সরলরেখাকে প্রথম ডিগ্রি A x + B y + C = 0 এর সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে।

আসুন একটি সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সরলরেখা a সংজ্ঞায়িত করি; বিন্দু M 0 (x 0 , y 0) যার মধ্য দিয়ে এই রেখাটি যায়, সেইসাথে এই লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর n → = (A, B)।

কিছু বিন্দু M (x, y)-ও থাকুক - একটি রেখার উপর একটি ভাসমান বিন্দু। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর n → = (A, B) এবং M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) একে অপরের সাথে লম্ব, এবং তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

আসুন সমীকরণটি পুনরায় লিখি A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, C সংজ্ঞায়িত করুন: C = - A x 0 - B y 0 এবং চূড়ান্ত ফলাফল হিসাবে আমরা A x + B y + C = সমীকরণটি পাই। 0

সুতরাং, আমরা উপপাদ্যটির দ্বিতীয় অংশ প্রমাণ করেছি, এবং আমরা সমগ্র উপপাদ্যটিকে সম্পূর্ণরূপে প্রমাণ করেছি।

সংজ্ঞা 1

ফর্মের একটি সমীকরণ A x + B y + C = 0 - এই একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণএকটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একটি সমতলেঅক্সি.

প্রমাণিত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে একটি সরলরেখা এবং একটি স্থির আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সমতলে সংজ্ঞায়িত তার সাধারণ সমীকরণ অবিচ্ছেদ্যভাবে সংযুক্ত। অন্য কথায়, মূল রেখাটি তার সাধারণ সমীকরণের সাথে মিলে যায়; একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ একটি প্রদত্ত রেখার সাথে মিলে যায়।

উপপাদ্যের প্রমাণ থেকে এটিও অনুসরণ করে যে x এবং y ভেরিয়েবলের জন্য A এবং B সহগ হল লাইনের সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, যা লাইন A x + B y + C = লাইনের সাধারণ সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। 0

সরলরেখার একটি সাধারণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

2 x + 3 y - 2 = 0 সমীকরণ দেওয়া যাক, যা একটি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের একটি সরল রেখার সাথে মিলে যায়। এই লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর হল ভেক্টর n → = (2, 3)। চলুন অঙ্কনে প্রদত্ত সরল রেখাটি আঁকুন।

আমরা নিম্নলিখিতগুলিও বলতে পারি: আমরা অঙ্কনে যে সরল রেখাটি দেখি তা সাধারণ সমীকরণ 2 x + 3 y - 2 = 0 দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেহেতু একটি প্রদত্ত সরলরেখার সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণের সাথে মিলে যায়৷

আমরা λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 রেখার সাধারণ সমীকরণের উভয় পাশে শূন্যের সমান নয় এমন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে সমীকরণ পেতে পারি। ফলস্বরূপ সমীকরণটি মূল সাধারণ সমীকরণের সমতুল্য, তাই এটি সমতলে একই সরলরেখা বর্ণনা করবে।

সংজ্ঞা 2

একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন– সরলরেখার এমন একটি সাধারণ সমীকরণ A x + B y + C = 0, যেখানে A, B, C সংখ্যাগুলি শূন্য থেকে আলাদা। অন্যথায় সমীকরণ হয় অসম্পূর্ণ.

আসুন একটি লাইনের অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণের সমস্ত বৈচিত্র বিশ্লেষণ করি।

