অন্যান্য অভিধানে "কন্ডিশনাল এক্সট্রিম" কী তা দেখুন:

রিলেটিভ এক্সট্রিমাম, n + m ভেরিয়েবল থেকে ফাংশন f (x1,..., xn + m) এর এক্সট্রিমাম এই ধারণার অধীনে যে এই ভেরিয়েবলগুলিও m সংযোগ সমীকরণের (শর্তাবলী): φk (x1,..., xn) সাপেক্ষে + মি) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (এক্সট্রিমাম দেখুন)।… …

সেট খোলা যাক এবং ফাংশন দেওয়া. হতে দিন. এই সমীকরণগুলিকে সীমাবদ্ধ সমীকরণ বলা হয় (পরিভাষাটি মেকানিক্স থেকে ধার করা হয়)। জি... উইকিপিডিয়াতে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক

- (ল্যাটিন এক্সট্রিমম এক্সট্রিম থেকে) একটি ক্রমাগত ফাংশনের মান f (x), যা হয় সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন। আরও সঠিকভাবে: x0 বিন্দুতে একটানা ফাংশন f (x) এর x0 এ সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) থাকে যদি এই বিন্দুর একটি প্রতিবেশী (x0 + δ, x0 δ) থাকে,... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

এই শব্দটির অন্যান্য অর্থ রয়েছে, দেখুন Extremum (অর্থ)। গণিতে Extremum (lat. extremum Extrem) হল একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান। যে বিন্দুতে চরমে পৌঁছেছে... ... উইকিপিডিয়া

চালু সমস্যা সমাধান করার সময় ব্যবহৃত ফাংশন শর্তাধীন চরমঅনেক ভেরিয়েবল এবং ফাংশনাল ফাংশন। L. f এর সাহায্যে। রেকর্ড করা হয় প্রয়োজনীয় শর্তাবলীশর্তসাপেক্ষ চরমে সমস্যায় সর্বোত্তমতা। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র ভেরিয়েবল প্রকাশ করার প্রয়োজন নেই ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

একটি গাণিতিক শৃঙ্খলা যা এক বা একাধিক ফাংশনের পছন্দের উপর নির্ভর করে ভেরিয়েবলের ফাংশনালের চরম (সবচেয়ে বড় এবং ছোট) মানগুলি খুঁজে বের করার জন্য নিবেদিত। ভেতরে এবং. এই অধ্যায়ের একটি স্বাভাবিক বিকাশ...... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

ভেরিয়েবল, যার সাহায্যে একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করার সময় ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশন তৈরি করা হয়। রৈখিক পদ্ধতি এবং Lagrange ফাংশন ব্যবহার আমাদের একটি অভিন্ন উপায়ে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম জড়িত সমস্যাগুলির জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোত্তম অবস্থা পেতে অনুমতি দেয়... গাণিতিক বিশ্বকোষ

বৈচিত্রের ক্যালকুলাস হল কার্যকরী বিশ্লেষণের একটি শাখা যা কার্যকারিতার বৈচিত্র অধ্যয়ন করে। বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের সবচেয়ে সাধারণ সমস্যা হল একটি ফাংশন খুঁজে বের করা যার উপর একটি প্রদত্ত ফাংশনাল অর্জন করে... ... উইকিপিডিয়া

গণিতের একটি শাখা যা এইগুলির উপর আরোপিত বিভিন্ন ধরণের বিধিনিষেধের (ফেজ, ডিফারেনশিয়াল, ইন্টিগ্রাল, ইত্যাদি) অধীনে এক বা একাধিক ফাংশনের পছন্দের উপর নির্ভর করে ফাংশনগুলির চরমতা খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলির অধ্যয়নের জন্য উত্সর্গীকৃত। গাণিতিক বিশ্বকোষ

বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস গণিতের একটি শাখা যা কার্যকারিতার বৈচিত্র অধ্যয়ন করে। বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের সবচেয়ে সাধারণ সমস্যা হল ফাংশনটি খুঁজে বের করা যেখানে ফাংশনালটি চরম মূল্যে পৌঁছেছে। পদ্ধতি... ...উইকিপিডিয়া

বই

• নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের উপর বক্তৃতা। ভলিউম 2. সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ, ভি বস। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের শাস্ত্রীয় সমস্যা বিবেচনা করা হয়। উপস্থাপনাটি সসীম-মাত্রিক স্থানগুলিতে অপ্টিমাইজেশনের মৌলিক ধারণাগুলির সাথে শুরু হয়: শর্তসাপেক্ষ এবং শর্তহীন চরম,...

উদাহরণ

যে প্রদত্ত ফাংশন এর চরমতম খুঁজুন এক্সএবং এসম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত: . জ্যামিতিকভাবে, সমস্যার অর্থ নিম্নলিখিত: একটি উপবৃত্তে
সমতল
.

এই সমস্যাটি এইভাবে সমাধান করা যেতে পারে: সমীকরণ থেকে
আমরা খুঁজি
এক্স:

যে প্রদান
, ব্যবধানে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার সমস্যাকে হ্রাস করা হয়েছে
.

জ্যামিতিকভাবে, সমস্যার অর্থ নিম্নলিখিত: একটি উপবৃত্তে , সিলিন্ডার অতিক্রম করে প্রাপ্ত
সমতল
, আপনাকে আবেদনকারীর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান খুঁজে বের করতে হবে (চিত্র 9)। এই সমস্যাটি এইভাবে সমাধান করা যেতে পারে: সমীকরণ থেকে
আমরা খুঁজি
. সমতলের সমীকরণে y এর পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি চলকের একটি ফাংশন পাই এক্স:

এইভাবে, ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পেতে সমস্যা
যে প্রদান
, একটি ব্যবধানে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার সমস্যাকে হ্রাস করা হয়েছে।

তাই, একটি শর্তসাপেক্ষ চরম খুঁজে বের করার সমস্যা- এটি উদ্দেশ্য ফাংশনের চরম অংশ খুঁজে বের করার সমস্যা
, যে ভেরিয়েবল প্রদান এক্সএবং এসীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে
, বলা হয় সংযোগ সমীকরণ।

সেটা বলা যাক বিন্দু
, কাপলিং সমীকরণ সন্তুষ্ট করা, স্থানীয় শর্তসাপেক্ষ সর্বাধিকের বিন্দু (সর্বনিম্ন), যদি একটি প্রতিবেশী থাকে
যে কোন পয়েন্টের জন্য যেমন
, যার স্থানাঙ্ক সংযোগ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, অসমতা সন্তুষ্ট হয়।

যদি কাপলিং সমীকরণ থেকে কেউ এর জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজে পেতে পারে এ, তারপর এই অভিব্যক্তিটিকে মূল ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পরবর্তীটিকে একটি চলকের একটি জটিল ফাংশনে পরিণত করি এক্স.

শর্তাধীন চরম সমস্যা সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতি Lagrange গুণক পদ্ধতি. চলুন একটি সহায়ক ফাংশন তৈরি করা যাক, যেখানে ─ কিছু সংখ্যা। এই ফাংশন বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, ক ─ ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক। এইভাবে, একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার কাজটি ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের জন্য স্থানীয় এক্সট্রিমাম পয়েন্টগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য হ্রাস করা হয়েছে। সম্ভাব্য চরম বিন্দু খুঁজে পেতে, আপনাকে তিনটি অজানা সহ 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে x, yএবং.

তারপর আপনি একটি extremum জন্য নিম্নলিখিত যথেষ্ট শর্ত ব্যবহার করা উচিত.

