বাড়ি দাঁতের ব্যাথা Cramer এর পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করুন। ক্র্যামারের পদ্ধতি: রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি (স্লাউ)

দাঁতের ব্যাথা

Cramer এর পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করুন। ক্র্যামারের পদ্ধতি: রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি (স্লাউ)

ক্র্যামারের পদ্ধতিটি সমাধান পদ্ধতিতে নির্ধারক ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে রৈখিক সমীকরণ. এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সমাধান প্রক্রিয়ার গতি বাড়ায়।

প্রতিটি সমীকরণে যতগুলি অজানা রয়েছে ততগুলি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়, তবে ক্র্যামারের পদ্ধতিটি সমাধানে ব্যবহার করা যেতে পারে, কিন্তু যদি এটি শূন্যের সমান হয় তবে তা করা যাবে না। উপরন্তু, ক্র্যামারের পদ্ধতিটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যার একটি অনন্য সমাধান রয়েছে।

সংজ্ঞা. অজানা জন্য সহগ দ্বারা গঠিত একটি নির্ধারককে সিস্টেমের নির্ধারক বলা হয় এবং এটিকে (ডেল্টা) নির্দেশ করা হয়।

নির্ধারক

মুক্ত পদের সাথে সংশ্লিষ্ট অজানাগুলির সহগ প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত করা হয়:

;

ক্রেমারের উপপাদ্য. যদি সিস্টেমের নির্ধারক অশূন্য হয়, তাহলে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং অজানা নির্ধারকগুলির অনুপাতের সমান। হরটিতে সিস্টেমের নির্ধারক থাকে এবং লবের মধ্যে এই অজানাটির সহগগুলিকে মুক্ত পদ দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সিস্টেমের নির্ধারক থেকে প্রাপ্ত নির্ধারক থাকে। এই উপপাদ্যটি যেকোন অর্ডারের রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ধারণ করে।

উদাহরণ 1.রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

অনুসারে ক্রেমারের উপপাদ্যআমাদের আছে:

সুতরাং, সিস্টেমের সমাধান (2):

অনলাইন ক্যালকুলেটর, সিদ্ধান্তমূলক পদ্ধতিক্রেমার।

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময় তিনটি ক্ষেত্রে

থেকে যেমন স্পষ্ট ক্রেমারের উপপাদ্য, রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার সময়, তিনটি ক্ষেত্রে ঘটতে পারে:

প্রথম ক্ষেত্রে: রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে

(সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে

(সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অনিশ্চিত)

** ,

সেগুলো. অজানা এবং মুক্ত পদগুলির সহগ সমানুপাতিক।

তৃতীয় ক্ষেত্রে: রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের কোন সমাধান নেই

(ব্যবস্থা অসামঞ্জস্যপূর্ণ)

তাই সিস্টেম মিসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nভেরিয়েবল বলা হয় অ জয়েন্ট, যদি তার একটি একক সমাধান না থাকে, এবং যৌথ, যদি এটির অন্তত একটি সমাধান থাকে। সমীকরণের একটি যুগপত সিস্টেম যার একটি মাত্র সমাধান আছে তাকে বলা হয় নিশ্চিত, এবং একাধিক - অনিশ্চিত.

ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সমাধান পদ্ধতির উদাহরণ

ব্যবস্থা দেওয়া হোক

ক্রেমারের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে

………….
,

কোথায়
-

সিস্টেম নির্ধারক। আমরা মুক্ত পদের সাথে সংশ্লিষ্ট পরিবর্তনশীল (অজানা) এর সহগগুলির সাথে কলামটি প্রতিস্থাপন করে অবশিষ্ট নির্ধারকগুলি পাই:

উদাহরণ 2।

অতএব, সিস্টেম সুনির্দিষ্ট। এর সমাধান খুঁজতে, আমরা নির্ধারক গণনা করি

ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:

সুতরাং, (1; 0; -1) সিস্টেমের একমাত্র সমাধান।

3 X 3 এবং 4 X 4 সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধানগুলি পরীক্ষা করতে, আপনি ক্র্যামারের সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন।

যদি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে এক বা একাধিক সমীকরণে কোনও চলক না থাকে, তবে নির্ধারকটিতে সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি শূন্যের সমান! এটি পরবর্তী উদাহরণ।

উদাহরণ 3.ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

সমাধান। আমরা সিস্টেমের নির্ধারক খুঁজে পাই:

সমীকরণের সিস্টেম এবং সিস্টেমের নির্ধারকের দিকে মনোযোগ সহকারে দেখুন এবং প্রশ্নটির উত্তরটি পুনরাবৃত্তি করুন যেখানে নির্ধারকের এক বা একাধিক উপাদান শূন্যের সমান। সুতরাং, নির্ধারক শূন্যের সমান নয়, তাই সিস্টেমটি সুনির্দিষ্ট। এর সমাধান খুঁজতে, আমরা অজানাদের জন্য নির্ধারক গণনা করি

ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই:

সুতরাং, সিস্টেমের সমাধান হল (2; -1; 1)।

পৃষ্ঠার উপরিভাগে

আমরা একসাথে ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমগুলি সমাধান করতে থাকি

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, যদি সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান হয়, এবং অজানাদের নির্ধারকগুলি শূন্যের সমান না হয়, তবে সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাৎ এর কোন সমাধান নেই। নিচের উদাহরণ দিয়ে বোঝানো যাক।