1. যখন A = ​​0, B ≠ 0, C ≠ 0, তখন সাধারণ সমীকরণটি B y + C = 0 রূপ নেয়। এই ধরনের একটি অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় O x y একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে যা O x অক্ষের সমান্তরাল, যেহেতু x এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য y মানটি গ্রহণ করবে - সি বি। অন্য কথায়, সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ A x + B y + C = 0, যখন A = ​​0, B ≠ 0, বিন্দুগুলির অবস্থান (x, y) নির্দিষ্ট করে, যার স্থানাঙ্কগুলি একই সংখ্যার সমান - সি বি।
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 হলে, সাধারণ সমীকরণটি y = 0 রূপ নেয়। এই অসম্পূর্ণ সমীকরণঅবসিসা অক্ষ O x সংজ্ঞায়িত করে।
3. যখন A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, তখন আমরা অর্ডিনেটের সমান্তরাল একটি সরল রেখা সংজ্ঞায়িত করে একটি অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ A x + C = 0 পাই।
4. ধরুন A ≠ 0, B = 0, C = 0, তাহলে অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণটি x = 0 রূপ নেবে এবং এটি হল স্থানাঙ্ক রেখা O y এর সমীকরণ।
5. অবশেষে, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 এর জন্য, অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণটি A x + B y = 0 রূপ নেয়। এবং এই সমীকরণটি একটি সরল রেখা বর্ণনা করে যা মূলের মধ্য দিয়ে যায়। প্রকৃতপক্ষে, সংখ্যার জোড়া (0, 0) সমতা A x + B y = 0 এর সাথে মিলে যায়, যেহেতু A · 0 + B · 0 = 0।

আসুন আমরা একটি সরলরেখার অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণের উপরোক্ত সমস্ত প্রকারের গ্রাফিকভাবে চিত্রিত করি।

উদাহরণ 1

এটি জানা যায় যে প্রদত্ত সরলরেখাটি অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল এবং বিন্দু 2 7, - 11 এর মধ্য দিয়ে যায়। প্রদত্ত লাইনের সাধারণ সমীকরণটি লিখতে হবে।

সমাধান

অর্ডিনেট অক্ষের সমান্তরাল একটি সরল রেখা A x + C = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে, যেখানে A ≠ 0। শর্তটি সেই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিও নির্দিষ্ট করে যার মধ্য দিয়ে লাইনটি চলে যায় এবং এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ A x + C = 0 এর শর্ত পূরণ করে, অর্থাৎ সমতা সত্য:

A 2 7 + C = 0

এটি থেকে C নির্ধারণ করা সম্ভব যদি আমরা Aকে কিছু অ-শূন্য মান দেই, উদাহরণস্বরূপ, A = 7। এই ক্ষেত্রে, আমরা পাই: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2। আমরা A এবং C উভয় সহগ জানি, এগুলিকে A x + C = 0 সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং প্রয়োজনীয় সরলরেখা সমীকরণটি পান: 7 x - 2 = 0

উত্তর: 7 x - 2 = 0

উদাহরণ 2

অঙ্কনটি একটি সরল রেখা দেখায়; আপনাকে তার সমীকরণটি লিখতে হবে।

সমাধান

প্রদত্ত অঙ্কনটি আমাদের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রাথমিক ডেটা সহজে নিতে দেয়। আমরা অঙ্কনে দেখি যে প্রদত্ত সরল রেখাটি O x অক্ষের সমান্তরাল এবং বিন্দু (0, 3) এর মধ্য দিয়ে যায়।

সরলরেখা, যা অ্যাবসিসার সমান্তরাল, অসম্পূর্ণ সাধারণ সমীকরণ B y + C = 0 দ্বারা নির্ধারিত হয়। এবার B এবং C এর মান বের করা যাক। বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 3), যেহেতু প্রদত্ত রেখাটি এটির মধ্য দিয়ে যায়, তাই B y + C = 0 লাইনের সমীকরণটি পূরণ করবে, তাহলে সমতাটি বৈধ: B · 3 + C = 0। শূন্য ছাড়া অন্য কিছু মান B সেট করা যাক। ধরা যাক B = 1, যে ক্ষেত্রে সমতা B · 3 + C = 0 থেকে আমরা C: C = - 3 বের করতে পারি। আমরা ব্যাবহার করি পরিচিত মান B এবং C, আমরা সরলরেখার প্রয়োজনীয় সমীকরণ পাই: y - 3 = 0।

