আজ পাঠে আমরা খুঁজে বের করতে শিখব শর্তাধীনবা, যেমন তাদের বলা হয়, আপেক্ষিক চরমবেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশন, এবং, প্রথমত, আমরা অবশ্যই শর্তসাপেক্ষ চরম সম্পর্কে কথা বলব দুটির কাজএবং তিনটি ভেরিয়েবল, যা বেশিরভাগ বিষয়ভিত্তিক সমস্যায় পাওয়া যায়।

আপনি কি জানতে এবং করতে সক্ষম হতে হবে এই মুহূর্তে? এই নিবন্ধটি বিষয়ের "প্রান্তে" হওয়া সত্ত্বেও, উপাদানটি সফলভাবে আয়ত্ত করার জন্য খুব বেশি প্রয়োজন নেই। এই মুহুর্তে আপনার মৌলিক বিষয়ে সচেতন হওয়া উচিত স্থানের পৃষ্ঠতল, খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন আংশিক অন্তরকলন (অন্তত একটি গড় স্তরে)এবং, নির্দয় যুক্তি নির্দেশ করে, বুঝতে শর্তহীন চরম. কিন্তু এমনকি যদি আপনি নিম্ন স্তরেরপ্রস্তুতি, চলে যাওয়ার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না - সমস্ত অনুপস্থিত জ্ঞান/দক্ষতা সত্যিই "পথে তোলা" হতে পারে, এবং কোনও ঘন্টার যন্ত্রণা ছাড়াই।

প্রথমে, আসুন ধারণাটি নিজেই বিশ্লেষণ করি এবং একই সাথে সবচেয়ে সাধারণটির দ্রুত পুনরাবৃত্তি করি পৃষ্ঠতল. তো এটা কি শর্তাধীন চরম? ...এখানে যুক্তিও কম নির্দয় নয় =) একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সীমা হল শব্দের স্বাভাবিক অর্থে একটি চরম, যা একটি নির্দিষ্ট শর্ত (বা শর্তাবলী) পূরণ হলে অর্জিত হয়।

একটি নির্বিচারে "তির্যক" কল্পনা করুন সমতলভি কার্টেসিয়ান সিস্টেম. কোনোটিই নয় চরমএখানে এর কোন চিহ্ন নেই। তবে এটা আপাতত। চলো বিবেচনা করি উপবৃত্তাকার সিলিন্ডার, সরলতার জন্য - অক্ষের সমান্তরাল একটি অন্তহীন বৃত্তাকার "পাইপ"। স্পষ্টতই, এই "পাইপ" আমাদের সমতল থেকে "কাটা" হবে উপবৃত্ত, যার ফলস্বরূপ এর উপরের বিন্দুতে সর্বাধিক এবং নীচের বিন্দুতে একটি সর্বনিম্ন থাকবে। অন্য কথায়, সমতলকে সংজ্ঞায়িত করার ফাংশন চরমে পৌঁছেছে দেত্তয়া আছেযে এটি একটি প্রদত্ত বৃত্তাকার সিলিন্ডার দ্বারা অতিক্রম করা হয়েছিল। ঠিক "প্রদান"! এই সমতলকে ছেদকারী আরেকটি উপবৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রায় অবশ্যই বিভিন্ন ন্যূনতম এবং সর্বোচ্চ মান তৈরি করবে।

যদি এটি খুব স্পষ্ট না হয়, তাহলে পরিস্থিতি বাস্তবসম্মতভাবে অনুকরণ করা যেতে পারে (যদিও মধ্যে বিপরীত ক্রম) : একটি কুড়াল নিন, রাস্তায় যান এবং কেটে ফেলুন... না, গ্রিনপিস আপনাকে পরে ক্ষমা করবে না - গ্রাইন্ডার দিয়ে ড্রেনপাইপ কাটা ভাল =)। শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন এবং শর্তাধীন সর্বোচ্চ নির্ভর করবে কোন উচ্চতায় এবং কিসের নিচে (অ-অনুভূমিক)কাটা একটি কোণ এ তৈরি করা হয়.

গণিতের পোশাকে হিসেব সাজানোর সময় এসেছে। চলো বিবেচনা করি উপবৃত্তাকার প্যারাবোলয়েড, কোনটি আছে পরম সর্বনিম্নবিন্দুতে এখন চলো খুঁজে বের করা যাক দেত্তয়া আছে. এই সমতলঅক্ষের সমান্তরাল, যার মানে এটি প্যারাবোলয়েড থেকে "কাট" করে পরাবৃত্ত. এই প্যারাবোলার শীর্ষটি শর্তাধীন সর্বনিম্ন হবে। তদুপরি, সমতল স্থানাঙ্কের উত্সের মধ্য দিয়ে যায় না, তাই বিন্দুটি অপ্রাসঙ্গিক থাকবে। ছবি দেননি? এর অবিলম্বে লিঙ্ক অনুসরণ করা যাক! এটা অনেক, আরো অনেক বার লাগবে.

প্রশ্ন: এই শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? সবচেয়ে সহজ উপায়সমাধান হল সমীকরণ থেকে (যাকে বলা হয় - অবস্থাবা সংযোগ সমীকরণ) এক্সপ্রেস, উদাহরণস্বরূপ: - এবং এটিকে ফাংশনে প্রতিস্থাপন করুন:

ফলাফল হল একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন যা একটি প্যারাবোলাকে সংজ্ঞায়িত করে, যার শীর্ষস্থানটি আপনার চোখ বন্ধ করে "গণনা করা" হয়। চল খুঁজি সমালোচনামূলক পয়েন্ট:

- সমালোচনামূলক পয়েন্ট।

পরবর্তী সবচেয়ে সহজ জিনিস ব্যবহার করা হয় চরমের জন্য দ্বিতীয় পর্যাপ্ত শর্ত:

বিশেষ করে: এর মানে হল যে ফাংশন বিন্দুতে সর্বনিম্ন পৌঁছায়। এটি সরাসরি গণনা করা যেতে পারে: , তবে আমরা আরও একাডেমিক রুট গ্রহণ করব। আসুন "গেম" স্থানাঙ্কটি সন্ধান করি:
,

শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম পয়েন্টটি লিখুন, নিশ্চিত করুন যে এটি সত্যিই সমতলে রয়েছে (কাপলিং সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে):

এবং ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম গণনা করুন:
দেত্তয়া আছে ("সংযোজন" প্রয়োজন!!!).

বিবেচিত পদ্ধতিটি কোনও সন্দেহের ছায়া ছাড়াই অনুশীলনে ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে এর বেশ কয়েকটি অসুবিধা রয়েছে। প্রথমত, সমস্যার জ্যামিতি সর্বদা পরিষ্কার হয় না এবং দ্বিতীয়ত, সংযোগ সমীকরণ থেকে "x" বা "y" প্রকাশ করা প্রায়শই অলাভজনক (যদি কিছু প্রকাশ করা সম্ভব হয়). এবং এখন আমরা শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমা খোঁজার জন্য একটি সর্বজনীন পদ্ধতি বিবেচনা করব, যাকে বলা হয় Lagrange গুণক পদ্ধতি:

উদাহরণ 1

আর্গুমেন্টের সাথে সংযোগের নির্দিষ্ট সমীকরণ সহ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি খুঁজুন।

আপনি কি পৃষ্ঠতল চিনতে পারেন? ;-) ...আমি আপনার খুশি মুখ দেখে আনন্দিত =)

যাইহোক, এই সমস্যাটির গঠন থেকে এটি কেন শর্ত বলা হয় তা পরিষ্কার হয়ে যায় সংযোগ সমীকরণ- ফাংশন আর্গুমেন্ট সংযুক্তএকটি অতিরিক্ত শর্ত, অর্থাৎ, পাওয়া চরম বিন্দুগুলি অবশ্যই একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডারের অন্তর্গত হতে হবে।

সমাধান: প্রথম ধাপে আপনাকে সংযোগ সমীকরণটি ফর্মে উপস্থাপন করতে হবে এবং রচনা করতে হবে ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন:
, তথাকথিত Lagrange গুণক কোথায়।

আমাদের ক্ষেত্রে এবং:

কন্ডিশনাল এক্সট্রিমা খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম "সাধারণ" খোঁজার স্কিমের অনুরূপ চরম. চল খুঁজি আংশিক অন্তরকলন Lagrange ফাংশন, যখন "lambda" একটি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করা উচিত:

এর রচনা এবং সমাধান করা যাক নিম্নলিখিত সিস্টেম:

জটটি মান হিসাবে উন্মোচিত হয়েছে:
প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি ;
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি .

আসুন সংযোগগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং সরলীকরণ করি:

ফলস্বরূপ, আমরা দুটি স্থির পয়েন্ট পাই। যদি, তাহলে:

যদি, তারপর:

এটি দেখতে সহজ যে উভয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটি পূরণ করে . বিবেকবান লোকেরাও একটি সম্পূর্ণ পরীক্ষা করতে পারে: এর জন্য আপনাকে বিকল্প করতে হবে সিস্টেমের প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণের মধ্যে, এবং তারপর সেটের সাথে একই কাজ করুন . সবকিছু "একসাথে আসা" আবশ্যক.

এর মৃত্যুদন্ড পরীক্ষা করা যাক যথেষ্ট শর্তপাওয়া স্থির বিন্দু জন্য extremum. আমি এই সমস্যা সমাধানের জন্য তিনটি পন্থা নিয়ে আলোচনা করব:

1) প্রথম পদ্ধতিটি একটি জ্যামিতিক ন্যায্যতা।

চলুন স্থির বিন্দুতে ফাংশনের মান গণনা করা যাক:

এর পরে, আমরা আনুমানিক নিম্নলিখিত বিষয়বস্তু সহ একটি বাক্যাংশ লিখি: একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডার দ্বারা একটি সমতলের একটি অংশ একটি উপবৃত্ত, যার উপরের শীর্ষে সর্বাধিক পৌঁছেছে এবং নীচের শীর্ষে সর্বনিম্ন। সুতরাং, একটি বৃহত্তর মান একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, এবং একটি ছোট মান একটি শর্তাধীন সর্বনিম্ন।

যদি সম্ভব হয়, এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা ভাল - এটি সহজ, এবং এই সিদ্ধান্ত শিক্ষকদের দ্বারা গণনা করা হয় (একটি বড় প্লাস হল যে আপনি বোঝাপড়া দেখিয়েছেন জ্যামিতিক অর্থকাজ). যাইহোক, যেমনটি ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, এটি সর্বদা পরিষ্কার হয় না কী কী এবং কোথায় ছেদ করে এবং তারপরে বিশ্লেষণাত্মক যাচাইকরণ উদ্ধারে আসে:

2) দ্বিতীয় পদ্ধতি দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল লক্ষণ ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে। যদি এটি দেখা যায় যে একটি স্থির বিন্দুতে, তাহলে ফাংশনটি সেখানে সর্বাধিক পৌঁছায়, কিন্তু যদি তা হয়, তবে এটি সর্বনিম্ন পৌঁছে যায়।

চল খুঁজি দ্বিতীয় আদেশ আংশিক ডেরিভেটিভস:

এবং এই পার্থক্য তৈরি করুন:

কখন , এর মানে হল যে ফাংশনটি বিন্দুতে সর্বোচ্চ পৌঁছে যায়;
at , যার অর্থ বিন্দুতে ফাংশনটি সর্বনিম্ন পৌঁছায় .