উদাহরণ 6.ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

সমাধান। আমরা সিস্টেমের নির্ধারক খুঁজে পাই:

সিস্টেমের নির্ধারক শূন্যের সমান, তাই, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট, বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাৎ এর কোন সমাধান নেই। স্পষ্ট করার জন্য, আমরা অজানাদের জন্য নির্ধারক গণনা করি

অজানাদের নির্ধারকগুলি শূন্যের সমান নয়, তাই, সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাৎ এটির কোনও সমাধান নেই।

রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সাথে জড়িত সমস্যাগুলিতে, এমনও রয়েছে যেখানে ভেরিয়েবলকে বোঝানো অক্ষর ছাড়াও, অন্যান্য অক্ষরও রয়েছে। এই অক্ষরগুলি একটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, প্রায়শই বাস্তব। অনুশীলনে, এই জাতীয় সমীকরণ এবং সমীকরণের সিস্টেমগুলি যে কোনও ঘটনা বা বস্তুর সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসন্ধানের সমস্যার দ্বারা পরিচালিত হয়। অর্থাৎ, আপনি কি কোন উদ্ভাবন করেছেন নতুন উপাদানবা একটি ডিভাইস, এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করতে, যা একটি উদাহরণের আকার বা সংখ্যা নির্বিশেষে সাধারণ, আপনাকে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে, যেখানে ভেরিয়েবলের জন্য কিছু সহগগুলির পরিবর্তে অক্ষর রয়েছে। উদাহরণের জন্য আপনাকে দূরে তাকাতে হবে না।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি একটি অনুরূপ সমস্যার জন্য, শুধুমাত্র সমীকরণ, ভেরিয়েবল এবং অক্ষরগুলির সংখ্যা যা একটি নির্দিষ্ট বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে।

উদাহরণ 8।ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:

সমাধান। আমরা সিস্টেমের নির্ধারক খুঁজে পাই:

অজানা জন্য নির্ধারক খোঁজা

রৈখিক সিস্টেমগুলি সমাধান করতে ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় বীজগণিত সমীকরণ(SLAE), যেখানে অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান এবং প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য থেকে আলাদা। এই নিবন্ধে আমরা বিশ্লেষণ করব কিভাবে ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবল পাওয়া যায় এবং সূত্র প্রাপ্ত হয়। এর পরে, আসুন উদাহরণের দিকে এগিয়ে যাই এবং ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান বিশদভাবে বর্ণনা করি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

ক্রেমারের পদ্ধতি - সূত্রের উদ্ভব।

আমাদের ফর্মের রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে

যেখানে x 1, x 2, …, x n অজানা চলক, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- সংখ্যাসূচক সহগ, b 1, b 2, ..., b n - বিনামূল্যের পদ। একটি SLAE-এর সমাধান হল x 1, x 2, …, x n মানের একটি সেট যার জন্য সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণগুলি পরিচয় হয়ে যায়।

ম্যাট্রিক্স আকারে, এই সিস্টেমটি A ⋅ X = B, যেখানে লেখা যেতে পারে - সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স, এর উপাদানগুলি হল অজানা ভেরিয়েবলের সহগ, - ম্যাট্রিক্স হল মুক্ত পদগুলির একটি কলাম, এবং - ম্যাট্রিক্স হল অজানা ভেরিয়েবলের একটি কলাম। অজানা চলক x 1, x 2, …, x n খুঁজে পাওয়ার পর, ম্যাট্রিক্সটি সমীকরণের সিস্টেমের একটি সমাধান হয়ে যায় এবং সমতা A ⋅ X = B একটি পরিচয়ে পরিণত হয়।

আমরা ধরে নেব যে ম্যাট্রিক্স A অ-একবচন, অর্থাৎ, এর নির্ধারক অ-শূন্য। এই ক্ষেত্রে, রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে যা ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। (রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের বিভাগে সমাধান পদ্ধতির জন্য সিস্টেমগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি আলোচনা করা হয়েছে)।

ক্র্যামারের পদ্ধতিটি ম্যাট্রিক্স নির্ধারকের দুটি বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে:

সুতরাং, আসুন অজানা চলক x 1 খুঁজে বের করা শুরু করি। এটি করার জন্য, আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণের উভয় অংশকে A 1 1 দ্বারা, দ্বিতীয় সমীকরণের উভয় অংশকে A 2 1 দ্বারা গুণ করি এবং একইভাবে, nম সমীকরণের উভয় অংশকে A n 1 দ্বারা গুণ করি (অর্থাৎ আমরা প্রথম ম্যাট্রিক্স কলাম A এর সংশ্লিষ্ট বীজগণিতিক পরিপূরক দ্বারা সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে গুণ করুন):

চলুন, সিস্টেম সমীকরণের সমস্ত বাম-পাশ যোগ করি, অজানা ভেরিয়েবল x 1, x 2, ..., x n এর জন্য পদগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি এবং এই যোগফলটিকে সমীকরণের সমস্ত ডানদিকের সমষ্টির সমতুল্য করি:

আমরা যদি নির্ধারকের পূর্বে উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির দিকে ফিরে যাই, আমাদের আছে

এবং আগের সমতা রূপ নেয়

কোথায়

একইভাবে, আমরা x 2 খুঁজে পাই। এটি করার জন্য, আমরা ম্যাট্রিক্স A-এর দ্বিতীয় কলামের বীজগাণিতিক পরিপূরক দ্বারা সিস্টেম সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করি:

আমরা সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ যোগ করি, অজানা ভেরিয়েবল x 1, x 2, ..., x n এর জন্য পদগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি এবং নির্ধারকের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করি:

কোথায়
.

