একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতির মাধ্যমে উচ্চ ক্রমগুলির রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা

নির্বিচারে nth ক্রমের ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1) .
একটি ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি, যা আমরা একটি প্রথম-ক্রম সমীকরণের জন্য বিবেচনা করেছি, উচ্চ-ক্রম সমীকরণের জন্যও প্রযোজ্য।

সমাধান দুটি পর্যায়ে বাহিত হয়। প্রথম ধাপে, আমরা ডানদিকের দিকটি পরিত্যাগ করি এবং সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি। ফলস্বরূপ, আমরা n নির্বিচারে ধ্রুবক সমন্বিত একটি সমাধান পাই। দ্বিতীয় পর্যায়ে আমরা ধ্রুবক পরিবর্তিত. অর্থাৎ, আমরা বিশ্বাস করি যে এই ধ্রুবকগুলি স্বাধীন চলক x এর ফাংশন এবং এই ফাংশনগুলির ফর্মটি খুঁজে পাই।

যদিও আমরা এখানে ধ্রুবক সহগ সহ সমীকরণ বিবেচনা করছি, Lagrange এর পদ্ধতি যেকোন রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ সমাধানের জন্যও প্রযোজ্য. এর জন্য অবশ্য সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা জানতে হবে।

ধাপ 1. সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করা

প্রথম-ক্রম সমীকরণের ক্ষেত্রে যেমন, আমরা প্রথমে সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজি, ডান-হাতের অসঙ্গতিপূর্ণ দিকটিকে শূন্যে সমান করে:
(2) .
এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল:
(3) .
এখানে নির্বিচারে ধ্রুবক আছে; - n সমজাতীয় সমীকরণের রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান (2), যা এই সমীকরণের সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে।

ধাপ 2. ধ্রুবকের ভিন্নতা - ফাংশন দিয়ে ধ্রুবক প্রতিস্থাপন করা

দ্বিতীয় পর্যায়ে আমরা ধ্রুবকের তারতম্য নিয়ে কাজ করব। অন্য কথায়, আমরা স্বাধীন চলক x এর ফাংশন দিয়ে ধ্রুবক প্রতিস্থাপন করব:
.
অর্থাৎ আমরা সমাধান খুঁজছি মূল সমীকরণ(1) নিম্নরূপ:
(4) .

যদি আমরা (4) কে (1) এ প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা n ফাংশনের জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাব। এই ক্ষেত্রে, আমরা এই ফাংশনগুলিকে অতিরিক্ত সমীকরণের সাথে সংযুক্ত করতে পারি। তারপর আপনি n সমীকরণ পাবেন যেখান থেকে n ফাংশন নির্ধারণ করা যেতে পারে। অতিরিক্ত সমীকরণ লেখা যেতে পারে ভিন্ন পথ. কিন্তু আমরা এটি করব যাতে সমাধানটির সহজতম রূপ থাকে। এটি করার জন্য, পার্থক্য করার সময়, আপনাকে ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভ ধারণকারী পদগুলিকে শূন্যের সমান করতে হবে। এর এই প্রদর্শন করা যাক.

প্রস্তাবিত সমাধান (4)টিকে মূল সমীকরণে (1) প্রতিস্থাপন করতে, আমাদের (4) ফর্মে লেখা ফাংশনের প্রথম n অর্ডারগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করতে হবে। আমরা (4) ব্যবহার করে পার্থক্য করি রাশির পার্থক্য করার নিয়মএবং কাজ করে:
.
সদস্যদের গ্রুপ করা যাক. প্রথমে, আমরা এর ডেরিভেটিভ সহ পদগুলি লিখি এবং তারপরে এর ডেরিভেটিভ সহ পদগুলি লিখি:

.
ফাংশনগুলিতে প্রথম শর্ত আরোপ করা যাক:
(5.1) .
তারপরে প্রথম ডেরিভেটিভের জন্য অভিব্যক্তিটির একটি সহজ ফর্ম থাকবে:
(6.1) .

