একটি পরিচিত বৈচিত্র সহ একটি স্বাভাবিক বন্টনের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান

আসুন এমএস এক্সেল তৈরি করি আস্থা ব্যবধানক্ষেত্রে বিতরণের গড় মান অনুমান করতে পরিচিত মানভিন্নতা

অবশ্যই পছন্দ বিশ্বাসের স্তরসম্পূর্ণভাবে সমস্যার সমাধানের উপর নির্ভর করে। সুতরাং, একটি বিমানের নির্ভরযোগ্যতায় একজন বিমান যাত্রীর আত্মবিশ্বাসের মাত্রা নিঃসন্দেহে একটি বৈদ্যুতিক আলোর বাল্বের নির্ভরযোগ্যতায় একজন ক্রেতার আস্থার ডিগ্রির চেয়ে বেশি হওয়া উচিত।

সমস্যা তৈয়ার

আমাদের যে থেকে অনুমান করা যাক জনসংখ্যানেওয়া হয়েছে নমুনাআকার n. এটা অধিকৃত হয় আদর্শ চ্যুতি এই বিতরণ পরিচিত. এর ভিত্তিতে এটি প্রয়োজনীয় নমুনাঅজানা মূল্যায়ন বিতরণ মানে(μ, ) এবং সংশ্লিষ্ট গঠন করুন দ্বিপার্শ্ব আস্থা ব্যবধান.

পয়েন্ট অনুমান

থেকে জানা যায় পরিসংখ্যান(এটা বোঝাই X গড়) হয় গড় নিরপেক্ষ অনুমানএই জনসংখ্যাএবং একটি বিতরণ আছে N(μ;σ 2 /n)।

বিঃদ্রঃ: নির্মাণের প্রয়োজন হলে কি করবেন আস্থা ব্যবধানএকটি বন্টন ক্ষেত্রে যে এটি না স্বাভাবিক?এই ক্ষেত্রে, উদ্ধার আসে, যা বলে যে যথেষ্ট সঙ্গে বড় আকার নমুনা n বিতরণ থেকে হচ্ছে না স্বাভাবিক, পরিসংখ্যানের নমুনা বিতরণ X গড়ইচ্ছাশক্তি আন্দাজঅনুরূপ স্বাভাবিক বন্টনপরামিতি N(μ;σ 2 /n) সহ।

তাই, পয়েন্ট অনুমান গড় বিতরণ মানআমাদের আছে - এই নমুনা গড়, অর্থাৎ X গড়. এখন শুরু করা যাক আস্থা ব্যবধান.

একটি আত্মবিশ্বাস ব্যবধান নির্মাণ

সাধারণত, ডিস্ট্রিবিউশন এবং এর প্যারামিটারগুলি জেনে, আমরা সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি আমাদের নির্দিষ্ট ব্যবধান থেকে একটি মান নেবে। এখন এর উল্টোটা করা যাক: একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের ব্যবধানটি খুঁজে বের করুন। উদাহরণস্বরূপ, বৈশিষ্ট্য থেকে স্বাভাবিক বন্টনএটা জানা যায় যে 95% এর সম্ভাব্যতার সাথে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিতরণ করা হয়েছে স্বাভাবিক আইন, আনুমানিক +/- 2 থেকে সীমার মধ্যে পড়বে গড় মূল্য(বিষয়ক নিবন্ধ দেখুন)। এই ব্যবধান আমাদের জন্য একটি প্রোটোটাইপ হিসাবে কাজ করবে আস্থা ব্যবধান.

এখন দেখা যাক আমরা ডিস্ট্রিবিউশন জানি কিনা , এই ব্যবধান গণনা করতে? প্রশ্নের উত্তর দিতে, আমাদের অবশ্যই বিতরণের আকার এবং এর পরামিতিগুলি নির্দেশ করতে হবে।

বণ্টনের রূপ আমরা জানি- এই স্বাভাবিক বন্টন (মনে রাখবেন যে আমরা কথা বলছি নমুনা বিতরণ পরিসংখ্যান X গড়).

