পয়েন্ট অনুমান এবং এর বৈশিষ্ট্য। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান

s x =(1.11)

আমরা একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল অধ্যয়নের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা বিবেচনা করব। কিছু নমুনা থাকতে দিন (আমরা এটি বোঝাব এস) আমার স্নাতকের এক্স. উপলব্ধ নমুনা থেকে অনুমান করা প্রয়োজন অজানা মান m xএবং .

বিভিন্ন প্যারামিটারের অনুমানের তত্ত্ব দখল করে গাণিতিক পরিসংখ্যানউল্লেখযোগ্য স্থান। অতএব, আসুন প্রথমে বিবেচনা করা যাক সাধারণ কাজ. কিছু পরামিতি অনুমান করা প্রয়োজন হতে দিন কনমুনা দ্বারা এস. প্রতিটি যেমন মূল্যায়ন একটি*কিছু ফাংশন a*=a*(S)নমুনা মান থেকে। নমুনা মান র্যান্ডম, তাই অনুমান নিজেই একটি*একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। অনেক গড়ে তোলা সম্ভব বিভিন্ন অনুমান(যেমন ফাংশন) একটি*, কিন্তু একই সময়ে মূল্যায়ন একটি "ভাল" বা এমনকি "সেরা" থাকা বাঞ্ছনীয়। নিম্নলিখিত তিনটি প্রাকৃতিক প্রয়োজনীয়তা সাধারণত মূল্যায়ন উপর আরোপ করা হয়.

1. স্থানচ্যুত।মূল্যায়নের গাণিতিক প্রত্যাশা একটি*প্যারামিটারের সঠিক মানের সমান হতে হবে: ম = ক. অন্য কথায়, স্কোর একটি*পদ্ধতিগত ত্রুটি থাকা উচিত নয়।

2. সম্পদ।নমুনা আকার একটি অসীম বৃদ্ধি সঙ্গে, অনুমান একটি*একটি সঠিক মানের সাথে মিলিত হওয়া উচিত, অর্থাৎ, পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে অনুমান ত্রুটি শূন্যের দিকে চলে যায়।

3. দক্ষতা।শ্রেণী একটি*যদি এটি নিরপেক্ষ হয় এবং সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য ত্রুটি বৈচিত্র্য থাকে তবে এটি কার্যকর বলে বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, অনুমানের বিস্তার ন্যূনতম একটি*সঠিক মানের সাথে সম্পর্কিত এবং অনুমান একটি নির্দিষ্ট অর্থে "সবচেয়ে নির্ভুল"।

দুর্ভাগ্যবশত, একই সাথে তিনটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এমন একটি মূল্যায়ন করা সবসময় সম্ভব হয় না।

গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করতে, একটি অনুমান প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

= , (1.12)

অর্থাৎ নমুনার গাণিতিক গড়। এলোমেলো পরিবর্তনশীল হলে এক্সসসীম আছে m xএবং s x, তাহলে অনুমান (1.12) পক্ষপাতমূলক এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। এই অনুমান কার্যকর, উদাহরণস্বরূপ, যদি এক্সএকটি স্বাভাবিক বন্টন আছে (চিত্র 1.4, পরিশিষ্ট 1)। অন্যান্য বিতরণের জন্য এটি কার্যকর নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অভিন্ন বন্টনের ক্ষেত্রে (চিত্র 1.1, পরিশিষ্ট 1), একটি নিরপেক্ষ, সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমান হবে

(1.13)

একই সময়ে, স্বাভাবিক বিতরণের জন্য অনুমান (1.13) সামঞ্জস্যপূর্ণ বা কার্যকর হবে না এবং নমুনার আকার বৃদ্ধির সাথে আরও খারাপ হবে।

এইভাবে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটি ধরনের বিতরণের জন্য এক্সআপনার গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান ব্যবহার করা উচিত। যাইহোক, আমাদের পরিস্থিতিতে, বিতরণের ধরণটি কেবলমাত্র অস্থায়ীভাবে জানা যেতে পারে। অতএব, আমরা অনুমান (1.12) ব্যবহার করব, যা বেশ সহজ এবং সর্বাধিক রয়েছে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যনিরপেক্ষতা এবং ধারাবাহিকতা।

একটি গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করতে, নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করা হয়:

= , (1.14)

যা পূর্ববর্তী থেকে পাওয়া যেতে পারে, যদি আমরা সবকিছু বিবেচনা করি m iনমুনা মান অন্তর্ভুক্ত i-ম ব্যবধান প্রতিনিধির সমান z iএই ব্যবধান। এই অনুমানটি স্বাভাবিকভাবেই রুক্ষ, তবে উল্লেখযোগ্যভাবে কম গণনা প্রয়োজন, বিশেষ করে একটি বড় নমুনার আকারের সাথে।

বৈচিত্র অনুমান করার জন্য সর্বাধিক ব্যবহৃত অনুমান হল:

= , (1.15)

এই অনুমানটি পক্ষপাতমূলক নয় এবং যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈধ এক্স, চতুর্থ ক্রম পর্যন্ত সীমিত মুহূর্ত থাকা।

একটি গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনার ক্ষেত্রে, ব্যবহৃত অনুমান হল:

= (1.16)

অনুমান (1.14) এবং (1.16), একটি নিয়ম হিসাবে, পক্ষপাতদুষ্ট এবং অক্ষম, যেহেতু তাদের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারা যে সীমাতে একত্রিত হয় তা ভিন্ন m xএবং অন্তর্ভুক্ত সমস্ত নমুনা মান প্রতিস্থাপনের কারণে i-ম ব্যবধান, প্রতি ব্যবধান প্রতিনিধি z i.

বড় জন্য যে নোট n,গুণাঙ্ক n/(n – 1)অভিব্যক্তিতে (1.15) এবং (1.16) একতার কাছাকাছি, তাই এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে।

ব্যবধান অনুমান।

দিন প্রকৃত মূল্যকিছু প্যারামিটার সমান কএবং তার অনুমান পাওয়া গেছে a*(S)নমুনা দ্বারা এস. মূল্যায়ন একটি*সাংখ্যিক অক্ষের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায় (চিত্র 1.5), তাই এই অনুমান বলা হয় বিন্দু. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আলোচিত সমস্ত অনুমান বিন্দু অনুমান। প্রায় সবসময়, সুযোগ কারণে

a* ¹ ক, এবং আমরা শুধুমাত্র যে বিন্দু আশা করতে পারেন একটি*কাছাকাছি কোথাও আছে ক. কিন্তু কত কাছে? অন্য কোনো পয়েন্ট অনুমানের একই ত্রুটি থাকবে - ফলাফলের নির্ভরযোগ্যতার পরিমাপের অভাব।

চিত্র 1.5। পয়েন্ট প্যারামিটার অনুমান।

এই বিষয়ে আরো সুনির্দিষ্ট ব্যবধান অনুমান. ব্যবধান স্কোর একটি ব্যবধান প্রতিনিধিত্ব করে I b = (a, b), যেখানে আনুমানিক প্যারামিটারের সঠিক মান একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে পাওয়া যায় খ. অন্তর ইবডাকা আস্থা ব্যবধান, এবং সম্ভাবনা খডাকা আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা এবং হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে মূল্যায়নের নির্ভরযোগ্যতা.

আস্থার ব্যবধান উপলব্ধ নমুনার উপর ভিত্তি করে এস, এটা এলোমেলো এই অর্থে যে এর সীমানা এলোমেলো a(S)এবং b(S), যা আমরা একটি (এলোমেলো) নমুনা থেকে গণনা করব। এই জন্য খএকটি সম্ভাবনা আছে যে র্যান্ডম ব্যবধান ইবএকটি নন-এলোমেলো পয়েন্ট কভার করবে ক. চিত্রে। 1.6। অন্তর ইববিন্দু কভার ক, ক আইবি*- না। অতএব, এটা বলা সম্পূর্ণ সঠিক নয় একটি "ব্যবধানে পড়ে"

যদি আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা থাকে খবড় (উদাহরণস্বরূপ, b = 0.999), তারপর প্রায় সবসময় সঠিক মান কনির্মিত ব্যবধানের মধ্যে রয়েছে।

চিত্র 1.6। প্যারামিটারের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কবিভিন্ন নমুনার জন্য।

এর নির্মাণ পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক আস্থা ব্যবধানএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য এক্স,উপর ভিত্তি করে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য.

র্যান্ডম চলক যাক এক্সএকটি অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা আছে m xএবং পরিচিত বৈচিত্র. তারপর, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের ভিত্তিতে, গাণিতিক গড় হল:

= , (1.17)

ফলাফল n স্বাধীন পরীক্ষাপরিমাণ এক্সএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার ডিস্ট্রিবিউশন বড় n, কাছাকাছি স্বাভাবিক বন্টনগড় সঙ্গে m xএবং আদর্শ বিচ্যুতি। অতএব র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

(1.18)

একটি সম্ভাব্যতা বন্টন আছে যা বিবেচনা করা যেতে পারে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকবন্টন ঘনত্ব সহ j(t), যার গ্রাফ চিত্র 1.7 এ দেখানো হয়েছে (এছাড়া চিত্র 1.4, পরিশিষ্ট 1)।

চিত্র 1.7। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টন t.

আত্মবিশ্বাস সম্ভাবনা দেওয়া যাক খএবং টি খ -সংখ্যাটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

কোথায় - ল্যাপ্লেস ফাংশন. তাহলে ব্যবধানে পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা (-t b, t b)চিত্র 1.7-এ ছায়াযুক্ত একের সমান হবে। এলাকা, এবং, প্রকাশের গুণে (1.19), সমান খ. তাই

b = P(-t b< < t b) = P( – t খ< m x < + টি খ) =

= পি( – t খ< m x < + টি খ)।(1.20)

সুতরাং, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে আমরা ব্যবধান নিতে পারি

আমি খ = ( - টি বি; + tb ) , (1.21)

যেহেতু এক্সপ্রেশন (1.20) মানে অজানা সঠিক মান m xমধ্যে আছে ইবএকটি প্রদত্ত আস্থা সম্ভাবনা সঙ্গে খ. নির্মাণের জন্য ইবনির্দিষ্ট হিসাবে প্রয়োজন খঅনুসন্ধান t খসমীকরণ থেকে (1.19)। এর কয়েকটি মান দেওয়া যাক t খভবিষ্যতে প্রয়োজন :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3।

অভিব্যক্তি (1.21) প্রাপ্ত করার সময়, এটি ধরে নেওয়া হয়েছিল যে আদর্শ বিচ্যুতির সঠিক মান জানা যায় s x. যাইহোক, এটি সবসময় জানা যায় না। তাই আসুন তার অনুমান ব্যবহার করুন (1.15) এবং প্রাপ্ত করুন:

আমি খ = ( - টি বি; +tb). (1.22)

তদনুসারে, গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনা থেকে অনুমান এবং প্রাপ্ত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র দেয়:

আমি খ = ( - টি বি; +tb). (1.23)

লেকচারের উদ্দেশ্য: একটি অজানা বন্টন পরামিতি অনুমান করার ধারণাটি চালু করুন এবং এই জাতীয় অনুমানের একটি শ্রেণীবিভাগ দিন; গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান পান।

অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন আইন অজানা, এবং পর্যবেক্ষণের ফলাফল অনুসারে
সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি অনুমান করা প্রয়োজন (উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ বা অন্যান্য মুহূর্ত) বা একটি অজানা পরামিতি , যা বন্টন আইন (বন্টন ঘনত্ব) নির্ধারণ করে
র্যান্ডম পরিবর্তনশীল অধ্যয়ন করা হচ্ছে. এইভাবে, একটি সূচকীয় বন্টন বা পয়সন বন্টনের জন্য, একটি প্যারামিটার অনুমান করা যথেষ্ট, তবে একটি সাধারণ বন্টনের জন্য, দুটি প্যারামিটার অবশ্যই অনুমান করা উচিত - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র।

মূল্যায়নের ধরন

এলোমেলো মান
একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব আছে
, কোথায় - অজানা বিতরণ পরামিতি। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল:
. একটি মূল্যায়ন করার অপরিহার্য অর্থ হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা মান অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট প্যারামিটার মানের সাথে যুক্ত হতে হবে , অর্থাৎ পর্যবেক্ষণ ফলাফলের কিছু ফাংশন তৈরি করুন
, যার মান একটি অনুমান হিসাবে নেওয়া হয় প্যারামিটার . সূচক সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা নির্দেশ করে।

যে কোন ফাংশন যা পর্যবেক্ষণের ফলাফলের উপর নির্ভর করে তাকে বলা হয় পরিসংখ্যান. যেহেতু পর্যবেক্ষণের ফলাফল এলোমেলো ভেরিয়েবল, তাই পরিসংখ্যানও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে। অতএব, মূল্যায়ন
অজানা পরামিতি একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত, এবং এর মান, ভলিউমের পরীক্ষামূলক ডেটা থেকে গণনা করা হয় , – এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে একটি হিসাবে।

ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের অনুমান (একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য) বিন্দু এবং ব্যবধানে বিভক্ত। পয়েন্ট অনুমানপ্যারামিটার একটি সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত , এবং এর নির্ভুলতা অনুমানের ভিন্নতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ব্যবধান অনুমানএকটি স্কোর বলা হয় যা দুটি সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, এবং - আনুমানিক পরামিতি কভার করে ব্যবধানের শেষ একটি প্রদত্ত আস্থা সম্ভাবনা সঙ্গে.

