থাকা স্ট্যান্ডার্ড ভিউ$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, যার মধ্যে বাম পাশেকিছু ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল $F\left(x,y\right)$, যাকে সমীকরণ বলে সম্পূর্ণ ভিন্নতা.

মোট ডিফারেনশিয়ালের সমীকরণ সর্বদা $dF\left(x,y\right)=0$ হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে, যেখানে $F\left(x,y\right)$ হল একটি ফাংশন যেমন $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$।

আসুন সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; শূন্য ডানদিকের অবিচ্ছেদ্য একটি নির্বিচারে ধ্রুবক $C$ এর সমান। এইভাবে, সাধারণ সিদ্ধান্তঅন্তর্নিহিত আকারে এই সমীকরণটির $F\left(x,y\right)=C$ ফর্ম আছে।

একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ মোট ডিফারেনশিয়ালের একটি সমীকরণ হওয়ার জন্য, শর্তটি $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ থাকা প্রয়োজন এবং যথেষ্ট। জুড়ান. যদি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে একটি ফাংশন আছে $F\left(x,y\right)$, যার জন্য আমরা লিখতে পারি: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, যেখান থেকে আমরা দুটি সম্পর্ক পাই : $\frac(\ আংশিক F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ এবং $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$।

আমরা প্রথম সম্পর্ক $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$কে $x$ এর উপরে একীভূত করি এবং $F\left(x,y\right)=\int পাই P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, যেখানে $U\left(y\right)$ হল $y$ এর একটি নির্বিচারে ফাংশন।

আসুন এটি নির্বাচন করি যাতে দ্বিতীয় সম্পর্ক $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ সন্তুষ্ট হয়। এটি করার জন্য, আমরা $F\left(x,y\right)$-এর জন্য $y$-এর সাপেক্ষে ফলাফলের সম্পর্ককে আলাদা করি এবং ফলাফলটিকে $Q\left(x,y\right)$-এর সাথে সমান করি। আমরা পাই: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$।

আরও সমাধান হল:

• শেষ সমতা থেকে আমরা খুঁজে পাই $U"\left(y\right)$;
• $U"\left(y\right)$ সংহত করুন এবং $U\left(y\right)$ খুঁজুন;
• সমতায় $U\left(y\right)$ প্রতিস্থাপন করুন $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ এবং অবশেষে আমরা $F\left(x,y\right)$ ফাংশন পাই।

\

আমরা পার্থক্য খুঁজে পাই:

আমরা $U"\left(y\right)$ $y$ এর উপর একীভূত করি এবং $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ খুঁজে পাই।

ফলাফল খুঁজুন: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$।

আমরা $F\left(x,y\right)=C$ আকারে সাধারণ সমাধান লিখি, যথা:

একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, যেখানে $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

আংশিক সমাধানের ফর্ম আছে: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$।

সংজ্ঞা 8.4.ফর্মের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

কোথায়
মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়।

মনে রাখবেন যে এই ধরনের একটি সমীকরণের বাম দিক হল কিছু ফাংশনের মোট পার্থক্য
.

সাধারণভাবে, সমীকরণ (8.4) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

সমীকরণ (8.5) এর পরিবর্তে, আমরা সমীকরণটি বিবেচনা করতে পারি

,

যার সমাধান হল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য (8.4)। সুতরাং, সমীকরণ (8.4) সমাধান করার জন্য ফাংশনটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন
. সমীকরণের সংজ্ঞা (8.4) অনুসারে, আমাদের আছে

(8.6)

ফাংশন
আমরা এমন একটি ফাংশন খুঁজব যা এই শর্তগুলির একটিকে সন্তুষ্ট করে (8.6):

কোথায় - স্বাধীন একটি নির্বিচারে ফাংশন .

ফাংশন
সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যাতে অভিব্যক্তির দ্বিতীয় শর্ত (8.6) সন্তুষ্ট হয়

(8.7)

অভিব্যক্তি (8.7) থেকে ফাংশন নির্ধারণ করা হয়
. জন্য অভিব্যক্তি মধ্যে এটি প্রতিস্থাপন
এবং মূল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত করুন।

সমস্যা 8.3.সমীকরণ সংহত করুন

এখানে
.