পরামিতি μ আমাদের কাছে অজানা (এটি ব্যবহার করে অনুমান করা দরকার আস্থা ব্যবধান), কিন্তু আমরা এটি একটি অনুমান আছে X গড়,উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয় নমুনা,যা ব্যবহার করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় প্যারামিটার - নমুনার গড় বিচ্যুতি আমরা এটি পরিচিত বিবেচনা করা হবে, এটি σ/√n এর সমান।

কারণ আমরা μ জানি না, তাহলে আমরা ব্যবধান +/- 2 তৈরি করব আদর্শ বিচ্যুতিথেকে না গড় মূল্য, এবং এর পরিচিত অনুমান থেকে X গড়. সেগুলো. গণনা করার সময় আস্থা ব্যবধানআমরা যে অনুমান করা হবে না X গড়+/- 2 রেঞ্জের মধ্যে পড়ে আদর্শ বিচ্যুতিμ থেকে 95% সম্ভাবনা সহ, এবং আমরা ধরে নেব যে ব্যবধান +/- 2 আদর্শ বিচ্যুতিথেকে X গড় 95% সম্ভাবনা সহ এটি μ কভার করবে - সাধারণ জনসংখ্যার গড়,যা থেকে নেওয়া হয় নমুনা. এই দুটি বিবৃতি সমতুল্য, কিন্তু দ্বিতীয় বিবৃতি আমাদের গঠন করতে দেয় আস্থা ব্যবধান.

উপরন্তু, আমাদের ব্যবধান স্পষ্ট করা যাক: একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল উপর বিতরণ করা হয় স্বাভাবিক আইন, একটি 95% সম্ভাব্যতার সাথে +/- 1.960 ব্যবধানের মধ্যে পড়ে আদর্শ বিচ্যুতি,না +/- 2 আদর্শ বিচ্যুতি. এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), সেমি. উদাহরণ ফাইল শীট ব্যবধান.

এখন আমরা একটি সম্ভাব্য বিবৃতি তৈরি করতে পারি যা আমাদের গঠন করতে সাহায্য করবে আস্থা ব্যবধান:
"সম্ভাবনা যে জনসংখ্যা মানেথেকে অবস্থিত নমুনা গড় 1,960 এর মধ্যে " নমুনার প্রমিত বিচ্যুতি মানে", 95% এর সমান"।

বিবৃতিতে উল্লিখিত সম্ভাব্যতা মানটির একটি বিশেষ নাম রয়েছে , যার সাথে যুক্ততাত্পর্য স্তর α (আলফা) একটি সাধারণ অভিব্যক্তি দ্বারা আস্থা স্তর =1 -α . আমাদের ক্ষেত্রে তাত্পর্য স্তর α =1-0,95=0,05 .

এখন, এই সম্ভাব্য বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, আমরা গণনার জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখি আস্থা ব্যবধান:

যেখানে Z α/2 – মান স্বাভাবিক বন্টন(র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এই মান z, কি পৃ(z>=Z α/2 )=α/2).

বিঃদ্রঃ: উপরের α/2-পরিমাণপ্রস্থ সংজ্ঞায়িত করে আস্থা ব্যবধানভি আদর্শ বিচ্যুতি নমুনা গড়. উপরের α/2-পরিমাণ মান স্বাভাবিক বন্টনসর্বদা 0 এর চেয়ে বেশি, যা খুব সুবিধাজনক।

আমাদের ক্ষেত্রে, α=0.05 সহ, উপরের α/2-পরিমাণ 1.960 সমান। অন্যান্য তাৎপর্য স্তরের জন্য α (10%; 1%) উপরের α/2-পরিমাণ Z α/2 সূত্র =NORM.ST.REV(1-α/2) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে বা, যদি জানা যায় আস্থা স্তর, =NORM.ST.OBR((1+ট্রাস্ট লেভেল)/2).