একই পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

.
ফাংশনগুলির উপর একটি দ্বিতীয় শর্ত আরোপ করা যাক:
(5.2) .
তারপর
(6.2) .
ইত্যাদি। ভিতরে অতিরিক্ত শর্তসমূহ, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ সম্বলিত পদগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করি।

সুতরাং, যদি আমরা ফাংশনগুলির জন্য নিম্নলিখিত অতিরিক্ত সমীকরণগুলি নির্বাচন করি:
(5.k) ,
তাহলে প্রথম ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে সহজতম ফর্ম থাকবে:
(6.k) .
এখানে .

nম ডেরিভেটিভ খুঁজুন:
(6.n)
.

মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন (1):
(1) ;






.
আসুন আমরা বিবেচনা করি যে সমস্ত ফাংশন সমীকরণ (2) পূরণ করে:
.
তারপর সম্বলিত পদগুলির যোগফল শূন্য দেয়। ফলস্বরূপ আমরা পাই:
(7) .

ফলস্বরূপ, আমরা ডেরিভেটিভের জন্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

এই সিস্টেমটি সমাধান করে, আমরা x এর একটি ফাংশন হিসাবে ডেরিভেটিভের জন্য অভিব্যক্তি খুঁজে পাই। একীভূত করা, আমরা পাই:
.
এখানে ধ্রুবক রয়েছে যেগুলি আর x এর উপর নির্ভর করে না। (4) প্রতিস্থাপন করে, আমরা মূল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান পাই।

উল্লেখ্য যে ডেরিভেটিভের মান নির্ধারণ করতে, আমরা কখনই এই সত্যটি ব্যবহার করিনি যে সহগ a i ধ্রুবক। এই জন্য Lagrange এর পদ্ধতি যেকোন রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রযোজ্য, যদি সমজাতীয় সমীকরণ (2) এর সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা জানা যায়।

উদাহরণ

ধ্রুবকের প্রকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করুন (ল্যাগ্রেঞ্জ)।

আসুন আমরা রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ বিবেচনায় ফিরে আসি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটাইপ

কোথায় - আর্গুমেন্টের প্রয়োজনীয় ফাংশন , এবং ফাংশন



দেওয়া হয় এবং একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অবিরত
.

আসুন আমরা রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ বিবেচনায় প্রবর্তন করি, বাম পাশেযা বাম পাশের সাথে মিলে যায় একজাতীয় সমীকরণ (2.31),

ফর্মের একটি সমীকরণ (2.32) বলা হয় একজাতীয় সমীকরণ অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত (2.31).

নিম্নোক্ত উপপাদ্যটি অসঙ্গতিপূর্ণ রৈখিক সমীকরণের সাধারণ সমাধানের গঠন সম্পর্কে ধারণ করে (2.31)।

উপপাদ্য 2.6।অঞ্চলে রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান (2.31)

এটির কোনো নির্দিষ্ট সমাধানের সমষ্টি এবং ডোমেনে (2.33) সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণ (2.32) এর সাধারণ সমাধান, অর্থাৎ

কোথায় - সমীকরণের বিশেষ সমাধান (2.31),
সমজাতীয় সমীকরণ (2.32) এর সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা, এবং
- নির্বিচারে ধ্রুবক।

আপনি এই উপপাদ্যের প্রমাণ পাবেন।

একটি দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা একটি পদ্ধতির রূপরেখা দেব যার মাধ্যমে কেউ একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেতে পারে। এই পদ্ধতি বলা হয় নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি.

সুতরাং, আমাদের একটি অসংলগ্ন রৈখিক সমীকরণ দেওয়া যাক

(2.35)

সহগ কোথায়
এবং ডান দিকে
কিছু ব্যবধানে একটানা
.

আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক
এবং
সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা

(2.36)

তারপর তার সাধারণ সমাধান ফর্ম আছে

(2.37)

কোথায় এবং - নির্বিচারে ধ্রুবক।

আমরা একই আকারে সমীকরণ (2.35) এর সমাধান খুঁজব , সেইসাথে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান, কিছু পার্থক্যযোগ্য ফাংশন দিয়ে নির্বিচারী ধ্রুবক প্রতিস্থাপন করে (আমরা নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তিত হয়),সেগুলো.