অতএব, এই সমীকরণটি মোট ডিফারেনশিয়ালে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকারের অন্তর্গত। ফাংশন
আমরা ফর্মে এটি সন্ধান করব

.

অন্যদিকে,

.

কিছু ক্ষেত্রে অবস্থা
পূরণ নাও হতে পারে।

তারপরে এই জাতীয় সমীকরণগুলি তথাকথিত সমন্বিত ফ্যাক্টর দ্বারা গুণনের দ্বারা বিবেচনাধীন প্রকারে হ্রাস করা হয়, যা, সাধারণ ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র একটি ফাংশন বা .

যদি কিছু সমীকরণের একটি সমন্বিত ফ্যাক্টর থাকে যা শুধুমাত্র নির্ভর করে , তারপর এটি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

সম্পর্ক কোথায় শুধুমাত্র একটি ফাংশন হতে হবে .

একইভাবে, ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে , সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

সম্পর্ক কোথায়
শুধুমাত্র একটি ফাংশন হতে হবে .

প্রদত্ত সম্পর্কের অনুপস্থিতি, প্রথম ক্ষেত্রে, পরিবর্তনশীলের , এবং দ্বিতীয়টিতে - পরিবর্তনশীল , একটি প্রদত্ত সমীকরণের জন্য একটি সমন্বিত ফ্যাক্টরের অস্তিত্বের একটি চিহ্ন।

সমস্যা 8.4.এই সমীকরণটিকে মোট ডিফারেন্সিয়ালের একটি সমীকরণে কমিয়ে দিন।

.

সম্পর্ক বিবেচনা করুন:

.

বিষয় 8.2। লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সংজ্ঞা 8.5. আঙ্গক
রৈখিক বলা হয় যদি এটি পছন্দসই ফাংশন সাপেক্ষে রৈখিক হয় , এর ডেরিভেটিভ এবং পছন্দসই ফাংশনের পণ্য এবং এর ডেরিভেটিভ ধারণ করে না।

একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ ফর্ম নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়:

(8.8)

যদি সম্পর্কে (8.8) ডান দিকে
, তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে রৈখিক সমজাতীয় বলা হয়। ক্ষেত্রে ডান অংশ
, তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে বলা হয় রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ।

আসুন দেখাই যে সমীকরণ (8.8) চতুর্ভুজে একীভূত হতে পারে।

প্রথম পর্যায়ে, আমরা একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ বিবেচনা করি।

এই ধরনের একটি সমীকরণ বিভাজ্য চলক সঙ্গে একটি সমীকরণ. সত্যিই,

;

/

শেষ সম্পর্কটি একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ধারণ করে।

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভের পরিবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। পদ্ধতির ধারণাটি হল যে একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধানটি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মতো একই আকারে, তবে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক কিছু ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত
সংকল্প থাকা. তাহলে আমাদের আছে:

(8.9)

সম্পর্ক প্রতিস্থাপন (8.8) অনুরূপ অভিব্যক্তি
এবং
, আমরা পেতে

শেষ অভিব্যক্তিটিকে সম্পর্কের (8.9) প্রতিস্থাপন করে, আমরা রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত করি।

এইভাবে, একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান দুটি চতুর্ভুজ দ্বারা নির্ধারিত হয়: একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান।

সমস্যা 8.5।সমীকরণ সংহত করুন

সুতরাং, মূল সমীকরণটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকারের অন্তর্গত।

প্রথম পর্যায়ে, আমরা একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পাব।

;

দ্বিতীয় পর্যায়ে, আমরা রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নির্ধারণ করি, যা আকারে পাওয়া যায়

,

কোথায়
- ফাংশন নির্ধারণ করতে হবে।

তাহলে আমাদের আছে:

জন্য সম্পর্ক প্রতিস্থাপন এবং মূল রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণে আমরা পাই:

;

;

.

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম থাকবে:

.