সাধারণত নির্মাণের সময় গড় অনুমান করার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানশুধুমাত্র ব্যবহার উপরের α/2-পরিমাণএবং ব্যবহার করবেন না কম α/2-পরিমাণ. এটা সম্ভব কারণ মান স্বাভাবিক বন্টনপ্রতিসমভাবে x অক্ষ সম্পর্কে ( এর বিতরণ ঘনত্বসম্পর্কে প্রতিসম গড়, অর্থাৎ 0). অতএব, গণনা করার প্রয়োজন নেই কম α/2-পরিমাণ(এটিকে সহজভাবে α বলা হয় /2-পরিমাণ), কারণ এটা সমান উপরের α/2-পরিমাণএকটি বিয়োগ চিহ্ন সহ।

আসুন আমরা মনে করি যে, x মানের বন্টনের আকৃতি থাকা সত্ত্বেও, সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম পরিবর্তনশীল X গড়বিতরণ করা আন্দাজ ফাইন N(μ;σ 2 /n) (বিষয়ক নিবন্ধ দেখুন)। অতএব, ইন সাধারণ ক্ষেত্রে, জন্য উপরের অভিব্যক্তি আস্থা ব্যবধানশুধুমাত্র একটি আনুমানিক. যদি x মানটি বিতরণ করা হয় স্বাভাবিক আইন N(μ;σ 2 /n), তারপরের জন্য রাশি আস্থা ব্যবধানসঠিক

MS EXCEL-এ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের হিসাব

সমস্যার সমাধান করা যাক।
একটি ইনপুট সংকেত একটি ইলেকট্রনিক উপাদান প্রতিক্রিয়া সময় হয় গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যডিভাইস একজন প্রকৌশলী 95% আত্মবিশ্বাসের স্তরে গড় প্রতিক্রিয়া সময়ের জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান তৈরি করতে চায়। পূর্ববর্তী অভিজ্ঞতা থেকে, প্রকৌশলী জানেন যে প্রতিক্রিয়া সময়ের আদর্শ বিচ্যুতি হল 8 এমএস। এটা জানা যায় যে প্রতিক্রিয়া সময় মূল্যায়ন করার জন্য, প্রকৌশলী 25টি পরিমাপ করেছেন, গড় মান ছিল 78 এমএস।

সমাধান: প্রকৌশলী প্রতিক্রিয়ার সময় জানতে চান ইলেকট্রনিক যন্ত্র, কিন্তু তিনি বুঝতে পারেন যে প্রতিক্রিয়া সময় একটি নির্দিষ্ট মান নয়, কিন্তু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যার নিজস্ব বিতরণ আছে। সুতরাং, এই বন্টনের পরামিতি এবং আকৃতি নির্ধারণ করাই তিনি সর্বোত্তম আশা করতে পারেন।

দুর্ভাগ্যবশত, সমস্যা অবস্থা থেকে আমরা প্রতিক্রিয়া সময় বিতরণের আকার জানি না (এটি হতে হবে না স্বাভাবিক) , এই বন্টন এছাড়াও অজানা. শুধু তাকেই চেনা যায় আদর্শ চ্যুতিσ=8। অতএব, যখন আমরা সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি না এবং গঠন করতে পারি না আস্থা ব্যবধান.

তবে এত কিছুর পরও আমরা বণ্টন জানি না সময় পৃথক প্রতিক্রিয়া, আমরা যে অনুযায়ী জানি সিপিটি, নমুনা বিতরণ গড় প্রতিক্রিয়া সময়প্রায় হয় স্বাভাবিক(আমরা ধরে নেব যে শর্ত সিপিটিবাহিত হয়, কারণ আকার নমুনাবেশ বড় (n=25)) .