অবশিষ্ট অজানা ভেরিয়েবল একইভাবে পাওয়া যায়।

যদি আমরা মনোনীত করি

তারপর আমরা পেতে Cramer এর পদ্ধতি ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবল খোঁজার জন্য সূত্র .

মন্তব্য করুন।

রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের সিস্টেমটি যদি সমজাতীয় হয়, তাহলে , তারপর এটি শুধুমাত্র একটি তুচ্ছ সমাধান আছে (এ)। প্রকৃতপক্ষে, শূন্য মুক্ত পদের জন্য, সমস্ত নির্ধারক শূন্যের সমান হবে, যেহেতু তারা শূন্য উপাদানগুলির একটি কলাম ধারণ করবে। অতএব, সূত্র দিতে হবে .

ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম।

আসুন এটি লিখে রাখি ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম.

ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমাধান পদ্ধতির উদাহরণ।

আসুন কয়েকটি উদাহরণের সমাধান দেখি।

উদাহরণ।

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের সমাধান খুঁজুন .

সমাধান।

সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের ফর্ম আছে। সূত্র ব্যবহার করে এর নির্ণায়ক গণনা করা যাক :

যেহেতু সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য থেকে আলাদা, তাই SLAE এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং এটি ক্রেমারের পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। আসুন আমরা নির্ধারক লিখি এবং . আমরা সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামটিকে বিনামূল্যে শর্তাবলীর একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং আমরা নির্ধারক পাই . একইভাবে, আমরা মূল ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় কলামটিকে মুক্ত পদের কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং আমরা পাই।

আমরা এই নির্ধারক গণনা করি:

সূত্র ব্যবহার করে অজানা চলক x 1 এবং x 2 খুঁজুন :

এর চেক করা যাক. আসুন প্রাপ্ত মানগুলি x 1 এবং x 2কে সমীকরণের মূল সিস্টেমে প্রতিস্থাপন করি:

সিস্টেমের উভয় সমীকরণ পরিচয় হয়ে ওঠে, তাই সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

উত্তর:

SLAE এর মূল ম্যাট্রিক্সের কিছু উপাদান শূন্যের সমান হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সংশ্লিষ্ট অজানা ভেরিয়েবলগুলি সিস্টেম সমীকরণ থেকে অনুপস্থিত থাকবে। এর একটি উদাহরণ তাকান.

উদাহরণ।

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজুন .

সমাধান।

আসুন ফর্মে সিস্টেমটি পুনরায় লিখি , যাতে সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স দৃশ্যমান হয় . সূত্র ব্যবহার করে এর নির্ধারক খুঁজে বের করা যাক

আমাদের আছে

প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক অশূন্য, তাই রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। আসুন এটি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে খুঁজে বের করি। এর নির্ধারক গণনা করা যাক :

এইভাবে,

উত্তর:

সিস্টেম সমীকরণে অজানা ভেরিয়েবলের উপাধি x 1, x 2, ..., x n থেকে ভিন্ন হতে পারে। এটি সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া প্রভাবিত করে না। কিন্তু প্রধান ম্যাট্রিক্স এবং ক্রেমার পদ্ধতির প্রয়োজনীয় নির্ধারকগুলি সংকলন করার সময় সিস্টেমের সমীকরণে অজানা ভেরিয়েবলের ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। একটি উদাহরণ দিয়ে এই বিষয়টি পরিষ্কার করা যাক।

উদাহরণ।

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে, তিনটি অজানাতে তিনটি রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজুন .

সমাধান।

এই উদাহরণে, অজানা ভেরিয়েবলগুলির একটি আলাদা স্বরলিপি রয়েছে (x1, x2 এবং x3 এর পরিবর্তে x, y এবং z)। এটি সমাধানকে প্রভাবিত করে না, তবে পরিবর্তনশীল লেবেলগুলির সাথে সতর্ক থাকুন। আপনি এটিকে সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স হিসাবে নিতে পারবেন না . সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণে প্রথমে অজানা ভেরিয়েবলগুলিকে অর্ডার করা প্রয়োজন। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণের সিস্টেমটি হিসাবে পুনরায় লিখি . এখন সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান . এর নির্ধারক গণনা করা যাক:

প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক অশূন্য, তাই সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। আসুন এটি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে খুঁজে বের করি। আসুন নির্ধারকগুলি লিখি (স্বরলিপিতে মনোযোগ দিন) এবং তাদের গণনা করুন:

সূত্র ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবল খুঁজে বের করা বাকি :

এর চেক করা যাক. এটি করার জন্য, মূল ম্যাট্রিক্সকে ফলাফলের সমাধান দ্বারা গুণ করুন (যদি প্রয়োজন হয়, বিভাগটি দেখুন):

ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণের মূল সিস্টেমের বিনামূল্যে পদগুলির একটি কলাম পেয়েছি, তাই সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে।

