দ্বিঘাত সমীকরণগুলি 8 ম শ্রেণীতে অধ্যয়ন করা হয়, তাই এখানে জটিল কিছু নেই। তাদের সমাধান করার ক্ষমতা একেবারে প্রয়োজনীয়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ax 2 + bx + c = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে a, b এবং c সহগ হল নির্বিচারে সংখ্যা এবং a ≠ 0।

নির্দিষ্ট সমাধান পদ্ধতি অধ্যয়ন করার আগে, মনে রাখবেন যে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ তিনটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা যেতে পারে:

1. কোন শিকড় নেই;
2. ঠিক একটি মূল আছে;
3. দুটি আছে বিভিন্ন শিকড়.

এটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং রৈখিক সমীকরণের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য, যেখানে মূল সর্বদা বিদ্যমান এবং অনন্য। একটি সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন? এর জন্য একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে - বৈষম্যমূলক.

বৈষম্যমূলক

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 দেওয়া যাক। তারপর বৈষম্যটি কেবল সংখ্যা D = b 2 − 4ac।

আপনাকে এই সূত্রটি হৃদয় দিয়ে জানতে হবে। কোথা থেকে এসেছে সেটা এখন গুরুত্বপূর্ণ নয়। আরেকটি বিষয় গুরুত্বপূর্ণ: বৈষম্যকারীর চিহ্ন দ্বারা আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কতগুলি মূল রয়েছে তা নির্ধারণ করতে পারেন। যথা:

1. যদি ডি< 0, корней нет;
2. D = 0 হলে, ঠিক একটি মূল আছে;
3. D > 0 হলে, দুটি মূল থাকবে।

দয়া করে মনে রাখবেন: বৈষম্যকারী শিকড়ের সংখ্যা নির্দেশ করে, এবং তাদের লক্ষণগুলি মোটেই নয়, কারণ কিছু কারণে অনেক লোক বিশ্বাস করে। উদাহরণগুলি একবার দেখুন এবং আপনি নিজেই সবকিছু বুঝতে পারবেন:

টাস্ক। দ্বিঘাত সমীকরণের কয়টি মূল আছে:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0।

আসুন প্রথম সমীকরণের জন্য সহগগুলি লিখি এবং বৈষম্য খুঁজে বের করি:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

সুতরাং বৈষম্যকারী ইতিবাচক, তাই সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে। আমরা দ্বিতীয় সমীকরণটি একইভাবে বিশ্লেষণ করি:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131।

বৈষম্যকারী নেতিবাচক, কোন শিকড় নেই। বাকি শেষ সমীকরণ হল:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0।

বৈষম্যকারী শূন্য-মূল হবে এক।

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রতিটি সমীকরণের জন্য সহগগুলি লেখা হয়েছে। হ্যাঁ, এটি দীর্ঘ, হ্যাঁ, এটি ক্লান্তিকর, তবে আপনি প্রতিকূলতা মিশ্রিত করবেন না এবং বোকা ভুল করবেন না। নিজের জন্য চয়ন করুন: গতি বা গুণমান।

যাইহোক, আপনি যদি এটি আটকে ফেলেন তবে কিছুক্ষণ পরে আপনাকে সমস্ত সহগ লিখতে হবে না। আপনি আপনার মাথায় এই ধরনের অপারেশন করবেন। বেশিরভাগ লোকেরা 50-70টি সমাধান করা সমীকরণের পরে কোথাও এটি করা শুরু করে - সাধারণভাবে, ততটা নয়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল

এখন এর সমাধান নিজেই এগিয়ে যান. বৈষম্যকারী D > 0 হলে, সূত্র ব্যবহার করে শিকড় পাওয়া যাবে:

মূল মূল সূত্র দ্বিঘাত সমীকরণ

যখন D = 0, আপনি এই সূত্রগুলির যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারেন - আপনি একই নম্বর পাবেন, যা উত্তর হবে। অবশেষে, যদি ডি< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0।

প্রথম সমীকরণ:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক:

দ্বিতীয় সমীকরণ:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির আবার দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

অবশেষে, তৃতীয় সমীকরণ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0।

D = 0 ⇒ সমীকরণটির একটি মূল আছে। যে কোন সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি:

আপনি উদাহরণ থেকে দেখতে পারেন, সবকিছু খুব সহজ. আপনি যদি সূত্রগুলি জানেন এবং গণনা করতে পারেন তবে কোনও সমস্যা হবে না। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, সূত্রে নেতিবাচক সহগ প্রতিস্থাপন করার সময় ত্রুটি ঘটে। এখানে আবার, উপরে বর্ণিত কৌশলটি সাহায্য করবে: আক্ষরিকভাবে সূত্রটি দেখুন, প্রতিটি পদক্ষেপ লিখুন - এবং খুব শীঘ্রই আপনি ভুলগুলি থেকে মুক্তি পাবেন।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

এটি ঘটে যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সংজ্ঞাতে যা দেওয়া হয়েছে তার থেকে কিছুটা আলাদা। উদাহরণ স্বরূপ:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0।

এটি লক্ষ্য করা সহজ যে এই সমীকরণগুলির একটি পদ অনুপস্থিত। এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণগুলির চেয়ে সমাধান করা আরও সহজ: তাদের এমনকি বৈষম্যকারী গণনা করার প্রয়োজন হয় না। সুতরাং, আসুন একটি নতুন ধারণা চালু করা যাক:

ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণটিকে একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয় যদি b = 0 বা c = 0 হয়, অর্থাৎ পরিবর্তনশীল x বা মুক্ত উপাদানের সহগ শূন্যের সমান।

অবশ্যই, একটি খুব কঠিন ক্ষেত্রে সম্ভব যখন এই দুটি সহগ শূন্যের সমান: b = c = 0। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণটি ax 2 = 0 রূপ নেয়। স্পষ্টতই, এই ধরনের সমীকরণের একটি একক মূল রয়েছে: x = 0।

চলুন বাকি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক. ধরুন b = 0, তাহলে আমরা ax 2 + c = 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাই। আসুন এটিকে একটু রূপান্তর করি:

যেহেতু গাণিতিক বর্গমূল শুধুমাত্র একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার বিদ্যমান, তাই শেষ সমতা শুধুমাত্র (−c /a) ≥ 0 এর জন্য অর্থপূর্ণ। উপসংহার:

1. ax 2 + c = 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে অসমতা (−c /a) ≥ 0 সন্তুষ্ট হলে, দুটি মূল থাকবে। সূত্র উপরে দেওয়া হয়েছে;
2. যদি (−c /a)< 0, корней нет.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি বৈষম্যকারীর প্রয়োজন ছিল না—অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে কোনো জটিল গণনা নেই। প্রকৃতপক্ষে, অসমতা (−c /a) ≥ 0 মনে রাখারও প্রয়োজন নেই। এটি x 2 মান প্রকাশ করার জন্য এবং সমান চিহ্নের অপর পাশে কী আছে তা দেখতে যথেষ্ট। ধনাত্মক সংখ্যা হলে দুটি মূল থাকবে। যদি এটি নেতিবাচক হয়, তবে কোনও শিকড় থাকবে না।

