সমজাতীয় সিস্টেম রৈখিক সমীকরণমাঠের উপরে
সংজ্ঞা। সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম (1) হল তার সমাধানগুলির একটি অ-খালি রৈখিকভাবে স্বাধীন সিস্টেম, যার রৈখিক স্প্যানটি সিস্টেমের (1) সমস্ত সমাধানের সেটের সাথে মিলে যায়।
লক্ষ্য করুন যে রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম যার শুধুমাত্র একটি শূন্য সমাধান রয়েছে তার সমাধানগুলির একটি মৌলিক সিস্টেম নেই।
প্রস্তাব 3.11। রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের যে কোনো দুটি মৌলিক সিস্টেম একই সংখ্যক সমাধান নিয়ে গঠিত।
প্রমাণ। প্রকৃতপক্ষে, সমীকরণের সমজাতীয় পদ্ধতির সমাধানের যে কোনো দুটি মৌলিক ব্যবস্থা (1) সমতুল্য এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন। অতএব, প্রস্তাব 1.12 দ্বারা, তাদের পদমর্যাদা সমান। অতএব, সমাধান সংখ্যা এক অন্তর্ভুক্ত মৌলিক ব্যবস্থা, সমাধানের অন্যান্য মৌলিক ব্যবস্থায় অন্তর্ভুক্ত সমাধানের সংখ্যার সমান।
সমীকরণ (1) এর সমজাতীয় সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স A যদি শূন্য হয়, তাহলে যে কোনো ভেক্টর হল সিস্টেমের (1) সমাধান; এই ক্ষেত্রে, কোনো সংগ্রহ লিনিয়ার স্বাধীন ভেক্টরএর সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা। ম্যাট্রিক্স A এর কলামের র্যাঙ্ক যদি সমান হয়, তাহলে সিস্টেম (1) এর শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে - শূন্য; অতএব, এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের সিস্টেমে (1) সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা নেই।
থিওরেম 3.12। যদি রৈখিক সমীকরণের (1) একটি সমজাতীয় সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কটি চলকের সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে সিস্টেম (1) এর সমাধানগুলির সমন্বয়ে একটি মৌলিক সমাধান ব্যবস্থা রয়েছে।
প্রমাণ। যদি সমজাতীয় সিস্টেমের (1) প্রধান ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক শূন্য বা , তাহলে উপরে দেখানো হয়েছে যে উপপাদ্যটি সত্য। অতএব, নীচে অনুমান করা হয়েছে যে অনুমান করে, আমরা ধরে নেব যে ম্যাট্রিক্স A-এর প্রথম কলামগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন। এই ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স A হল সারির দিক থেকে হ্রাসকৃত ধাপভিত্তিক ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য, এবং সিস্টেম (1) নিম্নোক্ত ধাপে ধাপে ধাপের সমীকরণের সিস্টেমের সমতুল্য:
এটা চেক করা সহজ যে কোনো সিস্টেম বিনামূল্যে মান সিস্টেম ভেরিয়েবল(2) সিস্টেমের (2) এবং তাই, সিস্টেমের (1) সাথে এক এবং একমাত্র সমাধানের সাথে মিলে যায়। বিশেষ করে, সিস্টেম (2) এবং সিস্টেম (1) এর শুধুমাত্র শূন্য সমাধান শূন্য মানগুলির একটি সিস্টেমের সাথে মিলে যায়।
সিস্টেমে (2) আমরা একটি বিনামূল্যে বরাদ্দ করব ভেরিয়েবলের মান, 1 এর সমান, এবং অবশিষ্ট ভেরিয়েবলের শূন্য মান আছে। ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণ (2) সিস্টেমের সমাধান পাই, যা আমরা নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স C এর সারি আকারে লিখি:
এই ম্যাট্রিক্সের সারি সিস্টেমটি রৈখিকভাবে স্বাধীন। প্রকৃতপক্ষে, সমতা থেকে কোনো স্কেলার জন্য
সমতা অনুসরণ করে
এবং, তাই, সমতা
আসুন প্রমাণ করি যে ম্যাট্রিক্স C এর সারির সিস্টেমের রৈখিক স্প্যানটি সিস্টেমের (1) সমস্ত সমাধানের সেটের সাথে মিলে যায়।
সিস্টেমের নির্বিচারে সমাধান (1)। তারপর ভেক্টর
এছাড়াও সিস্টেমের একটি সমাধান (1), এবং
আপনি আপনার সমস্যার বিস্তারিত সমাধান অর্ডার করতে পারেন!!!এটা কি বোঝার জন্য মৌলিক সিদ্ধান্ত ব্যবস্থাআপনি ক্লিক করে একই উদাহরণের জন্য একটি ভিডিও টিউটোরিয়াল দেখতে পারেন। এবার পুরো বর্ণনায় যাওয়া যাক প্রয়োজনীয় কাজ. এটি আপনাকে আরও বিস্তারিতভাবে এই সমস্যার সারমর্ম বুঝতে সাহায্য করবে।
কিভাবে একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধানের মৌলিক সিস্টেম খুঁজে বের করতে?
উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমটি নেওয়া যাক:
সমীকরণের এই রৈখিক পদ্ধতির সমাধান খুঁজে বের করা যাক। শুরু করার জন্য, আমরা আপনাকে সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্স লিখতে হবে।
আসুন এই ম্যাট্রিক্সটিকে একটি ত্রিভুজাকারে রূপান্তর করি।আমরা পরিবর্তন ছাড়াই প্রথম লাইনটি পুনরায় লিখি। এবং $a_(11)$ এর নিচে থাকা সমস্ত উপাদানকে অবশ্যই শূন্য করতে হবে। $a_(21)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে দ্বিতীয় লাইন থেকে প্রথমটি বিয়োগ করতে হবে এবং দ্বিতীয় লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। $a_(31)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে তৃতীয় লাইন থেকে প্রথমটি বিয়োগ করতে হবে এবং তৃতীয় লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। $a_(41)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে চতুর্থ লাইন থেকে 2 দ্বারা গুণিত প্রথমটি বিয়োগ করতে হবে এবং চতুর্থ লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। $a_(31)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে পঞ্চম লাইন থেকে 2 দ্বারা গুণিত প্রথমটি বিয়োগ করতে হবে এবং পঞ্চম লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। 
আমরা পরিবর্তন ছাড়াই প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইন পুনরায় লিখি। এবং $a_(22)$ এর নিচে থাকা সমস্ত উপাদানকে অবশ্যই শূন্য করতে হবে। $a_(32)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে তৃতীয় লাইন থেকে 2 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয়টি বিয়োগ করতে হবে এবং তৃতীয় লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। $a_(42)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে চতুর্থ লাইন থেকে 2 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয়টি বিয়োগ করতে হবে এবং চতুর্থ লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। $a_(52)$ উপাদানটির জায়গায় একটি শূন্য করতে, আপনাকে পঞ্চম লাইন থেকে 3 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয়টি বিয়োগ করতে হবে এবং পঞ্চম লাইনে পার্থক্য লিখতে হবে। 
আমরা যে দেখতে শেষ তিনটি লাইন একই, সুতরাং আপনি যদি চতুর্থ এবং পঞ্চম থেকে তৃতীয়টি বিয়োগ করেন তবে তারা শূন্য হয়ে যাবে। 
এই ম্যাট্রিক্স অনুযায়ী লেখ নতুন সিস্টেমসমীকরণ.
আমরা দেখতে পাই যে আমাদের কাছে মাত্র তিনটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমীকরণ আছে, এবং পাঁচটি অজানা, তাই সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা দুটি ভেক্টর নিয়ে গঠিত হবে। তাই আমরা আমাদের শেষ দুটি অজানা ডানদিকে সরাতে হবে.