এই বিষয়ে আমরা একটি ফাংশনকে তার মোট ডিফারেনশিয়াল থেকে পুনরুদ্ধার করার পদ্ধতিটি দেখব, এর সাথে সমস্যার উদাহরণ দেব সম্পূর্ণ বিশ্লেষণসমাধান

এটি ঘটে যে P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ফর্মের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (DE) বাম দিকের কিছু ফাংশনের সম্পূর্ণ ভিন্নতা থাকতে পারে। তারপর আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজে পেতে পারি যদি আমরা প্রথমে ফাংশনটিকে তার মোট ডিফারেনশিয়াল থেকে পুনর্গঠন করি।

উদাহরণ 1

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন। বামদিকে একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের পার্থক্য রয়েছে U(x, y) = 0. এটি করার জন্য, শর্ত ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x সন্তুষ্ট হতে হবে।

U (x, y) = 0 ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়ালের d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y ফর্ম আছে। শর্ত ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x বিবেচনা করে আমরা পাই:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেম থেকে প্রথম সমীকরণটি রূপান্তর করে, আমরা পেতে পারি:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

আমরা পূর্বে প্রাপ্ত সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে φ (y) ফাংশনটি খুঁজে পেতে পারি:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

এইভাবে আমরা কাঙ্ক্ষিত ফাংশন U (x, y) = 0 খুঁজে পেয়েছি।

উদাহরণ 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

চলুন দেখে নেওয়া যাক শর্ত ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x সন্তুষ্ট কিনা:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

আমাদের শর্ত পূরণ হয়েছে.

গণনার উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বাম দিকটি কিছু ফাংশন U (x, y) = 0 এর মোট ডিফারেনশিয়াল। আমাদের এই ফাংশনটি খুঁজে বের করতে হবে।

যেহেতু (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y হল U (x, y) = 0 ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল, তাহলে

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

চলুন x এর সাথে সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি সংহত করি:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

এখন আমরা y এর সাপেক্ষে ফলাফলের ফলাফলকে আলাদা করি:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি রূপান্তরিত করে, আমরা পাই: ∂ U ∂ y = - 2 x y। এটা মানে
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

যেখানে C একটি নির্বিচারে ধ্রুবক।

আমরা পাই: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C। সাধারণ অবিচ্ছেদ্য মূল সমীকরণহল x 3 3 - x y 2 + C = 0।

আসুন একটি পরিচিত মোট ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে একটি ফাংশন খুঁজে বের করার জন্য আরেকটি পদ্ধতি দেখি। এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (x 0, y 0) থেকে পরিবর্তনশীল স্থানাঙ্ক (x, y) সহ একটি বিন্দুতে একটি বক্ররেখার অখণ্ড ব্যবহার জড়িত:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

এই ধরনের ক্ষেত্রে, অখণ্ডের মান কোনোভাবেই একীকরণের পথে নির্ভর করে না। আমরা একটি ভাঙা রেখাকে ইন্টিগ্রেশন পাথ হিসাবে নিতে পারি, যার লিঙ্কগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সমান্তরালে অবস্থিত।

উদাহরণ 3

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

সমাধান

চলুন দেখে নেওয়া যাক শর্ত ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x সন্তুষ্ট কিনা:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

দেখা যাচ্ছে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বাম দিকে কিছু ফাংশন U (x, y) = 0 এর মোট ডিফারেনশিয়াল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে। এই ফাংশনটি খুঁজে বের করার জন্য, বিন্দুর লাইন ইন্টিগ্রাল গণনা করা প্রয়োজন (1 ; 1) আগে (x, y). আসুন আমরা একীকরণের পথ হিসাবে একটি ভাঙা রেখা গ্রহণ করি, যার অংশগুলি সরলরেখায় চলে যাবে y = 1বিন্দু (1, 1) থেকে (x, 1) এবং তারপর বিন্দু (x, 1) থেকে (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

আমরা x y - x y 2 + C = 0 ফর্মের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পেয়েছি।

উদাহরণ 4

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

সমাধান

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করা যাক।

যেহেতু ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, তাহলে শর্তটি সন্তুষ্ট হবে না। এর মানে হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বাম দিকটি ফাংশনের সম্পূর্ণ ডিফারেনশিয়াল নয়। এটি বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং অন্যান্য সমাধানগুলি এটি সমাধানের জন্য উপযুক্ত।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