তাছাড়া, গড়এই বন্টন সমান গড় মূল্যএকটি একক প্রতিক্রিয়া বিতরণ, যেমন μ ক আদর্শ চ্যুতিএই বন্টনের (σ/√n) সূত্র =8/ROOT(25) ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

প্রকৌশলী প্রাপ্ত বলেও জানা গেছে পয়েন্ট অনুমানপ্যারামিটার μ সমান 78 ms (X avg)। অতএব, এখন আমরা সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি, কারণ আমরা বিতরণের ফর্ম জানি ( স্বাভাবিক) এবং এর পরামিতি (X avg এবং σ/√n)।

ইঞ্জিনিয়ার জানতে চান প্রত্যাশিত মান μ প্রতিক্রিয়া সময় বিতরণ। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এই μ সমান গড় প্রতিক্রিয়া সময়ের নমুনা বিতরণের গাণিতিক প্রত্যাশা. যদি আমরা ব্যবহার করি স্বাভাবিক বন্টন N(X avg; σ/√n), তাহলে কাঙ্খিত μ +/-2*σ/√n পরিসরে থাকবে যার সম্ভাবনা প্রায় 95%।

তাত্পর্য স্তরসমান 1-0.95=0.05।

অবশেষে, আসুন বাম এবং ডান সীমানা খুঁজে বের করি আস্থা ব্যবধান.
বাম সীমানা: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
ডান সীমানা: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136

বাম সীমানা: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
ডান সীমানা: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/ROOT(25))

উত্তর: আস্থা ব্যবধানএ 95% আত্মবিশ্বাসের স্তর এবং σ=8মিসেকসমান 78+/-3.136 ms

ভিতরে সিগমা শীটে উদাহরণ ফাইলপরিচিত, গণনা এবং নির্মাণের জন্য একটি ফর্ম তৈরি করেছে দ্বিপার্শ্ব আস্থা ব্যবধাননির্বিচারে জন্য নমুনাপ্রদত্ত σ এবং সহ তাত্পর্যের স্তর.

CONFIDENCE.NORM() ফাংশন

মান থাকলে নমুনাসীমার মধ্যে আছে B20:B79 , ক তাত্পর্য স্তর 0.05 এর সমান; তারপর MS EXCEL সূত্র:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
বাম সীমানা ফিরে আসবে আস্থা ব্যবধান.

সূত্র ব্যবহার করে একই সীমা গণনা করা যেতে পারে:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

বিঃদ্রঃ: CONFIDENCE.NORM() ফাংশনটি MS EXCEL 2010-এ উপস্থিত হয়েছিল৷ MS EXCEL-এর আগের সংস্করণগুলিতে, TRUST() ফাংশনটি ব্যবহার করা হয়েছিল৷

গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান - এটি একটি ব্যবধান যা ডেটা থেকে গণনা করা হয় যা একটি পরিচিত সম্ভাব্যতার সাথে, সাধারণ জনসংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা ধারণ করে। গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি স্বাভাবিক অনুমান হল তার পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়। তাই, পুরো পাঠ জুড়ে আমরা "গড়" এবং "গড় মান" শব্দগুলো ব্যবহার করব। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার সমস্যায়, একটি উত্তর প্রায়শই প্রয়োজন হয় "গড় সংখ্যার আস্থার ব্যবধান [একটি নির্দিষ্ট সমস্যায়] [ছোট মান] থেকে [বৃহত্তর মান]"। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান ব্যবহার করে, আপনি শুধুমাত্র গড় মানই নয়, সাধারণ জনসংখ্যার একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের অনুপাতও মূল্যায়ন করতে পারেন। গড় মান, বিচ্ছুরণ, মান বিচ্যুতি এবং ত্রুটি, যার মাধ্যমে আমরা নতুন সংজ্ঞা এবং সূত্রে পৌঁছব, পাঠে আলোচনা করা হয়েছে নমুনা এবং জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য .