এখন ax 2 + bx = 0 ফর্মের সমীকরণগুলি দেখি, যেখানে মুক্ত উপাদানটি শূন্যের সমান। এখানে সবকিছু সহজ: সবসময় দুটি শিকড় থাকবে। এটি বহুপদকে ফ্যাক্টর করার জন্য যথেষ্ট:

বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়া হচ্ছে

গুণনীয়কগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি শূন্য হলে পণ্যটি শূন্য হয়। এখান থেকে শিকড় আসে। উপসংহারে, আসুন এই সমীকরণগুলির কয়েকটি দেখি:

টাস্ক। দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0।

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7।

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6। কোন শিকড় আছে, কারণ একটি বর্গ একটি ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হতে পারে না।

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5।

আমি আশা করি এই নিবন্ধটি অধ্যয়ন করার পরে আপনি শিখবেন কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করতে হয়।

বৈষম্যকারী ব্যবহার করে, শুধুমাত্র সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়; অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে, অন্যান্য পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়, যা আপনি "অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা" নিবন্ধে পাবেন।

কোন দ্বিঘাত সমীকরণকে সম্পূর্ণ বলা হয়? এই ax 2 + b x + c = 0 ফর্মের সমীকরণ, যেখানে a, b এবং c সহগ শূন্যের সমান নয়। সুতরাং, একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, আমাদের বৈষম্যকারী D গণনা করতে হবে।

D = b 2 – 4ac।

বৈষম্যকারীর মূল্যের উপর নির্ভর করে, আমরা উত্তরটি লিখব।

যদি বৈষম্যকারী একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয় (D< 0),то корней нет.

যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে x = (-b)/2a। যখন বৈষম্যকারী একটি ধনাত্মক সংখ্যা (D > 0),

তারপর x 1 = (-b - √D)/2a, এবং x 2 = (-b + √D)/2a।

উদাহরণ স্বরূপ. সমীকরণটি সমাধান করুন x 2- 4x + 4 = 0।

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

উত্তর: 2।

সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + x + 3 = 0।

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

উত্তর: শিকড় নেই.

সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

উত্তরঃ- 3.5; 1.

তাহলে আসুন চিত্র 1-এর চিত্রটি ব্যবহার করে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান কল্পনা করি।

এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে আপনি যে কোনও সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে পারেন। আপনি শুধু সতর্ক হতে হবে সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদ হিসাবে লেখা হয়েছিল

ক x 2 + bx + c,অন্যথায় আপনি একটি ভুল করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, x + 3 + 2x 2 = 0 সমীকরণটি লেখার সময়, আপনি ভুলভাবে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যে

a = 1, b = 3 এবং c = 2। তারপর

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 এবং তারপর সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। এবং এটি সত্য নয়। (উপরের উদাহরণ 2 এর সমাধান দেখুন)।

অতএব, যদি সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুপদী হিসাবে লেখা না হয়, তবে প্রথমে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণটিকে আদর্শ ফর্মের বহুপদ হিসাবে লিখতে হবে (সবচেয়ে বড় সূচক সহ একপদ প্রথমে আসা উচিত, অর্থাৎ ক x 2 , তারপর কম দিয়ে – bxএবং তারপর একটি বিনামূল্যে সদস্য সঙ্গে.

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দ্বিতীয় পদে একটি সমান সহগ সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, আপনি অন্যান্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন। আসুন এই সূত্রগুলোর সাথে পরিচিত হই। যদি একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে দ্বিতীয় পদটির একটি জোড় সহগ থাকে (b = 2k), তাহলে আপনি চিত্র 2-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন।

একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণকে হ্রাস বলা হয় যদি সহগ at হয় x 2 একের সমান এবং সমীকরণটি রূপ নেয় x 2 + px + q = 0. এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধানের জন্য দেওয়া যেতে পারে, অথবা সমীকরণের সমস্ত সহগকে সহগ দ্বারা ভাগ করে এটি পাওয়া যেতে পারে ক, দাঁড়ানো x 2 .

চিত্র 3 হ্রাসকৃত বর্গক্ষেত্র সমাধানের জন্য একটি চিত্র দেখায়
সমীকরণ আসুন এই নিবন্ধে আলোচিত সূত্রগুলির প্রয়োগের একটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন

3x 2 + 6x – 6 = 0।

চিত্র 1-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করা যাক।

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

উত্তর: –1 – √3; –1 + √3

আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে এই সমীকরণে x এর সহগটি একটি জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ b = 6 বা b = 2k, যেখান থেকে k = 3। তাহলে চলুন D চিত্রের চিত্রে দেখানো সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করি। 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

উত্তর: –1 – √3; –1 + √3. এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমস্ত সহগ 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং বিভাজন সম্পাদন করার লক্ষ্যে, আমরা হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই x 2 + 2x – 2 = 0 হ্রাসকৃত দ্বিঘাতের সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করি
সমীকরণ চিত্র 3।

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

উত্তর: –1 – √3; –1 + √3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করার সময়, আমরা একই উত্তর পেয়েছি। অতএব, চিত্র 1-এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে আয়ত্ত করার পরে, আপনি সর্বদা যেকোনো সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে সক্ষম হবেন।

ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

এই গণিত প্রোগ্রাম আপনি করতে পারেন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করুন.

প্রোগ্রামটি শুধুমাত্র সমস্যার উত্তর দেয় না, তবে সমাধান প্রক্রিয়াটি দুটি উপায়ে প্রদর্শন করে:
- একটি বৈষম্যকারী ব্যবহার করে
- ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে (যদি সম্ভব হয়)।

অধিকন্তু, উত্তরটি সঠিক হিসাবে প্রদর্শিত হয়, আনুমানিক নয়।
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণের জন্য \(81x^2-16x-1=0\) উত্তরটি নিম্নলিখিত আকারে প্রদর্শিত হয়:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ এবং এভাবে নয়: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

এই প্রোগ্রাম উচ্চ বিদ্যালয় ছাত্রদের জন্য দরকারী হতে পারে মাধ্যমিক বিদ্যালয়জন্য প্রস্তুতি পরীক্ষাএবং পরীক্ষা, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার আগে জ্ঞান পরীক্ষা করার সময়, অভিভাবকদের গণিত এবং বীজগণিতের অনেক সমস্যার সমাধান নিয়ন্ত্রণ করতে। অথবা হয়তো আপনার জন্য একজন গৃহশিক্ষক নিয়োগ করা বা নতুন পাঠ্যপুস্তক কেনা খুব ব্যয়বহুল? অথবা আপনি কি যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি সম্পন্ন করতে চান? বাড়ির কাজগণিতে নাকি বীজগণিত? এই ক্ষেত্রে, আপনি বিস্তারিত সমাধান সহ আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে পারেন।