বিন্দু অনুমানের শ্রেণীবিভাগ

একটি অজানা পরামিতি একটি বিন্দু অনুমানের জন্য
নির্ভুলতার ক্ষেত্রে সর্বোত্তম, এটি অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ, নিরপেক্ষ এবং দক্ষ হতে হবে।

ধনীমূল্যায়ন বলা হয়
প্যারামিটার , যদি এটি আনুমানিক প্যারামিটারে সম্ভাব্যতার সাথে একত্রিত হয়, যেমন

. (8.8)

চেবিশেভের অসমতার উপর ভিত্তি করে, এটি দেখানো যেতে পারে যথেষ্ট শর্তসম্পর্কের পরিপূর্ণতা (8.8) হল সমতা

.

সামঞ্জস্য হল অনুমানের একটি অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্য
.

পক্ষপাতশূন্যমূল্যায়ন বলা হয়
(পদ্ধতিগত ত্রুটি ছাড়াই অনুমান), যার গাণিতিক প্রত্যাশা আনুমানিক প্যারামিটারের সমান, যেমন

. (8.9)

যদি সমতা (8.9) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে অনুমানটিকে পক্ষপাতমূলক বলা হয়। পার্থক্য
অনুমানে পক্ষপাত বা পদ্ধতিগত ত্রুটি বলা হয়। যদি সমতা (8.9) শুধুমাত্র জন্য সন্তুষ্ট হয়
, তারপর সংশ্লিষ্ট অনুমানটিকে বলা হয় অসীমভাবে নিরপেক্ষ।

এটি লক্ষ করা উচিত যে যদি অনুশীলনে ব্যবহৃত সমস্ত অনুমানের জন্য সামঞ্জস্য একটি প্রায় বাধ্যতামূলক শর্ত হয় (অসংলগ্ন অনুমানগুলি অত্যন্ত বিরলভাবে ব্যবহৃত হয়), তবে নিরপেক্ষতার সম্পত্তি কেবল আকাঙ্খিত। অনেক ঘন ঘন ব্যবহৃত অনুমানে নিরপেক্ষ সম্পত্তি নেই।

ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেকিছু প্যারামিটারের অনুমানের নির্ভুলতা , পরীক্ষামূলক তথ্যের ভিত্তিতে প্রাপ্ত
, গড় বর্গক্ষেত্র ত্রুটি দ্বারা চিহ্নিত

,

যা আকারে কমিয়ে আনা যায়

,

পার্থক্য কোথায়,
- বর্গক্ষেত্র অনুমান পক্ষপাত।

যদি অনুমান নিরপেক্ষ হয়, তাহলে

সসীম এ গড় বর্গাকার ত্রুটি দ্বারা অনুমান ভিন্ন হতে পারে . স্বাভাবিকভাবেই, এই ত্রুটিটি যত ছোট হবে, মূল্যায়নের মানগুলি আনুমানিক প্যারামিটারের চারপাশে আরও ঘনিষ্ঠভাবে গোষ্ঠীবদ্ধ হবে। অতএব, এটি সর্বদা বাঞ্ছনীয় যে অনুমান ত্রুটি যতটা সম্ভব ছোট, অর্থাৎ, শর্তটি সন্তুষ্ট

. (8.10)

মূল্যায়ন , সন্তোষজনক অবস্থা (8.10), ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র ত্রুটি সহ একটি অনুমান বলা হয়।

কার্যকরীমূল্যায়ন বলা হয়
, যার জন্য গড় বর্গক্ষেত্র ত্রুটি অন্য কোনো অনুমানের গড় বর্গ ত্রুটির চেয়ে বেশি নয়, যেমন

কোথায় - অন্য কোনো প্যারামিটার অনুমান .

এটি জানা যায় যে একটি প্যারামিটারের যে কোনও নিরপেক্ষ অনুমানের প্রকরণ ক্রেমার-রাও অসমতাকে সন্তুষ্ট করে

,

কোথায়
- প্যারামিটারের প্রকৃত মানের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রাপ্ত মানগুলির শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টন .

সুতরাং, নিরপেক্ষ অনুমান
, যার জন্য Cramer–Rao অসমতা সমতা হয়ে ওঠে, কার্যকর হবে, অর্থাৎ, এই ধরনের অনুমানের ন্যূনতম বৈচিত্র্য রয়েছে।

প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের বিন্দু অনুমান

যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয়
, যার একটি গাণিতিক প্রত্যাশা আছে এবং বৈচিত্র্য , তারপর এই উভয় পরামিতি অজানা বলে মনে করা হয়। অতএব, একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল উপর
উত্পাদিত স্বাধীন পরীক্ষা যা ফলাফল দেয়:
. অজানা পরামিতিগুলির সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নিরপেক্ষ অনুমান খুঁজে বের করা প্রয়োজন এবং .

অনুমান হিসাবে এবং সাধারণত পরিসংখ্যানগত (নমুনা) গড় এবং পরিসংখ্যানগত (নমুনা) ভিন্নতা যথাক্রমে নির্বাচিত হয়:

; (8.11)

. (8.12)

গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান (8.11) বড় সংখ্যার (চেবিশেভের উপপাদ্য) অনুসারে সামঞ্জস্যপূর্ণ:

.

একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা

.

অতএব, অনুমান নিরপেক্ষ।

গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমানের বিচ্ছুরণ:

এলোমেলো পরিবর্তনশীল হলে
স্বাভাবিক আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়, তারপর অনুমান এছাড়াও কার্যকর।

প্রকরণ অনুমানের প্রত্যাশা

একই সময়

.

কারণ
, ক
, তারপর আমরা পেতে

. (8.13)

এইভাবে,
- একটি পক্ষপাতমূলক মূল্যায়ন, যদিও এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং কার্যকর।

সূত্র (8.13) থেকে এটি একটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রাপ্ত করার জন্য অনুসরণ করে
নমুনা বৈচিত্র্য (8.12) নিম্নরূপ সংশোধন করা উচিত:

যা আনুমানিক (8.12) তুলনায় "ভাল" বলে বিবেচিত হয়, যদিও বড় আকারে এই অনুমান প্রায় একে অপরের সমান।

বন্টন পরামিতি অনুমান প্রাপ্ত করার জন্য পদ্ধতি

প্রায়শই অনুশীলনে, শারীরিক প্রক্রিয়ার বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল তৈরি করে
, আমরা এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন সম্পর্কে একটি উপসংহার টানতে পারি। যাইহোক, এই বিতরণের পরামিতিগুলি অজানা এবং পরীক্ষামূলক ফলাফল থেকে অনুমান করা আবশ্যক, সাধারণত একটি সীমিত নমুনা আকারে উপস্থাপিত হয়
. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, দুটি পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়: মুহুর্তের পদ্ধতি এবং সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি।

মুহূর্তের পদ্ধতি. পদ্ধতিটি একই আদেশের সংশ্লিষ্ট অভিজ্ঞতামূলক মুহূর্তগুলির সাথে তাত্ত্বিক মুহূর্তগুলিকে সমান করে।

অভিজ্ঞতামূলক শুরুর পয়েন্ট -ম ক্রম সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

,

এবং সংশ্লিষ্ট তাত্ত্বিক প্রাথমিক মুহূর্ত -ম ক্রম - সূত্র:

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য,

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য,

কোথায় - আনুমানিক বিতরণ পরামিতি।

দুটি অজানা পরামিতি সমন্বিত একটি বিতরণের পরামিতিগুলির অনুমান পেতে এবং , দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সংকলিত হয়

কোথায় এবং - দ্বিতীয় আদেশের তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।

সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল অনুমান এবং অজানা বিতরণ পরামিতি এবং .

প্রথম ক্রমটির তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক প্রাথমিক মুহূর্তগুলিকে সমান করে, আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করে এটি পাই
, একটি নির্বিচারে বন্টন থাকা, নমুনা গড় হবে, যেমন
. তারপর, দ্বিতীয় ক্রমটির তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলিকে সমান করে, আমরা পাই যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের অনুমান
, যার একটি নির্বিচারে বন্টন আছে, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

.

একইভাবে, যে কোনো আদেশের তাত্ত্বিক মুহূর্তগুলির অনুমান খুঁজে পেতে পারেন।

মুহূর্তগুলির পদ্ধতিটি সহজ এবং জটিল গণনার প্রয়োজন হয় না, তবে এই পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত অনুমানগুলি প্রায়শই অকার্যকর হয়।

সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি. অজানা বন্টন পরামিতিগুলির বিন্দু অনুমানের সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি এক বা একাধিক আনুমানিক পরামিতির ফাংশনের সর্বাধিক খুঁজে পেতে হ্রাস করা হয়।

দিন
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, যার ফলে পরীক্ষা মান নিয়েছে
. একটি অজানা পরামিতি একটি অনুমান প্রাপ্ত করতে এটা যেমন একটি মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন , যেখানে ফলাফল নমুনা বাস্তবায়নের সম্ভাবনা সর্বাধিক হবে। কারণ
একই সম্ভাবনার ঘনত্বের সাথে পারস্পরিকভাবে স্বাধীন পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে
, যে সম্ভাবনা ফাংশনআর্গুমেন্ট ফাংশন কল করুন :

পরামিতি সর্বোচ্চ সম্ভাবনা অনুমান দ্বারা এই মান বলা হয় , যেখানে সম্ভাব্যতা ফাংশন সর্বাধিক পৌঁছায়, অর্থাৎ, সমীকরণের একটি সমাধান

,

যা স্পষ্টভাবে পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে
.

যেহেতু ফাংশন
এবং
একই মানগুলিতে সর্বাধিক পৌঁছান
, তারপর গণনা সহজ করার জন্য তারা প্রায়শই লগারিদমিক সম্ভাবনা ফাংশন ব্যবহার করে এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণের মূলের সন্ধান করে

,

চমগ্মজগচ সম্ভাবনা সমীকরণ.

আপনি যদি বেশ কয়েকটি পরামিতি মূল্যায়ন করতে হবে
বিতরণ
, তাহলে সম্ভাবনা ফাংশন এই পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করবে। অনুমান খুঁজে বের করতে
ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারগুলি সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা সমীকরণ

.

সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অসীমভাবে দক্ষ অনুমান প্রদান করে। যাইহোক, সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত অনুমানগুলি পক্ষপাতমূলক, এবং উপরন্তু, অনুমান খুঁজে পেতে, প্রায়শই সমীকরণের বরং জটিল সিস্টেমগুলি সমাধান করা প্রয়োজন।

ব্যবধান পরামিতি অনুমান

বিন্দু অনুমানের নির্ভুলতা তাদের বৈচিত্র্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যাইহোক, প্রাপ্ত অনুমানগুলি পরামিতিগুলির সত্যিকারের মানগুলির কতটা কাছাকাছি সে সম্পর্কে কোনও তথ্য নেই। অনেকগুলি কাজের মধ্যে, আপনাকে শুধুমাত্র প্যারামিটার খুঁজে বের করতে হবে না উপযুক্ত সংখ্যাসূচক মান, কিন্তু এর নির্ভুলতা এবং নির্ভরযোগ্যতা মূল্যায়ন করতে। একটি প্যারামিটার প্রতিস্থাপনের ফলে কী ত্রুটি হতে পারে তা আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে তার পয়েন্ট অনুমান এবং কতটা আত্মবিশ্বাসের সাথে আমাদের আশা করা উচিত যে এই ত্রুটিগুলি পরিচিত সীমা অতিক্রম করবে না।

এই ধরনের কাজগুলি বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক যখন অল্প সংখ্যক পরীক্ষা-নিরীক্ষা হয়। , যখন পয়েন্ট অনুমান মূলত র্যান্ডম এবং আনুমানিক প্রতিস্থাপন চালু উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হতে পারে।

আরো সম্পূর্ণ এবং নির্ভরযোগ্য উপায়ডিস্ট্রিবিউশনের প্যারামিটারের অনুমান একটি একক পয়েন্ট মান নির্ধারণ করে না, তবে একটি ব্যবধান যা একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে, আনুমানিক প্যারামিটারের প্রকৃত মানকে কভার করে।

ফলাফল অনুযায়ী যাক পরীক্ষা, একটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রাপ্ত করা হয়েছিল
প্যারামিটার . সম্ভাব্য ত্রুটিটি মূল্যায়ন করা প্রয়োজন। কিছু যথেষ্ট বড় সম্ভাবনা নির্বাচন করা হয়
(উদাহরণস্বরূপ), এই সম্ভাবনা সহ একটি ঘটনাকে কার্যত নির্দিষ্ট ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় মান পাওয়া যায় , কিসের জন্য

. (8.15)

এই ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপনের সময় ঘটে যাওয়া ত্রুটির কার্যত সম্ভাব্য মানগুলির পরিসর চালু , ইচ্ছাশক্তি
, এবং বড় বেশী পরম মানত্রুটি শুধুমাত্র একটি কম সম্ভাবনা সঙ্গে প্রদর্শিত হবে .

অভিব্যক্তি (8.15) মানে সম্ভাব্যতা সহ
অজানা পরামিতি মান বিরতির মধ্যে পড়ে

. (8.16)

সম্ভাবনা
ডাকা আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা, এবং ব্যবধান , সম্ভাবনা সঙ্গে আচ্ছাদন প্যারামিটারের প্রকৃত মান বলা হয় আস্থা ব্যবধান. মনে রাখবেন যে প্যারামিটার মান সম্ভাব্যতার সাথে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের মধ্যে রয়েছে তা বলা ভুল . ব্যবহৃত ফর্মুলেশন (কভার) এর অর্থ হল যে যদিও প্যারামিটারটি অনুমান করা হচ্ছে তা অজানা, এটির একটি ধ্রুবক মান রয়েছে এবং তাই এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয় বলে এর কোন বিস্তার নেই।

প্রত্যাশা হল একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন

গাণিতিক প্রত্যাশা, সংজ্ঞা, বিযুক্ত এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা, নমুনা, শর্তাধীন প্রত্যাশা, গণনা, বৈশিষ্ট্য, সমস্যা, প্রত্যাশার অনুমান, বিচ্ছুরণ, বিতরণ ফাংশন, সূত্র, গণনার উদাহরণ

বিষয়বস্তু প্রসারিত

বিষয়বস্তু সঙ্কুচিত করুন

গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা

গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান বা সম্ভাব্যতার বিতরণকে চিহ্নিত করে। সাধারণত একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য প্যারামিটারের ওজনযুক্ত গড় হিসাবে প্রকাশ করা হয়। প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণ, সংখ্যা সিরিজের অধ্যয়ন এবং ক্রমাগত এবং সময়সাপেক্ষ প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। ইহা ছিল গুরুত্বপূর্ণঝুঁকি মূল্যায়ন করার সময়, আর্থিক বাজারে ট্রেড করার সময় মূল্য সূচকের ভবিষ্যদ্বাণী করার সময়, এটি জুয়া তত্ত্বে কৌশল এবং গেমিং কৌশলগুলির পদ্ধতির বিকাশে ব্যবহৃত হয়।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান, একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বিবেচনা করা হয়।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলসম্ভাব্যতা তত্ত্বে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গড় মানের একটি পরিমাপ। একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা এক্সদ্বারা প্রকাশ M(x).

গাণিতিক প্রত্যাশা হল

গাণিতিক প্রত্যাশা হলসম্ভাব্যতা তত্ত্বে, সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির একটি ওজনযুক্ত গড় যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিতে পারে।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সব মানের পণ্যের যোগফল এবং এই মানের সম্ভাব্যতা।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলএকটি নির্দিষ্ট সিদ্ধান্ত থেকে গড় সুবিধা, শর্ত থাকে যে এই ধরনের সিদ্ধান্তটি বড় সংখ্যা এবং দীর্ঘ দূরত্বের তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে বিবেচনা করা যেতে পারে।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলজুয়া তত্ত্বে, প্রতিটি বাজির জন্য একজন খেলোয়াড় গড়ে যে পরিমাণ জয় বা হারাতে পারে। জুয়ার কথায়, এটিকে কখনও কখনও "খেলোয়াড়ের প্রান্ত" (যদি এটি খেলোয়াড়ের জন্য ইতিবাচক হয়) বা "হাউস প্রান্ত" (যদি এটি খেলোয়াড়ের জন্য নেতিবাচক হয়) বলা হয়।

গাণিতিক প্রত্যাশা হলগড় লাভ দ্বারা গুণিত জয় প্রতি লাভের শতাংশ, ক্ষতির সম্ভাবনা বিয়োগ গড় ক্ষতি দ্বারা গুণিত।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর গাণিতিক প্রত্যাশা গাণিতিক তত্ত্ব

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল এর গাণিতিক প্রত্যাশা। এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমের ধারণাটি চালু করা যাক। আসুন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট বিবেচনা করি যা একই র্যান্ডম পরীক্ষার ফলাফল। যদি সিস্টেমের সম্ভাব্য মানগুলির মধ্যে একটি হয়, তাহলে ঘটনাটি একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার সাথে মিলে যায় যা কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানের জন্য সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনকে যৌথ বন্টন আইন বলা হয়। এই ফাংশনটি আপনাকে যে কোনও ইভেন্টের সম্ভাব্যতা গণনা করতে দেয়। বিশেষ করে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যৌথ বন্টন আইন এবং, যা সেট থেকে মান নেয় এবং সম্ভাব্যতা দ্বারা দেওয়া হয়।

"গাণিতিক প্রত্যাশা" শব্দটি পিয়েরে সাইমন মারকুইস ডি ল্যাপ্লেস (1795) দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং "জেতার প্রত্যাশিত মূল্য" ধারণা থেকে এসেছে যা 17 শতকে ব্লেইস প্যাসকেল এবং ক্রিশ্চিয়ানের রচনায় জুয়া খেলার তত্ত্বে প্রথম আবির্ভূত হয়েছিল। হাইজেনস। যাইহোক, এই ধারণার প্রথম সম্পূর্ণ তাত্ত্বিক উপলব্ধি এবং মূল্যায়ন পাফনুটি লভোভিচ চেবিশেভ (19 শতকের মাঝামাঝি) দ্বারা দেওয়া হয়েছিল।

এলোমেলো সংখ্যাসূচক ভেরিয়েবলের বন্টন আইন (বন্টন ফাংশন এবং বন্টন সিরিজ বা সম্ভাব্য ঘনত্ব) সম্পূর্ণরূপে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আচরণ বর্ণনা করে। কিন্তু কিছু সমস্যায় অধ্যয়নের অধীনে পরিমাণের কিছু সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য জানা যথেষ্ট (উদাহরণস্বরূপ, এর গড় মান এবং সম্ভাব্য বিচ্যুতিতার কাছ থেকে) উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তর দিতে। এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রধান সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য হল গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ, মোড এবং মধ্যমা।

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সম্ভাব্য মানের পণ্যের সমষ্টি এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা। কখনও কখনও গাণিতিক প্রত্যাশাকে ওজনযুক্ত গড় বলা হয়, কারণ এটি একটি বৃহৎ সংখ্যক পরীক্ষায় র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড়ের প্রায় সমান। গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এর মান একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম মানের চেয়ে কম নয় এবং বৃহত্তমটির চেয়ে বেশি নয়। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা একটি নন-এলোমেলো (ধ্রুবক) পরিবর্তনশীল।

গাণিতিক প্রত্যাশা একটি সহজ আছে শারীরিক অর্থ: যদি আপনি একটি সরল রেখায় একটি একক ভর স্থাপন করেন, কিছু ভর কিছু বিন্দুতে স্থাপন করেন (এর জন্য বিচ্ছিন্ন বিতরণ), বা এটিকে একটি নির্দিষ্ট ঘনত্বের সাথে "স্মিয়ারিং" করুন (একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য), তারপর গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত বিন্দুটি লাইনের "মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র" এর স্থানাঙ্ক হবে।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান হল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যা এটির "প্রতিনিধি" এবং এটি মোটামুটি আনুমানিক গণনায় প্রতিস্থাপন করে। যখন আমরা বলি: "গড় বাতি চালানোর সময় 100 ঘন্টা" বা "গড় প্রভাবের বিন্দু লক্ষ্যের তুলনায় 2 মিটার ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়," আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করি যা এর অবস্থান বর্ণনা করে সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর, অর্থাৎ "অবস্থান বৈশিষ্ট্য"।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অবস্থানের বৈশিষ্ট্য থেকে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা পালন করে, যাকে কখনও কখনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান বলা হয়।

এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন এক্স, সম্ভাব্য মান আছে x1, x2, …, xnসম্ভাবনা সহ p1, p2, …, pn. আমাদেরকে x-অক্ষে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির অবস্থানকে কিছু সংখ্যার সাথে চিহ্নিত করতে হবে, এই মানেরগুলির বিভিন্ন সম্ভাব্যতা রয়েছে তা বিবেচনায় নিয়ে। এই উদ্দেশ্যে, মানগুলির তথাকথিত "ভারিত গড়" ব্যবহার করা স্বাভাবিক একাদশ, এবং গড় করার সময় প্রতিটি মান xi এই মানের সম্ভাব্যতার সমানুপাতিক একটি "ওজন" বিবেচনায় নেওয়া উচিত। এইভাবে, আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় গণনা করব এক্স, যা আমরা বোঝাই এম |এক্স|:

এই ওজনযুক্ত গড়কে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়। এইভাবে, আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি বিবেচনায় প্রবর্তন করেছি - গাণিতিক প্রত্যাশার ধারণা। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য সমস্ত মানের পণ্যের সমষ্টি এবং এই মানের সম্ভাব্যতা।

এটা উত্পাদিত করা যাক এনস্বাধীন পরীক্ষা, যার প্রতিটি মান এক্সএকটি নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করে। এর মান ধরে নেওয়া যাক x1হাজির m1বার, মান x2হাজির m2বার, সাধারণ অর্থ একাদশআমি বার হাজির. আসুন X মানের পর্যবেক্ষণ করা মানের পাটিগণিত গড় গণনা করি, যা গাণিতিক প্রত্যাশার বিপরীতে M|X|আমরা বোঝাই M*|X|:

পরীক্ষার সংখ্যা ক্রমবর্ধমান সঙ্গে এনফ্রিকোয়েন্সি পাইসংশ্লিষ্ট সম্ভাবনার কাছে যাবে (সম্ভাবনায় একত্রিত হবে)। ফলস্বরূপ, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পর্যবেক্ষণ করা মানগুলির গাণিতিক গড় M|X|পরীক্ষার সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে এটি তার গাণিতিক প্রত্যাশার কাছে (সম্ভাব্যতায় একত্রিত হবে)। উপরে প্রণয়ন করা গাণিতিক গড় এবং গাণিতিক প্রত্যাশার মধ্যে সংযোগটি বৃহৎ সংখ্যার আইনের একটি ফর্মের বিষয়বস্তু গঠন করে।

আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে বৃহৎ সংখ্যার আইনের সমস্ত রূপই এই সত্যটি প্রকাশ করে যে কিছু গড় অনেক সংখ্যক পরীক্ষায় স্থিতিশীল। এখানে আমরা একই পরিমাণের পর্যবেক্ষনের সিরিজ থেকে পাটিগণিত গড়ের স্থায়িত্ব সম্পর্কে কথা বলছি। অল্প সংখ্যক পরীক্ষায়, তাদের ফলাফলের গাণিতিক গড় এলোমেলো হয়; পরীক্ষার সংখ্যা যথেষ্ট বৃদ্ধির সাথে, এটি "প্রায় অ-এলোমেলো" হয়ে যায় এবং, স্থিতিশীল হয়ে, একটি ধ্রুবক মানের কাছে পৌঁছায় - গাণিতিক প্রত্যাশা।