থিওরেম. Lagrange ফাংশনের জন্য বিন্দুটিকে একটি সম্ভাব্য চরম বিন্দু হতে দিন। ধরা যাক বিন্দুর সান্নিধ্যে
ফাংশনের দ্বিতীয় ক্রমটির ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে এবং . এর উল্লেখ করা যাক

তারপর যদি
, যে
─ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু
কাপলিং সমীকরণের সাথে
এই ক্ষেত্রে, যদি
, যে
─ শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম পয়েন্ট, যদি
, যে
─ শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

§8। গ্রেডিয়েন্ট এবং দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ

ফাংশন যাক
কিছু (খোলা) অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত। কোন পয়েন্ট বিবেচনা করুন
এই এলাকা এবং যে কোনো নির্দেশিত সরলরেখা (অক্ষ) , এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে (চিত্র 1)। দিন
- এই অক্ষের অন্য কিছু বিন্দু,
- এর মধ্যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য
এবং
, একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে নেওয়া, যদি দিক নির্দেশ করে
অক্ষের দিকের সাথে মিলে যায় , এবং তাদের দিকনির্দেশ বিপরীত হলে একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ।

দিন
অনির্দিষ্টকালের কাছে আসে
. সীমা

ডাকা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ
দিকে (বা অক্ষ বরাবর ) এবং নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

.

এই ডেরিভেটিভটি বিন্দুতে ফাংশনের "পরিবর্তনের হার" চিহ্নিত করে
দিকে . বিশেষ করে, সাধারণ আংশিক ডেরিভেটিভস ,"নির্দেশের ক্ষেত্রে" ডেরিভেটিভ হিসাবেও ভাবা যেতে পারে।

আসুন এখন ধরে নিই যে ফাংশনটি
বিবেচনাধীন অঞ্চলে ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ আছে। অক্ষ যাক স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে কোণ গঠন করে
এবং . তৈরি অনুমান অধীনে, দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

.

ভেক্টর হলে
এর স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত
, তারপর ফাংশনের ডেরিভেটিভ
ভেক্টরের দিকে
সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

.

স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর
ডাকা গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরফাংশন
বিন্দুতে
. গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

উদাহরণ

একটি ফাংশন দেওয়া হয়েছে, বিন্দু A(1, 1) এবং ভেক্টর
. খুঁজুন: 1) বিন্দু A এ গ্রেড z; 2) ভেক্টরের দিকে A বিন্দুতে ডেরিভেটিভ .

একটি বিন্দুতে একটি প্রদত্ত ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ
:

;
.

তারপর এই পয়েন্টে ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর হল:
. ভেক্টর পচন ব্যবহার করে গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরও লেখা যেতে পারে এবং :

. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ ভেক্টরের দিকে :

তাই,
,
.◄

শর্তাধীন চরম।

বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা

সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।

FNP-এর স্থানীয় চরমপন্থা

ফাংশন দেওয়া যাক এবং= চ(P), РÎDÌR nএবং বিন্দু P 0 দিন ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) –অভ্যন্তরীণসেট ডি পয়েন্ট

সংজ্ঞা 9.4।

1) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বোচ্চ পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0) М D এর কোনো আশেপাশের এলাকা থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P) £ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) সর্বাধিক বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং মনোনীত করা হয় চ(P0) = সর্বোচ্চ চ(পি)।

2) বিন্দু P 0 বলা হয় সর্বনিম্ন পয়েন্ট ফাংশন এবং= চ(P), যদি এই বিন্দু U(P 0)Ì D এর কোনো প্রতিবেশী থাকে যে কোনো বিন্দুর জন্য P( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , শর্তটি সন্তুষ্ট চ(P)³ চ(পি 0)। অর্থ চ(P 0) ন্যূনতম বিন্দুতে ফাংশন বলা হয় ন্যূনতম ফাংশন এবং মনোনীত করা হয় চ(P 0) = মিনিট চ(পি)।

একটি ফাংশনের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় চরম বিন্দু, এক্সট্রিমা পয়েন্টে ফাংশনের মানগুলিকে বলা হয় ফাংশনের চরম

সংজ্ঞা থেকে নিম্নরূপ, অসমতা চ(P) £ চ(P 0), চ(P)³ চ(P 0) শুধুমাত্র P 0 বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে সন্তুষ্ট হতে হবে, এবং ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, যার মানে হল যে ফাংশনে একই ধরনের একাধিক এক্সট্রিমা থাকতে পারে (অনেক মিনিমা, বেশ কয়েকটি ম্যাক্সিমা) . অতএব, উপরে সংজ্ঞায়িত চরম বলা হয় স্থানীয়(স্থানীয়) চরম।

উপপাদ্য 9.1 (FNP-এর চরম অংশের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)

যদি ফাংশন এবং= চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ..., x n) P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম্যাম আছে, তাহলে এই বিন্দুতে এর প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি হয় শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

প্রমাণ।ধরুন বিন্দু P 0 ( ক 1 , ক 2 , ..., একটি পি) ফাংশন এবং= চ(P) এর একটি এক্সট্রিম আছে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সর্বোচ্চ। এর যুক্তিগুলো ঠিক করা যাক এক্স 2 , ..., x n, বসানো এক্স 2 =ক 2 ,..., x n = একটি পি. তারপর এবং= চ(P) = চ 1 ((এক্স 1 , ক 2 , ..., একটি পি) একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন এক্স 1 যেহেতু এই ফাংশন আছে এক্স 1 = ক 1 extremum (সর্বোচ্চ), তারপর চ 1 ¢=0 বা যখন অস্তিত্ব নেই এক্স 1 =ক 1 (একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত)। কিন্তু, এর অর্থ বা বিন্দু P 0-এ বিদ্যমান নেই - চরম বিন্দু। একইভাবে, আমরা অন্যান্য ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ বিবেচনা করতে পারি। সিটিডি।

একটি ফাংশনের ডোমেইনের বিন্দু যেখানে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই বলা হয় সমালোচনামূলক পয়েন্ট এই ফাংশন।

উপপাদ্য 9.1 থেকে নিম্নরূপ, FNP-এর চরম বিন্দুগুলি ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলির মধ্যে চাওয়া উচিত। কিন্তু, একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হিসাবে, প্রতিটি সমালোচনামূলক বিন্দু একটি চরম বিন্দু নয়।

উপপাদ্য 9.2. (FNP এর প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত)

ধরুন P 0 ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু এবং= চ(P) এবং এই ফাংশনের দ্বিতীয় অর্ডার ডিফারেনশিয়াল। তারপর

এবং যদি d 2 u(P 0) > 0 এ, তারপর P 0 একটি বিন্দু সর্বনিম্নফাংশন এবং= চ(পি);

খ) যদি d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка সর্বোচ্চফাংশন এবং= চ(পি);

গ) যদি d 2 u(P 0) চিহ্ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তাহলে P 0 একটি চরম বিন্দু নয়;

আমরা প্রমাণ ছাড়াই এই উপপাদ্য বিবেচনা করব।

উল্লেখ্য যে উপপাদ্য যখন ক্ষেত্রে বিবেচনা করে না d 2 u(P 0) = 0 বা বিদ্যমান নেই। এর মানে হল যে এই ধরনের পরিস্থিতিতে P 0 বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমিয়ামের উপস্থিতির প্রশ্নটি খোলা থাকে - আমাদের প্রয়োজন অতিরিক্ত গবেষণা, উদাহরণস্বরূপ, এই সময়ে একটি ফাংশনের বৃদ্ধি অধ্যয়ন করা।

আরও বিস্তারিত গণিত কোর্সে এটা প্রমাণিত হয় যে, বিশেষ করে ফাংশনের জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের, যার দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়ালটি ফর্মের যোগফল

সমালোচনামূলক বিন্দু P 0 এ একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি অধ্যয়নকে সরলীকরণ করা যেতে পারে।

আসুন বোঝাই, , . এর একটি নির্ধারক রচনা করা যাক

.

