একটি নেতিবাচক সূচকের সাথে বৈষম্যকারী। আসুন বের করার চেষ্টা করি বৈষম্যকারীর বর্ণনা কি? এর কম্পোনেন্ট ফ্যাক্টর মধ্যে অভিব্যক্তি বিরতি করা যাক

আরও একটি সহজ উপায়ে. এটি করার জন্য, বন্ধনীর বাইরে z রাখুন। আপনি পাবেন: z(аz + b) = 0। গুণনীয়কগুলি লেখা যেতে পারে: z=0 এবং аz + b = 0, যেহেতু উভয়ের ফলাফল শূন্য হতে পারে। স্বরলিপি az + b = 0 এ, আমরা একটি ভিন্ন চিহ্ন দিয়ে দ্বিতীয়টিকে ডানদিকে নিয়ে যাই। এখান থেকে আমরা z1 = 0 এবং z2 = -b/a পাই। এগুলোই মূলের শিকড়।

যদি না থাকে সম্পূর্ণ সমীকরণফর্ম az² + c = 0, ইন এক্ষেত্রেশুধুমাত্র বিনামূল্যে শব্দ স্থানান্তর দ্বারা পাওয়া যায় ডান পাশসমীকরণ এছাড়াও এর চিহ্ন পরিবর্তন করুন। ফলাফল হবে az² = -с। এক্সপ্রেস z² = -c/a. মূল নিন এবং দুটি সমাধান লিখুন - একটি ধনাত্মক এবং একটি ঋণাত্মক বর্গমূল।

বিঃদ্রঃ

যদি সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে, তাহলে ভগ্নাংশগুলি থেকে পরিত্রাণ পেতে উপযুক্ত গুণক দ্বারা সমগ্র সমীকরণটিকে গুণ করুন।

কীভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে জ্ঞান স্কুলছাত্রী এবং ছাত্র উভয়ের জন্যই প্রয়োজনীয়; কখনও কখনও এটি দৈনন্দিন জীবনে একজন প্রাপ্তবয়স্ককেও সাহায্য করতে পারে। বিভিন্ন নির্দিষ্ট সমাধান পদ্ধতি আছে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

a*x^2+b*x+c=0 ফর্মের দ্বিঘাত সমীকরণ। সহগ x হল কাঙ্ক্ষিত চলক, a, b, c হল সংখ্যাসূচক সহগ। মনে রাখবেন যে "+" চিহ্নটি "-" চিহ্নে পরিবর্তিত হতে পারে।

এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করা বা বৈষম্যকারী খুঁজে বের করা প্রয়োজন। সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হল বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা, যেহেতু a, b, c এর কিছু মানের জন্য ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করা সম্ভব নয়।

বৈষম্যকারী (D) খুঁজে পেতে, আপনাকে D=b^2 - 4*a*c সূত্রটি লিখতে হবে। D মান শূন্যের চেয়ে বড়, কম বা সমান হতে পারে। যদি D শূন্যের চেয়ে বড় বা কম হয়, তাহলে দুটি মূল থাকবে; যদি D = 0, তবে শুধুমাত্র একটি মূল অবশিষ্ট থাকে; আরও স্পষ্টভাবে, আমরা বলতে পারি যে এই ক্ষেত্রে D এর দুটি সমতুল্য মূল রয়েছে। সূত্রের মধ্যে পরিচিত সহগ a, b, c প্রতিস্থাপন করুন এবং মান গণনা করুন।

আপনি বৈষম্যকারী খুঁজে পাওয়ার পরে, x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, যেখানে sqrt একটি ফাংশন যার অর্থ একটি প্রদত্ত সংখ্যার বর্গমূল নেওয়া। এই অভিব্যক্তিগুলি গণনা করার পরে, আপনি আপনার সমীকরণের দুটি মূল পাবেন, যার পরে সমীকরণটি সমাধান হিসাবে বিবেচিত হবে।

যদি D শূন্যের চেয়ে কম হয়, তবে এটির মূল রয়েছে। এই বিভাগটি কার্যত স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না। বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের সচেতন হওয়া উচিত যে মূলের নীচে একটি নেতিবাচক সংখ্যা উপস্থিত হয়। তারা কাল্পনিক অংশটি হাইলাইট করে এটি থেকে পরিত্রাণ পায়, অর্থাৎ, মূলের নীচে -1 সর্বদা কাল্পনিক উপাদান "i" এর সমান, যা একই ধনাত্মক সংখ্যার সাথে মূল দ্বারা গুণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি D=sqrt(-20), রূপান্তরের পরে আমরা D=sqrt(20)*i পাই। এই রূপান্তরের পরে, সমীকরণটি সমাধান করা উপরে বর্ণিত শিকড়ের একই অনুসন্ধানে হ্রাস পায়।

ভিয়েটার উপপাদ্য x(1) এবং x(2) এর মান নির্বাচন করে। দুটি অভিন্ন সমীকরণ ব্যবহার করা হয়: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с। এবং অনেক গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টসহগ b এর সামনের চিহ্নটি, মনে রাখবেন যে এই চিহ্নটি সমীকরণের বিপরীত। প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে x(1) এবং x(2) গণনা করা খুব সহজ, কিন্তু সমাধান করার সময়, আপনি এই সত্যটির মুখোমুখি হবেন যে আপনাকে সংখ্যা নির্বাচন করতে হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উপাদান

গণিতের নিয়ম অনুসারে, কিছুকে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে: (a+x(1))*(b-x(2))=0, যদি আপনি গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে এই দ্বিঘাত সমীকরণটিকে একইভাবে রূপান্তর করতে পারেন, তাহলে নির্দ্বিধায় উত্তর লিখুন। x(1) এবং x(2) বন্ধনীতে সন্নিহিত সহগগুলির সমান হবে, কিন্তু এর সাথে বিপরীত চিহ্ন.

এছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে ভুলবেন না। আপনি কিছু শর্ত অনুপস্থিত হতে পারে; যদি তাই হয়, তাহলে এর সমস্ত সহগ কেবল শূন্যের সমান। যদি x^2 বা x এর সামনে কিছুই না থাকে, তাহলে a এবং b সহগ 1 এর সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণ- সমাধান সহজ! *এরপরে "KU" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে।বন্ধুরা, মনে হবে গণিতে এমন সমীকরণ সমাধানের চেয়ে সহজ আর কিছু হতে পারে না। কিন্তু কিছু আমাকে বলেছে যে তার সাথে অনেকের সমস্যা আছে। ইয়ানডেক্স প্রতি মাসে কতগুলি অন-ডিমান্ড ইমপ্রেশন দেয় তা আমি দেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। এখানে কি ঘটেছে, দেখুন:

এর মানে কী? এর মানে হল যে প্রতি মাসে প্রায় 70,000 মানুষ অনুসন্ধান করছে এই তথ্য, এই গ্রীষ্মে এর সাথে কি করার আছে এবং এর মধ্যে কি হবে স্কুল বছর- দ্বিগুণ অনুরোধ থাকবে। এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সেই ছেলেরা এবং মেয়েরা যারা অনেক আগে স্কুল থেকে স্নাতক হয়েছিলেন এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছেন তারা এই তথ্যটি খুঁজছেন এবং স্কুলছাত্ররাও তাদের স্মৃতিকে সতেজ করার চেষ্টা করে।

এই সমীকরণটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা আপনাকে অনেক সাইট রয়েছে তা সত্ত্বেও, আমি উপাদানটি অবদান এবং প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। প্রথমত, আমি চাই ভিজিটররা এই অনুরোধের ভিত্তিতে আমার সাইটে আসুক; দ্বিতীয়ত, অন্যান্য নিবন্ধে, যখন “KU” বিষয় আসবে, আমি এই নিবন্ধটির একটি লিঙ্ক প্রদান করব; তৃতীয়ত, আমি আপনাকে তার সমাধান সম্পর্কে আরও কিছু বলব যা সাধারণত অন্যান্য সাইটে বলা হয়। চল শুরু করি!নিবন্ধের বিষয়বস্তু:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ:

যেখানে সহগ a,খএবং c হল নির্বিচারে সংখ্যা, a≠0 সহ।

স্কুল কোর্সে, উপাদানটি নিম্নলিখিত আকারে দেওয়া হয় - সমীকরণগুলি তিনটি শ্রেণীতে বিভক্ত:

1. তাদের দুটি শিকড় আছে।

2. *মাত্র একটি মূল আছে।

3. তাদের কোন শিকড় নেই। এটি এখানে বিশেষভাবে লক্ষণীয় যে তাদের আসল শিকড় নেই

কিভাবে শিকড় গণনা করা হয়? শুধু!