এখন, আমরা ডান দিকের অজানাগুলির মাধ্যমে বাম দিকের অজানাগুলি প্রকাশ করতে শুরু করি। আমরা শেষ সমীকরণ দিয়ে শুরু করি, প্রথমে আমরা $x_3$ প্রকাশ করি, তারপর আমরা ফলাফলটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং $x_2$ প্রকাশ করি এবং তারপর প্রথম সমীকরণে এবং এখানে আমরা $x_1$ প্রকাশ করি। এইভাবে, আমরা ডান দিকের অজানাগুলির মাধ্যমে বাম দিকে থাকা সমস্ত অজানাকে প্রকাশ করেছি। 
তারপর $x_4$ এবং $x_5$ এর পরিবর্তে, আমরা যেকোনো সংখ্যা প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং $x_1$, $x_2$ এবং $x_3$ খুঁজে বের করতে পারি। এই সংখ্যার প্রতিটি পাঁচটি হবে আমাদের মূল সমীকরণ পদ্ধতির মূল। অন্তর্ভুক্ত করা ভেক্টর খুঁজে বের করতে এফএসআরআমাদের $x_4$ এর পরিবর্তে 1 এবং $x_5$ এর পরিবর্তে 0 প্রতিস্থাপন করতে হবে, $x_1$, $x_2$ এবং $x_3$ খুঁজে বের করতে হবে, এবং তারপরে তার বিপরীতে $x_4=0$ এবং $x_5=1$।
আমরা আমাদের প্রযুক্তিকে পালিশ করতে থাকব প্রাথমিক রূপান্তরচালু রৈখিক সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেম.
প্রথম অনুচ্ছেদের উপর ভিত্তি করে, উপাদান বিরক্তিকর এবং মাঝারি মনে হতে পারে, কিন্তু এই ছাপ প্রতারণামূলক. প্রযুক্তিগত কৌশল আরও উন্নয়ন ছাড়াও, অনেক হবে নতুন তথ্য, তাই এই নিবন্ধে উদাহরণ অবহেলা না করার চেষ্টা করুন.
রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় ব্যবস্থা কী?
উত্তর নিজেই প্রস্তাব করে। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমজাতীয় হয় যদি মুক্ত শব্দটি হয় সবাইসিস্টেমের সমীকরণ শূন্য। উদাহরণ স্বরূপ:
এটা একেবারে পরিষ্কার যে একটি সমজাতীয় সিস্টেম সবসময় সামঞ্জস্যপূর্ণ, যে, এটা সবসময় একটি সমাধান আছে. এবং, প্রথমত, যা আপনার নজর কেড়েছে তা তথাকথিত নগণ্যসমাধান 
. তুচ্ছ, যারা বিশেষণটির অর্থ একেবারেই বোঝেন না, তাদের জন্য শো-অফ ছাড়াই বোঝায়। একাডেমিকভাবে নয়, অবশ্যই, কিন্তু বোধগম্যভাবে =) ...কেন ঝোপের চারপাশে মারধর, এই সিস্টেমের অন্য কোন সমাধান আছে কিনা তা খুঁজে বের করা যাক:
উদাহরণ 1
সমাধান: একটি সমজাতীয় সিস্টেম সমাধান করার জন্য এটি লিখতে হবে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সএবং প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসে। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে এখানে উল্লম্ব বার এবং বিনামূল্যের শূন্য কলাম লেখার প্রয়োজন নেই - সর্বোপরি, আপনি শূন্য দিয়ে যাই করুন না কেন, তারা শূন্যই থাকবে: 
(1) প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছিল, -3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
(2) দ্বিতীয় লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, -1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
তৃতীয় লাইনকে 3 দিয়ে ভাগ করলে খুব একটা অর্থ হয় না।
প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, একটি সমতুল্য সমজাতীয় সিস্টেম প্রাপ্ত হয় 
, এবং, আবেদন করা বিপরীত স্ট্রোকগাউসের পদ্ধতি, এটি যাচাই করা সহজ যে সমাধানটি অনন্য।
উত্তর: 