উত্তর: y - 3 = 0।

একটি সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার সাধারণ সমীকরণ

প্রদত্ত রেখাটিকে M 0 (x 0 , y 0) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে দিন, তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি লাইনের সাধারণ সমীকরণের সাথে মিলে যায়, যেমন সমতা সত্য: A x 0 + B y 0 + C = 0। সাধারণের বাম এবং ডান দিক থেকে এই সমীকরণের বাম এবং ডান দিক বিয়োগ করা যাক সম্পূর্ণ সমীকরণসোজা আমরা পাই: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, এই সমীকরণটি মূল সাধারণের সমতুল্য, বিন্দু M 0 (x 0, y 0) এর মধ্য দিয়ে যায় এবং একটি স্বাভাবিক রয়েছে ভেক্টর n → = (A, B)।

আমরা যে ফলাফল পেয়েছি তা দিয়ে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ লেখা সম্ভব হয় পরিচিত স্থানাঙ্কএকটি রেখার সাধারণ ভেক্টর এবং এই লাইনের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

উদাহরণ 3

একটি বিন্দু M 0 (- 3, 4) দেওয়া হয়েছে যার মধ্য দিয়ে একটি রেখা যায় এবং এই লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর n → = (1 , - 2)। প্রদত্ত লাইনের সমীকরণটি লিখতে হবে।

সমাধান

প্রাথমিক শর্তগুলি আমাদের সমীকরণ রচনা করার জন্য প্রয়োজনীয় ডেটা পেতে দেয়: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4। তারপর:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

সমস্যাটা অন্যভাবে সমাধান করা যেত। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হল A x + B y + C = 0। প্রদত্ত সাধারণ ভেক্টর আমাদেরকে A এবং B সহগগুলির মান পেতে দেয়, তারপর:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

এখন সমস্যা অবস্থা দ্বারা নির্দিষ্ট করা বিন্দু M 0 (- 3, 4) ব্যবহার করে C-এর মান খুঁজে বের করা যাক, যার মধ্য দিয়ে সরলরেখাটি যায়। এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি x - 2 · y + C = 0 সমীকরণের সাথে মিলে যায়, i.e. - 3 - 2 4 + C = 0। তাই C = 11। প্রয়োজনীয় সরলরেখা সমীকরণটি রূপ নেয়: x - 2 · y + 11 = 0।

উত্তর: x - 2 y + 11 = 0।

উদাহরণ 4

একটি লাইন 2 3 x - y - 1 2 = 0 এবং এই লাইনে একটি বিন্দু M 0 দেওয়া আছে। শুধুমাত্র এই বিন্দুর অবসিসা জানা যায়, এবং এটি - 3 এর সমান। একটি প্রদত্ত বিন্দুর অর্ডিনেট নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

সমাধান

আসুন আমরা বিন্দু M 0 এর স্থানাঙ্কগুলিকে x 0 এবং y 0 হিসাবে চিহ্নিত করি। উৎস তথ্য নির্দেশ করে যে x 0 = - 3। যেহেতু বিন্দুটি একটি প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত, তাই এর স্থানাঙ্কগুলি এই লাইনের সাধারণ সমীকরণের সাথে মিলে যায়। তাহলে সমতা সত্য হবে:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 সংজ্ঞায়িত করুন

উত্তর: - 5 2

একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ থেকে একটি রেখার অন্যান্য ধরণের সমীকরণে রূপান্তর এবং তদ্বিপরীত

আমরা জানি, সমতলে একই সরলরেখার জন্য বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ রয়েছে। সমীকরণের প্রকারের পছন্দ সমস্যার অবস্থার উপর নির্ভর করে; এটি সমাধানের জন্য আরও সুবিধাজনক একটি চয়ন করা সম্ভব। এক ধরণের সমীকরণকে অন্য ধরণের সমীকরণে রূপান্তর করার দক্ষতা এখানে খুব কার্যকর।

প্রথমে A x + B y + C = 0 ফর্মের সাধারণ সমীকরণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণ x - x 1 a x = y - y 1 a y-এ রূপান্তর বিবেচনা করা যাক।

যদি A ≠ 0 হয়, তাহলে আমরা B y শব্দটিকে স্থানান্তর করি ডান পাশসাধারণ সমীকরণ। বাম দিকে আমরা A কে বন্ধনী থেকে বের করি। ফলস্বরূপ, আমরা পাই: A x + C A = - B y।