গড় বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান

যদি একটি সংখ্যা (পয়েন্ট) দ্বারা জনসংখ্যার গড় মান অনুমান করা হয়, তবে একটি নির্দিষ্ট গড়, যা পর্যবেক্ষণের নমুনা থেকে গণনা করা হয়, জনসংখ্যার অজানা গড় মূল্যের অনুমান হিসাবে নেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, নমুনার গড় মান - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল - সাধারণ জনসংখ্যার গড় মানের সাথে মিলে না। অতএব, নমুনার গড় নির্দেশ করার সময়, আপনাকে অবশ্যই একই সাথে স্যাম্পলিং ত্রুটি নির্দেশ করতে হবে। নমুনা ত্রুটির পরিমাপ হল আদর্শ ত্রুটি, যা গড় হিসাবে একই ইউনিটে প্রকাশ করা হয়। অতএব, নিম্নলিখিত স্বরলিপি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়: .

যদি গড় অনুমান একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করা প্রয়োজন, তাহলে জনসংখ্যার আগ্রহের প্যারামিটারটি একটি সংখ্যা দ্বারা নয়, একটি ব্যবধান দ্বারা মূল্যায়ন করা উচিত। একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হল একটি ব্যবধান যাতে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে পৃআনুমানিক জনসংখ্যা সূচকের মান পাওয়া যায়। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান যাতে এটি সম্ভাব্য পৃ = 1 - α র্যান্ডম ভেরিয়েবল পাওয়া যায়, নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

,

α = 1 - পৃ, যা পরিসংখ্যান সম্পর্কিত প্রায় যেকোনো বইয়ের পরিশিষ্টে পাওয়া যাবে।

বাস্তবে, জনসংখ্যার গড় এবং প্রকরণ জানা যায় না, তাই জনসংখ্যার বৈচিত্রটি নমুনা প্রকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং জনসংখ্যার গড় নমুনা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। সুতরাং, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

.

আস্থার ব্যবধান সূত্রটি জনসংখ্যার গড় অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যদি

• জনসংখ্যার আদর্শ বিচ্যুতি জানা যায়;
• অথবা জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি অজানা, কিন্তু নমুনার আকার 30-এর বেশি।

নমুনা গড় জনসংখ্যা গড় একটি নিরপেক্ষ অনুমান। ঘুরে, নমুনা বৈচিত্র জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান নয়। নমুনা প্রকরণ সূত্রে জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের একটি নিরপেক্ষ অনুমান পেতে, নমুনার আকার nদ্বারা প্রতিস্থাপিত করা উচিত n-1.

উদাহরণ 1.একটি নির্দিষ্ট শহরের 100টি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ক্যাফে থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয়েছিল যে তাদের মধ্যে কর্মচারীর গড় সংখ্যা 4.6 এর মান বিচ্যুতি সহ 10.5। ক্যাফে কর্মীদের সংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন।

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .

এইভাবে, ক্যাফে কর্মচারীদের গড় সংখ্যার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 9.6 থেকে 11.4 পর্যন্ত।

উদাহরণ 2। 64টি পর্যবেক্ষণের জনসংখ্যা থেকে একটি এলোমেলো নমুনার জন্য, নিম্নলিখিত মোট মানগুলি গণনা করা হয়েছিল:

পর্যবেক্ষণে মানের সমষ্টি,

গড় থেকে মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির যোগফল .

গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন।

আসুন আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করি:

,

আসুন গড় মান গণনা করা যাক:

.

আমরা আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে মানগুলি প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .

আমরা পেতে:

এইভাবে, এই নমুনার গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 7.484 থেকে 11.266 পর্যন্ত।

উদাহরণ 3. 100টি পর্যবেক্ষণের একটি এলোমেলো জনসংখ্যার নমুনার জন্য, গণনা করা গড় হল 15.2 এবং আদর্শ বিচ্যুতি হল 3.2। প্রত্যাশিত মানের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করুন, তারপর 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান। যদি নমুনা শক্তি এবং এর বৈচিত্র অপরিবর্তিত থাকে এবং আস্থা সহগ বৃদ্ধি পায়, তাহলে আস্থার ব্যবধান কি সংকীর্ণ বা প্রশস্ত হবে?