এইভাবে, আপনি আপনার নিজের প্রশিক্ষণ এবং/অথবা আপনার ছোট ভাই বা বোনদের প্রশিক্ষণ পরিচালনা করতে পারেন, যখন সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে শিক্ষার স্তর বৃদ্ধি পায়।

আপনি যদি প্রবেশের নিয়মের সাথে পরিচিত না হন দ্বিঘাত বহুপদী, আমরা সুপারিশ করি যে আপনি তাদের সাথে নিজেকে পরিচিত করুন৷

দ্বিঘাত বহুপদী প্রবেশের নিয়ম

যে কোনো ল্যাটিন অক্ষর পরিবর্তনশীল হিসেবে কাজ করতে পারে।
যেমন: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ইত্যাদি।

সংখ্যা পূর্ণ বা ভগ্নাংশ সংখ্যা হিসাবে প্রবেশ করা যেতে পারে.
তদুপরি, ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি কেবল দশমিক আকারে নয়, একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারেও প্রবেশ করা যেতে পারে।

দশমিক ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
দশমিকে ভগ্নাংশএকটি পিরিয়ড বা কমা দ্বারা সম্পূর্ণ থেকে আলাদা করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি প্রবেশ করতে পারেন দশমিকএইরকম: 2.5x - 3.5x^2

সাধারণ ভগ্নাংশ প্রবেশের নিয়ম।
শুধুমাত্র একটি পূর্ণ সংখ্যা একটি ভগ্নাংশের লব, হর এবং পূর্ণসংখ্যা হিসাবে কাজ করতে পারে।

হর নেতিবাচক হতে পারে না।

একটি সাংখ্যিক ভগ্নাংশ প্রবেশ করার সময়, লব একটি বিভাজন চিহ্ন দ্বারা হর থেকে পৃথক করা হয়: /
পুরো অংশএকটি অ্যাম্পারস্যান্ড দ্বারা ভগ্নাংশ থেকে পৃথক করা হয়েছে: &
ইনপুট: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ফলাফল: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

একটি অভিব্যক্তি প্রবেশ করার সময় আপনি বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন. এই ক্ষেত্রে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, প্রবর্তিত রাশিটি প্রথমে সরলীকৃত হয়।
যেমন: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

সিদ্ধান্ত নিন

এটি আবিষ্কৃত হয়েছে যে এই সমস্যার সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু স্ক্রিপ্ট লোড করা হয়নি, এবং প্রোগ্রামটি কাজ নাও করতে পারে।
আপনি AdBlock সক্ষম হতে পারে.
এই ক্ষেত্রে, এটি নিষ্ক্রিয় করুন এবং পৃষ্ঠাটি রিফ্রেশ করুন।

আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট অক্ষম করা আছে।
সমাধানটি প্রদর্শিত হওয়ার জন্য, আপনাকে জাভাস্ক্রিপ্ট সক্ষম করতে হবে।
আপনার ব্রাউজারে জাভাস্ক্রিপ্ট কীভাবে সক্ষম করবেন তার নির্দেশাবলী এখানে রয়েছে৷

কারণ সমস্যা সমাধান করতে ইচ্ছুক অনেক মানুষ আছে, আপনার অনুরোধ সারিবদ্ধ করা হয়েছে.
কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে সমাধানটি নীচে প্রদর্শিত হবে।
অনুগ্রহপূর্বক অপেক্ষা করুন সেকেন্ড

আপনি যদি সমাধানে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেছি, তাহলে আপনি ফিডব্যাক ফর্মে এই বিষয়ে লিখতে পারেন।
ভুলে যেও না কোন কাজটি নির্দেশ করুনআপনি কি সিদ্ধান্ত নিন ক্ষেত্রগুলিতে প্রবেশ করুন.

আমাদের গেম, পাজল, এমুলেটর:

একটু তত্ত্ব।

দ্বিঘাত সমীকরণ এবং এর মূল। অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

প্রতিটি সমীকরণ
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
দেখতে
\(ax^2+bx+c=0, \)
যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c হল সংখ্যা।
প্রথম সমীকরণে a = -1, b = 6 এবং c = 1.4, দ্বিতীয়টিতে a = 8, b = -7 এবং c = 0, তৃতীয়টিতে a = 1, b = 0 এবং c = 4/9। এই ধরনের সমীকরণ বলা হয় দ্বিঘাত সমীকরণ.

সংজ্ঞা।
দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +bx+c=0 ফর্মের একটি সমীকরণ বলা হয়, যেখানে x একটি চলক, a, b এবং c কিছু সংখ্যা এবং \(a \neq 0 \)।

a, b এবং c সংখ্যাগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ। সংখ্যা a কে প্রথম সহগ বলা হয়, সংখ্যা b হল দ্বিতীয় সহগ এবং সংখ্যা c হল মুক্ত পদ।

ax 2 +bx+c=0 ফর্মের প্রতিটি সমীকরণে, যেখানে \(a\neq 0\), চলকের x এর বৃহত্তম শক্তি একটি বর্গক্ষেত্র। তাই নাম: দ্বিঘাত সমীকরণ।

উল্লেখ্য যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণও বলা হয়, কারণ এর বাম দিকটি দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদী।

যে দ্বিঘাত সমীকরণে x 2 এর সহগ 1 এর সমান তাকে বলে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ. উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি হল সমীকরণ
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণে ax 2 +bx+c=0 সহগগুলির মধ্যে অন্তত একটি b বা c শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে বলা হয় অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ. সুতরাং, সমীকরণ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 হল অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ। তাদের মধ্যে প্রথমটিতে b=0, দ্বিতীয়টিতে c=0, তৃতীয়টিতে b=0 এবং c=0।

তিন ধরনের অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে:
1) ax 2 +c=0, যেখানে \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, যেখানে \(b \neq 0 \);
3) কুড়াল 2 =0।

আসুন এই ধরনের প্রতিটির সমীকরণ সমাধান বিবেচনা করা যাক।

\(c \neq 0\) এর জন্য ax 2 +c=0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, এর মুক্ত শব্দটি স্থানান্তরিত হয় ডান পাশএবং সমীকরণের উভয় দিককে একটি দ্বারা ভাগ করুন:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

যেহেতু \(c \neq 0 \), তারপর \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

যদি \(-\frac(c)(a)>0\), তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।

যদি \(-\frac(c)(a) ফর্ম ax 2 +bx=0 এর একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে \(b \neq 0 \) দিয়ে এটিকে প্রসারিত করুন বাম পাশেগুণনীয়ক দ্বারা এবং সমীকরণ পান
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right। \Rightarrow \left\( \begin (অ্যারে)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right। \)

এর মানে হল যে \(b \neq 0 \) এর জন্য ax 2 +bx=0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল থাকে।

ax 2 =0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 =0 সমীকরণের সমতুল্য এবং তাই একটি একক মূল 0 রয়েছে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