আমরা বৈষম্যকারীর হিসাব করি। এই "ভয়ঙ্কর" শব্দের নীচে একটি খুব সহজ সূত্র রয়েছে:

মূল সূত্রগুলি নিম্নরূপ:

* আপনাকে এই সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে জানতে হবে।

আপনি অবিলম্বে লিখতে এবং সমাধান করতে পারেন:

উদাহরণ:

1. যদি D > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।

2. যদি D = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে।

3. যদি ডি< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

আসুন সমীকরণটি দেখি:

দ্বারা এই উপলক্ষে, যখন বৈষম্যকারী শূন্যের সমান, তখন স্কুল কোর্স বলে যে ফলাফলটি একটি মূল, এখানে এটি নয়টির সমান। সবকিছু ঠিক আছে, তাই, কিন্তু...

এই ধারণা কিছুটা ভুল। আসলে, দুটি শিকড় আছে। হ্যাঁ, হ্যাঁ, অবাক হবেন না, আপনি দুটি সমান শিকড় পাবেন এবং গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট হতে হলে উত্তরটি দুটি মূল লিখতে হবে:

x 1 = 3 x 2 = 3

কিন্তু এটি তাই - একটি ছোট ডিগ্রেশন। স্কুলে আপনি এটি লিখতে পারেন এবং বলতে পারেন যে একটি মূল আছে।

এখন পরবর্তী উদাহরণ:

আমরা জানি, এর মূল ঋণাত্মক সংখ্যানিষ্কাশন করা হয় না, তাই এই ক্ষেত্রে কোন সমাধান নেই।

এটাই পুরো সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া।

দ্বিঘাত ফাংশন.

এটি জ্যামিতিকভাবে সমাধানটি দেখতে কেমন তা দেখায়। এটি বোঝা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ (ভবিষ্যতে, একটি নিবন্ধে আমরা চতুর্মুখী অসমতার সমাধানটি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব)।

এটি ফর্মের একটি ফাংশন:

যেখানে x এবং y ভেরিয়েবল

a, b, c – প্রদত্ত সংখ্যা, একটি ≠ 0 সহ

গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা:

অর্থাৎ, এটি দেখা যাচ্ছে যে শূন্যের সমান “y” সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে, আমরা x অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পাই। এই পয়েন্টগুলির মধ্যে দুটি হতে পারে (বৈষম্যকারীটি ইতিবাচক), একটি (বৈষম্যকারী শূন্য) এবং কোনটিই (বৈষম্যকারী নেতিবাচক)। সম্পর্কে বিস্তারিত দ্বিঘাত ফাংশন দেখতে পারেনইন্না ফেল্ডম্যানের নিবন্ধ।

আসুন উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ 1: সমাধান করুন 2x 2 +8 এক্স–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

উত্তরঃ x 1 = 8 x 2 = –12

*তাৎক্ষণিকভাবে সমীকরণের বাম এবং ডান দিক 2 দ্বারা ভাগ করা সম্ভব ছিল, অর্থাৎ, এটিকে সরলীকরণ করুন। হিসাব সহজ হবে।

উদাহরণ 2: সিদ্ধান্ত নিন x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

আমরা খুঁজে পেয়েছি যে x 1 = 11 এবং x 2 = 11

উত্তরে x = 11 লেখা জায়েজ।

উত্তরঃ x = 11

উদাহরণ 3: সিদ্ধান্ত নিন x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

বৈষম্যকারী নেতিবাচক, বাস্তব সংখ্যায় কোন সমাধান নেই।

উত্তরঃ কোন সমাধান নেই

বৈষম্যকারী নেতিবাচক। একটি সমাধান আছে!

এখানে আমরা যখন একটি নেতিবাচক বৈষম্যকারী প্রাপ্ত হয় তখন সমীকরণটি সমাধান করার বিষয়ে কথা বলব। আপনি কি সম্পর্কে কিছু জানেন জটিল সংখ্যা? কেন এবং কোথায় তারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং গণিতে তাদের নির্দিষ্ট ভূমিকা এবং প্রয়োজনীয়তা কী তা নিয়ে আমি এখানে বিশদে যাব না; এটি একটি বড় পৃথক নিবন্ধের জন্য একটি বিষয়।

একটি জটিল সংখ্যার ধারণা।

একটু তত্ত্ব।

একটি জটিল সংখ্যা z হল ফর্মের একটি সংখ্যা

z = a + bi

যেখানে a এবং b বাস্তব সংখ্যা, i হল তথাকথিত কাল্পনিক একক।

a+bi - এটি একটি একক নম্বর, একটি সংযোজন নয়৷

কাল্পনিক একক বিয়োগ একের মূলের সমান:

এখন সমীকরণ বিবেচনা করুন:

আমরা দুটি সংযোজিত শিকড় পাই।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক, এটি তখন হয় যখন সহগ "b" বা "c" শূন্যের সমান হয় (বা উভয়ই শূন্যের সমান)। এগুলি কোনও বৈষম্য ছাড়াই সহজেই সমাধান করা যেতে পারে।

কেস 1. সহগ b = 0।

সমীকরণটি হয়ে যায়:

আসুন রূপান্তর করি:

উদাহরণ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

কেস 2. সহগ c = 0।

সমীকরণটি হয়ে যায়:

আসুন রূপান্তর এবং ফ্যাক্টরাইজ করি:

* গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে পণ্যটি শূন্যের সমান।

উদাহরণ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 বা x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

কেস 3. সহগ b = 0 এবং c = 0।

এখানে এটা স্পষ্ট যে সমীকরণের সমাধান সর্বদা x = 0 হবে।

সহগগুলির দরকারী বৈশিষ্ট্য এবং নিদর্শন।

এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে বড় সহগ সহ সমীকরণগুলি সমাধান করতে দেয়।

কএক্স 2 + bx+ গ=0 সমতা ধরে রাখে

ক + খ+ গ = 0,যে

- যদি সমীকরণের সহগগুলির জন্য কএক্স 2 + bx+ গ=0 সমতা ধরে রাখে

ক+ গ =খ, যে

এই বৈশিষ্ট্যগুলি একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমীকরণ সমাধান করতে সহায়তা করে।

উদাহরণ 1: 5001 এক্স 2 –4995 এক্স – 6=0

মতভেদের যোগফল হল 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, যার অর্থ

উদাহরণ 2: 2501 এক্স 2 +2507 এক্স+6=0

সমতা ধরে রাখে ক+ গ =খ, মানে

সহগগুলির নিয়মিততা।

1. যদি ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 +1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

উদাহরণ। 6x 2 + 37x + 6 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।

x 1 = –6 x 2 = –1/6।

2. যদি ax 2 – bx + c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 +1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a।

উদাহরণ। 15x 2 –226x +15 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।

x 1 = 15 x 2 = 1/15।

3. যদি Eq. ax 2 + bx – c = 0 সহগ "b" সমান (a 2 - 1), এবং সহগ "c" সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান, তাহলে এর শিকড় সমান

ax 2 + (a 2 –1) ∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a।

উদাহরণ। 17x 2 +288x – 17 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।

x 1 = – 17 x 2 = 1/17।

4. যদি ax 2 – bx – c = 0 সমীকরণে "b" সহগ সমান হয় (a 2 - 1), এবং সহগ c সংখ্যাগতভাবে সহগ "a" এর সমান হয়, তাহলে এর শিকড় সমান

ax 2 – (a 2 –1) ∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a।

উদাহরণ। 10x 2 – 99x –10 = 0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন।

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ভিয়েতার উপপাদ্য।

ভিয়েতার উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে বিখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ ফ্রাঁসোয়া ভিয়েতার নামে। ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা একটি নির্বিচারে KU এর মূলের যোগফল এবং গুণফলকে এর সহগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে পারি।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

মোট, 14 নম্বরটি শুধুমাত্র 5 এবং 9 দেয়। এগুলি হল মূল। একটি নির্দিষ্ট দক্ষতার সাথে, উপস্থাপিত উপপাদ্যটি ব্যবহার করে, আপনি অবিলম্বে মৌখিকভাবে অনেক দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারেন।

Vieta এর উপপাদ্য, উপরন্তু. এটি সুবিধাজনক যে স্বাভাবিক উপায়ে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার পরে (একটি বৈষম্যকারীর মাধ্যমে), ফলে শিকড়গুলি পরীক্ষা করা যেতে পারে। আমি সবসময় এটি করার পরামর্শ দিই।

পরিবহন পদ্ধতি

এই পদ্ধতির সাহায্যে, সহগ "a" কে মুক্ত শব্দ দ্বারা গুণ করা হয়, যেন এটিকে "নিক্ষেপ করা হয়", তাই এটি বলা হয় "স্থানান্তর" পদ্ধতি।এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন সমীকরণের শিকড়গুলি ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সহজেই খুঁজে পাওয়া যায় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, যখন বৈষম্যকারী একটি সঠিক বর্গ হয়।

যদি ক± b+c≠ 0, তারপর স্থানান্তর কৌশল ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ:

2এক্স 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => এক্স 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

সমীকরণে ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে (2), এটা নির্ধারণ করা সহজ যে x 1 = 10 x 2 = 1

সমীকরণের ফলস্বরূপ মূলগুলি অবশ্যই 2 দ্বারা ভাগ করা উচিত (যেহেতু দুটিকে x 2 থেকে "নিক্ষেপ করা" হয়েছিল), আমরা পাই

x 1 = 5 x 2 = 0.5।

এর যৌক্তিকতা কি? দেখুন কি হচ্ছে.