আমরা এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,05 .

আমরা পেতে:

.

এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 14.57 থেকে 15.82 পর্যন্ত।

আমরা আবার এই মানগুলিকে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করি:

তাত্পর্য স্তরের জন্য আদর্শ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মান কোথায় α = 0,01 .

আমরা পেতে:

.

এইভাবে, এই নমুনার গড় জন্য 99% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান 14.37 থেকে 16.02 পর্যন্ত।

আমরা যেমন দেখি, আত্মবিশ্বাসের গুণাগুণ বাড়ার সাথে সাথে, সাধারণ স্বাভাবিক বন্টনের সমালোচনামূলক মানও বৃদ্ধি পায়, এবং ফলস্বরূপ, ব্যবধানের শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলি গড় থেকে আরও দূরে অবস্থিত, এবং এইভাবে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান বৃদ্ধি পায়। .

নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণ বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান

কিছু নমুনা বৈশিষ্ট্য শেয়ার হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে পয়েন্ট অনুমান আপেক্ষিক গুরুত্ব পিসাধারণ জনগণের মধ্যে একই বৈশিষ্ট্যের। যদি এই মানটিকে সম্ভাব্যতার সাথে যুক্ত করতে হয়, তাহলে নির্দিষ্ট মাধ্যাকর্ষণটির আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করা উচিত পিসম্ভাবনা সহ জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্য পৃ = 1 - α :

.

উদাহরণ 4.কোনো কোনো সিটিতে দুজন প্রার্থী রয়েছেন কএবং খমেয়র পদে লড়ছেন। 200 জন শহরের বাসিন্দাদের এলোমেলোভাবে জরিপ করা হয়েছিল, যার মধ্যে 46% প্রতিক্রিয়া জানিয়েছে যে তারা প্রার্থীকে ভোট দেবে ক, 26% - প্রার্থীর জন্য খএবং 28% জানেন না তারা কাকে ভোট দেবেন। প্রার্থীকে সমর্থনকারী শহরের বাসিন্দাদের অনুপাতের জন্য 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান নির্ধারণ করুন ক.

শুরু করার জন্য, আসুন নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি স্মরণ করি:

আসুন নিম্নলিখিত পরিস্থিতি বিবেচনা করুন। গণিতের প্রত্যাশা $a$ এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি $\sigma$ সহ জনসংখ্যার বৈকল্পিকগুলির একটি স্বাভাবিক বন্টন থাকতে দিন। নমুনা মানে এক্ষেত্রেএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে গণ্য করা হবে। যখন $X$ পরিমাণ সাধারণত বিতরণ করা হয়, তখন নমুনা গড়টিও সাধারণভাবে প্যারামিটারের সাথে বিতরণ করা হবে

আসুন আমরা একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে পাই যা $a$ মানকে $\gamma $ এর নির্ভরযোগ্যতার সাথে কভার করে।

এটি করার জন্য, আমাদের সমতা প্রয়োজন

তা থেকে আমরা পাই

এখান থেকে আমরা সহজেই $t$ ফাংশন মানের সারণী থেকে খুঁজে পেতে পারি $Ф\left(t\right)$ এবং ফলস্বরূপ, $\delta $ খুঁজে পেতে পারি।

আসুন $Ф\left(t\right)$ ফাংশনের মানের সারণীটি স্মরণ করি:

চিত্র 1. ফাংশনের মানের সারণী $Ф\left(t\right).$

একটি অজানা $(\mathbf \sigma )$ এর জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করার জন্য অবিচ্ছেদ্য আস্থা