কোথায়
এবং
- থেকে কিছু পার্থক্যযোগ্য ফাংশন , যা এখনও অজানা এবং যা আমরা নির্ধারণ করার চেষ্টা করব যাতে ফাংশন (2.38) অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ (2.35) এর সমাধান হবে। সমতার উভয় পক্ষের পার্থক্য (2.38), আমরা পাই

যাতে হিসাব করার সময় এর দ্বিতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভস
এবং
, আমরা যে সব জায়গায় প্রয়োজন
শর্ত পূরণ করা হয়

তারপর জন্য থাকবে

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ গণনা করা যাক

জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন ,,(2.38), (2.40), (2.41) থেকে সমীকরণে (2.35), আমরা পাই

বর্গাকার বন্ধনীতে অভিব্যক্তিগুলি সব জায়গায় শূন্যের সমান
, কারণ এবং - সমীকরণের আংশিক সমাধান (2.36)। এই ক্ষেত্রে, (2.42) ফর্মটি গ্রহণ করবে এই শর্তের সাথে শর্ত (2.39) মিশ্রিত করে, আমরা নির্ধারণের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই
এবং

(2.43)

শেষ সিস্টেম হল দুটি বীজগাণিতিক রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি সিস্টেম
এবং
. এই সিস্টেমের নির্ধারক হল সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থার জন্য রনস্কি নির্ধারক ,এবং, তাই, সর্বত্র অশূন্য
. এর মানে হল যে সিস্টেমের (2.43) একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। তুলনামূলকভাবে যে কোনও উপায়ে এটি সমাধান করা
,
আমরা খুঁজে পাব

কোথায়
এবং
- পরিচিত ফাংশন।

ইন্টিগ্রেশন সঞ্চালন এবং যে হিসাবে অ্যাকাউন্ট গ্রহণ
,
আমাদের একজোড়া ফাংশন নেওয়া উচিত এবং ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবকগুলিকে শূন্যের সমান সেট করা উচিত। আমরা পেতে

এক্সপ্রেশন (2.44) কে সম্পর্কের (2.38) প্রতিস্থাপিত করে, আমরা ফর্মে অসংলগ্ন সমীকরণের (2.35) পছন্দসই সমাধান লিখতে পারি।

রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেতে এই পদ্ধতিটি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে -ম আদেশ।

উদাহরণ 2.6. সমীকরণটি সমাধান করুন
এ
যদি ফাংশন

সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা গঠন করে।

আসুন এই সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, Lagrange পদ্ধতি অনুসারে, আমাদের প্রথমে সিস্টেম (2.43) সমাধান করতে হবে, যা আমাদের ক্ষেত্রে ফর্ম রয়েছে
দ্বারা প্রতিটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে হ্রাস করে আমরা পেতে

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পদ দ্বারা প্রথম সমীকরণ পদটি বিয়োগ করলে আমরা দেখতে পাই
এবং তারপর প্রথম সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে
ইন্টিগ্রেশন সঞ্চালন এবং ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক শূন্য সেট, আমরা হবে

এই সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

এই সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে

কোথায় এবং - নির্বিচারে ধ্রুবক।

পরিশেষে, আসুন আমরা একটি উল্লেখযোগ্য সম্পত্তি নোট করি, যেটিকে প্রায়শই সমাধানের সুপারপজিশনের নীতি বলা হয় এবং নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা বর্ণনা করা হয়।

উপপাদ্য 2.7।এর মধ্যে থাকলে
ফাংশন
- সমীকরণ ফাংশনের বিশেষ সমাধান
একই ব্যবধানে সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান হল ফাংশন
সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান আছে

তাত্ত্বিক ন্যূনতম

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে, এমন একটি পদ্ধতি রয়েছে যা এই তত্ত্বের জন্য মোটামুটি উচ্চ মাত্রার সর্বজনীনতার দাবি করে।
আমরা সমাধানের জন্য প্রযোজ্য একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলছি বিভিন্ন ক্লাসডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাদের
সিস্টেম এটি ঠিক তখনই হয় যখন তত্ত্বটি - যদি আমরা বন্ধনীর বাইরে বিবৃতিগুলির প্রমাণ গ্রহণ করি - ন্যূনতম, তবে আমাদের অর্জন করতে দেয়
উল্লেখযোগ্য ফলাফল, তাই উদাহরণের উপর জোর দেওয়া হবে।