সমীকরণ (1) এবং (2) এর বৈষম্য সমান:

আপনি যদি সমীকরণের শিকড়গুলি দেখেন তবে আপনি শুধুমাত্র বিভিন্ন হর পাবেন এবং ফলাফলটি x 2 এর সহগের উপর অবিকল নির্ভর করে:

দ্বিতীয় (পরিবর্তিত) শিকড় রয়েছে যা 2 গুণ বড়।

অতএব, আমরা ফলাফলকে 2 দ্বারা ভাগ করি।

*যদি আমরা তিনটি পুনরায় রোল করি, আমরা ফলাফলটিকে 3 দ্বারা ভাগ করব, ইত্যাদি।

উত্তরঃ x 1 = 5 x 2 = 0.5

বর্গ. ইউআর-অর্থাৎ এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা।

আমি আপনাকে এর গুরুত্ব সম্পর্কে সংক্ষেপে বলব - আপনি দ্রুত এবং চিন্তা না করে সিদ্ধান্ত নিতে সক্ষম হবেন, আপনাকে শিকড় এবং বৈষম্যের সূত্রগুলি হৃদয় দিয়ে জানতে হবে। ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন টাস্কে অন্তর্ভুক্ত অনেক সমস্যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (জ্যামিতিক সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত) সমাধানের জন্য ফুটে ওঠে।

লক্ষ্য করার মত কিছু!

1. একটি সমীকরণ লেখার ফর্ম "অন্তর্নিহিত" হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত এন্ট্রি সম্ভব:

15+ 9x 2 - 45x = 0 বা 15x+42+9x 2 - 45x=0 বা 15 -5x+10x 2 = 0।

আপনাকে তাকে নিয়ে আসতে হবে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ(যাতে সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় বিভ্রান্ত না হয়)।

2. মনে রাখবেন যে x একটি অজানা পরিমাণ এবং এটি অন্য কোনো অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে - t, q, p, h এবং অন্যান্য।

এই বিষয়টা প্রথমে কঠিন মনে হতে পারে অনেকের কাছে তাই না সহজ সূত্র. শুধু দ্বিঘাত সমীকরণেরই দীর্ঘ স্বরলিপি থাকে না, বৈষম্যের মাধ্যমে শিকড়ও পাওয়া যায়। মোট, তিনটি নতুন সূত্র প্রাপ্ত হয়. মনে রাখা খুব সহজ নয়। এই ধরনের সমীকরণ ঘন ঘন সমাধান করার পরেই এটি সম্ভব। তাহলে সব সূত্র নিজেরাই মনে থাকবে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য

এখানে আমরা তাদের সুস্পষ্ট রেকর্ডিং প্রস্তাব করি, যখন সবচেয়ে বড় ডিগ্রীটি প্রথমে লেখা হয়, এবং তারপরে ক্রমানুসারে। প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যখন শর্তগুলি অসঙ্গত হয়। তাহলে ভেরিয়েবলের ডিগ্রীর অবরোহ ক্রমে সমীকরণটি পুনরায় লিখলে ভালো হয়।

আসুন কিছু স্বরলিপি প্রবর্তন করি। তারা নীচের টেবিলে উপস্থাপন করা হয়.

যদি আমরা এই স্বরলিপিগুলি গ্রহণ করি, তাহলে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ নিম্নলিখিত স্বরলিপিতে হ্রাস পাবে।

অধিকন্তু, সহগ a ≠ 0. এই সূত্রটিকে এক নম্বর নির্ধারণ করা যাক।

যখন একটি সমীকরণ দেওয়া হয়, তখন উত্তরে কতগুলি শিকড় থাকবে তা স্পষ্ট নয়। কারণ তিনটি বিকল্পের একটি সর্বদা সম্ভব:

• সমাধান দুটি শিকড় থাকবে;
• উত্তর হবে এক নম্বর;
• সমীকরণের কোনো শিকড় থাকবে না।

এবং সিদ্ধান্ত চূড়ান্ত না হওয়া পর্যন্ত, একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে কোন বিকল্পটি উপস্থিত হবে তা বোঝা কঠিন।

দ্বিঘাত সমীকরণের রেকর্ডিংয়ের ধরন

কাজের মধ্যে বিভিন্ন এন্ট্রি থাকতে পারে। তারা সবসময় মত হবে না সাধারণ সূত্রদ্বিঘাত সমীকরণ. কখনও কখনও এটি কিছু শর্ত অনুপস্থিত হবে. উপরে যা লেখা হয়েছে তা সম্পূর্ণ সমীকরণ। আপনি যদি এটিতে দ্বিতীয় বা তৃতীয় পদটি সরিয়ে দেন তবে আপনি অন্য কিছু পাবেন। এই রেকর্ডগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণও বলা হয়, শুধুমাত্র অসম্পূর্ণ।

অধিকন্তু, শুধুমাত্র সহগ "b" এবং "c" সহ পদগুলি অদৃশ্য হতে পারে। সংখ্যা "a" কোনো অবস্থাতেই শূন্যের সমান হতে পারে না। কারণ এক্ষেত্রে ফর্মুলা হয়ে যায় একঘাত সমীকরণ. সমীকরণের অসম্পূর্ণ ফর্মের সূত্রগুলি নিম্নরূপ হবে:

সুতরাং, কেবল দুটি প্রকার রয়েছে; সম্পূর্ণগুলি ছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণও রয়েছে। প্রথম সূত্রটি দুই নম্বর এবং দ্বিতীয়টি তিন হতে দিন।

বৈষম্যমূলক এবং তার মান উপর শিকড় সংখ্যা নির্ভরতা

সমীকরণের মূল গণনা করার জন্য আপনাকে এই সংখ্যাটি জানতে হবে। এটি সর্বদা গণনা করা যেতে পারে, দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র যাই হোক না কেন। বৈষম্যকারী গণনা করার জন্য, আপনাকে নীচে লেখা সমতা ব্যবহার করতে হবে, যার চার নম্বর থাকবে।

এই সূত্রে সহগ মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, আপনি এর সাথে সংখ্যা পেতে পারেন বিভিন্ন লক্ষণ. যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে সমীকরণের উত্তর দুটি বিভিন্ন শিকড়. সংখ্যাটি ঋণাত্মক হলে, দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো মূল থাকবে না। যদি এটি শূন্যের সমান হয় তবে একটিই উত্তর হবে।

কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করবেন?

প্রকৃতপক্ষে, ইতিমধ্যে এই বিষয়টি বিবেচনা শুরু হয়েছে। কারণ প্রথমে আপনাকে একজন বৈষম্যকারী খুঁজে বের করতে হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আছে তা নির্ধারণ করার পরে এবং তাদের সংখ্যা জানা গেলে, আপনাকে ভেরিয়েবলের জন্য সূত্র ব্যবহার করতে হবে। যদি দুটি শিকড় থাকে তবে আপনাকে নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

যেহেতু এটিতে একটি "±" চিহ্ন রয়েছে, তাই দুটি মান থাকবে। বর্গমূল চিহ্নের অধীন অভিব্যক্তিটি বৈষম্যকারী। অতএব, সূত্রটি ভিন্নভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে।

ফর্মুলা নম্বর পাঁচ। একই রেকর্ড থেকে এটা স্পষ্ট যে বৈষম্যকারী যদি শূন্যের সমান হয়, তাহলে উভয় মূল একই মান গ্রহণ করবে।

যদি দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা এখনও কাজ না করে থাকে, তবে বৈষম্যমূলক এবং পরিবর্তনশীল সূত্রগুলি প্রয়োগ করার আগে সমস্ত সহগগুলির মানগুলি লিখে রাখা ভাল। পরে এই মুহূর্ত অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। তবে শুরুতেই বিভ্রান্তি রয়েছে।

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন?

