কিছু গবেষক, পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান গণনা করে, সেখানে থামেন। কিন্তু উপযুক্ত পরীক্ষামূলক পদ্ধতির দৃষ্টিকোণ থেকে, এই সহগটির তাত্পর্যের স্তর (অর্থাৎ নির্ভরযোগ্যতার ডিগ্রি)ও নির্ধারণ করা উচিত।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের তাত্পর্য স্তর সমালোচনামূলক মান সারণী ব্যবহার করে গণনা করা হয়। নীচে এই টেবিলের একটি খণ্ড রয়েছে, যা আমাদের প্রাপ্ত সহগটির তাত্পর্যের স্তর নির্ধারণ করতে দেয়।

আমরা নমুনার আকারের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সারিটি নির্বাচন করি। আমাদের ক্ষেত্রে, n = 10। আমরা এই সারিতে এমন সারণি মান নির্বাচন করি যা অভিজ্ঞতামূলক একের থেকে সামান্য কম (বা ঠিক এর সমান, যা অত্যন্ত বিরল)। বোল্ডে সেই সংখ্যাটি হল 0.632৷ এটি p = 0.05 এর একটি তাত্পর্য স্তর সহ একটি কলামকে বোঝায়। অর্থাৎ, প্রকৃতপক্ষে, অভিজ্ঞতামূলক মানটি p = 0.05 এবং p = 0.01 কলামগুলির মধ্যে মধ্যবর্তী, তাই 0.05  p  0.01। এইভাবে, আমরা শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করি এবং উপসংহারে পৌঁছেছি যে প্রাপ্ত ফলাফল (R xy = 0.758) p স্তরে তাৎপর্যপূর্ণ< 0,05 (это уровень статистической значимости): R эмп >আর cr (p< 0,05) H 0 ,  Н 1 ! ст. зн.

দৈনন্দিন ভাষায়, এটি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: আমরা আশা করতে পারি যে সংযোগের এই শক্তিটি নমুনায় 100টির মধ্যে পাঁচটি ক্ষেত্রে কম ঘন ঘন ঘটবে, যদি এই সংযোগটি সুযোগের পরিণতি হয়।

1. রিগ্রেশন বিশ্লেষণ

	এক্স(উচ্চতা)	Y(ওজন)
	এম এক্স = 166,6	এম y = 58,3
	 এক্স = 6 , 54	 y = 8 , 34

রিগ্রেশন বিশ্লেষণ একটি ব্যবধান স্কেলে পরিমাপ করা দুটি পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়। এই ধরনের বিশ্লেষণে একটি রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করা জড়িত যা আপনাকে পরিমাণগতভাবে একটি বৈশিষ্ট্যের অন্যটির উপর নির্ভরতা বর্ণনা করতে দেয় (পিয়ারসনের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ একটি সম্পর্কের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি নির্দেশ করে, কিন্তু এই সম্পর্কের বর্ণনা দেয় না)। একটি বৈশিষ্ট্যের এলোমেলো মান জেনে এবং এই সমীকরণটি ব্যবহার করে, গবেষক একটি নির্দিষ্ট মাত্রার সম্ভাব্যতার সাথে, দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যের সংশ্লিষ্ট মানটি ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারেন। বৈশিষ্ট্যগুলির রৈখিক নির্ভরতা নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়েছে:

y = a +খ y * এক্স ,

কোথায় ক -একটি বিন্দুতে গ্রাফের উত্থানের সমান সমীকরণের মুক্ত শব্দ x=0অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে আপেক্ষিক, খ – রিগ্রেশন লাইনের ঢালের কৌণিক সহগ অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে গ্রাফের প্রবণতার কোণের স্পর্শকের সমান (উভয় অক্ষের মানগুলির স্কেল একই থাকে)।

অধ্যয়নের অধীনে বৈশিষ্ট্যগুলির মানগুলি জেনে, আপনি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে মুক্ত শব্দের মান এবং রিগ্রেশন সহগ নির্ধারণ করতে পারেন:

a =এম y – খ y * এম এক্স

আমাদের ক্ষেত্রে:
;

a = 58,3 – 0,97 * 166,6 = -103,3

সুতরাং, ওজন বনাম উচ্চতার সূত্রটি নিম্নরূপ: y = 0.969 * x - 103.3

সংশ্লিষ্ট গ্রাফটি নীচে দেখানো হয়েছে।

যদি উচ্চতা এবং ওজনের মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করা প্রয়োজন হয় ( এক্সথেকে এ), তারপর মান কএবং খভিন্ন হতে হবে এবং সেই অনুযায়ী সূত্র পরিবর্তন করতে হবে:

এক্স= a +খ এক্স * এ

a =এম এক্স – খ এক্স * এম y

এই ক্ষেত্রে, গ্রাফের চেহারাও পরিবর্তিত হয়।

রিগ্রেশন সহগটি পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। পরেরটি বৈশিষ্ট্য রিগ্রেশন সহগগুলির জ্যামিতিক গড়:

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গকে নির্ণয়ের সহগ বলা হয়। এর মান ভেরিয়েবলের পারস্পরিক প্রভাবের শতাংশ নির্ধারণ করে। আমাদের ক্ষেত্রে আর 2 = 0,76 2 = 0,58 . এর মানে হল যে Y-এর মোট বৈচিত্র্যের 58% পরিবর্তনশীল X-এর প্রভাব দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, বাকি 42% কারণগুলি সমীকরণে বিবেচনায় নেওয়া হয়নি।

এটি লক্ষ করা উচিত যে ভেরিয়েবলের মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের ডিগ্রির একটি সত্য নির্দেশক তাত্ত্বিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, যা সমগ্র জনসংখ্যার ডেটার উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয় (অর্থাৎ সমস্ত সম্ভাব্য মানসূচক):

কোথায় - তাত্ত্বিক সহভক্তি পরিমাপ, যা SV-এর বিচ্যুতির পণ্যগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে গণনা করা হয়৷
এবং তাদের গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে।

একটি নিয়ম হিসাবে, আমরা তাত্ত্বিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করতে পারি না। যাইহোক, যে স্যাম্পলিং সহগ শূন্যের সমান নয় তা থেকে
এটি তাত্ত্বিক সহগকেও অনুসরণ করে না
(অর্থাৎ সূচকগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে)। যে. র্যান্ডম স্যাম্পলিং ডেটার উপর ভিত্তি করে, এটা বলা যাবে না যে সূচকগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক আছে।

নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ তাত্ত্বিক সহগ একটি অনুমান, কারণ এটি শুধুমাত্র পরিবর্তনশীল মানের অংশের জন্য গণনা করা হয়।

সর্বদা বিদ্যমান পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ ত্রুটি. এই ত্রুটিটি নমুনা আয়তনের পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মধ্যে পার্থক্য এবং জনসংখ্যার জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

এ
; এবং
এ
.

একটি রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের তাত্পর্য পরীক্ষা করার অর্থ পরীক্ষা করা যে আমরা নমুনা ডেটাতে কতটা বিশ্বাস করতে পারি।

এই উদ্দেশ্যে, নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করা হয়
যে সাধারণ জনসংখ্যার জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান শূন্য, অর্থাৎ জনসংখ্যার মধ্যে কোন সম্পর্ক নেই. একটি বিকল্প হাইপোথিসিস
.

এই অনুমান পরীক্ষা করার জন্য, আমরা গণনা করি - পরিসংখ্যান ( -ছাত্রের টি-পরীক্ষা:

.

যার সাথে একটি ছাত্র বিতরণ রয়েছে
স্বাধীনতার ডিগ্রি 1.

ছাত্র বিতরণ টেবিল থেকে সমালোচনামূলক মান নির্ধারণ করা হয়
.

যদি গণনা করা মানদণ্ডের মান
, তারপর শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয়, অর্থাৎ, গণনাকৃত পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ সম্ভাব্যতার সাথে শূন্য থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হয়
.

যদি
, তাহলে নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা যাবে না। এই ক্ষেত্রে, এটা সম্ভব যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের প্রকৃত মান শূন্য, অর্থাৎ সূচকগুলির মধ্যে সম্পর্ক পরিসংখ্যানগতভাবে তুচ্ছ বলে বিবেচিত হতে পারে।

উদাহরণ 1. টেবিলটি মোট আয়ের 8 বছরের জন্য ডেটা দেখায় এবং চূড়ান্ত খরচ খরচ .

প্রদত্ত সূচকগুলির মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা অধ্যয়ন করুন এবং পরিমাপ করুন।

বিষয় 4. জোড়া লিনিয়ার রিগ্রেশন। সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি

পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ দুটি বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতার মাত্রা নির্দেশ করে, তবে এটি তার মাত্রার একটি ইউনিট দ্বারা একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন কীভাবে অন্য বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে সে প্রশ্নের উত্তর দেয় না। এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

রিগ্রেশন বিশ্লেষণসেট ফর্মএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতা এবং পরিবর্তনশীল মান
, এবং মান
সুনির্দিষ্টভাবে বিবেচিত হয়।

রিগ্রেশন সমীকরণভেরিয়েবলের মধ্যে পরিসংখ্যানগত সম্পর্কের জন্য একটি সূত্র।

যদি এই সূত্রটি রৈখিক হয়, তাহলে আমরা কথা বলছি লিনিয়ার রিগ্রেশন।দুটি চলকের মধ্যে পরিসংখ্যানগত সম্পর্কের সূত্র বলা হয় পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন(বেশ কিছু ভেরিয়েবল- একাধিক).

নির্ভরতা সূত্রের পছন্দ বলা হয় স্পেসিফিকেশনরিগ্রেশন সমীকরণ। নির্বাচিত সূত্রের প্যারামিটারের মান অনুমান করাকে বলা হয় প্যারামিটারাইজেশন.

কিভাবে প্যারামিটার মান অনুমান এবং করা অনুমান নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা?

এর অঙ্কন তাকান

গ্রাফে (a) সম্পর্ক এক্সএবং এরৈখিক কাছাকাছি, সরলরেখা 1 এখানে পর্যবেক্ষণ পয়েন্টের কাছাকাছি এবং পরেরটি শুধুমাত্র অপেক্ষাকৃত ছোট এলোমেলো প্রভাবের ফলে এটি থেকে বিচ্যুত হয়।

গ্রাফ (b) রাশির মধ্যে প্রকৃত সম্পর্ক দেখায় এক্সএবং এএকটি অরৈখিক ফাংশন 2 দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে, এবং আমরা যে সরল রেখা আঁকি না কেন (উদাহরণস্বরূপ, 1), এটি থেকে বিন্দুর বিচ্যুতি অ-র্যান্ডম হবে।

গ্রাফে (c) ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক এক্সএবং এঅনুপস্থিত, এবং কোনো নির্ভরতা সূত্রের প্যারামিটারাইজেশনের ফলাফল অসফল হবে।

ইকোনোমেট্রিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের সূচনা বিন্দু সাধারণত অনুমান করা হয় রৈখিক নির্ভরতাভেরিয়েবল আপনি সর্বদা একটি সরল রেখা আঁকতে চেষ্টা করতে পারেন যা তাদের সামগ্রিকতায় পর্যবেক্ষণ বিন্দুর "সবচেয়ে কাছাকাছি" হবে (উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে (c) সরলরেখা 1 সরলরেখা 2 থেকে ভাল হবে)।

তাত্ত্বিক পেয়ারওয়াইজ লিনিয়ার রিগ্রেশন সমীকরণফর্ম আছে:

,

কোথায়
ডাকল তাত্ত্বিক পরামিতি (তাত্ত্বিক সহগ) রিগ্রেশন; -এলোমেলো বিচ্যুতি(এলোমেলো ভুল).

সাধারণভাবে, আমরা তাত্ত্বিক মডেলটি উপস্থাপন করব:

.

তাত্ত্বিক রিগ্রেশন সহগগুলির মান নির্ধারণ করতে, ভেরিয়েবলের সমস্ত মানগুলি জানা প্রয়োজন এক্সএবং Y, অর্থাৎ সব সাধারণ জনগন, যা কার্যত অসম্ভব।

কাজটি নিম্নরূপ: উপলব্ধ পর্যবেক্ষণ তথ্য অনুযায়ী
,
এটি পরামিতি মান অনুমান করা প্রয়োজন
.

দিন ক – পরামিতি অনুমান
,খ – পরামিতি অনুমান .

তারপর আনুমানিক রিগ্রেশন সমীকরণ হল:
,

কোথায়
নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের তাত্ত্বিক মান y, - পর্যবেক্ষিত ত্রুটি মান . এই সমীকরণ বলা হয় অভিজ্ঞতামূলক রিগ্রেশন সমীকরণ. আমরা এটি ফর্মে লিখব
.

রৈখিক রিগ্রেশন পরামিতি অনুমান করার ভিত্তি সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি (MNC)রৈখিক রিগ্রেশন পরামিতি অনুমান করার একটি পদ্ধতি যা পছন্দসই রৈখিক ফাংশন থেকে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফলকে কম করে।

ফাংশন প্রহয় দ্বিঘাত ফাংশনদুটি পরামিতি কএবং খ. কারণ এটি ক্রমাগত, উত্তল এবং নীচে আবদ্ধ (
), তাই এটি সর্বনিম্ন পৌঁছায়। একটি ন্যূনতম অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল এর আংশিক ডেরিভেটিভের শূন্যের সমতা কএবং খ:

.

সিস্টেমের উভয় সমীকরণকে দ্বারা ভাগ করা n, আমরা পেতে:

বা

অন্যথায় আপনি লিখতে পারেন:

এবং - একই বৈশিষ্ট্যের মানগুলির আদর্শ বিচ্যুতি।

যে. রিগ্রেশন লাইন গড় মান সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এক্সএবং এ
, এ রিগ্রেশন সহগ খ কোভারিয়েন্স সূচক এবং সহগ সমানুপাতিক রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক.

রিগ্রেশন ছাড়াও যদি Yচালু এক্সএকই অভিজ্ঞতামূলক মানের জন্য, Y এর উপর X এর রিগ্রেশন সমীকরণ (
, কোথায়
), তারপর সহগগুলির গুণফল
:

.

প্রতি রিগ্রেশন সহগ  এটি একটি মান যা মানটি পরিবর্তিত হবে মাত্রার কত ইউনিট দেখায় মান পরিবর্তন করার সময় এর মাত্রা প্রতি ইউনিট। সহগ একইভাবে নির্ধারিত হয় .

বৈজ্ঞানিক গবেষণায়, প্রায়শই ফলাফল এবং ফ্যাক্টর ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি সংযোগ খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয় (ফসলের ফলন এবং বৃষ্টিপাতের পরিমাণ, লিঙ্গ এবং বয়স দ্বারা সমজাতীয় গোষ্ঠীতে একজন ব্যক্তির উচ্চতা এবং ওজন, হৃদস্পন্দন এবং শরীরের তাপমাত্রা , ইত্যাদি)।

দ্বিতীয়টি এমন লক্ষণ যা তাদের সাথে যুক্তদের পরিবর্তনে অবদান রাখে (প্রথম)।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের ধারণা

অনেক আছে উপরোক্ত উপর ভিত্তি করে, আমরা বলতে পারি যে পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ একটি পদ্ধতি যা অনুমান পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহৃত হয় পরিসংখ্যানিক গুরুত্বদুই বা ততোধিক ভেরিয়েবল যদি গবেষক তাদের পরিমাপ করতে পারে কিন্তু পরিবর্তন করতে পারে না।

প্রশ্নে ধারণার অন্যান্য সংজ্ঞা আছে। পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ হল একটি প্রক্রিয়াকরণ পদ্ধতি যাতে ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ অধ্যয়ন করা হয়। এই ক্ষেত্রে, এক জোড়া বা বহু জোড়া বৈশিষ্ট্যের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগকে তাদের মধ্যে পরিসংখ্যানগত সম্পর্ক স্থাপনের জন্য তুলনা করা হয়। পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ হল একটি কঠোর কার্যকরী প্রকৃতির ঐচ্ছিক উপস্থিতি সহ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পরিসংখ্যান নির্ভরতা অধ্যয়ন করার একটি পদ্ধতি, যেখানে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গতিবিদ্যা গতিবিদ্যার দিকে পরিচালিত করে গাণিতিক প্রত্যাশাঅন্য

মিথ্যা পারস্পরিক সম্পর্কের ধারণা

পরিচালনা করার সময় পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণএটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে এটি বৈশিষ্ট্যগুলির যে কোনও সেটের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, একে অপরের সাথে প্রায়শই অযৌক্তিক। কখনও কখনও তাদের একে অপরের সাথে কোন কার্যকারণ সংযোগ নেই।

এই ক্ষেত্রে, তারা একটি মিথ্যা পারস্পরিক সম্পর্কের কথা বলে।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের সমস্যা

উপরের সংজ্ঞাগুলির উপর ভিত্তি করে, আমরা বর্ণিত পদ্ধতির নিম্নলিখিত কাজগুলি প্রণয়ন করতে পারি: অন্যটি ব্যবহার করে চাওয়া ভেরিয়েবলগুলির একটি সম্পর্কে তথ্য প্রাপ্ত করা; অধ্যয়ন করা ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা নির্ধারণ করুন।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণে অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করা জড়িত, এবং সেইজন্য পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের কাজগুলি নিম্নলিখিতগুলির সাথে সম্পূরক হতে পারে:

• ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের উপর সর্বাধিক প্রভাব ফেলে এমন কারণগুলির সনাক্তকরণ;
• সংযোগের পূর্বে অনাবিষ্কৃত কারণগুলির সনাক্তকরণ;
• এর প্যারামেট্রিক বিশ্লেষণের সাথে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক মডেল নির্মাণ;
• যোগাযোগ পরামিতি এবং তাদের ব্যবধান মূল্যায়ন তাত্পর্য অধ্যয়ন.

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ এবং রিগ্রেশনের মধ্যে সম্পর্ক

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের পদ্ধতি প্রায়শই অধ্যয়ন করা পরিমাণের মধ্যে সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা খুঁজে বের করার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে না। কখনও কখনও এটি রিগ্রেশন সমীকরণের সংকলন দ্বারা পরিপূরক হয়, যা একই নামের বিশ্লেষণ ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয় এবং যা ফলাফল এবং ফ্যাক্টর (ফ্যাক্টর) বৈশিষ্ট্য (বৈশিষ্ট্য) এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ভরতার একটি বর্ণনা উপস্থাপন করে। এই পদ্ধতি, বিবেচনাধীন বিশ্লেষণের সাথে একসাথে, পদ্ধতি গঠন করে

পদ্ধতি ব্যবহার করার শর্তাবলী

কার্যকরী কারণ এক থেকে একাধিক কারণের উপর নির্ভর করে। পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের পদ্ধতিটি ব্যবহার করা যেতে পারে যদি কার্যকর এবং ফ্যাক্টর সূচক (কারণ) এর মান সম্পর্কে প্রচুর পরিমাণে পর্যবেক্ষণ থাকে, যখন অধ্যয়নের অধীনে বিষয়গুলি অবশ্যই পরিমাণগত এবং নির্দিষ্ট উত্সগুলিতে প্রতিফলিত হতে হবে। প্রথমটি স্বাভাবিক আইন দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে - এই ক্ষেত্রে, পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের ফলাফল হল পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ, বা, যদি বৈশিষ্ট্যগুলি এই আইনটি না মানে, তাহলে সহগ ব্যবহার করা হয় র্যাঙ্ক পারস্পরিক সম্পর্কস্পিয়ারম্যান।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের কারণ নির্বাচন করার নিয়ম

ব্যবহার করার সময় এই পদ্ধতিকর্মক্ষমতা সূচককে প্রভাবিত করার কারণগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন। সূচকগুলির মধ্যে অবশ্যই কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্ক থাকতে হবে এই বিষয়টি বিবেচনায় নিয়ে তাদের নির্বাচন করা হয়েছে। একটি মাল্টিফ্যাক্টর পারস্পরিক সম্পর্ক মডেল তৈরির ক্ষেত্রে, যেগুলি ফলাফল সূচকের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলে সেগুলি নির্বাচন করা হয়, যখন পারস্পরিক সম্পর্ক মডেলে 0.85-এর বেশি একটি জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহ পরস্পর নির্ভরশীল কারণগুলি অন্তর্ভুক্ত না করা বাঞ্ছনীয়। যার জন্য ফলাফলের প্যারামিটারের সাথে সম্পর্ক রৈখিক বা কার্যকরী অক্ষর নয়।

ফলাফল প্রদর্শন করা হচ্ছে

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের ফলাফল পাঠ্য এবং গ্রাফিক আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে তারা একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, দ্বিতীয় - একটি স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম আকারে।

পরামিতিগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের অনুপস্থিতিতে, ডায়াগ্রামের বিন্দুগুলি বিশৃঙ্খলভাবে অবস্থিত, সংযোগের গড় ডিগ্রী একটি বৃহত্তর ডিগ্রী অর্ডার দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং মধ্যম থেকে চিহ্নিত চিহ্নগুলির একটি কম বা কম অভিন্ন দূরত্ব দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি শক্তিশালী সংযোগ সোজা হতে থাকে এবং r=1 এ ডট প্লটটি একটি সমতল রেখা। বিপরীত পারস্পরিক সম্পর্ক গ্রাফের দিক থেকে উপরের বাম থেকে নীচের ডানদিকে, সরাসরি পারস্পরিক সম্পর্ক - নীচের বাম থেকে উপরের ডান কোণে।

একটি স্ক্যাটার প্লটের 3D উপস্থাপনা

ঐতিহ্যগত 2D স্ক্যাটার প্লট ডিসপ্লে ছাড়াও, পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের একটি 3D গ্রাফিকাল উপস্থাপনা এখন ব্যবহৃত হয়।

একটি স্ক্যাটারপ্লট ম্যাট্রিক্সও ব্যবহার করা হয়, যা একটি ম্যাট্রিক্স বিন্যাসে একটি একক চিত্রে সমস্ত জোড়া প্লট প্রদর্শন করে। n ভেরিয়েবলের জন্য, ম্যাট্রিক্সে n সারি এবং n কলাম রয়েছে। i-th সারি এবং j-th কলামের সংযোগস্থলে অবস্থিত চার্টটি Xi বনাম Xj ভেরিয়েবলের একটি প্লট। সুতরাং, প্রতিটি সারি এবং কলাম একটি মাত্রা, একটি একক কোষ দুটি মাত্রার একটি বিক্ষিপ্ত প্লট প্রদর্শন করে।

সংযোগের নিবিড়তা মূল্যায়ন

পারস্পরিক সম্পর্ক সংযোগের ঘনিষ্ঠতা পারস্পরিক সহগ (r) দ্বারা নির্ধারিত হয়: শক্তিশালী - r = ±0.7 থেকে ±1, মাঝারি - r = ±0.3 থেকে ±0.699, দুর্বল - r = 0 থেকে ±0.299৷ এই শ্রেণিবিন্যাস কঠোর নয়। চিত্রটি একটি সামান্য ভিন্ন চিত্র দেখায়।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করার একটি উদাহরণ

যুক্তরাজ্যে একটি আকর্ষণীয় গবেষণা করা হয়েছিল। এটি ধূমপান এবং ফুসফুসের ক্যান্সারের মধ্যে সংযোগের জন্য উত্সর্গীকৃত, এবং পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের মাধ্যমে করা হয়েছিল। এই পর্যবেক্ষণ নীচে উপস্থাপন করা হয়.

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের জন্য প্রাথমিক তথ্য

পেশাদার গ্রুপ		মৃত্যুহার
কৃষক, বনকর্মী ও জেলে
খনি শ্রমিক এবং খনি শ্রমিক
গ্যাস, কোক এবং রাসায়নিক দ্রব্য প্রস্তুতকারক
গ্লাস এবং সিরামিক নির্মাতারা
চুল্লি, নকল, ফাউন্ড্রি এবং রোলিং মিলের শ্রমিক
বৈদ্যুতিক এবং ইলেকট্রনিক্স শ্রমিক
ইঞ্জিনিয়ারিং এবং সংশ্লিষ্ট পেশা
কাঠের কাজ শিল্প
চামড়ার শ্রমিক
টেক্সটাইল শ্রমিক
কাজের পোশাক নির্মাতারা
খাদ্য, পানীয় ও তামাক শিল্পে শ্রমিক
কাগজ এবং মুদ্রণ প্রস্তুতকারক
অন্যান্য পণ্যের নির্মাতারা
নির্মাতারা
পেইন্টার এবং ডেকোরেটর
স্থির ইঞ্জিন, ক্রেন ইত্যাদির চালক
শ্রমিকরা অন্য কোথাও অন্তর্ভুক্ত নয়
পরিবহন ও যোগাযোগ কর্মী
গুদাম শ্রমিক, স্টোরকিপার, প্যাকার এবং ফিলিং মেশিনের কর্মী
অফিসে কর্মীদের
বিক্রেতারা
ক্রীড়া এবং বিনোদন কর্মীরা
প্রশাসক এবং ব্যবস্থাপক
পেশাদার, প্রযুক্তিবিদ এবং শিল্পী

আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ শুরু করি। এর সাথে স্বচ্ছতার জন্য সমাধান শুরু করা ভাল গ্রাফিক পদ্ধতি, যার জন্য আমরা একটি স্ক্যাটার ডায়াগ্রাম তৈরি করব।

এটি একটি সরাসরি সংযোগ প্রদর্শন করে। যাইহোক, শুধুমাত্র গ্রাফিকাল পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে একটি দ্ব্যর্থহীন উপসংহার টানা কঠিন। অতএব, আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ চালিয়ে যাব। পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনার একটি উদাহরণ নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে।

সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে (এমএস এক্সেল একটি উদাহরণ হিসাবে নীচে বর্ণিত হবে), আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ নির্ধারণ করি, যা 0.716, যার অর্থ অধ্যয়নের অধীনে পরামিতিগুলির মধ্যে একটি শক্তিশালী সংযোগ। আসুন সংশ্লিষ্ট টেবিলটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত মানের পরিসংখ্যানগত নির্ভরযোগ্যতা নির্ধারণ করি, যার জন্য আমাদের 25 জোড়া মান থেকে 2 বিয়োগ করতে হবে, ফলস্বরূপ আমরা 23 পাই এবং টেবিলে এই লাইনটি ব্যবহার করে আমরা p = 0.01 এর জন্য r সমালোচনামূলক পাই (যেহেতু এগুলি হল মেডিকেল ডেটা, আরও কঠোর নির্ভরতা, অন্যান্য ক্ষেত্রে p=0.05 যথেষ্ট), যা এই পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের জন্য 0.51। উদাহরণটি দেখিয়েছে যে গণনা করা r সমালোচনামূলক r থেকে বড়, এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান পরিসংখ্যানগতভাবে নির্ভরযোগ্য বলে বিবেচিত হয়।

পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ পরিচালনা করার সময় সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে

পরিসংখ্যানগত তথ্য প্রক্রিয়াকরণের বর্ণিত ধরনের ব্যবহার করে বাহিত করা যেতে পারে সফটওয়্যার, বিশেষ করে, MS Excel। পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশন ব্যবহার করে নিম্নলিখিত পরামিতি গণনা জড়িত:

1. কোরিল ফাংশন (অ্যারে1; অ্যারে2) ব্যবহার করে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ নির্ধারণ করা হয়। অ্যারে 1,2 - ফলাফল এবং ফ্যাক্টর ভেরিয়েবলের মানের ব্যবধানের ঘর।

রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগকে পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগও বলা হয়, এবং সেইজন্য, এক্সেল 2007 থেকে শুরু করে, আপনি একই অ্যারেগুলির সাথে ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারেন।

এক্সেলে পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের গ্রাফিক্যাল ডিসপ্লে "স্ক্যাটার প্লট" নির্বাচন সহ "চার্ট" প্যানেল ব্যবহার করে করা হয়।

প্রাথমিক ডেটা নির্দিষ্ট করার পরে, আমরা একটি গ্রাফ পাই।

2. স্টুডেন্টস টি-টেস্ট ব্যবহার করে পেয়ারওয়াইজ পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এর তাৎপর্য মূল্যায়ন করা। টি-মাপদণ্ডের গণনা করা মানটি বিবেচনাধীন প্যারামিটারের মানগুলির সংশ্লিষ্ট সারণী থেকে এই সূচকটির সারণীযুক্ত (সমালোচনামূলক) মানের সাথে তুলনা করা হয়, তাত্পর্যের নির্দিষ্ট স্তর এবং স্বাধীনতার ডিগ্রির সংখ্যা বিবেচনা করে। এই অনুমানটি STUDISCOVER (সম্ভাব্যতা; ডিগ্রি_অফ_ফ্রিডম) ফাংশন ব্যবহার করে করা হয়।

3. জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির ম্যাট্রিক্স। ডেটা বিশ্লেষণ টুল ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা হয়, যেখানে পারস্পরিক সম্পর্ক নির্বাচন করা হয়। জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির পরিসংখ্যানগত মূল্যায়ন এটি তুলনা করে বাহিত হয় পরম মানএকটি সারণী (গুরুত্বপূর্ণ) মান সহ। যখন গণনা করা পেয়ারওয়াইজ পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ সমালোচনামূলক এককে ছাড়িয়ে যায়, তখন আমরা সম্ভাব্যতার প্রদত্ত মাত্রা বিবেচনায় নিয়ে বলতে পারি যে রৈখিক সম্পর্কের তাত্পর্য সম্পর্কে শূন্য অনুমান প্রত্যাখ্যান করা হয় না।

অবশেষে

বৈজ্ঞানিক গবেষণায় পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ পদ্ধতির ব্যবহার আমাদের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করতে দেয় বিভিন্ন কারণএবং কর্মক্ষমতা সূচক। এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যে একটি উচ্চ পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ একটি অযৌক্তিক জোড়া বা ডেটার সেট থেকে পাওয়া যেতে পারে এবং তাই এই ধরনেরবিশ্লেষণ করা আবশ্যক তথ্যের একটি যথেষ্ট বড় অ্যারের উপর বাহিত.

r-এর গণনাকৃত মান পাওয়ার পর, একটি নির্দিষ্ট মানের পরিসংখ্যানগত নির্ভরযোগ্যতা নিশ্চিত করতে এটিকে সমালোচনামূলক r-এর সাথে তুলনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়। পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ ম্যানুয়ালি সূত্র ব্যবহার করে বা সফ্টওয়্যার ব্যবহার করে, বিশেষ করে এমএস এক্সেল ব্যবহার করা যেতে পারে। এখানে আপনি পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণের অধ্যয়নকৃত ফ্যাক্টর এবং ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সম্পর্ককে দৃশ্যতভাবে উপস্থাপন করার উদ্দেশ্যে একটি স্ক্যাটার ডায়াগ্রামও তৈরি করতে পারেন।

পর্যায় 3. ডেটার মধ্যে সম্পর্ক খোঁজা

রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক

ঘটনাগুলির মধ্যে সংযোগগুলি অধ্যয়নের কাজটির শেষ পর্যায়টি হল পারস্পরিক সম্পর্ক সূচকগুলি ব্যবহার করে সংযোগের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়ন করা। এই পর্যায়টি ফ্যাক্টর এবং কর্মক্ষমতা বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নির্ভরতা সনাক্ত করার জন্য এবং ফলস্বরূপ, অধ্যয়ন করা ঘটনাটির একটি রোগ নির্ণয় এবং পূর্বাভাস করার সম্ভাবনার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

রোগ নির্ণয়(গ্রীক রোগ নির্ণয়ের স্বীকৃতি থেকে) - একটি বস্তু বা ঘটনার বিস্তৃত অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে অবস্থার সারাংশ এবং বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ।

পূর্বাভাস(গ্রীক পূর্বাভাস দূরদর্শিতা থেকে, ভবিষ্যদ্বাণী) - কোনো নির্দিষ্ট ভবিষ্যদ্বাণী, ভবিষ্যতের কোনো ঘটনার অবস্থা সম্পর্কে রায় (আবহাওয়া পূর্বাভাস, নির্বাচনের ফলাফল, ইত্যাদি)। একটি পূর্বাভাস হল সিস্টেমের সম্ভাব্য ভবিষ্যত অবস্থা, অধ্যয়নের অধীনে বস্তু বা ঘটনা এবং এই অবস্থার বৈশিষ্ট্যযুক্ত সূচকগুলি সম্পর্কে একটি বৈজ্ঞানিকভাবে ভিত্তিক অনুমান। পূর্বাভাস - পূর্বাভাস উন্নয়ন, বিশেষ বৈজ্ঞানিক গবেষণাযে কোনো ঘটনার বিকাশের জন্য নির্দিষ্ট সম্ভাবনা।

আসুন পারস্পরিক সম্পর্কের সংজ্ঞাটি মনে রাখি:

পারস্পরিক সম্পর্ক- র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতা, এই সত্যে প্রকাশ করা হয় যে একটি মানের বন্টন অন্য মানের মানের উপর নির্ভর করে।

একটি পারস্পরিক সম্পর্ক শুধুমাত্র পরিমাণগত নয়, গুণগত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যেও পরিলক্ষিত হয়। বিদ্যমান বিভিন্ন উপায়েএবং বন্ধনের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়নের জন্য সূচক। আমরা শুধু থামব রৈখিক জোড়া পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ , যা ব্যবহৃত হয় যখন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক থাকে। অনুশীলনে, প্রায়শই অসম মাত্রার র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে সংযোগের স্তর নির্ধারণের প্রয়োজন হয়, তাই এই সংযোগের কিছু মাত্রাহীন বৈশিষ্ট্য থাকা বাঞ্ছনীয়। এই ধরনের একটি বৈশিষ্ট্য (সংযোগের পরিমাপ) হল রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r xy, যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

কোথায় , .

বোঝানো এবং , আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনার জন্য নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি পেতে পারি

.

আমরা যদি ধারণাটি প্রবর্তন করি স্বাভাবিক বিচ্যুতি , যা আদর্শ বিচ্যুতির ভগ্নাংশে গড় থেকে সম্পর্কযুক্ত মানের বিচ্যুতি প্রকাশ করে:

তাহলে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগটির অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে

.

আপনি যদি প্রাথমিকের চূড়ান্ত মানের উপর ভিত্তি করে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করেন এলোমেলো ভেরিয়েবলগণনার টেবিল থেকে, তারপর সূত্র ব্যবহার করে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা করা যেতে পারে

.

রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বৈশিষ্ট্য:

1)। পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ একটি মাত্রাহীন পরিমাণ।

2). |r| £1 বা

3). , ক, খ= const, – র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এবং Y-এর সমস্ত মান একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণিত (বা ভাগ করা) হলে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান পরিবর্তন হবে না।

4). , ক, খ= const, – এলোমেলো ভেরিয়েবল X এবং Y এর সমস্ত মান একটি ধ্রুবক দ্বারা বৃদ্ধি (বা হ্রাস) হলে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের মান পরিবর্তন হবে না।

5)। পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এবং রিগ্রেশন সহগের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে:

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:

যোগাযোগের ঘনিষ্ঠতা মূল্যায়নের জন্য পরিমাণগত মানদণ্ড:

প্রাগনোস্টিক উদ্দেশ্যে, |r| এর সাথে মান > 0.7।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ আমাদের এই উপসংহারে পৌঁছাতে দেয় যে দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক রয়েছে, কিন্তু কোন ভেরিয়েবল অন্যটির পরিবর্তন ঘটায় তা নির্দেশ করে না। প্রকৃতপক্ষে, দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি সংযোগ থাকতে পারে কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্ক ছাড়াই, কারণ উভয় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তন তৃতীয়টির পরিবর্তন (প্রভাব) দ্বারা ঘটতে পারে।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ r xyবিবেচনাধীন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে প্রতিসম এক্সএবং Y. এর মানে হল যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ নির্ধারণ করতে এটি সম্পূর্ণরূপে উদাসীন যে কোনটি পরিমাণ স্বাধীন এবং কোনটি নির্ভরশীল।

পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এর তাৎপর্য

এমনকি স্বাধীন পরিমাণপরিমাপের ফলাফলের এলোমেলো বিক্ষিপ্ততার কারণে বা এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি ছোট নমুনার কারণে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ শূন্য থেকে ভিন্ন হতে পারে। অতএব, পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের তাত্পর্য পরীক্ষা করা উচিত।

রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ এর তাত্পর্য উপর ভিত্তি করে পরীক্ষা করা হয় ছাত্রদের টি-পরীক্ষা :

.

যদি t > t cr(পি, এন-2), তারপর রৈখিক সহগপারস্পরিক সম্পর্ক তাৎপর্যপূর্ণ, এবং সেইজন্য পরিসংখ্যানগত সংযোগও তাৎপর্যপূর্ণ এক্সএবং Y.

.

গণনার সহজতার জন্য, পারস্পরিক সহগগুলির আস্থার সীমার মানগুলির টেবিল তৈরি করা হয়েছে বিভিন্ন সংখ্যাস্বাধীনতার মাত্রা f = n-2 (টু-টেইলড টেস্ট) এবং বিভিন্ন তাত্পর্য স্তর ক= 0.1; 0.05; 0.01 এবং 0.001। পারস্পরিক সম্পর্ককে তাৎপর্যপূর্ণ বলে মনে করা হয় যদি গণনা করা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ প্রদত্ত সম্পর্কের জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের আত্মবিশ্বাসের সীমার মান অতিক্রম করে। চএবং ক

বড়দের জন্য nএবং ক= 0.01 আনুমানিক সূত্র ব্যবহার করে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের আস্থা সীমার মান গণনা করা যেতে পারে

.

ভূমিকা. 2

1. শিক্ষার্থীর এফ-টেস্ট ব্যবহার করে রিগ্রেশন এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির তাত্পর্য মূল্যায়ন করা। 3

2. শিক্ষার্থীর এফ-টেস্ট ব্যবহার করে রিগ্রেশন এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির তাত্পর্যের গণনা। 6

উপসংহার। 15

রিগ্রেশন সমীকরণ তৈরি করার পরে, এটির তাত্পর্য পরীক্ষা করা প্রয়োজন: বিশেষ মানদণ্ড ব্যবহার করে, ফলাফল নির্ভরতা কিনা তা নির্ধারণ করুন সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়রিগ্রেশন, এলোমেলো, i.e. এটি পূর্বাভাসের উদ্দেশ্যে এবং জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে ফ্যাক্টর বিশ্লেষণ. পরিসংখ্যানে, পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্য কঠোরভাবে পরীক্ষা করার জন্য তৈরি করা হয়েছে বৈচিত্র্যের বিশ্লেষণএবং বিশেষ মানদণ্ডের গণনা (উদাহরণস্বরূপ, এফ-মাপদণ্ড)। গড় আপেক্ষিক রৈখিক বিচ্যুতি (e) গণনা করে একটি আলগা পরীক্ষা করা যেতে পারে, যাকে বলা হয় গড় ত্রুটিঅনুমান:

আসুন এখন রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্ট bj এর তাৎপর্য মূল্যায়ন এবং রিগ্রেশন মডেল Ru (J=l,2,..., p) এর প্যারামিটারগুলির জন্য একটি আস্থার ব্যবধান তৈরি করার দিকে এগিয়ে যাই।

ব্লক 5 - শিক্ষার্থীর ^-পরীক্ষার মানের উপর ভিত্তি করে রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্যের মূল্যায়ন। ta-এর গণনাকৃত মানগুলি অনুমোদিত মানের সাথে তুলনা করা হয়

ব্লক 5 - ^-মাপদণ্ডের মানের উপর ভিত্তি করে রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্যের মূল্যায়ন। t0n-এর গণনাকৃত মানগুলি অনুমোদিত মান 4,/ এর সাথে তুলনা করা হয়, যা একটি প্রদত্ত ত্রুটির সম্ভাবনা (a) এবং স্বাধীনতার ডিগ্রি (/) এর জন্য t-বন্টন টেবিল থেকে নির্ধারিত হয়।

সম্পূর্ণ মডেলের তাৎপর্য পরীক্ষা করার পাশাপাশি, শিক্ষার্থী /-পরীক্ষা ব্যবহার করে রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্য পরীক্ষা করা প্রয়োজন। রিগ্রেশন সহগ br-এর ন্যূনতম মান অবশ্যই bifob-t শর্তের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হতে হবে, যেখানে bi হল i-th ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্যের জন্য একটি প্রাকৃতিক স্কেলে রিগ্রেশন সমীকরণের সহগের মান; আহ - প্রতিটি সহগের গড় বর্গাকার ত্রুটি। তাদের তাত্পর্য মধ্যে সহগ D এর অতুলনীয়তা;

আরও পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্য পরীক্ষা করে। এটি করার জন্য, আমরা রিগ্রেশন সহগগুলির জন্য ^-মাপদণ্ডের মান খুঁজে পাই। তাদের তুলনার ফলে, ক্ষুদ্রতম ^-মাপদণ্ড নির্ধারণ করা হয়। যে ফ্যাক্টরটির সহগ ক্ষুদ্রতম ^-মাপদণ্ডের সাথে মিলে যায় তাকে আরও বিশ্লেষণ থেকে বাদ দেওয়া হয়।

রিগ্রেশন এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির পরিসংখ্যানগত তাত্পর্য মূল্যায়ন করতে, ছাত্রদের টি-পরীক্ষা এবং আস্থা অন্তরপ্রতিটি সূচক। সূচকগুলির এলোমেলো প্রকৃতি সম্পর্কে একটি হাইপোথিসিস সামনে রাখা হয়, যেমন শূন্য থেকে তাদের নগণ্য পার্থক্য সম্পর্কে। স্টুডেন্টস এফ-টেস্ট ব্যবহার করে রিগ্রেশন এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির তাত্পর্য মূল্যায়ন করা হয় র্যান্ডম ত্রুটির মাত্রার সাথে তাদের মানগুলির তুলনা করে:

শিক্ষার্থীর /-পরীক্ষা ব্যবহার করে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগগুলির তাত্পর্য মূল্যায়ন মান গণনা করতে নেমে আসে

শ্রমের গুণমান নির্দিষ্ট শ্রমের একটি বৈশিষ্ট্য, যা এর জটিলতা, তীব্রতা (তীব্রতা), শর্ত এবং অর্থনৈতিক উন্নয়নের তাত্পর্যের মাত্রা প্রতিফলিত করে। ক ট. একটি শুল্ক ব্যবস্থার মাধ্যমে পরিমাপ করা হয় যা যোগ্যতার স্তর (কাজের জটিলতা), শর্ত, শ্রমের তীব্রতা এবং এর তীব্রতা, সেইসাথে উন্নয়নের জন্য পৃথক শিল্প এবং উৎপাদন, অঞ্চল, অঞ্চলগুলির গুরুত্বের উপর নির্ভর করে মজুরি পার্থক্য করার অনুমতি দেয়। দেশের অর্থনীতি। ক ট. মধ্যে অভিব্যক্তি খুঁজে পায় মজুরিশ্রমিকরা, চাহিদা ও সরবরাহের প্রভাবে শ্রমবাজারে উন্নয়নশীল কর্মশক্তি(নির্দিষ্ট ধরনের শ্রম)। ক ট. - গঠন জটিল

প্রকল্পের পৃথক অর্থনৈতিক, সামাজিক এবং পরিবেশগত ফলাফলের আপেক্ষিক গুরুত্বের প্রাপ্ত স্কোরগুলি এক প্রকল্পের "সামাজিক ও পরিবেশগত-অর্থনৈতিক দক্ষতার জটিল স্কোরিং মাত্রাহীন মানদণ্ড" ব্যবহার করে বিকল্প প্রকল্প এবং তাদের বিকল্পগুলির তুলনা করার জন্য একটি ভিত্তি প্রদান করে, গণনা করা (গড় তাত্পর্য স্কোরে) সূত্র ব্যবহার করে

ইন্ট্রা-ইন্ডাস্ট্রি রেগুলেশন একটি প্রদত্ত শিল্পে শ্রমিকদের জন্য মজুরির পার্থক্য নিশ্চিত করে, একটি প্রদত্ত শিল্পে পৃথক ধরনের উৎপাদনের গুরুত্ব, জটিলতা এবং কাজের অবস্থার উপর নির্ভর করে, সেইসাথে ব্যবহৃত পারিশ্রমিকের ফর্মগুলির উপর নির্ভর করে।

পৃথক সূচকগুলির তাত্পর্য বিবেচনা না করেই স্ট্যান্ডার্ড এন্টারপ্রাইজের সাথে বিশ্লেষণ করা এন্টারপ্রাইজের ফলাফলের রেটিং মূল্যায়ন তুলনামূলক। বিভিন্ন উদ্যোগের রেটিং তুলনা করার সময় সর্বোচ্চ রেটিংপ্রাপ্ত তুলনামূলক মূল্যায়নের ন্যূনতম মান সহ একটি এন্টারপ্রাইজ রয়েছে।

একটি পণ্যের গুণমান বোঝা তার উপযোগিতা একটি পরিমাপ ব্যবহারিকভাবে রাখে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নএর পরিমাপ সম্পর্কে। একটি নির্দিষ্ট প্রয়োজন সন্তুষ্ট করার জন্য পৃথক বৈশিষ্ট্যের তাত্পর্য অধ্যয়ন করে এর সমাধানটি অর্জন করা হয়। এমনকি একই সম্পত্তির তাত্পর্য পণ্যের ব্যবহারের শর্তের উপর নির্ভর করে ভিন্ন হতে পারে। ফলস্বরূপ, পণ্যের উপযোগিতা বিভিন্ন পরিস্থিতিতেএর ব্যবহার ভিন্ন।

কাজের দ্বিতীয় পর্যায়ে পরিসংখ্যানগত ডেটা অধ্যয়ন করা এবং সূচকগুলির সম্পর্ক এবং মিথস্ক্রিয়া সনাক্ত করা, পৃথক কারণগুলির তাত্পর্য এবং সাধারণ সূচকগুলির পরিবর্তনের কারণগুলি নির্ধারণ করা।

সমস্ত বিবেচিত সূচকগুলিকে এমনভাবে একত্রিত করা হয় যে ফলাফলটি এন্টারপ্রাইজের ক্রিয়াকলাপের সমস্ত বিশ্লেষিত দিকগুলির একটি বিস্তৃত মূল্যায়ন, এর কার্যকলাপের শর্তগুলি বিবেচনায় নিয়ে, পৃথক সূচকগুলির তাত্পর্যের মাত্রা বিবেচনা করে। বিভিন্ন ধরনেরবিনিয়োগকারী:

রিগ্রেশন সহগগুলি কার্যক্ষমতা সূচকে কারণগুলির প্রভাবের তীব্রতা দেখায়। যদি ফ্যাক্টর সূচকগুলির প্রাথমিক প্রমিতকরণ করা হয়, তাহলে b0 সমষ্টিতে কার্যকর সূচকের গড় মানের সমান। সহগ b, b2 ..... bl গুণনীয়ক সূচকের মানগুলি গড় থেকে শূন্যের সমান বিচ্যুত হলে কার্যকর সূচকের স্তরটি তার গড় মান থেকে কত একক দ্বারা বিচ্যুত হয় তা দেখায় আদর্শ চ্যুতি. এইভাবে, রিগ্রেশন সহগগুলি কার্যকারিতা সূচকের স্তর বাড়ানোর জন্য পৃথক কারণগুলির তাত্পর্যের ডিগ্রিকে চিহ্নিত করে। রিগ্রেশন কোফিসিয়েন্টের নির্দিষ্ট মান পদ্ধতি অনুযায়ী অভিজ্ঞতামূলক তথ্য থেকে নির্ধারিত হয় সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র(স্বাভাবিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের ফলস্বরূপ)।

2. শিক্ষার্থীর এফ-টেস্ট ব্যবহার করে রিগ্রেশন এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সহগগুলির তাত্পর্যের গণনা

আসুন আমরা মাল্টিফ্যাক্টর সম্পর্কের রৈখিক ফর্মটিকে কেবল সহজতম নয়, পিসিগুলির জন্য অ্যাপ্লিকেশন সফ্টওয়্যার প্যাকেজগুলি দ্বারা সরবরাহিত ফর্ম হিসাবে বিবেচনা করি। যদি একটি পৃথক ফ্যাক্টর এবং ফলের বৈশিষ্ট্যের মধ্যে সংযোগ রৈখিক না হয়, তাহলে ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্যের মান প্রতিস্থাপন বা রূপান্তর করে সমীকরণটি রৈখিক করা হয়।

সাধারণ ফর্মমাল্টিভেরিয়েট রিগ্রেশন সমীকরণের ফর্ম আছে:

যেখানে k হল গুণনীয়ক বৈশিষ্ট্যের সংখ্যা।

সমীকরণের পরামিতি (8.32) গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বর্গ সমীকরণের সিস্টেমকে সহজ করার জন্য, এই বৈশিষ্ট্যগুলির গড় মান থেকে সমস্ত বৈশিষ্ট্যের পৃথক মানের বিচ্যুতিগুলি সাধারণত চালু করা হয়।

আমরা ন্যূনতম বর্গক্ষেত্রের k সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

এই সিস্টেমটি সমাধান করে, আমরা শর্তসাপেক্ষে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগগুলির মানগুলি পাই। সমীকরণের মুক্ত শব্দটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

"শর্তগতভাবে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগ" শব্দটির অর্থ হল প্রতিটি মান বিজে তার গড় মান থেকে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের সামগ্রিক গড় বিচ্যুতি পরিমাপ করে যখন একটি প্রদত্ত ফ্যাক্টর xj তার পরিমাপের একক দ্বারা তার গড় মান থেকে বিচ্যুত হয় এবং শর্ত থাকে যে সমস্ত রিগ্রেশন সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত অন্যান্য কারণগুলি, গড় মানগুলিতে স্থির, পরিবর্তন হয় না, পরিবর্তিত হয় না।

এইভাবে, পেয়ারড রিগ্রেশন সহগ এর বিপরীতে, শর্তসাপেক্ষ বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগ একটি ফ্যাক্টরের প্রভাব পরিমাপ করে, এই ফ্যাক্টরের প্রকরণের সাথে অন্যান্য ফ্যাক্টরের পরিবর্তনের সম্পর্ক থেকে বিমূর্ত হয়ে। যদি রিগ্রেশন সমীকরণে ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে এমন সমস্ত কারণ অন্তর্ভুক্ত করা সম্ভব হয়, তাহলে bj-এর মান। কারণগুলির বিশুদ্ধ প্রভাবের পরিমাপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। কিন্তু যেহেতু সমীকরণে সমস্ত ফ্যাক্টর অন্তর্ভুক্ত করা সত্যিই অসম্ভব, তাহলে সহগগুলি bj. সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কারণের প্রভাবের সংমিশ্রণ থেকে মুক্ত নয়।

রিগ্রেশন সমীকরণে তিনটি কারণের একটির জন্য বা একযোগে সমস্ত কারণ অন্তর্ভুক্ত করা অসম্ভব, কারণ:

1) কিছু কারণ অজানা হতে পারে আধুনিক বিজ্ঞান, যেকোনো প্রক্রিয়ার জ্ঞান সবসময়ই অসম্পূর্ণ থাকে;

2) পরিচিত কিছু তাত্ত্বিক কারণ সম্পর্কে কোন তথ্য নেই বা এটি অবিশ্বস্ত;

3) অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার আকার (নমুনা) সীমিত, যা রিগ্রেশন সমীকরণে সীমিত সংখ্যক কারণ অন্তর্ভুক্ত করা সম্ভব করে।

শর্তসাপেক্ষ বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগ বিজে। নামকরণ করা হয় পরিমাপের বিভিন্ন এককে প্রকাশ করা সংখ্যা এবং তাই একে অপরের সাথে অতুলনীয়। এগুলিকে তুলনামূলক আপেক্ষিক সূচকে রূপান্তর করতে, একই রূপান্তর ব্যবহার করা হয় যা পেয়ারওয়াইজ পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ প্রাপ্ত করা হয়। ফলের মান বলা হয় প্রমিত সহগরিগ্রেশন বা?-গুণ।

ফ্যাক্টর xj-এর সহগ রেগ্রেশন সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত অন্যান্য ফ্যাক্টরগুলির সহগামী প্রকরণ থেকে বিমূর্ত করে, ফলস্বরূপ বৈশিষ্ট্যযুক্ত y-এর পরিবর্তনের উপর ফ্যাক্টর xj-এর পরিবর্তনের প্রভাবের পরিমাপ নির্ধারণ করে।

সংযোগের আপেক্ষিক তুলনামূলক সূচক, স্থিতিস্থাপকতা সহগ আকারে শর্তসাপেক্ষ বিশুদ্ধ রিগ্রেশনের সহগ প্রকাশ করা কার্যকর:

ফ্যাক্টর xj এর স্থিতিস্থাপকতা সহগ বলে যে যখন একটি প্রদত্ত ফ্যাক্টরের মান তার গড় মান থেকে 1% বিচ্যুত হয় এবং সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত অন্যান্য ফ্যাক্টরগুলির সহগামী বিচ্যুতি থেকে বিমূর্ত হয়ে যায়, ফলে বৈশিষ্ট্যটি তার গড় মান থেকে ej শতাংশ দ্বারা বিচ্যুত হবে y থেকে। প্রায়শই, স্থিতিস্থাপকতার সহগগুলিকে গতিবিদ্যার পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করা হয় এবং প্রয়োগ করা হয়: ফ্যাক্টর x এর গড় মানের 1% বৃদ্ধির সাথে, ফলে বৈশিষ্ট্যটি তার গড় মানের e. শতাংশ বৃদ্ধি পাবে।

আসুন উদাহরণ হিসাবে একই 16টি খামার ব্যবহার করে মাল্টিফ্যাক্টর রিগ্রেশন সমীকরণের গণনা এবং ব্যাখ্যা বিবেচনা করি (সারণী 8.1)। ফলাফল চিহ্ন - স্তর স্থূল আয়এবং এটিকে প্রভাবিত করে এমন তিনটি বিষয় সারণীতে উপস্থাপন করা হয়েছে। ৮.৭।

আসুন আমরা আবার স্মরণ করি যে পারস্পরিক সম্পর্কের নির্ভরযোগ্য এবং পর্যাপ্ত সঠিক সূচক পাওয়ার জন্য, একটি বৃহত্তর জনসংখ্যার প্রয়োজন।

সারণি 8.7

মোট আয়ের স্তর এবং এর কারণগুলি

খামার সংখ্যা	মোট আয়, rub./ra	শ্রম খরচ, ম্যান-ডে/হেক্টর x1	আবাদি জমির ভাগ,	প্রতি 1টি গাভীর দুধের ফলন,

সারণি 8.8 রিগ্রেশন সমীকরণ সূচক

নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল: y
	রিগ্রেশন সহগ
ধ্রুবক-240.112905
মাধ্যমিক est এর ত্রুটি = 79.243276

সমাধানটি পিসির জন্য "মাইক্রোস্ট্যাট" প্রোগ্রাম ব্যবহার করে করা হয়েছিল। এখানে প্রিন্টআউট থেকে টেবিল আছে: টেবিল. 8.7 সমস্ত বৈশিষ্ট্যের গড় মান এবং আদর্শ বিচ্যুতি দেয়। টেবিল 8.8 রিগ্রেশন সহগ এবং তাদের সম্ভাব্য মূল্যায়ন রয়েছে:

প্রথম কলাম "var" - ভেরিয়েবল, অর্থাৎ ফ্যাক্টর; দ্বিতীয় কলাম "রিগ্রেশন সহগ" - শর্তসাপেক্ষে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগ বিজে; তৃতীয় কলাম “std. errr" - রিগ্রেশন সহগ অনুমানে গড় ত্রুটি; চতুর্থ কলাম - পরিবর্তনের স্বাধীনতার 12 ডিগ্রি সহ ছাত্রদের টি-পরীক্ষার মান; পঞ্চম কলাম "প্রব" - রিগ্রেশন সহগ সম্পর্কিত নাল হাইপোথিসিসের সম্ভাবনা;

ষষ্ঠ কলাম "আংশিক r2" - সংকল্পের আংশিক সহগ। 3-6 কলামে সূচক গণনার বিষয়বস্তু এবং পদ্ধতি 8 অধ্যায়ে আরও আলোচনা করা হয়েছে। "ধ্রুবক" হল রিগ্রেশন সমীকরণ a এর মুক্ত শব্দ; "Std. এর ত্রুটি।" - রিগ্রেশন সমীকরণ ব্যবহার করে কার্যকর বৈশিষ্ট্য অনুমান করার বর্গাকার ত্রুটি। সমীকরণ প্রাপ্ত হয়েছিল একাধিক সংশ্লেষণ:

y = 2.26x1 - 4.31x2 + 0.166x3 - 240।

এর মানে হল প্রতি 1 হেক্টর খামারের জমিতে মোট আয়ের পরিমাণ গড়ে 2.26 রুবেল বেড়েছে। শ্রম খরচ 1 ঘন্টা/হেক্টর বৃদ্ধি সহ; গড়ে 4.31 রুবেল কমেছে। চাষের জমিতে আবাদযোগ্য জমির ভাগ 1% বৃদ্ধির সাথে এবং 0.166 রুবেল বৃদ্ধির সাথে। গাভী প্রতি দুধের ফলন 1 কেজি বৃদ্ধির সাথে। মুক্ত শব্দের নেতিবাচক মান বেশ স্বাভাবিক, এবং ইতিমধ্যে অনুচ্ছেদ 8.2-এ যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, কার্যকরী চিহ্ন হল যে কারণগুলি শূন্যের মান পৌঁছানোর অনেক আগেই মোট আয় শূন্য হয়ে যায়, যা উৎপাদনে অসম্ভব।

x^-এর জন্য সহগের একটি নেতিবাচক মান অধ্যয়নাধীন খামারগুলির অর্থনীতিতে উল্লেখযোগ্য সমস্যার একটি সংকেত, যেখানে শস্য চাষ অলাভজনক এবং শুধুমাত্র পশুপালনই লাভজনক। চাষের যৌক্তিক পদ্ধতি এবং সমস্ত ক্ষেত্রের পণ্যগুলির জন্য স্বাভাবিক দাম (ভারসাম্য বা তাদের কাছাকাছি) সহ, আয় হ্রাস করা উচিত নয়, তবে চাষের জমি - আবাদযোগ্য জমির সর্বাধিক উর্বর অংশ বৃদ্ধির সাথে বৃদ্ধি পাবে।

সারণির শেষ দুই সারি থেকে প্রাপ্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে। 8.7 এবং টেবিল। 8.8 আমরা সূত্র (8.34) এবং (8.35) অনুযায়ী p-সহগ এবং স্থিতিস্থাপকতা সহগ গণনা করি।

আয়ের স্তরের তারতম্য এবং গতিশীলতার সম্ভাব্য পরিবর্তন উভয়ই ফ্যাক্টর x3 দ্বারা সবচেয়ে দৃঢ়ভাবে প্রভাবিত হয় - গরুর উত্পাদনশীলতা, এবং x2 দ্বারা সবচেয়ে দুর্বল - আবাদযোগ্য জমির ভাগ। P2/ মানগুলি আরও ব্যবহার করা হবে (সারণী 8.9);

সারণি 8.9 আয় স্তরের উপর কারণের তুলনামূলক প্রভাব

ফ্যাক্টর xj

সুতরাং, আমরা পেয়েছি যে xj ফ্যাক্টরের ?-গুণ এই ফ্যাক্টরের স্থিতিস্থাপকতার সহগের সাথে সম্পর্কযুক্ত, কারণ ফ্যাক্টরের প্রকরণের সহগ ফলিত বৈশিষ্ট্যের প্রকরণের সহগের সাথে সম্পর্কিত। যেহেতু, টেবিলের শেষ লাইন থেকে দেখা যায়। 8.7, সমস্ত কারণের প্রকরণের সহগ ফলস্বরূপ বৈশিষ্ট্যের প্রকরণের সহগ থেকে কম; সব?-সহগ স্থিতিস্থাপকতা সহগ থেকে কম।

আসুন উদাহরণ হিসাবে ফ্যাক্টর -с ব্যবহার করে জোড়া এবং শর্তসাপেক্ষে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগের মধ্যে সম্পর্ক বিবেচনা করি। জোড়া একঘাত সমীকরণ x এর সাথে সংযোগ y এর ফর্ম আছে:

y = 3.886x1 – 243.2

x1-এ শর্তসাপেক্ষে বিশুদ্ধ রিগ্রেশন সহগ জোড়াযুক্ত একের মাত্র 58%। অবশিষ্ট 42% এই কারণে যে প্রকরণ x1 এর সাথে x2 x3 ফ্যাক্টরের তারতম্য রয়েছে, যা ফলস্বরূপ, ফলস্বরূপ বৈশিষ্ট্যকে প্রভাবিত করে। সমস্ত বৈশিষ্ট্যের সংযোগ এবং তাদের পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন সহগগুলি সংযোগ গ্রাফে উপস্থাপন করা হয়েছে (চিত্র 8.2)।

যদি আমরা y-তে প্রকরণ x1-এর প্রত্যক্ষ এবং পরোক্ষ প্রভাবের অনুমান যোগ করি, অর্থাৎ সমস্ত "পাথ" (চিত্র 8.2) বরাবর জোড়া রিগ্রেশন সহগগুলির গুণফল, আমরা পাই: 2.26 + 12.55 0.166 + (-0.00128) (- 4.31) + (-0.00128) 17.00 0.166 = 4.344।

এই মান আরও বেশি জোড়া সহগসংযোগ x1 সঙ্গে y. ফলস্বরূপ, সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন কারণগুলির মাধ্যমে প্রকরণ x1-এর পরোক্ষ প্রভাব বিপরীত, মোট দেওয়া:

1 আইভাজিয়ান S.A., Mkhitaryan V.S. ফলিত পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতির মৌলিক বিষয়। বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য পাঠ্যপুস্তক। - এম.: ইউনিটি, 2008, – 311 পি।

2 জনস্টন জে. অর্থনৈতিক পদ্ধতি। - এম.: পরিসংখ্যান, 1980। - 282 সে.

3 Dougherty K. অর্থনীতির পরিচিতি। - M.: INFRA-M, 2004, – 354 p.

4 ড্রেয়ার এন., স্মিথ জি, ফলিত রিগ্রেশন বিশ্লেষণ. - এম.: অর্থ ও পরিসংখ্যান, 2006, – 191 পি।

5 ম্যাগনাস Y.R., কার্টিশেভ P.K., পেরেসেটস্কি A.A. ইকোনোমেট্রিক্স। প্রাথমিক কোর্স।-এম.: ডেলো, 2006, – 259 পি।

ইকোনোমেট্রিক্স/এডের উপর 6 ওয়ার্কশপ। I.I. Eliseeva. - M.: Finance and Statistics, 2004, – 248 p.

7 ইকোনোমেট্রিক্স/এড. I.I. Eliseeva. - M.: Finance and Statistics, 2004, – 541 p.

8 ক্রেমার এন., পুটকো বি. ইকোনোমেট্রিক্স। - এম.: UNITY-DANA, 200, – 281 p.

আইভাজিয়ান এস.এ., মখিতারিয়ান ভি.এস. ফলিত পরিসংখ্যান এবং অর্থনীতির মৌলিক বিষয়। বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য পাঠ্যপুস্তক। - এম.: ইউনিটি, 2008, – পি। 23।

ক্রেমার এন., পুটকো বি. ইকোনোমেট্রিক্স.- এম.: UNITY-DANA, 200, – p.64

ড্রেয়ার এন, স্মিথ জি, ফলিত রিগ্রেশন বিশ্লেষণ। - এম.: অর্থ ও পরিসংখ্যান, 2006, – p57।

ইকোনোমেট্রিক্স/এডের উপর কর্মশালা। I.I. Eliseeva. - M.: Finance and Statistics, 2004, – p. 172.