আসুন একটি সুস্পষ্ট মানদণ্ড তৈরি করি: রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম রয়েছে শুধু একটি তুচ্ছ সমাধান, যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক(ভি এক্ষেত্রে 3) ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান (এই ক্ষেত্রে - 3 টুকরা)।
আসুন প্রাথমিক রূপান্তরের তরঙ্গে আমাদের রেডিওকে গরম করি এবং সুর করি:
উদাহরণ 2
রৈখিক সমীকরণের একটি সমজাতীয় সিস্টেম সমাধান করুন 
অবশেষে অ্যালগরিদম একত্রিত করতে, আসুন চূড়ান্ত কাজটি বিশ্লেষণ করি:
উদাহরণ 7
একটি সমজাতীয় পদ্ধতির সমাধান করুন, ভেক্টর আকারে উত্তর লিখুন। 
সমাধান: চলুন সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি: 
(1) প্রথম লাইনের চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে। আবারও আমি এমন একটি কৌশলের প্রতি দৃষ্টি আকর্ষণ করছি যা বহুবার সম্মুখীন হয়েছে, যা আপনাকে পরবর্তী ক্রিয়াটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করতে দেয়।
(1) প্রথম লাইনটি ২য় এবং ৩য় লাইনে যোগ করা হয়েছে। প্রথম লাইন, 2 দিয়ে গুণ করে, 4র্থ লাইনে যোগ করা হয়েছে।
(3) শেষ তিনটি লাইন সমানুপাতিক, তাদের দুটি সরানো হয়েছে।
ফলস্বরূপ, একটি স্ট্যান্ডার্ড স্টেপ ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয় এবং সমাধানটি নর্ল্ড ট্র্যাক বরাবর চলতে থাকে:
- মৌলিক ভেরিয়েবল;
- বিনামূল্যের ভেরিয়েবল।
মুক্ত চলকের পরিপ্রেক্ষিতে মৌলিক চলকগুলো প্রকাশ করা যাক। ২য় সমীকরণ থেকে:
- ১ম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
এইভাবে, সাধারণ সিদ্ধান্ত:
যেহেতু বিবেচনাধীন উদাহরণে তিনটি মুক্ত ভেরিয়েবল রয়েছে, তাই মৌলিক সিস্টেমে তিনটি ভেক্টর রয়েছে।
এর একটি ট্রিপল মান প্রতিস্থাপন করা যাক 
সাধারণ সমাধানে প্রবেশ করুন এবং একটি ভেক্টর পান যার স্থানাঙ্কগুলি সমজাতীয় সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। এবং আবার, আমি পুনরাবৃত্তি করছি যে প্রতিটি প্রাপ্ত ভেক্টর পরীক্ষা করা অত্যন্ত যুক্তিযুক্ত - এটি খুব বেশি সময় নেবে না, তবে এটি আপনাকে ত্রুটি থেকে সম্পূর্ণরূপে রক্ষা করবে।
মান একটি ট্রিপল জন্য 
ভেক্টর খুঁজুন
এবং অবশেষে তিনজনের জন্য 
আমরা তৃতীয় ভেক্টর পাই:
উত্তর: , কোথায়
যারা ভগ্নাংশের মান এড়াতে চান তারা ট্রিপলেট বিবেচনা করতে পারেন এবং সমতুল্য আকারে উত্তর পেতে পারেন:
ভগ্নাংশের কথা বলছি। আসুন সমস্যাটিতে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সটি দেখি 
এবং আসুন আমরা নিজেদেরকে জিজ্ঞাসা করি: আরও সমাধানটি সহজ করা কি সম্ভব? সর্বোপরি, এখানে আমরা প্রথমে ভগ্নাংশের মাধ্যমে মৌলিক ভেরিয়েবল প্রকাশ করেছি, তারপর ভগ্নাংশের মাধ্যমে মৌলিক পরিবর্তনশীল, এবং, আমাকে অবশ্যই বলতে হবে, এই প্রক্রিয়াটি সবচেয়ে সহজ ছিল না এবং সবচেয়ে আনন্দদায়ক ছিল না।
দ্বিতীয় সমাধান:
ধারণা চেষ্টা করা হয় অন্যান্য ভিত্তি ভেরিয়েবল নির্বাচন করুন. আসুন ম্যাট্রিক্সের দিকে তাকাই এবং তৃতীয় কলামে দুটি লক্ষ্য করি। তাহলে শীর্ষে শূন্য নেই কেন? আসুন আরও একটি প্রাথমিক রূপান্তর করি:
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম যেখানে সমস্ত মুক্ত পদ শূন্যের সমান সমজাতীয় :
যেকোন সমজাতীয় ব্যবস্থা সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেহেতু এটি সর্বদা থাকে শূন্য (নগণ্য ) সমাধান। প্রশ্ন উঠছে কোন পরিস্থিতিতে একটি সমজাতীয় ব্যবস্থার একটি অতুচ্ছ সমাধান থাকবে।