আসুন এখন বিবেচনা করি কীভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা যায় যেখানে অজানা এবং মুক্ত পদ উভয়ের সহগই অশূন্য।

এর মধ্যে দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করা যাক সাধারণ দৃষ্টিকোণএবং ফলস্বরূপ আমরা শিকড় জন্য সূত্র পেতে. এই সূত্রটি তখন যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 +bx+c=0 সমাধান করুন

উভয় পক্ষকে a দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সমান হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণ পাই
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

চলুন দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন করে এই সমীকরণটি রূপান্তর করি:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

মৌলবাদী অভিব্যক্তি বলা হয় একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী ax 2 +bx+c=0 (ল্যাটিনে "বৈষম্যকারী" - বৈষম্যকারী)। এটি অক্ষর D দ্বারা মনোনীত হয়, অর্থাৎ
\(D = b^2-4ac\)

এখন, বৈষম্যমূলক স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য সূত্রটি পুনরায় লিখি:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), যেখানে \(D= b^2-4ac \)

এটা স্পষ্ট যে:
1) যদি D>0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল আছে।
2) যদি D=0 হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি মূল আছে \(x=-\frac(b)(2a)\)।
3) যদি D এইভাবে, বৈষম্যকারীর মানের উপর নির্ভর করে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল থাকতে পারে (D > 0 এর জন্য), একটি মূল (D = 0 এর জন্য) বা কোন মূল নেই (D এর জন্য এটি ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময় সূত্র, নিম্নলিখিত উপায়ে কাজ করার পরামর্শ দেওয়া হয়:
1) বৈষম্যকারী গণনা করুন এবং এটিকে শূন্যের সাথে তুলনা করুন;
2) যদি বৈষম্যকারী ধনাত্মক বা শূন্যের সমান হয়, তাহলে মূল সূত্রটি ব্যবহার করুন; যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে লিখুন যে কোনও শিকড় নেই।

ভিয়েতার উপপাদ্য

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 -7x+10=0 এর মূল 2 এবং 5 আছে। মূলের যোগফল হল 7, এবং গুণফল হল 10। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে মূলের যোগফল দ্বিতীয় সহগ থেকে নেওয়া হয়েছে। বিপরীত চিহ্ন, এবং মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান। যেকোন হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের মূল রয়েছে এই বৈশিষ্ট্যটি।

উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া দ্বিতীয় সহগের সমান এবং মূলের গুণফল মুক্ত পদের সমান।

সেগুলো. ভিয়েতার উপপাদ্যটি বলে যে হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের x 1 এবং x 2 x 2 +px+q=0 এর মূল বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(অ্যারে) \right। \)

গ্রন্থপঞ্জি বর্ণনা: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি // তরুণ বিজ্ঞানী। 2016. নং 6.1। পৃষ্ঠা 17-20..02.2019)।



আমাদের প্রকল্প দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উপায় সম্পর্কে। প্রকল্পের লক্ষ্য: স্কুল পাঠ্যক্রমের অন্তর্ভুক্ত নয় এমন উপায়ে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে শিখুন। কাজ: সবকিছু খুঁজুন সম্ভাব্য উপায়দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা এবং কীভাবে সেগুলি নিজে ব্যবহার করতে হয় তা শেখা এবং আপনার সহপাঠীদের কাছে এই পদ্ধতিগুলি প্রবর্তন করা।

"চতুর্ঘাত সমীকরণ" কি?

দ্বিঘাত সমীকরণ- ফর্মের সমীকরণ কুঠার2 + bx + c = 0, কোথায় ক, খ, গ- কিছু সংখ্যা ( a ≠ 0), এক্স- অজানা

a, b, c সংখ্যাগুলোকে দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ বলা হয়।

• a কে প্রথম সহগ বলা হয়;
• b কে দ্বিতীয় সহগ বলা হয়;
• গ - বিনামূল্যে সদস্য।

কে প্রথম দ্বিঘাত সমীকরণ "আবিস্কার" করেন?

রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য কিছু বীজগণিত কৌশল 4000 বছর আগে পরিচিত ছিল প্রাচীন ব্যাবিলন. 1800 থেকে 1600 খ্রিস্টপূর্বাব্দের মধ্যে প্রাচীন ব্যাবিলনীয় মাটির ট্যাবলেটের আবিষ্কার, দ্বিঘাত সমীকরণের অধ্যয়নের প্রথম প্রমাণ প্রদান করে। একই ট্যাবলেটে নির্দিষ্ট ধরণের দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি রয়েছে।

শুধুমাত্র প্রথমটির নয়, দ্বিতীয় স্তরের সমীকরণগুলিও সমাধান করার প্রয়োজনীয়তা, এমনকি প্রাচীনকালেও, জমির প্লটগুলির ক্ষেত্রগুলি এবং সামরিক প্রকৃতির খনন কাজের সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধান করার প্রয়োজনের কারণে হয়েছিল। জ্যোতির্বিদ্যা এবং গণিতের বিকাশের সাথে সাথে।

এই সমীকরণগুলি সমাধানের নিয়ম, ব্যাবিলনীয় পাঠ্যগুলিতে নির্ধারিত, মূলত আধুনিক সমীকরণের সাথে মিলে যায়, কিন্তু ব্যাবিলনীয়রা কীভাবে এই নিয়মে পৌঁছেছিল তা জানা যায়নি। এখন পর্যন্ত পাওয়া প্রায় সমস্ত কিউনিফর্ম পাঠ্যগুলি রেসিপি আকারে দেওয়া সমাধানগুলির সাথে কেবল সমস্যাগুলিই সরবরাহ করে, সেগুলি কীভাবে পাওয়া গেল তার কোনও ইঙ্গিত নেই। সত্ত্বেও উচ্চস্তরব্যাবিলনে বীজগণিতের বিকাশ, কিউনিফর্ম গ্রন্থে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার ধারণার অভাব রয়েছে এবং সাধারণ পদ্ধতিদ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।

খ্রিস্টপূর্ব ৪র্থ শতাব্দীর ব্যাবিলনীয় গণিতবিদ। ধনাত্মক মূল সহ সমীকরণগুলি সমাধান করতে বর্গক্ষেত্রের পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে। 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দের কাছাকাছি ইউক্লিড আরও সাধারণ জ্যামিতিক সমাধান পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন। প্রথম গণিতবিদ যিনি একটি বীজগাণিতিক সূত্র আকারে ঋণাত্মক মূল সহ সমীকরণের সমাধান খুঁজে পেয়েছিলেন তিনি ছিলেন একজন ভারতীয় বিজ্ঞানী ব্রহ্মগুপ্ত(ভারত, খ্রিস্টীয় ৭ম শতাব্দী)।