বিবেচিত পদ্ধতিটি খুব ভাল, তবে এর অসুবিধা রয়েছে যে কিছু ক্ষেত্রে ২য় ডিফারেনশিয়ালের চিহ্ন নির্ধারণ করা প্রায় অসম্ভব (সাধারণত এটি ঘটে যদি এবং/বা ভিন্ন লক্ষণ হয়). এবং তারপরে "ভারী কামান" উদ্ধারে আসে:

3) আসুন "X" এবং "Y" দ্বারা সংযোগ সমীকরণটি পার্থক্য করি:

এবং নিম্নলিখিত রচনা করুন প্রতিসম ম্যাট্রিক্স:

যদি একটি স্থির বিন্দুতে থাকে, তাহলে ফাংশনটি সেখানে পৌঁছে যায় ( মনোযোগ!) সর্বনিম্ন, যদি - তারপর সর্বাধিক।

মান এবং সংশ্লিষ্ট বিন্দুর জন্য ম্যাট্রিক্স লিখি:

এর হিসাব করা যাক নির্ধারক:
, এইভাবে, ফাংশন বিন্দুতে সর্বোচ্চ আছে।

একইভাবে মান এবং পয়েন্টের জন্য:

সুতরাং, ফাংশন বিন্দুতে একটি সর্বনিম্ন আছে.

উত্তর: দেত্তয়া আছে :

উপাদানটির পুঙ্খানুপুঙ্খ বিশ্লেষণের পরে, আমি কেবল সাহায্য করতে পারি না তবে আপনাকে একটি দম্পতি অফার করি সাধারণ কাজস্ব-পরীক্ষার জন্য:

উদাহরণ 2

ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি সন্ধান করুন যদি এর আর্গুমেন্টগুলি সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত হয়

উদাহরণ 3

শর্ত প্রদত্ত ফাংশনটির প্রান্তিকতা খুঁজুন

এবং আবার, আমি দৃঢ়ভাবে কাজগুলির জ্যামিতিক সারাংশ বোঝার সুপারিশ করছি, বিশেষ করে শেষ উদাহরণে, যেখানে একটি পর্যাপ্ত অবস্থার বিশ্লেষণাত্মক যাচাই একটি উপহার নয়। কি মনে রাখবেন ২য় অর্ডার লাইনসমীকরণ সেট করে, এবং কি পৃষ্ঠতলএই লাইন মহাকাশে উৎপন্ন হয়. কোন বক্ররেখা বরাবর সিলিন্ডার সমতলকে ছেদ করবে এবং কোথায় এই বক্ররেখায় সর্বনিম্ন থাকবে এবং কোথায় সর্বোচ্চ থাকবে তা বিশ্লেষণ করুন।

পাঠের শেষে সমাধান এবং উত্তর।

প্রশ্নে সমস্যা খুঁজে পাওয়া যায় ব্যাপক আবেদনবিভিন্ন ক্ষেত্রে, বিশেষ করে - আমরা জ্যামিতিতে বেশিদূর যাব না। আধা লিটারের বোতল নিয়ে সবার প্রিয় সমস্যার সমাধান করা যাক (নিবন্ধের 7 উদাহরণ দেখুনচরম চ্যালেঞ্জ ) দ্বিতীয় উপায়:

উদাহরণ 4

একটি নলাকার টিনের ক্যানের মাত্রা কী হওয়া উচিত যাতে ক্যানের আয়তন সমান হলে ক্যানটি তৈরি করতে ন্যূনতম পরিমাণ উপাদান ব্যবহার করা হয়

সমাধান: একটি পরিবর্তনশীল বেস ব্যাসার্ধ, একটি পরিবর্তনশীল উচ্চতা বিবেচনা করুন এবং ক্যানের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের একটি ফাংশন রচনা করুন:
(দুটি কভারের ক্ষেত্রফল + পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল)

• টিউটোরিয়াল

সবাই শুভ দিন. এই নিবন্ধে আমি একটি দেখাতে চান গ্রাফিক পদ্ধতিনির্মাণ গাণিতিক মডেলগতিশীল সিস্টেমের জন্য, যাকে বলা হয় বন্ড গ্রাফ("বন্ড" - সংযোগ, "গ্রাফ" - গ্রাফ)। রাশিয়ান সাহিত্যে, আমি শুধুমাত্র টমস্কির পাঠ্যপুস্তকে এই পদ্ধতির বর্ণনা পেয়েছি পলিটেকনিক বিশ্ববিদ্যালয়, A.V. ভোরোনিন "মেকাট্রনিক সিস্টেমের মডেলিং" 2008 এছাড়াও দেখান ক্লাসিক পদ্ধতি২য় ধরনের ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণের মাধ্যমে।

ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি

আমি তত্ত্বটি বর্ণনা করব না, আমি কয়েকটি মন্তব্য সহ হিসাবের পর্যায়গুলি দেখাব। ব্যক্তিগতভাবে, 10 বার তত্ত্ব পড়ার চেয়ে উদাহরণ থেকে শেখা আমার পক্ষে সহজ। এটা আমার কাছে মনে হয়েছিল যে রাশিয়ান সাহিত্যে, এই পদ্ধতির ব্যাখ্যা এবং প্রকৃতপক্ষে গণিত বা পদার্থবিদ্যা খুব সমৃদ্ধ। জটিল সূত্র, যার জন্য সেই অনুযায়ী একটি গুরুতর গাণিতিক পটভূমি প্রয়োজন। ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি অধ্যয়ন করার সময় (আমি ইতালির তুরিনের পলিটেকনিক বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করি), আমি গণনা পদ্ধতির তুলনা করার জন্য রাশিয়ান সাহিত্য অধ্যয়ন করেছি এবং এই পদ্ধতির সমাধানের অগ্রগতি অনুসরণ করা আমার পক্ষে কঠিন ছিল। এমনকি খারকভ এভিয়েশন ইনস্টিটিউটের মডেলিং কোর্সের কথা মনে রেখেও, এই জাতীয় পদ্ধতিগুলির উদ্ভাবন খুব কষ্টকর ছিল এবং কেউ এই সমস্যাটি বোঝার চেষ্টা করে নিজেদের বিরক্ত করেনি। এটিই আমি লেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, ল্যাগ্রেঞ্জ অনুসারে গাণিতিক মডেলগুলি তৈরির জন্য একটি ম্যানুয়াল, যেহেতু এটি দেখা গেছে এটি মোটেও কঠিন নয়, সময় এবং আংশিক ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভগুলি কীভাবে গণনা করা যায় তা জানা যথেষ্ট। আরও জটিল মডেলের জন্য, ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সগুলিও যোগ করা হয়, তবে তাদের মধ্যেও জটিল কিছু নেই।

মডেলিং পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য:

• নিউটন-অয়লার: গতিশীল ভারসাম্যের উপর ভিত্তি করে ভেক্টর সমীকরণ বলএবং মুহূর্ত
• ল্যাগ্রঞ্জ: গতি এবং সম্ভাবনার সাথে যুক্ত রাষ্ট্রীয় ফাংশনের উপর ভিত্তি করে স্কেলার সমীকরণ শক্তি
• বন্ড কাউন্ট: প্রবাহ ভিত্তিক পদ্ধতি ক্ষমতাসিস্টেম উপাদানগুলির মধ্যে

চলো আমরা শুরু করি সহজ উদাহরণ. বসন্ত এবং ড্যাম্পার সঙ্গে ভর. আমরা মাধ্যাকর্ষণ শক্তি উপেক্ষা.

আকার 1. বসন্ত এবং ড্যাম্পার সঙ্গে ভর

প্রথমত, আমরা মনোনীত করি:

• প্রাথমিক সিস্টেমস্থানাঙ্ক(NSK) বা স্থির এসকে R0(i0,j0,k0). কোথায়? আপনি আকাশের দিকে আপনার আঙুল নির্দেশ করতে পারেন, কিন্তু মস্তিষ্কের নিউরনের টিপস মোচড়ানোর মাধ্যমে, ধারণাটি M1 বডির নড়াচড়ার লাইনে NSC স্থাপনের মধ্য দিয়ে যায়।
• ভর দিয়ে প্রতিটি শরীরের জন্য সমন্বয় সিস্টেম(আমাদের M1 আছে R1(i1,j1,k1)), অভিযোজন নির্বিচারে হতে পারে, তবে কেন আপনার জীবনকে জটিল করে তুলুন, NSC থেকে ন্যূনতম পার্থক্য দিয়ে সেট করুন
• সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক q_i(সর্বনিম্ন সংখ্যক ভেরিয়েবল যা গতিবিধি বর্ণনা করতে পারে), এই উদাহরণে একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক রয়েছে, শুধুমাত্র j অক্ষ বরাবর চলাচল

চিত্র 2. আমরা স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক নামিয়ে রাখি

চিত্র 3. শরীরের অবস্থান এবং গতি M1

তারপরে আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করে ড্যাম্পারের জন্য গতি (C) এবং সম্ভাব্য (P) শক্তি এবং ডিসিপেটিভ ফাংশন (D) খুঁজে পাব:

চিত্র 4. সম্পূর্ণ সূত্রগতিসম্পর্কিত শক্তি

আমাদের উদাহরণে কোন ঘূর্ণন নেই, দ্বিতীয় উপাদানটি 0।

চিত্র 5. গতিবিদ্যা, সম্ভাব্য শক্তি এবং অপব্যয়কারী ফাংশনের গণনা

Lagrange সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্ম আছে:

চিত্র 6. Lagrange সমীকরণ এবং Lagrangian

ডেল্টা W_iএটি প্রয়োগকৃত শক্তি এবং মুহূর্ত দ্বারা সম্পন্ন ভার্চুয়াল কাজ। আসুন তাকে খুঁজে বের করি:

চিত্র 7. ভার্চুয়াল কাজের গণনা

কোথায় ডেল্টা q_1ভার্চুয়াল আন্দোলন।

আমরা Lagrange সমীকরণে সবকিছু প্রতিস্থাপন করি:

চিত্র 8. বসন্ত এবং দাম্পার সঙ্গে ফলে ভর মডেল

এখানেই ল্যাগ্রেঞ্জের পদ্ধতি শেষ হয়েছিল। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি এতটা জটিল নয়, তবে এটি এখনও একটি খুব সাধারণ উদাহরণ, যার জন্য সম্ভবত নিউটন-অয়লার পদ্ধতিটি আরও সহজ হবে। আরও জটিল সিস্টেমের জন্য, যেখানে বিভিন্ন কোণে একে অপরের সাপেক্ষে বেশ কয়েকটি দেহ ঘোরানো হবে, ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতিটি সহজ হবে।

বন্ড গ্রাফ পদ্ধতি

একটি ভর, একটি স্প্রিং এবং একটি ড্যাম্পার সহ উদাহরণের জন্য বন্ড-গ্রাফে মডেলটি কেমন দেখাচ্ছে তা আমি এখনই আপনাকে দেখাব:

চিত্র 9. স্প্রিং এবং ড্যাম্পার সহ বন্ড-গ্রাফ ভর

এখানে আপনাকে একটি সামান্য তত্ত্ব বলতে হবে, যা নির্মাণের জন্য যথেষ্ট হবে সহজ মডেল. কেউ আগ্রহী হলে বইটি পড়তে পারেন ( বন্ড গ্রাফ পদ্ধতি) বা ( ভোরোনিন A.V. মেকাট্রনিক সিস্টেমের মডেলিং: টিউটোরিয়াল. - টমস্ক: টমস্ক পলিটেকনিক ইউনিভার্সিটি পাবলিশিং হাউস, 2008).

আসুন প্রথমে এটি নির্ধারণ করি জটিল সিস্টেমবেশ কয়েকটি ডোমেন নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৈদ্যুতিক মোটর বৈদ্যুতিক এবং যান্ত্রিক অংশ বা ডোমেন নিয়ে গঠিত।

বন্ড গ্রাফএই ডোমেইন, সাবসিস্টেমগুলির মধ্যে শক্তি বিনিময়ের উপর ভিত্তি করে। মনে রাখবেন যে পাওয়ার এক্সচেঞ্জ, যে কোনও ফর্মের, সর্বদা দুটি ভেরিয়েবল দ্বারা নির্ধারিত হয় ( পরিবর্তনশীল শক্তি) যার সাহায্যে আমরা একটি গতিশীল সিস্টেমের মধ্যে বিভিন্ন সাবসিস্টেমের মিথস্ক্রিয়া অধ্যয়ন করতে পারি (টেবিল দেখুন)।

টেবিল থেকে দেখা যায়, ক্ষমতার প্রকাশ প্রায় সব জায়গায় একই। সংক্ষেপে, শক্তি- এই কাজ " প্রবাহ - চ" চালু " প্রচেষ্টা - ই».

একটি প্রচেষ্টা(ইংরেজি) প্রচেষ্টা) বৈদ্যুতিক ডোমেনে এটি ভোল্টেজ (ই), যান্ত্রিক ডোমেনে এটি বল (এফ) বা টর্ক (টি), হাইড্রলিক্সে এটি চাপ (পি)।

প্রবাহ(ইংরেজি) প্রবাহ) বৈদ্যুতিক ডোমেনে এটি বর্তমান (i), যান্ত্রিক ডোমেনে এটি গতি (v) বা কৌণিক বেগ(ওমেগা), হাইড্রলিক্সে – তরল প্রবাহ বা প্রবাহের হার (Q)।

এই স্বরলিপি গ্রহণ করে, আমরা শক্তির জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই:

চিত্র 10. পাওয়ার ভেরিয়েবলের মাধ্যমে পাওয়ার সূত্র

বন্ড-গ্রাফের ভাষায়, দুটি সাবসিস্টেমের মধ্যে সংযোগ যা শক্তি বিনিময় করে একটি বন্ড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। বন্ধন) তাই এই পদ্ধতি বলা হয় বন্ড-গ্রাফবা ছ raf-সংযোগ, সংযুক্ত গ্রাফ. চলো বিবেচনা করি ব্লক ডায়াগ্রামএকটি বৈদ্যুতিক মোটরের সাথে একটি মডেলের সংযোগ (এটি এখনও একটি বন্ড-গ্রাফ নয়):

চিত্র 11. ডোমেনের মধ্যে পাওয়ার প্রবাহের ব্লক ডায়াগ্রাম

যদি আমাদের একটি ভোল্টেজের উত্স থাকে, তবে সেই অনুযায়ী এটি ভোল্টেজ তৈরি করে এবং এটিকে ঘুরানোর জন্য মোটরটিতে স্থানান্তর করে (এ কারণেই তীরটি মোটরের দিকে পরিচালিত হয়), উইন্ডিংয়ের প্রতিরোধের উপর নির্ভর করে, ওহমের আইন অনুসারে একটি স্রোত উপস্থিত হয় (নির্দেশিত মোটর থেকে উৎস পর্যন্ত)। তদনুসারে, একটি ভেরিয়েবল হল সাবসিস্টেমের একটি ইনপুট, এবং দ্বিতীয়টি অবশ্যই হতে হবে প্রস্থানসাবসিস্টেম থেকে। এখানে ভোল্টেজ ( প্রচেষ্টা) - ইনপুট, বর্তমান ( প্রবাহ) - প্রস্থান করুন।

আপনি যদি একটি বর্তমান উৎস ব্যবহার করেন, তাহলে চিত্রটি কীভাবে পরিবর্তন হবে? ঠিক। কারেন্ট মোটরের দিকে এবং ভোল্টেজ উৎসের দিকে পরিচালিত হবে। তারপর বর্তমান ( প্রবাহ) - ইনপুট, ভোল্টেজ ( প্রচেষ্টা) - প্রস্থান করুন।

আসুন মেকানিক্সের একটি উদাহরণ দেখি। একটি ভর অভিনয় বল.

চিত্র 12. ভর প্রয়োগ করা হয়

ব্লক ডায়াগ্রামটি নিম্নরূপ হবে:

চিত্র 13. ব্লক ডায়াগ্রাম

এই উদাহরণে, শক্তি ( প্রচেষ্টা) - ভরের জন্য ইনপুট পরিবর্তনশীল। (ভরের উপর বল প্রয়োগ করা হয়েছে)
নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে:

ভর গতির সাথে সাড়া দেয়:

এই উদাহরণে, যদি একটি পরিবর্তনশীল ( বল - প্রচেষ্টা) হয় প্রবেশদ্বারযান্ত্রিক ডোমেনে, তারপর আরেকটি পাওয়ার ভেরিয়েবল ( গতি - প্রবাহ) - স্বয়ংক্রিয়ভাবে হয়ে যায় প্রস্থান.

ইনপুট কোথায় এবং আউটপুট কোথায় তা পার্থক্য করতে, উপাদানগুলির মধ্যে তীর (সংযোগ) এর শেষে একটি উল্লম্ব রেখা ব্যবহার করা হয়, এই লাইনটিকে বলা হয় কার্যকারণ লক্ষণ বা কার্যকারণ (কার্যকারণ) এটি সক্রিয় আউট: প্রয়োগ বল কারণ, এবং গতি প্রভাব. এই চিহ্নটি একটি সিস্টেম মডেলের সঠিক নির্মাণের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ কার্যকারণ একটি পরিণতি শারীরিক আচরণএবং দুটি সাবসিস্টেমের ক্ষমতার বিনিময়, তাই কার্যকারণ চিহ্নের অবস্থানের পছন্দ নির্বিচারে হতে পারে না।

চিত্র 14. কার্যকারণ উপাধি

এই উল্লম্ব রেখা দেখায় কোন সাবসিস্টেম বল গ্রহণ করে ( প্রচেষ্টা) এবং ফলস্বরূপ একটি প্রবাহ উৎপন্ন করে ( প্রবাহ) ভর সহ উদাহরণে এটি এরকম হবে:

চিত্র 14. ভরের উপর ক্রিয়াশীল শক্তির জন্য কার্যকারণ সম্পর্ক

এটি তীর থেকে স্পষ্ট যে ভরের জন্য ইনপুট হল - বল, এবং আউটপুট হয় গতি. এটি করা হয় যাতে তীর দিয়ে ডায়াগ্রামটি বিশৃঙ্খল না হয় এবং মডেলটির নির্মাণকে সুশৃঙ্খল না করে।

পরবর্তী গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট. সাধারণীকৃত আবেগ(আন্দোলনের পরিমাণ) এবং চলন্ত(শক্তি ভেরিয়েবল).