এই ক্ষেত্রে, আমরা সংশোধন করা ভ্যারিয়েন্স মান $S^2$ ব্যবহার করব। উপরের সূত্রে $\sigma $ কে $S$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খোঁজার জন্য উদাহরণ সমস্যা

উদাহরণ 1

পরিমান $X$ এর ভ্যারিয়েন্স $\sigma =4$ সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন করা যাক। নমুনার আকার $n=64$ এবং নির্ভরযোগ্যতা $\gamma =0.95$ হতে দিন। এই বিতরণের গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন।

আমাদের ব্যবধান খুঁজে বের করতে হবে ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$।

যেমনটি আমরা উপরে দেখেছি

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

পরামিতি $t$ সূত্র থেকে পাওয়া যাবে

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma)(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

সারণী 1 থেকে আমরা খুঁজে পাই যে $t=1.96$।

CB X কে সাধারণ জনসংখ্যা গঠন করতে দিন এবং β কে অজানা পরামিতি CB X হতে দিন। যদি * এর পরিসংখ্যানগত অনুমানটি সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তাহলে নমুনার আকার যত বড় হবে, তত সঠিকভাবে আমরা β-এর মান পাব। যাইহোক, অনুশীলনে, আমাদের কাছে খুব বড় নমুনা নেই, তাই আমরা আরও সঠিকতার গ্যারান্টি দিতে পারি না।

ধরা যাক b* গ এর জন্য একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান। মান |in* - in| অনুমান নির্ভুলতা বলা হয়। এটা স্পষ্ট যে নির্ভুলতা হল CB, যেহেতু β* একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। আসুন একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা 8 উল্লেখ করি এবং অনুমানের যথার্থতা প্রয়োজন |в* - в| 8 এর কম ছিল, অর্থাৎ | in* - মধ্যে |< 8.

নির্ভরযোগ্যতা g বা আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা in * দ্বারা অনুমান করা হল সম্ভাব্যতা g যার সাথে অসমতা |in * - in|< 8, т. е.

সাধারণত, নির্ভরযোগ্যতা g আগে থেকে নির্দিষ্ট করা হয়, এবং g 1 এর কাছাকাছি একটি সংখ্যা হিসাবে নেওয়া হয় (0.9; 0.95; 0.99; ...)।

যেহেতু অসমতা |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

ব্যবধান (* - 8 এর মধ্যে, * + 5 এ) একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান বলা হয়, অর্থাৎ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি সম্ভাব্যতা y সহ অজানা প্যারামিটারকে কভার করে। মনে রাখবেন যে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের শেষগুলি এলোমেলো এবং নমুনা থেকে নমুনাতে পরিবর্তিত হয়, তাই এটি বলা আরও সঠিক যে ব্যবধান (* - 8, * + 8-এ) অজানা প্যারামিটারকে এর অন্তর্গত না করে এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে অন্তর.

দিন জনসংখ্যাএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X দ্বারা প্রদত্ত, একটি সাধারণ নিয়ম অনুসারে বিতরণ করা হয়, এবং আদর্শ বিচ্যুতি a পরিচিত। অজানা হল গাণিতিক প্রত্যাশা a = M (X)। একটি প্রদত্ত নির্ভরযোগ্যতা y-এর জন্য a-এর জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজে বের করতে হবে।

নমুনা গড়

xr = a এর জন্য একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান।

উপপাদ্য। এলোমেলো মান X এর একটি স্বাভাবিক বন্টন থাকলে এবং M(XB) = a,

A (XB) = a, যেখানে a = y/B (X), a = M (X)। l/i

a এর আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ফর্ম রয়েছে:

আমরা 8 খুঁজে পাই।

অনুপাত ব্যবহার করে

যেখানে Ф(r) হল Laplace ফাংশন, আমাদের আছে:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