পদ্ধতির সাধারণ ধারণাটি প্রণয়ন করা বেশ সহজ। প্রদত্ত সমীকরণ (সমীকরণের সিস্টেম) সমাধান করা কঠিন বা এমনকি বোধগম্য নয়,
কিভাবে এটি সমাধান করতে। যাইহোক, এটা স্পষ্ট যে সমীকরণ থেকে কিছু পদ বাদ দিয়ে এটি সমাধান করা হয়। তারপর তারা ঠিক এই সরলীকৃত সমাধান
সমীকরণ (সিস্টেম), আমরা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক নির্বিচারী ধ্রুবক সমন্বিত একটি সমাধান পাই - সমীকরণের ক্রম অনুসারে (সংখ্যা
সিস্টেমে সমীকরণ)। তারপর ধরে নেওয়া হয় যে প্রাপ্ত দ্রবণে ধ্রুবকগুলি প্রকৃতপক্ষে পাওয়া দ্রবণ নয়;
মূল সমীকরণে (সিস্টেম) প্রতিস্থাপিত হয়, "ধ্রুবক" নির্ধারণের জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (বা সমীকরণের সিস্টেম) প্রাপ্ত হয়।
বিভিন্ন সমস্যার জন্য একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি প্রয়োগ করার কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এগুলি এমন সুনির্দিষ্ট বিষয় যা হবে
উদাহরণ দিয়ে দেখান।

আসুন আমরা আলাদাভাবে উচ্চ ক্রমগুলির রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সমাধান বিবেচনা করি, যেমন ফর্মের সমীকরণ
.
একটি রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং একটি নির্দিষ্ট সমাধানের সমষ্টি
এই সমীকরণের আসুন আমরা ধরে নিই যে সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে, যথা, সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা (FSS) তৈরি করা হয়েছে।
. তাহলে সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল সমান।
আমাদের একজাতীয় সমীকরণের কোনো বিশেষ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। এই উদ্দেশ্যে, ধ্রুবকগুলি একটি পরিবর্তনশীলের উপর নির্ভরশীল বলে মনে করা হয়।
এরপরে আপনাকে সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করতে হবে
.
তত্ত্ব গ্যারান্টি দেয় যে এই সিস্টেম বীজগণিত সমীকরণফাংশন এর ডেরিভেটিভ সংক্রান্ত একটি অনন্য সমাধান আছে.
ফাংশনগুলি খুঁজে বের করার সময়, একীকরণের ধ্রুবকগুলি উপস্থিত হয় না: সর্বোপরি, যে কোনও একটি সমাধান চাওয়া হয়।

ফর্মের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ প্রথম ক্রম সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের ক্ষেত্রে

অ্যালগরিদম প্রায় অপরিবর্তিত থাকে। প্রথমে আপনাকে সংশ্লিষ্ট FSR খুঁজে বের করতে হবে একজাতীয় সিস্টেমসমীকরণ, একটি মৌলিক ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন
সিস্টেম, যার কলামগুলি FSR এর উপাদানগুলিকে উপস্থাপন করে৷ এর পরে, সমীকরণটি আঁকা হয়
.
সিস্টেমটি সমাধান করার সময়, আমরা ফাংশনগুলি নির্ধারণ করি, এইভাবে মূল সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পাই
(মৌলিক ম্যাট্রিক্স পাওয়া ফাংশনের কলাম দ্বারা গুণ করা হয়)।
আমরা এটিকে সমজাতীয় সমীকরণের সংশ্লিষ্ট সিস্টেমের সাধারণ সমাধানে যুক্ত করি, যা ইতিমধ্যে পাওয়া FSR এর ভিত্তিতে নির্মিত।
মূল সিস্টেমের সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়।

উদাহরণ।

উদাহরণ 1. প্রথম ক্রমে রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ.

আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণটি বিবেচনা করি (আমরা পছন্দসই ফাংশনটি বোঝাই):
.
এই সমীকরণটি ভেরিয়েবল পদ্ধতির বিচ্ছেদ ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে:

.
এখন ফর্মে মূল সমীকরণের সমাধান কল্পনা করা যাক , যেখানে ফাংশনটি এখনও খুঁজে পাওয়া যায়নি।
আমরা মূল সমীকরণে এই ধরনের সমাধান প্রতিস্থাপন করি:
.
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বাম দিকের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদগুলি একে অপরকে বাতিল করে দেয় - এটি হল বৈশিষ্ট্যএকটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি।

এখানে এটি ইতিমধ্যেই একটি সত্যিকারের নির্বিচারে ধ্রুবক। এইভাবে,
.

উদাহরণ 2। বার্নউলির সমীকরণ.

আমরা প্রথম উদাহরণের অনুরূপভাবে এগিয়ে যাই - আমরা সমীকরণটি সমাধান করি

ভেরিয়েবল বিচ্ছেদ পদ্ধতি। এটি সক্রিয় আউট, তাই আমরা ফর্মের মূল সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজছি
.
আমরা এই ফাংশনটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
.
এবং আবার হ্রাস ঘটে:
.
এখানে আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে সমাধান দ্বারা ভাগ করার সময় হারিয়ে না যায়। এবং আসলটির সমাধানটি মামলার সাথে মিলে যায়
সমীকরণ আসুন এটা মনে রাখা যাক. তাই,
.
আসুন এটি লিখে রাখি।
এটাই সমাধান। উত্তর লেখার সময়, আপনাকে পূর্বে পাওয়া সমাধানটিও নির্দেশ করতে হবে, কারণ এটি কোনো চূড়ান্ত মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়
ধ্রুবক

উদাহরণ 3. উচ্চতর আদেশের রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ.

আসুন আমরা অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে এই সমীকরণটি আরও সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে, তবে এটি ব্যবহার করে পদ্ধতিটি প্রদর্শন করা সুবিধাজনক। যদিও কিছু সুবিধা
এই উদাহরণেও প্রকরণ পদ্ধতির একটি নির্বিচারে ধ্রুবক রয়েছে।
সুতরাং, আপনাকে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের FSR দিয়ে শুরু করতে হবে। আমাদের স্মরণ করা যাক যে FSR খুঁজে পেতে, একটি চরিত্রগত বক্ররেখা সংকলিত হয়
সমীকরণটি
.
সুতরাং, সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধান
.
এখানে অন্তর্ভুক্ত ধ্রুবকগুলি অবশ্যই বৈচিত্র্যময় হতে হবে। একটি সিস্টেম তৈরি করা

নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি

একটি রৈখিক অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান তৈরির জন্য নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি

ক n (t)z (n) (t) + ক n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ক 1 (t)z"(t) + ক 0 (t)z(t) = চ(t)

নির্বিচারে ধ্রুবক প্রতিস্থাপন নিয়ে গঠিত গ kসাধারণ সমাধানে

z(t) = গ 1 z 1 (t) + গ 2 z 2 (t) + ... + গ n z n (t)

অনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণ

ক n (t)z (n) (t) + ক n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + ক 1 (t)z"(t) + ক 0 (t)z(t) = 0

অক্জিলিয়ারী ফাংশন জন্য গ k (t) , যার ডেরিভেটিভগুলি রৈখিক বীজগণিত ব্যবস্থাকে সন্তুষ্ট করে

সিস্টেমের নির্ধারক (1) ফাংশনের রনস্কিয়ান z 1 ,z 2 ,...,z n , যা সাপেক্ষে এর অনন্য সমাধানযোগ্যতা নিশ্চিত করে।

যদি এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভস হয়, যা ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবকের নির্দিষ্ট মানের সাথে নেওয়া হয়, তাহলে ফাংশনটি