উত্তর:

x = 0, y = -2, z = 3।

উদাহরণ।

ক্র্যামার পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন , যেখানে a এবং b কিছু বাস্তব সংখ্যা।

সমাধান।

উত্তর:

উদাহরণ।

সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান খুঁজুন ক্র্যামার পদ্ধতি দ্বারা, - কিছু বাস্তব সংখ্যা।

সমাধান।

আসুন সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করি: . অভিব্যক্তি একটি ব্যবধান, তাই যেকোনো বাস্তব মানের জন্য। ফলস্বরূপ, সমীকরণের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে যা ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। আমরা গণনা করি এবং:

এই অনুচ্ছেদটি আয়ত্ত করার জন্য, আপনি "দুই দ্বারা দুই" এবং "তিন দ্বারা তিন" নির্ধারকগুলি প্রকাশ করতে সক্ষম হবেন। আপনি যদি যোগ্যতার সাথে খারাপ হন তবে অনুগ্রহ করে পাঠটি অধ্যয়ন করুন নির্ধারক গণনা কিভাবে?

প্রথমত, আমরা দুটি অজানা দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের নিয়মটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখব। কি জন্য? - সর্বোপরি সবচেয়ে সহজ সিস্টেমসমাধান যোগ্য স্কুল পদ্ধতি, টার্ম-বাই-টার্ম যোগ পদ্ধতি দ্বারা!

সত্য যে, যদিও মাঝে মাঝে, এই ধরনের একটি কাজ ঘটে - ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা। দ্বিতীয়ত, একটি সহজ উদাহরণ আপনাকে বুঝতে সাহায্য করবে কিভাবে ক্র্যামারের নিয়ম আরও বেশি ব্যবহার করতে হয় জটিল কেস- তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের সিস্টেম।

এছাড়াও, দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম রয়েছে, যা ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান করার পরামর্শ দেওয়া হয়!

সমীকরণ সিস্টেম বিবেচনা করুন

প্রথম ধাপে আমরা নির্ধারক গণনা করি, একে বলা হয় সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক.

গাউস পদ্ধতি।

যদি , তাহলে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে, এবং শিকড় খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই আরও দুটি নির্ধারক গণনা করতে হবে:
এবং

অনুশীলনে, উপরের কোয়ালিফায়ারগুলিকেও বোঝানো যেতে পারে ল্যাটিন অক্ষর.

আমরা সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাই:
,

উদাহরণ 7

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

সমাধান: আমরা দেখতে পাই যে সমীকরণের সহগগুলি বেশ বড়, ডানদিকে রয়েছে দশমিককমা দিয়ে। কমা একটি বরং বিরল অতিথি মধ্যে ব্যবহারিক কাজগণিতে, আমি এই সিস্টেমটিকে একটি অর্থনৈতিক সমস্যা থেকে নিয়েছি।

কিভাবে এই ধরনের একটি সিস্টেম সমাধান? আপনি একটি পরিবর্তনশীলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করতে পারেন, তবে এই ক্ষেত্রে আপনি সম্ভবত ভয়ানক অভিনব ভগ্নাংশের সাথে শেষ হবেন যা কাজ করতে অত্যন্ত অসুবিধাজনক এবং সমাধানটির নকশাটি কেবল ভয়ঙ্কর দেখাবে। আপনি দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 6 দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং পদ দ্বারা পদ বিয়োগ করতে পারেন, তবে এখানেও একই ভগ্নাংশ দেখা দেবে।

কি করো? এই ধরনের ক্ষেত্রে, ক্রেমারের সূত্রগুলি উদ্ধারে আসে।

;

উত্তর: ,

উভয় শিকড়েরই অসীম লেজ রয়েছে এবং প্রায় পাওয়া যায়, যা অর্থনীতির সমস্যার জন্য বেশ গ্রহণযোগ্য (এবং এমনকি সাধারণ)।

এখানে মন্তব্যের প্রয়োজন নেই, যেহেতু কাজটি রেডিমেড সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, তবে একটি সতর্কতা রয়েছে। কখন ব্যবহার করতে হবে এই পদ্ধতি, বাধ্যতামূলকটাস্ক ডিজাইনের একটি অংশ হল নিম্নলিখিত খণ্ড: "এর মানে হল সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে". অন্যথায়, ক্র্যামারের উপপাদ্যের প্রতি অসম্মানের জন্য পর্যালোচক আপনাকে শাস্তি দিতে পারে।

এটি পরীক্ষা করা অতিরিক্ত হবে না, যা একটি ক্যালকুলেটরে চালানো সুবিধাজনক: আমরা আনুমানিক মান প্রতিস্থাপন করি বাম পাশেসিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ। ফলস্বরূপ, একটি ছোট ত্রুটির সাথে, আপনার ডান পাশে থাকা নম্বরগুলি পাওয়া উচিত।

উদাহরণ 8

উত্তরটি সাধারণ অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে উপস্থাপন কর। একটি চেক করুন.

এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত(পাঠের শেষে সমাপ্তি এবং উত্তরের উদাহরণ)।

আসুন তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের নিয়ম বিবেচনা করা যাক:

আমরা সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক খুঁজে পাই:

যদি , তাহলে সিস্টেমের অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ (কোনও সমাধান নেই)। এই ক্ষেত্রে, ক্র্যামারের নিয়ম সাহায্য করবে না; আপনাকে গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।

যদি , তাহলে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে এবং শিকড় খুঁজে পেতে আমাদের অবশ্যই আরও তিনটি নির্ধারক গণনা করতে হবে:
, ,

এবং অবশেষে, উত্তরটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, "তিন দ্বারা তিন" কেসটি "দুই দ্বারা দুই" কেস থেকে মৌলিকভাবে আলাদা নয়; মুক্ত পদের কলামটি মূল নির্ধারকের কলাম বরাবর বাম থেকে ডানে ক্রমানুসারে "হাঁটে"।

উদাহরণ 9

Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

সমাধান: চলুন Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেম সমাধান করা যাক.

, যার মানে সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে।

উত্তর: .

প্রকৃতপক্ষে, এখানে আবার মন্তব্য করার জন্য বিশেষ কিছু নেই, কারণ সমাধানটি প্রস্তুত সূত্র অনুসরণ করে। কিন্তু মন্তব্য একটি দম্পতি আছে.

এটি ঘটে যে গণনার ফলস্বরূপ, "খারাপ" অপরিবর্তনীয় ভগ্নাংশ প্রাপ্ত হয়, উদাহরণস্বরূপ: .
আমি নিম্নলিখিত "চিকিত্সা" অ্যালগরিদম সুপারিশ. আপনার হাতে একটি কম্পিউটার না থাকলে, এটি করুন:

1) গণনায় একটি ত্রুটি থাকতে পারে। যত তাড়াতাড়ি আপনি একটি "খারাপ" ভগ্নাংশ সম্মুখীন, আপনি অবিলম্বে চেক করতে হবে শর্তটি কি সঠিকভাবে পুনরায় লেখা হয়েছে?. যদি শর্তটি ত্রুটি ছাড়াই পুনরায় লেখা হয়, তাহলে আপনাকে অন্য সারিতে (কলাম) সম্প্রসারণ ব্যবহার করে নির্ধারকগুলি পুনরায় গণনা করতে হবে।

2) যদি চেক করার ফলে কোন ত্রুটি চিহ্নিত না হয়, তাহলে সম্ভবত টাস্ক শর্তে একটি টাইপো ছিল। এই ক্ষেত্রে, শান্তভাবে এবং সাবধানে কাজটি শেষ পর্যন্ত কাজ করুন এবং তারপরে চেক করতে ভুলবেন নাএবং আমরা সিদ্ধান্তের পরে এটি একটি পরিষ্কার শীটে আঁকতে পারি। অবশ্যই, একটি ভগ্নাংশ উত্তর পরীক্ষা করা একটি অপ্রীতিকর কাজ, তবে এটি শিক্ষকের জন্য একটি নিরস্ত্রীকরণ যুক্তি হবে, যিনি সত্যই যেকোন বাজে কথার জন্য একটি বিয়োগ দিতে পছন্দ করেন। ভগ্নাংশগুলি কীভাবে পরিচালনা করবেন তা উদাহরণ 8-এর উত্তরে বিশদভাবে বর্ণিত হয়েছে।

যদি আপনার হাতে একটি কম্পিউটার থাকে, তাহলে পরীক্ষা করার জন্য একটি স্বয়ংক্রিয় প্রোগ্রাম ব্যবহার করুন, যা পাঠের একেবারে শুরুতে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যেতে পারে। যাইহোক, এখনই প্রোগ্রামটি ব্যবহার করা সবচেয়ে লাভজনক (এমনকি সমাধান শুরু করার আগে); আপনি অবিলম্বে মধ্যবর্তী পদক্ষেপটি দেখতে পাবেন যেখানে আপনি ভুল করেছেন! একই ক্যালকুলেটর স্বয়ংক্রিয়ভাবে সিস্টেমের সমাধান গণনা করে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি.

দ্বিতীয় মন্তব্য। সময়ে সময়ে সমীকরণে এমন সিস্টেম রয়েছে যার কিছু ভেরিয়েবল অনুপস্থিত, উদাহরণস্বরূপ:

এখানে প্রথম সমীকরণে কোন পরিবর্তনশীল নেই, দ্বিতীয়টিতে কোন পরিবর্তনশীল নেই। এই ধরনের ক্ষেত্রে, প্রধান নির্ধারকটি সঠিকভাবে এবং সাবধানে লিখতে খুব গুরুত্বপূর্ণ:
- অনুপস্থিত ভেরিয়েবলের জায়গায় শূন্য স্থাপন করা হয়।
যাইহোক, যে সারিতে (কলাম) শূন্য রয়েছে সেই সারি অনুসারে শূন্য সহ নির্ধারকগুলি খোলা যুক্তিসঙ্গত, কারণ লক্ষণীয়ভাবে কম গণনা রয়েছে।

উদাহরণ 10

Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ (চূড়ান্ত নকশার একটি নমুনা এবং পাঠের শেষে উত্তর)।