এখানে সবকিছু অনেক সহজ। এমনকি অতিরিক্ত সূত্রের প্রয়োজন নেই। এবং যেগুলি ইতিমধ্যেই বৈষম্যকারী এবং অজানাদের জন্য লিখে রাখা হয়েছে তার প্রয়োজন হবে না।

প্রথমে, দুই নম্বর অসম্পূর্ণ সমীকরণটি দেখি। এই সমতায়, বন্ধনী থেকে অজানা পরিমাণ বের করে রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন, যা বন্ধনীতে থাকবে। উত্তরের দুটি মূল থাকবে। প্রথমটি অগত্যা শূন্যের সমান, কারণ একটি গুণক রয়েছে যা ভেরিয়েবলটি নিজেই নিয়ে গঠিত। একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করে দ্বিতীয়টি পাওয়া যাবে।

অসম্পূর্ণ সমীকরণ নম্বর তিনটি সমতার বাম দিক থেকে ডানদিকে সরানোর মাধ্যমে সমাধান করা হয়। তারপর আপনাকে অজানার মুখোমুখি সহগ দ্বারা ভাগ করতে হবে। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল বর্গমূল বের করা এবং এটিকে বিপরীত চিহ্ন দিয়ে দুবার লিখতে ভুলবেন না।

নিচে কিছু ধাপ রয়েছে যা আপনাকে শিখতে সাহায্য করবে কিভাবে সমস্ত ধরণের সমতাকে সমাধান করতে হয় যা দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হয়। তারা শিক্ষার্থীকে অসাবধানতার কারণে ভুল এড়াতে সাহায্য করবে। বিস্তৃত বিষয় "কোয়াড্রেটিক ইকুয়েশন (8ম শ্রেণী)" অধ্যয়ন করার সময় এই ত্রুটিগুলি খারাপ গ্রেডের কারণ হতে পারে। পরবর্তীকালে, এই ক্রিয়াগুলি ক্রমাগত সম্পাদন করার প্রয়োজন হবে না। কারণ একটি স্থিতিশীল দক্ষতা প্রদর্শিত হবে।

• প্রথমে আপনাকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে সমীকরণটি লিখতে হবে। অর্থাৎ, প্রথমে ভেরিয়েবলের সবচেয়ে বড় ডিগ্রী সহ টার্ম, এবং তারপর - একটি ডিগ্রী ছাড়া, এবং শেষ - শুধুমাত্র একটি সংখ্যা।

• যদি একটি বিয়োগ সহগ "a" এর আগে উপস্থিত হয়, তাহলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়নরত একজন শিক্ষানবিশের জন্য কাজকে জটিল করে তুলতে পারে। এটা থেকে পরিত্রাণ পেতে ভাল. এই উদ্দেশ্যে, সমস্ত সমতাকে "-1" দ্বারা গুণ করতে হবে৷ এর মানে হল যে সমস্ত পদ বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করবে।

• এটি একই ভাবে ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে সুপারিশ করা হয়। সহজভাবে সমীকরণটিকে উপযুক্ত গুণক দ্বারা গুণ করুন যাতে হরগুলি বাতিল হয়ে যায়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

প্রথম সমীকরণ: x 2 − 7x = 0. এটি অসম্পূর্ণ, তাই এটি সূত্র নম্বর দুই-এর বর্ণনা অনুযায়ী সমাধান করা হয়েছে।

বন্ধনী থেকে বের করার পরে, এটি দেখা যাচ্ছে: x (x - 7) = 0।

প্রথম রুটটি মান নেয়: x 1 = 0। দ্বিতীয়টি রৈখিক সমীকরণ থেকে পাওয়া যাবে: x - 7 = 0। এটা দেখা সহজ যে x 2 = 7।

দ্বিতীয় সমীকরণ: 5x 2 + 30 = 0। আবার অসম্পূর্ণ। তৃতীয় সূত্রের জন্য বর্ণিত হিসাবে শুধুমাত্র এটি সমাধান করা হয়।

30 কে সমীকরণের ডানদিকে সরানোর পর: 5x 2 = 30। এখন আপনাকে 5 দিয়ে ভাগ করতে হবে। এতে দেখা যাচ্ছে: x 2 = 6। উত্তরগুলো হবে সংখ্যাগুলো: x 1 = √6, x 2 = - √6.

তৃতীয় সমীকরণ: 15 − 2x − x 2 = 0। এখানে এবং আরও, দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে পুনরায় লেখার মাধ্যমে সমাধান করা শুরু হবে: − x 2 − 2x + 15 = 0। এখন দ্বিতীয়টি ব্যবহার করার সময় এসেছে। কার্যকারী উপদেশএবং সবকিছুকে বিয়োগ এক দ্বারা গুণ করুন। এটি দেখা যাচ্ছে x 2 + 2x - 15 = 0। চতুর্থ সূত্রটি ব্যবহার করে, আপনাকে বৈষম্য গণনা করতে হবে: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উপরে যা বলা হয়েছে তা থেকে দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। তাদের পঞ্চম সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা প্রয়োজন। দেখা যাচ্ছে যে x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2। তারপর x 1 = 3, x 2 = - 5।

চতুর্থ সমীকরণ x 2 + 8 + 3x = 0 এতে রূপান্তরিত হয়: x 2 + 3x + 8 = 0। এর বৈষম্য এই মানের সমান: -23। যেহেতু এই সংখ্যাটি নেতিবাচক, এই কাজের উত্তরটি হবে নিম্নলিখিত এন্ট্রি: "কোনও শিকড় নেই।"

পঞ্চম সমীকরণ 12x + x 2 + 36 = 0 নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে হবে: x 2 + 12x + 36 = 0। বৈষম্যকারীর জন্য সূত্র প্রয়োগ করার পরে, শূন্য সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এর মানে হল এর একটি রুট থাকবে, যথা: x = -12/ (2 * 1) = -6।

ষষ্ঠ সমীকরণ (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ট্রান্সফর্মেশনের প্রয়োজন, যা আপনাকে অনুরূপ পদ আনতে হবে, প্রথমে বন্ধনী খুলতে হবে। প্রথমটির জায়গায় নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি থাকবে: x 2 + 2x + 1। সমতার পরে, এই এন্ট্রিটি উপস্থিত হবে: x 2 + 3x + 2। অনুরূপ পদ গণনা করার পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে: x 2 - x = 0. এটি অসম্পূর্ণ হয়ে গেছে। এর অনুরূপ কিছু ইতিমধ্যেই একটু উঁচুতে আলোচনা করা হয়েছে। এর মূল হবে 0 এবং 1 সংখ্যা।

এর সমস্যা বিবেচনা করা যাক. আয়তক্ষেত্রের ভিত্তিটি তার উচ্চতার চেয়ে 10 সেমি বেশি এবং এর ক্ষেত্রফল 24 সেমি²। আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা নির্ণয় কর। দিন এক্সসেন্টিমিটার হল আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা, তারপর এর ভিত্তি হল ( এক্স+10) সেমি। এই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল এক্স(এক্স+ 10) cm²। সমস্যার শর্ত অনুযায়ী এক্স(এক্স+ 10) = 24. বন্ধনী খুলুন এবং বিপরীত চিহ্ন সহ 24 নম্বরটি সরান বাম পাশেসমীকরণ, আমরা পাই: এক্স² + 10 এক্স-24 = 0. এই সমস্যাটি সমাধান করার সময়, একটি সমীকরণ পাওয়া গেছে যাকে দ্বিঘাত বলা হয়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ

কুঠার ²+ bx+c= 0

কোথায় a, b, c- প্রদত্ত সংখ্যা, এবং ক≠ 0, এবং এক্স- অজানা

মতভেদ a, b, cদ্বিঘাত সমীকরণকে সাধারণত বলা হয়: ক- প্রথম বা সর্বোচ্চ সহগ, খ- দ্বিতীয় সহগ, গ- একজন ফ্রি সদস্য। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের সমস্যায়, অগ্রণী সহগ হল 1, দ্বিতীয় সহগ হল 10 এবং বিনামূল্যের পদ হল -24৷ গণিত এবং পদার্থবিদ্যার অনেক সমস্যার সমাধান দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানে নেমে আসে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন। প্রথম ধাপ হল প্রদত্ত সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে নিয়ে আসা কুঠার²+ bx+ গ = 0. আসুন আমাদের সমস্যায় ফিরে আসি, যেখানে সমীকরণটি লেখা যেতে পারে এক্স(এক্স+ 10) = 24 এটিকে স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে নিয়ে আসা যাক, বন্ধনীগুলি খুলুন এক্স² + 10 এক্স- 24 = 0, আমরা একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করি।

এই সূত্রে মূল চিহ্নের নিচে যে অভিব্যক্তি আছে তাকে বলা হয় বৈষম্যকারী D = খ² - 4 এসি

যদি D>0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল আছে, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে।

যদি D=0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল আছে।

যদি ডি<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

আসুন আমাদের সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি ক= 1, খ= 10, গ= -24.