বিপুল সংখ্যক পরীক্ষায় গড়ের স্থায়িত্ব পরীক্ষামূলকভাবে সহজেই যাচাই করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন সুনির্দিষ্ট দাঁড়িপাল্লায় একটি পরীক্ষাগারে একটি দেহের ওজন করা হয়, ওজন করার ফলে আমরা প্রতিবার একটি নতুন মান পাই; পর্যবেক্ষণ ত্রুটি কমাতে, আমরা শরীরের বেশ কয়েকবার ওজন করি এবং প্রাপ্ত মানগুলির গাণিতিক গড় ব্যবহার করি। এটা দেখা সহজ যে পরীক্ষা-নিরীক্ষার সংখ্যা আরও বৃদ্ধির সাথে (ওজন), গাণিতিক গড় এই বৃদ্ধির প্রতি কম এবং কম প্রতিক্রিয়া দেখায় এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে পরীক্ষা-নিরীক্ষার সাথে কার্যত পরিবর্তন করা বন্ধ হয়ে যায়।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অবস্থান - গাণিতিক প্রত্যাশা - সমস্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বিদ্যমান নয়। এই ধরনের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উদাহরণ রচনা করা সম্ভব যার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা বিদ্যমান নেই, যেহেতু সংশ্লিষ্ট যোগফল বা অবিচ্ছেদ্য বিচ্যুত হয়। যাইহোক, এই ধরনের ক্ষেত্রে অনুশীলনের জন্য উল্লেখযোগ্য আগ্রহ নেই। সাধারণত, আমরা যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সাথে মোকাবিলা করি তার সম্ভাব্য মানগুলির একটি সীমিত পরিসর থাকে এবং অবশ্যই একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অবস্থানের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও - গাণিতিক প্রত্যাশা - অনুশীলনে, অবস্থানের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি কখনও কখনও ব্যবহার করা হয়, বিশেষত, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং মিডিয়ান।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড হল এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান। কঠোরভাবে বলতে গেলে "সবচেয়ে সম্ভাব্য মান" শব্দটি শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন পরিমাণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; জন্য ক্রমাগত মানমোড হল সেই মান যেখানে সম্ভাব্যতার ঘনত্ব সর্বাধিক। পরিসংখ্যান যথাক্রমে অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য মোড দেখায়।

বন্টন বহুভুজ (বণ্টন বক্ররেখা) সর্বোচ্চ একাধিক থাকলে, বন্টনকে "মাল্টিমোডাল" বলা হয়।

কখনও কখনও এমন ডিস্ট্রিবিউশন থাকে যেগুলির মধ্যে সর্বাধিকের পরিবর্তে সর্বনিম্ন থাকে৷ এই ধরনের বিতরণকে "অ্যান্টি-মডাল" বলা হয়।

সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মোড এবং গাণিতিক প্রত্যাশা মিলে যায় না। বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন বণ্টনটি প্রতিসম এবং মডেল (অর্থাৎ একটি মোড আছে) এবং একটি গাণিতিক প্রত্যাশা থাকে, তখন এটি বিতরণের প্রতিসাম্যের মোড এবং কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।

আরেকটি অবস্থানের বৈশিষ্ট্য প্রায়শই ব্যবহৃত হয় - একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তথাকথিত মধ্যমা। এই বৈশিষ্ট্যটি সাধারণত শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ব্যবহৃত হয়, যদিও এটি একটি বিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীলের জন্য আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। জ্যামিতিকভাবে, মধ্যমা হল বিন্দুর অবসিসা যেখানে বন্টন বক্ররেখা দ্বারা ঘেরা ক্ষেত্রফলকে অর্ধেক ভাগ করা হয়।

একটি সিমেট্রিক মডেল ডিস্ট্রিবিউশনের ক্ষেত্রে, মিডিয়ান গাণিতিক প্রত্যাশা এবং মোডের সাথে মিলে যায়।

গাণিতিক প্রত্যাশা হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান - একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা বন্টনের একটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য। সবচেয়ে সাধারণ উপায়ে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা X(w)সম্ভাব্যতা পরিমাপের ক্ষেত্রে লেবেসগুয়ের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় আরমূল সম্ভাব্যতার জায়গায়:

গাণিতিক প্রত্যাশাকে লেবেসগুয়ের অবিচ্ছেদ্য হিসাবেও গণনা করা যেতে পারে এক্সসম্ভাব্যতা বন্টন দ্বারা pxপরিমাণ এক্স:

অসীম গাণিতিক প্রত্যাশা সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ধারণাটিকে প্রাকৃতিক উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি আদর্শ উদাহরণকিছু র্যান্ডম হাঁটার মধ্যে ফিরে বার হিসাবে পরিবেশন.

গাণিতিক প্রত্যাশার সাহায্যে, অনেক সংখ্যাসূচক এবং কার্যকরী বৈশিষ্ট্যডিস্ট্রিবিউশন (একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল থেকে সংশ্লিষ্ট ফাংশনের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে), উদাহরণস্বরূপ, উৎপন্ন ফাংশন, চরিত্রগত ফাংশন, যেকোন অর্ডারের মুহূর্ত, বিশেষভাবে বিচ্ছুরণ, কোভেরিয়েন্স।

গাণিতিক প্রত্যাশা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলির অবস্থানের একটি বৈশিষ্ট্য (এর বিতরণের গড় মান)। এই ক্ষমতায়, গাণিতিক প্রত্যাশা কিছু "সাধারণ" বন্টন পরামিতি হিসাবে কাজ করে এবং এর ভূমিকা স্থির মুহূর্তের ভূমিকার অনুরূপ - ভর বন্টনের মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক - যান্ত্রিকতায়। অবস্থানের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য থেকে যার সাহায্যে বন্টনটি সাধারণ পরিভাষায় বর্ণনা করা হয় - মধ্যম, মোড, গাণিতিক প্রত্যাশা বৃহত্তর মূল্যে পৃথক হয় যা এটি এবং সংশ্লিষ্ট বিক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য - বিচ্ছুরণ - সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সীমা উপপাদ্যগুলির মধ্যে রয়েছে। গাণিতিক প্রত্যাশার অর্থ বৃহৎ সংখ্যার আইন (চেবিশেভের অসমতা) এবং বৃহৎ সংখ্যার শক্তিশালী আইন দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশিত হয়।

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল প্রত্যাশা

এমন কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকতে দিন যা বেশ কয়েকটি সংখ্যাসূচক মানের একটি নিতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, একটি পাশা নিক্ষেপ করার সময় পয়েন্টের সংখ্যা 1, 2, 3, 4, 5 বা 6 হতে পারে)। প্রায়শই অনুশীলনে, এই জাতীয় মানের জন্য, প্রশ্ন ওঠে: প্রচুর সংখ্যক পরীক্ষার সাথে "গড়ে" কী মান লাগে? ঝুঁকিপূর্ণ প্রতিটি লেনদেন থেকে আমাদের গড় আয় (বা ক্ষতি) কত হবে?

ধরা যাক একধরনের লটারি আছে। আমরা বুঝতে চাই যে এতে অংশগ্রহণ করা লাভজনক কি না (বা এমনকি বারবার, নিয়মিত অংশগ্রহণ)। ধরা যাক যে প্রতি চতুর্থ টিকিট একজন বিজয়ী, পুরস্কার হবে 300 রুবেল, এবং যেকোনো টিকিটের দাম হবে 100 রুবেল। অসীমভাবে বৃহৎ সংখ্যক অংশগ্রহণের সাথে, এটিই ঘটে। তিন চতুর্থাংশ ক্ষেত্রে আমরা হারাবো, প্রতি তিনটি ক্ষতির জন্য 300 রুবেল খরচ হবে। প্রতি চতুর্থ ক্ষেত্রে আমরা 200 রুবেল জিতব। (পুরস্কার বিয়োগ খরচ), অর্থাৎ, চারটি অংশগ্রহণের জন্য আমরা গড়ে 100 রুবেল হারাই, একটির জন্য - গড়ে 25 রুবেল। মোট, আমাদের ধ্বংসের গড় হার প্রতি টিকিটে 25 রুবেল হবে।

আমরা নিক্ষেপ করি ছক্কা. যদি এটি প্রতারণা না হয় (মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র স্থানান্তর না করে, ইত্যাদি), তাহলে এক সময়ে আমাদের গড়ে কত পয়েন্ট থাকবে? যেহেতু প্রতিটি বিকল্প সমানভাবে সম্ভব, তাই আমরা কেবল পাটিগণিতের গড় গ্রহণ করি এবং 3.5 পাই। যেহেতু এটি মাঝামাঝি, তাই রাগান্বিত হওয়ার দরকার নেই যে কোনও নির্দিষ্ট রোল 3.5 পয়েন্ট দেবে না - ভাল, এই ঘনকটির এমন একটি সংখ্যার মুখ নেই!

এখন আমাদের উদাহরণ সংক্ষিপ্ত করা যাক:

চলুন এইমাত্র দেওয়া ছবি দেখি। বাম দিকে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণের একটি টেবিল রয়েছে। X মানটি n সম্ভাব্য মানের একটি নিতে পারে (শীর্ষ লাইনে দেখানো হয়েছে)। অন্য কোন অর্থ হতে পারে না। প্রতিটি অধীনে সম্ভাব্য অর্থএর সম্ভাবনা নিচে লেখা আছে। ডানদিকে রয়েছে সূত্র, যেখানে M(X) কে গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়। এই মানের অর্থ হল যে প্রচুর সংখ্যক পরীক্ষার সাথে (একটি বড় নমুনা সহ), গড় মান একই গাণিতিক প্রত্যাশার দিকে ঝোঁকবে।

আবার একই প্লেয়িং কিউবে ফিরে আসা যাক। নিক্ষেপ করার সময় পয়েন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা 3.5 (আপনি যদি আমাকে বিশ্বাস না করেন তবে সূত্রটি ব্যবহার করে এটি নিজেই গণনা করুন)। ধরা যাক আপনি এটি কয়েকবার নিক্ষেপ করেছেন। ফলাফল ছিল 4 এবং 6। গড় ছিল 5, যা 3.5 থেকে অনেক দূরে। তারা এটিকে আরও একবার ছুড়ে ফেলে, তারা 3 পেয়েছে, অর্থাৎ গড়ে (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে কিছুটা দূরে। এখন একটি পাগল পরীক্ষা করুন - ঘনক্ষেত্রটি 1000 বার রোল করুন! এবং গড় ঠিক 3.5 না হলেও, এটি তার কাছাকাছি হবে।

আসুন উপরে বর্ণিত লটারির জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করা যাক। প্লেট এই মত দেখাবে:

তারপর গাণিতিক প্রত্যাশা হবে, যেমনটি আমরা উপরে প্রতিষ্ঠিত করেছি:

আরেকটি বিষয় হল যে আরও বিকল্প থাকলে একটি সূত্র ছাড়া "আঙ্গুলের উপর" এটি করা কঠিন হবে। আচ্ছা, ধরা যাক 75% হারানো টিকিট, 20% বিজয়ী টিকিট এবং 5% বিশেষ করে বিজয়ী।

এখন গাণিতিক প্রত্যাশার কিছু বৈশিষ্ট্য।

এটা প্রমাণ করা সহজ:

ধ্রুবক ফ্যাক্টরটিকে গাণিতিক প্রত্যাশার একটি চিহ্ন হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, এটি হল:

এটি গাণিতিক প্রত্যাশার রৈখিক বৈশিষ্ট্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

গাণিতিক প্রত্যাশার রৈখিকতার আরেকটি ফলাফল:

অর্থাৎ, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফলের সমান।

X, Y কে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে দিন, তারপর:

এটি প্রমাণ করাও সহজ) কাজ XYনিজেই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এবং যদি প্রাথমিক মানগুলি নিতে পারে nএবং মিমান অনুযায়ী, তারপর XY nm মান নিতে পারে। প্রতিটি মানের সম্ভাব্যতা গণনা করা হয় এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে স্বাধীন ইভেন্টের সম্ভাব্যতা গুণিত হয়। ফলস্বরূপ, আমরা এটি পাই:

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের প্রত্যাশা

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন ঘনত্ব (সম্ভাব্যতা ঘনত্ব) এর মতো বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এটি মূলত পরিস্থিতিকে চিহ্নিত করে যে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে কিছু মান বেশি করে নেয় এবং কিছু কম প্রায়ই। উদাহরণস্বরূপ, এই গ্রাফটি বিবেচনা করুন:

এখানে এক্স- প্রকৃত এলোমেলো পরিবর্তনশীল, f(x)- বিতরণ ঘনত্ব। এই গ্রাফ দ্বারা বিচার, পরীক্ষার সময় মান এক্সপ্রায়শই শূন্যের কাছাকাছি একটি সংখ্যা হবে। সম্ভাবনা ছাড়িয়ে গেছে 3 বা ছোট হতে -3 বরং বিশুদ্ধভাবে তাত্ত্বিক।

উদাহরণস্বরূপ, একটি অভিন্ন বন্টন হতে দিন:

এটি স্বজ্ঞাত বোঝার সাথে বেশ সামঞ্জস্যপূর্ণ। আমরা এ পেতে যদি বলা যাক সমবন্টনঅনেক এলোমেলো বাস্তব সংখ্যা, প্রতিটি একটি সেগমেন্ট থেকে |0; 1| , তাহলে পাটিগণিত গড় প্রায় 0.5 হওয়া উচিত।

গাণিতিক প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য - রৈখিকতা, ইত্যাদি, বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রযোজ্য, এখানেও প্রযোজ্য।

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং অন্যান্য পরিসংখ্যানগত সূচকগুলির মধ্যে সম্পর্ক

পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণে, গাণিতিক প্রত্যাশার পাশাপাশি, পরস্পর নির্ভরশীল সূচকগুলির একটি সিস্টেম রয়েছে যা ঘটনার একজাততা এবং প্রক্রিয়াগুলির স্থায়িত্বকে প্রতিফলিত করে। পরিবর্তন সূচকগুলির প্রায়শই কোনও স্বাধীন অর্থ থাকে না এবং আরও ডেটা বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়। ব্যতিক্রম হল প্রকরণের সহগ, যা ডেটার একজাতীয়তাকে চিহ্নিত করে, যা একটি মূল্যবান পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্য।

পরিসংখ্যান বিজ্ঞানে প্রক্রিয়াগুলির পরিবর্তনশীলতা বা স্থায়িত্বের মাত্রা বিভিন্ন সূচক ব্যবহার করে পরিমাপ করা যেতে পারে।

অধিকাংশ গুরুত্বপূর্ণ সূচক, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পরিবর্তনশীলতাকে চিহ্নিত করা হয় বিচ্ছুরণ, যা গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠ এবং সরাসরি সম্পর্কিত। এই প্যারামিটারটি সক্রিয়ভাবে অন্যান্য ধরনের পরিসংখ্যান বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয় (অনুমান পরীক্ষা, কারণ-এবং-প্রভাব সম্পর্কের বিশ্লেষণ ইত্যাদি)। গড় রৈখিক বিচ্যুতির মতো, প্রকরণও গড় মানের চারপাশে ডেটার বিস্তারের পরিমাণ প্রতিফলিত করে।

চিহ্নের ভাষাকে শব্দের ভাষায় অনুবাদ করা উপযোগী। দেখা যাচ্ছে যে বিচ্ছুরণ হল বিচ্যুতির গড় বর্গ। অর্থাৎ, গড় মানটি প্রথমে গণনা করা হয়, তারপর প্রতিটি আসল এবং গড় মানের মধ্যে পার্থক্য নেওয়া হয়, বর্গ করা হয়, যোগ করা হয় এবং তারপরে জনসংখ্যার মানের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়। একটি পৃথক মান এবং গড় মধ্যে পার্থক্য বিচ্যুতির পরিমাপ প্রতিফলিত করে। এটিকে বর্গ করা হয়েছে যাতে সমস্ত বিচ্যুতি একচেটিয়াভাবে ধনাত্মক সংখ্যায় পরিণত হয় এবং ধনাত্মক এবং নেতিবাচক বিচ্যুতির পারস্পরিক ধ্বংস এড়াতে যখন তাদের সংকলন করা হয়। তারপর, বর্গীয় বিচ্যুতি দেওয়া হলে, আমরা কেবল পাটিগণিত গড় গণনা করি। গড় - বর্গক্ষেত্র - বিচ্যুতি। বিচ্যুতিগুলি বর্গ করা হয় এবং গড় গণনা করা হয়। জাদু শব্দ "বিচ্ছুরণ" এর উত্তর মাত্র তিনটি শব্দের মধ্যে রয়েছে।

যাইহোক, মধ্যে বিশুদ্ধ ফর্ম, যেমন পাটিগণিত গড়, বা সূচক, প্রকরণ ব্যবহার করা হয় না। এটি বরং একটি সহায়ক এবং মধ্যবর্তী সূচক যা অন্যান্য ধরণের পরিসংখ্যান বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি পরিমাপের একটি সাধারণ ইউনিটও নেই। সূত্র দ্বারা বিচার, এটি মূল তথ্য পরিমাপের এককের বর্গক্ষেত্র।

আসুন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল পরিমাপ করা যাক এনবার, উদাহরণস্বরূপ, আমরা বাতাসের গতি দশ বার পরিমাপ করি এবং গড় মান খুঁজে পেতে চাই। ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের সাথে গড় মান কীভাবে সম্পর্কিত?

অথবা আমরা পাশা অনেক বার পাকানো হবে. প্রতিটি নিক্ষেপের সাথে ডাইসে যে পয়েন্টগুলি প্রদর্শিত হবে তা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং এটি 1 থেকে 6 পর্যন্ত যেকোনো প্রাকৃতিক মান নিতে পারে। সমস্ত ডাইস নিক্ষেপের জন্য গণনা করা ড্রপ পয়েন্টগুলির গাণিতিক গড়ও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, কিন্তু বড় আকারের জন্য এনএটি একটি খুব নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে ঝোঁক - গাণিতিক প্রত্যাশা Mx. ভিতরে এক্ষেত্রে Mx = 3.5।

আপনি এই মান কিভাবে পেয়েছেন? ঢুকতে দাও এনপরীক্ষা n1একবার আপনি 1 পয়েন্ট পান, n2একবার - 2 পয়েন্ট এবং তাই। তারপর ফলাফলের সংখ্যা যার মধ্যে একটি পয়েন্ট পড়েছে:

একইভাবে ফলাফলের জন্য যখন 2, 3, 4, 5 এবং 6 পয়েন্ট রোল করা হয়।

আসুন এখন ধরে নিই যে আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এর ডিস্ট্রিবিউশন ল জানি, অর্থাৎ, আমরা জানি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল x x1, x2, ..., xk সম্ভাব্যতা সহ p1, p2, ..., pk

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল x এর গাণিতিক প্রত্যাশা Mx এর সমান:

গাণিতিক প্রত্যাশা সবসময় কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান নয়। সুতরাং, গড় অনুমান করতে মজুরিমাঝারি ধারণাটি ব্যবহার করা আরও যুক্তিসঙ্গত, অর্থাৎ, এমন একটি মান যাতে মাঝারি থেকে কম বেতন পাওয়া লোকের সংখ্যা মিলে যায়।

সম্ভাব্যতা p1 যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল x x1/2 এর চেয়ে কম হবে এবং p2 সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল x x1/2 এর চেয়ে বেশি হবে, একই এবং 1/2 এর সমান। সমস্ত ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য মধ্যমা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয় না।

স্ট্যান্ডার্ড বা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিপরিসংখ্যানে, পর্যবেক্ষণমূলক ডেটা বা গড় মান থেকে সেটের বিচ্যুতির ডিগ্রি বলা হয়। s বা s অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ছোট স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি নির্দেশ করে যে গড় চারপাশে ডেটা ক্লাস্টার রয়েছে, যখন একটি বড় স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি নির্দেশ করে যে প্রাথমিক ডেটা এটি থেকে অনেক দূরে অবস্থিত। আদর্শ চ্যুতিসমান বর্গমূলপরিমাণকে বিচ্ছুরণ বলে। এটি গড় মান থেকে বিচ্যুত প্রাথমিক ডেটার বর্গীয় পার্থক্যের যোগফলের গড়। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আদর্শ বিচ্যুতি হল প্রকরণের বর্গমূল:

উদাহরণ। একটি লক্ষ্যে গুলি করার সময় পরীক্ষার অবস্থার অধীনে, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিচ্ছুরণ এবং মানক বিচ্যুতি গণনা করুন:

প্রকরণ- ওঠানামা, জনসংখ্যার এককগুলির মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের মূল্যের পরিবর্তনযোগ্যতা। আলাদা সংখ্যাসূচক মানঅধ্যয়ন করা জনসংখ্যার মধ্যে পাওয়া বৈশিষ্ট্যগুলিকে অর্থের রূপ বলা হয়। এর জন্য অপর্যাপ্ত গড় মান সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্যজনসংখ্যা আমাদের সূচকগুলির সাথে গড় মানগুলির পরিপূরক করতে বাধ্য করে যা আমাদের অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা (প্রকরণ) পরিমাপ করে এই গড়গুলির বৈশিষ্ট্যকে মূল্যায়ন করতে দেয়। প্রকরণের সহগ সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

প্রকরণের পরিসর(R) অধ্যয়ন করা জনসংখ্যার বৈশিষ্ট্যের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য উপস্থাপন করে। এই সূচকটি সবচেয়ে বেশি দেয় সাধারণ ধারণাঅধ্যয়নকৃত বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনশীলতা সম্পর্কে, যেহেতু এটি শুধুমাত্র বিকল্পগুলির সীমিত মানগুলির মধ্যে পার্থক্য দেখায়। একটি বৈশিষ্ট্যের চরম মানের উপর নির্ভরতা পরিবর্তনের সুযোগকে একটি অস্থির, এলোমেলো চরিত্র দেয়।

গড় রৈখিক বিচ্যুতিতাদের গড় মান থেকে বিশ্লেষণ করা জনসংখ্যার সমস্ত মানের পরম (মডুলো) বিচ্যুতির গাণিতিক গড় প্রতিনিধিত্ব করে:

জুয়া তত্ত্বে গাণিতিক প্রত্যাশা

গাণিতিক প্রত্যাশা হলএকটি প্রদত্ত বাজিতে একজন জুয়াড়ি জিততে বা হারতে পারে এমন গড় পরিমাণ অর্থ৷ এটি খেলোয়াড়ের জন্য একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা কারণ এটি বেশিরভাগ গেমিং পরিস্থিতির মূল্যায়নের জন্য মৌলিক। মৌলিক কার্ড লেআউট এবং গেমিং পরিস্থিতি বিশ্লেষণ করার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশাও সর্বোত্তম হাতিয়ার।

ধরা যাক আপনি একজন বন্ধুর সাথে একটি কয়েন গেম খেলছেন, প্রতিবার সমানভাবে $1 বাজি ধরছেন, যাই হোক না কেন। লেজ মানে আপনি জয়ী, মাথা মানে আপনি হারান। মতভেদ এক থেকে এক যে এটি মাথায় আসবে, তাই আপনি $1 থেকে $1 বাজি ধরুন। এইভাবে, আপনার গাণিতিক প্রত্যাশা শূন্য, কারণ গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আপনি দুটি নিক্ষেপের পরে নাকি 200 এর পরে নেতৃত্ব দেবেন বা হারবেন তা আপনি জানতে পারবেন না।

আপনার ঘন্টায় লাভ শূন্য। ঘন্টায় জেতা হল আপনি এক ঘন্টার মধ্যে যে পরিমাণ অর্থ জিততে আশা করেন। আপনি এক ঘন্টায় একটি কয়েন 500 বার টস করতে পারেন, কিন্তু আপনি জিতবেন না বা হারবেন না কারণ... আপনার সম্ভাবনা ইতিবাচক বা নেতিবাচক নয়। আপনি যদি এটি দেখেন, একজন গুরুতর খেলোয়াড়ের দৃষ্টিকোণ থেকে, এই বেটিং সিস্টেমটি খারাপ নয়। তবে এটি কেবল সময়ের অপচয়।