4টি অজানা সহ 4টি সমীকরণের একটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে, ক্র্যামারের সূত্রগুলি অনুরূপ নীতি অনুসারে লেখা হয়। আপনি ডিটারমিন্যান্টের বৈশিষ্ট্য পাঠে একটি লাইভ উদাহরণ দেখতে পারেন। নির্ধারকের ক্রম হ্রাস করা - পাঁচটি 4র্থ ক্রম নির্ধারক বেশ সমাধানযোগ্য। যদিও কাজটি ইতিমধ্যে একজন ভাগ্যবান ছাত্রের বুকে একজন অধ্যাপকের জুতার কথা মনে করিয়ে দেয়।

একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সিস্টেম সমাধান করা

পদ্ধতি বিপরীত ম্যাট্রিক্স- এটা মূলত বিশেষ মামলা ম্যাট্রিক্স সমীকরণ(নির্দিষ্ট পাঠের নং 3 নং উদাহরণ দেখুন)।

এই বিভাগটি অধ্যয়ন করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই নির্ধারকগুলিকে প্রসারিত করতে, একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত খুঁজে বের করতে এবং ম্যাট্রিক্স গুণন সম্পাদন করতে সক্ষম হতে হবে। ব্যাখ্যা অগ্রগতি হিসাবে প্রাসঙ্গিক লিঙ্ক প্রদান করা হবে.

উদাহরণ 11

ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন

সমাধানসিস্টেমটিকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি:
, কোথায়

অনুগ্রহ করে সমীকরণ এবং ম্যাট্রিক্সের সিস্টেমটি দেখুন। আমি মনে করি সবাই সেই নীতিটি বোঝে যার দ্বারা আমরা উপাদানগুলিকে ম্যাট্রিসে লিখি। একমাত্র মন্তব্য: যদি কিছু ভেরিয়েবল সমীকরণ থেকে অনুপস্থিত থাকে, তাহলে শূন্যকে ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট স্থানে বসাতে হবে।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাই:
, স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্স কোথায় বীজগণিত সংযোজনসংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স উপাদান।

প্রথমে, নির্ণায়কটি দেখি:

এখানে নির্ধারককে প্রথম লাইনে প্রসারিত করা হয়েছে।

মনোযোগ! যদি , তাহলে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান নেই, এবং ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করা অসম্ভব। এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমটি অজানা অপসারণের পদ্ধতি (গাউস পদ্ধতি) দ্বারা সমাধান করা হয়।

এখন আমাদের 9টি অপ্রাপ্তবয়স্ক গণনা করতে হবে এবং তাদের অপ্রাপ্তবয়স্ক ম্যাট্রিক্সে লিখতে হবে

তথ্যসূত্র:রৈখিক বীজগণিতের ডবল সাবস্ক্রিপ্টের অর্থ জানার জন্য এটি দরকারী। প্রথম অঙ্ক হল সেই লাইনের সংখ্যা যেখানে উপাদানটি অবস্থিত। দ্বিতীয় সংখ্যা হল কলামের সংখ্যা যেখানে উপাদানটি অবস্থিত:

অর্থাৎ, একটি ডাবল সাবস্ক্রিপ্ট নির্দেশ করে যে উপাদানটি প্রথম সারিতে, তৃতীয় কলামে এবং, উদাহরণস্বরূপ, উপাদানটি 3 সারিতে, 2 কলামে

সমাধানের সময়, অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনাটি বিশদভাবে বর্ণনা করা ভাল, যদিও কিছু অভিজ্ঞতার সাথে আপনি তাদের মৌখিকভাবে ত্রুটির সাথে গণনা করতে অভ্যস্ত হতে পারেন।

ক্র্যামারের পদ্ধতি বা তথাকথিত ক্র্যামারের নিয়ম হল সমীকরণের সিস্টেমগুলি থেকে অজানা পরিমাণগুলি অনুসন্ধান করার একটি পদ্ধতি। এটি কেবল তখনই ব্যবহার করা যেতে পারে যখন চাওয়া মানের সংখ্যা সিস্টেমের বীজগণিতীয় সমীকরণের সংখ্যার সমতুল্য হয়, অর্থাৎ, সিস্টেম থেকে গঠিত প্রধান ম্যাট্রিক্সটি অবশ্যই বর্গাকার হতে হবে এবং এতে শূন্য সারি থাকবে না, এবং এছাড়াও যদি এর নির্ধারক অবশ্যই শূন্য হবে না

উপপাদ্য ঘ

ক্রেমারের উপপাদ্যযদি মূল ম্যাট্রিক্সের মূল নির্ধারক $D$, সমীকরণের সহগগুলির ভিত্তিতে সংকলিত, শূন্যের সমান না হয়, তাহলে সমীকরণের সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং এটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য তথাকথিত ক্রেমার সূত্রের মাধ্যমে এই ধরনের সিস্টেমের সমাধান গণনা করা হয়: $x_i = \frac(D_i)(D)$

ক্রেমার পদ্ধতি কি?