সংজ্ঞা: ফর্মের সমীকরণ

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

যেখানে বাম দিকটি দুটি ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশনের মোট ডিফারেনশিয়াল, তাকে মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলে।

দুটি চলকের এই ফাংশনটিকে F(x,y) দ্বারা বোঝানো যাক। তারপর সমীকরণ (9) dF(x,y) = 0 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে এবং এই সমীকরণটির একটি সাধারণ সমাধান F(x,y) = C রয়েছে।

ফর্ম (9) এর একটি সমীকরণ দেওয়া যাক। এটি একটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কিনা তা খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে এক্সপ্রেশনটি কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

দুটি ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশনের মোট পার্থক্য। এটি করার জন্য, আপনাকে সমতা পরীক্ষা করতে হবে

আসুন আমরা ধরে নিই যে একটি প্রদত্ত অভিব্যক্তি (10) এর জন্য, সমতা (11) কিছু সহজভাবে সংযুক্ত ডোমেনে (S) সন্তুষ্ট এবং তাই, অভিব্যক্তি (10) হল কিছু ফাংশন F(x,y) এর মোট পার্থক্য (S) )

এই অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার নিম্নলিখিত পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক। এটি এমন একটি ফাংশন F(x,y) খুঁজে বের করা প্রয়োজন

যেখানে ফাংশন (y) নীচে সংজ্ঞায়িত করা হবে। সূত্র (12) থেকে এটি তারপর অনুসরণ করে

অঞ্চলের সমস্ত পয়েন্টে (এস)। এখন ফাংশন (y) নির্বাচন করা যাক যাতে সমতা বজায় থাকে

এটি করার জন্য, আমরা আমাদের প্রয়োজনীয় সমতা (14) পুনরায় লিখি, ফর্মুলা (12) অনুসারে F(x,y) এর পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করি:

আসুন আমরা অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে y এর সাথে পার্থক্য করি (এটি P(x,y) থেকে করা যেতে পারে এবং - ক্রমাগত ফাংশনদুটি ভেরিয়েবল):

যেহেতু (11) অনুসারে, তারপরে, অখণ্ড সাইন ইন (16) এর অধীনে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে, আমাদের আছে:

y এর উপর একীভূত হওয়ার পরে, আমরা ফাংশনটি (y) নিজেই খুঁজে পাই, যা এমনভাবে তৈরি করা হয়েছে যাতে সমতা (14) সন্তুষ্ট হয়। সমতা ব্যবহার করে (13) এবং (14), আমরা তা দেখতে পাই

এলাকায় (এস)। (18)

উদাহরণ 5. প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি একটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কিনা তা পরীক্ষা করুন এবং এটি সমাধান করুন।

এটি মোট পার্থক্যের মধ্যে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। আসলে, মনোনীত দ্বারা, আমরা নিশ্চিত যে

এবং এই যে অভিব্যক্তি জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

কিছু ফাংশন U(x,y) এর মোট ডিফারেনশিয়াল। তদুপরি, এগুলি এমন ফাংশন যা R-এ অবিচ্ছিন্ন থাকে।

অতএব, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সংহত করার জন্য, আপনাকে একটি ফাংশন খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বাম দিকটি একটি মোট ডিফারেনশিয়াল। এই ধরনের একটি ফাংশন U(x,y) হতে দিন, তারপর

x এর উপরে বাম এবং ডান দিক একত্রিত করে, আমরা পাই:

q(y) খুঁজতে, আমরা সত্যটি ব্যবহার করি

পাওয়া মান μ(y) কে (*) এ প্রতিস্থাপন করে, আমরা অবশেষে U(x,y) ফাংশনটি পাই:

মূল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য ফর্ম আছে

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রাথমিক প্রকারগুলি (চলবে)।

লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সংজ্ঞা: একটি প্রথম ক্রম রৈখিক সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ

y" + P(x)y = f(x), (21)

