প্রত্যাশা এবং ভিন্নতা হল সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য আমার স্নাতকের. তারা সর্বাধিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যবিতরণ: এর অবস্থান এবং বিক্ষিপ্ততার ডিগ্রি। অনেক ব্যবহারিক সমস্যায়, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি সম্পূর্ণ, সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য - বন্টন আইন - হয় একেবারেই পাওয়া যায় না, বা একেবারেই প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের আনুমানিক বর্ণনার মধ্যে সীমাবদ্ধ।
প্রত্যাশিত মানটিকে প্রায়শই বলা হয় এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গড় মান। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ বিচ্ছুরণের একটি বৈশিষ্ট্য, তার গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিস্তার।
একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা
আসুন আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণার কাছে যাই, প্রথমে একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টনের যান্ত্রিক ব্যাখ্যার উপর ভিত্তি করে। একক ভরকে x-অক্ষের বিন্দুগুলির মধ্যে বিতরণ করা যাক এক্স1 , এক্স 2 , ..., এক্স n, এবং প্রতিটি উপাদান বিন্দু একটি সংশ্লিষ্ট ভর আছে পি1 , পি 2 , ..., পি n. অ্যাবসিসা অক্ষের উপর একটি বিন্দু নির্বাচন করা প্রয়োজন, বস্তুগত বিন্দুগুলির সমগ্র সিস্টেমের অবস্থান চিহ্নিত করে, তাদের ভরগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে। বস্তুগত বিন্দুর সিস্টেমের ভরের কেন্দ্রকে এমন একটি বিন্দু হিসাবে নেওয়া স্বাভাবিক। এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনযুক্ত গড় এক্স, যা প্রতিটি বিন্দুর অবসিসা এক্সiঅনুরূপ সম্ভাব্যতার সমান একটি "ওজন" সহ প্রবেশ করে। এইভাবে প্রাপ্ত এলোমেলো চলকের গড় মান এক্সএর গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সমস্ত সম্ভাব্য মানের পণ্যের সমষ্টি এবং এই মানগুলির সম্ভাব্যতা:
উদাহরণ 1.একটি জয়-জয় লটারির আয়োজন করা হয়েছে। 1000টি জয় রয়েছে, যার মধ্যে 400টি 10 রুবেল। 300 - 20 রুবেল প্রতিটি। 200 - 100 রুবেল প্রতিটি। এবং প্রতিটি 100 - 200 রুবেল। কি গড় আকারযারা একটি টিকিট কিনেছেন তাদের জন্য বিজয়ী?
সমাধান। গড় জয়আমরা যদি খুঁজে পাব সর্বমোট পরিমাণজয়, যা 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 রুবেলের সমান, 1000 (মোট জয়ের পরিমাণ) দ্বারা ভাগ করুন। তাহলে আমরা 50000/1000 = 50 রুবেল পাব। কিন্তু গড় জয় গণনার অভিব্যক্তি নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
অন্যদিকে, এই অবস্থার মধ্যে, বিজয়ী আকার একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, যা 10, 20, 100 এবং 200 রুবেল মান নিতে পারে। যথাক্রমে 0.4 এর সমান সম্ভাবনা সহ; 0.3; 0.2; 0.1 অতএব, প্রত্যাশিত গড় পরিশোধ যোগফলের সমানবিজয়ের আকারের পণ্য এবং সেগুলি পাওয়ার সম্ভাবনা।
উদাহরণ 2।প্রকাশক একটি নতুন বই প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে. তিনি 280 রুবেলে বইটি বিক্রি করার পরিকল্পনা করেছেন, যার মধ্যে তিনি নিজেই 200, 50 পাবেন - বইয়ের দোকান এবং 30 - লেখক। টেবিলটি একটি বই প্রকাশের খরচ এবং বইটির একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক কপি বিক্রির সম্ভাবনা সম্পর্কে তথ্য সরবরাহ করে।
প্রকাশকের প্রত্যাশিত লাভ খুঁজুন।
সমাধান। র্যান্ডম পরিবর্তনশীল "লাভ" বিক্রয় থেকে আয় এবং খরচের খরচের মধ্যে পার্থক্যের সমান। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বইয়ের 500 কপি বিক্রি হয়, তাহলে বিক্রয় থেকে আয় 200 * 500 = 100,000, এবং প্রকাশনার খরচ 225,000 রুবেল। এইভাবে, প্রকাশক 125,000 রুবেল ক্ষতির সম্মুখীন হয়। নিম্নলিখিত সারণী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মানগুলিকে সংক্ষিপ্ত করে - লাভ:
| সংখ্যা | লাভ এক্সi | সম্ভাবনা পিi | এক্সi পি i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| মোট: | 1,00 | 25000 |
এইভাবে, আমরা পেতে প্রত্যাশিত মানপ্রকাশকের লাভ:
.
উদাহরণ 3.এক শট দিয়ে আঘাত করার সম্ভাবনা পি= 0.2। 5 এর সমান হিটের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা প্রদান করে এমন প্রজেক্টাইলের খরচ নির্ধারণ করুন।
সমাধান। একই গাণিতিক প্রত্যাশা সূত্র থেকে যা আমরা এতদিন ব্যবহার করেছি, আমরা প্রকাশ করি এক্স- শেল খরচ:
.
উদাহরণ 4.একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ধারণ করুন এক্সতিনটি শট সহ হিটের সংখ্যা, যদি প্রতিটি শটের সাথে একটি আঘাতের সম্ভাবনা থাকে পি = 0,4 .
ইঙ্গিত: দ্বারা এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানের সম্ভাব্যতা খুঁজুন বার্নউলির সূত্র .
গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য
আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি।
সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের গাণিতিক প্রত্যাশা এই ধ্রুবকের সমান:
সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি গাণিতিক প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:
সম্পত্তি 3.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের (পার্থক্য) সমান:
সম্পত্তি 4.র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান:
সম্পত্তি 5.যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মান এক্সএকই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) সঙ্গে, তাহলে এর গাণিতিক প্রত্যাশা একই সংখ্যা দ্বারা হ্রাস (বৃদ্ধি) হবে:
যখন আপনি নিজেকে শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে সীমাবদ্ধ করতে পারবেন না
বেশীরভাগ ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা পর্যাপ্তভাবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে চিহ্নিত করতে পারে না।
র্যান্ডম ভেরিয়েবল যাক এক্সএবং Yনিম্নলিখিত বন্টন আইন দ্বারা দেওয়া হয়:
| অর্থ এক্স | সম্ভাবনা |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| অর্থ Y | সম্ভাবনা |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
এই পরিমাণগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা একই - শূন্যের সমান:
তবে তাদের বিতরণের ধরণ ভিন্ন। এলোমেলো মান এক্সশুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে সামান্য ভিন্ন মান নিতে পারে Yগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত মানগুলি নিতে পারে। একটি অনুরূপ উদাহরণ: গড় বেতন বিচার করা সম্ভব করে না আপেক্ষিক গুরুত্বউচ্চ এবং নিম্ন বেতনের কর্মী। অন্য কথায়, কেউ গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচার করতে পারে না যে এটি থেকে অন্তত গড়ে কী বিচ্যুতি সম্ভব। এটি করার জন্য, আপনাকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈচিত্র খুঁজে বের করতে হবে।
একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ
ভিন্নতাবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সগাণিতিক প্রত্যাশা থেকে এর বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়:
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আদর্শ বিচ্যুতি এক্সএর প্রকরণের বর্গমূলের গাণিতিক মানকে বলা হয়:
.
উদাহরণ 5।এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি গণনা করুন এক্সএবং Y, যার বন্টন আইন উপরের টেবিলে দেওয়া আছে।
সমাধান। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এক্সএবং Y, যেমন উপরে পাওয়া গেছে, শূন্যের সমান। এ বিচ্ছুরণ সূত্র অনুযায়ী ই(এক্স)=ই(y)=0 আমরা পাই:
তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি এক্সএবং Yআপ করা
.
এইভাবে, একই গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে, র্যান্ডম চলকের প্রকরণ এক্সখুব ছোট, কিন্তু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল Y- উল্লেখযোগ্য। এটি তাদের বিতরণে পার্থক্যের একটি ফলাফল।
উদাহরণ 6.বিনিয়োগকারীর 4টি বিকল্প বিনিয়োগ প্রকল্প রয়েছে। সারণীটি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে এই প্রকল্পগুলিতে প্রত্যাশিত লাভের সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেয়।
| প্রকল্প 1 | প্রকল্প 2 | প্রকল্প 3 | প্রকল্প 4 |
| 500, পৃ=1 | 1000, পৃ=0,5 | 500, পৃ=0,5 | 500, পৃ=0,5 |
| 0, পৃ=0,5 | 1000, পৃ=0,25 | 10500, পৃ=0,25 | |
| 0, পৃ=0,25 | 9500, পৃ=0,25 |
প্রতিটি বিকল্পের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।
সমাধান। আসুন দেখাই কিভাবে এই মানগুলি 3য় বিকল্পের জন্য গণনা করা হয়:
টেবিলটি সমস্ত বিকল্পের জন্য পাওয়া মানগুলির সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেয়।
সমস্ত বিকল্প একই গাণিতিক প্রত্যাশা আছে. এর মানে দীর্ঘমেয়াদে সবার আয় সমান। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিকে ঝুঁকির পরিমাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে - এটি যত বেশি, বিনিয়োগের ঝুঁকি তত বেশি। একজন বিনিয়োগকারী যে বেশি ঝুঁকি নিতে চায় না সে প্রকল্প 1 বেছে নেবে কারণ এতে সবচেয়ে ছোট স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (0) রয়েছে। যদি একজন বিনিয়োগকারী স্বল্প সময়ের মধ্যে ঝুঁকি এবং উচ্চ রিটার্ন পছন্দ করেন, তাহলে তিনি সবচেয়ে বড় প্রকল্পটি বেছে নেবেন আদর্শ চ্যুতি- প্রকল্প 4।
বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য
আসুন বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি।
সম্পত্তি 1.একটি ধ্রুবক মানের প্রকরণ শূন্য:
সম্পত্তি 2।ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে বর্গ করে বিচ্ছুরণ চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:
.
সম্পত্তি 3.একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ এই মানের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশার সমান, যেখান থেকে মানের গাণিতিক প্রত্যাশার বর্গটি বিয়োগ করা হয়:
,
কোথায় 
.
সম্পত্তি 4.এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের (পার্থক্য) পার্থক্য তাদের প্রকরণের যোগফলের (পার্থক্য) সমান:
উদাহরণ 7।এটি একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যে পরিচিত এক্সশুধুমাত্র দুটি মান লাগে: −3 এবং 7। উপরন্তু, গাণিতিক প্রত্যাশা জানা যায়: ই(এক্স) = 4। একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের প্রকরণ খুঁজুন।
সমাধান। আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক পিসম্ভাব্যতা যার সাথে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি মান নেয় এক্স1 = −3 . তারপর মানের সম্ভাবনা এক্স2 = 7 1 − হবে পি. আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার সমীকরণটি বের করি:
ই(এক্স) = এক্স 1 পি + এক্স 2 (1 − পি) = −3পি + 7(1 − পি) = 4 ,
যেখানে আমরা সম্ভাব্যতা পাই: পি= 0.3 এবং 1 − পি = 0,7 .
এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন:
| এক্স | −3 | 7 |
| পি | 0,3 | 0,7 |
আমরা বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য 3 থেকে সূত্র ব্যবহার করে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ গণনা করি:
ডি(এক্স) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা নিজেই খুঁজুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন
উদাহরণ 8।বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সমাত্র দুটি মান লাগে। এটি সম্ভাব্যতা 0.4 সহ 3 এর বড় মান গ্রহণ করে। এছাড়াও, র্যান্ডম চলকের বৈচিত্র্য জানা যায় ডি(এক্স) = 6। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজুন।
উদাহরণ 9।মূর্তিটিতে 6টি সাদা এবং 4টি কালো বল রয়েছে। কলস থেকে 3টি বল টানা হয়। টানা বলের মধ্যে সাদা বলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স. এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।
সমাধান। এলোমেলো মান এক্স 0, 1, 2, 3 মান নিতে পারে। সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতাগুলি থেকে গণনা করা যেতে পারে সম্ভাব্যতা গুণনের নিয়ম. এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টন আইন:
| এক্স | 0 | 1 | 2 | 3 |
| পি | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
তাই এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা:
এম(এক্স) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
একটি প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পার্থক্য হল:
ডি(এক্স) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের প্রত্যাশা এবং প্রকরণ
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশার যান্ত্রিক ব্যাখ্যা একই অর্থ ধরে রাখবে: ঘনত্ব সহ x-অক্ষের উপর অবিচ্ছিন্নভাবে বিতরণ করা একক ভরের ভরের কেন্দ্র। চ(এক্স) একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে ভিন্ন, যার ফাংশন আর্গুমেন্ট এক্সiএকটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য আকস্মিকভাবে পরিবর্তন হয়, যুক্তি ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়। কিন্তু একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা তার গড় মানের সাথেও সম্পর্কিত।
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজে পেতে, আপনাকে নির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করতে হবে . যদি একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের ঘনত্ব ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটি সরাসরি ইন্টিগ্র্যান্ডে প্রবেশ করে। যদি একটি সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশন দেওয়া হয়, তাহলে এটিকে আলাদা করে, আপনাকে ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজে বের করতে হবে।
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের সমস্ত সম্ভাব্য মানের গাণিতিক গড়কে এর বলা হয় গাণিতিক প্রত্যাশা, বা দ্বারা চিহ্নিত।
সমাধান।
এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানগুলির বিচ্ছুরণের পরিমাপ হিসাবে, আমরা ব্যবহার করি বিচ্ছুরণ
বিচ্ছুরণ (বিচ্ছুরণ শব্দের অর্থ "বিচ্ছুরণ") হল এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানের বিচ্ছুরণের পরিমাপএর গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত। বিচ্ছুরণ হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা
যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি অসীম কিন্তু গণনাযোগ্য মানের সেটের সাথে বিচ্ছিন্ন হয়, তাহলে
যদি সমতার ডান দিকের সিরিজটি একত্রিত হয়।
বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য।
- 1. একটি ধ্রুবক মানের প্রকরণ শূন্য
- 2. এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রকরণ প্রকরণের যোগফলের সমান
- 3. বর্গীয় বিচ্ছুরণের চিহ্ন থেকে ধ্রুবক গুণনীয়ক বের করা যেতে পারে
এলোমেলো ভেরিয়েবলের পার্থক্যের প্রকরণ প্রকরণের যোগফলের সমান
এই সম্পত্তি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বৈশিষ্ট্য একটি ফলাফল. বৈচিত্র শুধুমাত্র যোগ করতে পারেন.
বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সহজেই প্রাপ্ত করা যেতে পারে এমন একটি সূত্র ব্যবহার করে বিচ্ছুরণ গণনা করা সুবিধাজনক
পার্থক্য সবসময় ইতিবাচক.
পার্থক্য আছে মাত্রার্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গাকার মাত্রা, যা সবসময় সুবিধাজনক নয়। অতএব, পরিমাণ
আদর্শ চ্যুতিএকটি এলোমেলো চলকের (প্রমিত বিচ্যুতি বা মান) হল তার প্রকরণের বর্গমূলের গাণিতিক মান
2 এবং 5 রুবেল মূল্যের দুটি কয়েন নিক্ষেপ করুন। যদি মুদ্রাটি অস্ত্রের কোট হিসাবে অবতরণ করে, তাহলে শূন্য পয়েন্ট দেওয়া হবে, এবং যদি এটি একটি সংখ্যা হিসাবে অবতরণ করে, তাহলে মুদ্রার মূল্যের সমান পয়েন্টের সংখ্যা। বিন্দু সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।
সমাধান।আসুন প্রথমে এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর বিন্দুর সংখ্যা খুঁজে বের করি। সমস্ত সমন্বয় - (2;5), (2;0), (0;5), (0;0) - সমানভাবে সম্ভাব্য এবং বন্টন আইন হল:
প্রত্যাশিত মান:
আমরা সূত্র ব্যবহার করে ভিন্নতা খুঁজে পাই
কেন আমরা গণনা করি
উদাহরণ 2।
অজানা সম্ভাবনা খুঁজুন আর, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের বৈচিত্র্য, দেওয়া টেবিলসম্ভাব্যতা বিতরণ
আমরা গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র খুঁজে পাই:
এম(এক্স) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8
বিচ্ছুরণ গণনা করতে, আমরা সূত্র ব্যবহার করি (19.4)
ডি(এক্স) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -
উদাহরণ 3.দুটি সমান শক্তিশালী ক্রীড়াবিদ একটি টুর্নামেন্ট ধারণ করে যা হয় তাদের একটির প্রথম জয় না হওয়া পর্যন্ত বা পাঁচটি খেলা না হওয়া পর্যন্ত স্থায়ী হয়। ক্রীড়াবিদদের প্রত্যেকের জন্য একটি খেলা জেতার সম্ভাবনা 0.3, এবং ড্র হওয়ার সম্ভাবনা 0.4৷ বন্টন আইন, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং খেলার সংখ্যার বিচ্ছুরণ খুঁজুন।
সমাধান।এলোমেলো মান এক্স- খেলা গেমের সংখ্যা, 1 থেকে 5 পর্যন্ত মান নেয়, যেমন
ম্যাচ শেষ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করা যাক। তাদের একজন অ্যাথলেট জিতলে ম্যাচটি প্রথম সেটেই শেষ হবে। জেতার সম্ভাবনা রয়েছে
আর(1) = 0,3+0,3 =0,6.
যদি ড্র হয় (ড্র হওয়ার সম্ভাবনা 1 - 0.6 = 0.4), তাহলে ম্যাচ চলতে থাকে। প্রথমটি ড্র হলে এবং কেউ দ্বিতীয়টি জিতলে ম্যাচটি দ্বিতীয় খেলায় শেষ হবে। সম্ভাবনা
আর(2) = 0,4 0,6=0,24.
একইভাবে, ম্যাচটি তৃতীয় গেমে শেষ হবে যদি পরপর দুটি ড্র হয় এবং আবার কেউ জিতে যায়
আর(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. আর(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.
পঞ্চম খেলা যে কোনো সংস্করণে শেষ।
আর(5)= 1 - (আর(1)+আর(2)+আর(3)+আর(4)) = 0,0256.
সবকিছু একটা টেবিলে রাখি। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন আইন "জিতেছে গেমের সংখ্যা" ফর্ম আছে
প্রত্যাশিত মান
আমরা সূত্র ব্যবহার করে প্রকরণ গণনা করি (19.4)
স্ট্যান্ডার্ড বিচ্ছিন্ন বিতরণ।
দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন.বার্নউলির পরীক্ষামূলক স্কিমটি বাস্তবায়িত হোক: nঅভিন্ন স্বাধীন পরীক্ষা, যার প্রতিটি ঘটনা কধ্রুব সম্ভাবনা সঙ্গে প্রদর্শিত হতে পারে পিএবং সম্ভাবনা সঙ্গে প্রদর্শিত হবে না
(বক্তৃতা 18 দেখুন)।
ঘটনা সংঘটন সংখ্যা কএগুলোর মধ্যে nপরীক্ষা একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল আছে এক্স, যার সম্ভাব্য মানগুলি হল:
0; 1; 2; ... ;মি; ... ; n
উপস্থিতির সম্ভাবনা মিএকটি নির্দিষ্ট সিরিজের ঘটনা A nএই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে পরীক্ষা এবং বন্টন আইনটি বার্নোলি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে (বক্তৃতা 18 দেখুন)
 |
এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য এক্সদ্বিপদ আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়:
যদি n is great (), তারপর, যখন, সূত্র (19.6) সূত্রে যায়
এবং সারণীযুক্ত গাউসিয়ান ফাংশন (গাউসিয়ান ফাংশনের মানের সারণী বক্তৃতা 18 এর শেষে দেওয়া হয়েছে)।
অনুশীলনে, প্রায়শই এটি হওয়ার সম্ভাবনা গুরুত্বপূর্ণ নয় মিঘটনা কথেকে একটি নির্দিষ্ট সিরিজে nপরীক্ষা, এবং সম্ভাবনা যে ঘটনা ককোন কম প্রদর্শিত হবে না
বার এবং সময়ের চেয়ে বেশি নয়, অর্থাৎ X মান গ্রহণ করে এমন সম্ভাবনা
এটি করার জন্য, আমাদের সম্ভাব্যতাগুলি যোগ করতে হবে
যদি nমহান (), তারপর, যখন, সূত্র (19.9) একটি আনুমানিক সূত্রে পরিণত হয়
সারণীকৃত ফাংশন। টেবিলগুলি লেকচার 18 এর শেষে দেওয়া হয়।
টেবিল ব্যবহার করার সময়, এটি অ্যাকাউন্টে নেওয়া প্রয়োজন
উদাহরণ 1. একটি চৌরাস্তার কাছে আসা একটি গাড়ি তিনটি রাস্তার যেকোনো একটি বরাবর চলতে পারে: A, B বা C সমান সম্ভাবনা সহ। মোড়ের কাছে পাঁচটি গাড়ি। A রোডে যাতায়াতকারী গাড়ির গড় সংখ্যা এবং B রোডে তিনটি গাড়ি যাতায়াত করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।
সমাধান।প্রতিটি রাস্তায় গাড়ির সংখ্যা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যদি আমরা ধরে নিই যে ছেদটির কাছে আসা সমস্ত গাড়ি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে ভ্রমণ করে, তবে এই এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি দ্বিপদী আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়
n= 5 এবং পি = .
সুতরাং, রাস্তা A অনুসরণ করবে এমন গাড়ির গড় সংখ্যা সূত্র অনুসারে (19.7)
এবং কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা এ
উদাহরণ 2।প্রতিটি পরীক্ষার সময় ডিভাইস ব্যর্থতার সম্ভাবনা 0.1। ডিভাইসের 60 টি পরীক্ষা করা হয়। একটি ডিভাইস ব্যর্থতা ঘটবে সম্ভাব্যতা কি: ক) 15 বার; খ) 15 বারের বেশি নয়?
ক.যেহেতু পরীক্ষার সংখ্যা 60, আমরা সূত্র ব্যবহার করি (19.8)
পরিশিষ্টের সারণী 1 অনুযায়ী আমরা 18 নম্বর বক্তৃতা পাই
খ. আমরা সূত্র ব্যবহার করি (19.10)।
পরিশিষ্টের টেবিল 2 অনুযায়ী লেকচার 18
- - 0,495
- 0,49995
বিষ বিতরণ) বিরল ঘটনার আইন)।যদি nবড় এবং আরসামান্য (), এবং পণ্য ইত্যাদিএকটি ধ্রুবক মান ধরে রাখে, যা আমরা l দ্বারা চিহ্নিত করি,
তারপর সূত্র (19.6) Poisson এর সূত্রে পরিণত হয়
পয়সন বন্টন আইনের ফর্ম আছে:
স্পষ্টতই, পয়সনের সূত্রের সংজ্ঞা সঠিক, কারণ একটি বিতরণ সিরিজের প্রধান সম্পত্তি
সম্পন্ন, কারণ সিরিজের যোগফল
এ ফাংশনের সিরিজ সম্প্রসারণ
উপপাদ্য। পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য মিলে যায় এবং এই আইনের প্যারামিটারের সমান, যেমন
প্রমাণ।
উদাহরণ।বাজারে তার পণ্য প্রচার করার জন্য, কোম্পানি ফ্লায়ারগুলিকে মেলবক্সে রাখে। পূর্ববর্তী অভিজ্ঞতা দেখায় যে 2,000 টির মধ্যে প্রায় একটি ক্ষেত্রে একটি আদেশ অনুসরণ করা হয়। 10,000টি বিজ্ঞাপন দেওয়ার সময়, কমপক্ষে একটি অর্ডার আসবে, প্রাপ্ত অর্ডারের গড় সংখ্যা এবং প্রাপ্ত অর্ডারের সংখ্যার পার্থক্য খুঁজে বের করুন।
সমাধান. এখানে
অন্তত একটি অর্ডার আসার সম্ভাবনা সম্ভাব্যতার মাধ্যমে পাওয়া যাবে বিপরীত ঘটনা, অর্থাৎ
ঘটনার এলোমেলো প্রবাহ।ঘটনার একটি প্রবাহ হল ঘটনাগুলির একটি ক্রম যা ঘটে এলোমেলো মুহূর্তসময় সাধারণ উদাহরণপ্রবাহ হল কম্পিউটার নেটওয়ার্কে ব্যর্থতা, টেলিফোন এক্সচেঞ্জে কল, সরঞ্জাম মেরামতের জন্য অনুরোধের প্রবাহ ইত্যাদি।
প্রবাহঘটনা বলা হয় নিশ্চল, যদি নির্দিষ্ট সংখ্যক ইভেন্টের দৈর্ঘ্যের একটি সময়ের ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা শুধুমাত্র ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে এবং সময় অক্ষের সময় ব্যবধানের অবস্থানের উপর নির্ভর করে না।
স্থির অবস্থা অনুরোধের প্রবাহ দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, যার সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যগুলি সময়ের উপর নির্ভর করে না। বিশেষ করে, একটি স্থির প্রবাহ একটি ধ্রুবক ঘনত্ব (সময়ের একক প্রতি অনুরোধের গড় সংখ্যা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অনুশীলনে, প্রায়ই অনুরোধের প্রবাহ থাকে যা (অন্তত একটি সীমিত সময়ের জন্য) স্থির বলে বিবেচিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 12 থেকে 13 ঘন্টা সময়ের মধ্যে একটি শহরের টেলিফোন এক্সচেঞ্জে কলের প্রবাহকে ল্যান্ডলাইন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সারাদিন ধরে একই প্রবাহকে আর স্থির বলে বিবেচনা করা যায় না (রাতে কলের ঘনত্ব দিনের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম)।
প্রবাহঘটনাকে স্ট্রীম বলা হয় কোন প্রভাব ছাড়া, যদি কোনো নন-ওভারল্যাপিং সময়কালের জন্য তাদের একটিতে ঘটতে থাকা ইভেন্টের সংখ্যা অন্যের উপর পড়ে ইভেন্টের সংখ্যার উপর নির্ভর করে না।
আফটারফেক্টের অনুপস্থিতির শর্ত - সহজ প্রবাহের জন্য সবচেয়ে প্রয়োজনীয় - এর মানে হল যে অ্যাপ্লিকেশনগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে সিস্টেমে প্রবেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মেট্রো স্টেশনে প্রবেশকারী যাত্রীদের প্রবাহকে পরবর্তী প্রভাব ছাড়াই একটি প্রবাহ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে কারণ যে কারণগুলি একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে একজন পৃথক যাত্রীর আগমনকে নির্ধারণ করে এবং অন্যটি নয়, একটি নিয়ম হিসাবে, অন্যান্য যাত্রীদের অনুরূপ কারণগুলির সাথে সম্পর্কিত নয়। . যাইহোক, এই ধরনের নির্ভরশীলতার উপস্থিতির কারণে কোনও প্রভাবের শর্ত সহজেই লঙ্ঘন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মেট্রো স্টেশন ছেড়ে যাওয়া যাত্রীদের প্রবাহকে আর প্রভাব ছাড়াই প্রবাহ হিসাবে বিবেচনা করা যায় না, যেহেতু একই ট্রেনে আগত যাত্রীদের প্রস্থান মুহুর্তগুলি একে অপরের উপর নির্ভরশীল।
প্রবাহঘটনা বলা হয় সাধারণ, যদি অল্প সময়ের ব্যবধানে দুই বা ততোধিক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা t একটি ঘটনার সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য হয় (এ বিষয়ে, পয়সনের আইনকে বিরল ঘটনার সূত্র বলা হয়)।
অর্ডিনারিনেস কন্ডিশনের মানে হল যে অর্ডারগুলি এককভাবে আসে, জোড়ায় নয়, ট্রিপলেট ইত্যাদি। প্রকরণ বিচ্যুতি বার্নোলি বন্টন
উদাহরণস্বরূপ, হেয়ারড্রেসিং সেলুনে প্রবেশকারী গ্রাহকদের প্রবাহকে প্রায় সাধারণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। যদি একটি অসাধারণ প্রবাহে অ্যাপ্লিকেশনগুলি শুধুমাত্র জোড়ায়, শুধুমাত্র ত্রিপলে ইত্যাদিতে আসে, তাহলে অসাধারণ প্রবাহটি সহজেই একটি সাধারণের মধ্যে হ্রাস করা যেতে পারে; এটি করার জন্য, পৃথক অনুরোধের একটি প্রবাহের পরিবর্তে জোড়া, ট্রিপলেট ইত্যাদির একটি স্ট্রিম বিবেচনা করা যথেষ্ট যদি প্রতিটি অনুরোধ এলোমেলোভাবে দ্বিগুণ, ট্রিপল ইত্যাদি হতে পারে একজাতীয় নয়, ভিন্ন ভিন্ন ঘটনার একটি প্রবাহের সাথে মোকাবিলা করুন।
যদি ঘটনার একটি প্রবাহের তিনটি বৈশিষ্ট্য থাকে (অর্থাৎ, স্থির, সাধারণ, এবং এর কোন প্রভাব নেই), তবে এটিকে একটি সাধারণ (বা স্থির পয়সন) স্ট্রিম বলা হয়। "পয়সন" নামটি এই কারণে যে তালিকাভুক্ত শর্তগুলি পূরণ করা হলে, যে কোনও নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে ঘটে যাওয়া ইভেন্টের সংখ্যা বিতরণ করা হবে। পয়সনের আইন
এখানে ইভেন্টের গড় সংখ্যা ক, সময় প্রতি একক প্রদর্শিত.
এই আইন এক-প্যারামিটার, i.e. এটি সেট করতে, আপনাকে শুধুমাত্র একটি প্যারামিটার জানতে হবে। এটি দেখানো যেতে পারে যে পয়সনের আইনে প্রত্যাশা এবং পার্থক্য সংখ্যাগতভাবে সমান:
উদাহরণ. ধরা যাক যে কর্মদিবসের মাঝামাঝি সময়ে অনুরোধের গড় সংখ্যা প্রতি সেকেন্ডে 2। 1) একটি সেকেন্ডের মধ্যে কোন আবেদন গ্রহণ করা হবে না, 2) 10টি আবেদন দুই সেকেন্ডের মধ্যে আসার সম্ভাবনা কত?
সমাধান।যেহেতু পয়সনের আইনের প্রয়োগের বৈধতা সন্দেহের বাইরে এবং এর প্যারামিটার দেওয়া হয়েছে (= 2), তাই সমস্যার সমাধান পয়সনের সূত্র প্রয়োগে হ্রাস করা হয়েছে (19.11)
1) t = 1, মি = 0:
2) t = 2, মি = 10:
আইন বড় সংখ্যা. কিছু ধ্রুবক মানের চারপাশে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ক্লাস্টারের মানগুলি বড় সংখ্যার আইনের গাণিতিক ভিত্তি।
ঐতিহাসিকভাবে, বৃহৎ সংখ্যার আইনের প্রথম প্রণয়নটি ছিল বার্নোলির উপপাদ্য:
"অভিন্ন এবং স্বাধীন পরীক্ষার সংখ্যা সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে, ঘটনা A এর সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি সম্ভাব্যতার সাথে তার সম্ভাব্যতার সাথে একত্রিত হয়," অর্থাৎ
n পরীক্ষায় ঘটনা A এর সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি কোথায়,
সারমর্মে, অভিব্যক্তি (19.10) এর অর্থ হল বিপুল সংখ্যক পরীক্ষা-নিরীক্ষার মাধ্যমে ঘটনার সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি কএই ইভেন্টের অজানা সম্ভাবনা প্রতিস্থাপন করতে পারে, এবং যত বেশি পরীক্ষা-নিরীক্ষা করা হবে, p* এর কাছাকাছি তত বেশি। মজাদার ঐতিহাসিক সত্য. কে. পিয়ারসন একটি মুদ্রা 12,000 বার ছুঁড়েছেন এবং তার কোট অফ আর্মস 6,019 বার এসেছে (ফ্রিকোয়েন্সি 0.5016)। একই মুদ্রা 24,000 বার নিক্ষেপ করার সময়, তিনি 12,012টি অস্ত্র পেয়েছেন, অর্থাৎ ফ্রিকোয়েন্সি 0.5005।
বৃহৎ সংখ্যার আইনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ রূপ হল চেবিশেভের উপপাদ্য: সসীম বৈচিত্র্য সহ স্বাধীন পরীক্ষার সংখ্যা সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে এবং অভিন্ন অবস্থার অধীনে পরিচালিত হয়, এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পর্যবেক্ষিত মানের গাণিতিক গড় তার গাণিতিক প্রত্যাশার সম্ভাব্যতার সাথে একত্রিত হয়. বিশ্লেষণাত্মক আকারে, এই উপপাদ্যটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
এর মৌলিক তাত্ত্বিক তাত্পর্য ছাড়াও, চেবিশেভের উপপাদ্যেরও গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, পরিমাপ তত্ত্বে। একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ n পরিমাপ নেওয়ার পরে এক্স, বিভিন্ন অ-মেলা মান পান এক্স 1, এক্স 2, ..., xn. পরিমাপ করা পরিমাণের আনুমানিক মানের জন্য এক্সপর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড় নিন
যার মধ্যে, যত বেশি পরীক্ষা করা হবে, ফলাফল তত বেশি নির্ভুল হবে।আসল বিষয়টি হ'ল সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে পরিমাণের বিচ্ছুরণ হ্রাস পায়, কারণ
ডি(এক্স 1) = ডি(এক্স 2)=…= ডি(xn) ডি(এক্স), যে
সম্পর্ক (19.13) দেখায় যে পরিমাপের যন্ত্রের উচ্চ ভুল (বড় মান) সহও, পরিমাপের সংখ্যা বৃদ্ধি করে, নির্বিচারে উচ্চ নির্ভুলতার সাথে ফলাফল পাওয়া সম্ভব।
সূত্র (19.10) ব্যবহার করে আপনি সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে পারেন যে পরিসংখ্যানগত ফ্রিকোয়েন্সি সম্ভাব্যতা থেকে বিচ্যুত হয়
উদাহরণ।প্রতিটি ট্রায়ালে একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা 0.4। একটি ইভেন্টের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি 0.01-এর কম পরম মানের সম্ভাব্যতা থেকে বিচ্যুত হওয়ার সম্ভাবনা 0.8-এর কম নয় এমন আশা করার জন্য আপনাকে কতগুলি পরীক্ষা করতে হবে?
সমাধান।সূত্র অনুযায়ী (19.14)
সুতরাং, টেবিল অনুযায়ী দুটি অ্যাপ্লিকেশন আছে
তাই, n 3932.
পূর্ববর্তীটিতে, আমরা বেশ কয়েকটি সূত্র উপস্থাপন করেছি যা আমাদের ফাংশনের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করার অনুমতি দেয় যখন আর্গুমেন্টের বন্টনের আইন জানা যায়। যাইহোক, অনেক ক্ষেত্রে, ফাংশনের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করার জন্য, আর্গুমেন্টের বন্টনের নিয়মগুলিও জানার প্রয়োজন হয় না, তবে শুধুমাত্র তাদের কিছু সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি জানা যথেষ্ট; একই সময়ে, আমরা সাধারণত বিতরণের কোনো আইন ছাড়াই করি। আর্গুমেন্টের প্রদত্ত সাংখ্যিক বৈশিষ্ট্য থেকে ফাংশনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করা সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং এটি বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করতে পারে। এই সরলীকৃত পদ্ধতিগুলির বেশিরভাগই রৈখিক ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত; যাইহোক, কিছু প্রাথমিক ননলাইনার ফাংশনও একই পদ্ধতির অনুমতি দেয়।
বর্তমানে আমরা ফাংশনের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের উপর অনেকগুলি উপপাদ্য উপস্থাপন করব, যেগুলি একসাথে এই বৈশিষ্ট্যগুলি গণনা করার জন্য একটি খুব সাধারণ যন্ত্রের প্রতিনিধিত্ব করে, যা বিস্তৃত পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য।
1. একটি নন-এলোমেলো মানের গাণিতিক প্রত্যাশা
প্রণয়ন সম্পত্তি বেশ সুস্পষ্ট; এটি একটি নন-এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে একটি বিশেষ ধরণের র্যান্ডম হিসাবে বিবেচনা করে প্রমাণ করা যেতে পারে, একটি সহ সম্ভাব্য অর্থসম্ভাবনা এক সঙ্গে; তারপর গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য সাধারণ সূত্র অনুযায়ী:
.
2. একটি নন-এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ
যদি একটি অ র্যান্ডম মান হয়, তারপর
3. গাণিতিক প্রত্যাশার চিহ্নের জন্য একটি নন-এলোমেলো মান প্রতিস্থাপন করা
, (10.2.1)
অর্থাৎ, একটি নন-এলোমেলো মানকে গাণিতিক প্রত্যাশার চিহ্ন হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।
প্রমাণ।
ক) অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য
খ) ক্রমাগত পরিমাণের জন্য
.
4. বিচ্ছুরণ এবং মানক বিচ্যুতির চিহ্ন থেকে একটি অ-এলোমেলো মান গ্রহণ করা
যদি একটি নন-এলোমেলো পরিমাণ হয় এবং র্যান্ডম হয়, তাহলে
, (10.2.2)
অর্থাৎ, একটি নন-এলোমেলো মানকে বর্গ করে বিচ্ছুরণের চিহ্ন থেকে বের করে নেওয়া যেতে পারে।
প্রমাণ। বৈচিত্র্যের সংজ্ঞা অনুসারে
পরিণতি
,
অর্থাত্, একটি নন-এলোমেলো মান তার আদর্শ বিচ্যুতির চিহ্নের বাইরে নেওয়া যেতে পারে পরম মান. আমরা সূত্র (10.2.2) থেকে বর্গমূল গ্রহণ করে এবং r.s.o. বিবেচনা করে প্রমাণ পাই। - একটি উল্লেখযোগ্যভাবে ইতিবাচক মান।
5. এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা
আসুন প্রমাণ করি যে কোন দুটি র্যান্ডম চলকের জন্য এবং
অর্থাৎ, দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।
এই বৈশিষ্ট্যটি গাণিতিক প্রত্যাশার যোগ উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।
প্রমাণ।
ক) বিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের একটি সিস্টেম হতে দিন। এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য প্রয়োগ করুন সাধারণ সূত্র(10.1.6) দুটি আর্গুমেন্টের একটি ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য:
.
Ho মোট সম্ভাব্যতা ছাড়া আর কিছুই উপস্থাপন করে না যে পরিমাণটি মানটি নেবে:
;
তাই,
.
আমরা একইভাবে প্রমাণ করব
,
এবং উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
খ) ক্রমাগত এলোমেলো চলকের একটি সিস্টেম হতে দিন। সূত্র অনুযায়ী (10.1.7)
. (10.2.4)
চলুন আমরা পূর্ণাঙ্গের প্রথমটি রূপান্তর করি (10.2.4):
;
একইভাবে
,
এবং উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
এটা বিশেষভাবে উল্লেখ করা উচিত যে গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ করার উপপাদ্য যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈধ - উভয় নির্ভরশীল এবং স্বাধীন।
গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ করার জন্য উপপাদ্য একটি নির্বিচারে সংখ্যক পদে সাধারণীকরণ করা হয়:
, (10.2.5)
অর্থাৎ, বেশ কয়েকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।
এটি প্রমাণ করার জন্য, সম্পূর্ণ আনয়নের পদ্ধতি ব্যবহার করা যথেষ্ট।
6. গাণিতিক প্রত্যাশা রৈখিক ফাংশন
বেশ কয়েকটি র্যান্ডম আর্গুমেন্টের একটি লিনিয়ার ফাংশন বিবেচনা করুন:
যেখানে নন-এলোমেলো সহগ। আসুন প্রমাণ করি
, (10.2.6)
অর্থাৎ একটি রৈখিক ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশা আর্গুমেন্টের গাণিতিক প্রত্যাশার একই রৈখিক ফাংশনের সমান।
প্রমাণ। m.o এর যোগ উপপাদ্য ব্যবহার করে এবং m.o. চিহ্নের বাইরে একটি নন-এলোমেলো পরিমাণ রাখার নিয়ম, আমরা পাই:
.
7. ডিস্পepর্যান্ডম ভেরিয়েবলের এই যোগফল
দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রকরণ তাদের প্রকরণের যোগফলের সাথে দ্বিগুণ পারস্পরিক সম্পর্ক মুহুর্তের সমান:
প্রমাণ। এর উল্লেখ করা যাক
গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ উপপাদ্য অনুযায়ী
চলুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল থেকে সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীভূত ভেরিয়েবলে যাওয়া যাক। সমতা (10.2.8) থেকে সমতা (10.2.9) শব্দটি বিয়োগ করে, আমাদের আছে:
বৈচিত্র্যের সংজ্ঞা অনুসারে
Q.E.D.
যোগফলের ভিন্নতার জন্য সূত্র (10.2.7) যেকোনো সংখ্যক পদে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে:
,
(10.2.10)
রাশিগুলির পারস্পরিক সম্পর্ক কোথায়, যোগফলের নীচে চিহ্নের অর্থ হল যোগফল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য জোড়াওয়াইজ সমন্বয়ে প্রসারিত 
.
প্রমাণটি আগেরটির অনুরূপ এবং বহুপদীর বর্গক্ষেত্রের সূত্র থেকে অনুসরণ করে।
সূত্র (10.2.10) অন্য আকারে লেখা যেতে পারে:
, (10.2.11)
যেখানে দ্বিগুণ যোগফল পরিমাণের সিস্টেমের পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদানগুলিতে প্রসারিত হয় , উভয় পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত এবং ভিন্নতা রয়েছে।
যদি সব র্যান্ডম ভেরিয়েবল , সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত, সম্পর্কহীন (অর্থাৎ, কখন ), সূত্র (10.2.10) ফর্মটি নেয়:
, (10.2.12)
অর্থাৎ, অসংলগ্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের প্রকরণ পদগুলির প্রকরণের যোগফলের সমান।
এই অবস্থানটি ভিন্নতার যোগ উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।
8. একটি রৈখিক ফাংশনের পার্থক্য
আসুন বেশ কয়েকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি লিনিয়ার ফাংশন বিবেচনা করি।
যেখানে অ র্যান্ডম পরিমাণ আছে.
আসুন প্রমাণ করি যে এই রৈখিক ফাংশনের বিচ্ছুরণ সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়
, (10.2.13)
পরিমাণের পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্ত কোথায়, .
প্রমাণ। আসুন স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক:
. (10.2.14)
রাশির রাশির (10.2.14) ডানদিকে যোগফলের বিচ্ছুরণের জন্য সূত্র (10.2.10) প্রয়োগ করা এবং যেটি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:
পরিমাণের পারস্পরিক সম্পর্ক কোথায়:
.
আসুন এই মুহূর্তটি গণনা করা যাক। আমাদের আছে:
;
একইভাবে
এই অভিব্যক্তিটিকে (10.2.15) এ প্রতিস্থাপন করে, আমরা সূত্রে (10.2.13) পৌঁছেছি।
বিশেষ ক্ষেত্রে যখন সব পরিমাণ সম্পর্কহীন, সূত্র (10.2.13) রূপ নেয়:
, (10.2.16)
অর্থাৎ, অসংলগ্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক ফাংশনের প্রকরণ সহগগুলির বর্গের গুণফলের যোগফল এবং সংশ্লিষ্ট আর্গুমেন্টের প্রকরণের সমান।
9. এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা
দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সাথে পারস্পরিক সম্পর্ক মুহুর্তের সমান:
প্রমাণ। আমরা পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্তের সংজ্ঞা থেকে এগিয়ে যাব:
আসুন গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এই অভিব্যক্তিটিকে রূপান্তর করি:
যা স্পষ্টতই সূত্রের সমতুল্য (10.2.17)।
যদি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি অসম্পর্কিত না হয়, তাহলে সূত্র (10.2.17) ফর্মটি গ্রহণ করে:
অর্থাৎ, দুটি অসংলগ্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান।
এই অবস্থানটি গাণিতিক প্রত্যাশার গুণনের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত।
সূত্র (10.2.17) দ্বিতীয় মিশ্র প্রাথমিক মুহূর্ত এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মাধ্যমে সিস্টেমের দ্বিতীয় মিশ্র কেন্দ্রীয় মুহূর্তের একটি অভিব্যক্তি ছাড়া আর কিছুই নয়:
. (10.2.19)
এই অভিব্যক্তিটি প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয় যখন পারস্পরিক সম্পর্ক মুহূর্তটি একইভাবে গণনা করা হয় যেভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রকরণটি প্রায়শই দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্ত এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মাধ্যমে গণনা করা হয়।
গাণিতিক প্রত্যাশার গুণনের উপপাদ্যটি একটি নির্বিচারে সংখ্যার ফ্যাক্টরগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়, শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে, এটির প্রয়োগের জন্য, এটি যথেষ্ট নয় যে পরিমাণগুলি অসম্পর্কিত নয়, তবে কিছু উচ্চতর মিশ্র মুহূর্ত প্রয়োজন, যার সংখ্যা নির্ভর করে পণ্যের পদ সংখ্যার উপর, অদৃশ্য হয়ে যায়। পণ্যের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন হলে এই শর্তগুলি অবশ্যই সন্তুষ্ট। এক্ষেত্রে
, (10.2.20)
অর্থাৎ, স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুণফলের গাণিতিক প্রত্যাশা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার গুণফলের সমান।
এই প্রস্তাব সহজে সম্পূর্ণ আনয়ন দ্বারা প্রমাণ করা যেতে পারে.
10. স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলের গুণফলের ভিন্নতা
আসুন স্বাধীন পরিমাণের জন্য প্রমাণ করি
প্রমাণ। আসুন বোঝাই। বৈচিত্র্যের সংজ্ঞা অনুসারে
যেহেতু পরিমাণ স্বাধীন, এবং
যখন স্বাধীন, পরিমাণগুলিও স্বাধীন হয়; তাই,
,
কিন্তু মাত্রার দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্ত ছাড়া আর কিছুই নেই, এবং তাই, বিচ্ছুরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:
;
একইভাবে
.
এই অভিব্যক্তিগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপিত করে (10.2.22) এবং অনুরূপ পদগুলি এনে আমরা সূত্রে (10.2.21) পৌঁছেছি।
ক্ষেত্রে যখন কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবল (শূন্যের সমান গাণিতিক প্রত্যাশা সহ ভেরিয়েবল) গুণিত হয়, সূত্র (10.2.21) রূপ নেয়:
, (10.2.23)
অর্থাৎ, স্বাধীন কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম চলকের গুণফলের প্রকরণ তাদের বৈচিত্র্যের গুণফলের সমান।
11. এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলের উচ্চতর মুহূর্ত
কিছু ক্ষেত্রে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সর্বোচ্চ মুহূর্ত গণনা করা প্রয়োজন। আসুন কিছু সম্পর্কিত সম্পর্ক প্রমাণ করা যাক।
1) যদি পরিমাণ স্বাধীন হয়, তাহলে
প্রমাণ।
যেখান থেকে, গাণিতিক প্রত্যাশার গুণনের উপপাদ্য অনুসারে
কিন্তু যেকোনো পরিমাণের জন্য প্রথম কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য; দুটি মধ্যবর্তী পদ অদৃশ্য হয়ে যায়, এবং সূত্র (10.2.24) প্রমাণিত হয়।
সম্পর্ক (10.2.24) স্বতন্ত্র পদগুলির একটি নির্বিচারে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে সহজেই সাধারণীকরণ করা হয়:
. (10.2.25)
2) দুটি স্বাধীন এলোমেলো চলকের যোগফলের চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়
পরিমাণের পার্থক্য কোথায় এবং .
প্রমাণটি সম্পূর্ণরূপে আগেরটির মতোই।
সম্পূর্ণ আনয়নের পদ্ধতি ব্যবহার করে, স্বাধীন পদের একটি নির্বিচারে সূত্রের (10.2.26) সাধারণীকরণ প্রমাণ করা সহজ।