উপপাদ্য 5.2।একটি সমজাতীয় সিস্টেমের একটি অতুচ্ছ সমাধান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি অন্তর্নিহিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার অজানা সংখ্যার চেয়ে কম হয়।
পরিণতি. একটি বর্গক্ষেত্র সমজাতীয় সিস্টেমের একটি অতুচ্ছ সমাধান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়।
উদাহরণ 5.6। l প্যারামিটারের মানগুলি নির্ধারণ করুন যেখানে সিস্টেমের অ-তুচ্ছ সমাধান রয়েছে এবং এই সমাধানগুলি সন্ধান করুন:
সমাধান. এই সিস্টেমে একটি অ-তুচ্ছ সমাধান থাকবে যখন প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান হয়:
এইভাবে, সিস্টেমটি অ-তুচ্ছ যখন l=3 বা l=2। l=3 এর জন্য, সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 1। তারপর, শুধুমাত্র একটি সমীকরণ রেখে এবং ধরে নিই যে y=কএবং z=খ, আমরা পেতে x=b-a, অর্থাৎ
l=2 এর জন্য, সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 2। তারপর, ভিত্তি হিসাবে অপ্রাপ্তবয়স্ক নির্বাচন করুন:
আমরা একটি সরলীকৃত সিস্টেম পেতে
এখান থেকে আমরা সেটা খুঁজে পাই x=z/4, y=z/2। বিশ্বাসী z=4ক, আমরা পেতে
একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমস্ত সমাধানের সেট একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ রৈখিক সম্পত্তি : যদি X কলাম 1 এবং এক্স 2 - একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধান AX = 0, তারপর তাদের কোনো রৈখিক সমন্বয়ক এক্স 1 + খ এক্স 2 এছাড়াও এই সিস্টেমের একটি সমাধান হবে. প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু AX 1 = 0 এবং AX 2 = 0 , যে ক(ক এক্স 1 + খ এক্স 2) = ক AX 1 + খ AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. এই বৈশিষ্ট্যের কারণেই যদি একটি রৈখিক সিস্টেমে একাধিক সমাধান থাকে তবে এই সমাধানগুলির একটি অসীম সংখ্যা থাকবে।
রৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ই 1 , ই 2 , এক, যা একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধান, বলা হয় সমাধানের মৌলিক সিস্টেম রৈখিক সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেম যদি এই সিস্টেমের সাধারণ সমাধান এই কলামগুলির একটি রৈখিক সমন্বয় হিসাবে লেখা যায়:
যদি একটি সমজাতীয় ব্যবস্থা থাকে nভেরিয়েবল, এবং সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সমান r, যে k = n-r.
উদাহরণ 5.7।সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা খুঁজুন পরবর্তী সিস্টেমরৈখিক সমীকরণ:
সমাধান. আসুন সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করা যাক:
এইভাবে, সমীকরণের এই সিস্টেমের সমাধানগুলির সেটটি মাত্রার একটি রৈখিক উপ-স্থান গঠন করে n-r= 5 - 2 = 3. আসুন বেস হিসাবে অপ্রাপ্তবয়স্ক নির্বাচন করি
.
তারপরে, শুধুমাত্র মৌলিক সমীকরণগুলি (বাকিগুলি এই সমীকরণগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হবে) এবং মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি (আমরা বাকীগুলিকে, তথাকথিত মুক্ত ভেরিয়েবলগুলিকে ডানদিকে সরিয়ে নিই), আমরা সমীকরণগুলির একটি সরলীকৃত সিস্টেম পাই:
বিশ্বাসী এক্স 3 = ক, এক্স 4 = খ, এক্স 5 = গ, আমরা খুঁজি
, 
.