যেখানে P(x) এবং f(x) ক্রমাগত ফাংশন।

সমীকরণের নামটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে ডেরিভেটিভ y" লিনিয়ার ফাংশন y থেকে, অর্থাৎ, যদি আমরা y" = - P(x) + f(x) আকারে সমীকরণ (21) পুনরায় লিখি, তাহলে ডান পাশে y থাকে শুধুমাত্র প্রথম পাওয়ার পর্যন্ত।

যদি f(x) = 0 হয়, তাহলে সমীকরণ

yґ+ P(x) y = 0 (22)

লিনিয়ার বলা হয় সমজাতীয় সমীকরণ. স্পষ্টতই, একটি সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণ হল বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ:

y" +P(x)y = 0; ,

যদি f(x)? 0, তারপর সমীকরণ

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ বলা হয়।

সাধারণভাবে, সমীকরণ (21) এর ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করা যায় না।

সমীকরণ (21) নিম্নরূপ সমাধান করা হয়েছে: আমরা U(x) এবং V(x) দুটি ফাংশনের গুণফলের আকারে একটি সমাধান খুঁজব:

আসুন ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক:

y" = U"V + UV" (25)

এবং এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x)।

চলুন বাম দিকে শর্তাবলী গ্রুপ করা যাক:

U"V + U = f(x)। (26)

আসুন আমরা একটি কারণের উপর একটি শর্ত আরোপ করি (24), যথা, আমরা ধরে নিই যে V(x) ফাংশনটি এমন যে এটি (26) অভিন্নভাবে শূন্যে বর্গাকার বন্ধনীতে অভিব্যক্তি তৈরি করে। যে এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান

V" + P(x)V = 0. (27)

এটি বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ, আমরা এটি থেকে V(x) খুঁজে পাই:

এখন একটি ফাংশন U(x) খুঁজে বের করা যাক, যেটি V(x) ফাংশনটি ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে, U V হল সমীকরণের সমাধান (26)। এটি করার জন্য, U(x) সমীকরণের একটি সমাধান হওয়া প্রয়োজন

এটি একটি বিভাজ্য সমীকরণ, তাই

প্রাপ্ত ফাংশন (28) এবং (30) কে সূত্রে (4) প্রতিস্থাপন করে, আমরা সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই (21):

সুতরাং, বিবেচিত পদ্ধতি (বার্নোলি পদ্ধতি) সমাধান হ্রাস করে একঘাত সমীকরণ(21) বিভাজ্য চলক সহ দুটি সমীকরণের সমাধান।

উদাহরণ 6. সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্যটি খুঁজুন।

এই সমীকরণটি y এবং y এর সাপেক্ষে রৈখিক নয়", তবে এটি রৈখিক হতে দেখা যায় যদি আমরা x কে কাঙ্খিত ফাংশন এবং y কে যুক্তি হিসাবে বিবেচনা করি। প্রকৃতপক্ষে, পাস করলে, আমরা পাই

ফলস্বরূপ সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (বার্নোলি) ব্যবহার করি। তারপর আমরা x(y)=U(y)V(y) আকারে সমীকরণটির সমাধান খুঁজব। আমরা সমীকরণ পাই:

আসুন V(y) ফাংশন নির্বাচন করি যাতে করে। তারপর

মোট ডিফারেনশিয়ালে প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফর্মের একটি সমীকরণ:
(1) ,
যেখানে সমীকরণের বাম দিক হল কিছু ফাংশন U-এর মোট ডিফারেনশিয়াল (x, y)ভেরিয়েবল x, y থেকে:
.
যার মধ্যে.

যদি এমন একটি ফাংশন U পাওয়া যায় (x, y), তারপর সমীকরণ ফর্ম নেয়:
ডিইউ (x, y) = 0.
এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য হল:
উ (x, y) = C,
যেখানে C একটি ধ্রুবক।

যদি একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তার ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়:
,
তাহলে এটি আকারে আনা সহজ (1) . এটি করার জন্য, সমীকরণটি dx দ্বারা গুণ করুন। তারপর ফলস্বরূপ, আমরা পার্থক্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশিত একটি সমীকরণ পাই:
(1) .

মোট ডিফারেনশিয়ালে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বৈশিষ্ট্য

সমীকরণের জন্য (1) মোট ডিফারেন্সিয়ালের একটি সমীকরণ ছিল, এটি রাখা সম্পর্কের জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট:
(2) .