বিভিন্ন ডোমেনে শক্তি এবং শক্তির ভেরিয়েবলের সারণী

উপরের টেবিলটি বন্ড-গ্রাফ পদ্ধতিতে ব্যবহৃত দুটি অতিরিক্ত শারীরিক পরিমাণের পরিচয় দেয়। তাদের ডাকা হয় সাধারণীকৃত আবেগ (আর) এবং সাধারণীকৃত আন্দোলন (q) বা শক্তি ভেরিয়েবল, এবং তারা সময়ের সাথে পাওয়ার ভেরিয়েবলগুলিকে একীভূত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

চিত্র 15. শক্তি এবং শক্তি ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক

বৈদ্যুতিক ডোমেনে :

ফ্যারাডে আইনের উপর ভিত্তি করে, ভোল্টেজ, বৈদ্যুতিক একক বিশেষকন্ডাকটরের শেষ প্রান্তে এই কন্ডাক্টরের মাধ্যমে ম্যাগনেটিক ফ্লাক্সের ডেরিভেটিভের সমান।

ক বর্তমান শক্তি - শারীরিক পরিমাণ, কিছু সময়ের মধ্য দিয়ে যাওয়া চার্জ Q এর অনুপাতের সমান প্রস্থচ্ছেদকন্ডাক্টর, সময়ের এই সময়ের মান।

যান্ত্রিক ডোমেইন:

নিউটনের ২য় সূত্র থেকে, বল– আবেগের সময় ডেরিভেটিভ

এবং অনুরূপভাবে, গতিস্থানচ্যুতির সময় ডেরিভেটিভ:

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:

মৌলিক উপাদান

গতিশীল সিস্টেমের সমস্ত উপাদানকে দুই-মেরু এবং চার-মেরু উপাদানে ভাগ করা যায়।
চলো বিবেচনা করি বাইপোলার উপাদান:

সূত্র
প্রচেষ্টা এবং প্রবাহ উভয়ের উত্স রয়েছে। বৈদ্যুতিক ডোমেনে সাদৃশ্য: প্রচেষ্টার উৎস – বিভব উৎস, স্ট্রিম উৎস – বর্তমান উৎস. উত্সগুলির জন্য কার্যকারণ লক্ষণগুলি কেবল এইরকম হওয়া উচিত।

চিত্র 16. কার্যকারণ সংযোগ এবং উত্সের পদবি

উপাদান আর - অপসারণকারী উপাদান

উপাদান I - জড় উপাদান

উপাদান গ - ক্যাপাসিটিভ উপাদান

পরিসংখ্যান থেকে দেখা যায়, একই উপাদান বিভিন্ন R, C, I টাইপ করুনএকই সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত। বৈদ্যুতিক ক্যাপাসিট্যান্সের জন্য শুধুমাত্র একটি পার্থক্য আছে, আপনাকে এটি মনে রাখতে হবে!

চতুর্ভুজ উপাদান:

আসুন দুটি উপাদান দেখুন: একটি ট্রান্সফরমার এবং একটি গাইরেটর।

বন্ড-গ্রাফ পদ্ধতির শেষ গুরুত্বপূর্ণ উপাদান হল সংযোগ। দুই ধরনের নোড আছে:

যে উপাদান সঙ্গে এটা.

একটি বন্ড-গ্রাফ নির্মাণের পর কার্যকারণ সম্পর্ক স্থাপনের প্রধান পদক্ষেপ:

1. সবাইকে কার্যকারণ সংযোগ দিন সূত্র
2. সমস্ত নোডের মধ্য দিয়ে যান এবং পয়েন্ট 1 এর পরে কার্যকারণ সম্পর্ক স্থাপন করুন
3. জন্য উপাদান Iএকটি ইনপুট কার্যকারণ সম্পর্ক নির্ধারণ করুন (প্রচেষ্টা এই উপাদান অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে), জন্য উপাদান সিআউটপুট কার্যকারণ নির্ধারণ করুন (প্রচেষ্টা এই উপাদান থেকে বেরিয়ে আসে)
4. পয়েন্ট 2 পুনরাবৃত্তি করুন
5. জন্য কার্যকারণ সংযোগ সন্নিবেশ করান R উপাদান

এটি তত্ত্বের উপর মিনি-কোর্সটি শেষ করে। এখন আমাদের কাছে মডেল তৈরির জন্য যা যা প্রয়োজন তা আমাদের কাছে রয়েছে।
উদাহরণ কয়েক সমাধান করা যাক. চলুন একটি বৈদ্যুতিক সার্কিট দিয়ে শুরু করা যাক, একটি বন্ড-গ্রাফ নির্মাণের সাদৃশ্য বোঝা ভাল।

উদাহরণ 1

আসুন একটি ভোল্টেজের উত্স সহ একটি বন্ড-গ্রাফ তৈরি করা শুরু করি। শুধু Se লিখুন এবং একটি তীর রাখুন।

দেখুন, সবকিছু সহজ! আসুন আরও দেখি, আর এবং এল সিরিজে সংযুক্ত, যার অর্থ তাদের মধ্যে একই কারেন্ট প্রবাহ, যদি আমরা পাওয়ার ভেরিয়েবলে কথা বলি - একই প্রবাহ। কোন নোড একই প্রবাহ আছে? সঠিক উত্তর হল 1-নোড। আমরা 1-নোডের সাথে সোর্স, রেজিস্ট্যান্স (কম্পোনেন্ট - R) এবং ইনডাক্টেন্স (কম্পোনেন্ট - I) সংযোগ করি।

এর পরে, আমাদের সমান্তরালভাবে ক্যাপাসিট্যান্স এবং রেজিস্ট্যান্স রয়েছে, যার অর্থ তাদের একই ভোল্টেজ বা বল রয়েছে। 0-নোড অন্য কোন মত উপযুক্ত. আমরা ক্যাপাসিট্যান্স (কম্পোনেন্ট C) এবং রেজিস্ট্যান্স (কম্পোনেন্ট R) কে 0-নোডের সাথে সংযুক্ত করি।

আমরা নোড 1 এবং 0 একে অপরের সাথে সংযুক্ত করি। তীরগুলির দিক নির্বিচারে বেছে নেওয়া হয়; সংযোগের দিকটি শুধুমাত্র সমীকরণের চিহ্নকে প্রভাবিত করে।

আপনি নিম্নলিখিত সংযোগ গ্রাফ পাবেন:

এখন আমাদের কার্যকারণ সম্পর্ক স্থাপন করতে হবে। তাদের বসানোর ক্রম নির্দেশাবলী অনুসরণ করে, উৎস দিয়ে শুরু করা যাক।

1. আমাদের ভোল্টেজ (প্রচেষ্টা) এর একটি উৎস রয়েছে, এই জাতীয় উত্সের কার্যকারণের একটি মাত্র বৈকল্পিক রয়েছে - আউটপুট। এর উপর করা যাক.
2. এর পরে কম্পোনেন্ট I আছে, তারা কী সুপারিশ করে তা দেখা যাক। আমরা রাখি
3. আমরা 1-নোডের জন্য এটি নিচে রাখা. খাওয়া
4. একটি 0-নোডে অবশ্যই একটি ইনপুট এবং সমস্ত আউটপুট কার্যকারণ সংযোগ থাকতে হবে। আপাতত আমাদের একদিন ছুটি আছে। আমরা C বা I এর উপাদান খুঁজছি। আমরা এটি পেয়েছি। আমরা রাখি
5. কি বাকি আছে তালিকা করা যাক

এখানেই শেষ. বন্ড গ্রাফ নির্মিত হয়. হুররে, কমরেডস!

যা অবশিষ্ট থাকে তা হল সেই সমীকরণগুলি লিখতে যা আমাদের সিস্টেমকে বর্ণনা করে। এটি করার জন্য, 3টি কলাম সহ একটি টেবিল তৈরি করুন। প্রথমটিতে সিস্টেমের সমস্ত উপাদান থাকবে, দ্বিতীয়টিতে প্রতিটি উপাদানের জন্য ইনপুট ভেরিয়েবল থাকবে এবং তৃতীয়টিতে একই উপাদানের জন্য আউটপুট ভেরিয়েবল থাকবে। আমরা ইতিমধ্যেই কার্যকারণ সম্পর্ক দ্বারা ইনপুট এবং আউটপুট সংজ্ঞায়িত করেছি। তাই কোনো সমস্যা হওয়া উচিত নয়।

লেভেল রেকর্ড করার সুবিধার জন্য প্রতিটি সংযোগ সংখ্যা করা যাক। আমরা C, R, I উপাদানগুলির তালিকা থেকে প্রতিটি উপাদানের জন্য সমীকরণ গ্রহণ করি।

একটি টেবিল কম্পাইল করার পরে, আমরা স্টেট ভেরিয়েবলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি, এই উদাহরণে তাদের মধ্যে 2টি রয়েছে, p3 এবং q5। পরবর্তীতে আপনাকে রাষ্ট্রের সমীকরণগুলি লিখতে হবে:

এটা, মডেল প্রস্তুত.

উদাহরণ 2. আমি অবিলম্বে ছবির মানের জন্য ক্ষমা চাইতে চাই, প্রধান জিনিস হল যে আপনি পড়তে পারেন

আসুন একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য আরেকটি উদাহরণ সমাধান করি, যেটি আমরা ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করেছি। আমি মন্তব্য ছাড়া সমাধান দেখাব। আসুন এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে কোনটি সহজ এবং সহজ তা পরীক্ষা করে দেখি।

মাতবালায়, একই প্যারামিটার সহ উভয় গাণিতিক মডেল সংকলিত হয়েছিল, ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি এবং বন্ড-গ্রাফ দ্বারা প্রাপ্ত। ফলাফল নীচে: ট্যাগ যোগ করুন

প্রথমে, দুটি চলকের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। $M_0(x_0;y_0)$ বিন্দুতে একটি ফাংশনের $z=f(x,y)$ শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম হল এই ফাংশনের এক্সট্রিমাম, এই শর্তে অর্জন করা হয়েছে যে ভেরিয়েবল $x$ এবং $y$ এই বিন্দুর আশেপাশে সংযোগ সমীকরণ $\ varphi (x,y)=0$ সন্তুষ্ট করে।

নাম "শর্তসাপেক্ষ" extremum কারণ যে ভেরিয়েবল সাপেক্ষে হয় অতিরিক্ত শর্ত$\varphi(x,y)=0$। যদি একটি ভেরিয়েবলকে সংযোগ সমীকরণ থেকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত নির্ধারণের সমস্যাটি একটি চলকের একটি ফাংশনের স্বাভাবিক প্রান্ত নির্ণয়ের সমস্যা থেকে হ্রাস পায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সংযোগ সমীকরণটি বোঝায় $y=\psi(x)$, তাহলে $y=\psi(x)$ কে $z=f(x,y)$ এ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা একটি ভেরিয়েবল $z এর একটি ফাংশন পাই =f\বাম (x,\psi(x)\right)$। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেযাইহোক, এই পদ্ধতিটি খুব কম কাজে লাগে, তাই একটি নতুন অ্যালগরিদম প্রবর্তন প্রয়োজন।

দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য Lagrange গুণক পদ্ধতি।

ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিতে একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার জন্য একটি ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন তৈরি করা হয়: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ প্যারামিটার বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক)। চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি সমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় যেখান থেকে স্থির বিন্দুগুলি নির্ধারণ করা হয়:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

একটি পর্যাপ্ত শর্ত যেখান থেকে কেউ এক্সট্রিমমের প্রকৃতি নির্ধারণ করতে পারে তা হল $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$। যদি একটি স্থির বিন্দুতে $d^2F > 0$ হয়, তাহলে এই বিন্দুতে $z=f(x,y)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম আছে, কিন্তু যদি $d^2F< 0$, то условный максимум.