ব্রহ্মগুপ্ত দ্বিঘাত সমীকরণগুলিকে একক প্রামাণিক আকারে হ্রাস করার জন্য একটি সাধারণ নিয়ম তৈরি করেছিলেন:

ax2 + bx = c, a>0

এই সমীকরণের সহগগুলিও ঋণাত্মক হতে পারে। ব্রহ্মগুপ্তের শাসন মূলত আমাদের মতই।

কঠিন সমস্যা সমাধানে পাবলিক প্রতিযোগিতা ভারতে সাধারণ ছিল। একটি পুরানো ভারতীয় বই এই ধরনের প্রতিযোগিতা সম্পর্কে নিম্নলিখিত বলে: "সূর্য যেমন তার তেজ সহ তারাকে গ্রহণ করে, শেখা মানুষমধ্যে গৌরব গ্রহণ করা হবে জনগণের সমাবেশ, বীজগণিতীয় সমস্যার প্রস্তাবনা এবং সমাধান।" সমস্যাগুলি প্রায়শই কাব্যিক আকারে উপস্থাপন করা হত।

একটি বীজগণিত গ্রন্থে আল-খোরিজমিরৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণের একটি শ্রেণীবিভাগ দেওয়া হয়েছে। লেখক 6 ধরণের সমীকরণ গণনা করেছেন, সেগুলিকে নিম্নরূপ প্রকাশ করেছেন:

1) "বর্গগুলি মূলের সমান," যেমন ax2 = bx।

2) "বর্গগুলি সংখ্যার সমান," যেমন ax2 = c

3) "মূলগুলি সংখ্যার সমান," যেমন ax2 = c।

4) "বর্গ এবং সংখ্যা মূলের সমান," যেমন ax2 + c = bx।

5) "বর্গ এবং মূল সংখ্যার সমান," যেমন ax2 + bx = c।

6) "মূল এবং সংখ্যাগুলি বর্গক্ষেত্রের সমান," যেমন bx + c == ax2।

আল-খোয়ারিজমির জন্য, যারা ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার এড়িয়ে গেছেন, এই সমীকরণগুলির প্রতিটির পদ যোগ এবং বিয়োগযোগ্য নয়। এই ক্ষেত্রে, যে সমীকরণগুলির ইতিবাচক সমাধান নেই সেগুলি অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া হয় না। লেখক আল-জাবর এবং আল-মুকাবালের কৌশল ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি নির্ধারণ করেছেন। তার সিদ্ধান্ত, অবশ্যই, সম্পূর্ণরূপে আমাদের সঙ্গে মিলিত হয় না. উল্লেখ না করা যে এটি সম্পূর্ণরূপে অলঙ্কৃত, এটি লক্ষ করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম ধরনের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, আল-খোরেজমি, 17 শতক পর্যন্ত সমস্ত গণিতবিদদের মতো, শূন্য সমাধানকে বিবেচনায় নেন না, সম্ভবত কারণ নির্দিষ্ট ব্যবহারিক ক্ষেত্রে এটি কাজের ক্ষেত্রে কোন ব্যাপার না। আংশিকভাবে আল-খোয়ারিজমির সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময় সংখ্যাসূচক উদাহরণসমাধানের নিয়ম এবং তারপরে তাদের জ্যামিতিক প্রমাণ দেয়।

ইউরোপে আল-খোয়ারিজমির মডেল অনুসরণ করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের ফর্মগুলি প্রথমে 1202 সালে লেখা "বুক অফ দ্য অ্যাবাকাস" এ উল্লেখ করা হয়েছিল। ইতালীয় গণিতবিদ লিওনার্ড ফিবোনাচি. লেখক স্বাধীনভাবে সমস্যা সমাধানের কিছু নতুন বীজগাণিতিক উদাহরণ তৈরি করেছেন এবং নেতিবাচক সংখ্যার প্রবর্তনের কাছে ইউরোপে প্রথম ব্যক্তি ছিলেন।

এই বইটি কেবল ইতালিতে নয়, জার্মানি, ফ্রান্স এবং অন্যান্য ইউরোপীয় দেশেও বীজগণিত জ্ঞানের বিস্তারে অবদান রাখে। এই বই থেকে অনেক সমস্যা 14-17 শতকের প্রায় সমস্ত ইউরোপীয় পাঠ্যপুস্তকে ব্যবহৃত হয়েছিল। সাধারণ নিয়মদ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান একটি একক ক্যানোনিকাল ফর্ম x2 + bх = с তে হ্রাস করা হয়েছে সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্য লক্ষণ এবং সহগ b, c ইউরোপে 1544 সালে প্রণয়ন করা হয়েছিল। এম. স্টিফেল।

সাধারণ আকারে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সূত্রের উদ্ভব Viète থেকে পাওয়া যায়, কিন্তু Viète শুধুমাত্র ধনাত্মক শিকড়কে স্বীকৃতি দিয়েছে। ইতালীয় গণিতবিদ Tartaglia, Cardano, Bombelli 16 শতকের মধ্যে প্রথম। ইতিবাচক ছাড়াও, নেতিবাচক শিকড়গুলিও বিবেচনায় নেওয়া হয়। শুধুমাত্র 17 শতকে। প্রচেষ্টার জন্য ধন্যবাদ জিরার্ড, ডেসকার্টস, নিউটনএবং অন্যান্য বিজ্ঞানীদের মতে, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি আধুনিক রূপ ধারণ করে।

চলো চতুর্মুখী সমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন উপায় দেখি।

থেকে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য আদর্শ পদ্ধতি স্কুলের পাঠ্যক্রম:

1. সমীকরণের বাম দিকে ফ্যাক্টরিং।
2. একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করার পদ্ধতি।
3. সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।
4. গ্রাফিক সমাধানদ্বিঘাত সমীকরণ.
5. ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করা।

আসুন আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে হ্রাসকৃত এবং অপরিবর্তিত দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সম্পর্কে আরও বিশদে আলোচনা করি।

মনে করুন যে উপরের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, দুটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট যার গুণফল মুক্ত পদের সমান এবং যার যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান।

উদাহরণ।এক্স 2 -5x+6=0

আপনাকে এমন সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যার গুণফল 6 এবং যার যোগফল 5। এই সংখ্যাগুলি 3 এবং 2 হবে।

উত্তরঃ x 1 =2, x 2 =3.