ল্যাপ্লেস ফাংশনের মানের টেবিলে আমরা t এর মান খুঁজে পাই।

মনোনীত হচ্ছে

T, আমরা F(t) = g পাই যেহেতু g দেওয়া হয়েছে, তারপর দ্বারা

সমতা থেকে আমরা দেখতে পাই যে অনুমানটি সঠিক।

এর মানে হল a এর আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের ফর্ম রয়েছে:

জনসংখ্যা X থেকে একটি নমুনা দেওয়া হয়েছে

ng	প্রতি"	X2	এক্সএম
n	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, তাহলে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হবে:

উদাহরণ 6.35। নমুনার মানে Xb = 10.43, নমুনার আকার n = 100 এবং মানক বিচ্যুতি s = 5 জেনে, 0.95 এর নির্ভরযোগ্যতার সাথে স্বাভাবিক বন্টনের গাণিতিক প্রত্যাশা a অনুমান করার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন।

এর সূত্র ব্যবহার করা যাক

জনসংখ্যার এলোমেলো পরিবর্তনশীল Xকে সাধারণভাবে বিতরণ করা যাক, এই বন্টনের বৈচিত্র্য এবং মানক বিচ্যুতিগুলি জানা যায় তা বিবেচনায় নিয়ে। নমুনা গড় ব্যবহার করে অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, কাজটি নির্ভরযোগ্যতার সাথে গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খোঁজার জন্য নেমে আসে খ। আপনি যদি আত্মবিশ্বাসের সম্ভাব্যতা (নির্ভরযোগ্যতা) b এর মান নির্দিষ্ট করেন, তাহলে আপনি সূত্র (6.9a) ব্যবহার করে অজানা গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য ব্যবধানে পড়ার সম্ভাবনা খুঁজে পেতে পারেন:

যেখানে Ф(t) হল Laplace ফাংশন (5.17a)।

ফলস্বরূপ, আমরা গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারি যদি পার্থক্য D = s 2 জানা থাকে:

1. নির্ভরযোগ্যতার মান নির্ধারণ করুন – খ.
2. থেকে (6.14) এক্সপ্রেস Ф(t) = 0.5× b। Ф(t) মানের উপর ভিত্তি করে Laplace ফাংশনের জন্য টেবিল থেকে t এর মান নির্বাচন করুন (পরিশিষ্ট 1 দেখুন)।
3. সূত্র ব্যবহার করে বিচ্যুতি e গণনা করুন (6.10)।
4. সূত্র (6.12) ব্যবহার করে একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান লিখুন যাতে b সম্ভাবনার সাথে অসমতা থাকে:

.

উদাহরণ 5.

র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর একটি স্বাভাবিক বন্টন আছে। অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা a এর নির্ভরযোগ্যতা b = 0.96 সহ একটি অনুমানের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন, যদি দেওয়া হয়:

1) সাধারণ মান বিচ্যুতি s = 5;

2) নমুনা গড়;

3) নমুনার আকার n = 49।

গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধান অনুমানের সূত্রে (6.15) ক নির্ভরযোগ্যতার সাথে b টি ছাড়া সমস্ত পরিমাণ পরিচিত। t এর মান (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96 ব্যবহার করে পাওয়া যাবে। Ф(t) = ০.৪৮।

ল্যাপ্লেস ফাংশন Ф(t) = 0.48-এর জন্য পরিশিষ্ট 1-এ টেবিলটি ব্যবহার করে, সংশ্লিষ্ট মান t = 2.06 খুঁজুন। তাই, . e-এর গণনাকৃত মানকে সূত্রে (6.12) প্রতিস্থাপন করে, আপনি একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান পেতে পারেন: 30-1.47< a < 30+1,47.

অজানা গাণিতিক প্রত্যাশার নির্ভরযোগ্যতা b = 0.96 সহ একটি অনুমানের জন্য প্রয়োজনীয় আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সমান: 28.53< a < 31,47.