Extremum প্রকৃতি নির্ধারণ করার আরেকটি উপায় আছে। কাপলিং সমীকরণ থেকে আমরা পাই: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, তাই যেকোনো স্থির বিন্দুতে আমাদের আছে:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^(")^2 F_(yy)^ ("") \ ডান)$$

দ্বিতীয় ফ্যাক্টর (বন্ধনীতে অবস্থিত) এই ফর্মটিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

নির্ধারক $\left| এর উপাদানগুলি লাল রঙে হাইলাইট করা হয়েছে। \\ শুরু(অ্যারে) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \শেষ (অ্যারে)\right|$, যা Lagrange ফাংশনের হেসিয়ান। যদি $H > 0$, তাহলে $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, অর্থাৎ আমাদের কাছে $z=f(x,y)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম রয়েছে।

নির্ধারক $H$ এর স্বরলিপি সংক্রান্ত একটি নোট। দেখান\লুকান

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ শেষ(অ্যারে) \right| $$

এই পরিস্থিতিতে, উপরে প্রণয়ন করা নিয়মটি নিম্নরূপ পরিবর্তিত হবে: যদি $H > 0$, তাহলে ফাংশনটির একটি শর্তাধীন সর্বনিম্ন থাকে, এবং যদি $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন অধ্যয়নের জন্য অ্যালগরিদম

1. Lagrange ফাংশন রচনা করুন $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. সিস্টেমটি সমাধান করুন $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0। \end(সারিবদ্ধ) \right.$
3. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে পাওয়া প্রতিটি স্থির বিন্দুতে চরমের প্রকৃতি নির্ধারণ করুন। এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত যে কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করুন:
   • $H$ এর নির্ধারক রচনা করুন এবং এর চিহ্নটি সন্ধান করুন
   • কাপলিং সমীকরণ বিবেচনা করে, $d^2F$ এর চিহ্নটি গণনা করুন

n ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য Lagrange গুণক পদ্ধতি

ধরা যাক আমাদের $n$ ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন আছে $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ এবং $m$ কাপলিং সমীকরণ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange গুণককে $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ হিসাবে চিহ্নিত করে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের উপস্থিতির জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি একটি সমীকরণের সিস্টেম দ্বারা দেওয়া হয় যেখান থেকে স্থির বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক এবং ল্যাগ্রেঞ্জ গুণকগুলির মানগুলি পাওয়া যায়:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ওভারলাইন(1,মি)) \end(সারিবদ্ধ) \right.$$

আপনি $d^2F$ চিহ্নটি ব্যবহার করে, আগের মতই, একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বা শর্তযুক্ত সর্বোচ্চ আছে কিনা তা খুঁজে পেতে পারেন। যদি পাওয়া বিন্দুতে $d^2F > 0$, তাহলে ফাংশনটির শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম থাকে, কিন্তু যদি $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক $\left| \begin(অ্যারে) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) এবং \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots &\frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\আংশিক x_(2)\আংশিক x_(3)) &\ldots এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(2)\আংশিক x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\আংশিক x_(3) \আংশিক x_(1)) এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)\আংশিক x_(2)) এবং \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\আংশিক x_(3)\আংশিক x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots &\frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( অ্যারে) \right|$, ম্যাট্রিক্সে লাল রঙে হাইলাইট করা $L$, হল Lagrange ফাংশনের হেসিয়ান। আমরা নিম্নলিখিত নিয়ম ব্যবহার করি:

• যদি কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের লক্ষণ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ম্যাট্রিক্স $L$ $(-1)^m$ এর চিহ্নের সাথে মিলে যায়, তারপর অধ্যয়নের অধীনে থাকা স্থির বিন্দু হল ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বিন্দু z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।
• যদি কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের লক্ষণ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ বিকল্প, এবং অপ্রাপ্তবয়স্ক $H_(2m+1)$ $(-1)^(m+1) সংখ্যার চিহ্নের সাথে মিলে যায় )$, তারপর স্থির বিন্দু হল ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ বিন্দু $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$।

উদাহরণ নং 1

$x^2+y^2=10$ শর্তের অধীনে $z(x,y)=x+3y$ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি খুঁজুন।

এই সমস্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ: আপনাকে সবচেয়ে বড় এবং খুঁজে বের করতে হবে ক্ষুদ্রতম মানসিলিন্ডার $x^2+y^2=10$ এর সাথে ছেদ বিন্দুর জন্য সমতল $z=x+3y$ এর প্রয়োগ।

কাপলিং সমীকরণ থেকে একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা এবং এটিকে $z(x,y)=x+3y$ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করা কিছুটা কঠিন, তাই আমরা Lagrange পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ বোঝাতে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\আংশিক) F)(\আংশিক x)=1+2\lambda x; \frac(\আংশিক F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

ল্যাগ্রাঞ্জ ফাংশনের স্থির বিন্দু নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম লিখি:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0। \end (সারিবদ্ধ)\right।$$

যদি আমরা ধরে নিই $\lambda=0$, তাহলে প্রথম সমীকরণটি হবে: $1=0$। ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব নির্দেশ করে যে $\lambda\neq 0$। $\lambda\neq 0$ শর্তের অধীনে, প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমাদের আছে: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $ প্রাপ্ত মানগুলিকে তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2)। \end(সারিবদ্ধ) \right।\\ \begin(সারিবদ্ধ) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(সারিবদ্ধ) $$

সুতরাং, সিস্টেমের দুটি সমাধান রয়েছে: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ এবং $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$। আসুন প্রতিটি স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিম্যামের প্রকৃতি খুঁজে বের করি: $M_1(1;3)$ এবং $M_2(-1;-3)$। এটি করার জন্য, আমরা প্রতিটি বিন্দুতে $H$ এর নির্ধারক গণনা করি।

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(অ্যারে) \right|= \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right| $$

$M_1(1;3)$ বিন্দুতে আমরা পাই: $H=8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, তাই পয়েন্ট $M_1(1;3)$ ফাংশন $z(x,y)=x+3y$ এর একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=z(1;3)=10$ আছে।

একইভাবে, $M_2(-1,-3)$ বিন্দুতে আমরা পাই: $H=8\cdot\left| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(অ্যারে) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$। যেহেতু $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

আমি লক্ষ্য করি যে প্রতিটি পয়েন্টে নির্ধারক $H$ এর মান গণনা করার পরিবর্তে, এটিকে প্রসারিত করা অনেক বেশি সুবিধাজনক সাধারণ দৃষ্টিকোণ. বিশদ সহ পাঠ্যকে বিশৃঙ্খল না করার জন্য, আমি একটি নোটের নীচে এই পদ্ধতিটি লুকিয়ে রাখব।

সাধারণ আকারে নির্ধারক $H$ লেখা। দেখান\লুকান

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(অ্যারে)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right)। $$

নীতিগতভাবে, $H$-এর কী চিহ্ন রয়েছে তা ইতিমধ্যেই স্পষ্ট৷ যেহেতু $M_1$ বা $M_2$ এর কোনোটিই মূলের সাথে মিলে না, তাহলে $y^2+x^2>0$। অতএব, $H$ এর চিহ্নটি $\lambda$ এর চিহ্নের বিপরীত। আপনি গণনা সম্পূর্ণ করতে পারেন:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40। \end(সারিবদ্ধ) $$

$M_1(1;3)$ এবং $M_2(-1;-3)$ নির্ধারক $H$ ব্যবহার না করেই স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিমামের প্রকৃতি সম্পর্কে প্রশ্নটি সমাধান করা যেতে পারে। আসুন প্রতিটি স্থির বিন্দুতে $d^2F$ এর চিহ্ন খুঁজে বের করি:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

আমি মনে করি যে স্বরলিপি $dx^2$ মানে ঠিক $dx$ দ্বিতীয় শক্তিতে উত্থাপিত, যেমন $\left(dx \right)^2$। তাই আমাদের আছে: $dx^2+dy^2>0$, অতএব, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ দিয়ে আমরা $d^2F পাব< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

উত্তর: বিন্দুতে $(-1;-3)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম, $z_(\min)=-10$ আছে। বিন্দুতে $(1;3)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ আছে, $z_(\max)=10$

উদাহরণ নং 2

$x+y=0$ শর্তের অধীনে $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তটি খুঁজুন।

প্রথম পদ্ধতি (ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি)

$\varphi(x,y)=x+y$ বোঝাতে, আমরা Lagrange ফাংশন রচনা করি: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$।

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, আমরা পাই: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ এবং $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$। আমাদের দুটি স্থির বিন্দু আছে: $M_1(0;0)$ এবং $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$। আসুন নির্ধারক $H$ ব্যবহার করে প্রতিটি স্থির বিন্দুতে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি খুঁজে বের করি।

$$H=\বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(অ্যারে) \right|= \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(অ্যারে) \right|=-10-18y $$

বিন্দুতে $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, তাই এই মুহুর্তে ফাংশনটির একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=\frac(500)(243)$ আছে।

আমরা $d^2F$ চিহ্নের উপর ভিত্তি করে একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতিটি পয়েন্টে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি তদন্ত করি:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

সংযোগ সমীকরণ $x+y=0$ থেকে আমাদের আছে: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$।

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

যেহেতু $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, তাহলে $M_1(0;0)$ হল $z(x,y)=3y^3+ ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ সর্বনিম্ন বিন্দু 4x^ 2-xy$। একইভাবে, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

দ্বিতীয় উপায়

সংযোগ সমীকরণ $x+y=0$ থেকে আমরা পাই: $y=-x$। $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ফাংশনে $y=-x$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা $x$ ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশন পাই। আসুন এই ফাংশনটিকে $u(x)$ হিসাবে চিহ্নিত করি:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2। $$

এইভাবে, আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটিকে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের প্রান্ত নির্ধারণের সমস্যাকে কমিয়ে দিয়েছি।