কিন্তু ধরা যাক যে কেউ একই গেমে আপনার $1 এর বিপরীতে $2 বাজি ধরতে চায়। তারপর আপনি অবিলম্বে প্রতিটি বাজি থেকে 50 সেন্ট একটি ইতিবাচক প্রত্যাশা আছে. কেন 50 সেন্ট? গড়ে, আপনি একটি বাজি জিতেছেন এবং দ্বিতীয়টি হেরেছেন। প্রথম ডলার বাজি ধরুন এবং আপনি $1 হারাবেন, দ্বিতীয়টিতে বাজি ধরুন এবং আপনি $2 জিতবেন। আপনি দুবার $1 বাজি ধরেছেন এবং $1 এগিয়ে আছেন। তাই আপনার প্রতিটি এক ডলারের বাজি আপনাকে 50 সেন্ট দিয়েছে।

যদি একটি কয়েন এক ঘন্টায় 500 বার প্রদর্শিত হয়, আপনার প্রতি ঘন্টায় জয়ী হবে ইতিমধ্যেই $250, কারণ... গড়ে, আপনি 250 বার এক ডলার হারিয়েছেন এবং দুই ডলার 250 বার জিতেছেন। $500 বিয়োগ $250 সমান $250, যা মোট জয়। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রত্যাশিত মান, যা আপনি প্রতি বাজিতে জেতার গড় পরিমাণ 50 সেন্ট। আপনি একটি ডলার 500 বার বাজি ধরে $250 জিতেছেন, যা প্রতি বাজিতে 50 সেন্টের সমান।

স্বল্পমেয়াদী ফলাফলের সাথে গাণিতিক প্রত্যাশার কোন সম্পর্ক নেই। আপনার প্রতিপক্ষ, যে আপনার বিরুদ্ধে $2 বাজি ধরার সিদ্ধান্ত নিয়েছে, সে আপনাকে পরপর প্রথম দশটি রোলে পরাজিত করতে পারে, কিন্তু আপনি, 2 থেকে 1 বেটিং সুবিধা পেয়ে, অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান, প্রতি $1 বাজিতে 50 সেন্ট উপার্জন করবেন পরিস্থিতি আপনি একটি বাজি বা একাধিক বাজি জিতছেন বা হেরেছেন তাতে কোনো পার্থক্য নেই, যতক্ষণ না আপনার কাছে খরচগুলি স্বাচ্ছন্দ্যে কভার করার জন্য যথেষ্ট নগদ থাকে৷ আপনি একই ভাবে বাজি অব্যাহত থাকলে, তারপর জন্য একটি দীর্ঘ সময়কালসময়ের সাথে সাথে, আপনার জয়গুলি পৃথক রোলে প্রত্যাশিত মানের সমষ্টির কাছে পৌঁছে যাবে।

প্রতিবার আপনি একটি সেরা বাজি (একটি বাজি যা দীর্ঘমেয়াদে লাভজনক হতে পারে), যখন প্রতিকূলতা আপনার অনুকূলে থাকে, তখন আপনি তাতে কিছু জিততে বাধ্য, আপনি এটি হারা বা না-ই করুন না কেন। দেওয়া হাত বিপরীতভাবে, যদি আপনি একটি আন্ডারডগ বাজি করেন (একটি বাজি যা দীর্ঘমেয়াদে অলাভজনক) যখন প্রতিকূলতা আপনার বিপক্ষে থাকে, আপনি জিতবেন বা হাত হারান তা নির্বিশেষে আপনি কিছু হারাবেন।

আপনার প্রত্যাশা ইতিবাচক হলে আপনি সর্বোত্তম ফলাফলের সাথে একটি বাজি রাখেন, এবং যদি প্রতিকূলতা আপনার পক্ষে থাকে তবে এটি ইতিবাচক। আপনি যখন সবচেয়ে খারাপ ফলাফলের সাথে একটি বাজি রাখেন, তখন আপনার কাছে একটি নেতিবাচক প্রত্যাশা থাকে, যা তখন ঘটে যখন প্রতিকূলতা আপনার বিরুদ্ধে থাকে। গুরুতর খেলোয়াড়রা শুধুমাত্র সেরা ফলাফলের উপর বাজি ধরে; যদি সবচেয়ে খারাপ হয়, তারা গুটিয়ে যায়। মতভেদ আপনার পক্ষে মানে কি? আপনি বাস্তব প্রতিকূলতা আনার চেয়ে বেশি জিততে পারেন। ল্যান্ডিং হেডের আসল প্রতিকূলতা হল 1 থেকে 1, কিন্তু আপনি বিজোড় অনুপাতের কারণে 2 থেকে 1 পাবেন। এই ক্ষেত্রে, মতভেদ আপনার পক্ষে। আপনি অবশ্যই প্রতি বাজিতে 50 সেন্টের ইতিবাচক প্রত্যাশার সাথে সর্বোত্তম ফলাফল পাবেন।

এখানে গাণিতিক প্রত্যাশার আরও জটিল উদাহরণ। একজন বন্ধু এক থেকে পাঁচ পর্যন্ত সংখ্যা লিখে এবং আপনার $1 এর বিপরীতে $5 বাজি ধরে যে আপনি সংখ্যাটি অনুমান করতে পারবেন না। আপনি যেমন একটি বাজি রাজি করা উচিত? এখানে প্রত্যাশা কি?

গড়ে আপনি চারবার ভুল করবেন। এর উপর ভিত্তি করে, সংখ্যাটি অনুমান করার জন্য আপনার প্রতিকূলতা 4 থেকে 1। এক প্রচেষ্টায় আপনার একটি ডলার হারানোর প্রতিকূলতা। যাইহোক, আপনি 5 থেকে 1 জিতেছেন, 4 থেকে 1 হারার সম্ভাবনা সহ। তাই প্রতিকূলতা আপনার পক্ষে, আপনি বাজি ধরতে পারেন এবং সেরা ফলাফলের আশা করতে পারেন। আপনি যদি এই বাজিটি পাঁচবার করেন, তাহলে গড়ে আপনি চারবার $1 হারাবেন এবং একবার $5 জিতবেন। এর উপর ভিত্তি করে, পাঁচটি প্রচেষ্টার জন্য আপনি প্রতি বাজিতে 20 সেন্টের ইতিবাচক গাণিতিক প্রত্যাশা সহ $1 উপার্জন করবেন।

একজন খেলোয়াড় যে তার বাজির চেয়ে বেশি জিততে চলেছে, উপরের উদাহরণের মতো, সুযোগ নিচ্ছে। বিপরীতে, সে তার সম্ভাবনা নষ্ট করে যখন সে তার বাজির চেয়ে কম জয়ের আশা করে। একজন বাজিকরের একটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক প্রত্যাশা থাকতে পারে, যা নির্ভর করে সে প্রতিকূলতা জিতবে বা নষ্ট করবে।

আপনি যদি 4 থেকে 1 জেতার সম্ভাবনা সহ $10 জেতার জন্য $50 বাজি ধরেন, তাহলে আপনি $2 নেতিবাচক প্রত্যাশা পাবেন কারণ গড়ে, আপনি চারবার $10 জিতবেন এবং একবার $50 হারাবেন, যা দেখায় যে প্রতি বাজির ক্ষতি হবে $10। কিন্তু আপনি যদি $10 জেতার জন্য $30 বাজি ধরেন, 4 থেকে 1 জেতার একই সম্ভাবনার সাথে, তাহলে এই ক্ষেত্রে আপনার কাছে $2 ইতিবাচক প্রত্যাশা রয়েছে, কারণ আপনি আবার জিতেছেন $10 চারবার এবং হারান $30 একবার, $10 লাভের জন্য। এই উদাহরণগুলি দেখায় যে প্রথম বাজি খারাপ, এবং দ্বিতীয়টি ভাল।

গাণিতিক প্রত্যাশা যে কোনও গেমিং পরিস্থিতির কেন্দ্রবিন্দু। যখন একজন বুকমেকার ফুটবল ভক্তদের $10 জিততে $11 বাজি ধরতে উৎসাহিত করেন, তখন তিনি প্রতি $10-এ 50 সেন্টের ইতিবাচক প্রত্যাশা করেন। যদি ক্যাসিনো পাস লাইন থেকে এমনকি অর্থ প্রদান করে, তাহলে ক্যাসিনোর ইতিবাচক প্রত্যাশা প্রতি $100 এর জন্য প্রায় $1.40 হবে, কারণ এই গেমটি এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে যে কেউ এই লাইনে বাজি ধরে গড়ে 50.7% হারে এবং মোট সময়ের 49.3% জিতে নেয়। নিঃসন্দেহে, এটি আপাতদৃষ্টিতে ন্যূনতম ইতিবাচক প্রত্যাশা যা বিশ্বজুড়ে ক্যাসিনো মালিকদের জন্য প্রচুর লাভ নিয়ে আসে। যেমন ভেগাস ওয়ার্ল্ড ক্যাসিনো মালিক বব স্টুপাক উল্লেখ করেছেন, "দীর্ঘ পর্যাপ্ত দূরত্বের এক হাজার ভাগের এক শতাংশ নেতিবাচক সম্ভাবনা নষ্ট হয়ে যাবে সবচেয়ে ধনী ব্যক্তিএ পৃথিবীতে".

পোকার খেলার সময় প্রত্যাশা

পোকার গেমটি গাণিতিক প্রত্যাশার তত্ত্ব এবং বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করার দৃষ্টিকোণ থেকে সবচেয়ে দৃষ্টান্তমূলক এবং দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ।

পোকারে প্রত্যাশিত মূল্য হল একটি নির্দিষ্ট সিদ্ধান্তের গড় সুবিধা, তবে শর্ত থাকে যে এই ধরনের সিদ্ধান্তটি বড় সংখ্যা এবং দীর্ঘ দূরত্বের তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি সফল জুজু খেলা হল সর্বদা ইতিবাচক প্রত্যাশিত মান সহ পদক্ষেপ গ্রহণ করা।

জুজু খেলার সময় গাণিতিক প্রত্যাশার গাণিতিক অর্থ হল যে আমরা প্রায়ই সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় এলোমেলো ভেরিয়েবলের সম্মুখীন হই (আমরা জানি না প্রতিপক্ষের হাতে কী কার্ড আছে, বাজির পরবর্তী রাউন্ডে কী কার্ড আসবে)। আমাদের অবশ্যই বৃহৎ সংখ্যা তত্ত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে প্রতিটি সমাধান বিবেচনা করতে হবে, যা বলে যে যথেষ্ট বড় নমুনা সহ, একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের গড় মান তার গাণিতিক প্রত্যাশার দিকে ঝুঁকবে।

গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করার জন্য নির্দিষ্ট সূত্রগুলির মধ্যে, নিম্নলিখিতটি পোকারে সবচেয়ে বেশি প্রযোজ্য:

জুজু খেলার সময়, প্রত্যাশিত মান বাজি এবং কল উভয়ের জন্যই গণনা করা যেতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, ভাঁজ ইকুইটি অ্যাকাউন্টে নেওয়া উচিত, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, ব্যাঙ্কের নিজস্ব প্রতিকূলতা। একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপের গাণিতিক প্রত্যাশার মূল্যায়ন করার সময়, আপনার মনে রাখা উচিত যে একটি ভাঁজের সর্বদা একটি শূন্য প্রত্যাশা থাকে। এইভাবে, কার্ড বর্জন করা সবসময় যেকোনো নেতিবাচক পদক্ষেপের চেয়ে বেশি লাভজনক সিদ্ধান্ত হবে।

প্রত্যাশা আপনাকে বলে যে আপনি ঝুঁকিপূর্ণ প্রতিটি ডলারের জন্য আপনি কী আশা করতে পারেন (লাভ বা ক্ষতি)। ক্যাসিনো অর্থ উপার্জন করে কারণ তাদের মধ্যে খেলা সমস্ত গেমের গাণিতিক প্রত্যাশা ক্যাসিনোর পক্ষে। গেমগুলির একটি দীর্ঘ পর্যাপ্ত সিরিজের সাথে, আপনি আশা করতে পারেন যে ক্লায়েন্ট তার অর্থ হারাবে, যেহেতু "অভিযোগ" ক্যাসিনোর পক্ষে। যাইহোক, পেশাদার ক্যাসিনো খেলোয়াড়রা তাদের গেমগুলিকে অল্প সময়ের মধ্যে সীমিত রাখে, যার ফলে তাদের পক্ষে মতভেদ স্তূপ করা হয়। বিনিয়োগের ক্ষেত্রেও একই কথা। আপনার প্রত্যাশা ইতিবাচক হলে, আপনি অল্প সময়ের মধ্যে অনেক ট্রেড করে আরও বেশি অর্থ উপার্জন করতে পারেন। প্রত্যাশা হল আপনার প্রতি জয়ের শতকরা হার আপনার গড় লাভের দ্বারা গুণিত, আপনার ক্ষতির সম্ভাবনাকে আপনার গড় ক্ষতি দ্বারা গুণিত করে।

