সূচকীয় অসমতা দ্বিঘাতিক। সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

এই পাঠে আমরা বিভিন্ন সূচকীয় অসমতা দেখব এবং সহজতম সূচকীয় অসমতাগুলি সমাধান করার কৌশলের উপর ভিত্তি করে কীভাবে তাদের সমাধান করতে হয় তা শিখব।

1. একটি সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

আসুন আমরা সূচকীয় ফাংশনের সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি স্মরণ করি। সমস্ত সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতার সমাধান এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে।

ব্যাখ্যামূলক কাজফর্মের একটি ফাংশন, যেখানে বেস হল ডিগ্রি এবং এখানে x হল স্বাধীন পরিবর্তনশীল, আর্গুমেন্ট; y নির্ভরশীল চলক, ফাংশন।

ভাত। 1. সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ

গ্রাফটি ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসকারী সূচকগুলি দেখায়, যথাক্রমে একের চেয়ে বড় এবং একের চেয়ে কম কিন্তু শূন্যের চেয়ে বড় বেস সহ সূচকীয় ফাংশনকে চিত্রিত করে।

উভয় বক্ররেখা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (0;1)

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য:

ডোমেইন: ;

মান পরিসীমা: ;

ফাংশন একঘেয়ে, সঙ্গে বৃদ্ধি, সঙ্গে হ্রাস.

একটি একঘেয়ে ফাংশন একটি একক যুক্তি মান দেওয়া তার প্রতিটি মান নেয়।

যখন , যখন আর্গুমেন্ট বিয়োগ থেকে প্লাস ইনফিনিটিতে বৃদ্ধি পায়, তখন ফাংশনটি শূন্য থেকে প্লাস ইনফিনিটি পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের প্রদত্ত মানগুলির জন্য আমাদের একটি একঘেয়ে বৃদ্ধি ফাংশন () আছে। বিপরীতে, যখন আর্গুমেন্ট বিয়োগ থেকে প্লাস ইনফিনিটিতে বৃদ্ধি পায়, তখন ফাংশনটি অসীম থেকে শূন্য পর্যন্ত হ্রাস পায়, অর্থাৎ, আর্গুমেন্টের প্রদত্ত মানগুলির জন্য আমাদের একটি একঘেয়েভাবে হ্রাসকারী ফাংশন রয়েছে ()।

2. সহজতম সূচকীয় অসমতা, সমাধান পদ্ধতি, উদাহরণ

উপরের উপর ভিত্তি করে, আমরা সহজ সূচকীয় অসমতা সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি উপস্থাপন করি:

বৈষম্য সমাধানের কৌশল:

ডিগ্রির বেস সমান করুন;

সংরক্ষণ বা পরিবর্তন করে মেট্রিক্স তুলনা করুন বিপরীত চিহ্নঅসমতা

জটিল সূচকীয় বৈষম্যের সমাধান সাধারণত তাদের সহজতম সূচকীয় অসমতায় কমিয়ে আনার মধ্যে থাকে।

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, যার মানে অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত:

এর রূপান্তর করা যাক ডান পাশডিগ্রির বৈশিষ্ট্য অনুসারে:

ডিগ্রীর ভিত্তি একের কম, অসমতার চিহ্নটি অবশ্যই বিপরীত হতে হবে:

দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করতে, আমরা সংশ্লিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা শিকড় খুঁজে পাই:

প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে পরিচালিত হয়।

সুতরাং, আমাদের কাছে অসমতার একটি সমাধান আছে:

এটি অনুমান করা সহজ যে ডান দিকটি একটি শূন্য সূচক সহ একটি শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয় না, আমরা পাই:

আসুন এই ধরনের অসমতা সমাধানের কৌশলটি স্মরণ করি।

ভগ্নাংশ-যুক্তিগত ফাংশন বিবেচনা করুন:

আমরা সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে পাই:

ফাংশনের শিকড় সন্ধান করা:

ফাংশনের একটি একক মূল আছে,

আমরা ধ্রুবক চিহ্নের ব্যবধান নির্বাচন করি এবং প্রতিটি ব্যবধানে ফাংশনের লক্ষণগুলি নির্ধারণ করি:

ভাত। 2. চিহ্নের স্থিরতার ব্যবধান

এইভাবে, আমরা উত্তর পেয়েছি।

উত্তর:

3. স্ট্যান্ডার্ড সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

আসুন একই সূচকগুলির সাথে বৈষম্য বিবেচনা করা যাক, তবে বিভিন্ন ভিত্তি।

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল আর্গুমেন্টের যেকোনো মানের জন্য এটি কঠোরভাবে ধনাত্মক মান নেয়, যার মানে এটি একটি সূচকীয় ফাংশনে বিভক্ত হতে পারে। আসুন প্রদত্ত অসমতাটিকে তার ডান দিক দিয়ে ভাগ করি:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত।

আসুন সমাধানটি ব্যাখ্যা করি:

চিত্র 6.3 ফাংশনের গ্রাফ দেখায় এবং . স্পষ্টতই, যখন আর্গুমেন্ট শূন্যের চেয়ে বড় হয়, ফাংশনের গ্রাফটি বেশি হয়, এই ফাংশনটি বড় হয়। যখন আর্গুমেন্ট মান নেতিবাচক হয়, ফাংশন কম যায়, এটি ছোট হয়। যখন আর্গুমেন্ট সমান, ফাংশন সমান, যার মানে প্রদত্ত বিন্দুএছাড়াও প্রদত্ত অসমতার একটি সমাধান।

ভাত। 3. উদাহরণ 4

আসুন ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য অনুসারে প্রদত্ত অসমতাকে রূপান্তর করি:

এখানে কিছু অনুরূপ পদ আছে:

আসুন উভয় অংশে ভাগ করি:

এখন আমরা উদাহরণ 4 এর মতো একইভাবে সমাধান করতে থাকি, উভয় অংশকে এভাবে ভাগ করি:

ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, অসমতার চিহ্নটি রয়ে গেছে:

4. সূচকীয় অসমতার গ্রাফিক্যাল সমাধান

উদাহরণ 6 - গ্রাফিকভাবে অসমতা সমাধান করুন:

আসুন বাম এবং ডান দিকের ফাংশনগুলি দেখি এবং তাদের প্রতিটির জন্য একটি গ্রাফ তৈরি করি।

ফাংশনটি সূচকীয় এবং তার সম্পূর্ণ সংজ্ঞার ডোমেনে বৃদ্ধি পায়, অর্থাত্ আর্গুমেন্টের সমস্ত বাস্তব মানের জন্য।

ফাংশনটি রৈখিক এবং তার সম্পূর্ণ সংজ্ঞার ডোমেনে হ্রাস পায়, অর্থাত্ আর্গুমেন্টের সমস্ত বাস্তব মানের জন্য।

যদি এই ফাংশনগুলিকে ছেদ করে, অর্থাৎ সিস্টেমের একটি সমাধান থাকে, তবে এই জাতীয় সমাধানটি অনন্য এবং সহজেই অনুমান করা যায়। এটি করার জন্য, আমরা পূর্ণসংখ্যার উপর পুনরাবৃত্তি করি ()

এটি দেখতে সহজ যে এই সিস্টেমের মূল হল:

এইভাবে, ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একটি বিন্দুতে ছেদ করে একটি আর্গুমেন্টের সমান।

এখন আমাদের একটি উত্তর পেতে হবে। প্রদত্ত অসমতার অর্থ হল সূচকটি অবশ্যই এর থেকে বড় বা সমান হতে হবে লিনিয়ার ফাংশন, অর্থাৎ উচ্চতর হওয়া বা এর সাথে মিলে যাওয়া। উত্তরটি সুস্পষ্ট: (চিত্র 6.4)

ভাত। 4. উদাহরণ 6

সুতরাং, আমরা বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড সূচকীয় অসমতা সমাধানের দিকে তাকিয়েছি। পরবর্তীতে আমরা আরও জটিল সূচকীয় অসমতা বিবেচনা করতে এগিয়ে যাই।

গ্রন্থপঞ্জি

মর্ডকোভিচ এ.জি. বীজগণিত এবং নীতি গাণিতিক বিশ্লেষণ. - এম.: মেমোসিন। মুরাভিন জি কে, মুরাভিন ও.ভি. বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। - এম.: বাস্টার্ড। কোলমোগোরভ এ.এন., আব্রামভ এ.এম., ডুডনিটসিন ইউ পি. এট আলজেবরা এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। - এম.: এনলাইটেনমেন্ট।

গণিত মো. গণিত-পুনরাবৃত্তি। com. ডিফার। কেমসু ru

বাড়ির কাজ

1. বীজগণিত এবং বিশ্লেষণের সূচনা, গ্রেড 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, নং 472, 473;

2. অসমতা সমাধান করুন:

3. অসমতা সমাধান করুন।

আসুন দেখি কিভাবে বিভিন্ন ঘাঁটির সাথে শক্তির সাথে জড়িত সূচকীয় অসাম্যের সমাধান করা যায়। এই ধরনের অসমতার সমাধান সংশ্লিষ্টদের সমাধানের অনুরূপ।