কিন্তু আপনি এই পদ্ধতিটি সমীকরণের জন্যও ব্যবহার করতে পারেন যার প্রথম সহগ একের সমান নয়।

উদাহরণ।3x 2 +2x-5=0

প্রথম সহগটি নিন এবং এটিকে মুক্ত শব্দ দ্বারা গুণ করুন: x 2 +2x-15=0

এই সমীকরণের শিকড় হবে এমন সংখ্যা যার গুণফল - 15 এবং যার যোগফল - 2। এই সংখ্যাগুলি হল 5 এবং 3। মূল খুঁজে বের করতে মূল সমীকরণ, প্রথম সহগ দ্বারা ফলিত শিকড় ভাগ করুন।

উত্তরঃ x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "থ্রো" পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করা।

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 বিবেচনা করুন, যেখানে a≠0।

উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করলে আমরা a 2 x 2 + abx + ac = 0 সমীকরণ পাই।

ধরা যাক ax = y, যেখান থেকে x = y/a; তারপর আমরা y 2 + by + ac = 0 সমীকরণে পৌঁছেছি, প্রদত্তটির সমতুল্য। আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে 1 এবং 2 এর জন্য এর মূল খুঁজে পাই।

আমরা অবশেষে x 1 = y 1 /a এবং x 2 = y 2 /a পাই।

এই পদ্ধতির সাহায্যে, a সহগকে মুক্ত শব্দ দ্বারা গুণিত করা হয়, যেন এটিকে "নিক্ষেপ" করা হয়, তাই এটিকে "নিক্ষেপ" পদ্ধতি বলা হয়। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয় যখন সমীকরণের শিকড়গুলি ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সহজেই খুঁজে পাওয়া যায় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, যখন বৈষম্যকারী একটি সঠিক বর্গ হয়।

উদাহরণ।2x 2 - 11x + 15 = 0।

আসুন সহগ 2 কে মুক্ত পদে "নিক্ষেপ" করি এবং একটি প্রতিস্থাপন করি এবং y 2 - 11y + 30 = 0 সমীকরণটি পাই।

ভিয়েতার বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3।

উত্তরঃ x 1 =2.5; এক্স 2 = 3.

7. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সহগগুলির বৈশিষ্ট্য।

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 দেওয়া যাক।

1. যদি a+ b + c = 0 (অর্থাৎ সমীকরণের সহগগুলির যোগফল শূন্য হয়), তাহলে x 1 = 1।

2. যদি a - b + c = 0, অথবা b = a + c, তাহলে x 1 = - 1।

উদাহরণ।345x 2 - 137x - 208 = 0।

যেহেতু a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), তাহলে x 1 = 1, x 2 = -208/345।

উত্তরঃ x 1 =1; এক্স 2 = -208/345 .

উদাহরণ।132x 2 + 247x + 115 = 0

কারণ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), তারপর x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

উত্তরঃ x 1 = - 1; এক্স 2 =- 115/132

দ্বিঘাত সমীকরণের সহগগুলির অন্যান্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কিন্তু তাদের ব্যবহার আরো জটিল.

8. একটি নমোগ্রাম ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।

চিত্র 1. নোমোগ্রাম

এটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি পুরানো এবং বর্তমানে ভুলে যাওয়া পদ্ধতি, যা সংগ্রহের পৃষ্ঠা 83-এ রাখা হয়েছে: Bradis V.M. চার অঙ্কের গণিত টেবিল। - এম., শিক্ষা, 1990।

টেবিল XXII। সমীকরণ সমাধানের জন্য নোমোগ্রাম z 2 + pz + q = 0. এই নোমোগ্রামটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান না করেই এর সহগ থেকে সমীকরণের মূল নির্ধারণ করতে দেয়।

নোমোগ্রামের বক্ররেখা স্কেলটি সূত্র অনুসারে তৈরি করা হয়েছে (চিত্র 1):

বিশ্বাসী OS = p, ED = q, OE = a(সমস্ত সেমি), চিত্র 1 থেকে ত্রিভুজের মিল সানএবং সিডিএফআমরা অনুপাত পেতে

যা, প্রতিস্থাপন এবং সরলীকরণের পরে, সমীকরণটি দেয় z 2 + pz + q = 0,এবং চিঠি zবাঁকা স্কেলে যেকোনো বিন্দুর চিহ্নকে বোঝায়।

ভাত। 2 নমোগ্রাম ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

উদাহরণ।

1) সমীকরণের জন্য z 2 - 9z + 8 = 0নমোগ্রাম শিকড় z 1 = 8.0 এবং z 2 = 1.0 দেয়

উত্তর: 8.0; 1.0

2) একটি নমোগ্রাম ব্যবহার করে, আমরা সমীকরণটি সমাধান করি

2z 2 - 9z + 2 = 0।

এই সমীকরণের সহগকে 2 দ্বারা ভাগ করুন, আমরা z 2 - 4.5z + 1 = 0 সমীকরণ পাব।

নোমোগ্রাম শিকড় z 1 = 4 এবং z 2 = 0.5 দেয়।

উত্তর: 4; 0.5।

9. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য জ্যামিতিক পদ্ধতি।

উদাহরণ।এক্স 2 + 10x = 39।

মূলে, এই সমস্যাটি নিম্নরূপ তৈরি করা হয়েছে: "বর্গ এবং দশটি মূল 39 এর সমান।"

সাইড x সহ একটি বর্গক্ষেত্র বিবেচনা করুন, এর বাহুতে আয়তক্ষেত্রগুলি তৈরি করা হয়েছে যাতে তাদের প্রতিটির অপর পাশে 2.5 হয়, তাই প্রতিটির ক্ষেত্রফল 2.5x হয়। তারপরে প্রাপ্ত চিত্রটি একটি নতুন বর্গাকার ABCD তে সম্পূর্ণ হয়, কোণে চারটি বর্গাকার যোগ করে। সমান বর্গক্ষেত্র, তাদের প্রতিটির পাশ হল 2.5, এবং ক্ষেত্রফল হল 6.25৷

ভাত। 3 x 2 + 10x = 39 সমীকরণটি সমাধানের জন্য গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি

বর্গাকার ABCD এর ক্ষেত্রফল S এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: মূল বর্গ x 2, চারটি আয়তক্ষেত্র (4∙2.5x = 10x) এবং চারটি অতিরিক্ত বর্গ (6.25∙4 = 25), অর্থাৎ S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x কে 39 নম্বর দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই যে S = 39 + 25 = 64, যার অর্থ হল বর্গক্ষেত্রের দিকটি ABCD, অর্থাৎ সেগমেন্ট AB = 8। মূল বর্গক্ষেত্রের প্রয়োজনীয় বাহুর x জন্য আমরা পাই

10. বেজউটের উপপাদ্য ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করা।

বেজউটের উপপাদ্য। দ্বিপদ x - α দ্বারা বহুপদী P(x) ভাগ করার অবশিষ্টাংশ P(α) এর সমান (অর্থাৎ, x = α এ P(x) এর মান)।

যদি α সংখ্যাটি বহুপদী P(x) এর মূল হয়, তাহলে এই বহুপদীটি অবশিষ্ট ছাড়া x -α দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1, ±3, α =1, 1-4+3=0। P(x) কে (x-1) দিয়ে ভাগ করুন: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, বা x-3=0, x=3; উত্তরঃ x1 =2, x2 =3.