প্রস্থান:

d 2 z> P 0 বিন্দুতে 0, অর্থাৎ P 0 - ন্যূনতম পয়েন্ট, যদি ক(P 0) > 0 এবং D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ক(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

যদি D(P 0)< 0, то d 2 zবিন্দু P 0 এর আশেপাশে এটি চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং P 0 বিন্দুতে কোন চরম নেই;

যদি D(Р 0) = 0 হয়, তাহলে গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু Р 0 এর আশেপাশে ফাংশনের অতিরিক্ত অধ্যয়নও প্রয়োজন।

সুতরাং, ফাংশন জন্য z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবলের একটি এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার জন্য আমাদের নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম রয়েছে (আসুন এটিকে "অ্যালগরিদম D" বলি):

1) সংজ্ঞা D এর ডোমেন খুঁজুন চ) ফাংশন।

2) সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজুন, যেমন ডি থেকে পয়েন্ট ( চ), যার জন্য এবং শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই।

3) প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে P 0 চেক করুন যথেষ্ট শর্তচরম এটি করতে, খুঁজুন , যেখানে , , এবং গণনা করুন D(P 0) এবং ক(P 0) তারপর:

যদি D(P 0) >0, তাহলে P 0 বিন্দুতে একটি extremum আছে, এবং যদি ক(P 0) > 0 – তাহলে এটি সর্বনিম্ন, এবং যদি ক(P 0)< 0 – максимум;

যদি D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

যদি D(P 0) = 0 হয়, তাহলে অতিরিক্ত গবেষণা প্রয়োজন।

4) পাওয়া চরম বিন্দুতে, ফাংশনের মান গণনা করুন।

উদাহরণ 1.

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন z = এক্স 3 + 8y 3 – 3xy .

সমাধান।এই ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন হল সমগ্র স্থানাঙ্ক সমতল। আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্ট খুঁজে বের করা যাক।

, , Þ P 0 (0,0), .

এক্সট্রিমামের জন্য পর্যাপ্ত শর্তগুলি সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করা যাক। আমরা খুঁজে নেব

6এক্স, = -3, = 48এএবং = 288xy – 9.

তারপর D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – বিন্দু Р 1-এ একটি এক্সট্রিম আছে, এবং যেহেতু ক(P 1) = 3 >0, তাহলে এই extremum হল সর্বনিম্ন। তাই মিন z=z(P 1) = .

উদাহরণ 2।

ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন .

সমাধান: D( চ) =R 2। সমালোচনামূলক পয়েন্ট: ; অস্তিত্ব নেই যখন এ= 0, যার মানে P 0 (0,0) হল এই ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট।

2, = 0, = , = , কিন্তু D(P 0) সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, তাই এর চিহ্ন অধ্যয়ন করা অসম্ভব।

একই কারণে, উপপাদ্য 9.2 সরাসরি প্রয়োগ করা অসম্ভব - d 2 zএই সময়ে বিদ্যমান নেই।

এর ফাংশন বৃদ্ধি বিবেচনা করা যাক চ(এক্স, y) বিন্দু P 0 এ। যদি ডি চ =চ(P) - চ(P 0)>0 "P, তারপর P 0 সর্বনিম্ন বিন্দু, কিন্তু যদি D চ < 0, то Р 0 – точка максимума.

আমাদের ক্ষেত্রে আমরা আছে

ডি চ = চ(এক্স, y) – চ(0, 0) = চ(0+D এক্স,0+D y) – চ(0, 0) = .

ডি এ এক্স= 0.1 এবং D y= -0.008 আমরা D পাই চ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dএক্স= 0.1 এবং D y= 0.001 ডি চ= 0.01 + 0.1 > 0, অর্থাৎ বিন্দু P 0 এর আশেপাশে কোন অবস্থা D সন্তুষ্ট নয় চ <0 (т.е. চ(এক্স, y) < চ(0, 0) এবং তাই P 0 সর্বাধিক বিন্দু নয়, বা শর্ত D নয় চ>0 (যেমন চ(এক্স, y) > চ(0, 0) এবং তারপর P 0 একটি সর্বনিম্ন বিন্দু নয়)। সুতরাং, একটি চরমের সংজ্ঞা অনুসারে, এই ফাংশনকোন চরম আছে.

শর্তাধীন চরম।

ফাংশনের বিবেচিত প্রান্তকে বলা হয় শর্তহীন, যেহেতু ফাংশন আর্গুমেন্টে কোন সীমাবদ্ধতা (শর্ত) আরোপ করা হয় না।

সংজ্ঞা 9.2।ফাংশন এর চরম এবং = চ(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n), শর্ত অধীনে পাওয়া যে তার আর্গুমেন্ট এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x nসমীকরণ j 1 ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, …, j টি(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0, যেখানে P ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) ও ডি( চ), বলা হয় শর্তাধীন চরম .

সমীকরণ j k(এক্স 1 , এক্স 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., মি, ডাকল সংযোগ সমীকরণ.

চলুন ফাংশন তাকান z = f(এক্স,y) দুটি ভেরিয়েবল। যদি সংযোগ সমীকরণ এক হয়, i.e. , তারপর একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম খুঁজে বের করার অর্থ হল ফাংশনের সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনে নয়, তবে ডি (ডি) তে থাকা কিছু বক্ররেখার জন্য এক্সট্রিমাম চাওয়া হয়েছে চ) (অর্থাৎ, এটি পৃষ্ঠের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু নয় যা চাওয়া হয় z = f(এক্স,y), এবং সিলিন্ডারের সাথে এই পৃষ্ঠের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু, চিত্র 5)।

একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f(এক্স,yদুটি ভেরিয়েবলের ) নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যাবে( নির্মূল পদ্ধতি) সমীকরণ থেকে, একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করুন (উদাহরণস্বরূপ, লিখুন) এবং, ভেরিয়েবলের এই মানটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করে, পরবর্তীটিকে একটি চলকের ফাংশন হিসাবে লিখুন (বিবেচিত ক্ষেত্রে ) একটি ভেরিয়েবলের ফলে প্রাপ্ত ফাংশনের প্রান্ত নির্ণয় কর।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের সীমা। একটি extremum জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত. একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত. শর্তাধীন চরম। Lagrange গুণক পদ্ধতি। বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খোঁজা.

লেকচার 5।

সংজ্ঞা 5.1।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বোচ্চ পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) > f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y) M 0.

সংজ্ঞা 5.2।ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বনিম্ন পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) < f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y)একটি বিন্দুর কিছু পাড়া থেকে M 0.

দ্রষ্টব্য 1. সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট বলা হয় চরম পয়েন্টবিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন।

মন্তব্য 2. যেকোনো সংখ্যক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য চরম বিন্দু একইভাবে নির্ধারিত হয়।

উপপাদ্য 5.1(একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি M 0 (x 0, y 0)- ফাংশনের চরম বিন্দু z = f (x, y),তারপর এই সময়ে এই ফাংশনের প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

প্রমাণ।

চলকের মান ঠিক করা যাক এ, গণনা y = y 0. তারপর ফাংশন f (x, y 0)একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে এক্স, কিসের জন্য x = x 0চরম বিন্দু হয়. অতএব, Fermat এর উপপাদ্য দ্বারা, বা বিদ্যমান নেই. একই বিবৃতি জন্য একইভাবে প্রমাণিত হয়.