(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে">!}

আমরা একই ঘাঁটি সঙ্গে ডিগ্রী গ্রুপ. অসমতার বিপরীত দিকে তাদের আলাদা করা আরও সুবিধাজনক:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শক্তির প্রতিটি জোড়া থেকে আমরা বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়ক বের করি - ছোট সূচক সহ শক্তি। বন্ধনী থেকে কমন ফ্যাক্টর বের করার অর্থ হল এই ফ্যাক্টর দিয়ে প্রতিটি পদকে ভাগ করা। একই ঘাঁটি দিয়ে ডিগ্রী ভাগ করার সময়, আমরা বেসটিকে একই রাখি এবং সূচকগুলি বিয়োগ করি:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

আপনি অবিলম্বে 20 (20=4∙5) দ্বারা ভাগ করতে পারেন, কিন্তু অনুশীলন দেখায় যে দুটি পর্যায়ে ভাগ করলে আপনি সম্ভাব্য ত্রুটিগুলি এড়াতে পারবেন:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

যেহেতু বেস 2/5<1, показательная функция

হ্রাস পায়, তাই সূচকগুলির মধ্যে অসমতার চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হয়:

ইন্টারভাল পদ্ধতি ব্যবহার করে দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করা যাক। অসমতার বাম দিকে ফাংশনের শূন্য হল x1=-1; x2=2। আমরা তাদের সংখ্যা লাইনে চিহ্নিত করি।

চিহ্নটি পরীক্ষা করতে, একটি শূন্য নিন: 0²-0-2=-2, যে ব্যবধানে শূন্যটি রয়েছে, সেখানে "-" লিখুন। আমরা একটি চেকারবোর্ড প্যাটার্নে অবশিষ্ট লক্ষণগুলি সাজাই। যেহেতু আমরা একটি অসমতা সমাধান করছি যেখানে বাম দিকটি শূন্যের চেয়ে কম, আমরা "-" চিহ্ন দিয়ে ব্যবধানটি বেছে নিই।

উত্তরঃ x ∈ (-1; 2)।

এই ধরনের অসমতার একটি বৈকল্পিক হল যে সমস্ত শক্তির একই ভিত্তি রয়েছে, কিন্তু সূচকগুলিতে x এর সহগগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে।

বাম দিকে আমরা বন্ধনীর বাইরে সর্বনিম্ন সূচক সহ ডিগ্রী রাখি

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

আমরা একটি সূচকীয় অসমতায় পৌঁছেছি। যেহেতু বেস 7>1, ফাংশন

বৃদ্ধি পায়, সূচকগুলির মধ্যে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয় না:

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে এই অসমতা সমাধানের জন্য, আমরা সমস্ত শর্তাবলীতে নিয়ে যাই বাম পাশেএবং ভগ্নাংশ কমাতে

বেশিরভাগ গাণিতিক সমস্যাগুলি এক বা অন্য উপায়ে সমাধান করার জন্য সংখ্যাসূচক, বীজগণিত বা কার্যকরী রাশির রূপান্তর জড়িত। উপরোক্ত সিদ্ধান্ত বিশেষভাবে প্রযোজ্য. গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সংস্করণগুলিতে, এই ধরনের সমস্যাটির মধ্যে রয়েছে, বিশেষ করে, টাস্ক C3। C3 কাজগুলি সমাধান করতে শেখা শুধুমাত্র ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা সফলভাবে পাস করার উদ্দেশ্যেই নয়, উচ্চ বিদ্যালয়ে গণিতের কোর্স অধ্যয়ন করার সময় এই দক্ষতাটি কার্যকর হবে এই কারণেও গুরুত্বপূর্ণ।

কাজ C3 সম্পূর্ণ করার সময়, আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে বিভিন্ন ধরনেরসমীকরণ এবং অসমতা। এর মধ্যে রয়েছে মূলদ, অযৌক্তিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, মডিউল ধারণকারী ( পরম মান), সেইসাথে মিলিত বেশী. এই নিবন্ধটি সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলির প্রধান প্রকারগুলি নিয়ে আলোচনা করে বিভিন্ন পদ্ধতিতাদের সিদ্ধান্ত। অন্যান্য ধরণের সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান সম্পর্কে পড়ুন "" বিভাগে C3 সমস্যাগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত নিবন্ধগুলিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্পঅংক.

আমরা নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ শুরু করার আগে সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা, একজন গণিত শিক্ষক হিসাবে, আমি আপনাকে কিছু তাত্ত্বিক উপাদান ব্রাশ করার পরামর্শ দিই যা আমাদের প্রয়োজন হবে।

ব্যাখ্যামূলক কাজ

একটি সূচকীয় ফাংশন কি?

ফর্মের ফাংশন y = একটি x, কোথায় ক> 0 এবং ক≠ 1 বলা হয় ব্যাখ্যামূলক কাজ.

মৌলিক সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য y = একটি x:

একটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ হল সূচক:

সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ (সূচক)

সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করা

নির্দেশকসমীকরণ বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে পাওয়া যায়।

সমাধানের জন্য সূচকীয় সমীকরণআপনাকে নিম্নলিখিত সহজ উপপাদ্যটি জানতে এবং ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে:

উপপাদ্য ঘ.সূচকীয় সমীকরণ ক চ(এক্স) = ক g(এক্স) (কোথায় ক > 0, ক≠ 1) সমীকরণের সমতুল্য চ(এক্স) = g(এক্স).

এছাড়াও, ডিগ্রি সহ মৌলিক সূত্র এবং ক্রিয়াকলাপগুলি মনে রাখা দরকারী:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

উদাহরণ 1.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা উপরের সূত্র এবং প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি:

তারপর সমীকরণটি হয়ে যায়:

ফলস্বরূপ দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য ধনাত্মক:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

এর মানে হল এই সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে। আমরা তাদের খুঁজে পাই:

বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে যাচ্ছি, আমরা পাই:

দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো শিকড় নেই, যেহেতু সূচকীয় ফাংশনটি সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে কঠোরভাবে ইতিবাচক। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:

উপপাদ্য 1 এ যা বলা হয়েছিল তা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা সমতুল্য সমীকরণে এগিয়ে যাই: এক্স= 3. এটি টাস্কের উত্তর হবে।

উত্তর: এক্স = 3.

উদাহরণ 2।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:সমীকরণের অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসরের উপর কোন সীমাবদ্ধতা নেই, যেহেতু র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি যে কোনও মানের জন্য অর্থপূর্ণ এক্স(ব্যাখ্যামূলক কাজ y = 9 4 -এক্সধনাত্মক এবং শূন্যের সমান নয়)।

আমরা দ্বারা সমীকরণ সমাধান সমতুল্য রূপান্তরক্ষমতার গুণ ও ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে:

শেষ রূপান্তরটি উপপাদ্য 1 অনুসারে করা হয়েছিল।

উত্তর:এক্স= 6.

উদাহরণ 3.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:উভয় অংশ মূল সমীকরণ 0.2 দ্বারা ভাগ করা যায় এক্স. এই রূপান্তরটি সমতুল্য হবে, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে বেশি এক্স(সূচক ফাংশনটি তার সংজ্ঞার ক্ষেত্রে কঠোরভাবে ইতিবাচক)। তারপর সমীকরণ ফর্ম নেয়:

উত্তর: এক্স = 0.

উদাহরণ 4.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার ভাগ এবং গুণের নিয়মগুলি ব্যবহার করে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে একটি প্রাথমিকের সমীকরণকে সরল করি:

সমীকরণের উভয় দিককে 4 দ্বারা ভাগ করা এক্স, আগের উদাহরণের মতো, একটি সমতুল্য রূপান্তর, যেহেতু এই অভিব্যক্তিটি কোনো মানের জন্য শূন্যের সমান নয় এক্স.

উত্তর: এক্স = 0.

উদাহরণ 5।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:ফাংশন y = 3এক্স, সমীকরণের বাম পাশে দাঁড়ানো, বাড়ছে। ফাংশন y = —এক্সসমীকরণের ডান পাশের -2/3টি কমছে। এর মানে এই যে যদি এই ফাংশনগুলির গ্রাফগুলিকে ছেদ করে তবে সর্বাধিক এক বিন্দুতে। ভিতরে এক্ষেত্রেএটা অনুমান করা কঠিন নয় যে গ্রাফগুলি বিন্দুতে ছেদ করে এক্স= -1। অন্য কোন শিকড় থাকবে না।

উত্তর: এক্স = -1.

উদাহরণ 6.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:আমরা সমীকরণটিকে সমতুল্য রূপান্তরের মাধ্যমে সরলীকরণ করি, সর্বত্র মনে রেখে যে সূচকীয় ফাংশনটি যেকোনো মানের জন্য শূন্যের চেয়ে কঠোরভাবে বেশি এক্সএবং নিবন্ধের শুরুতে প্রদত্ত ক্ষমতার গুণফল এবং ভাগফল গণনা করার নিয়মগুলি ব্যবহার করে:

উত্তর: এক্স = 2.

সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

নির্দেশকঅসমতা বলা হয় যেখানে অজানা চলকটি শুধুমাত্র কিছু শক্তির সূচকে থাকে।

সমাধানের জন্য সূচকীয় অসমতানিম্নলিখিত উপপাদ্য জ্ঞান প্রয়োজন:

উপপাদ্য 2।যদি ক> 1, তারপর অসমতা ক চ(এক্স) > ক g(এক্স) একই অর্থের একটি অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) > g(এক্স) যদি 0< ক < 1, то показательное неравенство ক চ(এক্স) > ক g(এক্স) বিপরীত অর্থ সহ একটি অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) < g(এক্স).

উদাহরণ 7।বৈষম্য সমাধান করুন:

সমাধান:আসুন মূল অসমতা ফর্মে উপস্থাপন করা যাক:

এই অসমতার উভয় দিককে 3 2 দ্বারা ভাগ করা যাক এক্স, এই ক্ষেত্রে (ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে y= 3 2এক্স) অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে না:

আসুন প্রতিস্থাপনটি ব্যবহার করি:

তাহলে অসমতা রূপ নেবে:

সুতরাং, অসমতার সমাধান হল ব্যবধান:

বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে গেলে, আমরা পাই:

সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে, বাম অসমতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়। লগারিদমের সুপরিচিত সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমরা সমতুল্য অসমতার দিকে এগিয়ে যাই:

যেহেতু ডিগ্রির ভিত্তি হল একটি সংখ্যার চেয়ে বড়, সমতুল্য (থিওরেম 2 দ্বারা) নিম্নোক্ত অসমতার রূপান্তর:

সুতরাং, আমরা অবশেষে পেতে উত্তর:

উদাহরণ 8।বৈষম্য সমাধান করুন:

সমাধান:ক্ষমতার গুণন এবং ভাগের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা অসমতাকে আকারে আবার লিখি:

চলুন একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করা যাক:

এই প্রতিস্থাপনকে বিবেচনায় নিয়ে, অসমতা রূপ নেয়:

ভগ্নাংশের লব এবং হরকে 7 দ্বারা গুণ করলে, আমরা নিম্নলিখিত সমতুল্য অসমতা পাই:

সুতরাং, ভেরিয়েবলের নিম্নলিখিত মানগুলি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে t:

তারপরে, বিপরীত প্রতিস্থাপনে চলে গেলে, আমরা পাই:

যেহেতু এখানে ডিগ্রির ভিত্তি একের বেশি, তাই অসমতার রূপান্তর সমতুল্য হবে (তত্ত্ব 2 দ্বারা):

অবশেষে আমরা পেতে উত্তর:

উদাহরণ 9।বৈষম্য সমাধান করুন:

সমাধান:

আমরা অভিব্যক্তি দ্বারা অসমতার উভয় পক্ষকে ভাগ করি:

এটি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় (সূচক ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে), তাই অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করার প্রয়োজন নেই। আমরা পেতে:

টি ব্যবধানে অবস্থিত:

বিপরীত প্রতিস্থাপনের দিকে এগিয়ে গিয়ে, আমরা দেখতে পাই যে মূল অসমতা দুটি ক্ষেত্রে বিভক্ত:

সূচকীয় ফাংশনের ইতিবাচকতার কারণে প্রথম অসমতার কোন সমাধান নেই। আসুন দ্বিতীয়টি সমাধান করি:

উদাহরণ 10।বৈষম্য সমাধান করুন:

সমাধান:

প্যারাবোলা শাখা y = 2এক্স+2-এক্স 2 নীচের দিকে পরিচালিত হয়, তাই এটি উপরে থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:

প্যারাবোলা শাখা y = এক্স 2 -2এক্সসূচকের +2 উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, যার মানে এটি নীচের দিক থেকে সীমিত মান দ্বারা এটি তার শীর্ষে পৌঁছায়:

একই সময়ে, ফাংশনটিও নীচে থেকে আবদ্ধ হতে দেখা যায় y = 3 এক্স 2 -2এক্স+2, যা সমীকরণের ডানদিকে রয়েছে। সে তার লক্ষ্য অর্জন করে সর্বনিম্ন মানসূচকের প্যারাবোলার মতো একই বিন্দুতে, এবং এই মানটি 3 1 = 3 এর সমান। সুতরাং, আসল অসমতা তখনই সত্য হতে পারে যখন বাম দিকের ফাংশন এবং ডানদিকে ফাংশনটি 3 এর সমান একটি মান গ্রহণ করে একই বিন্দুতে (ছেদ দ্বারা এই ফাংশনগুলির মানের পরিসীমা শুধুমাত্র এই সংখ্যা)। এই শর্ত একক বিন্দুতে সন্তুষ্ট হয় এক্স = 1.

উত্তর: এক্স= 1.

সিদ্ধান্ত নিতে শেখার জন্য সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতা,তাদের সমাধান করার জন্য ক্রমাগত প্রশিক্ষণ দেওয়া প্রয়োজন। এই কঠিন কাজটিতে বিভিন্ন জিনিস আপনাকে সাহায্য করতে পারে। পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল, প্রাথমিক গণিতের সমস্যা বই, প্রতিযোগিতামূলক সমস্যার সংগ্রহ, স্কুলে গণিত ক্লাস, পাশাপাশি স্বতন্ত্র সেশনএকজন পেশাদার শিক্ষকের সাথে। আমি আন্তরিকভাবে আপনার প্রস্তুতির সাফল্য এবং পরীক্ষায় চমৎকার ফলাফল কামনা করছি।

সের্গেই ভ্যালেরিভিচ

পিএস প্রিয় অতিথিরা! অনুগ্রহ করে মন্তব্যে আপনার সমীকরণ সমাধানের জন্য অনুরোধ লিখবেন না। দুর্ভাগ্যবশত, এই জন্য আমার একেবারে কোন সময় নেই. এই ধরনের বার্তা মুছে ফেলা হবে. অনুগ্রহ করে নিবন্ধটি পড়ুন। সম্ভবত এটিতে আপনি এমন প্রশ্নের উত্তর পাবেন যা আপনাকে নিজের কাজ নিজেই সমাধান করতে দেয়নি।

সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতাগুলি হল যেগুলির মধ্যে অজানাটি সূচকের মধ্যে রয়েছে।

সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করা প্রায়শই a x = a b সমীকরণের সমাধানে নেমে আসে, যেখানে a > 0, a ≠ 1, x একটি অজানা। এই সমীকরণটির একটি একক মূল x = b আছে, যেহেতু নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সত্য:

উপপাদ্য। a > 0, a ≠ 1 এবং a x 1 = a x 2 হলে, x 1 = x 2।

আমাদের বিবেচিত বিবৃতি প্রমাণ করা যাক.

আসুন ধরে নিই যে সমতা x 1 = x 2 ধরে না, অর্থাৎ x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, তাহলে সূচকীয় ফাংশন y = a x বৃদ্ধি পায় এবং তাই অসমতা a x 1 অবশ্যই সন্তুষ্ট হবে< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >একটি x 2। উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একটি x 1 = a x 2 শর্তের একটি দ্বন্দ্ব পেয়েছি।

আসুন বেশ কয়েকটি সমস্যা বিবেচনা করি।

4 ∙ 2 x = 1 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

আসুন 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 আকারে সমীকরণটি লিখি, যেখান থেকে আমরা x + 2 = 0 পাই। x = -2।

উত্তর. x = -2।

সমীকরণ 2 3x ∙ 3 x = 576 সমাধান করুন।

সমাধান।

যেহেতু 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, সমীকরণটি 8 x ∙ 3 x = 24 2 বা 24 x = 24 2 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

এখান থেকে আমরা x = 2 পাই।

উত্তর. x = 2।

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

বাম দিকে বন্ধনীর মধ্যে 3 x - 2 কমন ফ্যাক্টর নিলে, আমরা 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 পাব,

যেখান থেকে 3 x - 2 = 1, অর্থাৎ x – 2 = 0, x = 2।

উত্তর. x = 2।

3 x = 7 x সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

যেহেতু 7 x ≠ 0, সমীকরণটি 3 x /7 x = 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখান থেকে (3/7) x = 1, x = 0।

উত্তর. x = 0।

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান।

3 x = a প্রতিস্থাপন করলে এই সমীকরণটি কমে যায় দ্বিঘাত সমীকরণ a 2 – 4a – 45 = 0।

এই সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা এর মূল খুঁজে পাই: a 1 = 9, এবং 2 = -5, যেখান থেকে 3 x = 9, 3 x = -5।

3 x = 9 সমীকরণের রুট 2 আছে, এবং সমীকরণ 3 x = -5 এর কোনো মূল নেই, যেহেতু সূচকীয় ফাংশন নেতিবাচক মান নিতে পারে না।

উত্তর. x = 2।

সূচকীয় অসমতাগুলি সমাধান করা প্রায়শই অসমতাগুলি a x > a b বা a x সমাধানে নেমে আসে< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

আসুন কিছু সমস্যা দেখা যাক।

অসমতা সমাধান করুন 3 x< 81.