জুজু গাণিতিক প্রত্যাশার দৃষ্টিকোণ থেকেও বিবেচনা করা যেতে পারে। আপনি অনুমান করতে পারেন যে একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপ লাভজনক, তবে কিছু ক্ষেত্রে এটি সেরা নাও হতে পারে কারণ অন্য পদক্ষেপটি আরও লাভজনক। ধরা যাক আপনি পাঁচ-কার্ড ড্র পোকারে একটি সম্পূর্ণ হাউস হিট করুন। আপনার প্রতিপক্ষ একটি বাজি তোলে. আপনি জানেন যে আপনি বাজি বাড়ালে তিনি সাড়া দেবেন। অতএব, উত্থাপন সর্বোত্তম কৌশল বলে মনে হয়। কিন্তু আপনি যদি বাজি বাড়ান, বাকি দুই খেলোয়াড় অবশ্যই গুটিয়ে যাবে। তবে আপনি যদি ডাকেন, আপনার পূর্ণ আস্থা আছে যে আপনার পিছনে থাকা অন্য দুই খেলোয়াড়ও তাই করবে। আপনি যখন আপনার বাজি বাড়ান তখন আপনি একটি ইউনিট পাবেন, এবং আপনি যখন কল করেন তখন আপনি দুটি পাবেন। সুতরাং, কল করা আপনাকে একটি উচ্চতর ইতিবাচক প্রত্যাশিত মূল্য দেয় এবং এটি হবে সর্বোত্তম কৌশল।

গাণিতিক প্রত্যাশা কোন পোকার কৌশল কম লাভজনক এবং কোনটি বেশি লাভজনক তার একটি ধারণাও দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি একটি নির্দিষ্ট হাত খেলেন এবং আপনি মনে করেন যে আপনার ক্ষতির গড় 75 সেন্ট পূর্ব সহ, তাহলে আপনার সেই হাতটি খেলা উচিত কারণ এটি ভাঁজ করার চেয়ে ভাল যখন পূর্ব $1 হয়।

আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ কারণগাণিতিক প্রত্যাশার সারমর্ম বোঝার জন্য এটি আপনাকে একটি শান্তির অনুভূতি দেয় যে আপনি বাজি জিতুন বা না করুন: আপনি যদি একটি ভাল বাজি করেন বা সময়মতো ভাঁজ করেন তবে আপনি জানতে পারবেন যে আপনি একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ উপার্জন করেছেন বা সঞ্চয় করেছেন দুর্বল খেলোয়াড় বাঁচাতে পারেনি। আপনার প্রতিপক্ষ একটি শক্তিশালী হাত আঁকার কারণে আপনি বিরক্ত হলে ভাঁজ করা অনেক কঠিন। এই সবের সাথে, আপনি বাজি না খেলে যে অর্থ সঞ্চয় করেন তা রাত বা মাসের জন্য আপনার জেতার সাথে যোগ করা হয়।

শুধু মনে রাখবেন যে আপনি যদি আপনার হাত পরিবর্তন করেন, আপনার প্রতিপক্ষ আপনাকে ডাকত, এবং আপনি যেমন পোকার নিবন্ধের মৌলিক উপপাদ্য দেখতে পাবেন, এটি আপনার সুবিধাগুলির মধ্যে একটি মাত্র। যখন এটি ঘটে তখন আপনার খুশি হওয়া উচিত। আপনি এমনকি একটি হাত হারানো উপভোগ করতে শিখতে পারেন কারণ আপনি জানেন যে আপনার অবস্থানে থাকা অন্যান্য খেলোয়াড়রা অনেক বেশি হারাতে পারে।

শুরুতে কয়েন গেমের উদাহরণে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, ঘণ্টায় লাভের অনুপাত গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত, এবং এই ধারণাবিশেষ করে পেশাদার খেলোয়াড়দের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। আপনি যখন জুজু খেলতে যান, আপনার মানসিকভাবে অনুমান করা উচিত যে আপনি খেলার এক ঘন্টায় কতটা জিততে পারবেন। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আপনাকে আপনার অন্তর্দৃষ্টি এবং অভিজ্ঞতার উপর নির্ভর করতে হবে, তবে আপনি কিছু গণিতও ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি ড্র লোবল খেলছেন এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে তিনজন খেলোয়াড় $10 বাজি ধরে তারপর দুটি কার্ড ট্রেড করে, যা একটি খুব খারাপ কৌশল, আপনি বুঝতে পারবেন যে প্রতিবার তারা $10 বাজি ধরে, তারা প্রায় $2 হারায়। তাদের প্রত্যেকে এটি প্রতি ঘন্টায় আটবার করে, যার অর্থ হল তাদের তিনটিই প্রতি ঘন্টায় প্রায় $48 হারায়। আপনি বাকি চারজন খেলোয়াড়ের মধ্যে একজন যারা প্রায় সমান, তাই এই চারজন খেলোয়াড়কে (এবং তাদের মধ্যে আপনি) অবশ্যই $48 ভাগ করতে হবে, প্রত্যেকে প্রতি ঘন্টায় $12 লাভ করে। এই ক্ষেত্রে আপনার প্রতি ঘন্টায় প্রতিকূলতা কেবলমাত্র এক ঘন্টায় তিনজন খারাপ খেলোয়াড়ের দ্বারা হারানো অর্থের পরিমাণের সমান।

দীর্ঘ সময় ধরে, খেলোয়াড়ের মোট জয় হল ব্যক্তিগত হাতে তার গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফল। ইতিবাচক প্রত্যাশা নিয়ে আপনি যত বেশি হাত খেলবেন, তত বেশি আপনি জিতবেন এবং বিপরীতভাবে, নেতিবাচক প্রত্যাশা নিয়ে আপনি যত বেশি হাত খেলবেন, তত বেশি আপনি হারবেন। ফলস্বরূপ, আপনার এমন একটি খেলা বেছে নেওয়া উচিত যা আপনার ইতিবাচক প্রত্যাশাকে সর্বাধিক করতে পারে বা আপনার নেতিবাচক প্রত্যাশাকে অস্বীকার করতে পারে যাতে আপনি আপনার প্রতি ঘণ্টায় জয়ের পরিমাণ বাড়াতে পারেন।

গেমিং কৌশলে ইতিবাচক গাণিতিক প্রত্যাশা

আপনি যদি কার্ডগুলি গণনা করতে জানেন তবে ক্যাসিনোতে আপনার একটি সুবিধা থাকতে পারে, যতক্ষণ না তারা লক্ষ্য করে এবং আপনাকে বাইরে ফেলে দেয়। ক্যাসিনো মাতাল খেলোয়াড়দের পছন্দ করে এবং কার্ড গণনাকারী খেলোয়াড়দের সহ্য করে না। সুবিধা আপনাকে সময়ের সাথে জিততে দেবে। বড় সংখ্যাহারানোর চেয়ে বার। ভালো ব্যবস্থাপনাপ্রত্যাশিত মূল্য গণনা ব্যবহার করার সময় মূলধন আপনাকে আপনার সুবিধা থেকে আরও বেশি মুনাফা তুলতে এবং আপনার ক্ষতি কমাতে সাহায্য করতে পারে। একটি সুবিধা ছাড়া, আপনি দাতব্য অর্থ প্রদান করা ভাল. স্টক এক্সচেঞ্জের খেলায়, সুবিধাটি গেম সিস্টেম দ্বারা দেওয়া হয়, যা ক্ষতি, মূল্যের পার্থক্য এবং কমিশনের চেয়ে বেশি লাভ তৈরি করে। কোন পরিমাণ অর্থ ব্যবস্থাপনা একটি খারাপ গেমিং সিস্টেম সংরক্ষণ করতে পারে না।

একটি ইতিবাচক প্রত্যাশা শূন্যের চেয়ে বড় একটি মান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সংখ্যাটি যত বড় হবে, পরিসংখ্যানগত প্রত্যাশা তত শক্তিশালী হবে। যদি মান শূন্যের কম হয়, তাহলে গাণিতিক প্রত্যাশাও নেতিবাচক হবে। নেতিবাচক মানের মডিউল যত বড় হবে, পরিস্থিতি তত খারাপ হবে। যদি ফলাফল শূন্য হয়, তাহলে অপেক্ষা বিরতি-ইভেন। আপনি তখনই জিততে পারবেন যখন আপনার কাছে একটি ইতিবাচক গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি যুক্তিসঙ্গত খেলার ব্যবস্থা থাকবে। অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে খেলা বিপর্যয়ের দিকে নিয়ে যায়।

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং স্টক ট্রেডিং

আর্থিক বাজারে বিনিময় লেনদেন করার সময় গাণিতিক প্রত্যাশা একটি মোটামুটিভাবে ব্যবহৃত এবং জনপ্রিয় পরিসংখ্যানগত সূচক। প্রথমত, এই প্যারামিটারটি ট্রেডিংয়ের সাফল্য বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়। এটা অনুমান করা কঠিন নয় যে এই মানটি যত বেশি হবে, তত বেশি কারণ বিবেচনা করা হবে যে ব্যবসাটি সফলভাবে অধ্যয়ন করা হচ্ছে। অবশ্যই, শুধুমাত্র এই প্যারামিটার ব্যবহার করে একজন ব্যবসায়ীর কাজের বিশ্লেষণ করা যাবে না। যাইহোক, গণনা করা মান, কাজের গুণমান মূল্যায়নের অন্যান্য পদ্ধতির সাথে সমন্বয় করে, বিশ্লেষণের নির্ভুলতা উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করতে পারে।

ট্রেডিং অ্যাকাউন্ট নিরীক্ষণ পরিষেবাগুলিতে গাণিতিক প্রত্যাশা প্রায়ই গণনা করা হয়, যা আপনাকে আমানতের উপর সম্পাদিত কাজটি দ্রুত মূল্যায়ন করতে দেয়। ব্যতিক্রমগুলির মধ্যে এমন কৌশল অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা "বসা" অলাভজনক ব্যবসা ব্যবহার করে। একজন ব্যবসায়ী কিছু সময়ের জন্য ভাগ্যবান হতে পারে, এবং তাই তার কাজে মোটেও ক্ষতি নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা পরিচালিত হওয়া সম্ভব হবে না, কারণ কাজে ব্যবহৃত ঝুঁকিগুলি বিবেচনায় নেওয়া হবে না।

মার্কেট ট্রেডিংয়ে, কোনো ট্রেডিং কৌশলের লাভের পূর্বাভাস দেওয়ার সময় বা তার আগের ট্রেডিং থেকে পরিসংখ্যানগত ডেটার উপর ভিত্তি করে একজন ব্যবসায়ীর আয়ের পূর্বাভাস দেওয়ার সময় গাণিতিক প্রত্যাশা প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

মানি ম্যানেজমেন্টের ক্ষেত্রে, এটা বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ যে নেতিবাচক প্রত্যাশা নিয়ে ট্রেড করার সময়, এমন কোনও মানি ম্যানেজমেন্ট স্কিম নেই যা অবশ্যই উচ্চ মুনাফা আনতে পারে। আপনি যদি এই অবস্থার অধীনে স্টক মার্কেট খেলা চালিয়ে যান, তাহলে আপনি আপনার অর্থ কীভাবে পরিচালনা করুন না কেন, আপনি আপনার পুরো অ্যাকাউন্টটি হারাবেন, এটি শুরু করা যত বড়ই হোক না কেন।

এই স্বতঃসিদ্ধ শুধুমাত্র গেম বা নেতিবাচক প্রত্যাশা সহ ট্রেডের জন্যই সত্য নয়, এটি সমান সুযোগ সহ গেমগুলির জন্যও সত্য। অতএব, দীর্ঘমেয়াদে লাভ করার একমাত্র সুযোগ হল আপনি যদি ইতিবাচক প্রত্যাশিত মূল্যের সাথে ট্রেড করেন।

নেতিবাচক প্রত্যাশা এবং ইতিবাচক প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্য হল জীবন এবং মৃত্যুর মধ্যে পার্থক্য। প্রত্যাশা কতটা ইতিবাচক বা কতটা নেতিবাচক তা বিবেচ্য নয়; এটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক কিনা তা গুরুত্বপূর্ণ। অতএব, অর্থ ব্যবস্থাপনা বিবেচনা করার আগে, আপনি ইতিবাচক প্রত্যাশা সঙ্গে একটি খেলা খুঁজে বের করা উচিত.