সংজ্ঞা 5.3।কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডোমেইনের অন্তর্গত বিন্দু যেখানে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় স্থির পয়েন্টএই ফাংশন।

মন্তব্য করুন। সুতরাং, প্রান্তটি কেবল স্থির বিন্দুতে পৌঁছানো যেতে পারে, তবে তাদের প্রতিটিতে এটি অগত্যা পরিলক্ষিত হয় না।

উপপাদ্য 5.2(একটি চরমের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত)। বিন্দু কিছু আশেপাশে যাক M 0 (x 0, y 0), যা ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু z = f (x, y),এই ফাংশনে 3য় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। আসুন তাহলে বোঝাই:

1) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বোচ্চ যদি এসি-বি² > 0, ক < 0;

2) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বনিম্ন যদি এসি-বি² > 0, ক > 0;

3) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে কোন চরমপন্থা নেই যদি এসি-বি² < 0;

4) যদি এসি-বি² = 0, আরও গবেষণা প্রয়োজন।

প্রমাণ।

ফাংশনের জন্য দ্বিতীয় ক্রম টেলর সূত্র লিখি f(x,y),মনে রাখবেন যে একটি স্থির বিন্দুতে প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান:

কোথায় যদি সেগমেন্টের মধ্যে কোণ থাকে M 0 M, কোথায় M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ এ), এবং O অক্ষ এক্সφ বোঝান, তারপর Δ x =Δ ρ কারণ φ, Δ y=Δρsinφ এই ক্ষেত্রে, টেলরের সূত্রটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: . চলুন তাহলে আমরা বন্ধনীতে থাকা এক্সপ্রেশনটিকে দ্বারা ভাগ ও গুণ করতে পারি ক. আমরা পেতে:

এখন চারটি বিবেচনা করা যাক সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:

1) এসি-বি² > 0, ক < 0. Тогда , и যথেষ্ট ছোট Δρ এ। অতএব, কিছু পাড়ায় M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), এটাই M 0- সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

2) যাক এসি-বি² > 0, A > 0।তারপর , এবং M 0- সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

3) যাক এসি-বি² < 0, ক> 0. রশ্মি φ = 0 বরাবর আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি বিবেচনা করুন। তারপর (5.1) থেকে এটি অনুসরণ করে , অর্থাৎ, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন বৃদ্ধি পায়। যদি আমরা একটি রশ্মি বরাবর অগ্রসর হই যেমন tg φ 0 = -A/B,যে , অতএব, এই রশ্মির সাথে চলার সময়, ফাংশন হ্রাস পায়। সুতরাং, সময়কাল M 0একটি চরম বিন্দু না.

3`) কখন এসি-বি² < 0, ক < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

আগেরটির মতো।

3``) যদি এসি-বি² < 0, ক= 0, তারপর। যার মধ্যে. তারপর যথেষ্ট ছোট φ এক্সপ্রেশন 2 এর জন্য খ cosφ + গ sinφ 2 এর কাছাকাছি ভিতরে, অর্থাৎ, এটি একটি ধ্রুবক চিহ্ন ধরে রাখে, কিন্তু sinφ বিন্দুর আশেপাশে চিহ্ন পরিবর্তন করে M 0।এর মানে হল যে ফাংশনের বৃদ্ধি একটি স্থির বিন্দুর আশেপাশে সাইন পরিবর্তন করে, যা তাই একটি চরম বিন্দু নয়।

4) যদি এসি-বি² = 0, এবং , , অর্থাৎ, বৃদ্ধির চিহ্নটি 2α 0 চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়। একই সময়ে, একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের প্রশ্নটি স্পষ্ট করার জন্য আরও গবেষণা প্রয়োজন।

উদাহরণ। আসুন ফাংশনের চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করি z = x² - 2 xy + 2y² + 2 এক্স.স্থির বিন্দু খুঁজে পেতে, আমরা সিস্টেম সমাধান . সুতরাং, স্থির বিন্দু হল (-2,-1)। যার মধ্যে ক = 2, ভিতরে = -2, সঙ্গে= 4. তারপর এসি-বি² = 4 > 0, অতএব, একটি স্থির বিন্দুতে একটি চরমে পৌঁছে যায়, যথা ন্যূনতম (যেহেতু ক > 0).

সংজ্ঞা 5.4।যদি ফাংশন আর্গুমেন্ট f (x 1 , x 2 ,…, x n)সংযুক্ত অতিরিক্ত শর্তসমূহহিসাবে মিসমীকরণ ( মি< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ মি ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (5.2)

যেখানে ফাংশন φ i ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ আছে, তখন সমীকরণ (5.2) বলা হয় সংযোগ সমীকরণ.

সংজ্ঞা 5.5।ফাংশন এর চরম f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্ত (5.2) পূরণ করা হয়, এটি বলা হয় শর্তাধীন চরম.

মন্তব্য করুন। আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি: ফাংশনের আর্গুমেন্টের কথা বলা যাক f(x,y)φ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত (x,y)= 0, O সমতলে কিছু বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করা xy. এই বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দু থেকে সমতল O-তে লম্ব পুনর্গঠন xyযতক্ষণ না এটি পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করে z = f (x,y),আমরা বক্ররেখার উপরে পৃষ্ঠে থাকা একটি স্থানিক বক্ররেখা পাই φ (x,y)= 0. কাজটি হল ফলাফল বক্ররেখার চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা, যা অবশ্যই, সাধারণ ক্ষেত্রেফাংশনের শর্তহীন চরম বিন্দুর সাথে মিলিত হবে না f(x,y)।

আসুন আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি প্রবর্তন করে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের প্রয়োজনীয় শর্তগুলি নির্ধারণ করি:

সংজ্ঞা 5.6।ফাংশন L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

কোথায় λi -কিছু ধ্রুবক, বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এবং সংখ্যা λi– অনির্দিষ্ট Lagrange গুণক.

উপপাদ্য 5.3(কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f (x, y)কাপলিং সমীকরণের উপস্থিতিতে φ ( x, y)= 0 শুধুমাত্র Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুতে অর্জন করা যেতে পারে L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y)।

প্রমাণ। কাপলিং সমীকরণ একটি অন্তর্নিহিত সম্পর্ক নির্দিষ্ট করে এথেকে এক্সতাই আমরা ধরে নেব যে এথেকে একটি ফাংশন আছে এক্স: y = y(x)।তারপর zথেকে একটি জটিল ফাংশন আছে এক্স, এবং এর সমালোচনামূলক পয়েন্ট শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়: . (5.4) কাপলিং সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে . (5.5)

আসুন সমতা (5.5) কে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করি এবং এটিকে (5.4) যোগ করি। আমরা পেতে:

, বা

শেষ সমতা অবশ্যই স্থির বিন্দুতে সন্তুষ্ট হতে হবে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে:

(5.6)

তিনটি অজানা জন্য তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়: x, yএবং λ, এবং প্রথম দুটি সমীকরণ হল Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুর শর্ত। সিস্টেম (5.6) থেকে অক্জিলিয়ারী অজানা λ বাদ দিয়ে, আমরা বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই যেখানে মূল ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম থাকতে পারে।

মন্তব্য 1. থিওরেম 5.2 এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশনের দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অধ্যয়ন করে পাওয়া বিন্দুতে একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের উপস্থিতি পরীক্ষা করা যেতে পারে।

মন্তব্য 2. পয়েন্ট যেখানে ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তে পৌঁছানো যেতে পারে f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্তগুলি (5.2) পূরণ হয়, তখন সিস্টেমের সমাধান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (5.7)