সমাধান।

অসমতাকে 3 x আকারে লিখি< 3 4 . Так как 3 >1, তাহলে ফাংশন y = 3 x বাড়ছে।

অতএব, x এর জন্য< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

এইভাবে, x এ< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 এক্স< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

উত্তর. এক্স< 4.

অসমতা সমাধান করুন 16 x +4 x – 2 > 0।

সমাধান।

আসুন 4 x = t বোঝাই, তারপর আমরা দ্বিঘাত অসমতা t2 + t – 2 > 0 পাই।

এই অসমতা টি জন্য ঝুলিতে< -2 и при t > 1.

যেহেতু t = 4 x, আমরা দুটি অসমতা 4 x পাই< -2, 4 х > 1.

প্রথম অসমতার কোনো সমাধান নেই, যেহেতু 4 x > 0 সব x € R এর জন্য।

আমরা দ্বিতীয় অসমতা 4 x > 4 0 আকারে লিখি, যেখান থেকে x > 0।

উত্তর. x > 0।

গ্রাফিকভাবে সমীকরণটি সমাধান করুন (1/3) x = x – 2/3।

সমাধান।

1) আসুন y = (1/3) x এবং y = x – 2/3 ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করি।

2) আমাদের চিত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে বিবেচিত ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি বিন্দুতে অ্যাবসিসা x ≈ 1 দিয়ে ছেদ করে। পরীক্ষা করা প্রমাণ করে যে

x = 1 এই সমীকরণের মূল:

(1/3) 1 = 1/3 এবং 1 – 2/3 = 1/3।

অন্য কথায়, আমরা সমীকরণের একটি মূল খুঁজে পেয়েছি।

3) আসুন অন্য শিকড়গুলি খুঁজে বের করি বা প্রমাণ করি যে কোনটি নেই। ফাংশন (1/3) x কমছে, এবং ফাংশন y = x – 2/3 বাড়ছে। অতএব, x > 1 এর জন্য, প্রথম ফাংশনের মান 1/3-এর কম, এবং দ্বিতীয়টি - 1/3-এর বেশি; x এ< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 এবং x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

উত্তর. x = 1।

উল্লেখ্য যে এই সমস্যার সমাধান থেকে, বিশেষ করে, এটি অনুসরণ করে যে অসমতা (1/3) x > x – 2/3 x এর জন্য সন্তুষ্ট< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

অনেক লোক মনে করে যে সূচকীয় অসমতাগুলি জটিল এবং বোধগম্য কিছু। এবং সেগুলি সমাধান করা শেখা প্রায় একটি দুর্দান্ত শিল্প, যা শুধুমাত্র নির্বাচিতরাই বুঝতে সক্ষম...

সম্পূর্ণ বাজে কথা! সূচকীয় অসমতা সহজ। এবং তারা সবসময় সহজভাবে সমাধান করা হয়. ভাল, প্রায় সবসময় :)

আজ আমরা ভিতরে এবং বাইরে এই বিষয় দেখব. এই পাঠটি তাদের জন্য খুবই উপযোগী হবে যারা স্কুলের গণিতের এই বিভাগটি সবেমাত্র বুঝতে শুরু করেছে। চলো আমরা শুরু করি সহজ কাজএবং আমরা আরও জটিল বিষয়ে এগিয়ে যাব। আজ কোন কঠোর পরিশ্রম হবে না, তবে আপনি যা পড়তে চলেছেন তা সমস্ত ধরণের পরীক্ষা এবং পরীক্ষায় বেশিরভাগ অসমতা সমাধানের জন্য যথেষ্ট হবে। স্বাধীন কাজ. আর তোমার এই পরীক্ষায়ও।

বরাবরের মতো, সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা যাক। একটি সূচকীয় অসমতা হল কোনো অসমতা যাতে একটি সূচকীয় ফাংশন থাকে। অন্য কথায়, এটি সর্বদা ফর্মের একটি অসমতা হ্রাস করা যেতে পারে

\[(a)^(x)) \gt b\]

যেখানে $b$ এর ভূমিকা একটি সাধারণ সংখ্যা হতে পারে, অথবা হয়তো আরও কঠিন কিছু। উদাহরণ? হ্যাঁ:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ কোয়াড ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(এক্স))). \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমি মনে করি অর্থটি পরিষ্কার: একটি সূচকীয় ফাংশন $((a)^(x))$ আছে, এটিকে কিছুর সাথে তুলনা করা হয়, এবং তারপর $x$ খুঁজে পেতে বলা হয়। নির্দিষ্টভাবে ক্লিনিকাল ক্ষেত্রেপরিবর্তনশীল $x$ এর পরিবর্তে তারা কিছু ফাংশন $f\left(x \right)$ রাখতে পারে এবং এর ফলে অসমতাকে কিছুটা জটিল করে তোলে।

অবশ্যই, কিছু ক্ষেত্রে বৈষম্য আরও তীব্র হতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ:

\[(9)^(x)+8 \gt ((3)^(x+2))\]

বা এমনকি এটি:

সাধারণভাবে, এই ধরনের বৈষম্যের জটিলতা খুব আলাদা হতে পারে, কিন্তু শেষ পর্যন্ত তারা এখনও সাধারণ নির্মাণ $((a)^(x)) \gt b$ পর্যন্ত হ্রাস করে। এবং আমরা কোনওভাবে এই জাতীয় নির্মাণটি বের করব (বিশেষত ক্লিনিকাল ক্ষেত্রে, যখন কিছুই মনে আসে না, লগারিদম আমাদের সাহায্য করবে)। অতএব, এখন আমরা আপনাকে শেখাব কিভাবে এই ধরনের সহজ নির্মাণগুলি সমাধান করা যায়।

সহজ সূচকীয় অসমতা সমাধান করা

আসুন খুব সহজ কিছু বিবেচনা করা যাক। উদাহরণস্বরূপ, এই:

\[(2)^(x)) \gt 4\]

স্পষ্টতই, ডানদিকের সংখ্যাটি দুটির শক্তি হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে: $4=((2)^(2))$। সুতরাং, মূল অসমতা একটি খুব সুবিধাজনক আকারে পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

\[(2)^(x) \gt ((2)^(2))\]

এবং এখন $x \gt 2$ উত্তর পাওয়ার জন্য আমার হাত দুটোকে ক্ষমতার ঘাঁটিতে "ক্রস আউট" করতে চুলকাচ্ছে। তবে কিছু করার আগে, আসুন দুটি শক্তির কথা মনে রাখি:

\[(2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

আমরা দেখতে, তুলনায় বড় সংখ্যাসূচকে আছে, আউটপুট সংখ্যা যত বড় হবে। "ধন্যবাদ, ক্যাপ!" - ছাত্রদের একজন চিৎকার করবে। এটা কোন ভিন্ন? দুর্ভাগ্যবশত, এটা ঘটে. উদাহরণ স্বরূপ:

\[(\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad (\left(\frac(1)(2)) \ ডানে ;...\]

এখানেও, সবকিছুই যৌক্তিক: ডিগ্রী যত বেশি হবে, 0.5 সংখ্যাটি তত বেশি গুণিত হবে (অর্থাৎ, অর্ধেকে বিভক্ত)। এইভাবে, সংখ্যার ফলস্বরূপ ক্রম হ্রাস পাচ্ছে, এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় ক্রমগুলির মধ্যে পার্থক্য শুধুমাত্র বেসে:

• যদি ডিগ্রির বেস $a \gt 1$ হয়, তাহলে সূচক $n$ যত বাড়বে, সংখ্যা $((a)^(n))$ও বাড়বে;
• এবং এর বিপরীতে, যদি $0 \lt a \lt 1$ হয়, তাহলে সূচক $n$ বাড়ার সাথে সাথে $((a)^(n))$ কমবে।

এই তথ্যগুলির সংক্ষিপ্তসারে, আমরা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি পাই যার উপর ভিত্তি করে সূচকীয় অসমতার সম্পূর্ণ সমাধান:

যদি $a \gt 1$ হয়, তাহলে অসমতা $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ হল অসমতা $x \gt n$ এর সমতুল্য। যদি $0 \lt a \lt 1$, তাহলে অসমতা $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ অসমতা $x \lt n$ এর সমতুল্য।

অন্য কথায়, যদি ভিত্তিটি একের বেশি হয়, আপনি কেবল এটিকে সরাতে পারেন - অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন হবে না। এবং যদি বেস একের কম হয়, তবে এটিও সরানো যেতে পারে, তবে একই সময়ে আপনাকে অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন করতে হবে।

দয়া করে মনে রাখবেন যে আমরা $a=1$ এবং $a\le 0$ বিকল্পগুলি বিবেচনা করিনি। কারণ এসব ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তা দেখা দেয়। আসুন বলি কিভাবে $((1)^(x)) \gt 3$ ফর্মের একটি অসমতা সমাধান করা যায়? যেকোন ক্ষমতায় একজনকে আবার এক দেবে- আমরা কখনো তিন বা তার বেশি পাব না। সেগুলো. কোন সমাধান আছে.