বিশ্বাসী ক= 1, b = গ= 0, আমরা প্রথম মৌলিক সমাধান প্রাপ্ত; বিশ্বাসী খ= 1, a = গ= 0, আমরা দ্বিতীয় মৌলিক সমাধান প্রাপ্ত; বিশ্বাসী গ= 1, a = খ= 0, আমরা তৃতীয় মৌলিক সমাধান পাই। ফলে সমাধানের স্বাভাবিক মৌলিক ব্যবস্থা রূপ নেবে
মৌলিক সিস্টেম ব্যবহার করে, একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান হিসাবে লেখা যেতে পারে
এক্স = aE 1 + থাকা 2 + cE 3. ক
আসুন আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের সমাধানের কিছু বৈশিষ্ট্য নোট করি AX=Bএবং সমীকরণের সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সাথে তাদের সম্পর্ক AX = 0।
একটি inhomogenous সিস্টেমের সাধারণ সমাধানঅনুরূপ সমজাতীয় সিস্টেম AX = 0 এর সাধারণ সমাধানের সমষ্টির সমান এবং অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের একটি নির্বিচারে বিশেষ সমাধান. প্রকৃতপক্ষে, যাক Y 0 হল একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের একটি নির্বিচারে বিশেষ সমাধান, যেমন AY 0 = খ, এবং Y- একটি ভিন্নধর্মী সিস্টেমের সাধারণ সমাধান, যেমন AY=B. অন্য থেকে একটি সমতা বিয়োগ করলে আমরা পাই
ক(Y-Y 0) = 0, অর্থাৎ Y-Y 0 হল সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান AX=0 তাই, Y-Y 0 = এক্স, বা Y=Y 0 + এক্স. Q.E.D.
ইনহোমোজেনিয়াস সিস্টেমের AX = B ফর্ম আছে 1 + খ 2 . তারপর এই ধরনের সিস্টেমের সাধারণ সমাধান X = X হিসাবে লেখা যেতে পারে 1 + এক্স 2 , যেখানে AX 1 = খ 1 এবং AX 2 = খ 2. এই সম্পত্তি যে কোনো সার্বজনীন সম্পত্তি প্রকাশ করে লিনিয়ার সিস্টেম(বীজগণিত, ডিফারেনশিয়াল, কার্যকরী, ইত্যাদি)। পদার্থবিজ্ঞানে এই বৈশিষ্ট্যকে বলা হয় সুপারপজিশন নীতি, বৈদ্যুতিক এবং রেডিও প্রকৌশলে - সুপারপজিশন নীতি. উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক বৈদ্যুতিক সার্কিটের তত্ত্বে, প্রতিটি শক্তির উত্স দ্বারা সৃষ্ট স্রোতের বীজগাণিতিক যোগফল হিসাবে যে কোনও সার্কিটে কারেন্ট পাওয়া যেতে পারে।
একটি সমজাতীয় ব্যবস্থা সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি তুচ্ছ সমাধান রয়েছে 
. একটি অতুচ্ছ সমাধানের অস্তিত্বের জন্য, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হওয়া আবশ্যক 
অজানা সংখ্যার চেয়ে কম ছিল:
.
সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা
একজাতীয় সিস্টেম 
কলাম ভেক্টর আকারে সমাধান একটি সিস্টেম কল 
, যা ক্যানোনিকাল ভিত্তির সাথে মিলে যায়, যেমন যার ভিত্তিতে নির্বিচারে ধ্রুবক 
পর্যায়ক্রমে একটি সমান সেট করা হয়, বাকি শূন্য সেট করা হয়.
তারপরে সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধানটির ফর্ম রয়েছে:
কোথায় 
- নির্বিচারে ধ্রুবক। অন্য কথায়, সামগ্রিক সমাধান হল সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থার একটি রৈখিক সমন্বয়।
এইভাবে, সাধারণ সমাধান থেকে মৌলিক সমাধানগুলি পাওয়া যেতে পারে যদি মুক্ত অজানাগুলিকে একটির মান দেওয়া হয়, অন্য সকলকে শূন্যের সমান করে।
উদাহরণ. আসুন সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজে বের করা যাক
আসুন গ্রহণ করি, তারপরে আমরা ফর্মটিতে একটি সমাধান পাই:
আসুন এখন সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরি করি:
.