উদাহরণ। চলুন ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে বের করা যাক z = xyদেত্তয়া আছে x + y= 1. এবার Lagrange ফাংশন রচনা করি L(x, y) = xy + λ (x + y – 1)। সিস্টেম (5.6) এর মত দেখাচ্ছে:

যেখানে -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5। যার মধ্যে L(x,y)ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, তাই পাওয়া স্থির বিন্দুতে L(x,y)একটি সর্বোচ্চ আছে, এবং z = xy -শর্তাধীন সর্বোচ্চ।

z - /(x, y) ফাংশনটিকে কিছু ডোমেইন D-এ সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং Mo(xo, Vo) এই ডোমেনের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু হতে দিন। সংজ্ঞা। যদি এমন একটি সংখ্যা থাকে যা সমস্ত শর্ত পূরণের জন্য অসমতা সত্য হয়, তাহলে Mo(xo, y) বিন্দুটিকে f(x, y) ফাংশনের স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয়; যদি সকল Dx, Du, শর্ত পূরণ করে | তারপর Mo(xo,yo) বিন্দুটিকে একটি পাতলা স্থানীয় সর্বনিম্ন বলা হয়। অন্য কথায়, বিন্দু M0(x0, y0) হল f(x, y) ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন একটি বিন্দু যদি A/o(x0, y0) বিন্দুর একটি 6-প্রতিবেশী থাকে যেটা একেবারেই আশেপাশে এর M(x, y) পয়েন্ট করে, ফাংশনের বৃদ্ধি তার চিহ্ন বজায় রাখে। উদাহরণ। 1. ফাংশন পয়েন্টের জন্য - ন্যূনতম পয়েন্ট (চিত্র 17)। 2. ফাংশনের জন্য, পয়েন্ট 0(0,0) হল সর্বাধিক বিন্দু (চিত্র 18)। 3. একটি ফাংশনের জন্য, পয়েন্ট 0(0,0) হল একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ বিন্দু। 4 প্রকৃতপক্ষে, বিন্দু 0(0, 0) এর একটি আশেপাশের এলাকা রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, j ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত (চিত্র 19 দেখুন), যার যেকোনো বিন্দুতে, বিন্দু 0(0,0) থেকে আলাদা, ফাংশনের মান /(x,y) 1 এর কম = আমরা শুধুমাত্র কঠোর সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ফাংশনের পয়েন্টগুলি বিবেচনা করব যখন কঠোর অসমতা বা কঠোর অসমতা সমস্ত পয়েন্টের জন্য সন্তুষ্ট হয় M(x) y) কিছু ছিদ্রযুক্ত 6-পাড়া থেকে বিন্দু Mq. সর্বাধিক বিন্দুতে একটি ফাংশনের মানকে সর্বোচ্চ বলা হয় এবং সর্বনিম্ন বিন্দুতে ফাংশনের মানকে এই ফাংশনের সর্বনিম্ন বলা হয়। একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে ফাংশনের চরম বিন্দু বলা হয়, এবং ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুগুলিকে এর এক্সট্রিমা বলা হয়। উপপাদ্য 11 (একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি একটি ফাংশন বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের একটি এক্সট্রিম হয়। একটি এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম ক্রমাগত ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলির একটি বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম থাকে তারপর এই বিন্দুতে প্রতিটি আংশিক ডেরিভেটিভ u হয় অদৃশ্য হয়ে যায় বা বিদ্যমান থাকে না। ধরুন M0(x0, yо) বিন্দুতে ফাংশন z = f(x) y) এর একটি এক্সট্রিমাম আছে। চলক y এর মান oo দিই। তারপর ফাংশন z = /(x, y) একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে x\ যেহেতু x = xo তে এটির একটি এক্সট্রিমাম রয়েছে (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন, চিত্র 20), তারপর x = “o, এর সাপেক্ষে এর ডেরিভেটিভ | (*o,l>)" শূন্যের সমান বা এর অস্তিত্ব নেই। একইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে) হয় শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই। যে বিন্দুতে = 0 এবং χ = 0 বা বিদ্যমান নেই তাদের বলা হয় সমালোচনামূলক ফাংশনের বিন্দু z = Dx, y)। যে বিন্দুতে $£ = φ = 0 সেগুলিকে ফাংশনের স্থির বিন্দুও বলা হয়। উপপাদ্য 11 একটি চরমের জন্য শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় শর্তগুলি প্রকাশ করে, যা যথেষ্ট নয়। উদাহরণ: ফাংশন চিত্র। 18 চিত্র। 20 immt ডেরিভেটিভ যা শূন্যে পরিণত হয়। কিন্তু এই ফাংশনটি স্ট্রামের ইমভ্যাটে পাতলা। প্রকৃতপক্ষে, ফাংশনটি 0(0,0) বিন্দুতে শূন্যের সমান এবং M(x,y) বিন্দুতে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক মান নেয়, নির্বিচারে 0(0,0) বিন্দুর কাছাকাছি। এটির জন্য, তাই নির্দেশিত প্রকারের নির্বিচারে ছোট পয়েন্ট 0(0,0) এর জন্য বিন্দুতে (0, y) পয়েন্টে একটি মিনি-ম্যাক্স পয়েন্ট (চিত্র 21) বলা হয়। দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সীমার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা প্রকাশ করা হয়। উপপাদ্য 12 (দুটি ভেরিয়েবলে একটি চরমের জন্য যথেষ্ট শর্ত)। Mo(xo»Yo) বিন্দুটিকে f(x, y) ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু হতে দিন এবং বিন্দুর কিছু আশেপাশে /, Mo বিন্দু সহ, ফাংশন f(z, y) এর ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে দ্বিতীয় অর্ডার পর্যন্ত অন্তর্ভুক্ত। তারপর" Mo(xo, V0) বিন্দুতে ফাংশন /(xo, y) এর একটি এক্সট্রিমাম নেই যদি D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) ফাংশনের প্রান্তভাগ থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আরও গবেষণা প্রয়োজন। m আসুন আমরা উপপাদ্যের 1) এবং 2) বিবৃতি প্রমাণ করার মধ্যে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখি। আসুন ফাংশন /(i, y): যেখানে দ্বিতীয়-ক্রম টেলর সূত্রটি লিখি। শর্ত অনুসারে, এটা স্পষ্ট যে বৃদ্ধির চিহ্ন D/ (1) এর ডান পাশে ত্রিনয়কের চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়, অর্থাৎ, দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়াল d2f-এর চিহ্ন। এর সংক্ষিপ্ততার জন্য এটি চিহ্নিত করা যাক. তাহলে সমতা (l) এভাবে লেখা যেতে পারে: চলুন বিন্দুতে MQ(so, V0) আমাদের আছে... যেহেতু, শর্ত অনুসারে, f(s, y) ফাংশনের দ্বিতীয়-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি অবিচ্ছিন্ন, তাহলে অসমতা (3) M0(s0,yo) বিন্দুর কিছু আশেপাশেও থাকবে। যদি শর্তটি সন্তুষ্ট হয় (বিন্দু А/0 এ, এবং ধারাবাহিকতার কারণে ডেরিভেটিভ /,z(s,y) Af0 বিন্দুর কিছু আশেপাশে তার চিহ্ন ধরে রাখবে। যে অঞ্চলে А Ф 0, আমাদের আছে এটা থেকে এটা স্পষ্ট যে M0(x0) y0 বিন্দুর কিছু আশেপাশে যদি ЛС - В2 > 0 হয়, তাহলে ত্রিনামিক AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 বিন্দুতে A এর চিহ্নের সাথে মিলে যায় (তাই , V0) (পাশাপাশি C চিহ্নের সাথে, যেহেতু AC - B2 > 0 A এবং C-এর জন্য আলাদা চিহ্ন থাকতে পারে না)। যেহেতু বিন্দুতে AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 যোগফলের চিহ্ন (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) পার্থক্যের চিহ্ন নির্ধারণ করে, আমরা নিম্নলিখিত উপসংহারে আসি: যদি ফাংশনের জন্য /(s,y) এ স্থির বিন্দু (s0, V0) অবস্থা, তারপর যথেষ্ট ছোট জন্য || অসমতা সন্তুষ্ট হবে। সুতরাং, বিন্দুতে (sq, V0) ফাংশন /(s, y) এর সর্বোচ্চ রয়েছে। যদি শর্তটি স্থির বিন্দুতে (s0, y0) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে সকলের জন্য যথেষ্ট ছোট |Dr| এবং |Du| অসমতা সত্য, যার মানে হল বিন্দুতে (so,yo) ফাংশন /(s, y) ন্যূনতম। উদাহরণ। 