আপনার যদি সেই গেমটি না থাকে, তাহলে বিশ্বের সমস্ত অর্থ ব্যবস্থাপনা আপনাকে বাঁচাতে পারবে না। অন্যদিকে, যদি আপনার কাছে একটি ইতিবাচক প্রত্যাশা থাকে, আপনি সঠিক অর্থ ব্যবস্থাপনার মাধ্যমে এটিকে একটি সূচকীয় বৃদ্ধি ফাংশনে পরিণত করতে পারেন। ইতিবাচক প্রত্যাশা কত ছোট তা বিবেচ্য নয়! অন্য কথায়, একটি চুক্তির ভিত্তিতে একটি ট্রেডিং সিস্টেম কতটা লাভজনক তা বিবেচ্য নয়। আপনার যদি এমন একটি সিস্টেম থাকে যা প্রতি বাণিজ্য প্রতি চুক্তিতে $10 জিতেছে (কমিশন এবং স্লিপেজের পরে), আপনি মানি ম্যানেজমেন্ট কৌশলগুলিকে এমন একটি সিস্টেমের চেয়ে বেশি লাভজনক করতে ব্যবহার করতে পারেন যা প্রতি ট্রেডে গড়ে $1,000 (কমিশন এবং স্লিপেজ কাটার পরে)।

সিস্টেমটি কতটা লাভজনক ছিল তা গুরুত্বপূর্ণ নয়, তবে সিস্টেমটি ভবিষ্যতে কমপক্ষে ন্যূনতম লাভ দেখানোর জন্য কতটা নিশ্চিত বলা যেতে পারে তা গুরুত্বপূর্ণ। অতএব, একজন ব্যবসায়ী যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রস্তুতি নিতে পারেন তা হল নিশ্চিত করা যে সিস্টেমটি ভবিষ্যতে একটি ইতিবাচক প্রত্যাশিত মান দেখাবে।

ভবিষ্যতে একটি ইতিবাচক প্রত্যাশিত মান পেতে, আপনার সিস্টেমের স্বাধীনতার মাত্রা সীমাবদ্ধ না করা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এটি কেবলমাত্র অপ্টিমাইজ করার পরামিতিগুলির সংখ্যা হ্রাস বা হ্রাস করে নয়, যতটা সম্ভব সিস্টেমের নিয়মগুলি হ্রাস করেও অর্জন করা হয়। আপনার যোগ করা প্রতিটি প্যারামিটার, আপনার করা প্রতিটি নিয়ম, সিস্টেমে আপনার করা প্রতিটি ক্ষুদ্র পরিবর্তন স্বাধীনতার ডিগ্রীর সংখ্যা হ্রাস করে। আদর্শভাবে, আপনি একটি মোটামুটি আদিম এবং নির্মাণ করতে হবে সহজ সিস্টেম, যা প্রায় যেকোনো বাজারে ধারাবাহিকভাবে ছোট মুনাফা তৈরি করবে। আবার, আপনার জন্য এটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে সিস্টেমটি কতটা লাভজনক তা বিবেচ্য নয়, যতক্ষণ না এটি লাভজনক। আপনি ট্রেডিং থেকে যে অর্থ উপার্জন করবেন তা এর মাধ্যমে অর্জিত হবে কার্যকর ব্যবস্থাপনাটাকা

একটি ট্রেডিং সিস্টেম হল একটি টুল যা আপনাকে একটি ইতিবাচক প্রত্যাশিত মূল্য দেয় যাতে আপনি অর্থ ব্যবস্থাপনা ব্যবহার করতে পারেন। যে সিস্টেমগুলি শুধুমাত্র একটি বা কয়েকটি বাজারে কাজ করে (অন্তত ন্যূনতম লাভ দেখায়), বা বিভিন্ন বাজারের জন্য বিভিন্ন নিয়ম বা পরামিতি রয়েছে, সম্ভবত বাস্তব সময়ে যথেষ্ট দীর্ঘ সময়ের জন্য কাজ করবে না। বেশিরভাগ প্রযুক্তিগতভাবে ভিত্তিক ব্যবসায়ীদের সমস্যা হল যে তারা অপ্টিমাইজেশনের জন্য খুব বেশি সময় এবং প্রচেষ্টা ব্যয় করে বিভিন্ন নিয়মএবং ট্রেডিং সিস্টেম প্যারামিটারের মান। এটি সম্পূর্ণ বিপরীত ফলাফল দেয়। ট্রেডিং সিস্টেমের মুনাফা বাড়ানোর জন্য শক্তি এবং কম্পিউটার সময় নষ্ট করার পরিবর্তে, ন্যূনতম মুনাফা অর্জনের নির্ভরযোগ্যতার স্তর বাড়ানোর জন্য আপনার শক্তিকে নির্দেশ করুন।

এটা জেনে যে মানি ম্যানেজমেন্ট হল একটি সংখ্যার খেলা যার জন্য ইতিবাচক প্রত্যাশার ব্যবহার প্রয়োজন, একজন ব্যবসায়ী স্টক ট্রেডিংয়ের "পবিত্র গ্রেইল" অনুসন্ধান করা বন্ধ করতে পারেন। পরিবর্তে, তিনি তার ট্রেডিং পদ্ধতি পরীক্ষা করা শুরু করতে পারেন, এই পদ্ধতিটি কতটা যৌক্তিক তা খুঁজে বের করতে পারেন এবং এটি ইতিবাচক প্রত্যাশা দেয় কিনা। সঠিক পদ্ধতিমানি ম্যানেজমেন্ট, যে কোনও, এমনকি খুব মাঝারি ট্রেডিং পদ্ধতিতে প্রয়োগ করা হয়, বাকি কাজগুলি নিজেরাই করবে।

যেকোনো ব্যবসায়ীকে তার কাজে সফল হতে হলে তাকে সবচেয়ে বেশি তিনটি সমাধান করতে হবে গুরুত্বপূর্ণ কাজ: নিশ্চিত করতে যে সফল লেনদেনের সংখ্যা অনিবার্য ভুল এবং ভুল গণনাকে ছাড়িয়ে গেছে; আপনার ট্রেডিং সিস্টেম সেট আপ করুন যাতে আপনার যতবার সম্ভব অর্থ উপার্জন করার সুযোগ থাকে; আপনার অপারেশন থেকে স্থিতিশীল ইতিবাচক ফলাফল অর্জন.

এবং এখানে, আমাদের কর্মরত ব্যবসায়ীদের জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা অনেক সহায়ক হতে পারে। এই শব্দটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মূল বিষয়গুলির মধ্যে একটি। এর সাহায্যে, আপনি কিছু এলোমেলো মানের গড় অনুমান দিতে পারেন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের অনুরূপ, যদি আপনি সমস্ত সম্ভাব্য সম্ভাব্যতাকে বিভিন্ন ভরের বিন্দু হিসাবে কল্পনা করেন।

একটি ট্রেডিং কৌশল সম্পর্কিত, লাভ (বা ক্ষতি) এর গাণিতিক প্রত্যাশা প্রায়শই এর কার্যকারিতা মূল্যায়ন করতে ব্যবহৃত হয়। এই পরামিতিটি লাভ এবং ক্ষতির প্রদত্ত স্তরের পণ্যগুলির যোগফল এবং তাদের সংঘটনের সম্ভাবনা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উন্নত ট্রেডিং কৌশল অনুমান করে যে সমস্ত লেনদেনের 37% লাভ আনবে, এবং অবশিষ্ট অংশ - 63% - অলাভজনক হবে। একই সময়ে, একটি সফল লেনদেন থেকে গড় আয় হবে $7, এবং গড় ক্ষতি হবে $1.4৷ আসুন এই সিস্টেমটি ব্যবহার করে ট্রেডিংয়ের গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করি:

এই সংখ্যা মানে কি? এটি বলে যে, এই সিস্টেমের নিয়ম অনুসরণ করে, আমরা প্রতিটি বন্ধ লেনদেন থেকে গড়ে $1,708 পাব। যেহেতু ফলাফলের দক্ষতা রেটিং শূন্যের চেয়ে বেশি, এই ধরনের একটি সিস্টেম বাস্তব কাজের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি, গণনার ফলস্বরূপ, গাণিতিক প্রত্যাশা নেতিবাচক হতে দেখা যায়, তবে এটি ইতিমধ্যে একটি গড় ক্ষতি নির্দেশ করে এবং এই ধরনের ট্রেডিং ধ্বংসের দিকে নিয়ে যাবে।

প্রতি লেনদেনের লাভের পরিমাণও % আকারে আপেক্ষিক মান হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ:

- প্রতি 1টি লেনদেনের আয়ের শতাংশ - 5%;

- সফল ট্রেডিং অপারেশনের শতাংশ - 62%;

- প্রতি 1টি লেনদেনের ক্ষতির শতাংশ - 3%;

- অসফল লেনদেনের শতাংশ - 38%;

অর্থাৎ গড় বাণিজ্য 1.96% আনবে।

অলাভজনক ব্যবসার প্রাধান্য থাকা সত্ত্বেও, এমন একটি সিস্টেম বিকাশ করা সম্ভব ইতিবাচক ফলাফল, যেহেতু এর MO>0।

যাইহোক, একা অপেক্ষা যথেষ্ট নয়। সিস্টেমটি খুব কম ট্রেডিং সংকেত দিলে অর্থ উপার্জন করা কঠিন। এই ক্ষেত্রে, এর লাভজনকতা ব্যাংক সুদের সাথে তুলনীয় হবে। প্রতিটি অপারেশন গড়ে মাত্র 0.5 ডলার উৎপাদন করা যাক, কিন্তু সিস্টেমে যদি বছরে 1000টি অপারেশন জড়িত থাকে? এটি অপেক্ষাকৃত অল্প সময়ের মধ্যে একটি খুব উল্লেখযোগ্য পরিমাণ হবে। এটি যৌক্তিকভাবে এর থেকে অনুসরণ করে যে একটি ভাল ট্রেডিং সিস্টেমের আরেকটি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যেতে পারে স্বল্পমেয়াদীঅধিষ্ঠিত অবস্থান।

সূত্র এবং লিঙ্ক

dic.academic.ru – একাডেমিক অনলাইন অভিধান

mathematics.ru – গণিতে শিক্ষামূলক ওয়েবসাইট

nsu.ru – নভোসিবিরস্কের শিক্ষামূলক ওয়েবসাইট স্টেট ইউনিভার্সিটি

webmath.ru - শিক্ষাগত পোর্টালছাত্র, আবেদনকারী এবং স্কুলছাত্রীদের জন্য।

exponenta.ru শিক্ষামূলক গাণিতিক ওয়েবসাইট

ru.tradimo.com – বিনামূল্যে অনলাইন ট্রেডিং স্কুল

crypto.hut2.ru – মাল্টিডিসিপ্লিনারি তথ্য সম্পদ

poker-wiki.ru – পোকারের মুক্ত বিশ্বকোষ

sernam.ru - বিজ্ঞান গ্রন্থাগারনির্বাচিত প্রাকৃতিক বিজ্ঞান প্রকাশনা

reshim.su – ওয়েবসাইট আমরা পরীক্ষার কোর্সওয়ার্ক সমস্যার সমাধান করব

unfx.ru – UNFX-এ ফরেক্স: প্রশিক্ষণ, ট্রেডিং সিগন্যাল, ট্রাস্ট ম্যানেজমেন্ট

slovopedia.com – বড় বিশ্বকোষীয় অভিধানস্লোভোপিডিয়া

pokermansion.3dn.ru – জুজু জগতে আপনার গাইড

statanaliz.info - তথ্য ব্লগ "পরিসংখ্যানগত তথ্য বিশ্লেষণ"

forex-trader.rf – ফরেক্স-ট্রেডার পোর্টাল

megafx.ru – বর্তমান ফরেক্স বিশ্লেষণ

fx-by.com – একজন ব্যবসায়ীর জন্য সবকিছু