প্রমাণ

আমরা আরও অনুমান করি যে প্রমাণে ব্যবহৃত সমস্ত ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং x এবং y ভেরিয়েবলের মানগুলির কিছু পরিসরে সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভ রয়েছে। পয়েন্ট x 0, y 0এছাড়াও এই এলাকার অন্তর্গত।

আসুন শর্তের প্রয়োজনীয়তা প্রমাণ করি (2).
সমীকরণের বাম দিকে যাক (1) কিছু ফাংশন U এর পার্থক্য (x, y):
.
তারপর
;
.
যেহেতু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পার্থক্যের ক্রম উপর নির্ভর করে না, তাহলে
;
.
এটা যে অনুসরণ করে . প্রয়োজনীয় শর্ত (2) প্রমাণিত

আসুন শর্তের পর্যাপ্ততা প্রমাণ করি (2).
শর্ত সন্তুষ্ট করা যাক (2) :
(2) .
আসুন দেখান যে এই ধরনের একটি ফাংশন U খুঁজে পাওয়া সম্ভব (x, y)যে এর পার্থক্য হল:
.
এর মানে এই ধরনের একটি ফাংশন U আছে (x, y), যা সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে:
(3) ;
(4) .
আসুন এমন একটি ফাংশন খুঁজে বের করি। এর সমীকরণ একত্রিত করা যাক (3) x থেকে x দ্বারা 0 x থেকে, ধরে নিচ্ছি যে y একটি ধ্রুবক:
;
;
(5) .
আমরা y এর সাথে পার্থক্য করি, ধরে নিই যে x একটি ধ্রুবক এবং প্রযোজ্য (2) :

.
সমীকরণটি (4) যদি মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা হবে
.
y থেকে y এর উপর একীভূত করুন 0 y থেকে:
;
;
.
বিকল্প ইন (5) :
(6) .
সুতরাং, আমরা একটি ফাংশন খুঁজে পেয়েছি যার পার্থক্য
.
পর্যাপ্ততা প্রমাণিত হয়েছে।

সূত্রে (6) , উ (x 0, y 0)একটি ধ্রুবক - U ফাংশনের মান (x, y)বিন্দু x এ 0, y 0. এটা যে কোন মান বরাদ্দ করা যেতে পারে.

মোট ডিফারেনশিয়ালে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কীভাবে চিনবেন

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1) .
এই সমীকরণটি মোট পার্থক্যের মধ্যে কিনা তা নির্ধারণ করতে, আপনাকে শর্তটি পরীক্ষা করতে হবে (2) :
(2) .
যদি এটি ধরে থাকে, তাহলে এই সমীকরণটি মোট পার্থক্যের মধ্যে রয়েছে। যদি না হয়, তাহলে এটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নয়।

উদাহরণ

সমীকরণটি মোট পার্থক্যে আছে কিনা তা পরীক্ষা করুন:
.

সমাধান

এখানে
, .
আমরা x ধ্রুবক বিবেচনা করে y এর সাথে পার্থক্য করি:


.
এর পার্থক্য করা যাক


.
কারন:
,
তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি মোট ডিফারেন্সিয়ালের মধ্যে রয়েছে।

মোট ডিফারেনশিয়ালে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

অনুক্রমিক ডিফারেনশিয়াল নিষ্কাশন পদ্ধতি

অধিকাংশ সহজ পদ্ধতিমোট ডিফারেনশিয়ালে সমীকরণ সমাধান করা হল ডিফারেনশিয়ালের ক্রমিক নির্বাচনের পদ্ধতি। এটি করার জন্য, আমরা ডিফারেনশিয়াল ফর্মে লিখিত পার্থক্য সূত্রগুলি ব্যবহার করি:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (ইউভি);
;
.
এই সূত্রগুলিতে, u এবং v হল যে কোনো চলকের সমন্বয়ে গঠিত নির্বিচারে রাশি।

উদাহরণ 1

সমীকরণটি সমাধান করুন:
.