1. একটি extremum-এর জন্য ফাংশন তদন্ত করুন 4 একটি extremum-এর জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনের স্থির পয়েন্টগুলি সন্ধান করি। এটি করার জন্য, আমরা আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই এবং তাদের শূন্যের সাথে সমান করি। আমরা কোথা থেকে সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই - একটি স্থির বিন্দু। এখন থিওরেম 12 ব্যবহার করা যাক। আমাদের আছে এর মানে হল বিন্দু Ml-এ একটি extremum আছে। কারণ এটি সর্বনিম্ন। আমরা যদি r ফাংশনটিকে ফর্মে রূপান্তর করি তবে এটি দেখা সহজ ডান অংশ (“) ন্যূনতম হবে যখন এই ফাংশনের পরম সর্বনিম্ন হবে। 2. একটি এক্সট্রিমমের জন্য ফাংশনটি পরীক্ষা করুন। আমরা ফাংশনের স্থির বিন্দু খুঁজে পাই, যার জন্য আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি। তাই, যাতে বিন্দুটি স্থির থাকে। যেহেতু, থিওরেম 12 এর গুণে, বিন্দু M-এ কোন এক্সট্রিম নেই। * 3. ফাংশনের সীমানা তদন্ত করুন। ফাংশনের স্থির বিন্দুগুলি খুঁজুন। সমীকরণের সিস্টেম থেকে আমরা তা পাই, তাই বিন্দুটি স্থির। পরবর্তীতে আমাদের আছে যে থিওরেম 12 একটি এক্সট্রিমামের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দেয় না। এর এই ভাবে করা যাক. বিন্দু থেকে ভিন্ন সমস্ত বিন্দু সম্পর্কে একটি ফাংশনের জন্য, তাই, সংজ্ঞা অনুসারে, এবং বিন্দু A/o(0,0) ফাংশন r এর একটি পরম সর্বনিম্ন আছে। অনুরূপ গণনা দ্বারা আমরা স্থাপন করি যে বিন্দুতে ফাংশনটির একটি সর্বোচ্চ আছে, কিন্তু ফাংশনের বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমাম নেই। n স্বাধীন চলকের একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। বিন্দু মোকে ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু বলা হয় যদি উপপাদ্য 13 (একটি প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত পর্যন্ত)। ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করা যাক এবং সূক্ষ্ম Mt(xi...) এর কিছু আশেপাশে দ্বিতীয় ক্রমটির ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভস থাকতে দিন, যা একটি স্থির সূক্ষ্ম ফাংশন যদি দ্বিঘাত ফর্ম (সূক্ষ্মটিতে f ফাংশনের দ্বিতীয় পার্থক্যটি ধনাত্মক হয়) definite (ঋণাত্মক সুনির্দিষ্ট), ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু (যথাক্রমে, সূক্ষ্ম সর্বোচ্চ) f সূক্ষ্ম যদি দ্বিঘাত রূপ (4) চিহ্নে পর্যায়ক্রমে হয়, তাহলে সূক্ষ্ম LG0-এ কোন প্রান্ত নেই। দ্বিঘাত কিনা তা প্রতিষ্ঠা করার জন্য ফর্ম (4) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সুনির্দিষ্ট হবে, আপনি ব্যবহার করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত ফর্মের ধনাত্মক (নেতিবাচক) নিশ্চিততার জন্য সিলভেস্টার মানদণ্ড। 15.2। শর্তসাপেক্ষ চরম। এখন পর্যন্ত, আমরা একটি ফাংশনের স্থানীয় প্রান্তের সন্ধান করছিলাম। তার সংজ্ঞার ডোমেন জুড়ে, যখন ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলি কোনো অতিরিক্ত শর্তের দ্বারা আবদ্ধ হয় না। এই ধরনের এক্সট্রিমাকে বলা হয় নিঃশর্ত। যাইহোক, তথাকথিত কন্ডিশনাল এক্সট্রিমা খুঁজে পেতে প্রায়ই সমস্যার সম্মুখীন হতে হয়। ফাংশনটি z = /(x, y বলা যাক। ) ডি ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা যাক। আসুন ধরে নিই যে এই ডোমেনে একটি বক্ররেখা L দেওয়া হয়েছে, এবং আমাদের শুধুমাত্র বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ তার মানগুলির মধ্যে f(x> y) ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করতে হবে। বক্ররেখা L-এর একই প্রান্তকে বলা হয় z = f(x) y) ফাংশনের কন্ডিশনাল এক্সট্রিমা L-এর বক্ররেখা। সংজ্ঞা তারা বলে যে বক্ররেখা L-এর উপর থাকা একটি বিন্দুতে f(x, y) ফাংশন আছে একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) যদি অসমতা সমস্ত বিন্দুতে সন্তুষ্ট হয় M (s, y) y) বক্ররেখা L, বিন্দু M0 (x0, V0) এর কিছু আশেপাশের অন্তর্গত এবং M0 বিন্দু থেকে আলাদা (যদি বক্ররেখা L হয় একটি সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত, তাহলে সমস্যাটি হল বক্ররেখার r - f(x,y) ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করতে! নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: D অঞ্চলে x = /(z, y) ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন, তবে শর্ত থাকে যে এইভাবে, z = y ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার সময়, ওয়াইল্ডবিস্টের আর্গুমেন্টগুলি আর হতে পারে না স্বাধীন ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচিত: তারা y ) = 0 সম্পর্কের দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, যাকে কাপলিং সমীকরণ বলা হয়। শর্তহীন এবং শর্তসাপেক্ষ চরমের মধ্যে পার্থক্য স্পষ্ট করার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেখি যেখানে ফাংশনের শর্তহীন সর্বোচ্চ (চিত্র 23) একের সমান এবং বিন্দুতে (0,0) অর্জন করা হয়। এটি বিন্দু M - pvvboloid এর শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যায়। আসুন সংযোগ সমীকরণ y = j যোগ করি। তাহলে শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ অবশ্যই এর সমান হবে। এটি বিন্দুতে (o,|) পৌঁছেছে, এবং এটি বলের শীর্ষবিন্দু Afj এর সাথে মিলে যায়, যা সমতল y = j এর সাথে বলের ছেদ করার রেখা। একটি শর্তহীন mvximum-এর ক্ষেত্রে, আমাদের পৃষ্ঠের সমস্ত vpplicvt এর মধ্যে একটি mvximum প্রয়োগ আছে * = 1 - l;2 ~ y1; summvv শর্তসাপেক্ষ - শুধুমাত্র vllikvt বিন্দুগুলির মধ্যে pvraboloidv, সরলরেখা y = j এর বিন্দু* এর সাথে সংশ্লিষ্ট xOy সমতল নয়। উপস্থিতি এবং সংযোগে একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল নিম্নরূপ। সংযোগ সমীকরণ y) - O সংজ্ঞায়িত করুন y কে আর্গুমেন্ট x এর একটি অনন্য পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হিসাবে: ফাংশনে y এর পরিবর্তে একটি ফাংশন প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন পাই যেখানে সংযোগের