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9)। $$

আমরা $M_1(0;0)$ এবং $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ পয়েন্ট পেয়েছি। একটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের কোর্স থেকে আরও গবেষণা জানা যায়। প্রতিটি স্থির বিন্দুতে $u_(xx)^("")$ এর চিহ্ন পরীক্ষা করে বা পাওয়া বিন্দুতে $u_(x)^(")$ এর চিহ্নের পরিবর্তন পরীক্ষা করে, আমরা একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যখন প্রথম উপায়ে সমাধান করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা $u_(xx)^("")$ চিহ্নটি পরীক্ষা করব:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

যেহেতু $u_(xx)^("")(M_1)>0$, তাহলে $M_1$ হল ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু $u(x)$, এবং $u_(\min)=u(0)=0 $ যেহেতু $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

একটি প্রদত্ত সংযোগ শর্তের জন্য $u(x)$ ফাংশনের মানগুলি $z(x,y)$ ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়, যেমন $u(x)$ ফাংশনের পাওয়া এক্সট্রিমা হল $z(x,y)$ ফাংশনের চাওয়া শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমা।

উত্তর: $(0;0)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ ন্যূনতম, $z_(\min)=0$ আছে। $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ বিন্দুতে ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$।

আসুন আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক যেখানে আমরা $d^2F$-এর চিহ্ন নির্ধারণ করে এক্সট্রিমমের প্রকৃতিকে স্পষ্ট করব।

উদাহরণ নং 3

$z=5xy-4$ ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন যদি $x$ এবং $y$ ভেরিয়েবলগুলি ধনাত্মক হয় এবং $\frac(x^2)(8)+\frac( কাপলিং সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। y^2)(2) -1=0$।

চলুন Lagrange ফাংশন রচনা করি: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$। চলুন Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দু খুঁজে বের করা যাক:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(সারিবদ্ধ) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0। \end(সারিবদ্ধ) \right। $$

পরবর্তী সমস্ত রূপান্তর $x > 0 বিবেচনায় নিয়ে করা হয়; \; y > 0$ (এটি সমস্যা বিবৃতিতে উল্লেখ করা হয়েছে)। দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা $\lambda=-\frac(5x)(y)$ প্রকাশ করি এবং পাওয়া মানটিকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$। তৃতীয় সমীকরণে $x=2y$ প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$।

যেহেতু $y=1$, তারপর $x=2$, $\lambda=-10$। আমরা $d^2F$ এর চিহ্নের উপর ভিত্তি করে $(2;1)$ বিন্দুতে এক্সট্রিমমের প্রকৃতি নির্ধারণ করি।

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

যেহেতু $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, তারপর:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)। $$

নীতিগতভাবে, এখানে আপনি অবিলম্বে স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করতে পারেন $x=2$, $y=1$ এবং পরামিতি $\lambda=-10$, প্রাপ্ত করে:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2)।\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2। $$

যাইহোক, শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমেমের অন্যান্য সমস্যাগুলিতে বেশ কয়েকটি স্থির বিন্দু থাকতে পারে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সাধারণ আকারে $d^2F$ উপস্থাপন করা ভাল, এবং তারপর পাওয়া স্থির বিন্দুগুলির প্রতিটির স্থানাঙ্কগুলিকে ফলাফলের অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করুন:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2। $$

যেহেতু $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

উত্তর: বিন্দুতে $(2;1)$ ফাংশনের একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ, $z_(\max)=6$ আছে।

পরবর্তী অংশে আমরা আরও সংখ্যক ভেরিয়েবলের ফাংশনের জন্য ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতির প্রয়োগ বিবেচনা করব।

Lagrange গুণক পদ্ধতি।

Lagrange গুণক পদ্ধতি হল এমন একটি পদ্ধতি যা আপনাকে সমস্যাগুলি ছাড়াই সমাধান করতে দেয় রৈখিক প্রোগ্রামিং.

অরৈখিক প্রোগ্রামিং হল গাণিতিক প্রোগ্রামিংয়ের একটি শাখা যা একটি অরৈখিক অবজেক্টিভ ফাংশন এবং অরৈখিক সীমাবদ্ধতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্ভাব্য সমাধানগুলির একটি অঞ্চলের সাথে চরম সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করে। অর্থনীতিতে, এটি এই সত্যের সাথে মিলে যায় যে ফলাফল (দক্ষতা) সম্পদ ব্যবহারের স্কেলের পরিবর্তনের (অথবা, একই রকম, উৎপাদনের স্কেল) পরিবর্তনের সাথে অসামঞ্জস্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়: উদাহরণস্বরূপ, উৎপাদন খরচের বিভাজনের কারণে পরিবর্তনশীল এবং আধা-স্থির মধ্যে উদ্যোগ; পণ্যের চাহিদার সম্পৃক্ততার কারণে, যখন প্রতিটি পরবর্তী ইউনিট আগেরটির তুলনায় বিক্রি করা আরও কঠিন, ইত্যাদি।

অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা একটি নির্দিষ্ট সর্বোত্তম খুঁজে বের করার সমস্যা হিসাবে জাহির করা হয় উদ্দেশ্য ফাংশন

F(x 1 ,…x n), চ (এক্স) → সর্বোচ্চ

যখন শর্ত পূরণ করা হয়

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (এক্স) ≤ খ , এক্স ≥ 0

কোথায় এক্স- প্রয়োজনীয় ভেরিয়েবলের ভেক্টর;

চ (এক্স) -উদ্দেশ্য ফাংশন;

g (এক্স) - সীমাবদ্ধতা ফাংশন (নিরন্তর পার্থক্যযোগ্য);

খ - সীমাবদ্ধ ধ্রুবকের ভেক্টর।

একটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যার সমাধান (বিশ্বব্যাপী সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন) হয় সীমানা বা গ্রহণযোগ্য সেটের অভ্যন্তরের অন্তর্গত হতে পারে।

একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার বিপরীতে, একটি অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যায় সর্বোত্তম অগত্যা সীমাবদ্ধতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত অঞ্চলের সীমানায় থাকে না। অন্য কথায়, কাজটি হ'ল বৈষম্যের আকারে বিধিনিষেধের একটি সিস্টেমের সাপেক্ষে ভেরিয়েবলের এই জাতীয় অ-নেতিবাচক মান নির্বাচন করা, যার অধীনে একটি প্রদত্ত ফাংশনের সর্বাধিক (বা সর্বনিম্ন) অর্জন করা হয়। এই ক্ষেত্রে, বস্তুনিষ্ঠ ফাংশন বা অসমতার ফর্মগুলি নির্দিষ্ট করা হয় না। হতে পারে বিভিন্ন ক্ষেত্রে: উদ্দেশ্য ফাংশন অরৈখিক, এবং সীমাবদ্ধতা রৈখিক; উদ্দেশ্য ফাংশন রৈখিক, এবং সীমাবদ্ধতা (অন্তত একটি) অরৈখিক; উদ্দেশ্য ফাংশন এবং সীমাবদ্ধতা উভয়ই অরৈখিক।

ননলাইনার প্রোগ্রামিংয়ের সমস্যা প্রাকৃতিক বিজ্ঞান, প্রযুক্তি, অর্থনীতি, গণিত এবং এর ক্ষেত্রে পাওয়া যায় ব্যবসায়িক সম্পর্কএবং সরকারের বিজ্ঞানে।

ননলাইনার প্রোগ্রামিং, উদাহরণস্বরূপ, একটি মৌলিক অর্থনৈতিক সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। এইভাবে, সীমিত সম্পদ বরাদ্দের সমস্যায়, হয় দক্ষতা বা, যদি ভোক্তা অধ্যয়ন করা হয়, সম্পদের অভাবের শর্তগুলি প্রকাশ করে এমন বিধিনিষেধের উপস্থিতিতে খরচ সর্বাধিক করা হয়। এই ধরনের একটি সাধারণ সূত্রে, সমস্যার গাণিতিক গঠন অসম্ভব হতে পারে, তবে নির্দিষ্ট প্রয়োগে সমস্ত ফাংশনের পরিমাণগত ফর্ম সরাসরি নির্ধারণ করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, শিল্প উদ্যোগপ্লাস্টিক পণ্য উত্পাদন করে। উৎপাদন দক্ষতা এখানে লাভ দ্বারা পরিমাপ করা হয়, এবং সীমাবদ্ধতা নগদ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় কর্মশক্তি, উত্পাদন এলাকা, সরঞ্জাম কর্মক্ষমতা, ইত্যাদি

খরচ-কার্যকারিতা পদ্ধতিটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং স্কিমের সাথেও ফিট করে। এই পদ্ধতিসরকারে সিদ্ধান্ত গ্রহণে ব্যবহারের জন্য তৈরি করা হয়েছিল। দক্ষতার একটি সাধারণ কাজ হল কল্যাণ। এখানে দুটি অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা দেখা দেয়: প্রথমটি হল সীমিত খরচে প্রভাবকে সর্বাধিক করা, দ্বিতীয়টি হল খরচ কমিয়ে দেওয়া যদি প্রভাবটি একটি নির্দিষ্ট ন্যূনতম স্তরের উপরে থাকে। এই সমস্যাটি সাধারণত ননলাইনার প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে ভালভাবে মডেল করা হয়।

একটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের ফলাফল সরকারী সিদ্ধান্ত নিতে সহায়ক। ফলস্বরূপ সমাধানটি অবশ্যই প্রস্তাবিত, তাই চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত নেওয়ার আগে ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যার অনুমান এবং নির্ভুলতা পরীক্ষা করা প্রয়োজন।

অরৈখিক সমস্যাগুলি জটিল; রৈখিক সমস্যাগুলির দিকে নিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে সেগুলি প্রায়শই সরলীকৃত হয়। এটি করার জন্য, এটি প্রচলিতভাবে অনুমান করা হয় যে একটি নির্দিষ্ট এলাকায় উদ্দেশ্য ফাংশন স্বাধীন ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের অনুপাতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। এই পদ্ধতিটিকে টুকরো টুকরো রৈখিক অনুমান পদ্ধতি বলা হয়; তবে, এটি শুধুমাত্র নির্দিষ্ট ধরণের অরৈখিক সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

কিছু শর্তের অধীনে অরৈখিক সমস্যাগুলি Lagrange ফাংশন ব্যবহার করে সমাধান করা হয়: এর স্যাডল পয়েন্ট খুঁজে বের করে, সমস্যার সমাধান খুঁজে পাওয়া যায়। কম্পিউটেশনাল অ্যালগরিদমগুলির মধ্যে এন. পি. দারুন জায়গাদখল করা গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি. অরৈখিক সমস্যার জন্য কোন সার্বজনীন পদ্ধতি নেই এবং, দৃশ্যত, নাও হতে পারে, যেহেতু তারা অত্যন্ত বৈচিত্র্যময়। মাল্টিএক্সট্রিমাল সমস্যাগুলি সমাধান করা বিশেষত কঠিন।

একটি পদ্ধতি যা আপনাকে সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান করার জন্য একটি ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা কমাতে দেয় তা হল অনির্দিষ্ট গুণকের ল্যাগ্রঞ্জ পদ্ধতি।

Lagrange গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা মূলত প্রতিষ্ঠা করি প্রয়োজনীয় শর্তাবলী, সমতা আকারে সীমাবদ্ধতা সহ অপ্টিমাইজেশান সমস্যার সর্বোত্তম পয়েন্ট সনাক্ত করার অনুমতি দেয়। এই ক্ষেত্রে, বিধিনিষেধের সমস্যাটি একটি সমতুল্য সমস্যায় রূপান্তরিত হয় শর্তহীন অপ্টিমাইজেশান, যা Lagrange গুণক নামে কিছু অজানা পরামিতি জড়িত।

ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিটি একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের সমস্যাগুলিকে একটি সহায়ক ফাংশনের নিঃশর্ত প্রান্তের সমস্যাগুলিকে হ্রাস করে - তথাকথিত। Lagrange ফাংশন.