সমাধান

পূর্বে আমরা খুঁজে পেয়েছি যে এই সমীকরণটি মোট পার্থক্যের মধ্যে রয়েছে। আসুন এটি রূপান্তরিত করি:
(P1) .
আমরা ক্রমানুসারে ডিফারেনশিয়াল বিচ্ছিন্ন করে সমীকরণটি সমাধান করি।
;
;
;
;

.
বিকল্প ইন (P1):
;
.

উত্তর

ধারাবাহিক একীকরণ পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা U ফাংশন খুঁজছি (x, y), সমীকরণ সন্তুষ্ট:
(3) ;
(4) .

এর সমীকরণ একত্রিত করা যাক (3) x-এ, y ধ্রুবক বিবেচনা করে:
.
এখানে φ (y)- y এর একটি নির্বিচারে ফাংশন যা নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এটি একীকরণের ধ্রুবক। সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন (4) :
.
এখান থেকে:
.
একত্রীকরণ, আমরা φ খুঁজে (y)এবং, এইভাবে, ইউ (x, y).

উদাহরণ 2

সমীকরণটি মোট পার্থক্যে সমাধান করুন:
.

সমাধান

পূর্বে আমরা খুঁজে পেয়েছি যে এই সমীকরণটি মোট পার্থক্যের মধ্যে রয়েছে। আসুন নিম্নলিখিত স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিই:
, .
ফাংশন U খুঁজছেন (x, y), যার পার্থক্য হল সমীকরণের বাম দিকে:
.
তারপর:
(3) ;
(4) .
এর সমীকরণ একত্রিত করা যাক (3) x-এ, y ধ্রুবক বিবেচনা করে:
(P2)
.
y এর ক্ষেত্রে পার্থক্য করুন:

.
এর বিকল্প করা যাক (4) :
;
.
আসুন একীভূত করি:
.
এর বিকল্প করা যাক (P2):

.
সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য:
উ (x, y) = const.
আমরা একটিতে দুটি ধ্রুবককে একত্রিত করি।

উত্তর

একটি বক্ররেখা বরাবর একীকরণের পদ্ধতি

সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশন U:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
বিন্দু সংযোগকারী বক্ররেখা বরাবর এই সমীকরণ একত্রিত করে পাওয়া যাবে (x 0, y 0)এবং (x, y):
(7) .
কারন
(8) ,
তাহলে integral শুধুমাত্র প্রাথমিকের স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে (x 0, y 0)এবং চূড়ান্ত (x, y)পয়েন্ট এবং বক্ররেখার আকৃতির উপর নির্ভর করে না। থেকে (7) এবং (8) আমরা খুঁজি:
(9) .
এখানে এক্স 0 এবং y 0 - স্থায়ী। অতএব ইউ (x 0, y 0)- এছাড়াও ধ্রুবক।

প্রমাণে U-এর এই ধরনের সংজ্ঞার একটি উদাহরণ পাওয়া গেছে:
(6) .
এখানে বিন্দু থেকে y অক্ষের সমান্তরাল একটি সেগমেন্ট বরাবর প্রথমে ইন্টিগ্রেশন করা হয় (x 0, y 0)যথাযথ (x 0 , y). তারপর বিন্দু থেকে x অক্ষের সমান্তরাল একটি সেগমেন্ট বরাবর ইন্টিগ্রেশন করা হয় (x 0 , y)যথাযথ (x, y) .

আরও সাধারণভাবে, আপনাকে একটি বক্ররেখা সংযোগ বিন্দুর সমীকরণ উপস্থাপন করতে হবে (x 0, y 0)এবং (x, y)প্যারামেট্রিক আকারে:
এক্স 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
এক্স 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (টি); y = r (টি);
এবং t এর উপর সংহত করুন 1 টি থেকে 0 to t

ইন্টিগ্রেশন সঞ্চালনের সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি সেগমেন্ট সংযোগকারী পয়েন্টের উপর (x 0, y 0)এবং (x, y). এক্ষেত্রে:
এক্স 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা t এর উপর অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত করি 0 আগে 1 .
এই পদ্ধতিযাইহোক, বরং কষ্টকর গণনার দিকে নিয়ে যায়।

তথ্যসূত্র:
ভি.ভি. স্টেপানোভ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কোর্স, "LKI", 2015।