মূল রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান। অনুরূপ সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধানের উপস্থিতিতে একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণের একীকরণ এইভাবে চতুর্ভুজে হ্রাস করা হয়।

ভেক্টর স্বাভাবিক আকারে রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান নির্মাণের জন্য নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি

ফর্মে একটি নির্দিষ্ট সমাধান (1) নির্মাণে গঠিত

কোথায় জেড(t) হল সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধানের ভিত্তি, একটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখিত, এবং ভেক্টর ফাংশন, যা নির্বিচারে ধ্রুবকের ভেক্টর প্রতিস্থাপিত হয়েছে, সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রয়োজনীয় নির্দিষ্ট সমাধান (শূন্য প্রাথমিক মান সহ t = t 0 ফর্ম আছে

ধ্রুবক সহগ সহ একটি সিস্টেমের জন্য, শেষ অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত হয়:

ম্যাট্রিক্স জেড(t)জেড− 1 (τ)ডাকা কচি ম্যাট্রিক্সঅপারেটর এল = ক(t) .

বাহ্যিক লিঙ্ক

• exponenta.ru - উদাহরণ সহ তাত্ত্বিক তথ্য

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি, বা ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি, প্রথম-ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং বার্নৌলি সমীকরণ সমাধান করার আরেকটি উপায়।

প্রথম ক্রমটির লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি y’+p(x)y=q(x) ফর্মের সমীকরণ। যদি ডান দিকে একটি শূন্য থাকে: y’+p(x)y=0, তাহলে এটি একটি রৈখিক সমজাতীয়১ম ক্রম সমীকরণ। তদনুসারে, অশূন্য সহ একটি সমীকরণ ডান পাশ, y’+p(x)y=q(x), — ভিন্নধর্মী একঘাত সমীকরণ১ম অর্ডার।

একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি (ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি) নিম্নরূপ:

1) আমরা y’+p(x)y=0: y=y* সমজাতীয় সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজছি।

2) সাধারণ সমাধানে, আমরা C কে ধ্রুবক নয়, x এর একটি ফাংশন বিবেচনা করি: C = C (x)। আমরা সাধারণ সমাধান (y*)’ এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই এবং প্রাথমিক অবস্থায় y* এবং (y*)’-এর ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করি। ফলস্বরূপ সমীকরণ থেকে আমরা C(x) ফাংশনটি খুঁজে পাই।

3) সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানে, C এর পরিবর্তে, আমরা পাওয়া অভিব্যক্তি C(x) প্রতিস্থাপন করি।

আসুন একটি নির্বিচারে ধ্রুবক পরিবর্তন করার পদ্ধতির উদাহরণ দেখি। আসুন একই কাজগুলি গ্রহণ করি, সমাধানের অগ্রগতির তুলনা করি এবং নিশ্চিত করুন যে প্রাপ্ত উত্তরগুলি মিলে যায়।

1) y’=3x-y/x

আসুন সমীকরণটিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে পুনরায় লিখি (বার্নউলির পদ্ধতির বিপরীতে, যেখানে আমাদের কেবলমাত্র সমীকরণটি রৈখিক তা দেখার জন্য স্বরলিপি ফর্মের প্রয়োজন ছিল)।

y’+y/x=3x (I)। এখন আমরা পরিকল্পনা অনুযায়ী এগিয়ে যাই।

1) সমজাতীয় সমীকরণ y’+y/x=0 সমাধান কর। এটি বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ। কল্পনা করুন y’=dy/dx, বিকল্প: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x। আমরা সমীকরণের উভয় দিককে dx দ্বারা গুণ করি এবং xy≠0 দ্বারা ভাগ করি: dy/y=-dx/x। আসুন একীভূত করি:

2) সমজাতীয় সমীকরণের ফলে সাধারণ সমাধানে, আমরা C কে ধ্রুবক নয়, x এর একটি ফাংশন বিবেচনা করব: C=C(x)। এখান থেকে

আমরা ফলাফলের অভিব্যক্তিকে শর্তে প্রতিস্থাপন করি (I):

আসুন সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি:

এখানে সি ইতিমধ্যে কিছু নতুন ধ্রুবক.