এই সমতা একটি অনুপাত হিসাবে লেখা যেতে পারে: x + C A - B = y A।

যদি B ≠ 0 হয়, আমরা সাধারণ সমীকরণের বাম দিকে শুধুমাত্র A x শব্দটি রেখে দেই, অন্যগুলোকে ডানদিকে স্থানান্তরিত করি, আমরা পাই: A x = - B y - C। আমরা বন্ধনী থেকে – B নিই, তারপর: A x = - B y + C B।

সমতাকে অনুপাত আকারে আবার লিখি: x - B = y + C B A।

অবশ্যই, ফলস্বরূপ সূত্রগুলি মুখস্থ করার দরকার নেই। সাধারণ সমীকরণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণে যাওয়ার সময় ক্রিয়াগুলির অ্যালগরিদম জানা যথেষ্ট।

উদাহরণ 5

3 y - 4 = 0 লাইনের সাধারণ সমীকরণ দেওয়া হয়েছে। এটি একটি আদর্শ সমীকরণে রূপান্তর করা প্রয়োজন।

সমাধান

আসুন এটি লিখে রাখি মূল সমীকরণযেমন 3 y - 4 = 0। এর পরে, আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী এগিয়ে যাই: 0 x শব্দটি বাম দিকে থাকে; এবং ডান দিকে আমরা রাখি - বন্ধনীর মধ্যে 3টি; আমরা পাই: 0 x = - 3 y - 4 3।

ফলস্বরূপ সমতাটিকে অনুপাত হিসাবে লিখি: x - 3 = y - 4 3 0 । এইভাবে, আমরা ক্যানোনিকাল ফর্মের একটি সমীকরণ পেয়েছি।

উত্তরঃ x - 3 = y - 4 3 0.

একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণকে প্যারামেট্রিক সমীকরণে রূপান্তর করতে, প্রথমে ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তর করুন এবং তারপর থেকে স্থানান্তর করুন ক্যানোনিকাল সমীকরণপ্যারামেট্রিক সমীকরণের সরলরেখা।

উদাহরণ 6

সরলরেখাটি 2 x - 5 y - 1 = 0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে। এই লাইনের জন্য প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি লিখুন।

সমাধান

আসুন সাধারণ সমীকরণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণে রূপান্তর করি:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

এখন আমরা λ এর সমান ফলাফলপ্রাপ্ত ক্যানোনিকাল সমীকরণের উভয় দিক নিই, তারপর:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

উত্তর:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

সাধারণ সমীকরণটিকে ঢাল y = k · x + b সহ একটি সরলরেখার সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, তবে শুধুমাত্র B ≠ 0 হলে। স্থানান্তরের জন্য, আমরা বাম দিকে B y শব্দটি ছেড়ে দিই, বাকিগুলি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়। আমরা পাই: B y = - A x - C। ফলস্বরূপ সমতার উভয় দিককে B দ্বারা ভাগ করি, শূন্য থেকে ভিন্ন: y = - A B x - C B।

উদাহরণ 7

লাইনের সাধারণ সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: 2 x + 7 y = 0। আপনাকে সেই সমীকরণটিকে ঢাল সমীকরণে রূপান্তর করতে হবে।

সমাধান

আসুন অ্যালগরিদম অনুযায়ী প্রয়োজনীয় ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করি:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

উত্তর: y = - 2 7 x।

একটি রেখার সাধারণ সমীকরণ থেকে, x a + y b = 1 ফর্মের সেগমেন্টে একটি সমীকরণ প্রাপ্ত করাই যথেষ্ট। এই ধরনের একটি রূপান্তর করার জন্য, আমরা সংখ্যা C কে সমতার ডান দিকে নিয়ে যাই, ফলাফলের সমতার উভয় দিককে – C দ্বারা ভাগ করি এবং অবশেষে, x এবং y ভেরিয়েবলের সহগগুলিকে হরগুলিতে স্থানান্তর করি:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

উদাহরণ 8

রেখার সাধারণ সমীকরণ x - 7 y + 1 2 = 0 রেখার সমীকরণে রুপান্তর করা প্রয়োজন।

সমাধান

আসুন 1 2কে ডান দিকে নিয়ে যাই: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