আমরা D>0 পাই, তাই আমরা দুটি মূল পাই।

আসুন একটি উদাহরণ বিবেচনা করি যেখানে D=0, এই অবস্থায় একটি রুট থাকা উচিত।

25এক্স² - 30 এক্স+ 9 = 0

একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যেখানে ডি<0, при этом условии решения не должно быть.

2এক্স² + 3 এক্স+ 4 = 0

মূল চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি (বৈষম্যমূলক) নেতিবাচক; আমরা উত্তরটি নিম্নরূপ লিখি: সমীকরণটির কোন প্রকৃত মূল নেই।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

দ্বিঘাত সমীকরণ কুঠার² + bx+ গ= 0 অসম্পূর্ণ বলা হয় যদি অন্তত একটি সহগ খবা গশূন্যের সমান। একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ হল নিম্নলিখিত ধরণের একটির সমীকরণ:

কুঠার² = 0,

কুঠার² + গ= 0, গ≠ 0,

কুঠার² + bx= 0, খ≠ 0.

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি এবং সমীকরণটি সমাধান করি

সমীকরণের উভয় পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করলে সমীকরণ পাওয়া যায় এক্স² = 0, উত্তরের একটি রুট থাকবে এক্স= 0.

ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন

3এক্স² - 27 = 0

উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা সমীকরণটি পাই এক্স² - 9 = 0, বা এটি লেখা যেতে পারে এক্স² = 9, উত্তরের দুটি মূল থাকবে এক্স= 3 এবং এক্স= -3.

ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন

2এক্স² + 7 = 0

উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা সমীকরণটি পাই এক্স² = -7/2। এই সমীকরণের কোন প্রকৃত শিকড় নেই, যেহেতু এক্সযেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য ² ≥ 0 এক্স.

ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন

3এক্স² + 5 এক্স= 0

সমীকরণের বাম দিকে ফ্যাক্টরিং, আমরা পেতে এক্স(3এক্স+ 5) = 0, উত্তরের দুটি মূল থাকবে এক্স= 0, এক্স=-5/3.

দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল দ্বিঘাত সমীকরণটিকে একটি আদর্শ আকারে নিয়ে আসা, একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলির জন্য সূত্রটি মুখস্থ করা এবং চিহ্নগুলিতে বিভ্রান্ত না হওয়া।

এই প্রবন্ধের বিষয়বস্তু "সমীকরণ সমাধান" বিষয়টি চালিয়ে যাওয়া আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেবে।

আসুন সবকিছু বিস্তারিতভাবে দেখি: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সারমর্ম এবং স্বরলিপি, সহগামী পদগুলি সংজ্ঞায়িত করুন, অসম্পূর্ণ এবং সম্পূর্ণ সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য স্কিমটি বিশ্লেষণ করুন, শিকড় এবং বৈষম্যের সূত্রের সাথে পরিচিত হন, শিকড় এবং সহগগুলির মধ্যে সংযোগ স্থাপন করুন, এবং অবশ্যই আমরা ব্যবহারিক উদাহরণগুলির একটি চাক্ষুষ সমাধান দেব।

Yandex.RTB R-A-339285-1

দ্বিঘাত সমীকরণ, এর প্রকারগুলি

সংজ্ঞা 1

দ্বিঘাত সমীকরণহিসাবে লিখিত একটি সমীকরণ a x 2 + b x + c = 0, কোথায় এক্স- পরিবর্তনশীল, a, b এবং গ- কিছু সংখ্যা, যখন কশূন্য নয়।

প্রায়শই, দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণও বলা হয়, কারণ মূলত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি বীজগণিত সমীকরণ।

প্রদত্ত সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি উদাহরণ দেওয়া যাক: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ইত্যাদি। এগুলো দ্বিঘাত সমীকরণ।

সংজ্ঞা 2

সংখ্যা a, b এবং গদ্বিঘাত সমীকরণের সহগ a x 2 + b x + c = 0, যখন সহগ ক x 2, b-তে প্রথম, বা সিনিয়র, বা সহগ বলা হয় - দ্বিতীয় সহগ, বা সহগ এক্স, ক গএকটি বিনামূল্যে সদস্য বলা হয়.

উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণে 6 x 2 − 2 x − 11 = 0অগ্রণী সহগ হল 6, দ্বিতীয় সহগ হল৷ − 2 , এবং বিনামূল্যের মেয়াদ সমান − 11 . আসুন আমরা মনোযোগ দেই যে যখন সহগ খএবং/অথবা c নেতিবাচক, তারপর ফর্মের একটি সংক্ষিপ্ত রূপ ব্যবহার করা হয় 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, কিন্তু না 6 x 2 + (− 2) x + (−11) = 0.

আমাদের এই দিকটিও স্পষ্ট করা যাক: যদি সহগ কএবং/অথবা খসমান 1 বা − 1 , তাহলে তারা দ্বিঘাত সমীকরণ লেখার ক্ষেত্রে একটি স্পষ্ট অংশ নাও নিতে পারে, যা নির্দেশিত সংখ্যাসূচক সহগ লেখার অদ্ভুততা দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণে y 2 − y + 7 = 0অগ্রণী সহগ হল 1, এবং দ্বিতীয় সহগ হল৷ − 1 .

হ্রাসকৃত এবং অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণ

প্রথম সহগের মানের উপর ভিত্তি করে, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি হ্রাসকৃত এবং অপরিবর্তিত হিসাবে বিভক্ত।

সংজ্ঞা 3

দ্বিঘাত সমীকরণ হ্রাস করা হয়েছেএকটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে অগ্রণী সহগ হল 1। অগ্রণী সহগের অন্যান্য মানের জন্য, দ্বিঘাত সমীকরণটি অপরিবর্তিত।

উদাহরণ দেওয়া যাক: দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 হ্রাস করা হয়েছে, যার প্রতিটিতে অগ্রণী সহগ হল 1।

9 x 2 − x − 2 = 0- অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে প্রথম সহগ থেকে আলাদা 1 .

যেকোনো অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণকে প্রথম সহগ (সমতুল্য রূপান্তর) দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে একটি হ্রাসকৃত সমীকরণে রূপান্তর করা যেতে পারে। রূপান্তরিত সমীকরণের প্রদত্ত অপরিবর্তিত সমীকরণের মতো একই শিকড় থাকবে বা এর কোনো মূলও থাকবে না।

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করা আমাদেরকে একটি অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে একটি হ্রাসকৃত সমীকরণে রূপান্তরটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করতে দেয়।

উদাহরণ 1

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 সমীকরণ দেওয়া হয়েছে . মূল সমীকরণটিকে হ্রাসকৃত আকারে রূপান্তর করা প্রয়োজন।

সমাধান

উপরের চিত্র অনুসারে, আমরা উভয় অংশকে ভাগ করি মূল সমীকরণসর্বোচ্চ সহগ 6 দ্বারা। তারপর আমরা পাই: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, এবং এটি একই: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0এবং আরও: (6:6) x 2 + (18:6) x −7:6 = 0।এখান থেকে: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0। এইভাবে, প্রদত্ত একটির সমতুল্য একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয়।

উত্তর: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0।

সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

চলুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞায় আসা যাক। এটিতে আমরা এটি নির্দিষ্ট করেছি a ≠ 0. সমীকরণের জন্য অনুরূপ শর্ত আবশ্যক a x 2 + b x + c = 0এ থেকে অবিকল বর্গক্ষেত্র ছিল a = 0এটি মূলত একটি রৈখিক সমীকরণে রূপান্তরিত হয় b x + c = 0.