নেতিবাচক কারণে সবকিছু আরও আকর্ষণীয়। উদাহরণস্বরূপ, এই অসমতা বিবেচনা করুন:

\[(\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

প্রথম নজরে, সবকিছু সহজ:

ঠিক? কিন্তু না! সমাধানটি ভুল কিনা তা নিশ্চিত করতে $x$ এর পরিবর্তে কয়েকটি জোড় এবং কয়েকটি বিজোড় সংখ্যা প্রতিস্থাপন করাই যথেষ্ট। এক নজর দেখে নাও:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লক্ষণগুলি বিকল্প। কিন্তু ভগ্নাংশের ক্ষমতা এবং অন্যান্য বাজে কথাও আছে। উদাহরণস্বরূপ, কীভাবে আপনি $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (মাইনাস দুই থেকে সাতের শক্তি) গণনা করার আদেশ দেবেন? কোনভাবেই না!

অতএব, সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা ধরে নিই যে সমস্ত সূচকীয় অসমতায় (এবং সমীকরণ, যাইহোক) $1\ne a \gt 0$। এবং তারপর সবকিছু খুব সহজভাবে সমাধান করা হয়:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ) \ ডান৷\]

সাধারণভাবে, আবারও মূল নিয়মটি মনে রাখবেন: যদি একটি সূচকীয় সমীকরণের ভিত্তিটি একের বেশি হয়, আপনি সহজভাবে এটি সরাতে পারেন; এবং যদি বেস একের কম হয়, এটিও সরানো যেতে পারে, তবে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে।

সমাধানের উদাহরণ

সুতরাং, আসুন কয়েকটি সাধারণ সূচকীয় অসমতা দেখি:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সব ক্ষেত্রেই প্রাথমিক কাজটি একই: অসমতা কমাতে সহজতম ফর্ম $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$। আমরা এখন প্রতিটি অসমতার সাথে ঠিক এটিই করব এবং একই সাথে আমরা ডিগ্রি এবং সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি পুনরাবৃত্তি করব। তাহলে এবার চল!

\[(2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

আপনি এখানে কি করতে পারেন? ঠিক আছে, বাম দিকে আমাদের ইতিমধ্যে একটি সূচক অভিব্যক্তি রয়েছে - কিছুই পরিবর্তন করার দরকার নেই। কিন্তু ডানদিকে একধরনের বাজে জিনিস আছে: একটি ভগ্নাংশ, এমনকি হর মধ্যে একটি মূল!

যাইহোক, আসুন আমরা ভগ্নাংশ এবং ক্ষমতাগুলির সাথে কাজ করার নিয়মগুলি মনে রাখি:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k)))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এর মানে কী? প্রথমত, আমরা সহজেই ভগ্নাংশটিকে একটি শক্তিতে পরিণত করে পরিত্রাণ পেতে পারি নেতিবাচক সূচক. এবং দ্বিতীয়ত, যেহেতু হরটির একটি মূল রয়েছে, তাই এটিকে একটি শক্তিতে পরিণত করা ভাল হবে - এবার একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ।

আসুন এই ক্রিয়াগুলিকে ক্রমানুসারে বৈষম্যের ডানদিকে প্রয়োগ করি এবং দেখুন কি হয়:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

ভুলে যাবেন না যে একটি ডিগ্রীকে পাওয়ারে উন্নীত করার সময়, এই ডিগ্রীর সূচকগুলি যোগ হয়। এবং সাধারণভাবে, সূচকীয় সমীকরণ এবং অসমতার সাথে কাজ করার সময়, ক্ষমতার সাথে কাজ করার জন্য কমপক্ষে সহজ নিয়মগুলি জানা একেবারেই প্রয়োজন:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))((a)^(y))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আসলে, শেষ নিয়মআমরা শুধু এটি প্রয়োগ করেছি। অতএব, আমাদের মূল অসমতা নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা হবে:

\[(2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

এখন আমরা বেস এ দুটি পরিত্রাণ পেতে. 2 > 1 থেকে, অসমতার চিহ্ন একই থাকবে:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]। \\\end(align)\]

এটাই সমাধান! প্রধান অসুবিধা মোটেই সূচকীয় ফাংশনে নয়, তবে মূল অভিব্যক্তিটির উপযুক্ত রূপান্তরে: আপনাকে সাবধানে এবং দ্রুত এটিকে এর সহজতম আকারে আনতে হবে।

দ্বিতীয় অসমতা বিবেচনা করুন:

\[(0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

তাই-তাই। দশমিক ভগ্নাংশ এখানে আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। যেমন আমি অনেকবার বলেছি, ক্ষমতা সহ যেকোন অভিব্যক্তিতে আপনার দশমিক থেকে মুক্তি পাওয়া উচিত - এটি প্রায়শই একটি দ্রুত এবং সহজ সমাধান দেখার একমাত্র উপায়। এখানে আমরা পরিত্রাণ পেতে হবে:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right)^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখানে আবার আমাদের সহজতম অসমতা আছে, এবং এমনকি 1/10 এর বেস সহ, অর্থাৎ একের কম ঠিক আছে, আমরা ঘাঁটিগুলি সরিয়ে ফেলি, একই সাথে চিহ্নটিকে "কম" থেকে "আরও" তে পরিবর্তন করি এবং আমরা পাই:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: উত্তরটি সঠিকভাবে একটি সেট, এবং কোন অবস্থাতেই $x \lt -1$ ফর্মটির নির্মাণ নয়। কারণ আনুষ্ঠানিকভাবে, এই ধরনের নির্মাণ মোটেই একটি সেট নয়, কিন্তু পরিবর্তনশীল $x$ এর ক্ষেত্রে একটি অসমতা। হ্যাঁ, এটি খুব সহজ, কিন্তু এটি উত্তর নয়!

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য. এই অসমতা অন্য উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে - উভয় পক্ষকে একের চেয়ে বেশি ভিত্তি সহ শক্তিতে হ্রাস করে। এক নজর দেখে নাও:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right)^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

এই ধরনের রূপান্তরের পরে, আমরা আবার একটি সূচকীয় অসমতা পাব, কিন্তু 10 > 1 এর ভিত্তি সহ। এর মানে হল যে আমরা কেবল দশটি অতিক্রম করতে পারি - অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন হবে না। আমরা পেতে:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উত্তরটি ঠিক একই ছিল। একই সময়ে, আমরা চিহ্নটি পরিবর্তন করার এবং সাধারণত কোনও নিয়ম মনে রাখার প্রয়োজন থেকে নিজেকে রক্ষা করেছি :)

\[(2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

যাইহোক, এটি আপনাকে ভয় পেতে দেবেন না। সূচকে যাই থাকুক না কেন, বৈষম্য সমাধানের প্রযুক্তি নিজেই একই থাকে। অতএব, আসুন প্রথমে লক্ষ্য করি যে 16 = 2 4। আসুন এই সত্যটিকে বিবেচনায় নিয়ে মূল অসমতাটি পুনরায় লিখি:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0। \\\end(সারিবদ্ধ)\]

হুররে! আমরা স্বাভাবিক দ্বিঘাত অসমতা পেয়েছি! চিহ্নটি কোথাও পরিবর্তিত হয়নি, যেহেতু ভিত্তিটি দুটি - একটি সংখ্যার চেয়ে বড়।

সংখ্যা রেখায় একটি ফাংশনের শূন্য

আমরা $f\left(x \right)=(x)^(2))-7x+10$ ফাংশনের চিহ্নগুলি সাজাই - স্পষ্টতই, এর গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা হবে যার শাখাগুলি উপরে থাকবে, তাই "প্লাস" থাকবে " পক্ষের. আমরা সেই অঞ্চলে আগ্রহী যেখানে ফাংশনটি শূন্যের চেয়ে কম, যেমন $x\in \left(2;5 \right)$ হল আসল সমস্যার উত্তর।

অবশেষে, আরেকটি অসমতা বিবেচনা করুন:

\[(0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

আবার আমরা বেসে একটি দশমিক ভগ্নাংশ সহ একটি সূচকীয় ফাংশন দেখতে পাই। আসুন এই ভগ্নাংশটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

এই ক্ষেত্রে, আমরা পূর্বে দেওয়া মন্তব্যটি ব্যবহার করেছি - আমাদের আরও সমাধানকে সহজ করার জন্য আমরা ভিত্তিটিকে 5 > 1 নম্বরে কমিয়েছি। আসুন ডান দিকের সাথে একই কাজ করি:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left((5)^(-1)) \ ডানদিকে))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

আসুন আমরা উভয় রূপান্তরকে বিবেচনায় নিয়ে মূল অসমতা পুনরায় লিখি:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