শর্তটি ইতিমধ্যেই বিবেচনা করা হয়েছে। ফাংশনের (নিঃশর্ত) প্রান্ত কাঙ্খিত শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম। উদাহরণ। শর্তের অধীনে একটি ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমাম বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমামের ধারণা। একটি এক্সট্রিম্যামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম একটি ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান A সংযোগ সমীকরণ (2") থেকে আমরা পাই y = 1-x। এই মান y টিকে (V) এ প্রতিস্থাপিত করে, আমরা একটি ফাংশন পাই একটি যুক্তি x: আসুন আমরা এটিকে এক্সট্রিমামের জন্য পরীক্ষা করি: যেখান থেকে x = 1 হল গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু; তাই এটি r ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম প্রদান করে (চিত্র 24)। আসুন শর্তসাপেক্ষের সমস্যা সমাধানের আরেকটি উপায় নির্দেশ করি। extremum, যাকে Lagrange গুণক পদ্ধতি বলা হয়। একটি সংযোগের উপস্থিতিতে ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের একটি বিন্দু থাকুক। আসুন ধরে নিই যে সংযোগ সমীকরণটি xx বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় একটি অনন্য ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। ধরে নেওয়া হচ্ছে যে আমরা পাই যে xq বিন্দুতে ফাংশন /(r, ip(x)) এর x এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে বা, যা এর সমতুল্য, f(x, y) এর ডিফারেন্সিয়াল বিন্দু Mo" O) সংযোগ সমীকরণ থেকে আমাদের আছে (5) একটি এখনও অনির্ধারিত সাংখ্যিক গুণনীয়ক A দ্বারা শেষ সমতাকে গুণ করলে এবং সমতার সাথে পদ দ্বারা পদ যোগ করলে (4), আমাদের থাকবে (আমরা ধরে নিই)। তারপরে, dx-এর স্বেচ্ছাচারিতার কারণে, আমরা সমতা (6) এবং (7) ফাংশনের বিন্দুতে একটি শর্তহীন প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি প্রকাশ করি, যাকে ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন বলা হয়। এইভাবে, ফাংশনের শর্তাধীন চরম বিন্দু /(x, y), যদি, অগত্যা ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু যেখানে A একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত সহগ। এখান থেকে আমরা শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমা খোঁজার জন্য একটি নিয়ম পাই: সংযোগের উপস্থিতিতে একটি ফাংশনের প্রচলিত প্রান্তের বিন্দু হতে পারে এমন বিন্দুগুলি খুঁজে বের করার জন্য, 1) আমরা ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন রচনা করি, 2) এর ডেরিভেটিভগুলিকে সমীকরণ করে শূন্যে ফাংশন এবং ফলাফল সমীকরণে সংযোগ সমীকরণ যোগ করলে, আমরা তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই যেখান থেকে আমরা A এর মান এবং সম্ভাব্য চরম বিন্দুগুলির x, y স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই। শর্তসাপেক্ষ চরমের অস্তিত্ব এবং প্রকৃতির প্রশ্নটি x0, V0, A-এর বিবেচিত সিস্টেমের জন্য Lagrange ফাংশনের দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়ালের চিহ্ন অধ্যয়নের ভিত্তিতে সমাধান করা হয়েছে, (8) থেকে প্রাপ্ত যদি , তারপর বিন্দুতে (x0, V0) ফাংশন /(x, y ) এর একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ আছে; যদি d2F > 0 - তাহলে একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম। বিশেষ করে, যদি একটি স্থির বিন্দুতে (xo, J/o) F(x, y) ফাংশনের নির্ধারক D ধনাত্মক হয়, তাহলে বিন্দুতে (®o, V0) ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ থাকে x, y), যদি এবং ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম /(x, y), যদি উদাহরণ। আসুন আমরা আবার আগের উদাহরণের শর্তে ফিরে আসি: x + y = 1 শর্তের অধীনে ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন। আমরা Lagrange গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করব। Lagrange ফাংশন মধ্যে এক্ষেত্রেফর্ম আছে স্থির বিন্দু খুঁজে বের করার জন্য, আমরা একটি সিস্টেম রচনা করি। সিস্টেমের প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে আমরা x = y পাই। তারপর সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণ (সংযোগ সমীকরণ) থেকে আমরা দেখতে পাই যে x - y = j হল সম্ভাব্য চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক। এই ক্ষেত্রে (এটি নির্দেশিত হয় যে A = -1। এইভাবে, Lagrange ফাংশন। শর্তাধীন * = x2 + y2 ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম বিন্দু। ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের জন্য কোন শর্তহীন এক্সট্রিমাম নেই। P(x, y) ) এর অর্থ এখনও এই নয় যে একটি সংযোগের উপস্থিতিতে /(x, y) ফাংশনের জন্য একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের অনুপস্থিতি উদাহরণ: y 4 শর্তের অধীনে একটি ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করুন আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি এবং এর জন্য একটি সিস্টেম লিখি A এবং সম্ভাব্য চরম বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা: প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে আমরা x + y = 0 প্রাপ্ত করি এবং আমরা সেই সিস্টেমে পৌঁছাই যেখান থেকে x = y = A = 0। এইভাবে, সংশ্লিষ্ট Lagrange ফাংশনের বিন্দুতে ফর্ম রয়েছে (0,0) ফাংশন F(x, y; 0) এর শর্তহীন এক্সট্রিমাম নেই, তবে, ফাংশন r = xy এর শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত। যখন y = x, সেখানে "। প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে r = x2. এখান থেকে এটা স্পষ্ট যে বিন্দুতে (0,0) একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম রয়েছে৷ " Lagrange গুণকের পদ্ধতিটি যেকোন সংখ্যক আর্গুমেন্টের ফাংশনের ক্ষেত্রে স্থানান্তরিত হয়/ আসুন ফাংশনের প্রান্তটি সন্ধান করি সংযোগ সমীকরণের উপস্থিতিতে Lagrange ফাংশন রচনা করুন যেখানে A|, Az,..., A„, অনির্দিষ্ট ধ্রুবক গুণনীয়ক। F ফাংশনের সমস্ত প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সমান করে এবং ফলাফল সমীকরণগুলিতে সংযোগ সমীকরণ (9) যোগ করলে, আমরা n + m সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই, যেখান থেকে আমরা Ab A3|..., at এবং x স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি \) x2)। কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের সম্ভাব্য বিন্দুর xn। Lagrange পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া পয়েন্টগুলি আসলে একটি শর্তাধীন চরমের বিন্দু কিনা সেই প্রশ্নটি প্রায়শই শারীরিক বা জ্যামিতিক প্রকৃতির বিবেচনার ভিত্তিতে সমাধান করা যেতে পারে। 