3) সমজাতীয় সমীকরণ y=C/x-এর সাধারণ সমাধানে, যেখানে আমরা ধরেছি C=C(x), অর্থাৎ, y=C(x)/x, C(x) এর পরিবর্তে আমরা পাওয়া অভিব্যক্তি x³ প্রতিস্থাপন করি। +C: y=(x³ +C)/x বা y=x²+C/x। বার্নোলির পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করার সময় আমরা একই উত্তর পেয়েছি।

উত্তর: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

এখানে সমীকরণটি ইতিমধ্যেই প্রমিত আকারে লেখা আছে;

1) সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করুন y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. আসুন একীভূত করি:

স্বরলিপির আরও সুবিধাজনক ফর্ম পেতে, আমরা সূচকটিকে নতুন C হিসাবে C এর শক্তিতে নিয়ে যাই:

ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়া আরও সুবিধাজনক করতে এই রূপান্তরটি করা হয়েছিল।

2) রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণের ফলে সাধারণ সমাধানে, আমরা C কে ধ্রুবক নয়, x এর একটি ফাংশন বিবেচনা করি: C=C(x)। এই শর্তের অধীনে

আমরা শর্তে y এবং y' এর ফলে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি:

সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

আমরা অংশ সূত্র দ্বারা একীকরণ ব্যবহার করে সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি, আমরা পাই:

এখানে C আর একটি ফাংশন নয়, কিন্তু একটি সাধারণ ধ্রুবক।

3) সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানে

পাওয়া ফাংশন C(x) প্রতিস্থাপন করুন:

বার্নোলির পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করার সময় আমরা একই উত্তর পেয়েছি।

একটি নির্বিচারী ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতিটি সমাধানের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

y'x+y=-xy²।

আমরা সমীকরণ কমিয়ে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ: y’+y/x=-y² (II)।

1) সমজাতীয় সমীকরণ y’+y/x=0 সমাধান কর। dy/dx=-y/x. আমরা সমীকরণের উভয় দিককে dx দ্বারা গুণ করি এবং y দ্বারা ভাগ করি: dy/y=-dx/x। এখন একীভূত করা যাক:

আমরা ফলাফলের অভিব্যক্তিগুলিকে শর্তে প্রতিস্থাপন করি (II):

আসুন সরল করা যাক:

আমরা C এবং x এর জন্য বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ পেয়েছি:

এখানে C ইতিমধ্যেই একটি সাধারণ ধ্রুবক। ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া চলাকালীন, আমরা C(x) এর পরিবর্তে কেবল C লিখেছি, যাতে স্বরলিপিটি ওভারলোড না হয়। এবং শেষে আমরা C(x) এ ফিরে আসি, যাতে C(x) কে নতুন C এর সাথে বিভ্রান্ত না করে।

3) সমজাতীয় সমীকরণ y=C(x)/x এর সাধারণ সমাধানে আমরা পাওয়া ফাংশন C(x) প্রতিস্থাপন করি:

বার্নোলি পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি সমাধান করার সময় আমরা একই উত্তর পেয়েছি।

স্ব-পরীক্ষার উদাহরণ:

1. আসুন সমীকরণটিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে আবার লিখি: y’-2y=x।

1) সমজাতীয় সমীকরণ y’-2y=0 সমাধান কর। y’=dy/dx, তাই dy/dx=2y, সমীকরণের উভয় দিককে dx দ্বারা গুণ করুন, y দ্বারা ভাগ করুন এবং একীভূত করুন:

এখান থেকে আমরা y খুঁজে পাই:

আমরা শর্তে y এবং y’-এর জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি (সংক্ষিপ্ততার জন্য আমরা C(x) এর পরিবর্তে C এবং C"(x) এর পরিবর্তে C’ ব্যবহার করব):

ডান দিকে অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পেতে, আমরা অংশ সূত্র দ্বারা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি:

এখন আমরা সূত্রে u, du এবং v প্রতিস্থাপন করি:

এখানে C = const.

3) এখন আমরা দ্রবণে সমজাতীয় প্রতিস্থাপন করি