সাধারণ সমাধানটি এভাবে লেখা হবে:
সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধানগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
অন্য কথায়, একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানগুলির যেকোন রৈখিক সমন্বয়ই আবার একটি সমাধান।
গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা
রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিগুলি সমাধান করতে কয়েক শতাব্দী ধরে গণিতবিদদের আগ্রহ রয়েছে। প্রথম ফলাফল 18 শতকে প্রাপ্ত হয়েছিল। 1750 সালে, G. Kramer (1704-1752) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক নিয়ে তার কাজ প্রকাশ করেন এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম প্রস্তাব করেন। 1809 সালে, গাউস নির্মূল পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত একটি নতুন সমাধান পদ্ধতির রূপরেখা দেন।
গাউস পদ্ধতি, বা অজানাকে ক্রমিকভাবে নির্মূল করার পদ্ধতি, এই সত্যটি নিয়ে গঠিত যে, প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, সমীকরণের একটি সিস্টেমকে একটি ধাপ (বা ত্রিভুজাকার) ফর্মের একটি সমতুল্য সিস্টেমে হ্রাস করা হয়। এই ধরনের সিস্টেমগুলি একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সমস্ত অজানাকে ক্রমানুসারে খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে তোলে।
আমাদের সিস্টেমে অনুমান করা যাক (1) 
(যা সর্বদা সম্ভব)।
(1)
তথাকথিত দ্বারা প্রথম সমীকরণকে এক এক করে গুণ করা উপযুক্ত সংখ্যা
এবং সিস্টেমের সংশ্লিষ্ট সমীকরণের সাথে গুণের ফলাফল যোগ করে, আমরা একটি সমতুল্য সিস্টেম পাই যেখানে প্রথমটি ছাড়া সমস্ত সমীকরণে কোন অজানা থাকবে না এক্স 1
(2)
আসুন এখন সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ (2)টিকে উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করি, ধরে নিই 
,
এবং নীচেরগুলির সাথে এটি যোগ করে, আমরা ভেরিয়েবলটি মুছে ফেলি 
সমস্ত সমীকরণ থেকে, তৃতীয় থেকে শুরু করে।
এই প্রক্রিয়া অব্যাহত, পরে 
পদক্ষেপ আমরা পাই:
(3)
অন্তত একটি সংখ্যা হলে 
শূন্যের সমান নয়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সমতা পরস্পরবিরোধী এবং সিস্টেম (1) অসামঞ্জস্যপূর্ণ। বিপরীতভাবে, যেকোনো যৌথ সংখ্যা পদ্ধতির জন্য 
শূন্যের সমান। সংখ্যা 
সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স (1) এর র্যাঙ্ক ছাড়া আর কিছুই নয়।
সিস্টেম (1) থেকে (3) রূপান্তর বলা হয় সোজা সামনে গাউস পদ্ধতি, এবং (3) থেকে অজানা খুঁজে বের করা - পশ্চাদ্দিকে .
মন্তব্য করুন : নিজেদের সমীকরণের সাথে নয়, কিন্তু সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স (1) দিয়ে রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা আরও সুবিধাজনক।
উদাহরণ. আসুন সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজে বের করা যাক
.
চলুন সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি:
.
2,3,4 লাইনে প্রথমটিকে যথাক্রমে (-2), (-3), (-2) দ্বারা গুণ করা যাক:
.
আসুন সারি 2 এবং 3 অদলবদল করি, তারপর ফলাফল ম্যাট্রিক্সে সারি 2 যোগ করুন সারি 4, দ্বারা গুণিত 
:
.
লাইন 4 লাইন যোগ করুন 3 দ্বারা গুণিত 
:
.
এটা স্পষ্ট যে 
, অতএব, সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ. সমীকরণের ফলে সিস্টেম থেকে
আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন দ্বারা সমাধান খুঁজে পাই:
,
,
,
.
উদাহরণ 2।সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজুন:
.
এটা স্পষ্ট যে সিস্টেম অসঙ্গত, কারণ 
, ক 
.
গাউস পদ্ধতির সুবিধা :
Cramer এর পদ্ধতির তুলনায় কম শ্রম নিবিড়।
দ্ব্যর্থহীনভাবে সিস্টেমের সামঞ্জস্য স্থাপন করে এবং আপনাকে একটি সমাধান খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়।
যেকোনো ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে।