15.3। ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান z = /(x, y) ফাংশনের বৃহত্তম (ছোটতম) মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন, কিছু বন্ধ সীমিত ডোমেনে ক্রমাগত D. উপপাদ্য 3 দ্বারা, এই ডোমেনে সেখানে একটি বিন্দু (xo, V0) যেখানে ফাংশনটি সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মান নেয়। যদি বিন্দু (xo, y0) অঞ্চল D-এর ভিতরে থাকে, তাহলে ফাংশন / এর মধ্যে সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) থাকে, তাই এই ক্ষেত্রে আমাদের আগ্রহের বিন্দুটি ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির মধ্যে রয়েছে /(x, y)। যাইহোক, ফাংশন /(x, y) অঞ্চলের সীমানায় তার সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মান পৌঁছাতে পারে। অতএব, একটি সীমিত আকারে z = /(x, y) ফাংশন দ্বারা নেওয়া সবচেয়ে বড় (ছোটতম) মানটি খুঁজে বের করতে বন্ধ এলাকা 2), আপনাকে এই এলাকার মধ্যে অর্জিত ফাংশনের সমস্ত সর্বাধিক (সর্বনিম্ন) এবং সেইসাথে এই এলাকার সীমানায় ফাংশনের বৃহত্তম (ছোটতম) মান খুঁজে বের করতে হবে। এই সমস্ত সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম (ছোটতম) হবে 27 অঞ্চলে z = /(x,y) ফাংশনের কাঙ্ক্ষিত বৃহত্তম (ছোটতম) মান। আসুন দেখাই যে এটি একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের ক্ষেত্রে কীভাবে করা হয়। Prmmr. অঞ্চল 4 এর ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন। আমরা D অঞ্চলের ভিতরে ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলি খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি। এখান থেকে আমরা x = y « 0 পাই, যাতে পয়েন্ট 0 (0,0) হল x ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু। যেহেতু এখন আমরা D অঞ্চলের Г এর সীমানায় ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে বের করি। সীমার অংশে আমাদের কাছে আছে যে y = 0 একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু, এবং যেহেতু = তারপর এই বিন্দুতে ফাংশন z = 1 + y2 এর ন্যূনতম সমান একটি। সেগমেন্টের শেষে Г", বিন্দুতে (, আমাদের আছে। প্রতিসাম্য বিবেচনা ব্যবহার করে, আমরা সীমানার অন্যান্য অংশের জন্য একই ফলাফল পাই। অবশেষে আমরা পাই: অঞ্চলে z = x2+y2 ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান "B শূন্যের সমান এবং এটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু 0( 0, 0) এলাকায় অর্জন করা হয়, এবং সর্বোচ্চ মানএই ফাংশনের, দুটির সমান, সীমানার চারটি বিন্দুতে অর্জিত হয় (চিত্র 25) চিত্র 25 অনুশীলনী ফাংশনগুলির সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজুন: ফাংশনগুলির স্তরের রেখাগুলি তৈরি করুন: 9 ফাংশনের স্তরের পৃষ্ঠগুলি খুঁজুন তিনটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের: ফাংশনের সীমা গণনা করুন: ফাংশনগুলির আংশিক ডেরিভেটিভ এবং তাদের সন্ধান করুন সম্পূর্ণ ভিন্নতা : জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভস খুঁজুন: 3 J. বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমাম খুঁজুন বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম ধারণা। একটি এক্সট্রিম্যামের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত শর্তাধীন এক্সট্রিমাম ক্রমাগত ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান 34. দুটি ভেরিয়েবলের একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র ব্যবহার করে, ফাংশনগুলি খুঁজুন: 35. একটি কমপ্লেক্সের ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র ব্যবহার করে দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশন, খুঁজুন |J এবং ফাংশন: পরোক্ষভাবে দেওয়া jj ফাংশন খুঁজুন: 40. সরলরেখা x = 3 এর সাথে তার ছেদ বিন্দুতে স্পর্শক বক্ররেখার কৌণিক সহগ খুঁজুন। 41. বিন্দুগুলি খুঁজুন যেখানে স্পর্শকটি বক্ররেখার x অক্ষ অক্ষের সমান্তরাল। . নিম্নলিখিত সমস্যাগুলিতে, খুঁজুন এবং T: স্পর্শক সমতলের সমীকরণগুলি এবং পৃষ্ঠের স্বাভাবিক সমীকরণগুলি লিখ: 49. পৃষ্ঠের স্পর্শক সমতলগুলির সমীকরণগুলি লিখুন x2 + 2y2 + 3z2 = 21, সমতল x + 4y এর সমান্তরাল + 6z = 0. টেলর সূত্র ব্যবহার করে সম্প্রসারণের প্রথম তিন বা চারটি পদ খুঁজুন : 50. বিন্দুর আশেপাশে y (0, 0)। একটি ফাংশনের এক্সট্রিমামের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, এক্সট্রিমামের জন্য নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি পরীক্ষা করুন:)। দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য যথেষ্ট শর্ত ব্যবহার করে, ফাংশনের প্রান্তটি পরীক্ষা করুন: 84. একটি বন্ধ বৃত্তে z = x2 - y2 ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন 85. বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন ফাংশনের * = x2y(4-x-y) সরলরেখা x = 0, y = 0, x + y = b দ্বারা আবদ্ধ একটি ত্রিভুজের। 88. একটি আয়তক্ষেত্রাকার উন্মুক্ত পুলের মাত্রা নির্ণয় করুন যার সর্বাপেক্ষা ক্ষুদ্রতম পৃষ্ঠ রয়েছে, শর্ত থাকে যে এর আয়তন V এর সমান হয়। উত্তর 1. এবং | একটি বর্গক্ষেত্র যা এর বাহুগুলি সহ x রেখার অংশ দ্বারা গঠিত। 3. ঘনকেন্দ্রিক বলয়ের পরিবার 2= 0,1,2,... .4। সরলরেখার বিন্দু ব্যতীত পুরো সমতল। সমতলের অংশটি প্যারাবোলা y = -x? এর উপরে অবস্থিত। 8. বৃত্তের বিন্দু x। সরলরেখা ছাড়া সমগ্র সমতল x মূল অভিব্যক্তিটি দুটি ক্ষেত্রে অ-নেতিবাচক j *^ বা j x ^^ যা যথাক্রমে অসীম ধারার অসীম সমতুল্য। সংজ্ঞার ডোমেইন হল ছায়াযুক্ত বর্গক্ষেত্র (চিত্র 26); l যা একটি অসীম সিরিজের সমতুল্য ফাংশনটি বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ক) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা x খ) কেন্দ্রিক বৃত্ত যার উৎপত্তিস্থল। 10. ক) প্যারাবোলাস y) প্যারাবোলাস y ক) প্যারাবোলাস খ) হাইপারবোলাস | প্লেন xc. 13.প্রাইম - Oz অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের একক-গহ্বর হাইপারবোলয়েড; যখন এবং Oz অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের দুই-শীট হাইপারবোলয়েড হয়, তখন পৃষ্ঠের উভয় পরিবার একটি শঙ্কু দ্বারা পৃথক হয়; কোন সীমা নেই, খ) 0। 18. y = kxt তারপর z lim z = -2 সেট করি, তাই বিন্দুতে (0,0) প্রদত্ত ফাংশনের কোনো সীমা নেই। 19. ক) পয়েন্ট (0,0); খ) পয়েন্ট (0,0)। 20. ক) ব্রেক লাইন - বৃত্ত x2 + y2 = 1; b) বিরতি রেখা হল সরলরেখা y = x। 21. ক) ব্রেক লাইন - অক্ষ অক্ষ এবং Oy সমন্বয়; খ) 0 (খালি সেট)। 22. সমস্ত বিন্দু (m, n), যেখানে এবং n পূর্ণসংখ্যা