একটি ফাংশনের চরম সমস্যার জন্য চ(x 1, x 2,..., x n) শর্তে (সীমাবদ্ধতা সমীকরণ) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., মি, Lagrange ফাংশন ফর্ম আছে

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

গুণক λ 1, λ 2, ..., λmডাকা Lagrange multipliers.

মান থাকলে x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmসমীকরণের সমাধানের সারমর্ম যা ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের স্থির বিন্দু নির্ধারণ করে, যেমন, পার্থক্যযোগ্য ফাংশনের জন্য সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান

তারপর, মোটামুটি সাধারণ অনুমানের অধীনে, x 1 , x 2 , ..., x n ফাংশনের একটি চূড়ান্ত অংশ প্রদান করে।

সমতার আকারে একটি সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে n ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন কমানোর সমস্যাটি বিবেচনা করুন:

ছোট করুন f(x 1, x 2… x n) (1)

সীমাবদ্ধতার অধীনে h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Lagrange গুণক পদ্ধতি অনুসারে, এই সমস্যাটি নিম্নলিখিত অনিয়ন্ত্রিত অপ্টিমাইজেশন সমস্যায় রূপান্তরিত হয়েছে:

ছোট করুন L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

যেখানে ফাংশন L(x;λ) কে Lagrange ফাংশন বলা হয়,

λ একটি অজানা ধ্রুবক, যাকে ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক বলা হয়। λ চিহ্নের জন্য কোন প্রয়োজনীয়তা নেই।

একটি প্রদত্ত মান λ=λ 0 এর জন্য, x এর ক্ষেত্রে L(x,λ) ফাংশনের নিঃশর্ত সর্বনিম্ন x=x 0 এবং x 0 বিন্দুতে অর্জিত হবে h 1 (x 0)=0 সমীকরণটি পূরণ করবে . তারপরে, যেমনটি দেখতে সহজ, x 0 কম করে (1) অ্যাকাউন্টে (2), যেহেতু x সন্তোষজনক (2), h 1 (x)=0 এবং L(x,λ)=মিনের সমস্ত মানের জন্য f(x)।

অবশ্যই, মান λ=λ 0 এমনভাবে নির্বাচন করা প্রয়োজন যাতে শর্তহীন ন্যূনতম বিন্দু x 0-এর স্থানাঙ্ক সমতা (2) সন্তুষ্ট করে। এটি করা যেতে পারে যদি, λ কে একটি পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করে, একটি ফাংশন λ আকারে শর্তহীন ন্যূনতম ফাংশন (3) খুঁজে বের করুন এবং তারপরে λ এর মানটি বেছে নিন যেখানে সমতা (2) সন্তুষ্ট। একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক।

ছোট করুন f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

সীমাবদ্ধতার অধীনে h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

সংশ্লিষ্ট অনিয়ন্ত্রিত অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:

ছোট করুন L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

সমাধান। গ্রেডিয়েন্ট L-এর দুটি উপাদানকে শূন্যের সাথে সমান করে আমরা পাই

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

স্থির বিন্দু x° ন্যূনতম এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, আমরা L(x;u) ফাংশনের হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি গণনা করি, যা x এর একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়,

যা ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট হতে সক্রিয় আউট.

এর মানে হল L(x,u) হল x এর একটি উত্তল ফাংশন। ফলস্বরূপ, স্থানাঙ্ক x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 বিশ্বব্যাপী সর্বনিম্ন বিন্দু নির্ধারণ করে। সর্বোত্তম মান x 1 0 এবং x 2 0 মানগুলিকে 2x 1 + x 2 =2 সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে λ পাওয়া যায়, যেখান থেকে 2λ+λ/2=2 বা λ 0 =4/5। এইভাবে, শর্তাধীন সর্বনিম্ন x 1 0 = 4/5 এবং x 2 0 =2/5 এ অর্জন করা হয় এবং min f(x) = 4/5 এর সমান।

উদাহরণ থেকে সমস্যাটি সমাধান করার সময়, আমরা L(x;λ) কে দুটি ভেরিয়েবল x 1 এবং x 2 এর একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করেছি এবং উপরন্তু, অনুমান করেছি যে প্যারামিটারের মান λ বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্ট হয়। যদি ব্যবস্থার সমাধান হয়

J=1,2,3,…,n

λ সুস্পষ্ট ফাংশন আকারে পাওয়া যাবে না, তারপর n+1 অজানা সহ n+1 সমীকরণ সমন্বিত নিম্নলিখিত সিস্টেমটি সমাধান করে x এবং λ-এর মান পাওয়া যায়:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

সবাইকে খুঁজে বের করতে সম্ভাব্য সমাধানএই সিস্টেমটি সংখ্যাসূচক অনুসন্ধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, নিউটনের পদ্ধতি)। প্রতিটি সমাধানের জন্য (), আমাদের ফাংশন L এর হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি গণনা করা উচিত, x এর একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচিত, এবং এই ম্যাট্রিক্সটি ইতিবাচক নির্দিষ্ট (স্থানীয় সর্বনিম্ন) নাকি ঋণাত্মক নির্দিষ্ট (স্থানীয় সর্বোচ্চ) কিনা তা খুঁজে বের করতে হবে। )

ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিটি সেই ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে সমতার আকারে সমস্যাটির বেশ কয়েকটি সীমাবদ্ধতা রয়েছে। একটি সাধারণ সমস্যা যা প্রয়োজন বিবেচনা করুন

ছোট করুন f(x)

সীমাবদ্ধতার অধীনে h k =0, k=1, 2, ..., K।

Lagrange ফাংশন নিম্নলিখিত ফর্ম নেয়:

এখানে λ 1, λ 2, ..., λk-Lagrange গুণক, i.e. অজানা প্যারামিটার যার মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন। L-এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে x থেকে শূন্যের সাথে সমান করে, আমরা n অজানা সহ n সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই:

যদি ভেক্টর λ এর ফাংশন আকারে উপরের সিস্টেমের সমাধান খুঁজে পাওয়া কঠিন হয়, তাহলে আপনি সমতা আকারে সীমাবদ্ধতাগুলি অন্তর্ভুক্ত করে সিস্টেমটি প্রসারিত করতে পারেন

n + K অজানা সহ n + K সমীকরণ সমন্বিত বর্ধিত সিস্টেমের সমাধান L ফাংশনের স্থির বিন্দু নির্ধারণ করে। তারপর সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ চেক করার জন্য একটি পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়, যা গণনার ভিত্তিতে পরিচালিত হয়। ফাংশন L-এর হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি, x-এর একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়, যেমনটি একটি সীমাবদ্ধতার সমস্যার ক্ষেত্রে করা হয়েছিল। কিছু সমস্যার জন্য, n+K অজানা সহ n+K সমীকরণের একটি বর্ধিত সিস্টেমের কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে, এবং Lagrange গুণক পদ্ধতিটি প্রযোজ্য নয়। এটি উল্লেখ করা উচিত যে, এই ধরনের কাজগুলি অনুশীলনে বেশ বিরল।

চলো বিবেচনা করি বিশেষ মামলা সাধারণ কাজননলাইনার প্রোগ্রামিং, ধরে নিই যে সীমাবদ্ধতার সিস্টেমে শুধুমাত্র সমীকরণ রয়েছে, ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচকতার জন্য কোন শর্ত নেই এবং - ফাংশনগুলি তাদের আংশিক ডেরিভেটিভের সাথে অবিচ্ছিন্ন। অতএব, সমীকরণ (7) পদ্ধতির সমাধান করে, আমরা এমন সমস্ত বিন্দু পেতে পারি যেখানে ফাংশন (6) এর চরম মান থাকতে পারে।

Lagrange গুণক পদ্ধতির জন্য অ্যালগরিদম

1. Lagrange ফাংশন রচনা করুন.

2. x J ,λ i ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে Lagrange ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন এবং তাদের শূন্যের সাথে সমান করুন।

3. আমরা সমীকরণ (7) এর সিস্টেমটি সমাধান করি, সমস্যাটির উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটির চরমতা থাকতে পারে এমন পয়েন্টগুলি সন্ধান করি।

4. এক্সট্রিম্যামের জন্য সন্দেহজনক পয়েন্টগুলির মধ্যে, আমরা সেইগুলি খুঁজে পাই যেখানে এক্সট্রিমাম পৌঁছেছে এবং এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান (6) গণনা করি।

উদাহরণ।

প্রাথমিক তথ্য:উত্পাদন পরিকল্পনা অনুযায়ী, কোম্পানির 180টি পণ্য উত্পাদন করতে হবে। এই পণ্য দুটি প্রযুক্তিগত উপায়ে তৈরি করা যেতে পারে. 1ম পদ্ধতি ব্যবহার করে x 1 পণ্য উৎপাদন করার সময়, খরচ হয় 4x 1 +x 1 2 রুবেল এবং দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে x 2 পণ্য উৎপাদন করার সময়, সেগুলি 8x 2 + x 2 2 রুবেল। প্রতিটি পদ্ধতি ব্যবহার করে কতগুলি পণ্য তৈরি করা উচিত তা নির্ধারণ করুন যাতে উৎপাদন খরচ সর্বনিম্ন হয়।