ক্ষেত্রে যখন সহগ খএবং গশূন্যের সমান (যা সম্ভব, পৃথকভাবে এবং যৌথভাবে), দ্বিঘাত সমীকরণটিকে অসম্পূর্ণ বলা হয়।

সংজ্ঞা 4

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ- যেমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 + b x + c = 0,যেখানে অন্তত একটি সহগ খএবং গ(বা উভয়) শূন্য।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন– একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে সমস্ত সংখ্যাগত সহগ শূন্যের সমান নয়।

চলুন আলোচনা করা যাক কেন দ্বিঘাত সমীকরণের ধরনগুলো ঠিক এই নামগুলো দেওয়া হল।

যখন b = 0, দ্বিঘাত সমীকরণটি রূপ নেয় a x 2 + 0 x + c = 0, যা একই a x 2 + c = 0. এ c = 0দ্বিঘাত সমীকরণটি এভাবে লেখা হয় a x 2 + b x + 0 = 0, যা সমতুল্য a x 2 + b x = 0. এ b = 0এবং c = 0সমীকরণটি রূপ নেবে a x 2 = 0. আমরা যে সমীকরণগুলি পেয়েছি তা সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে আলাদা যে তাদের বাম দিকের পরিবর্তনশীল x সহ একটি পদ, বা একটি মুক্ত পদ, বা উভয়ই থাকে না। আসলে, এই ঘটনাটি এই ধরণের সমীকরণের নাম দিয়েছে - অসম্পূর্ণ।

উদাহরণস্বরূপ, x 2 + 3 x + 4 = 0 এবং − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞা নিম্নলিখিত ধরনের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে আলাদা করা সম্ভব করে তোলে:

• a x 2 = 0, এই সমীকরণটি সহগগুলির সাথে মিলে যায়৷ b = 0এবং c = 0;
• a · x 2 + c = 0 এ b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 এ c = 0।

আসুন প্রতিটি ধরণের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের ক্রমানুসারে সমাধান বিবেচনা করি।

a x 2 =0 সমীকরণের সমাধান

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এই সমীকরণটি সহগগুলির সাথে মিলে যায় খএবং গ, শূন্যের সমান। সমীকরণটি a x 2 = 0একটি সমতুল্য সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে x 2 = 0, যা আমরা মূল সমীকরণের উভয় পক্ষকে সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে পাই ক, শূন্যের সমান নয়। সুস্পষ্ট সত্য যে সমীকরণ মূল x 2 = 0এই শূন্য কারণ 0 2 = 0 . এই সমীকরণের অন্য কোন শিকড় নেই, যা ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যেকোনো সংখ্যার জন্য পি,শূন্যের সমান নয়, অসমতা সত্য p 2 > 0, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যখন p ≠ 0সমতা p 2 = 0অর্জন করা হবে না.

সংজ্ঞা 5

সুতরাং, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য একটি x 2 = 0 একটি অনন্য মূল আছে x = 0.

উদাহরণ 2

উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি − 3 x 2 = 0. এটি সমীকরণের সমতুল্য x 2 = 0, এর একমাত্র মূল x = 0, তাহলে মূল সমীকরণের একটি একক মূল আছে - শূন্য।

সংক্ষেপে, সমাধানটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0।

a x 2 + c = 0 সমীকরণটি সমাধান করা

লাইনের পরেরটি হল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান, যেখানে b = 0, c ≠ 0, অর্থাৎ ফর্মের সমীকরণ a x 2 + c = 0. চলুন এই সমীকরণটি রুপান্তর করি একটি পদটিকে সমীকরণের একপাশ থেকে অন্য দিকে সরানোর মাধ্যমে, চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে এবং সমীকরণের উভয় দিককে শূন্যের সমান নয় এমন একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে:

• স্থানান্তর গডান দিকে, যা সমীকরণ দেয় a x 2 = − c;
• সমীকরণের উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করুন ক, আমরা x = - c a দিয়ে শেষ করি।

আমাদের রূপান্তরগুলি সমতুল্য; তদনুসারে, ফলস্বরূপ সমীকরণটিও আসলটির সমতুল্য, এবং এই সত্যটি সমীকরণের শিকড় সম্পর্কে উপসংহার টানা সম্ভব করে তোলে। মূল্যবোধ কি থেকে কএবং গঅভিব্যক্তির মান - c a নির্ভর করে: এতে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি a = 1এবং c = 2, তারপর - c a = - 2 1 = - 2) বা একটি যোগ চিহ্ন (উদাহরণস্বরূপ, যদি a = − 2এবং c = 6, তারপর - c a = - 6 - 2 = 3); এটা শূন্য না কারণ গ ≠ 0. আসুন পরিস্থিতি সম্পর্কে আরও বিশদে আলোচনা করি যখন - c a< 0 и - c a > 0 .

ক্ষেত্রে যখন- গ ক< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа পিসমতা p 2 = - c a সত্য হতে পারে না।

সবকিছু আলাদা হয় যখন - c a > 0: বর্গমূল মনে রাখবেন, এবং এটি স্পষ্ট হয়ে যাবে যে x 2 = - c a সমীকরণের মূল হবে সংখ্যা - c a, যেহেতু - c a 2 = - c a। এটা বোঝা কঠিন নয় যে সংখ্যা - - c a সমীকরণের মূলও x 2 = - c a: প্রকৃতপক্ষে, - - c a 2 = - c a।

সমীকরণের অন্য কোন শিকড় থাকবে না। আমরা দ্বন্দ্বের পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি প্রদর্শন করতে পারি। শুরুতে, আসুন উপরে পাওয়া শিকড়গুলির জন্য স্বরলিপিগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি x 1এবং − x 1. ধরা যাক সমীকরণ x 2 = - c a এরও একটি রুট আছে x 2, যা শিকড় থেকে আলাদা x 1এবং − x 1. আমরা জানি যে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এক্সএর শিকড়, আমরা সমীকরণটিকে একটি ন্যায্য সংখ্যাসূচক সমতায় রূপান্তরিত করি।

জন্য x 1এবং − x 1আমরা লিখি: x 1 2 = - c a , এবং for x 2- x 2 2 = - c a। সাংখ্যিক সমতার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি সঠিক সমতা পদকে অন্যটি থেকে পদ দ্বারা বিয়োগ করি, যা আমাদের দেবে: x 1 2 − x 2 2 = 0. আমরা সংখ্যার সাথে ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি যাতে শেষ সমতাটিকে পুনরায় লিখতে পারি (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. এটি জানা যায় যে দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য হলে এবং শুধুমাত্র যদি কমপক্ষে একটি সংখ্যা শূন্য হয়। উপরোক্ত থেকে এটি যে অনুসরণ করে x 1 − x 2 = 0এবং/অথবা x 1 + x 2 = 0, যা একই x 2 = x 1এবং/অথবা x 2 = − x 1. একটি সুস্পষ্ট দ্বন্দ্ব দেখা দিয়েছিল, কারণ প্রথমে এটি সম্মত হয়েছিল যে সমীকরণের মূল x 2থেকে পৃথক x 1এবং − x 1. সুতরাং, আমরা প্রমাণ করেছি যে সমীকরণটির x = - c a এবং x = - - c a ছাড়া অন্য কোন মূল নেই।

আসুন উপরের সমস্ত যুক্তি সংক্ষিপ্ত করি।

সংজ্ঞা 6

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 + c = 0সমীকরণ x 2 = - c a, যা:

• কোন শিকড় থাকবে না - c a< 0 ;
• দুটি মূল থাকবে x = - c a এবং x = - - c a এর জন্য - c a > 0।

সমীকরণগুলি সমাধানের উদাহরণ দেওয়া যাক a x 2 + c = 0.

উদাহরণ 3

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দেওয়া হয়েছে 9 x 2 + 7 = 0।এর সমাধান বের করা দরকার।

সমাধান

মুক্ত শব্দটিকে সমীকরণের ডানদিকে নিয়ে যাওয়া যাক, তাহলে সমীকরণটি রূপ নেবে 9 x 2 = −7।
ফলস্বরূপ সমীকরণের উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করা যাক 9 , আমরা x 2 = - 7 9 এ পৌঁছেছি। ডানদিকে আমরা একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি সংখ্যা দেখতে পাচ্ছি, যার অর্থ: প্রদত্ত সমীকরণটির কোনও মূল নেই। তারপর আসল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ 9 x 2 + 7 = 0কোন শিকড় থাকবে না।

উত্তর:সমীকরণটি 9 x 2 + 7 = 0কোন শিকড় নেই

উদাহরণ 4

সমীকরণটি সমাধান করা দরকার − x 2 + 36 = 0.

সমাধান

আসুন 36 কে ডান দিকে নিয়ে যাই: − x 2 = − 36.
এর দ্বারা উভয় অংশ ভাগ করা যাক − 1 , আমরা পেতে x 2 = 36. ডান দিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা আছে, যা থেকে আমরা এটি উপসংহার করতে পারি x = 36 বা x = - 36।
আসুন মূলটি বের করি এবং চূড়ান্ত ফলাফলটি লিখি: অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ − x 2 + 36 = 0দুটি শিকড় আছে x=6বা x = − 6.

উত্তর: x=6বা x = − 6.

a x 2 +b x=0 সমীকরণটির সমাধান

আসুন তৃতীয় প্রকারের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বিশ্লেষণ করি, কখন c = 0. একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান খুঁজতে a x 2 + b x = 0, আমরা ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করব। সমীকরণের বাম পাশে থাকা বহুপদীটিকে বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়ক বের করে ফ্যাক্টরাইজ করা যাক এক্স. এই পদক্ষেপটি মূল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে তার সমতুল্য রূপান্তর করা সম্ভব করবে। x (a x + b) = 0. এবং এই সমীকরণ, ঘুরে, সমীকরণ একটি সেট সমতুল্য x = 0এবং a x + b = 0. সমীকরণটি a x + b = 0রৈখিক, এবং এর মূল: x = − b a.