উভয় পক্ষের ঘাঁটি একই এবং এক অতিক্রম করে। ডান এবং বামে অন্য কোন পদ নেই, তাই আমরা কেবল পাঁচটি "ক্রস আউট" করি এবং একটি খুব সাধারণ অভিব্যক্তি পাই:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -(x)^(2))\ge -2+1; \\ & -(x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(সারিবদ্ধ)\]

এখানে আপনাকে আরও সতর্ক হতে হবে। অনেক ছাত্র সহজভাবে নিষ্কাশন পছন্দ বর্গমূলঅসমতার উভয় পক্ষের এবং $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ এর মত কিছু লিখুন। কোন অবস্থাতেই এটি করা উচিত নয়, যেহেতু একটি সঠিক বর্গক্ষেত্রের মূল মডিউল, এবং কোন ক্ষেত্রেই মূল পরিবর্তনশীল:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

যাইহোক, মডিউলগুলির সাথে কাজ করা সবচেয়ে আনন্দদায়ক অভিজ্ঞতা নয়, তাই না? তাই আমরা কাজ করব না। পরিবর্তে, আমরা কেবলমাত্র সমস্ত পদ বাম দিকে নিয়ে যাই এবং ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে স্বাভাবিক অসমতা সমাধান করি:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\শেষ(সারিবদ্ধ)$

আমরা আবার সংখ্যা লাইনে প্রাপ্ত পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করি এবং চিহ্নগুলি দেখি:

দয়া করে নোট করুন: বিন্দুগুলি ছায়াময়

যেহেতু আমরা একটি অ-কঠোর অসমতার সমাধান করছিলাম, তাই গ্রাফের সমস্ত পয়েন্ট ছায়াযুক্ত। অতএব, উত্তর হবে: $x\in \left[ -1;1 \right]$ একটি ব্যবধান নয়, একটি সেগমেন্ট।

সাধারণভাবে, আমি লক্ষ্য করতে চাই যে সূচকীয় অসমতা সম্পর্কে জটিল কিছু নেই। আমরা আজ যে সমস্ত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করেছি তার অর্থ একটি সাধারণ অ্যালগরিদমে নেমে আসে:

• আমরা সব ডিগ্রী কমাতে হবে যা ভিত্তি খুঁজুন;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ফর্মের একটি অসমতা পেতে সাবধানে রূপান্তরগুলি সম্পাদন করুন৷ অবশ্যই, $x$ এবং $n$ ভেরিয়েবলের পরিবর্তে আরও অনেক কিছু হতে পারে জটিল ফাংশন, কিন্তু অর্থ পরিবর্তন হবে না;
• ডিগ্রী বেস ক্রস আউট. এই ক্ষেত্রে, বেস $a \lt 1$ হলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হতে পারে।

প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের সমস্ত অসমতা সমাধানের জন্য এটি একটি সর্বজনীন অ্যালগরিদম। এবং এই বিষয়ে তারা আপনাকে যা বলবে তা হল কেবলমাত্র নির্দিষ্ট কৌশল এবং কৌশল যা রূপান্তরকে সহজ করবে এবং দ্রুত করবে। আমরা এখন এই কৌশলগুলির একটি সম্পর্কে কথা বলব :)

যৌক্তিককরণ পদ্ধতি

আসুন বৈষম্যের আরেকটি সেট বিবেচনা করা যাক:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

তাই তাদের সম্পর্কে এত বিশেষ কি? তারা হালকা. যদিও থামো! π সংখ্যাটি কি কিছু শক্তিতে উত্থাপিত হয়? কি আজেবাজে কথা?

কিভাবে সংখ্যা $2\sqrt(3)-3$ একটি পাওয়ারে বাড়াবেন? অথবা $3-2\sqrt(2)$? সমস্যা লেখকরা স্পষ্টতই কাজ করতে বসার আগে খুব বেশি হাথর্ন পান করেছিলেন :)

আসলে, এই কাজগুলি সম্পর্কে ভয়ের কিছু নেই। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই: একটি সূচকীয় ফাংশন হল $((a)^(x))$ ফর্মের একটি অভিব্যক্তি, যেখানে ভিত্তি $a$ হল একটি ছাড়া যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা। π সংখ্যাটি ইতিবাচক - আমরা ইতিমধ্যেই জানি। $2\sqrt(3)-3$ এবং $3-2\sqrt(2)$ সংখ্যাগুলিও ধনাত্মক - আপনি তাদের শূন্যের সাথে তুলনা করলে দেখতে সহজ।

দেখা যাচ্ছে যে এই সমস্ত "ভীতিকর" বৈষম্যগুলি উপরে আলোচিত সহজগুলির থেকে আলাদা নয়? এবং তারা একই ভাবে সমাধান করা হয়? হ্যাঁ, এটা একদম ঠিক। যাইহোক, তাদের উদাহরণ ব্যবহার করে, আমি একটি কৌশল বিবেচনা করতে চাই যা স্বাধীন কাজ এবং পরীক্ষায় সময় বাঁচায়। আমরা যুক্তিযুক্তকরণের পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলব। সুতরাং, মনোযোগ:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ফর্মের যেকোনো সূচকীয় অসমতা $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) এর সমতুল্য ডান) \gt 0 $।

যে পুরো পদ্ধতি :) আপনি কি অন্য কোন ধরনের খেলা হবে? এরকম কিছু না! কিন্তু এই সহজ সত্যটি, আক্ষরিক অর্থে এক লাইনে লেখা, আমাদের কাজকে ব্যাপকভাবে সহজ করবে। এক নজর দেখে নাও:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( -1 \right) \gt 0 \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

তাই আর কোন সূচকীয় ফাংশন নেই! এবং আপনাকে মনে রাখতে হবে না যে চিহ্নটি পরিবর্তন হয়েছে কিনা। কিন্তু এটা উঠে আসে নতুন সমস্যা: ফাকিং মাল্টিপ্লায়ার দিয়ে কি করতে হবে \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( -1 \right)\]? আমরা জানি না এটা কি সম্পর্কে প্রকৃত মূল্যসংখ্যা π। যাইহোক, অধিনায়ক সুস্পষ্ট ইঙ্গিত বলে মনে হচ্ছে:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\prox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text()- 1\gt 3-1=2\]

সাধারণভাবে, π-এর সঠিক মানটি আসলেই আমাদের উদ্বেগজনক নয় - আমাদের জন্য এটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে কোনও ক্ষেত্রে $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. এটি একটি ইতিবাচক ধ্রুবক, এবং আমরা এটি দ্বারা অসমতার উভয় দিককে ভাগ করতে পারি:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( -1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -(x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0। \\\end(align)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে আমাদের বিয়োগ এক দ্বারা ভাগ করতে হয়েছিল - এবং বৈষম্যের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়েছিল। শেষে, আমি ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত ত্রিনামিক প্রসারিত করেছি - এটা স্পষ্ট যে মূলগুলি সমান $((x)_(1))=5$ এবং $(x)_(2))=-1$ . তারপর সবকিছু ঠিক করা হয় শাস্ত্রীয় পদ্ধতিব্যবধান:

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে অসমতা সমাধান করা

সমস্ত পয়েন্ট মুছে ফেলা হয়েছে কারণ মূল অসমতা কঠোর। আমরা নেতিবাচক মান সহ অঞ্চলে আগ্রহী, তাই উত্তর হল $x\in \left(-1;5 \right)$। এটাই সমাধান :)

আসুন পরবর্তী টাস্কে এগিয়ে যাই:

\[(\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

এখানে সবকিছুই সাধারণত সহজ, কারণ ডানদিকে একটি ইউনিট রয়েছে। এবং আমরা মনে রাখি যে একটি হল শূন্য শক্তিতে উত্থিত যেকোনো সংখ্যা। এমনকি যদি এই সংখ্যাটি বাম দিকের বেসে একটি অযৌক্তিক অভিব্যক্তি হয়:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \ ডান))^(0)); \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আচ্ছা, আসুন যুক্তিযুক্ত করা যাক:

\[\begin(align) & \left((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0। \\\end(align)\ ]

যা অবশিষ্ট থাকে তা হল লক্ষণগুলি বের করা। ফ্যাক্টর $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ এ ভেরিয়েবল $x$ থাকে না - এটি শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক, এবং আমাদের এটির চিহ্ন খুঁজে বের করতে হবে। এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত নোট করুন:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

দেখা যাচ্ছে যে দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি কেবল একটি ধ্রুবক নয়, একটি নেতিবাচক ধ্রুবক! এবং এটি দ্বারা ভাগ করার সময়, মূল অসমতার চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়:

\[\begin(align) & \left((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0। \\\end(align)\]

এখন সবকিছু সম্পূর্ণরূপে সুস্পষ্ট হয়ে ওঠে। শিকড় দ্বিঘাত ত্রিনামিক, ডানদিকে দাঁড়ানো: $((x)_(1))=0$ এবং $((x)_(2))=2$। আমরা তাদের সংখ্যা রেখায় চিহ্নিত করি এবং $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ফাংশনের চিহ্নগুলি দেখি:

ক্ষেত্রে যখন আমরা পার্শ্ব বিরতি আগ্রহী

আমরা একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে চিহ্নিত ব্যবধানে আগ্রহী। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল উত্তরটি লিখতে:

আসুন পরবর্তী উদাহরণে যাওয়া যাক:

\[(\left(\frac(1)(3) \right))^((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \ ডান))^(16-x))\]

ঠিক আছে, এখানে সবকিছু সম্পূর্ণরূপে সুস্পষ্ট: ঘাঁটিগুলিতে একই সংখ্যার ক্ষমতা রয়েছে। অতএব, আমি সংক্ষেপে সবকিছু লিখব:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) \frac(1)(3)=(3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2))) =((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ বাম (16-x \ ডান))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -(x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -(x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0। \\\end(align)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, রূপান্তর প্রক্রিয়ার সময় আমাদের দ্বারা গুণ করতে হয়েছিল একটি নেতিবাচক সংখ্যা, তাই বৈষম্যের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়েছে। একেবারে শেষে, আমি আবারও ভিয়েতার উপপাদ্যটি দ্বিঘাত ত্রিনামিক গুণিতক করার জন্য প্রয়োগ করেছি। ফলস্বরূপ, উত্তরটি নিম্নলিখিত হবে: $x\in \left(-8;4 \right)$ - যে কেউ একটি সংখ্যা রেখা অঙ্কন করে, বিন্দু চিহ্নিত করে এবং চিহ্ন গণনা করে এটি যাচাই করতে পারে। ইতিমধ্যে, আমরা আমাদের "সেট" থেকে শেষ অসমতার দিকে এগিয়ে যাব:

\[(\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-(x)^(2))) \lt 1\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বেসে আবার একটি অমূলদ সংখ্যা রয়েছে এবং ডানদিকে আবার একটি ইউনিট রয়েছে। অতএব, আমরা নিম্নরূপ আমাদের সূচকীয় অসমতা পুনরায় লিখি:

\[(\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ ডান))^(0))\]

আমরা যৌক্তিকতা প্রয়োগ করি:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0। \\\end(align)\ ]

যাইহোক, এটা বেশ স্পষ্ট যে $1-\sqrt(2) \lt 0$, যেহেতু $\sqrt(2)\আনুমানিক 1,4... \gt 1$। অতএব, দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি আবার একটি নেতিবাচক ধ্রুবক, যার দ্বারা অসমতার উভয় দিককে ভাগ করা যায়:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\ শেষ(ম্যাট্রিক্স)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0। \\\end(align)\]

অন্য ঘাঁটিতে যান

সূচকীয় অসমতা সমাধান করার সময় একটি পৃথক সমস্যা হল "সঠিক" ভিত্তির জন্য অনুসন্ধান। দুর্ভাগ্যবশত, এটি একটি কাজের প্রথম নজরে সর্বদা সুস্পষ্ট হয় না যে একটি ভিত্তি হিসাবে কি নিতে হবে এবং এই ভিত্তির ডিগ্রী অনুযায়ী কি করতে হবে।

কিন্তু চিন্তা করবেন না: এখানে কোন জাদু বা "গোপন" প্রযুক্তি নেই। গণিতে, অ্যালগরিদমাইজ করা যায় না এমন কোনও দক্ষতা অনুশীলনের মাধ্যমে সহজেই বিকাশ করা যায়। তবে এর জন্য আপনাকে সমস্যার সমাধান করতে হবে বিভিন্ন স্তরঅসুবিধা উদাহরণস্বরূপ, এই মত:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81। \\\ শেষ(সারিবদ্ধ)\]

কঠিন? ভীতিকর? ডামারে মুরগি মারার চেয়ে এটা সহজ! এর চেষ্টা করা যাক. প্রথম অসমতা:

\[(2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ঠিক আছে, আমি মনে করি এখানে সবকিছু পরিষ্কার:

আমরা মূল অসমতা পুনরায় লিখি, সবকিছুকে বেস দুই-এ কমিয়ে দিই:

\[(2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

হ্যাঁ, হ্যাঁ, আপনি এটি ঠিক শুনেছেন: আমি উপরে বর্ণিত যৌক্তিককরণ পদ্ধতি প্রয়োগ করেছি। এখন আমাদের সাবধানে কাজ করতে হবে: আমাদের একটি ভগ্নাংশ-যুক্তিগত অসমতা রয়েছে (এটি এমন একটি যার হরতে একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে), তাই কোনো কিছুকে শূন্যের সাথে সমান করার আগে, আমাদের সবকিছুকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসতে হবে এবং ধ্রুবক ফ্যাক্টর থেকে মুক্তি পেতে হবে। .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

এখন আমরা ব্যবহার করি আদর্শ পদ্ধতিবিরতি অংক শূন্য: $x=\pm 4$। $x=0$ হলেই হর শূন্যে যায়। মোট তিনটি পয়েন্ট আছে যেগুলিকে সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করতে হবে (সমস্ত পয়েন্ট পিন করা হয়েছে কারণ অসমতার চিহ্নটি কঠোর)। আমরা পেতে:

আরও কঠিন মামলা: তিনটি শিকড়

আপনি অনুমান করতে পারেন, শেডিং সেই বিরতিগুলিকে চিহ্নিত করে যেখানে বাম দিকের অভিব্যক্তিটি নেতিবাচক মান নেয়৷ অতএব, চূড়ান্ত উত্তর একবারে দুটি ব্যবধান অন্তর্ভুক্ত করবে:

ব্যবধানের শেষগুলি উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি কারণ মূল অসমতা কঠোর ছিল। এই উত্তরের আর যাচাই করার প্রয়োজন নেই। এই বিষয়ে, সূচকীয় অসমতা লগারিদমিকগুলির তুলনায় অনেক সহজ: কোনও ODZ নেই, কোনও সীমাবদ্ধতা নেই ইত্যাদি।

আসুন পরবর্তী টাস্কে এগিয়ে যাই:

\[(\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x))\ge ((3)^(2+x))\]

এখানেও কোন সমস্যা নেই, যেহেতু আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, তাই সম্পূর্ণ অসমতাকে এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \ right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0। \\\end(align)\]

দয়া করে মনে রাখবেন: তৃতীয় লাইনে আমি তুচ্ছ বিষয়ে সময় নষ্ট না করার এবং অবিলম্বে সবকিছুকে (−2) দ্বারা ভাগ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। মিনুল প্রথম বন্ধনীতে গিয়েছিলেন (এখন সব জায়গায় প্লাস আছে), এবং দুটি একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দিয়ে কমানো হয়েছে। স্বাধীন এবং তে বাস্তব ডিসপ্লে প্রস্তুত করার সময় আপনার ঠিক এটিই করা উচিত পরীক্ষা- প্রতিটি ক্রিয়া এবং রূপান্তর বর্ণনা করার দরকার নেই।

এর পরে, বিরতির পরিচিত পদ্ধতিটি কার্যকর হয়। অংক শূন্য: কিন্তু কোনটি নেই। কারণ বৈষম্যকারী নেতিবাচক হবে। পরিবর্তে, ডিনোমিনেটর রিসেট করা হয় শুধুমাত্র যখন $x=0$ - ঠিক গতবারের মত। ঠিক আছে, এটা স্পষ্ট যে $x=0$ এর ডানদিকে ভগ্নাংশটি ধনাত্মক মান নেবে, এবং বামে - ঋণাত্মক। যেহেতু আমরা নেতিবাচক মানগুলিতে আগ্রহী, চূড়ান্ত উত্তর হল: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$।

\[(\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

সূচকীয় অসমতার দশমিক ভগ্নাংশের সাথে আপনার কী করা উচিত? এটা ঠিক: তাদের পরিত্রাণ পান, তাদের সাধারণের মধ্যে রূপান্তর করুন। এখানে আমরা অনুবাদ করব:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ বাম(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=(\left(\ frac(25) (4)\ডান))^(x))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

তাহলে আমরা সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তি কি পেলাম? এবং আমরা দুটি পারস্পরিক বিপরীত সংখ্যা পেয়েছি:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right)^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4)) \ ডান))^(x)=((\left((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right)^(x))=((\ বাম(\frac(4)(25) \ডান))^(-x))\]

সুতরাং, মূল অসমতা নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25)\right)) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \ ডান))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ) \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

অবশ্যই, একই বেসের সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি যোগ হয়, যা দ্বিতীয় লাইনে ঘটেছিল। উপরন্তু, আমরা বেস 4/25-এ একটি শক্তি হিসাবে ডানদিকের ইউনিটকে উপস্থাপন করেছি। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল যুক্তিযুক্ত করা:

\[(\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

নোট করুন যে $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, অর্থাৎ দ্বিতীয় ফ্যাক্টরটি একটি নেতিবাচক ধ্রুবক, এবং এটি দ্বারা ভাগ করার সময়, অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তিত হয়:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]। \\\end(align)\]