উল্লিখিত সমস্যার জন্য উদ্দেশ্য ফাংশন ফর্ম আছে
® মিনিটশর্তে x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0।
1. Lagrange ফাংশন রচনা করুন
.
2. আমরা x 1, x 2, λ এর সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করি এবং তাদের শূন্যের সাথে সমান করি:

3. সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেমটি সমাধান করে, আমরা x 1 =91, x 2 =89 পাই

4. অবজেক্টিভ ফাংশন x 2 = 180-x 1 এ একটি প্রতিস্থাপন করার পরে, আমরা একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন পাই, যথা f 1 = 4x 1 + x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) ) 2

আমরা গণনা করি বা 4x 1 -364=0 ,

যেখান থেকে আমাদের আছে x 1 * =91, x 2 * =89।

উত্তর: প্রথম পদ্ধতিতে উৎপাদিত পণ্যের সংখ্যা হল x 1 =91, দ্বিতীয় পদ্ধতিতে x 2 =89, যখন উদ্দেশ্য ফাংশনের মান 17,278 রুবেলের সমান।

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

সাধারণ দ্রবণে নির্বিচারে ধ্রুবক ck প্রতিস্থাপন করে

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

অনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণ

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

অক্জিলিয়ারী ফাংশন ck(t), যার ডেরিভেটিভগুলি রৈখিক বীজগণিত ব্যবস্থাকে সন্তুষ্ট করে

সিস্টেমের নির্ধারক (1) হল z1,z2,...,zn ফাংশনের রনস্কিয়ান, যা এর ক্ষেত্রে এর অনন্য সমাধানযোগ্যতা নিশ্চিত করে।

যদি এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভস হয়, যা ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবকের নির্দিষ্ট মানের সাথে নেওয়া হয়, তাহলে ফাংশনটি

মূল রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান। মিশ্রণ একজাতীয় সমীকরণঅনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধানের উপস্থিতিতে, এটি এইভাবে চতুর্ভুজে পরিণত হয়।

Lagrange পদ্ধতি (যথেচ্ছ ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি)

একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাওয়ার জন্য একটি পদ্ধতি, একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে না পেয়ে একটি সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান জানা।

nম ক্রমের একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

যেখানে y = y(x) একটি অজানা ফাংশন, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) পরিচিত, অবিচ্ছিন্ন, সত্য: 1) রৈখিকভাবে n আছে স্বাধীন সমাধান সমীকরণ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) ধ্রুবক c1, c2, ..., cn এর যেকোনো মানের জন্য, ফাংশন y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) হল একটি সমীকরণের সমাধান; 3) যেকোনো প্রাথমিক মান x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 এর জন্য মান আছে c*1, c*n, ..., c*n যাতে সমাধান y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) x = x0 এ সন্তুষ্ট হয় প্রাথমিক শর্ত y*(x0)=y0, (y *)"(x0) =y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0, n-1।

y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) রাশিটিকে বলা হয় সাধারণ সিদ্ধান্ত nম ক্রমের রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

nম ক্রম y1(x), y2(x), ..., yn(x) এর একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের n রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানের সেটকে সমীকরণের সমাধানের মৌলিক সিস্টেম বলা হয়।

সঙ্গে একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য ধ্রুবক সহগসমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম নির্মাণের জন্য একটি সহজ অ্যালগরিদম আছে। আমরা y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) আকারে সমীকরণটির সমাধান খুঁজব। " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, অর্থাৎ l সংখ্যাটি মূল চরিত্রগত সমীকরণ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0। চরিত্রগত সমীকরণের বাম দিকটিকে রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের চরিত্রগত বহুপদ বলা হয়: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. এইভাবে, ধ্রুবক সহগ সহ nth ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করার সমস্যাটি একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ সমাধানে হ্রাস পেয়েছে।

যদি চরিত্রগত সমীকরণের n ভিন্ন বাস্তব মূল থাকে l1№ l2 № ... № ln, তাহলে সমাধানের মৌলিক সিস্টেমটি y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ফাংশনগুলি নিয়ে গঠিত। .., yn (x) = exp(lnx), এবং সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)।

সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা এবং সাধারণ বাস্তব মূলের ক্ষেত্রে একটি সাধারণ সমাধান।

যদি চরিত্রগত সমীকরণের প্রকৃত মূলগুলির মধ্যে কোনটি r বার (r-মাল্টিপল রুট) পুনরাবৃত্তি হয়, তবে সমাধানের মৌলিক সিস্টেমে এটির সাথে সম্পর্কিত r ফাংশন রয়েছে; যদি lk=lk+1 = ... = lk+r-1, তাহলে ইন মৌলিক ব্যবস্থাসমীকরণের সমাধানগুলির মধ্যে রয়েছে r ফাংশন: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) = xr-1 exp(lnx)।

উদাহরণ 2. একাধিক বাস্তব মূলের ক্ষেত্রে সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা এবং সাধারণ সমাধান।

যদি চরিত্রগত সমীকরণের জটিল শিকড় থাকে, তাহলে সমাধানের মৌলিক পদ্ধতিতে প্রতিটি জোড়া সরল (গুণিকতা 1 সহ) জটিল মূল lk,k+1=ak ± ibk এক জোড়া ফাংশনের সাথে মিলে যায় yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx)।

উদাহরণ 4. সাধারণ জটিল মূলের ক্ষেত্রে সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা এবং সাধারণ সমাধান। কাল্পনিক শিকড়।

যদি একটি জটিল জোড়া শিকড়ের বহুগুণ r থাকে, তাহলে এই ধরনের একটি জোড়া lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, সমাধানের মৌলিক পদ্ধতিতে ফাংশন exp(akx)cos(এর সাথে মিলে যায়। bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx)।

উদাহরণ 5. একাধিক জটিল মূলের ক্ষেত্রে সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা এবং সাধারণ সমাধান।

এইভাবে, ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজতে, একজনের উচিত: চরিত্রগত সমীকরণটি লিখুন; বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ l1, l2, ... , ln এর সমস্ত মূল খুঁজুন; সমাধানের মৌলিক সিস্টেম লিখুন y1(x), y2(x), ..., yn(x); সাধারণ সমাধান y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) এর জন্য রাশিটি লিখুন। Cauchy সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে সাধারণ সমাধানের জন্য অভিব্যক্তিটিকে প্রাথমিক অবস্থায় প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং ধ্রুবক c1,..., cn এর মান নির্ধারণ করতে হবে, যা লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান। বীজগণিত সমীকরণ c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0, n-1

nম ক্রমের একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

যেখানে y = y(x) একটি অজানা ফাংশন, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) পরিচিত, অবিচ্ছিন্ন, বৈধ: 1 ) যদি y1(x) এবং y2(x) একটি অ-সমজাতীয় সমীকরণের দুটি সমাধান হয়, তাহলে ফাংশন y(x) = y1(x) - y2(x) হল সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান; 2) যদি y1(x) একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি সমাধান হয় এবং y2(x) সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান হয়, তাহলে ফাংশন y(x) = y1(x) + y2(x) হল একটি সমাধান একজাতীয় সমীকরণ; 3) যদি y1(x), y2(x), ..., yn(x) একটি সমজাতীয় সমীকরণের n রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান হয় এবং ych(x) - নির্বিচারে সিদ্ধান্তঅসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ, তাহলে যেকোন প্রাথমিক মানের x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 এর জন্য রয়েছে c*1, c*n, ..., c*n যেমন সমাধান y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) প্রাথমিক শর্ত y*(x0)=y0 সন্তুষ্ট করে , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0, n-1।

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) রাশিটিকে nম ক্রমের একটি রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান বলা হয়।

inhomogeneous এর বিশেষ সমাধান খুঁজে বের করতে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণফর্মের ডানদিকে ধ্রুবক সহগ সহ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), যেখানে Pk(x), Qm(x) বহুপদ ডিগ্রী k এবং m তদনুসারে, একটি নির্দিষ্ট সমাধান নির্মাণের জন্য একটি সহজ অ্যালগরিদম আছে, যাকে নির্বাচন পদ্ধতি বলা হয়।

নির্বাচন পদ্ধতি, বা পদ্ধতি অনিশ্চিত সহগ, নিম্নরূপ. সমীকরণের প্রয়োজনীয় সমাধান ফর্মটিতে লেখা আছে: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, যেখানে Pr(x), Qr(x) ) হল ডিগ্রী r = max(k, m) এর বহুপদ যার অজানা সহগ pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0। xs ফ্যাক্টরটিকে রেজোন্যান্ট ফ্যাক্টর বলা হয়। অনুরণন ঘটে এমন ক্ষেত্রে যেখানে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে একটি মূল l =a ± ib এর গুণিতক s থাকে। সেগুলো. যদি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূলের মধ্যে এমন একটি থাকে যে এর বাস্তব অংশটি সূচকের সূচকের সহগের সাথে মিলে যায় এবং এর কাল্পনিক অংশটি যুক্তিতে সহগের সাথে মিলে যায় ত্রিকোণমিতিক ফাংশনসমীকরণের ডানদিকে, এবং এই মূলের বহুগুণ হল s, তাহলে প্রয়োজনীয় আংশিক সমাধানে একটি অনুরণিত ফ্যাক্টর xs রয়েছে। যদি এই ধরনের কোন কাকতালীয় (s=0) না থাকে, তাহলে কোন অনুরণিত ফ্যাক্টর নেই।

মধ্যে নির্দিষ্ট সমাধানের জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন বাম পাশেসমীকরণ, আমরা সমীকরণের ডানদিকে বহুপদীর মতো একই ফর্মের একটি সাধারণীকৃত বহুপদী পাই, যার সহগগুলি অজানা।

দুটি সাধারণীকৃত বহুপদী সমান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) একই ক্ষমতা t এর গুণনীয়কগুলির সহগ সমান হয়। এই জাতীয় কারণগুলির সহগ সমীকরণ করে, আমরা 2(r+1) অজানাগুলির জন্য 2(r+1) রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই। এটি দেখানো যেতে পারে যে এই ধরনের একটি সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি অনন্য সমাধান আছে।