উপসংহার:দ্রুত এবং যুক্তিযুক্তভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার ক্ষমতা আরও জটিল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য কেবল প্রয়োজনীয়, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ মূলদ সমীকরণ, উচ্চতর ডিগ্রির সমীকরণ, দ্বিচক্রীয় সমীকরণ, এবং হাই স্কুল ত্রিকোণমিতিক, সূচকীয় এবং লগারিদমিক সমীকরণে। দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পাওয়া সমস্ত পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করার পরে, আমরা আমাদের সহপাঠীদেরকে আদর্শ পদ্ধতিগুলি ছাড়াও, স্থানান্তর পদ্ধতি (6) দ্বারা সমাধান করতে এবং সহগ (7) এর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমীকরণগুলি সমাধান করার পরামর্শ দিতে পারি, যেহেতু তারা আরও অ্যাক্সেসযোগ্য। বোঝার জন্য

সাহিত্য:

1. ব্র্যাডিস ভি.এম. চার অঙ্কের গণিত টেবিল। - এম., শিক্ষা, 1990।
2. বীজগণিত 8 ম শ্রেণী: 8 ম শ্রেণীর পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠান মাকারিচেভ ইউ. এন., মিন্ডুক এন.জি., নেশকভ কে.আই., সুভোরোভা এস.বি. এড. S. A. Telyakovsky 15 তম সংস্করণ, সংশোধিত। - এম.: শিক্ষা, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. গ্লেজার G.I. স্কুলে গণিতের ইতিহাস। শিক্ষকদের জন্য ম্যানুয়াল। / এড. ভি.এন. ছোট। - এম.: শিক্ষা, 1964।

এই বিষয়টা প্রথমে কঠিন মনে হতে পারে অনেকের কাছে তাই না সহজ সূত্র. শুধু দ্বিঘাত সমীকরণেরই দীর্ঘ স্বরলিপি থাকে না, বৈষম্যের মাধ্যমে শিকড়ও পাওয়া যায়। মোট, তিনটি নতুন সূত্র প্রাপ্ত হয়. মনে রাখা খুব সহজ নয়। এই ধরনের সমীকরণ ঘন ঘন সমাধান করার পরেই এটি সম্ভব। তাহলে সব সূত্র নিজেরাই মনে থাকবে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য

এখানে আমরা তাদের সুস্পষ্ট রেকর্ডিং প্রস্তাব করি, যখন সবচেয়ে বড় ডিগ্রীটি প্রথমে লেখা হয়, এবং তারপরে ক্রমানুসারে। প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যখন শর্তগুলি অসঙ্গত হয়। তাহলে ভেরিয়েবলের ডিগ্রীর অবরোহ ক্রমে সমীকরণটি পুনরায় লিখলে ভালো হয়।

আসুন কিছু স্বরলিপি প্রবর্তন করি। তারা নীচের টেবিলে উপস্থাপন করা হয়.

যদি আমরা এই স্বরলিপিগুলি গ্রহণ করি, তাহলে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ নিম্নলিখিত স্বরলিপিতে হ্রাস পাবে।

অধিকন্তু, সহগ a ≠ 0. এই সূত্রটিকে এক নম্বর নির্ধারণ করা যাক।

যখন একটি সমীকরণ দেওয়া হয়, তখন উত্তরে কতগুলি শিকড় থাকবে তা স্পষ্ট নয়। কারণ তিনটি বিকল্পের একটি সর্বদা সম্ভব:

• সমাধান দুটি শিকড় থাকবে;
• উত্তর হবে এক নম্বর;
• সমীকরণের কোনো শিকড় থাকবে না।

এবং সিদ্ধান্ত চূড়ান্ত না হওয়া পর্যন্ত, একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে কোন বিকল্পটি উপস্থিত হবে তা বোঝা কঠিন।

দ্বিঘাত সমীকরণের রেকর্ডিংয়ের ধরন

কাজের মধ্যে বিভিন্ন এন্ট্রি থাকতে পারে। তারা সবসময় মত হবে না সাধারণ সূত্রদ্বিঘাত সমীকরণ. কখনও কখনও এটি কিছু শর্ত অনুপস্থিত হবে. উপরে যা লেখা হয়েছে তা হল সম্পূর্ণ সমীকরণ. আপনি যদি এটিতে দ্বিতীয় বা তৃতীয় পদটি সরিয়ে দেন তবে আপনি অন্য কিছু পাবেন। এই রেকর্ডগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণও বলা হয়, শুধুমাত্র অসম্পূর্ণ।

অধিকন্তু, শুধুমাত্র সহগ "b" এবং "c" সহ পদগুলি অদৃশ্য হতে পারে। সংখ্যা "a" কোনো অবস্থাতেই শূন্যের সমান হতে পারে না। কারণ এই ক্ষেত্রে সূত্রটি একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়। সমীকরণের অসম্পূর্ণ ফর্মের সূত্রগুলি নিম্নরূপ হবে:

সুতরাং, কেবল দুটি প্রকার রয়েছে; সম্পূর্ণগুলি ছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণও রয়েছে। প্রথম সূত্রটি দুই নম্বর এবং দ্বিতীয়টি তিন হতে দিন।

বৈষম্যমূলক এবং তার মান উপর শিকড় সংখ্যা নির্ভরতা

সমীকরণের মূল গণনা করার জন্য আপনাকে এই সংখ্যাটি জানতে হবে। এটি সর্বদা গণনা করা যেতে পারে, দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র যাই হোক না কেন। বৈষম্যকারী গণনা করার জন্য, আপনাকে নীচে লেখা সমতা ব্যবহার করতে হবে, যার চার নম্বর থাকবে।

এই সূত্রে সহগ মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, আপনি এর সাথে সংখ্যা পেতে পারেন বিভিন্ন লক্ষণ. যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে সমীকরণের উত্তর হবে দুটি ভিন্ন মূল। এ ঋণাত্মক সংখ্যাদ্বিঘাত সমীকরণের মূল অনুপস্থিত হবে। যদি এটি শূন্যের সমান হয় তবে একটিই উত্তর হবে।

কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করবেন?

প্রকৃতপক্ষে, ইতিমধ্যে এই বিষয়টি বিবেচনা শুরু হয়েছে। কারণ প্রথমে আপনাকে একজন বৈষম্যকারী খুঁজে বের করতে হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আছে তা নির্ধারণ করার পরে এবং তাদের সংখ্যা জানা গেলে, আপনাকে ভেরিয়েবলের জন্য সূত্র ব্যবহার করতে হবে। যদি দুটি শিকড় থাকে তবে আপনাকে নিম্নলিখিত সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

যেহেতু এটিতে একটি "±" চিহ্ন রয়েছে, তাই দুটি মান থাকবে। বর্গমূল চিহ্নের অধীন অভিব্যক্তিটি বৈষম্যকারী। অতএব, সূত্রটি ভিন্নভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে।

ফর্মুলা নম্বর পাঁচ। একই রেকর্ড থেকে এটা স্পষ্ট যে বৈষম্যকারী যদি শূন্যের সমান হয়, তাহলে উভয় মূল একই মান গ্রহণ করবে।

যদি দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা এখনও কাজ না করে থাকে, তবে বৈষম্যমূলক এবং পরিবর্তনশীল সূত্রগুলি প্রয়োগ করার আগে সমস্ত সহগগুলির মানগুলি লিখে রাখা ভাল। পরে এই মুহূর্ত অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। তবে শুরুতেই বিভ্রান্তি রয়েছে।

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন?

এখানে সবকিছু অনেক সহজ। এমনকি অতিরিক্ত সূত্রের প্রয়োজন নেই। এবং যেগুলি ইতিমধ্যেই বৈষম্যকারী এবং অজানাদের জন্য লিখে রাখা হয়েছে তার প্রয়োজন হবে না।

প্রথমে বিবেচনা করা যাক অসম্পূর্ণ সমীকরণদুই নম্বরে। এই সমতায়, বন্ধনী থেকে অজানা পরিমাণ বের করে রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন, যা বন্ধনীতে থাকবে। উত্তরের দুটি মূল থাকবে। প্রথমটি অগত্যা শূন্যের সমান, কারণ একটি গুণক রয়েছে যা ভেরিয়েবলটি নিজেই নিয়ে গঠিত। একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করে দ্বিতীয়টি পাওয়া যাবে।

অসম্পূর্ণ সমীকরণ নম্বর তিনটি সমতার বাম দিক থেকে ডানদিকে সরানোর মাধ্যমে সমাধান করা হয়। তারপর আপনাকে অজানার মুখোমুখি সহগ দ্বারা ভাগ করতে হবে। যা অবশিষ্ট থাকে তা হল বর্গমূল বের করা এবং এটিকে বিপরীত চিহ্ন দিয়ে দুবার লিখতে ভুলবেন না।

নিচে কিছু ধাপ রয়েছে যা আপনাকে শিখতে সাহায্য করবে কিভাবে সমস্ত ধরণের সমতাকে সমাধান করতে হয় যা দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হয়। তারা শিক্ষার্থীকে অসাবধানতার কারণে ভুল এড়াতে সাহায্য করবে। বিস্তৃত বিষয় "কোয়াড্রেটিক ইকুয়েশন (8ম শ্রেণী)" অধ্যয়ন করার সময় এই ত্রুটিগুলি খারাপ গ্রেডের কারণ হতে পারে। পরবর্তীকালে, এই ক্রিয়াগুলি ক্রমাগত সম্পাদন করার প্রয়োজন হবে না। কারণ একটি স্থিতিশীল দক্ষতা প্রদর্শিত হবে।

• প্রথমে আপনাকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে সমীকরণটি লিখতে হবে। অর্থাৎ, প্রথমে ভেরিয়েবলের সবচেয়ে বড় ডিগ্রী সহ টার্ম, এবং তারপর - একটি ডিগ্রী ছাড়া, এবং শেষ - শুধুমাত্র একটি সংখ্যা।

• যদি একটি বিয়োগ সহগ "a" এর আগে উপস্থিত হয়, তাহলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়নরত একজন শিক্ষানবিশের জন্য কাজকে জটিল করে তুলতে পারে। এটা থেকে পরিত্রাণ পেতে ভাল. এই উদ্দেশ্যে, সমস্ত সমতাকে "-1" দ্বারা গুণ করতে হবে৷ এর মানে হল যে সমস্ত পদ বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করবে।

• এটি একই ভাবে ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে সুপারিশ করা হয়। সহজভাবে সমীকরণটিকে উপযুক্ত গুণক দ্বারা গুণ করুন যাতে হরগুলি বাতিল হয়ে যায়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

প্রথম সমীকরণ: x 2 − 7x = 0. এটি অসম্পূর্ণ, তাই এটি সূত্র নম্বর দুই-এর বর্ণনা অনুযায়ী সমাধান করা হয়েছে।

বন্ধনী থেকে বের করার পরে, এটি দেখা যাচ্ছে: x (x - 7) = 0।

প্রথম রুটটি মান নেয়: x 1 = 0। দ্বিতীয়টি থেকে পাওয়া যাবে একঘাত সমীকরণ: x - 7 = 0. এটা দেখা সহজ যে x 2 = 7।

দ্বিতীয় সমীকরণ: 5x 2 + 30 = 0। আবার অসম্পূর্ণ। তৃতীয় সূত্রের জন্য বর্ণিত হিসাবে শুধুমাত্র এটি সমাধান করা হয়।

30 কে সমীকরণের ডানদিকে সরানোর পর: 5x 2 = 30। এখন আপনাকে 5 দিয়ে ভাগ করতে হবে। এতে দেখা যাচ্ছে: x 2 = 6। উত্তরগুলো হবে সংখ্যাগুলো: x 1 = √6, x 2 = - √6.

তৃতীয় সমীকরণ: 15 − 2х − x 2 = 0। এখানে এবং আরও, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা শুরু হবে তাদের পুনর্লিখনের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ: − x 2 − 2x + 15 = 0. এখন দ্বিতীয়টি ব্যবহার করার পালা কার্যকারী উপদেশএবং সবকিছুকে বিয়োগ এক দ্বারা গুণ করুন। এটি দেখা যাচ্ছে x 2 + 2x - 15 = 0। চতুর্থ সূত্রটি ব্যবহার করে, আপনাকে বৈষম্য গণনা করতে হবে: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উপরে যা বলা হয়েছে তা থেকে দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। তাদের পঞ্চম সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা প্রয়োজন। দেখা যাচ্ছে যে x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2। তারপর x 1 = 3, x 2 = - 5।

চতুর্থ সমীকরণ x 2 + 8 + 3x = 0 এতে রূপান্তরিত হয়: x 2 + 3x + 8 = 0। এর বৈষম্য এই মানের সমান: -23। যেহেতু এই সংখ্যাটি নেতিবাচক, এই কাজের উত্তরটি হবে নিম্নলিখিত এন্ট্রি: "কোনও শিকড় নেই।"

পঞ্চম সমীকরণ 12x + x 2 + 36 = 0 নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে হবে: x 2 + 12x + 36 = 0। বৈষম্যকারীর জন্য সূত্র প্রয়োগ করার পরে, শূন্য সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এর মানে হল এর একটি রুট থাকবে, যথা: x = -12/ (2 * 1) = -6।

ষষ্ঠ সমীকরণ (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ট্রান্সফর্মেশনের প্রয়োজন, যা আপনাকে অনুরূপ পদ আনতে হবে, প্রথমে বন্ধনী খুলতে হবে। প্রথমটির জায়গায় নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি থাকবে: x 2 + 2x + 1। সমতার পরে, এই এন্ট্রিটি উপস্থিত হবে: x 2 + 3x + 2। অনুরূপ পদ গণনা করার পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে: x 2 - x = 0. এটি অসম্পূর্ণ হয়ে গেছে। এর অনুরূপ কিছু ইতিমধ্যেই একটু উঁচুতে আলোচনা করা হয়েছে। এর মূল হবে 0 এবং 1 সংখ্যা।