সংজ্ঞা 7

এইভাবে, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ a x 2 + b x = 0দুটি শিকড় থাকবে x = 0এবং x = − b a.

আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে উপাদানটিকে শক্তিশালী করা যাক।

উদাহরণ 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমাধান

আমরা এটা বের করে নেব এক্সবন্ধনীর বাইরে আমরা x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 সমীকরণটি পাই। এই সমীকরণটি সমীকরণের সমতুল্য x = 0এবং 2 3 x - 2 2 7 = 0। এখন আপনার রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করা উচিত: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3।

নিম্নরূপ সমীকরণের সমাধান সংক্ষেপে লিখ:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 বা 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 বা x = 3 3 7

উত্তর: x = 0, x = 3 3 7।

বৈষম্যমূলক, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, একটি মূল সূত্র আছে:

সংজ্ঞা 8

x = - b ± D 2 · a, যেখানে D = b 2 − 4 a c– একটি দ্বিঘাত সমীকরণের তথাকথিত বৈষম্যকারী।

x = - b ± D 2 · a লেখার অর্থ হল x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a।

এই সূত্রটি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছিল এবং কীভাবে এটি প্রয়োগ করা যায় তা বোঝার জন্য এটি কার্যকর হবে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের প্রাপ্তি

আসুন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের কাজটির মুখোমুখি হই a x 2 + b x + c = 0. আসুন আমরা বেশ কয়েকটি সমতুল্য রূপান্তর করি:

• সমীকরণের উভয় দিককে একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করুন ক, শূন্য থেকে ভিন্ন, আমরা নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• হাইলাইট করা যাক পারফেক্ট বর্গফলস্বরূপ সমীকরণের বাম দিকে:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + গ ক
  এর পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• এখন শেষ দুটি পদ ডানদিকে স্থানান্তর করা সম্ভব, চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে, তারপরে আমরা পাই: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• অবশেষে, আমরা শেষ সমতার ডানদিকে লেখা অভিব্যক্তিটি রূপান্তরিত করি:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2।

এইভাবে, আমরা x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 সমীকরণে পৌঁছেছি, মূল সমীকরণের সমতুল্য a x 2 + b x + c = 0.

আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে এই জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধান পরীক্ষা করেছি (অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা)। ইতিমধ্যে অর্জিত অভিজ্ঞতা x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 সমীকরণের মূল সম্পর্কে একটি উপসংহার টানা সম্ভব করে তোলে:

• সঙ্গে b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• যখন b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 সমীকরণটি হয় x + b 2 · a 2 = 0, তারপর x + b 2 · a = 0।

এখান থেকে একমাত্র মূল x = - b 2 · a স্পষ্ট;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 এর জন্য, নিম্নলিখিতটি সত্য হবে: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 বা x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , যা x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 বা x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. সমীকরণ দুটি মূল আছে.

এই সিদ্ধান্তে আসা সম্ভব যে x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (এবং সেইজন্য মূল সমীকরণ) বি-এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে সমীকরণটির মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি। ডান পাশে 2 - 4 · a · c 4 · a 2 লেখা। এবং এই অভিব্যক্তির চিহ্নটি লবের চিহ্ন দ্বারা দেওয়া হয়, (হর 4 একটি 2সর্বদা ইতিবাচক হবে), অর্থাৎ অভিব্যক্তির চিহ্ন b 2 − 4 a গ. এই অভিব্যক্তি b 2 − 4 a গনাম দেওয়া হয়েছে - দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী এবং D অক্ষরটিকে তার পদবী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এখানে আপনি বৈষম্যকারীর সারমর্মটি লিখতে পারেন - এর মান এবং চিহ্নের উপর ভিত্তি করে, তারা সিদ্ধান্ত নিতে পারে যে দ্বিঘাত সমীকরণটির আসল শিকড় থাকবে কিনা, এবং যদি তাই হয় তবে মূলের সংখ্যা কত - এক বা দুটি।

আসুন x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 সমীকরণে ফিরে আসি। আসুন এটিকে বৈষম্যমূলক স্বরলিপি ব্যবহার করে পুনরায় লিখি: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2।

আসুন আবার আমাদের সিদ্ধান্তগুলি প্রণয়ন করি:

সংজ্ঞা 9

• এ ডি< 0 সমীকরণের কোন প্রকৃত শিকড় নেই;
• এ D=0সমীকরণটির একটি একক মূল x = - b 2 · a ;
• এ ডি > 0সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 বা x = - b 2 · a - D 4 · a 2। র্যাডিকেলের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, এই শিকড়গুলিকে আকারে লেখা যেতে পারে: x = - b 2 · a + D 2 · a বা - b 2 · a - D 2 · a। এবং, যখন আমরা মডিউল খুলে ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি, তখন আমরা পাই: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a।

সুতরাং, আমাদের যুক্তির ফলাফল ছিল একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের উদ্ভব:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant ডিসূত্র দ্বারা গণনা করা হয় D = b 2 − 4 a c.

যখন বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে বড় হয় তখন এই সূত্রগুলি উভয়ের প্রকৃত মূল নির্ধারণ করা সম্ভব করে। যখন বৈষম্যকারী শূন্য হয়, উভয় সূত্র প্রয়োগ করলে দ্বিঘাত সমীকরণের একমাত্র সমাধান হিসাবে একই মূল পাওয়া যাবে। যে ক্ষেত্রে বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, যদি আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করি, তাহলে আমরা নিষ্কাশনের প্রয়োজনের সম্মুখীন হব। বর্গমূলএকটি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে, যা আমাদের প্রকৃত সংখ্যার বাইরে নিয়ে যাবে। একটি নেতিবাচক বৈষম্যকারীর সাথে, দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত শিকড় থাকবে না, তবে জটিল সমন্বিত মূলের একটি জোড়া সম্ভব, আমরা প্রাপ্ত একই মূল সূত্র দ্বারা নির্ধারিত।

মূল সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

মূল সূত্রটি ব্যবহার করে অবিলম্বে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা সম্ভব, তবে এটি সাধারণত করা হয় যখন জটিল শিকড় খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এর অর্থ সাধারণত জটিল নয়, বরং একটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকৃত মূলের জন্য অনুসন্ধান করা। তারপরে এটি সর্বোত্তম, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করার আগে, প্রথমে বৈষম্য নির্ণয় করুন এবং নিশ্চিত করুন যে এটি নেতিবাচক নয় (অন্যথায় আমরা উপসংহারে পৌঁছব যে সমীকরণটির কোনও প্রকৃত মূল নেই), এবং তারপরে গণনা করতে এগিয়ে যান। শিকড় মান.

উপরের যুক্তিটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করা সম্ভব করে তোলে।

সংজ্ঞা 10

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে a x 2 + b x + c = 0, প্রয়োজনীয়:

• সূত্র অনুযায়ী D = b 2 − 4 a cবৈষম্যমূলক মান খুঁজুন;
• ডি এ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-এর জন্য, x = - b 2 · a সূত্রটি ব্যবহার করে সমীকরণের একমাত্র মূল খুঁজুন;
• D > 0 এর জন্য, সূত্র x = - b ± D 2 · a ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বাস্তব মূল নির্ধারণ করুন।

মনে রাখবেন যে যখন বৈষম্যকারী শূন্য হয়, আপনি x = - b ± D 2 · a সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, এটি সূত্র x = - b 2 · a হিসাবে একই ফলাফল দেবে।

এর উদাহরণ তাকান.

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

বৈষম্যকারীর বিভিন্ন মূল্যবোধের উদাহরণের সমাধান দেওয়া যাক।

উদাহরণ 6

আমাদের সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করতে হবে x 2 + 2 x − 6 = 0.