সমতার উভয় দিককে -1/2 দ্বারা ভাগ করি: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

উত্তর: x - 1 2 + y 1 14 = 1।

সাধারণভাবে, বিপরীত রূপান্তরটিও সহজ: অন্যান্য ধরণের সমীকরণ থেকে সাধারণ এক পর্যন্ত।

সেগমেন্টে একটি রেখার সমীকরণ এবং একটি কৌণিক সহগ সহ একটি সমীকরণকে সহজে সমতার বাম দিকের সমস্ত পদগুলিকে সংগ্রহ করে সাধারণ একটিতে রূপান্তর করা যেতে পারে:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ক্যানোনিকাল সমীকরণটি নিম্নলিখিত স্কিম অনুসারে একটি সাধারণ সমীকরণে রূপান্তরিত হয়:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

প্যারামেট্রিক থেকে সরানোর জন্য, প্রথমে ক্যানোনিকাল এবং তারপরে সাধারণটিতে যান:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

উদাহরণ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণ দেওয়া হয়েছে। এই লাইনের সাধারণ সমীকরণটি লিখতে হবে।

সমাধান

প্যারামেট্রিক সমীকরণ থেকে ক্যানোনিকাল সমীকরণে রূপান্তর করা যাক:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

আসুন ক্যানোনিকাল থেকে সাধারণে চলে যাই:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

উত্তর: y - 4 = 0

উদাহরণ 10

x 3 + y 1 2 = 1 অংশে একটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে। সমীকরণের সাধারণ ফর্মে রূপান্তর করা প্রয়োজন।

সমাধান:

আমরা কেবল প্রয়োজনীয় আকারে সমীকরণটি পুনরায় লিখি:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

উত্তর: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

একটি লাইনের একটি সাধারণ সমীকরণ আঁকা

আমরা উপরে বলেছি যে সাধারণ সমীকরণটি সাধারণ ভেক্টরের পরিচিত স্থানাঙ্ক এবং রেখাটি যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তার স্থানাঙ্কগুলি দিয়ে লেখা যেতে পারে। এই ধরনের সরলরেখাকে A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। সেখানে আমরা সংশ্লিষ্ট উদাহরণ বিশ্লেষণ করেছি।

এখন আসুন আরও জটিল উদাহরণ দেখি, যেখানে প্রথমে আমাদের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে হবে।

উদাহরণ 11

লাইন 2 x - 3 y + 3 3 = 0 লাইনের সমান্তরাল একটি রেখা দেওয়া হয়েছে। বিন্দু M 0 (4, 1) যার মধ্য দিয়ে প্রদত্ত রেখাটি যায় তাও পরিচিত। প্রদত্ত লাইনের সমীকরণটি লিখতে হবে।

সমাধান

প্রাথমিক অবস্থাগুলি আমাদের বলে যে রেখাগুলি সমান্তরাল, তারপর, রেখার সাধারণ ভেক্টর হিসাবে, যে সমীকরণটি লিখতে হবে, আমরা n → = (2, - 3) রেখাটির দিক ভেক্টর নিই: 2 x - 3 y + 3 3 = 0। এখন আমরা লাইনের সাধারণ সমীকরণ তৈরি করার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা জানি:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

উত্তর: 2 x - 3 y - 5 = 0।

উদাহরণ 12

প্রদত্ত রেখাটি x - 2 3 = y + 4 5 রেখাটির মূল লম্বের মধ্য দিয়ে যায়। একটি প্রদত্ত লাইনের জন্য একটি সাধারণ সমীকরণ তৈরি করা প্রয়োজন।

সমাধান

একটি প্রদত্ত রেখার সাধারণ ভেক্টর হবে রেখা x - 2 3 = y + 4 5 এর দিক ভেক্টর।

তারপর n → = (3, 5)। সরলরেখা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায়, অর্থাৎ O বিন্দুর মাধ্যমে (0, 0)। একটি প্রদত্ত লাইনের জন্য একটি সাধারণ সমীকরণ তৈরি করা যাক:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

উত্তর: 3 x + 5 y = 0।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন