একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণের জন্য বিশেষ গুরুত্ব হল প্রারম্ভিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্ত বলা সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য।
শুরুর মুহূর্ত k-ম আদেশ α k(এক্স) আমার স্নাতকের এক্স k-এই পরিমাণের শক্তি, অর্থাৎ
α k(এক্স) = এম(X k) (6.8)
সূত্র (6.8) কারণে বিভিন্ন জন্য গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা এলোমেলো ভেরিয়েবলএর নিজস্ব ফর্ম আছে, যথা, একটি সীমাবদ্ধ মানের সেট সহ একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য
, (6.10)
কোথায় চ(এক্স) - একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্ব এক্স.
অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্যসূত্রে (6.10) পরিণত হয় নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যএকটি সীমিত ব্যবধানে, যদি একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান শুধুমাত্র এই ব্যবধানে বিদ্যমান থাকে।
পূর্বে প্রবর্তিত সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল প্রত্যাশিত মান- প্রথম অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্ত ছাড়া আর কিছুই নয়, বা, যেমন তারা বলে, প্রথম প্রাথমিক মুহূর্ত:
এম(এক্স) = α 1 (এক্স).
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম চলকের ধারণাটি চালু করা হয়েছিল এইচ.এম(এক্স) যদি এই পরিমাণকে প্রধান হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তবে প্রাথমিক মুহূর্তগুলিও এর জন্য পাওয়া যেতে পারে। মাত্রা নিজেই জন্য এক্সএই মুহূর্তগুলিকে কেন্দ্রীয় বলা হবে।
কেন্দ্রীয় মুহূর্ত k-ম আদেশ μ k(এক্স) আমার স্নাতকের এক্সগাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় kকেন্দ্রীভূত এলোমেলো চলকের -তম শক্তি, যেমন
μ k(এক্স) = এম[(এইচ.এম(এক্স))k] (6.11)
অন্য কথায়, কেন্দ্রীয় বিন্দু k-ম ক্রম হল গাণিতিক প্রত্যাশা kবিচ্যুতির তম ডিগ্রী।
কেন্দ্রীয় মুহূর্ত kএকটি সীমাবদ্ধ মানের সেট সহ একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য তম ক্রমটি সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
, (6.12)
সূত্র ব্যবহার করে একটানা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:
(6.13)
ভবিষ্যতে, যখন আমরা কোন ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কথা বলছি তা পরিষ্কার হয়ে গেলে, আমরা এটিকে প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহুর্তের স্বরলিপিতে লিখব না, অর্থাৎ পরিবর্তে α k(এক্স) এবং μ k(এক্স) আমরা সহজভাবে লিখব α kএবং μ k .
এটা স্পষ্ট যে প্রথম ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান, যেহেতু এটি বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা ছাড়া আর কিছুই নয়, যা পূর্বে প্রমাণিত অনুসারে শূন্যের সমান, অর্থাৎ .
এটা বুঝতে অসুবিধা হয় না যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দ্বিতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এক্সএকই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণের সাথে মিলে যায়, যেমন
এছাড়াও, প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলিকে সংযুক্ত করে নিম্নলিখিত সূত্রগুলি রয়েছে:
সুতরাং, প্রথম এবং দ্বিতীয় আদেশের মুহূর্তগুলি (গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণ) সর্বাধিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যডিস্ট্রিবিউশন: এর অবস্থান এবং মান ছড়িয়ে দেওয়ার ডিগ্রী। আরো বেশী বিস্তারিত বিবরণবিতরণ উচ্চ আদেশ মুহূর্ত হয়. দেখাই যাক।
আসুন আমরা ধরে নিই যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন তার গাণিতিক প্রত্যাশার সাপেক্ষে প্রতিসম। তারপর সমস্ত বিজোড়-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত, যদি তারা বিদ্যমান থাকে, তাহলে শূন্যের সমান। এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে, বন্টনের প্রতিসাম্যের কারণে, পরিমাণের প্রতিটি ধনাত্মক মানের জন্য এক্স − এম(এক্স) এর মাত্রার সমান একটি ঋণাত্মক মান রয়েছে এবং এই মানের সম্ভাব্যতাগুলি সমান। ফলস্বরূপ, সূত্রের যোগফল (6.12) মাত্রায় সমান কিন্তু চিহ্নে ভিন্ন, যা যোগফলের পর একে অপরকে বাতিল করে দেয়। এইভাবে, সমগ্র পরিমাণ, i.e. যেকোনো বিজোড় ক্রম বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল শূন্য। একইভাবে, একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলকের যেকোনো বিজোড় ক্রমের কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান, যেমনটি একটি বিজোড় ফাংশনের প্রতিসম সীমার অবিচ্ছেদ্য।
এটা অনুমান করা স্বাভাবিক যে যদি একটি বিজোড় আদেশের কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে বন্টনটি নিজেই তার গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে প্রতিসম হবে না। অধিকন্তু, কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য থেকে যত বেশি আলাদা হবে, বিতরণে অসাম্যতা তত বেশি হবে। আসুন আমরা ক্ষুদ্রতম বিজোড় ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটিকে অসমতার বৈশিষ্ট্য হিসাবে গ্রহণ করি। যেহেতু কোনো ডিস্ট্রিবিউশন থাকা এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য প্রথম-ক্রমের কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য, তাই এই উদ্দেশ্যে তৃতীয়-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি ব্যবহার করা ভাল। যাইহোক, এই মুহূর্তটির একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের ঘনকের মাত্রা রয়েছে। এই অপূর্ণতা থেকে পরিত্রাণ পেতে এবং একটি মাত্রাবিহীন এলোমেলো চলকের দিকে যেতে, মানক বিচ্যুতির ঘনক দ্বারা কেন্দ্রীয় মুহূর্তের মানকে ভাগ করুন।
অসমতা সহগ ক এস বা সহজভাবে অসমতাস্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের ঘনক্ষেত্রের সাথে তৃতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় মুহুর্তের অনুপাত বলা হয়, যেমন
কখনও কখনও অপ্রতিসমতাকে বলা হয় "তির্যকতা" এবং মনোনীত করা হয় এস kকি থেকে আসে ইংরেজি শব্দতির্যক - "তির্যক"।
যদি অসমত্ব সহগ ঋণাত্মক হয়, তাহলে এর মান নেতিবাচক পদ (বিচ্যুতি) দ্বারা দৃঢ়ভাবে প্রভাবিত হয় এবং বন্টন হবে বাম প্রতিসমতা, এবং বন্টন গ্রাফ (বক্ররেখা) গাণিতিক প্রত্যাশার বাম দিকে চ্যাপ্টা। যদি সহগ ধনাত্মক হয়, তাহলে অসমতা অধিকার, এবং বক্ররেখাটি গাণিতিক প্রত্যাশার ডানদিকে চাটুকার (চিত্র 6.1)।
 |
যেমনটি দেখানো হয়েছে, গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির বিস্তারকে চিহ্নিত করতে, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি ব্যবহার করা হয়, যেমন বিচ্ছুরণ যদি এই মুহূর্তটি খুব গুরুত্বপূর্ণ হয় সংখ্যামান, তারপর এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির একটি বড় বিক্ষিপ্তকরণ রয়েছে এবং সংশ্লিষ্ট বন্টন বক্ররেখার বক্ররেখার তুলনায় একটি চ্যাপ্টার আকৃতি রয়েছে যার জন্য দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্তটির একটি ছোট মান রয়েছে। অতএব, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি কিছু পরিমাণে "ফ্ল্যাট-টপড" বা "শার্প-টপড" ডিস্ট্রিবিউশন কার্ভকে চিহ্নিত করে। যাইহোক, এই বৈশিষ্ট্য খুব সুবিধাজনক নয়। দ্বিতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত মাত্রা আছে বর্গক্ষেত্রের সমানএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রা। যদি আমরা স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের বর্গ দ্বারা মুহূর্ত মানকে ভাগ করে একটি মাত্রাবিহীন পরিমাণ পাওয়ার চেষ্টা করি, তাহলে যেকোনো এলোমেলো চলকের জন্য আমরা পাই: 
. সুতরাং, এই সহগটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের কোন বৈশিষ্ট্য হতে পারে না। এটা সব বন্টন জন্য একই. এই ক্ষেত্রে, চতুর্থ ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত ব্যবহার করা যেতে পারে।
অতিরিক্ত এক সূত্র দ্বারা নির্ধারিত পরিমাণ
(6.15)
কার্টোসিস প্রধানত ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং বণ্টন বক্ররেখার তথাকথিত "স্টিপনেস" বা অন্যথায়, যেমন ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, "ফ্ল্যাট-টপড" বা "শার্প-টপড" ডিস্ট্রিবিউশন বক্ররেখা চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়। রেফারেন্স বন্টন বক্ররেখা হিসাবে বিবেচনা করা হয় স্বাভাবিক বন্টন(এটি পরবর্তী অধ্যায়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে)। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয়, সমতা ধারণ করে। অতএব, সূত্র (6.15) দ্বারা প্রদত্ত কুরটোসিস এই বন্টনটিকে একটি সাধারণের সাথে তুলনা করে, যার জন্য কুরটোসিস শূন্যের সমান।
যদি কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি ধনাত্মক কুরটোসিস পাওয়া যায়, তাহলে এই মানের বন্টন বক্ররেখা স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার চেয়ে বেশি শীর্ষে থাকে। যদি কার্টোসিস নেতিবাচক হয়, তবে বক্ররেখাটি স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার তুলনায় আরও সমতল-শীর্ষ হয় (চিত্র 6.2)।
 |
আসুন এখন বিযুক্ত এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নির্দিষ্ট ধরণের বন্টন আইনের দিকে এগিয়ে যাই।
অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও - গড়, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাধারণ মান - বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়, যার প্রতিটি বন্টনের এক বা অন্য বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। তথাকথিত মুহূর্তগুলি প্রায়শই এই জাতীয় বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়।
ভরের বন্টন (স্থির মুহূর্ত, জড়তার মুহূর্ত, ইত্যাদি) বর্ণনা করতে ক্ষণের ধারণাটি মেকানিক্সে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। ঠিক একই কৌশলগুলি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যবহার করা হয় একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করতে। প্রায়শই, অনুশীলনে দুটি ধরণের মুহূর্ত ব্যবহৃত হয়: প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয়।
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলকের sth ক্রমটির প্রাথমিক মুহূর্তটি ফর্মের একটি সমষ্টি:
. (5.7.1)
স্পষ্টতই, এই সংজ্ঞাটি মেকানিক্সে অর্ডারের প্রাথমিক মুহুর্তের সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়, যদি ভরগুলি বিন্দুতে অ্যাবসিসা অক্ষের উপর কেন্দ্রীভূত হয়।
একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X-এর জন্য, sth ক্রমের প্রাথমিক মুহূর্তটিকে বলা হয় অবিচ্ছেদ্য
. (5.7.2)
এটা দেখা সহজ যে পূর্ববর্তী n°-এ প্রবর্তিত অবস্থানের প্রধান বৈশিষ্ট্য - গাণিতিক প্রত্যাশা - র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রথম প্রাথমিক মুহূর্ত ছাড়া আর কিছুই নয়।
গাণিতিক প্রত্যাশা চিহ্ন ব্যবহার করে, আপনি দুটি সূত্র (5.7.1) এবং (5.7.2) একটিতে একত্রিত করতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে, সূত্রগুলি (5.7.1) এবং (5.7.2) সূত্রগুলি (5.6.1) এবং (5.6.2) গঠনে সম্পূর্ণ অনুরূপ, যথাক্রমে এবং এর পরিবর্তে এবং সেখানে পার্থক্য সহ। অতএব, আমরা তম আদেশের প্রাথমিক মুহুর্তের একটি সাধারণ সংজ্ঞা লিখতে পারি, যা বিচ্ছিন্ন এবং উভয়ের জন্যই বৈধ ক্রমাগত পরিমাণ:
, (5.7.3)
সেগুলো। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তম ক্রমটির প্রাথমিক মুহূর্ত হল এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তম ডিগ্রীর গাণিতিক প্রত্যাশা।
কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সংজ্ঞায়িত করার আগে, আমরা "কেন্দ্রিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল" এর একটি নতুন ধারণা প্রবর্তন করি।
গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন। মানের সাথে সম্পর্কিত একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিচ্যুতি:
ভবিষ্যতে, আমরা শীর্ষে একটি চিহ্ন সহ একই অক্ষর দ্বারা প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে সর্বত্র বোঝাতে সম্মত হব।
এটা যাচাই করা সহজ যে একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্যের সমান। প্রকৃতপক্ষে, একটি অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য
একইভাবে একটি ক্রমাগত পরিমাণের জন্য।
একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে কেন্দ্রীভূত করা স্পষ্টতই স্থানাঙ্কের উৎপত্তিকে মধ্যম, "কেন্দ্রীয়" বিন্দুতে নিয়ে যাওয়ার সমতুল্য, যার অবসিসা গাণিতিক প্রত্যাশার সমান।
কেন্দ্রীভূত এলোমেলো চলকের মুহূর্তগুলিকে কেন্দ্রীয় মোমেন্ট বলে। তারা যান্ত্রিক মধ্যে মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র সম্পর্কে মুহূর্ত অনুরূপ.
সুতরাং, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম s এর কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম চলকের তম শক্তির গাণিতিক প্রত্যাশা:
, (5.7.6)
এবং অবিচ্ছিন্ন জন্য - অবিচ্ছেদ্য দ্বারা
. (5.7.8)
নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে, কোন প্রদত্ত মুহূর্তটি কোন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অন্তর্গত তা নিয়ে কোন সন্দেহ নেই, সংক্ষিপ্ততার জন্য আমরা এবং এর পরিবর্তে সহজভাবে লিখব।
স্পষ্টতই, যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রথম ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান:
, (5.7.9)
যেহেতু একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা সর্বদা শূন্যের সমান।
আসুন আমরা বিভিন্ন আদেশের কেন্দ্রীয় এবং প্রাথমিক মুহূর্তগুলিকে সংযুক্ত করে সম্পর্ক বের করি। আমরা শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য উপসংহারটি সম্পাদন করব; এটা যাচাই করা সহজ যে ঠিক একই সম্পর্কগুলি ক্রমাগত রাশির জন্য বৈধ যদি আমরা সীমিত যোগফলকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং সম্ভাব্যতাকে সম্ভাব্যতার উপাদান দিয়ে।
দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পয়েন্ট বিবেচনা করুন:
একইভাবে তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্তের জন্য আমরা পাই:
ইত্যাদির জন্য অভিব্যক্তি একই ভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
সুতরাং, যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলির জন্য সূত্রগুলি বৈধ:
(5.7.10)
সাধারণভাবে বলতে গেলে, মুহূর্তগুলি কেবলমাত্র উত্স (প্রাথমিক মুহূর্ত) বা গাণিতিক প্রত্যাশা (কেন্দ্রীয় মুহুর্ত) এর সাথে আপেক্ষিক নয়, তবে একটি নির্বিচারে বিন্দুর সাথেও আপেক্ষিক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে:
. (5.7.11)
যাইহোক, কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলির অন্য সকলের চেয়ে একটি সুবিধা রয়েছে: প্রথম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত, যেমনটি আমরা দেখেছি, সর্বদা শূন্যের সমান, এবং পরেরটি, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত, এই রেফারেন্স সিস্টেমের সাথে একটি ন্যূনতম মান রয়েছে। এটা প্রমাণ করা যাক. একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের জন্য, সূত্র (5.7.11) এর ফর্ম রয়েছে:
. (5.7.12)
আসুন এই অভিব্যক্তিটি রূপান্তরিত করি:
স্পষ্টতই, এই মানটি তার সর্বনিম্ন পর্যায়ে পৌঁছায় যখন, অর্থাৎ যখন মুহূর্ত বিন্দু আপেক্ষিক নেওয়া হয়.
সমস্ত মুহুর্তগুলির মধ্যে, প্রথম প্রাথমিক মুহূর্ত (গাণিতিক প্রত্যাশা) এবং দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি প্রায়শই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়।
দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তটিকে এলোমেলো চলকের প্রকরণ বলা হয়। এই বৈশিষ্ট্যটির চরম গুরুত্বের পরিপ্রেক্ষিতে, অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে, আমরা এটির জন্য একটি বিশেষ উপাধি প্রবর্তন করি:
কেন্দ্রীয় মুহূর্তের সংজ্ঞা অনুযায়ী
সেগুলো। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রকরণ হল সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীভূত চলকের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা।
অভিব্যক্তিতে পরিমাণ (5.7.13) এর অভিব্যক্তির সাথে প্রতিস্থাপন করে, আমাদের আরও আছে:
. (5.7.14)
প্রকরণটি সরাসরি গণনা করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করুন:
, (5.7.15)
(5.7.16)
তদনুসারে অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন পরিমাণের জন্য।
একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্ছুরণ বিচ্ছুরণের একটি বৈশিষ্ট্য, এটির গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মানগুলির বিক্ষিপ্তকরণ। "বিচ্ছুরণ" শব্দের অর্থ "বিচ্ছুরণ"।
যদি আমরা বিতরণের যান্ত্রিক ব্যাখ্যার দিকে ফিরে যাই, তবে বিচ্ছুরণটি মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের (গাণিতিক প্রত্যাশা) সাপেক্ষে প্রদত্ত ভর বিতরণের জড়তার মুহূর্ত ছাড়া আর কিছুই নয়।
র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের মাত্রা থাকে; চাক্ষুষভাবে বিচ্ছুরণকে চিহ্নিত করতে, এমন একটি পরিমাণ ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক যার মাত্রা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রার সাথে মিলে যায়। এটি করার জন্য, প্রকরণের বর্গমূল নিন। ফলস্বরূপ মানটিকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (অন্যথায় "মান") বলা হয়। আমরা মানক বিচ্যুতি নির্দেশ করব:
, (5.7.17)
স্বরলিপি সহজ করার জন্য, আমরা প্রায়শই আদর্শ বিচ্যুতি এবং বিচ্ছুরণের জন্য সংক্ষিপ্ত রূপগুলি ব্যবহার করব: এবং। এই বৈশিষ্ট্যগুলি কোন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত তা নিয়ে কোন সন্দেহ না থাকলে, আমরা কখনও কখনও x y এবং চিহ্নটি বাদ দেব এবং সহজভাবে লিখব। শব্দ "স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি" কখনও কখনও সংক্ষেপে r.s.o অক্ষর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হবে।
অনুশীলনে, একটি সূত্র প্রায়শই ব্যবহৃত হয় যা একটি এলোমেলো চলকের বিচ্ছুরণকে তার দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহূর্ত (সূত্রের দ্বিতীয় (5.7.10)) মাধ্যমে প্রকাশ করে। নতুন স্বরলিপিতে এটি দেখতে হবে:
প্রত্যাশা এবং প্রকরণ (বা প্রমিত বিচ্যুতি) হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সর্বাধিক ব্যবহৃত বৈশিষ্ট্য। তারা বিতরণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করে: এর অবস্থান এবং বিক্ষিপ্ততার ডিগ্রি। বিতরণের আরও বিশদ বিবরণের জন্য, উচ্চতর আদেশের মুহূর্তগুলি ব্যবহার করা হয়।
তৃতীয় কেন্দ্রীয় বিন্দুটি বন্টনের অসাম্যতা (বা "তির্যকতা") চিহ্নিত করতে কাজ করে। যদি বন্টনটি গাণিতিক প্রত্যাশার সাপেক্ষে প্রতিসম হয় (অথবা, একটি যান্ত্রিক ব্যাখ্যায়, ভরকে মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে বিতরণ করা হয়), তাহলে সমস্ত বিজোড়-ক্রম মুহূর্ত (যদি তারা বিদ্যমান থাকে) শূন্যের সমান। প্রকৃতপক্ষে, মোট
যখন বণ্টন আইন আইন এবং বিজোড়ের সাপেক্ষে প্রতিসম হয়, তখন প্রতিটি ধনাত্মক পদ একটি সমান একটির সাথে মিলে যায় পরম মানঋণাত্মক শব্দ, তাই পুরো যোগফল শূন্য। একই অবিচ্ছেদ্য জন্য স্পষ্টভাবে সত্য
,
যা একটি বিজোড় ফাংশনের প্রতিসম সীমাতে একটি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে শূন্যের সমান।
তাই, বিজোড় মুহূর্তগুলির মধ্যে একটিকে বণ্টন অসমতার বৈশিষ্ট্য হিসাবে বেছে নেওয়া স্বাভাবিক। এর মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত। এটিতে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের ঘনক্ষেত্রের মাত্রা রয়েছে: একটি মাত্রাহীন বৈশিষ্ট্য পেতে, তৃতীয় মুহূর্তটিকে আদর্শ বিচ্যুতির ঘনক দ্বারা ভাগ করা হয়। ফলস্বরূপ মানটিকে "অসমতা সহগ" বা সহজভাবে "অসমতা" বলা হয়; আমরা এটি চিহ্নিত করব:
চিত্রে। 5.7.1 দুটি অসমিত বন্টন দেখায়; তাদের মধ্যে একটি (বক্ররেখা I) একটি ধনাত্মক প্রতিসমতা (); অন্যটি (বক্ররেখা II) ঋণাত্মক ()।
চতুর্থ কেন্দ্রীয় বিন্দু তথাকথিত "শীতলতা" চিহ্নিত করতে কাজ করে, যেমন চূড়া বা সমতল-শীর্ষ বিতরণ। এই বন্টন বৈশিষ্ট্য তথাকথিত kurtosis ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর kurtosis হল পরিমাণ
সংখ্যা 3 অনুপাত থেকে বিয়োগ করা হয় কারণ খুবই গুরুত্বপূর্ণ এবং ব্যাপক প্রকৃতির স্বাভাবিক বন্টন আইনের জন্য (যা আমরা পরে বিস্তারিতভাবে জানতে পারব)। এইভাবে, একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য কুরটোসিস শূন্য; সাধারন বক্ররেখার তুলনায় যে বক্ররেখাগুলো বেশি চূড়ায় থাকে তাদের ইতিবাচক কার্টোসিস থাকে; যে বক্ররেখাগুলো বেশি সমতল-শীর্ষের তাদের নেতিবাচক কার্টোসিস থাকে।
চিত্রে। 5.7.2 দেখায়: স্বাভাবিক বণ্টন (বক্ররেখা I), ধনাত্মক কুরটোসিস (বক্ররেখা II) সহ বিতরণ এবং ঋণাত্মক কার্টোসিস (বক্ররেখা III) সহ বিতরণ।
উপরে আলোচিত প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি ছাড়াও, অনুশীলনে তথাকথিত পরম মুহূর্তগুলি (প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয়) কখনও কখনও ব্যবহৃত হয়, যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়
স্পষ্টতই, এমনকি অর্ডারের পরম মুহূর্তগুলি সাধারণ মুহুর্তগুলির সাথে মিলে যায়।
পরম মুহূর্তগুলির মধ্যে, সর্বাধিক ব্যবহৃত প্রথম পরম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।
, (5.7.21)
গাণিতিক গড় বিচ্যুতি বলা হয়। বিচ্ছুরণ এবং মানক বিচ্যুতির পাশাপাশি, গাণিতিক গড় বিচ্যুতি কখনও কখনও বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়।
প্রত্যাশা, মোড, মাঝামাঝি, প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এবং বিশেষ করে, বিচ্ছুরণ, মানক বিচ্যুতি, তির্যকতা এবং কুরটোসিস হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য। অনেক অনুশীলন সমস্যা সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্যএলোমেলো পরিবর্তনশীল - বন্টন আইন - হয় প্রয়োজন হয় না বা পাওয়া যাবে না। এই ক্ষেত্রে, একজন সাহায্য ব্যবহার করে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আনুমানিক বর্ণনার মধ্যে সীমাবদ্ধ। সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য, যার প্রত্যেকটি বন্টনের কিছু বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে।
প্রায়শই, সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলি আনুমানিকভাবে একটি বিতরণকে অন্যটির সাথে প্রতিস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয় এবং সাধারণত তারা এই প্রতিস্থাপনটি এমনভাবে করার চেষ্টা করে যাতে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট অপরিবর্তিত থাকে।
উদাহরণ 1. একটি পরীক্ষা করা হয়, যার ফলস্বরূপ একটি ঘটনা প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারে, যার সম্ভাবনা সমান। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয় - একটি ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যা (একটি ঘটনার চরিত্রগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল)। এর বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করুন: গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ, মান বিচ্যুতি।
সমাধান। মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:
যেখানে ঘটনা ঘটছে না সম্ভাবনা আছে.
সূত্র ব্যবহার করে (5.6.1) আমরা মানের গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে পাই:
মানের বিচ্ছুরণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় (5.7.15):
(আমরা পরামর্শ দিই যে পাঠক দ্বিতীয় প্রাথমিক মুহুর্তের পরিপ্রেক্ষিতে বিচ্ছুরণ প্রকাশ করে একই ফলাফল পান)।
উদাহরণ 2. একটি লক্ষ্যবস্তুতে তিনটি স্বাধীন গুলি চালানো হয়; প্রতিটি শট আঘাত করার সম্ভাবনা 0.4। এলোমেলো পরিবর্তনশীল – হিটের সংখ্যা। একটি পরিমাণের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করুন - গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ, r.s.d., অসমতা।
সমাধান। মান বন্টন সিরিজের ফর্ম আছে:
আমরা পরিমাণের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য গণনা করি।
শুরুর মুহূর্ত k ম আদেশ আমার স্নাতকেরএক্সএক্স k :
নির্দিষ্টভাবে,
কেন্দ্রীয় মুহূর্ত k ম আদেশ আমার স্নাতকেরএক্সপরিমাণের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় k :
.
(5.11)
নির্দিষ্টভাবে,
গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আমরা এটি পেতে পারি
,
,
উচ্চ অর্ডার মুহূর্ত খুব কমই ব্যবহার করা হয়.
আসুন আমরা ধরে নিই যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন গাণিতিক প্রত্যাশার সাপেক্ষে প্রতিসম। তারপর সমস্ত বিজোড়-ক্রম কেন্দ্রগুলি শূন্যের সমান। এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে X–M[X] বিচ্যুতির প্রতিটি ধনাত্মক মানের জন্য (বণ্টনের প্রতিসাম্যের কারণে) পরম মানের সমান একটি ঋণাত্মক মান রয়েছে এবং তাদের সম্ভাব্যতা একই হবে। যদি কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি একটি বিজোড় ক্রমে হয় এবং শূন্যের সমান না হয়, তাহলে এটি বণ্টনের একটি অসামঞ্জস্য নির্দেশ করে এবং মুহূর্তটি যত বেশি হবে, অসমতা তত বেশি হবে। অতএব, বিতরণ অসমতার বৈশিষ্ট্য হিসাবে কিছু বিজোড় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত গ্রহণ করা সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত। যেহেতু 1ম ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি সর্বদা শূন্যের সমান, তাই এই উদ্দেশ্যে 3য় ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে। যাইহোক, অসাম্যতা মূল্যায়নের জন্য এই বিন্দুটি গ্রহণ করা অসুবিধাজনক কারণ এর মান নির্ভর করে যে ইউনিটগুলিতে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল পরিমাপ করা হয় তার উপর। এই ত্রুটি দূর করার জন্য, 3 কে 3 দ্বারা ভাগ করা হয় এবং এইভাবে একটি বৈশিষ্ট্য পাওয়া যায়।
অসমতা সহগ ক পরিমাণ বলা হয়
.
(5.12)
ভাত।
5.1যদি অসমত্ব সহগ ঋণাত্মক হয়, তাহলে এটি 3 ঋণাত্মক বিচ্যুতির মানের উপর একটি বড় প্রভাব নির্দেশ করে। এই ক্ষেত্রে, বন্টন বক্ররেখাগুলি M[X] এর বাম দিকে চ্যাপ্টা। যদি A সহগ ধনাত্মক হয়, তাহলে বক্ররেখাটি ডানদিকে চ্যাপ্টা। এক্সযেমনটি জানা যায়, বিচ্ছুরণ (২য় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত) গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মানগুলির বিচ্ছুরণকে চিহ্নিত করতে কাজ করে। বৃহত্তর বিচ্ছুরণ, অনুরূপ বন্টন বক্ররেখা চাটুকার. যাইহোক, 2য় ক্রম 2 / 2 এর স্বাভাবিক মুহূর্তটি "ফ্ল্যাট-টপড" বা "শার্প-টপড" ডিস্ট্রিবিউশনের বৈশিষ্ট্য হিসেবে কাজ করতে পারে না কারণ যেকোনো ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য ডি[
]/ 2 =1। এই ক্ষেত্রে, 4র্থ ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত ব্যবহার করা হয়। অতিরিক্ত পরিমাণ বলা হয়
.
(5.13)
ই
এইচ
5.2সংখ্যা 3 এখানে বেছে নেওয়া হয়েছে কারণ সবচেয়ে সাধারণ সাধারণ বন্টন আইন 4 / 4 =3। অতএব, কুরটোসিস বিদ্যমান বন্টনগুলিকে সাধারণের সাথে তুলনা করে, যার কার্টোসিস শূন্য। এর মানে হল যে যদি একটি বণ্টনে ধনাত্মক কার্টোসিস থাকে, তাহলে সংশ্লিষ্ট বন্টন বক্ররেখা স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার তুলনায় বেশি "পিক" হয়; যদি কোনো ডিস্ট্রিবিউশনে নেতিবাচক কার্টোসিস থাকে, তাহলে সংশ্লিষ্ট বক্ররেখা আরও "ফ্ল্যাট-টপড" হয়।
উদাহরণ 5.6।
DSV X নিম্নলিখিত বন্টন আইন দ্বারা দেওয়া হয়:
এখন কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি গণনা করা যাক:
এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে বের করা যাক এক্স 2 :
এম(এক্স 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
আমরা যে দেখতে এম(এক্স 2) আরো অনেক কিছু এম(এক্স). এর কারণ স্কোয়ার করার পর সম্ভাব্য অর্থপরিমাণ এক্স 2 মান অনুরূপ এক্স=100 মাত্রা এক্স, 10,000 এর সমান হয়ে গেছে, অর্থাৎ উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে; এই মানের সম্ভাবনা কম (0.01)।
এইভাবে, থেকে উত্তরণ এম(এক্স)প্রতি এম(এক্স 2) সম্ভাব্য মানের গাণিতিক প্রত্যাশার উপর প্রভাবকে আরও ভালভাবে বিবেচনা করা সম্ভব করেছে, যা বড় এবং কম সম্ভাবনা রয়েছে। অবশ্যই, মান যদি এক্সঅনেক বড় এবং অসম্ভাব্য মান ছিল, তারপর মান পরিবর্তন এক্স 2, এবং এমনকি আরো তাই পরিমাণে এক্স 3 , এক্স 4, ইত্যাদি, আমাদের এই বৃহৎ, কিন্তু অসম্ভাব্য সম্ভাব্য মানগুলির আরও "ভুমিকাকে শক্তিশালী করার" অনুমতি দেবে। এই কারণেই এটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি পূর্ণসংখ্যা ধনাত্মক শক্তির গাণিতিক প্রত্যাশা বিবেচনা করা যুক্তিযুক্ত বলে মনে হচ্ছে (কেবল বিযুক্ত নয়, ক্রমাগতও)।
আদেশের প্রাথমিক মুহূর্ত kআমার স্নাতকের এক্সপরিমাণের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় Xk:
v k = M(এক্স).
নির্দিষ্টভাবে,
v 1 = এম(এক্স), v 2 = এম(এক্স 2).
এই পয়েন্টগুলি ব্যবহার করে, প্রকরণ গণনার সূত্র ডি(এক্স)= এম(এক্স 2)- [এম(এক্স)] 2 এভাবে লেখা যায়:
ডি(এক্স)=v 2 – . (*)
এলোমেলো পরিবর্তনশীল মুহূর্ত ছাড়াও এক্সএটা বিচ্যুতি মুহূর্ত বিবেচনা করার পরামর্শ দেওয়া হয় এক্স-এম(এক্স).
একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর ক্রম k এর কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল পরিমাণের গাণিতিক প্রত্যাশা(এইচ.এম(এক্স))k:
নির্দিষ্টভাবে,
প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলিকে সংযোগকারী সম্পর্কগুলি সহজেই উদ্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, (*) এবং (***) তুলনা করলে আমরা পাই
m 2 = v 2 – .
কেন্দ্রীয় মুহুর্তের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে এবং গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সূত্রগুলি প্রাপ্ত করা কঠিন নয়:
m 3 = v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m 4 = v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
উচ্চ অর্ডার মুহূর্ত খুব কমই ব্যবহার করা হয়.
মন্তব্য করুন। এখানে আলোচনা করা পয়েন্ট বলা হয় তাত্ত্বিকতাত্ত্বিক মুহূর্তগুলির বিপরীতে, পর্যবেক্ষণমূলক ডেটা থেকে গণনা করা মুহূর্তগুলিকে বলা হয় অভিজ্ঞতামূলকঅভিজ্ঞতামূলক মুহূর্তগুলির সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হয়েছে (অধ্যায় XVII, § 2 দেখুন)।
কাজ
1. দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পার্থক্যগুলি পরিচিত: ডি(এক্স) = 4, ডি(Y)=3। এই রাশির যোগফলের বৈচিত্র্য নির্ণয় কর।
খ্যাতি। 7.
2. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ এক্স 5 এর সমান। নিম্নলিখিত রাশির বৈচিত্র্য খুঁজুন: ক) এক্স-1; খ) -2 এক্স;ভি) জেডএইচ + 6.
খ্যাতি।ক) 5; খ) 20; গ) 45।
3. এলোমেলো মান এক্সশুধুমাত্র দুটি মান লাগে: +C এবং -C, প্রতিটির সম্ভাব্যতা 0.5। এই পরিমাণের ভিন্নতা খুঁজুন।
খ্যাতি। সঙ্গে 2 .
4. , এর বন্টনের আইন জানা
| এক্স | 0, 1 | |||
| পৃ | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
খ্যাতি। 67,6404.
5. এলোমেলো মান এক্সদুটি সম্ভাব্য মান নিতে পারে: এক্সসম্ভাব্যতা 0.3 সহ 1 এবং এক্স 2 সম্ভাব্যতা 0.7 সহ, এবং এক্স 2 > x 1 . অনুসন্ধান এক্স 1 এবং এক্স 2, যে জেনে এম(এক্স) = 2, 7i ডি(এক্স) =0,21.
খ্যাতি। এক্স 1 = 2, এক্স 2 = 3.
6. একটি এলোমেলো চলকের বৈচিত্র খুঁজুন এক্স- ঘটনা সংঘটন সংখ্যা কদুইটাতে স্বাধীন পরীক্ষা, যদি এম(এক্স) = 0, 8.
বিঃদ্রঃ। একটি ঘটনার সংঘটন সংখ্যার সম্ভাব্যতা বণ্টনের দ্বিপদী সূত্রটি লিখ কদুটি স্বাধীন পরীক্ষায়।
খ্যাতি। 0, 48.
7. চারটি স্বাধীনভাবে অপারেটিং ডিভাইসের সমন্বয়ে একটি ডিভাইস পরীক্ষা করা হচ্ছে। ডিভাইস ব্যর্থতার সম্ভাবনা নিম্নরূপ: আর 1 = 0,3; আর 2 = 0,4; পি 3 = 0,5; আর 4 = 0.6। ব্যর্থ ডিভাইসের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য খুঁজুন।
খ্যাতি। 1,8; 0,94.
8. একটি এলোমেলো চলকের বৈচিত্র খুঁজুন এক্স- 100টি স্বাধীন ট্রায়ালে ইভেন্টের সংঘটনের সংখ্যা, যার প্রতিটিতে ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0.7।
খ্যাতি। 21.
9. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ ডি(এক্স) = 6.25। স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি s খুঁজুন ( এক্স).
খ্যাতি। 2, 5.
10. র্যান্ডম ভেরিয়েবল ডিস্ট্রিবিউশন আইন দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়
| এক্স | |||
| পৃ | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
এই মানের আদর্শ বিচ্যুতি খুঁজুন।
খ্যাতি। 2, 2.
11. 9টি অভিন্নভাবে বিতরণ করা পারস্পরিকভাবে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ 36 এর সমান।
খ্যাতি। 4.
12. 16টি অভিন্নভাবে বিতরণ করা পারস্পরিকভাবে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটির স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল 10। এই ভেরিয়েবলগুলির গাণিতিক গড়ের মানক বিচ্যুতি খুঁজুন।
খ্যাতি। 2,5.
চ্যাপ্টার নাইন
বড় সংখ্যার আইন
প্রাথমিক মন্তব্য
ইতিমধ্যেই জানা গেছে, পরীক্ষার ফলস্বরূপ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে কোনটি গ্রহণ করবে তা আগে থেকেই আত্মবিশ্বাসের সাথে ভবিষ্যদ্বাণী করা অসম্ভব; এটা অনেকের উপর নির্ভর করে এলোমেলো কারণ, যা বিবেচনায় নেওয়া যায় না। এটা মনে হবে যে যেহেতু আমাদের কাছে এই অর্থে প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে খুব শালীন তথ্য রয়েছে, তাই আচরণের ধরণ এবং যথেষ্ট পরিমাণে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল স্থাপন করা খুব কমই সম্ভব। বাস্তবিক, এই সত্য নয়। এটা কিছু অপেক্ষাকৃত জন্য যে সক্রিয় আউট বিস্তৃত শর্তযথেষ্ট পরিমাণে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সামগ্রিক আচরণ প্রায় তার এলোমেলো চরিত্র হারায় এবং স্বাভাবিক হয়ে যায়।
অনুশীলনের জন্য, অনেকগুলি এলোমেলো কারণগুলির সম্মিলিত ক্রিয়া এমন একটি ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে যা প্রায় সম্ভাবনা থেকে স্বতন্ত্র, কারণ এটি একজনকে ঘটনার গতিপথকে পূর্বাভাস দিতে দেয়। এই শর্তগুলি উপপাদ্য ভারবহন নির্দেশিত হয় সাধারণ নামআইন বড় সংখ্যা. এর মধ্যে রয়েছে চেবিশেভ এবং বার্নোলির উপপাদ্য (অন্যান্য উপপাদ্য রয়েছে যা এখানে আলোচনা করা হয়নি)। চেবিশেভের উপপাদ্য হল বৃহৎ সংখ্যার সবচেয়ে সাধারণ নিয়ম, বার্নোলির উপপাদ্য হল সবচেয়ে সহজ। এই উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করার জন্য, আমরা চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করব।
চেবিশেভের অসমতা
চেবিশেভের অসমতা বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈধ। সরলতার জন্য, আমরা আলাদা পরিমাণের জন্য এই অসমতা প্রমাণ করতে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখি।
একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন এক্স,বিতরণ টেবিল দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে:
| এক্স | এক্স 1 | এক্স 2 | … | x n |
| পি | পি 1 | পৃ 2 | … | p n |
আসুন আমরা নিজেদেরকে সম্ভাব্যতা অনুমান করার কাজটি নির্ধারণ করি যে তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে এলোমেলো চলকের বিচ্যুতি ধনাত্মক সংখ্যা e এর পরম মানকে অতিক্রম করে না। যদি e যথেষ্ট ছোট হয়, তাহলে আমরা সম্ভাব্যতা অনুমান করব এক্সমানগুলি তার গাণিতিক প্রত্যাশার মোটামুটি কাছাকাছি নিয়ে যাবে। পি.এল. চেবিশেভ একটি অসমতা প্রমাণ করেছেন যা আমাদের আগ্রহী অনুমান দিতে দেয়।
চেবিশেভের অসমতা। পরম মানের গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো চলক X এর বিচ্যুতি একটি ধনাত্মক সংখ্যা e এর চেয়ে কম হওয়ার সম্ভাবনা কম নয় 1-ডি(এক্স)/ই 2 :
আর(|এক্স-এম(এক্স)|< e ) 1-ডি(এক্স)/ই 2 .
প্রমাণ। যেহেতু বৈষম্য বাস্তবায়নের ঘটনা নিয়ে গঠিত |এক্স-এম(এক্স)|
আর(|এক্স-এম(এক্স)|< e )+ আর(|এক্স-এম(এক্স)| e)= 1.
তাই সম্ভাব্যতা আমরা আগ্রহী
আর(|এক্স-এম(এক্স)|< e )= 1- আর(|এক্স-এম(এক্স)| e). (*)
সুতরাং, সমস্যাটি সম্ভাব্যতা গণনা করতে নেমে আসে আর(| এইচ.এম(এক্স)| e).
র্যান্ডম চলকের ভিন্নতার জন্য অভিব্যক্তি লিখি এক্স:
ডি(এক্স)= [এক্স 1 -এম(এক্স)] 2 পি 1 + [এক্স 2 -এম(এক্স)] 2 পি 2 +…+ [x n -M(এক্স)]2পিএন
স্পষ্টতই, এই যোগফলের সমস্ত পদ অ-নেতিবাচক।
আসুন আমরা সেই শর্তগুলি বর্জন করি যার জন্য | একাদশ-এম(এক্স)|<e(বাকি পদের জন্য | x j-এম(এক্স)| e), ফলস্বরূপ, পরিমাণ শুধুমাত্র হ্রাস হতে পারে। আসুন আমরা অনুমান করতে সম্মত হই, নিশ্চিততার জন্য, যে kপ্রথম পদ (সাধারণতা হারানো ছাড়া, আমরা অনুমান করতে পারি যে বন্টন টেবিলে সম্ভাব্য মানগুলি ঠিক এই ক্রমে সংখ্যা করা হয়েছে)। এইভাবে,
ডি(এক্স) [x k + 1 -এম(এক্স)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -এম(এক্স)] 2 p k + z +।.. +[x n -M(এক্স)] 2 পিএন
উল্লেখ্য যে উভয় পক্ষের অসমতা | x j - এম(এক্স)| e (j = k+1, k+ 2, ..., পৃ) ধনাত্মক, তাই তাদের বর্গ করলে আমরা সমতুল্য অসমতা পাই | x j - এম(এক্স)| 2 e 2আসুন এই মন্তব্যটি ব্যবহার করি এবং, অবশিষ্ট যোগফলের প্রতিটি ফ্যাক্টর প্রতিস্থাপন করি | x j - এম(এক্স)| সংখ্যায় 2 e 2(এই ক্ষেত্রে অসমতা শুধুমাত্র বাড়তে পারে), আমরা পাই
ডি(এক্স) e 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)
যোগ উপপাদ্য অনুসারে সম্ভাব্যতার যোগফল r k+ 1 + p k + 2 + … + р nএকটি সম্ভাবনা আছে যে এক্সএকটি নিতে হবে, কোন ব্যাপার না, মান x k + 1 , x k+ 2 ,....x পি,এবং তাদের যে কোনোটির জন্য বিচ্যুতি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে | x j - এম(এক্স)| eএটা যে পরিমাণ অনুসরণ করে r k+ 1 + p k + 2 + … + р nসম্ভাবনা প্রকাশ করে
পৃ(|এক্স - এম(এক্স)| e)।
এই বিবেচনা আমাদেরকে নিম্নরূপ অসমতা (**) পুনরায় লিখতে অনুমতি দেয়:
ডি(এক্স) e 2 পি(|এক্স - এম(এক্স)| ঙ),
পৃ(|এক্স - এম(এক্স)| ঙ)ডি(এক্স) /e 2 (***)
(***) প্রতিস্থাপন (*), আমরা অবশেষে পেতে
পৃ(|এক্স - এম(এক্স)| <ঙ) 1- ডি(এক্স) /e 2 ,
Q.E.D.
মন্তব্য করুন। চেবিশেভের অসমতার সীমিত ব্যবহারিক তাৎপর্য রয়েছে কারণ এটি প্রায়শই একটি রুক্ষ এবং কখনও কখনও তুচ্ছ (কোন আগ্রহের) অনুমান দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ডি(এক্স)>ই 2 এবং তাই ডি(এক্স)/ই 2 > 1 তারপর 1 - ডি(এক্স)/ই 2 < 0; সুতরাং, এই ক্ষেত্রে, চেবিশেভের অসমতা শুধুমাত্র নির্দেশ করে যে বিচ্যুতির সম্ভাবনা অ-নেতিবাচক, এবং এটি ইতিমধ্যেই সুস্পষ্ট, যেহেতু যে কোনও সম্ভাবনা একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
চেবিশেভের বৈষম্যের তাত্ত্বিক তাত্পর্য অত্যন্ত মহান। নীচে আমরা চেবিশেভের উপপাদ্যটি বের করতে এই অসমতা ব্যবহার করব।
চেবিশেভের উপপাদ্য
চেবিশেভের উপপাদ্য। যদি এক্স 1 , এক্স 2 ,…, X n, ...-pairwise স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং তাদের বৈচিত্রগুলি অভিন্নভাবে আবদ্ধ(একটি ধ্রুবক সংখ্যা C অতিক্রম করবেন না), তাহলে ধনাত্মক সংখ্যা e যতই ছোট হোক না কেন, অসমতার সম্ভাবনা
অন্য কথায়, উপপাদ্যের শর্তে
এইভাবে, চেবিশেভের উপপাদ্যটি বলে যে যদি সীমিত বৈচিত্র সহ যথেষ্ট পরিমাণে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করা হয়, তবে ঘটনাটিকে প্রায় নির্ভরযোগ্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পাটিগণিত গড়ের বিচ্যুতি তাদের পাটিগণিত গড় থেকে। গাণিতিক প্রত্যাশা নির্বিচারে বড় হবে পরম মান ছোট
প্রমাণ। আসুন আমরা বিবেচনায় একটি নতুন র্যান্ডম ভেরিয়েবল প্রবর্তন করি - র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক গড়
=(এক্স 1 +এক্স 2 +…+X n)/n
এর গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে বের করা যাক . গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে (গাণিতিক প্রত্যাশার চিহ্ন থেকে ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি নেওয়া যেতে পারে, যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা শর্তগুলির গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান), আমরা পাই
এম 
=
. (*)
পরিমাণে চেবিশেভের অসমতা প্রয়োগ করা, আমাদের আছে
ডান দিকের (***) প্রতিস্থাপন করে অসমতা (**) (যার কারণে পরবর্তীটি কেবল শক্তিশালী করা যায়), আমাদের আছে
এখান থেকে, সীমা অতিক্রম করে, আমরা প্রাপ্ত করি
অবশেষে, সম্ভাব্যতা এক অতিক্রম করতে পারে না যে অ্যাকাউন্টে গ্রহণ, আমরা অবশেষে লিখতে পারেন
উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
উপরে, চেবিশেভের উপপাদ্য প্রণয়ন করার সময়, আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিভিন্ন গাণিতিক প্রত্যাশা রয়েছে। অনুশীলনে, এটা প্রায়ই ঘটে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে। স্পষ্টতই, আমরা যদি আবার ধরে নিই যে এই পরিমাণের বিচ্ছুরণ সীমিত, তাহলে চেবিশেভের উপপাদ্য তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে।
র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটির গাণিতিক প্রত্যাশাকে বোঝাই ক;বিবেচনাধীন ক্ষেত্রে, গাণিতিক প্রত্যাশার পাটিগণিত গড়, যেমনটি দেখতে সহজ, তাও সমান ক.আমরা বিবেচনাধীন বিশেষ ক্ষেত্রে চেবিশেভের উপপাদ্য প্রণয়ন করতে পারি।
যদি এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এইচপি...-pairwise স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেগুলির গাণিতিক প্রত্যাশা একই থাকে a, এবং যদি এই ভেরিয়েবলগুলির বৈচিত্রগুলি অভিন্নভাবে সীমিত হয়, তাহলে সংখ্যা যতই ছোট হোক না কেন>ওহ, অসমতার সম্ভাবনা
র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যা যথেষ্ট বড় হলে ইচ্ছামত একতার কাছাকাছি হবে।
অন্য কথায়, উপপাদ্যের শর্তে সমতা থাকবে
চেবিশেভের উপপাদ্যের সারমর্ম
প্রমাণিত উপপাদ্যটির সারমর্মটি নিম্নরূপ: যদিও স্বতন্ত্র স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি তাদের গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে অনেক দূরে মান নিতে পারে, একটি উচ্চ সম্ভাবনা সহ যথেষ্ট পরিমাণে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক গড় মানগুলিকে একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবকের কাছাকাছি নিয়ে যায় সংখ্যা, যথা সংখ্যা ( এম(এক্স 1)+ এম(এক্স 2)+...এম(এক্স পি))/পি(বা নম্বরে কএকটি বিশেষ ক্ষেত্রে)। অন্য কথায়, পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি উল্লেখযোগ্য বিস্তার থাকতে পারে এবং তাদের গাণিতিক গড় বিক্ষিপ্তভাবে ছোট।
এইভাবে, কেউ আত্মবিশ্বাসের সাথে ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে না যে প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মান কী হবে, তবে কেউ ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে যে তাদের গাণিতিক গড় কী মূল্য নেবে।
তাই, পর্যাপ্ত সংখ্যক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক গড়(যার বৈচিত্রগুলি অভিন্নভাবে আবদ্ধ) একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের চরিত্র হারায়।এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে তাদের গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে প্রতিটি পরিমাণের বিচ্যুতি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয়ই হতে পারে এবং গাণিতিক অর্থে তারা একে অপরকে বাতিল করে দেয়।
চেবিশেভের উপপাদ্য শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন নয়, ক্রমাগত এলোমেলো চলকের জন্যও বৈধ; সে হতে হবে একটি উজ্জ্বল উদাহরণ, সুযোগ এবং প্রয়োজনীয়তার মধ্যে সংযোগ সম্পর্কে দ্বান্দ্বিক বস্তুবাদের মতবাদের বৈধতা নিশ্চিত করে।
প্রত্যাশিত মান। গাণিতিক প্রত্যাশাবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স, একটি সীমিত সংখ্যক মান নিচ্ছে এক্সiসম্ভাবনা সহ আরi, পরিমাণ বলা হয়:
গাণিতিক প্রত্যাশাক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সএর মানগুলির গুণফলকে অবিচ্ছেদ্য বলা হয় এক্সসম্ভাবনা বন্টন ঘনত্ব উপর চ(এক্স):
(6খ)
অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য (6 খ) একেবারে অভিসারী বলে ধরে নেওয়া হয় (অন্যথায় তারা বলে যে গাণিতিক প্রত্যাশা এম(এক্স) এটির অস্তিত্ব নেই)। গাণিতিক প্রত্যাশা বৈশিষ্ট্য গড় মূল্যআমার স্নাতকের এক্স. এর মাত্রা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রার সাথে মিলে যায়।
গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য:
বিচ্ছুরণ। ভিন্নতাআমার স্নাতকের এক্সনম্বরটি বলা হয়:
পার্থক্য হল বিক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্যএলোমেলো পরিবর্তনশীল মান এক্সতার গড় মান আপেক্ষিক এম(এক্স) প্রকরণের মাত্রা র্যান্ডম পরিবর্তনশীল বর্গক্ষেত্রের মাত্রার সমান। ভিন্নতার সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে (8) এবং গাণিতিক প্রত্যাশা (5) একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এবং (6) একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, আমরা প্রকরণের জন্য অনুরূপ অভিব্যক্তি পাই:
(9)
এখানে মি = এম(এক্স).
বিচ্ছুরণ বৈশিষ্ট্য:
আদর্শ চ্যুতি:
(11)
যেহেতু গড় মাত্রা বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতিএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের মতোই, এটি প্রায়শই প্রকরণের চেয়ে বিচ্ছুরণের পরিমাপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়।
বিতরণের মুহূর্ত। গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের ধারণাগুলি আরও বিশেষ ক্ষেত্রে সাধারণ ধারণাএলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের জন্য - বিতরণ মুহূর্ত. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টনের মুহূর্তগুলি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু সাধারণ ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে প্রবর্তিত হয়। সুতরাং, আদেশের মুহূর্ত kবিন্দু আপেক্ষিক এক্স 0 বলা হয় গাণিতিক প্রত্যাশা এম(এক্স–এক্স 0 )k. উৎপত্তি সম্পর্কে মুহূর্ত এক্স= 0 বলা হয় প্রাথমিক মুহূর্তএবং মনোনীত করা হয়:
(12)
প্রথম অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্তটি বিবেচনাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণের কেন্দ্র:
(13)
বিতরণ কেন্দ্র সম্পর্কে মুহূর্ত এক্স= মিডাকল কেন্দ্রীয় পয়েন্টএবং মনোনীত করা হয়:
(14)
(7) থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রথম-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সর্বদা শূন্যের সমান:
কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির উত্সের উপর নির্ভর করে না, যেহেতু একটি ধ্রুবক মান দ্বারা স্থানান্তরিত হয় সঙ্গেএর বিতরণ কেন্দ্র একই মান দ্বারা স্থানান্তরিত হয় সঙ্গে, এবং কেন্দ্র থেকে বিচ্যুতি পরিবর্তন হয় না: এক্স – মি = (এক্স – সঙ্গে) – (মি – সঙ্গে).
এখন এটা স্পষ্ট যে বিচ্ছুরণ- এই দ্বিতীয় আদেশ কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:
অসমতা। তৃতীয় ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:
(17)
মূল্যায়নের জন্য কাজ করে বন্টন অসাম্য. যদি বন্টন বিন্দু সম্পর্কে প্রতিসম হয় এক্স= মি, তাহলে তৃতীয়-ক্রমের কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান হবে (বিজোড় আদেশের সমস্ত কেন্দ্রীয় মুহুর্তের মতো)। অতএব, যদি তৃতীয়-ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্য থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে বন্টনটি প্রতিসম হতে পারে না। একটি মাত্রাবিহীন ব্যবহার করে অসিম্যাট্রির মাত্রা নির্ণয় করা হয় অসমতা সহগ:
(18)
অপ্রতিসম গুণাঙ্কের চিহ্ন (18) ডান- বা বাম-পার্শ্বযুক্ত অসমতা নির্দেশ করে (চিত্র 2)।
ভাত। 2. বণ্টন অসমতার প্রকার।
অতিরিক্ত। চতুর্থ ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত:
(19)
তথাকথিত মূল্যায়ন পরিবেশন করে অতিরিক্ত, যা স্বাভাবিক বন্টন বক্ররেখার সাপেক্ষে বন্টনের কেন্দ্রের কাছে বন্টন বক্ররেখার খাড়াতা (শিখরত্ব) ডিগ্রী নির্ধারণ করে। যেহেতু একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য, কুরটোসিস হিসাবে নেওয়া মান হল:
(20)
চিত্রে। চিত্র 3 বিভিন্ন কার্টোসিস মান সহ বন্টন বক্ররেখার উদাহরণ দেখায়। স্বাভাবিক বিতরণের জন্য ই= 0. যে বক্ররেখাগুলি স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি চূড়ায় থাকে তাদের একটি ইতিবাচক কার্টোসিস থাকে, যেগুলি বেশি সমতল-শীর্ষে থাকে তাদের একটি নেতিবাচক কার্টোসিস থাকে।
ভাত। 3. সঙ্গে বন্টন বক্ররেখা সকলে সমানশীতলতা (অতিরিক্ত)।
ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে উচ্চ-ক্রমের মুহূর্তগুলি গাণিতিক পরিসংখ্যানসাধারণত ব্যবহার করা হয় না।
ফ্যাশন
বিচ্ছিন্নএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। ফ্যাশন একটানাএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হল এর মান যেখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্ব সর্বাধিক (চিত্র 2)। যদি বন্টন বক্ররেখার সর্বোচ্চ একটি থাকে, তাহলে বন্টন বলা হয় unimodal. যদি একটি বন্টন বক্ররেখা একাধিক সর্বোচ্চ থাকে, তাহলে বন্টন বলা হয় মাল্টিমডাল. কখনও কখনও এমন বিতরণ রয়েছে যার বক্ররেখা সর্বাধিকের পরিবর্তে সর্বনিম্ন থাকে। এই ধরনের বিতরণ বলা হয় বিরোধী মডেল. ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা মিলে যায় না। বিশেষ ক্ষেত্রে, জন্য মডেল, অর্থাৎ একটি মোড, প্রতিসাম্য বন্টন এবং যদি একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে তবে পরবর্তীটি বিতরণের প্রতিসাম্যের মোড এবং কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।
মধ্যমা আমার স্নাতকের এক্স- এটি এর অর্থ মেহ, যার জন্য সমতা ধারণ করে: i.e. এটা সমানভাবে সম্ভাব্য যে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এক্সকম বা বেশি হবে মেহ. জ্যামিতিকভাবে মধ্যমাযে বিন্দুতে বন্টন বক্ররেখার অধীন ক্ষেত্রফলকে অর্ধেক ভাগ করা হয়েছে তার অবসিসা (চিত্র 2)। একটি সিমেট্রিক মডেল ডিস্ট্রিবিউশনের ক্ষেত্রে, মধ্যমা, মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা একই।