অবশেষে, বর্তমান "সেট" থেকে শেষ অসমতা:

\[(\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right)^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

নীতিগতভাবে, এখানে সমাধানের ধারণাটিও স্পষ্ট: অসমতার অন্তর্ভুক্ত সমস্ত সূচকীয় ফাংশনকে বেস "3" এ হ্রাস করতে হবে। তবে এর জন্য আপনাকে শিকড় এবং ক্ষমতার সাথে কিছুটা টিঙ্কার করতে হবে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=(3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=(3)^(4))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই তথ্যগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে, মূল অসমতাকে নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

গণনার 2য় এবং 3য় লাইনের দিকে মনোযোগ দিন: অসমতার সাথে কিছু করার আগে, আমরা পাঠের শুরু থেকেই যে ফর্মের কথা বলেছি সেটিকে সেই ফর্মে আনতে ভুলবেন না: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$। যতক্ষণ না আপনার বাম বা ডানে কিছু বাম-হাতের ফ্যাক্টর, অতিরিক্ত ধ্রুবক ইত্যাদি থাকে, কোন যৌক্তিককরণ বা ভিত্তির "ক্রসিং আউট" সঞ্চালিত করা যাবে না! এই সহজ সত্যটি বুঝতে ব্যর্থতার কারণে অগণিত কাজ ভুলভাবে সম্পন্ন হয়েছে। আমি নিজেই আমার ছাত্রদের সাথে এই সমস্যাটি ক্রমাগত পর্যবেক্ষণ করি যখন আমরা সবেমাত্র সূচকীয় এবং লগারিদমিক অসমতা বিশ্লেষণ করতে শুরু করি।

কিন্তু আমাদের টাস্ক ফিরে আসুন. এবার যৌক্তিকতা ছাড়াই করার চেষ্টা করা যাক। আমাদের মনে রাখা যাক: ডিগ্রির ভিত্তি একের চেয়ে বড়, তাই ত্রিপলগুলিকে সহজভাবে অতিক্রম করা যেতে পারে - অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তন হবে না। আমরা পেতে:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3। \\\end(সারিবদ্ধ)\]

এখানেই শেষ. চূড়ান্ত উত্তর: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$।

একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তি বিচ্ছিন্ন করা এবং একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন

উপসংহারে, আমি আরও চারটি সূচকীয় অসমতার সমাধান করার প্রস্তাব করছি, যা ইতিমধ্যেই অপ্রস্তুত ছাত্রদের জন্য বেশ কঠিন। তাদের সাথে মানিয়ে নিতে, আপনাকে ডিগ্রি নিয়ে কাজ করার নিয়মগুলি মনে রাখতে হবে। বিশেষ করে, বন্ধনীর বাইরে সাধারণ ফ্যাক্টর নির্বাণ.

তবে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল বন্ধনী থেকে ঠিক কী নেওয়া যেতে পারে তা বুঝতে শিখতে হবে। এই ধরনের একটি অভিব্যক্তিকে স্থিতিশীল বলা হয় - এটি একটি নতুন পরিবর্তনশীল দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং এইভাবে সূচকীয় ফাংশন থেকে পরিত্রাণ পেতে পারে। সুতরাং, আসুন কাজগুলি দেখি:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-(5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768। \\\end(সারিবদ্ধ)\]

প্রথম লাইন থেকে শুরু করা যাক। আসুন এই অসমতা আলাদাভাবে লিখি:

\[(5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

উল্লেখ্য যে $((5)^(x+2))=(5)^(x+1+1))=(5)^(x+1))\cdot 5$, তাই ডানদিকে পাশ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

মনে রাখবেন যে অসমতায় $((5)^(x+1))$ ছাড়া অন্য কোন সূচকীয় ফাংশন নেই। এবং সাধারণভাবে, ভেরিয়েবল $x$ অন্য কোথাও দেখা যায় না, তাই আসুন একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করি: $((5)^(x+1))=t$। আমরা নিম্নলিখিত নির্মাণ পেতে:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(সারিবদ্ধ)\]

আমরা আসল ভেরিয়েবলে ফিরে আসি ($t=((5)^(x+1))$), এবং একই সাথে মনে রাখবেন যে 1=5 0। আমাদের আছে:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এটাই সমাধান! উত্তর: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$। আসুন দ্বিতীয় অসমতার দিকে এগিয়ে যাই:

\[(3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

এখানে সবকিছু একই। নোট করুন যে $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$। তারপর বাম দিকে আবার লেখা যেতে পারে:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\right \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

বাস্তব পরীক্ষা এবং স্বাধীন কাজের জন্য আপনাকে প্রায় এইভাবে একটি সমাধান আঁকতে হবে।

আচ্ছা, এর আরো জটিল কিছু চেষ্টা করা যাক. উদাহরণস্বরূপ, এখানে অসমতা রয়েছে:

\[(25)^(x+1.5))-(5)^(2x+2)) \gt 2500\]

এখানে সমস্যা কি? প্রথমত, বাম দিকের সূচকীয় ফাংশনের ভিত্তিগুলি আলাদা: 5 এবং 25। যাইহোক, 25 = 5 2, তাই প্রথম পদটি রূপান্তরিত হতে পারে:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))=(5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(সারিবদ্ধ করুন) )\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, প্রথমে আমরা সবকিছু একই বেসে নিয়ে এসেছি এবং তারপরে আমরা লক্ষ্য করেছি যে প্রথম পদটি সহজেই দ্বিতীয়টিতে হ্রাস করা যেতে পারে - আপনাকে কেবল সূচকটি প্রসারিত করতে হবে। এখন আপনি নিরাপদে একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করতে পারেন: $((5)^(2x+2))=t$, এবং সম্পূর্ণ অসমতা নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হবে:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=(5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(সারিবদ্ধ)\]

এবং আবার, কোন অসুবিধা! চূড়ান্ত উত্তর: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$। আজকের পাঠে চূড়ান্ত অসমতার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক:

\[(\left(0.5 \right))^(-4x-8))-(16)^(x+1.5)) \gt 768\]

আপনার প্রথমে যে বিষয়টিতে মনোযোগ দেওয়া উচিত তা হল, অবশ্যই, দশমিকপ্রথম ডিগ্রির গোড়ায়। এটি থেকে পরিত্রাণ পেতে প্রয়োজনীয় এবং একই সাথে সমস্ত সূচকীয় ফাংশনকে একই বেসে আনতে হবে - সংখ্যা "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\বাম(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left((2)^(4)) \right)^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768। \\\end(সারিবদ্ধ)\]

দারুণ, আমরা প্রথম পদক্ষেপ নিয়েছি—সবকিছু একই ভিত্তির দিকে নিয়ে গেছে। এখন আপনাকে একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তি নির্বাচন করতে হবে। নোট করুন যে $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$। যদি আমরা একটি নতুন ভেরিয়েবল $((2)^(4x+6))=t$ প্রবর্তন করি, তাহলে মূল অসমতাটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন উঠতে পারে: আমরা কিভাবে আবিষ্কার করলাম যে 256 = 2 8? দুর্ভাগ্যবশত, এখানে আপনাকে কেবল দুটির ক্ষমতা জানতে হবে (এবং একই সময়ে তিন এবং পাঁচের শক্তি)। ভাল, বা 256 কে 2 দ্বারা ভাগ করুন (আপনি ভাগ করতে পারেন, যেহেতু 256 একটি জোড় সংখ্যা) যতক্ষণ না আমরা ফলাফল পাই। এটি এই মত কিছু দেখাবে:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8))।\end(align) )\]

একই কথা তিনটির ক্ষেত্রেও সত্য (সংখ্যা 9, 27, 81 এবং 243 এর ডিগ্রী), এবং সাতটির সাথে (সংখ্যা 49 এবং 343 মনে রাখাও ভালো হবে)। ঠিক আছে, পাঁচটিরও "সুন্দর" ডিগ্রি রয়েছে যা আপনার জানা দরকার:

\[\begin(সারিবদ্ধ) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

অবশ্যই, আপনি যদি চান, এই সমস্ত সংখ্যাগুলিকে একে অপরের দ্বারা ধারাবাহিকভাবে গুণ করে আপনার মনে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। যাইহোক, যখন আপনাকে বেশ কয়েকটি সূচকীয় অসমতা সমাধান করতে হবে, এবং প্রতিটি পরেরটি আগেরটির চেয়ে বেশি কঠিন, তখন শেষ যে জিনিসটি আপনি ভাবতে চান তা হল কিছু সংখ্যার ক্ষমতা। এবং এই অর্থে, এই সমস্যাগুলি "শাস্ত্রীয়" বৈষম্যের চেয়ে জটিল যা ব্যবধান পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়।

আমি আশা করি এই পাঠ আপনাকে এই বিষয় আয়ত্ত করতে সাহায্য করেছে. কিছু অস্পষ্ট হলে, মন্তব্যে জিজ্ঞাসা করুন. এবং পরবর্তী পাঠে দেখা হবে :)