ক্র্যামারের পদ্ধতির সারমর্মটি নিম্নরূপ:

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমের সমাধান খুঁজতে, প্রথমে আমরা ম্যাট্রিক্সের মূল নির্ধারক $D$ গণনা করি। যখন প্রধান ম্যাট্রিক্সের গণনাকৃত নির্ধারক, যখন ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা গণনা করা হয়, তখন শূন্যের সমান হয়, তখন সিস্টেমের একটি একক সমাধান থাকে না বা অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে। এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমের জন্য একটি সাধারণ বা কিছু মৌলিক উত্তর খুঁজতে, গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার সুপারিশ করা হয়।
তারপরে আপনাকে মূল ম্যাট্রিক্সের বাইরের কলামটি বিনামূল্যের পদগুলির একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং নির্ধারক $D_1$ গণনা করতে হবে।
সমস্ত কলামের জন্য একই পুনরাবৃত্তি করুন, $D_1$ থেকে $D_n$ পর্যন্ত নির্ধারক প্রাপ্ত করুন, যেখানে $n$ হল ডানদিকের কলামের সংখ্যা।
সমস্ত নির্ধারক $D_1$...$D_n$ পাওয়া যাওয়ার পরে, অজানা ভেরিয়েবলগুলি $x_i = \frac(D_i)(D)$ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনার কৌশল

2 বাই 2 এর চেয়ে বেশি মাত্রা সহ একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে, আপনি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন:

ত্রিভুজের নিয়ম, বা সাররাসের নিয়ম, একই নিয়মের কথা মনে করিয়ে দেয়। ত্রিভুজ পদ্ধতির সারমর্ম হল যে নির্ধারক গণনা করার সময়, ডানদিকে লাল রেখা দ্বারা চিত্রে সংযুক্ত সমস্ত সংখ্যার গুণফল একটি যোগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয় এবং সমস্ত সংখ্যা বাম দিকের চিত্রে একইভাবে সংযুক্ত থাকে। বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়। উভয় নিয়মই 3 x 3 আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য উপযুক্ত। সাররাস নিয়মের ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স নিজেই প্রথমে পুনর্লিখন করা হয়, এবং এর পাশে এর প্রথম এবং দ্বিতীয় কলামগুলি আবার লেখা হয়। ম্যাট্রিক্স এবং এই অতিরিক্ত কলামগুলির মাধ্যমে তির্যকগুলি আঁকা হয়; প্রধান কর্ণ বা এর সমান্তরালে থাকা ম্যাট্রিক্স সদস্যগুলি একটি যোগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয় এবং গৌণ কর্ণের উপর বা সমান্তরালে থাকা উপাদানগুলি একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়।

চিত্র 1. ক্রেমার পদ্ধতির নির্ধারক গণনার জন্য ত্রিভুজ নিয়ম

গাউসিয়ান পদ্ধতি নামে পরিচিত একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে, এই পদ্ধতিটিকে কখনও কখনও নির্ধারকের ক্রম হ্রাস করাও বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স রূপান্তরিত হয় এবং হ্রাস করা হয় ত্রিভুজাকার দৃশ্য, এবং তারপর মূল কর্ণের সমস্ত সংখ্যা গুণিত হয়। এটি মনে রাখা উচিত যে এইভাবে একটি নির্ধারক অনুসন্ধান করার সময়, আপনি সারি বা কলামগুলিকে গুণক বা ভাজক হিসাবে না নিয়ে সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করতে পারবেন না। একটি নির্ধারক অনুসন্ধানের ক্ষেত্রে, পূর্বে বিয়োগকৃত সারিটিকে একটি নন-জিরো ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করে শুধুমাত্র সারি এবং কলামগুলি একে অপরের সাথে বিয়োগ এবং যোগ করা সম্ভব। এছাড়াও, যখনই আপনি ম্যাট্রিক্সের সারি বা কলামগুলিকে পুনর্বিন্যাস করবেন, তখন আপনাকে ম্যাট্রিক্সের চূড়ান্ত চিহ্ন পরিবর্তন করার প্রয়োজন মনে রাখতে হবে।
ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে 4টি অজানা সহ একটি SLAE সমাধান করার সময়, নির্ধারক অনুসন্ধান এবং খুঁজে পেতে বা অপ্রাপ্তবয়স্কদের অনুসন্ধান করে নির্ধারক নির্ধারণ করতে Gauss পদ্ধতি ব্যবহার করা ভাল।

ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা

2টি সমীকরণ এবং দুটি প্রয়োজনীয় পরিমাণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাক:

$\শুরু(কেস) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(কেস)$

সুবিধার জন্য এটি প্রসারিত আকারে প্রদর্শন করা যাক:

$A = শুরু(অ্যারে)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(অ্যারে)$

আসুন মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে বের করি, যাকে সিস্টেমের প্রধান নির্ধারকও বলা হয়:

$D = \begin(অ্যারে)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

যদি মূল নির্ধারকটি শূন্যের সমান না হয়, তাহলে ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে স্লো সমাধান করার জন্য দুটি ম্যাট্রিক্স থেকে আরও কয়েকটি নির্ধারক গণনা করা প্রয়োজন যেখানে প্রধান ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি মুক্ত পদের একটি সারি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে:

$D_1 = \begin(অ্যারে)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(অ্যারে) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(অ্যারে)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(অ্যারে) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

এখন আসুন অজানা $x_1$ এবং $x_2$ খুঁজে বের করা যাক:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

উদাহরণ 1

3য় ক্রম (3 x 3) এর একটি প্রধান ম্যাট্রিক্স এবং তিনটি প্রয়োজনীয়গুলির সাথে SLAE গুলি সমাধানের জন্য ক্র্যামারের পদ্ধতি।

সমীকরণ পদ্ধতি সমাধান করুন:

$\begin(কেস) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \\ শেষ(কেস)$

বিন্দু নম্বর 1 এর অধীনে উপরে বর্ণিত নিয়মটি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের প্রধান নির্ধারক গণনা করা যাক:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64$

এবং এখন অন্য তিনটি নির্ধারক:

$D_1 = \begin(অ্যারে)(|ccc 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(অ্যারে)(|ccc + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = শুরু(অ্যারে)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

আসুন প্রয়োজনীয় পরিমাণগুলি সন্ধান করি:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

প্রথম অংশে, আমরা কিছু তাত্ত্বিক উপাদান, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি, সেইসাথে সিস্টেম সমীকরণের টার্ম-বাই-টার্ম যোগ করার পদ্ধতি দেখেছি। যারা এই পৃষ্ঠাটির মাধ্যমে সাইটটি অ্যাক্সেস করেছেন তাদের প্রথম অংশটি পড়ার জন্য আমি সুপারিশ করছি। সম্ভবত কিছু দর্শকের কাছে উপাদানটি খুব সহজ মনে হবে, কিন্তু রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়াতে, আমি সাধারণভাবে গাণিতিক সমস্যার সমাধান সম্পর্কে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য এবং সিদ্ধান্ত নিয়েছি।

এখন আমরা ক্র্যামারের নিয়ম বিশ্লেষণ করব, সেইসাথে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি) ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করব। সমস্ত উপকরণ সহজভাবে, বিস্তারিত এবং স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে; প্রায় সমস্ত পাঠক উপরের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে কীভাবে সিস্টেমগুলি সমাধান করতে হয় তা শিখতে সক্ষম হবে।

প্রথমত, আমরা দুটি অজানা দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য ক্র্যামারের নিয়মটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখব। কি জন্য? – সর্বোপরি, স্কুল পদ্ধতি ব্যবহার করে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতিটি সমাধান করা যেতে পারে, টার্ম-বাই-টার্ম যোগ করার পদ্ধতি!

সত্য যে, যদিও মাঝে মাঝে, এই ধরনের একটি কাজ ঘটে - ক্র্যামারের সূত্র ব্যবহার করে দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা। দ্বিতীয়ত, একটি সহজ উদাহরণ আপনাকে আরও জটিল ক্ষেত্রে ক্র্যামারের নিয়ম কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা বুঝতে সাহায্য করবে - তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণের একটি সিস্টেম।

সমীকরণ সিস্টেম বিবেচনা করুন

প্রথম ধাপে আমরা নির্ধারক গণনা করি, একে বলা হয় সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক.

গাউস পদ্ধতি।

অনুশীলনে, উপরের যোগ্যতাগুলিকে একটি ল্যাটিন অক্ষর দ্বারাও চিহ্নিত করা যেতে পারে।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাই:
,

উদাহরণ 7

রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন

সমাধান: আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সমীকরণের সহগগুলি বেশ বড়; ডান দিকে একটি কমা সহ দশমিক ভগ্নাংশ রয়েছে। গণিতের ব্যবহারিক কাজে কমা একটি বিরল অতিথি; আমি এই সিস্টেমটিকে একটি অর্থনৈতিক সমস্যা থেকে নিয়েছি।

কি করো? এই ধরনের ক্ষেত্রে, ক্রেমারের সূত্রগুলি উদ্ধারে আসে।

;

উত্তর: ,

এখানে মন্তব্যের প্রয়োজন নেই, যেহেতু কাজটি রেডিমেড সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে, তবে একটি সতর্কতা রয়েছে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, বাধ্যতামূলকটাস্ক ডিজাইনের একটি অংশ হল নিম্নলিখিত খণ্ড: "এর মানে হল সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে". অন্যথায়, ক্র্যামারের উপপাদ্যের প্রতি অসম্মানের জন্য পর্যালোচক আপনাকে শাস্তি দিতে পারে।

এটি পরীক্ষা করা অপ্রয়োজনীয় হবে না, যা একটি ক্যালকুলেটরে সুবিধাজনকভাবে করা যেতে পারে: আমরা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে আনুমানিক মানগুলি প্রতিস্থাপন করি। ফলস্বরূপ, একটি ছোট ত্রুটির সাথে, আপনার ডান পাশে থাকা নম্বরগুলি পাওয়া উচিত।

উদাহরণ 8

উত্তরটি সাধারণ অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে উপস্থাপন কর। একটি চেক করুন.

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ (চূড়ান্ত নকশার একটি উদাহরণ এবং পাঠের শেষে উত্তর)।

আমরা সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক খুঁজে পাই:

এবং অবশেষে, উত্তরটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

উদাহরণ 9

Cramer এর সূত্র ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

উত্তর: .

যদি আপনার হাতে একটি কম্পিউটার থাকে, তাহলে পরীক্ষা করার জন্য একটি স্বয়ংক্রিয় প্রোগ্রাম ব্যবহার করুন, যা পাঠের একেবারে শুরুতে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যেতে পারে। যাইহোক, এখনই প্রোগ্রামটি ব্যবহার করা সবচেয়ে লাভজনক (এমনকি সমাধান শুরু করার আগে); আপনি অবিলম্বে মধ্যবর্তী পদক্ষেপটি দেখতে পাবেন যেখানে আপনি ভুল করেছেন! একই ক্যালকুলেটর স্বয়ংক্রিয়ভাবে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমের সমাধান গণনা করে।