সমাধান

চলুন দ্বিঘাত সমীকরণের সংখ্যাগত সহগগুলি লিখি: a = 1, b = 2 এবং c = − 6. পরবর্তী আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী এগিয়ে যাই, অর্থাৎ আসুন বৈষম্যকারী গণনা করা শুরু করি, যার জন্য আমরা a, b সহগ প্রতিস্থাপন করব এবং গবৈষম্যমূলক সূত্রে: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28।

তাই আমরা D > 0 পাই, যার মানে আসল সমীকরণের দুটি বাস্তব মূল থাকবে।
তাদের খুঁজে বের করার জন্য, আমরা মূল সূত্র x = - b ± D 2 · a ব্যবহার করি এবং সংশ্লিষ্ট মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: x = - 2 ± 28 2 · 1। আসুন মূল চিহ্ন থেকে ফ্যাক্টরটি বের করে এবং তারপর ভগ্নাংশটি কমিয়ে ফলিত অভিব্যক্তিটিকে সরলীকরণ করি:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 বা x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 বা x = - 1 - 7

উত্তর: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7।

উদাহরণ 7

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হবে − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

সমাধান

আসুন বৈষম্যকারীকে সংজ্ঞায়িত করা যাক: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. বৈষম্যকারীর এই মানের সাথে, মূল সমীকরণের শুধুমাত্র একটি মূল থাকবে, সূত্র x = - b 2 · a দ্বারা নির্ধারিত।

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

উত্তর: x = 3.5.

উদাহরণ 8

সমীকরণটি সমাধান করা দরকার 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

সমাধান

এই সমীকরণের সংখ্যাসূচক সহগ হবে: a = 5, b = 6 এবং c = 2। আমরা বৈষম্যকারী খুঁজে পেতে এই মানগুলি ব্যবহার করি: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4। গণনাকৃত বৈষম্য ঋণাত্মক, তাই মূল দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো প্রকৃত মূল নেই।

ক্ষেত্রে যখন কাজটি জটিল শিকড় নির্দেশ করা হয়, আমরা মূল সূত্র প্রয়োগ করি, জটিল সংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করি:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 বা x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i বা x = - 3 5 - 1 5 · i।

উত্তর:কোন প্রকৃত শিকড় নেই; জটিল মূলগুলি নিম্নরূপ: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i।

ভিতরে স্কুলের পাঠ্যক্রমজটিল শিকড়গুলি সন্ধান করার জন্য কোনও মানক প্রয়োজনীয়তা নেই, তাই, যদি সমাধানের সময় বৈষম্যকারী নেতিবাচক হতে নির্ধারিত হয়, উত্তরটি অবিলম্বে লিখে দেওয়া হয় যে কোনও প্রকৃত শিকড় নেই।

এমনকি দ্বিতীয় সহগগুলির জন্য মূল সূত্র

মূল সূত্র x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) আরেকটি সূত্র প্রাপ্ত করা সম্ভব করে, আরও কম্প্যাক্ট, যার সাহায্যে একজনকে x ( অথবা 2 · n ফর্মের একটি সহগ সহ, উদাহরণস্বরূপ, 2 3 বা 14 ln 5 = 2 7 ln 5)। আসুন দেখান কিভাবে এই সূত্রটি উদ্ভূত হয়েছে।

চতুর্ঘাতিক সমীকরণ a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 এর সমাধান খুঁজে বের করার কাজটির মুখোমুখি হওয়া যাক। আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী এগিয়ে যাই: আমরা বৈষম্যকারী D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) নির্ধারণ করি এবং তারপর মূল সূত্রটি ব্যবহার করি:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a ।

অভিব্যক্তি n 2 − a · c কে D 1 হিসাবে চিহ্নিত করা যাক (কখনও কখনও এটি D "ও বোঝানো হয়)। তারপর দ্বিতীয় সহগ 2 · n এর সাথে বিবেচনাধীন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্রটি রূপ নেবে:

x = - n ± D 1 a, যেখানে D 1 = n 2 − a · c।

এটা দেখা সহজ যে D = 4 · D 1, বা D 1 = D 4। অন্য কথায়, ডি 1 বৈষম্যকারীর এক চতুর্থাংশ। স্পষ্টতই, D 1-এর চিহ্নটি D-এর চিহ্নের মতোই, যার মানে D 1-এর চিহ্নটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির সূচক হিসেবেও কাজ করতে পারে।

সংজ্ঞা 11

সুতরাং, 2 n এর দ্বিতীয় সহগ সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, এটি প্রয়োজনীয়:

• D 1 = n 2 − a · c ;
• D 1 এ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• যখন D 1 = 0, তখন সূত্র x = - n a ব্যবহার করে সমীকরণের একমাত্র মূল নির্ধারণ করুন;
• D 1 > 0 এর জন্য, x = - n ± D 1 a সূত্রটি ব্যবহার করে দুটি বাস্তব মূল নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ 9

দ্বিঘাত সমীকরণ 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 সমাধান করতে হবে।

সমাধান

আমরা প্রদত্ত সমীকরণের দ্বিতীয় সহগকে 2 · (−3) হিসাবে উপস্থাপন করতে পারি। তারপরে আমরা প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0 হিসাবে পুনরায় লিখি, যেখানে a = 5, n = − 3 এবং c = − 32।

আসুন বৈষম্যকারীর চতুর্থ অংশটি গণনা করি: D 1 = n 2 −a · c = (−3) 2 −5 · (−32) = 9 + 160 = 169। ফলস্বরূপ মানটি ধনাত্মক, যার অর্থ হল সমীকরণটির দুটি বাস্তব মূল রয়েছে। আসুন সংশ্লিষ্ট মূল সূত্র ব্যবহার করে সেগুলি নির্ধারণ করি:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 বা x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 বা x = - 2

দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা সম্ভব হবে, তবে এই ক্ষেত্রে সমাধানটি আরও জটিল হবে।

উত্তর: x = 3 1 5 বা x = - 2।

দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্ম সরলীকরণ

কখনও কখনও মূল সমীকরণের ফর্মটি অপ্টিমাইজ করা সম্ভব, যা শিকড় গণনা করার প্রক্রিয়াটিকে সহজ করবে।

উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণ 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 পরিষ্কারভাবে 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 এর চেয়ে সমাধান করা আরও সুবিধাজনক।

প্রায়শই, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের ফর্মের সরলীকরণটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা এর উভয় দিককে গুণ বা ভাগ করে বাহিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরে আমরা 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 সমীকরণের একটি সরলীকৃত উপস্থাপনা দেখিয়েছি, উভয় পক্ষকে 100 দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত।

এই ধরনের রূপান্তর সম্ভব যখন দ্বিঘাত সমীকরণের সহগগুলি কপ্রাইম সংখ্যা নয়। তারপরে আমরা সাধারণত সমীকরণের উভয় দিককে এর সহগগুলির পরম মানের সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক দ্বারা ভাগ করি।

উদাহরণ হিসেবে, আমরা 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার করি। আসুন আমরা এর সহগগুলির পরম মানের GCD নির্ধারণ করি: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6। আসুন আসল দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় বাহুকে 6 দ্বারা ভাগ করি এবং সমতুল্য দ্বিঘাত সমীকরণ 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 পাই।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ করে, আপনি সাধারণত ভগ্নাংশের সহগ থেকে মুক্তি পান। এই ক্ষেত্রে, তারা এর সহগগুলির হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক দ্বারা গুণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি দ্বিঘাত সমীকরণ 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 এর প্রতিটি অংশকে LCM (6, 3, 1) = 6 দিয়ে গুণ করা হয়, তাহলে এটি আরও লেখা হবে সহজ আকারে x 2 + 4 x − 18 = 0।

পরিশেষে, আমরা লক্ষ্য করি যে আমরা প্রায় সবসময়ই সমীকরণের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে দ্বিঘাত সমীকরণের প্রথম সহগ-এ বিয়োগ থেকে পরিত্রাণ পাই, যা উভয় পক্ষকে −1 দ্বারা গুণ করে (বা ভাগ করে) অর্জন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 থেকে, আপনি এর সরলীকৃত সংস্করণ 2 x 2 + 3 x − 7 = 0-এ যেতে পারেন।

শিকড় এবং সহগ মধ্যে সম্পর্ক

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র, যা আমাদের কাছে ইতিমধ্যেই পরিচিত, x = - b ± D 2 · a, তার সংখ্যাগত সহগগুলির মাধ্যমে সমীকরণের মূল প্রকাশ করে। আস্থা রাখা এই সূত্র, আমাদের কাছে শিকড় এবং সহগগুলির মধ্যে অন্যান্য নির্ভরতা নির্দিষ্ট করার সুযোগ রয়েছে।

সবচেয়ে বিখ্যাত এবং প্রযোজ্য সূত্র হল ভিয়েটার উপপাদ্য:

x 1 + x 2 = - b a এবং x 2 = c a.

বিশেষ করে, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, মূলের যোগফল হল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগ, এবং মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণ 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 এর রূপ দেখে অবিলম্বে নির্ণয় করা সম্ভব যে এর মূলের যোগফল 7 3 এবং মূলের গুণফল 22 3।

আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল এবং সহগগুলির মধ্যে আরও কয়েকটি সংযোগ খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টিকে সহগ-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন